Küme

Küme, matematiksel anlamda tanımsız bir kavramdır. Bu kavram "nesneler topluluğu veya yığını" olarak yorumlanmaktadır. Bu tanımdaki "nesne" soyut ya da somut bir şeydir. Fakat her ne olursa olsun iyi tanımlanmış olan bir şeyi, bir eşyayı ifade etmektedir. Örneğin, "Tüm canlılar topluluğu", "Dilimiz alfabesindeki harflerin topluluğu", "Masamın üzerindeki tüm kâğıtlar" tümcelerindeki nesnelerin anlaşılabilir, belirgin oldukları, kısaca iyi tanımlı oldukları açıkça ifade edilmektedir. Dolayısıyla bu tümcelerin her biri bir kümeyi tarif etmektedir. O halde, matematikte "İyi tanımlı nesnelerin topluluğuna küme denir." biçiminde bir tanımlama yapılmaktadır.

Tanımda geçen nesne sözcüğü aslında yeterince açıklık ifade eden bir sözcük değildir. Ama sezgisel olarak, kümeyi oluşturan nesnelerin iyice tanımlı olduklarını; yani belirgin, başka nesnelerden ayırt edilebilir şeyler olduklarını düşünüyoruz demektir. Bir bakıma, bir kümeyi oluşturan nesnelerin tek tek neler olduklarını düşünmekten çok, bir arada düşünebilir olmaları önemsenir.

Bir kümeyi oluşturan nesnelere o kümenin ögeleri veya elemanları adı verilir. Güneş, evrendeki yıldızlar kümesinin bir ögesidir. Bir kümenin ögesi olan nesne o kümenin içinde veya kümeye aittir. Küme tanımına göre bir öge ya kümenin içinde ya da içinde değildir.

Küme kavramının matematiğe Georg Cantor (1845-1918) ile girdiği kabul edilir. Georg Cantor kümeyi iyi tanımlanmış ve birbirinden farklı nesneler topluluğu olarak tanımlamaktadır. İyi tanımlanmış ile kastedilen, herkes tarafından aynı şekilde anlaşılan bir tanımdır.

Cantor'dan öncede, adına küme denilmese bile matematikçiler bu kavramı yer yer örtülü bir şekilde kullanırdı. Cantor, kümeler kuramının temellerine ilişkin kapsamlı soruları ortaya koydu. Bu gelişmeler, matematiğe ve özellikle formalist akıma 20. yüzyılın ilk yarısında katkı verdi.

Bir kümenin en önemli özelliği, elemanlara sahip olabilmesidir; bu elemanlar aynı zamanda üyeler olarak da adlandırılır. İki küme, aynı elemanlara sahip olduklarında eşittir. Daha kesin bir ifadeyle, A ve B kümeleri, A'nın her elemanı B'nin bir elemanıysa ve B'nin her elemanı da A'nın bir elemanıysa eşittir; bu özellik kümelerin genişletilebilirliği olarak adlandırılır.

Sezgisel kümeler kuramı, bir kümenin iyi tanımlanmış farklı elemanların bir koleksiyonu olarak tanımlar, ancak "iyi tanımlanmış" teriminin belirsizliği nedeniyle sorunlar ortaya çıkar.

Sezgisel küme teorisinin orijinal formülasyonundan bu yana, bu paradoksları çözmek için yapılan çabalarda, setlerin(küme) özellikleri aksiyomlarla tanımlanmıştır. Aksiyomatik küme teorisi, bir küme kavramını ilkel bir kavram olarak ele alır. Aksiyomların amacı, birinci dereceden mantığı kullanarak setlerle ilgili belirli matematiksel önermelerin (ifadelerin) doğruluğunu veya yanlışlığını çıkarmak için temel bir çerçeve sağlamaktır. Ancak, Gödel'in eksiklik teoremlerine göre, birinci dereceden mantığı kullanarak herhangi bir aksiyomatik küme teorisinin paradoks içermeyen olduğunu kanıtlamak mümkün değildir.

