Küresel harmonikler

Matematikte, küresel harmonikler Laplace denkleminin çözüm kümesinin açısal kısmıdır. Küresel koordinatların bir sistemi içinde küre yüzeyinde tanımlanır, Fourier serisi ise çember üzerinde tanımlanır. Laplace'ın küresel harmonikleri Pierre Simon de Laplace tarafından ilk 1782 yılında tanıtılan bir ortogonal sistemin küresel harmonik formlarının özel bir kümesidir. Küresel harmoniklerden birkaçının kökleri sağda gösterimlenmiştir. Küresel harmonikler pek çok yerde teorik önem taşımaktadır ve özellikle atomik yörünge elektron konfigürasyonları, yerçekimi alanları, geoitleri ve gezegen ve yıldızların manyetik alanlarının temsili ve kozmik mikrodalga arka plan radyasyonu karakterizasyonu hesaplanmasında kullanılan pratik uygulamaları vardır. Küresel harmonikler 3D Bilgisayar grafiklerinde, dolaylı aydınlatma (ortam tıkanıklığı, küresel aydınlatma, Önceden hesaplanan parlaklık transferi, vb) ve 3D şekillerin tanınması gibi konularda geniş bir yelpazede özel bir rol oynamaktadır.

yukardaki toplamda her terim için bir nokta kütle Newtonyen potansiyeli bireyseldir. İlk kez r = |x| ve r1 = |x1| nin kuvvetleri içinde Newtonyen potansiyelin açılımını Adrien-Marie Legendre araştırdı. O bunu r ≤ r1 için araştırmıştı.

1867'de, William Thomson (Lord Kelvin) ve Peter Guthrie Tait burada Doğa felsefesi üzerine tez içinde katı küresel harmonikleri tanıttı, ayrıca bu fonksiyonların içinde "küresel harmonikler" adı ilk kez tanıtıldı. Katı harmonikler Laplace denkleminin homojen çözümleridir.

ile küresel koordinatlar içinde Laplace denklemi incelendi, Thomson ve Tait Laplace'ın küresel harmoniklerini açıkladı. "Laplace'ın katsayıları" terimi bir çizgi boyunca tanıtılan çözümlerin tanımlanan özel sistemi için William Whewellle çalışıyordu, oysa diğer zonal küresel harmonikler için bu düzenleme korundu şöyle ki Laplace ve Legendre ile tanıtılmış olan özellikler idi.

19.yy Fourier serisinde gelişmeler, ısı denklemi ve dalga denkleminin çözümü gibi dörtgen domenler içinde fizik problemlerinin yaygın bir çeşidinin çözümünü olası yapar. Bu trigonometrik fonksiyonlar serisi içindeki fonksiyonların açılımı ile sağlanabilir. Oysa bir Fourier serisinin bir sicim içinde de temel titreşim modları gösterilebilir, küresel harmonikler benzer şekilde bir kürenin temel titreşim modları ile gösterilebiliyor. Fourier serilerinin teorisinin trigonometrik fonksiyonlar tarafından birçok açıdan genelleştirilmiş şekilleri küresel harmoniklerdeki açılımlar olarak yerini almaktadır. Bu, aslında Laplace ve Legendre tarafından incelenen gök mekaniği gibi küresel simetri içeren sorunları içinde bir nimet oldu.

Bu bazı m sayıları içindir. Öncelikle, m bir karmaşık sabittir, ama bir Φ periyodik fonksiyonu böylece 2π periyoduna eşit bölündüğü için m zorunlu olarak bir tam sayı ve Φ e±imφ karmaşık üstellerin bir doğrusal bileşimidir. Çözüm fonksiyonu Y(θ,φ); kürenin kutup bölgelerinde düzenlidir, burada θ=0,π dir. Domenin ikinci denklemin sınır noktalarında Θ çözümü bu düzenlilik uyarlaması ile bir Sturm–Liouville problemi λ parametresinin kuvveti m λ = ℓ(ℓ+1) formunda olan bazı negatif olmayan ℓ ≥ |m| tam sayılar içindir; bu ayrıca yörünge açısal momentumun terimleri içinde aşağıda açıklanmıştır. Ayrıca,Legendre denklemi içinde bu denklemin t = cosθ dönüşümü değişken dönüşümlerinin bir yer değişimidir, böylece çözüm asosiye Legendre polinomunun birçoğuludur. Sonuç olarak, R için denklem ;biçiminin çözümü var ve gerekli çözüm R3 boyunca düzenli olan B = 0 kuvvetleridir.

nin bir doğrusal bileşimdir. Aslında, böyle bir çözüm için, rℓY(θ,φ) böyle bir homojen polinomun küresel koordinatlar içinde bağıntıları harmoniktir (bakınız aşağıda), ve burada gösterilen boyut sayılı polinomlar gibi 2ℓ+1 doğrusal bağımlıdır.

