Kuyruk teorisi

Kuyruk teorisi, bekleme sıraları ve kuyrukların matematiksel çalışmasıdır.. Kuyruk teorisinde, model inşa ederek kuyruğun uzunluğu ve bekleme zamanı tahmin edilebilir. Kuyruk teorisi genellikle yöneylem araştırmasının bir branşı olarak kabul edilebilir. Çünkü sonuçlar genellikle bir hizmet sunmak için gerekli kaynaklar hakkında karar verirken kullanılır.

Agner Krarup Erlang tarafından ilk araştırma ve modelleme ile açıklanan Kopenhang telefon santrali olmuştur. Bu fikirler eski zamanlardan beri telekomünikasyon, trafik mühendisliği, bilgisayarlar ve fabrikalar, mağazalar, ofisler ve hastanelerin tasarımına dahil olmuştur.

Akademik araştırma alanında genellikle “Kuyruğa girmek” yerine “Kuyruk” ifadesi yazılır. Aslında iş alanının amiral gemisinden biri olan dergi Kuyruk Teorisi olarak adlandırmıştır.

Tek kuyruk düğümleri genellikle A/S/C biçimindeki Kendall’ın gösterimini kullanarak tanımlanır. Burada A, sıraya gelenler arasındaki süreyi, S işlemlerin boyutunu ve C düğümü sunucu sayısını tanımlar.<ref name="tijms">Tijms, H.C, Algorithmic Analysis of Queues", Chapter 9 in A First Course in Stochastic Models, Wiley, Chichester, 2003</ref> Kuyruk teorisindeki pek çok teorem, kuyrukları Markov zincirleri olarak bilinen matematiksel sistemlere indirgenerek ispatlanabilir. Bu ilk önce Andrey Markov tarafından 1906 tarihli makalesinde açıklanmıştır.

k, kuyruk için servis veren sunucu sayısını gösterir (k=1, 2,….). Düğüm noktasında sunuculardan daha fazla iş varsa, işler sıraya girecek ve hizmet için beklenecektir.

M/M/1 kuyruğu, Poisson sürecine göre tek bir sunucunun ulaşan işlere hizmet ettiği üssel olarak dağıtılan hizmet gereksinimlerinin bulunduğu basit bir modeldir. Bir M/G/1 sırasındaki G, genel anlamındadır ve rastgele olasılık dağılımını gösterir. M/G/1 modeli Fellix Pollaczek tarafından 1930’da çözüldü. Bu çözüm Aleksandr Khinchin tarafından olasılık açısından tekrarlanan olarak adlandırılmıştır. Artık bu formül Pollaczek-Khinchine formülü olarak bilinmektedir.

Kuyruk teorisi 1940’lardan sonra matematikçiler için ilginç bir araştırma alanı olmuştur. 1953’te David George Kendall, GI/M/k sırasını çözdü ve Kendall’ın gösterimi olarak bilinen sıralar için modern gösterimi sundu. 1957 yılında Pollaczek çalışmalarında GI/G/1 integral denklemini kullandı. John Kigman, G/G/1 sırasındaki ortalama bekleme süresine ilişkin bir formül verdi: Kingman’ın Formülü.

Bu ilke, müşterilere birer birer hizmet verildiğini ve en kısa bekleme süresine sahip müşteriye önce servis edildiğini gösterir. Yığın olarak da bilinir.

Yüksek önceliği olan müşterilere ilk hizmet sunulur. Öncelik kuyrukları, önlemez (görevdeki bir işin kesilemediği) ve önleyici (görevdeki bir işin daha yüksek öncelikli bir iş tarafından kesilebileceği) olmak üzere iki türden oluşur. Her iki modelde de hiçbir çalışma kaybolmaz.

Kuyruk ağları, müşterilerin yönlendirmesi yoluyla bir dizi kuyruk bağlantı sistemleridir. Bir müşteriye bir düğümde hizmet verildiğinde, başka bir düğüme katılabilir, hizmet için sıraya girebilir veya şebekeyi terk edebilir. Bir m ağında sistemin durumu m-boyutlu vektör (x1,x2,...,xm) ile tanımlanabilir. Buradaki xi, her düğümdeki müşteri sayısını temsil eder.

Bu alandaki ilk önemli sonuç, etkin bir ürün biçimi sabit dağılımın bulunduğu Jackson ağları ve ortalama değer analizi, iş hacmi ve süre gibi ortalama metriklerin hesaplanmasına izin verir. Şebekedeki toplam müşteri sayısı sabit kalırsa, şebekeye kapalı bir şebeke adı verilir ve Gordon-Newell teoreminde sabit bir ürün formunda olduğu da gösterilmiştir. Bu sonuç çok genel hizmet süresi, rejimleri ve müşteri yönlendirme ağına sahip bir ağında ürün biçiminde sabit bir dağıtım sergilediği gösterilen BCMP ağına genişletildi. Normalleştirme sabiti 1973’te önerilen Buzen algoritması ile hesaplanabilir.

Farklı sınıf müşterilerin farklı servis düğümlerinde farklı öncelik düzeyleri yaşadığı Kelly şebekeleri müşteri ağlarında araştırıldı. Başka bir ağ türü de 1993 yılında Erol Gelenbe tarafından ilk kez önerilen G-ağlarıdır. Bu ağlar klasik Jackson Ağı gibi üstel zaman dağılımlarını varsaymaz.

Hizmet düğümlerinin herhangi bir zamanda aktif olabileceği bir kısıt bulunduğu ayrı zamanlı ağlarda, maksimum ağırlık çizelgeleme algoritması, her bir işin yalnızca tek bir servis düğümünü ziyaret ettiği durumlarda optimum verim sağlamak için bir hizmet politikası seçer. işlerin birden fazla düğümü ziyaret edebileceği daha genel durumlarda, geri basınç yönlendirmesi optimum verim sağlar.

Ortalama alan modelleri, kuyruk sayısı (m) sonsuzluğa geçtiği için ampirik ölçümün (çeşitli durumdaki kuyrukların oranı) sınırlayıcı davranışını göz önüne alır. Ağdaki herhangi bir sıra üzerindeki diğer sıraların etkisi, bir diferansiyel denklem ile yaklaştırılır. Deterministtik model, orijinal model ile aynı durağan dağılıma yakınsar.

Sıvı modelleri, süreç, zaman ve mekan ölçekli olduğunda heterojen nesnelere izin vererek, limit olarak elde edilen kuyruk ağlarının sürekli deterministtik analoglarıdır. Bu ölçeklendirilmiş yörünge, sistemin kararlılığının kanıtlanmasına izin veren deterministtik bir denklemle yakınsar. Bir kuyruk ağının dengeli olabileceği, ancak dengesiz bir sıvı sınırına sahiptir.

Yüksek doluluk oranları olan bir sistemde (1’e yakın kullanım) Brownian hareket, Ornstein-Uhlenbeck süreci veya daha genel difüzyon işlemi ile yaklaşık kuyruk uzunluğu süreci için ağır bir trafik yaklaşımı kullanır. RBM’nin boyutlarının sayısı, kuyruklama düğümlerinin sayısına eşittir ve difüzyon negatif olmayan ortanca ile sınırlandırılmıştır.