Matematik metinlerinde, kümeler genellikle A, B, C gibi büyük harflerle italik olarak gösterilir. Bir küme, özellikle elemanları da set olan durumlarda, bir koleksiyon veya aile olarak da adlandırılabilir.

Bir kümede, önemli olan her elemanın içinde olup olmadığıdır, bu nedenle sıralı gösterimde elemanların sıralaması önemsizdir (buna karşılık, bir dizide, demette veya bir kümenin permütasyonunda, terimlerin sıralaması önemlidir). Örneğin, ve aynı kümeyi temsil eder.

Bu gösterimde, dikey çizgi "|" "şunu ki" anlamına gelir ve tanım, "F, n'nin 0 ile 19 (dahil) arasında bir tamsayı olduğu tüm n sayılarının kümesidir" şeklinde yorumlanabilir. Bazı yazarlar dikey çizgi yerine iki nokta üst üste ":" kullanır.

Eğer B bir küme ve B'nin bir elemanı ise, bu kısaltma şeklinde ∈ B olarak yazılır ve aynı zamanda " B'ye aittir" veya " B'de bulunur" şeklinde okunabilir. "y B'nin bir elemanı değildir" ifadesi y ∉ B şeklinde yazılır ve aynı zamanda "y B'de değil" şeklinde okunabilir.

Hiçbir elemanı olmayan kümeye boş küme (veya null kümesi) denir ve hiçbir elemana sahip olmayan tek kümedir. Boş küme , , , veya sembolleri ile gösterilir.

Bir birim kümesi, tam olarak bir elemana sahip olan bir kümedir. Bu tür bir küme {x} şeklinde yazılabilir, burada x elemandır. {x} kümesi ve x elemanı farklı anlamlara gelir; Halmos, bir şapka içeren bir kutunun şapkayla aynı olmadığı benzetmesini çizer.

Eğer kümenin A her elemanı aynı zamanda B kümesinde yer alıyorsa, A kümesi B'nin bir alt kümesi veya B içinde yer alan bir küme olarak tanımlanır. Bu durumu ifade etmek için A ⊆ B veya B ⊇ A şeklinde yazılır. İkinci gösterim B A'yı içerir şeklinde okunabilir. ⊆ tarafından sağlanan kümeler arası ilişkiye dahil etme veya içermeyi denir. İki küme birbirlerini içerdiklerinde eşittirler: A ⊆ B ve B ⊆ A, A = B ile eşdeğerdir.

Eğer A, B'nin bir alt kümesi ise ancak A, B'ye eşit değilse, A B'nin bir gerçek alt kümesi olarak adlandırılır. Bu durum A ⊊ B şeklinde yazılabilir. Benzer şekilde, B ⊋ A B'nin bir gerçek üst kümesi anlamına gelir, yani B A'yı içerir ve A'ya eşit değildir.

Üçüncü çift ⊂ ve ⊃ operatörleri farklı yazarlar tarafından farklı şekillerde kullanılır: bazı yazarlar A ⊂ B ve B ⊃ A ifadesini A'nın B'nin herhangi bir alt kümesini temsil etmek için kullanırken, diğerleri Anın yalnızca gerçek bir alt kümesi olduğu durumlar için A ⊂ B ve B ⊃ A kullanır.

Bir Euler diyagramı, bir küme koleksiyonunun grafiksel bir temsilidir; her bir küme, içindeki elemanlarıyla birlikte bir döngü tarafından çevrili bir düzlem bölgesi olarak gösterilir. Eğer , B'nin bir alt kümesi ise, 'yı temsil eden bölge, 'yi temsil eden bölgenin tamamen içinde yer alır. İki kümenin ortak elemanı yoksa, bölgeler birbirleriyle örtüşmez.

Buna karşılık, bir Venn diyagramı, n kümenin grafiksel bir temsilidir ve n döngü düzlemi, seçilen n kümenin her biri için (belki hepsi veya hiçbiri), seçilen kümelere ait olan ve diğerlerine ait olmayan elemanlar için bir bölge olacak şekilde düzlemi 2n bölgeye böler. Örneğin, küme , ve ise, ve içinde bulunan ve 'nin dışında olan elemanlar için bir bölge olmalıdır (böyle elemanlar olmasa bile).