Küresel harmonik fonksiyonların tanım karışıklıklarının tek kaynağı endişeleri m > 0, 1 için (−1)m'in bir faz faktörü hariç, kuantum mekanik literatür içinde Condon–Shortley fazı olarak sık anılır. Kuantum mekanik topluluğu içinde, ya da Asosiye Legendre polinomunun tanımı içinde küresel harmonik fonksiyonların tanımına eklemek için bu faz faktörünü içeren uygulama yaygındır. Burada küresel harmonik fonksiyonların tanımı içinde Condon–Shortley fazını kullanmaya gerek yoktur, ama o dahil yükselten ve alçaltan işlemcilerin özel uygulamalarını bazı kuantum mekanik işlemcileri kolaylaştırabilir. Geodezi ve manyetik topluluk hiçbir zaman ne küresel harmonik fonksiyonların kendi tanımı ne de asosiye Legendre polinomlarının olanlar içinde Condon–Shortley faz faktörünü içeriyor.

Gerçek küresel harmonikler bazen tesseral küresel harmonikler olarak biliniyor. Bu işlevler yukarıda karmaşık olanlar aynı ortonormalite özelliklere sahiptir. m > 0 harmonikler ile cos tip'inin olduğu söylenir, ve böylece sine tip'inin m < 0 ile . Bunun nedeni olarak Legendre polinomları açısından işlevleri yazılarak görülebilir.

Ancak, manyetik şartlar olmaksızın göreli olmayan Schrödinger denkleminin çözümleri gerçek hale getirilebilir. Programlar daha sonra karmaşık cebir kullanmak gerekmez gibi gerçek formlar yoğun, kuantum kimyası için temel fonksiyonlarında kullanılan budur. İşte, bu gerçek fonksiyonlar, karmaşık olanları olduğu gibi aynı alanı kapsayan dikkat etmek önemlidir.

Örneğin olarak küresel harmonik tablosundan görülebileceği gibi, olağan p işlevleri () karmaşıktır ve eksen yön karışımı, ama gerçek versiyonlar aslında sadece x, y ve z.

Eğer β = 0,spektrum eş kuvvet her derecesine sahip olarak "beyaz"dır.Eğer β < 0 ise, spektrum "kırmızı" olarak adlandırılan düşük dereceden de daha kuvvetli yüksek dereceden uzun dalgadır. Sonuç olarak, eğer β > 0 ise, spektrum "mavi" olarak adlandırılıyor.Sff(ℓ)nin büyüklüğünün derecesi üzerinde durum son kesit içinde fnin diferansiyellenebilirliklerinin derecesine göredir.

Ayrıca orijinal fonksiyonunun Sff(ℓ)in asimtotik terimleri içinde f orijinal fonksiyonunun türevlenebilir özellikleri anlaşılabilir. Özel olarak, eğer Sff(ℓ) ℓ → ∞ olarak ℓ'nin herhangi kesirli fonksiyonu daha hızlı çürüyorsa, f sonsuz türevlenebilirdir. Ve dahası Sff(ℓ) üstel bozunma ise f küre üzerinde aslında gerçek analitiktir.

Laplace küresel harmonikler burada "düğüm çizgileri" göz önüne alınarak görselleştirilebilir, şöyle ki, burada , küre üzerinde noktaların kümesi veya karşıt olarak burada . dir nin düğüm çizgileri çemberin oluşumudur: bazıları enlemlerdir ve diğerleri boylamlardır. Enlemsel ve bağımsız boyuna tarifi içinde nin sıfırlarının sayısının sayılması ile her tipinin düğüm çizgilerinin sayısı belirlenebilir. Enine yönünde için, asosiye Legendre polinomlarının sanal ve gerçek bileşenleri her ℓ−|m| sıfırlarına sahiptir, oysa, uzunlamasına yön için, trigonometrik sin ve cos fonksiyonları 2|m| sıfırlara sahiptir.

