Goldbach hipotezi

7 Haziran 1742 tarihinde, Alman matematikçi Christian Goldbach, Leonhard Euler'e yazdığı bir mektupta, sayılar kuramının çözüme varılamamış konularından birine işaret etmiştir. Goldbach, "İki asal sayının toplamı şeklinde yazılabilen her tam sayı, aynı zamanda şartlar uygunsa ikiden daha çok asal sayı tarafından da yazılabilir." demiştir.

Daha sonra bu varsayımını yeterli bulmamış, düzeltmeye gitmiştir. "2'den büyük her tam sayı 3 asal sayının toplamından bulunabilir." Burada Goldbach, ‘1’ sayısını da asal sayılara dahil ederek böyle bir çıkarımda bulunmuştur.

Goldbach'ın bu hipotezinden yola çıkılarak yapılan ikinci saptamaya uygulanabilirliği açısından daha çok sahip çıkılmıştır. Çünkü akıldan hesaplanma kolaylığı sınırını ilerlettikçe, üç sayının toplamıyla uğraşmak, iki sayının toplamıyla uğraşmaktan daha zor ve çetrefilli bir hal alacaktır.

Rus matematikçi Vinogradov, 1937 ila 1954 yılları arasında yaptığı çalışmalarla, tekrar ilk varsayımı – kısmen ispatlanan kısmı yine tüm sayılar âlemini içine alamadan kanıtlamıştır -ki bu da bir diğer kısmi ispattır. Burada büyük tek rakamları ve analitik metotları kullanarak sonuca ulaşmıştır. n0’ın hesaplanması sonucu 3^3^15 değerini bulduğumuzda çıkan sonuç 6.846.169 basamaklı bir sayı olmuştur. Bu da Ribenboim'in 1988 ila 1995 yılları arasında yaptığı çalışmalarla doğrulanmıştır.

1966 yılında Chen Jingrun adlı Çinli matematikçi de kanıtlamıştır ki; her yüksek mertebeli çift sayı, aynı zamanda iki asal sayıdan fazla olmayacak sayıların toplamı şeklinde ifade edilebilir.

Goldbach'ın hipotezi sadece tek bir kişi tarafından kabaca ifadelerle kanıtlanabilmiştir. Bu ispata dair; 130 CPU saati kullanılarak, IBM 3083 Sinisalo'da 4*10^11. sayıya kadar gelinebilmiştir. Bunu kullanmasına rağmen Sinisalo, Q Basic programı deneme birimlerini işleterek aynı stratejiyi ele almıştır. Bu izlek tek numaraların alınmasını içerir. Küçük asal sayıları bulmak için (3’ten n/2’ye kadar olan sayıları) tek sayılar olarak almıştır. Eğer p asal sayıysa, bunların farkı n-p’dir ve bu da asallık için test edilmiştir. Eğer bu fark asal ise işlem tamamlanır ve bir çift bulunur. İlk bulunan çift de minimum Goldbach kısmi değeridir.

Eğer Goldbach'ın hipotezi doğruysa, herhangi çift bir n için; q=n-p asal sayı denklemini doğrulayan herhangi bir n çift sayısı ve p asal sayısı vardır. Goldbach bölünmesi n=p+q olarak da gösterilebilir. P ve q asal sayılardır. Goldbach ayrışımında en küçük asal sayı ayrılmış fonksiyon g(n) ile gösterilebilir.

Grafikteki notlardan emin olmak için, burada çok fazla sayıda dikey bir abartı vardır. Grafikteki her koyu bant asal sayıları göstermektedir: 3,5,7,11, … . Bu noktada biraz kafa karıştırıcıdır. Öyleyse tabloda n'in sürekli artan minimum değer serilerine bakılır.

Tablo n'in 1.000.000.000'dan küçük olan değerlerini göstermektedir. Son kolon ise g(n)/n oranını göstermektedir. Bu oran kısmen ilgi çekicidir çünkü bize g(n)’in maksimum değerlerini göstermektedir ve görülüyor ki g(n) her koşulda kendinden önce gelen sayıdan azdır. g(n) minimum Goldbach kısımlarının üzerinden sınır koyar.

Minimum Goldbach bölümlerine grafik olarak baktığımızda görürüz ki; n, 1.000.000.000’dan küçüktür ve burada ilginç bir ilişki gözlemlenir. Uygunluk ve çeviriye yardım için y doğrultusu g(n) iken, x doğrultusu da log 10(n) şeklinde gösterilir.

Olasılığın 1 olmasına ulaşamazsak burada bir tek top sayı, aralık içinde asal sayı çifti oluşturmuyor demektir. Bu da bir ispat değildir ancak hipotezin doğru yolda olduğunu düşündürür.