Eğer A kümesinin elemanlarının aynısı B kümesinde de varsa (A,B'nin alt kümesidir.) veya (B, A'yı kapsar.) ifadesi kullanılmaktadır. Eğer yoksa sembollerin üstüne bir çizik atılmaktadır.

Eğer ise A, B kümesine denktir. Eğer A ve B kümelerinin elemanları aynıysa , hiçbir elemanları aynı değilse ayrık küme olurlar.

kümesinde A'dan ayrık olan elemanlar gösterilirken, bu elemanlar A'nın tümleyeni kümesinde toplanır. A'nın üstünde bir virgül veya kısa çizgi olarak gösterilir.

Kümenin elemanları aşağıdaki 3 yolla gösterilebilir.Liste Yöntemi: Kümenin elemanları sembolü içine, her bir elemanın arasına virgül konularak yazılır. Örneğin, ise, tür.Ortak özelik yöntemi: Kümenin elemanlarını, daha somut ya da daha kolay algılanır biçimde gerektiğinde sözel, gerektiğinde matematiksel bir ifade olarak ortaya koyma biçimidir. Burada "" ifadesi "öyle x'lerden oluşur ki" diye okunur. Bu ifade biçiminde de yazılmaktadır.Şema Yöntemi: Küme, kapalı bir eğri içinde her eleman bir nokta ile gösterilip noktanın yanına elemanın adı yazılarak (sol üstteki resim) gösterilir. Bu gösterime Venn şeması ile gösterimi denir.

Yukarıda yer alan sayı kümelerinin her biri sonsuz sayıda elemana sahiptir. Her biri bulunduğu satırın altında yer alan kümelerin bir alt kümesidir.

Pozitif veya negatif sayı kümeleri, küme sembolünün üzerine veya sembolü konularak ifade edilmektedir. Örneğin; pozitif tam sayılar kümesi , negatif tam sayılar kümesi biçiminde ifade edilmektedir.

Bijektif Bİrebir Örten (veya bir-bir karşılıklı) ise, fonksiyon hem injektif hem de sürjektif olup her elemanı benzersiz bir elemanıyla eşlenir ve her elemanı da benzersiz bir elemanıyla eşlenir, böylece eşlenmemiş elemanlar bulunmaz.

Bir kümenin cardinality (kardinalite) değeri, o kümenin eleman sayısıdır. Örneğin, B = {mavi, beyaz, kırmızı} kümesi için |B| = 3'dür. Kümelendirmede tekrar eden elemanlar sayılmaz, bu nedenle B = {mavi, beyaz, kırmızı, mavi, beyaz} kümesi için de |B| = 3'tür.

Bazı kümelerin elemanları sayılamazdır veya sonsuzdur. Örneğin, doğal sayıların kümesi N sonsuzdur. Aslında, yukarıdaki bölümde bahsedilen tüm özel sayı kümeleri sonsuzdur. Sonsuz kümelerin'' kardinalite değeri sonsuzdur.

Bazı sonsuz kardinaliteler diğerlerinden daha büyüktür. Küme teorisi açısından en önemli sonuçlardan biri, gerçel sayıların kümesinin doğal sayıların kümesinden daha büyük kardinaliteye sahip olmasıdır. N'ye eşit veya daha küçük kardinalite değerine sahip kümeler "sayılabilir kümeler" olarak adlandırılır. Bunlar ya sonlu kümelerdir ya da N ile aynı kardinaliteye sahip "sayılabilir sonsuz kümelerdir". Bazı yazarlar "sayılabilir" terimini "sayılabilir sonsuz" anlamında kullanır. N'den daha büyük kardinalite değerine sahip kümeler "sayılabilir olmayan kümeler" olarak adlandırılır.

Ancak, bir doğru üzerindeki noktaların kardinalite değeri (yani bir doğru üzerindeki nokta sayısı), o doğrunun bir segmentinin, tüm düzlemin ve hatta herhangi bir sonlu boyutlu Öklidyen uzayın kardinalite değeriyle aynıdır.