Eğer küresel harmonik derece m (sol-üst resim) sıfır ise, küresel harmonik fonksiyonlar boylam bağlı olmayan, ve zonal olarak adlandırılır. Bu gibi küresel harmonikler zonal küresel fonksiyonların bir özel durumudur Eğer ℓ = |m| (Şekilde sağ alt) ise, burada enlem içinde sıfır geçidi yoktur, ve fonksiyonlar sektörel olarak adlandırılır. Diğer durumlar için, küre denetleyicisi fonksiyonları, ve bu tesseral olarak adlandırılır.

Daha genel ℓ derecesinin küresel harmonikleri are Laplace tabanı nın böyle olması gerekmez, ve burada nodal(düğümsel) kümeler oldukça genel bir tipi olabilir.

Klasik küresel harmonikler üç-boyutlu Öklid uzayı içerisinde birim küre S2 üzerinde fonksiyonlar olarak tanımlanıyor. Küresel harmonikler yüksek-boyutlu Öklid uzayı Rn için genelleştirilebilir olarak aşağıdadır. Diyelim ki Pℓ n değişkenleri içinde ℓ derecesinin homojen polinomlarının uzayını ifade eder. Şöyle ki, bir P polinomu Pℓ içinde şunu sağlıyor.

Hℓ uzayının toplamı tektip topoloji ye göre Sn−1 üzerinde sürekli fonksiyonun kümesi içinde yoğunluk Stone-Weierstrass teoremi iledir. Bir sonuç olarak, bu uzayın toplamı küre üzerinde kare integrallenebilir fonksiyonların L2(Sn−1) uzayı içinde ayrıca yoğunluktur. Böylece bir küresel harmoniklerin bir serisi içinde küre teklik ayrışması üzerinde her kare integrallenebilir fonksiyon, burada L2 içinde anlamı yakınsak seridir.

Aksine, Hℓ uzayı ΔSn−1 nın öz uzayları tamdır. Özel olarak, Riesz potansiyeli için spektral teoreminin bir uygulaması Hℓ uzayları diğer kanıtları veriyor. İkişerli ortogonal ve L2(Sn−1) içinde tamdır.

Durum that ψ be harmonik is tensör onaylanması için eşdeğerdir ve indislerin her çifti üzerinde bağımsız iz olmalı. Böylece SO(3), Hℓ nin indirgenemez gösterim olarak ℓ derecesinin simetrik tensörlerinin izsizlik uzayı için izomorfiktir.

Daha genel olarak, yüksek boyutlar içinde tutan analog durumlar: n-küre üzerinde küresel harmoniklerin Hℓ uzayı izsiz simetrik ℓ-tensörler için karşılık gelen SO(n+1)nin indirgenemez gösterimidir. Bununla birlikte, oysa SO(2)nin ve SO(3) ün her indirgenemez tensör gösterimi bu türündür,yüksek boyutlar içinde özel ortogonal gruplar ek bir indirgenemez gösterimleri var ve bu tutum içinde ortaya çıkmaz.

Özel ortogonal grupların have ek spin gösterimleri var ve tensör gösterimleri değildir, ve tipik olarak küresel harmonikler değildir. bir istisna SO(3)ün spin gösterimidir: strictly speaking these are çift örtü SU(2) ve SO(3)ün çift örtünün gösterimidir. sırayla, SU(2) birim kuaterniyonların grubu ile özdeştir, ve 3-küre ile ile bu çakışma, 3-küre üzerinde küresel harmoniklerin uzayı SO(3)ün belli dönmesidir, kuaterniyonik çarpım ile harekete göre.

İki-kürenin açı koruyucu simetrileri Möbiüs dönüşümleri PSL(2,C)'nin grubu ile tarif edilmektedir. Bu grup ile ilgili olarak, küre genel Riemann kürenin eşdeğeridir. Grup PSL(2,C) (uygun) Lorentz grubuna izomorf ve iki küre üzerinde hareket Minkowski uzayında göksel küre üzerinde Lorentz grubunun eylemi ile uygundur. Lorentz grubunun küresel harmonik analoğu bir Hipergeometrik seri ile verilir; bundan başka, küresel harmoniklerin terimleri içinde yeniden ifade edileblir. SO(3) = PSU(2) olarak PSL(2,C)nin bir altgrubudur. Daha genel olarak, hipergeometrik serisi herhangi bir simetrik uzay simetrilerini açıklamak için jeneralize olabilir; Özellikle, hipergeometrik serisi herhangi bir Lie grubu için geliştirilmiş olabilir.J. D. Talman, Special Functions, A Group Theoretic Approach, (based on lectures by E.P. Wigner), W. A. Benjamin, New York (1968).A. Wawrzyńczyk, Group Representations and Special Functions, Polish Scientific Publishers. Warszawa (1984).