Calabi-Yau manifoldu

Calabi–Yau Manifoldu veya Calabi–Yau space, cebirsel geometride, Ricci düzlüğü gibi özelliklere sahip olan ve teorik fizikte uygulamalara olanak sağlayan özel bir manifold türüdür. Özellikle süper sicim teorisinde, uzay-zamanın ekstra boyutlarının bazen 6 boyutlu Calabi–Yau manifoldu formunu alacağı varsayılır ve bu da ayna simetrisi fikrine yol açmaktadır. Manifoldun ismi, bu tür yüzeylerin var olabileceğini ilk tahmin eden Eugenio Calabi'den (1954, 1957) ve Calabi varsayımını kanıtlayan Shing-Tung Yau'dan (1978) sonra 1985 yılında Candelas ve arkadaşları tarafından icat edilmiştir.

Calabi–Yau manifoldları, K3 yüzeylerinin herhangi bir sayıda karmaşık boyutta (yani herhangi bir çift sayıda gerçek boyutta) genelleştirilmesi olan karmaşık manifoldlardandır. Başlangıçta, kaybolan birinci Chern sınıfına ve Ricci-düz metriğe sahip kompakt "Kähler manifoldları" olarak tanımlanmışlardır ve bazen diğer birçok benzer ancak eşdeğer olmayan tanım da kullanılmıştır.

Calabi–Yau manifoldunun farklı yazarlar tarafından kullanılan, bazıları eşdeğer olmayan birçok başka tanımı vardır. Bu bölümde en yaygın tanımlardan bazıları ve aralarındaki ilişkiler özetlenmektedir.

Bu koşullar, birinci integral Chern sınıfının ile ilgili ortadan kayboluyor. Ancak bunun tersi doğru değildir. Bunun gerçekleştiği en basit örnekler, hipereliptik yüzeyler, karmaşık boyut 2'nin karmaşık bir torusunun sonlu bölümleridir; kaybolan birinci integral Chern sınıfına sahiptir, ancak önemsiz olmayan kanonik pakettir.

Kompakt bir Kähler manifoldu basit bir şekilde bağlanırsa, yukarıdaki zayıf tanım, daha güçlü tanıma eşdeğerdir. Enriques yüzeyleri, Ricci-düz metriklere sahip karmaşık manifoldların örneklerini verir, ancak bunların kanonik demetleri önemsiz değildir, bu nedenle bunlar, yukarıdaki ilk tanıma göre değil, ikinciye göre Calabi-Yau manifoldlarıdır. Öte yandan, bunların çift örtüleri her iki tanım için de Calabi-Yau manifoldlarıdır (aslında K3 yüzeyleridir).

Yukarıdaki çeşitli özellikler arasındaki eşdeğerlikleri kanıtlamanın açık ara en zor kısmı, Ricci-düz metriklerinin varlığını kanıtlamaktır. Bu, Yau'nun, kaybolan birinci gerçek Chern sınıfına sahip kompakt bir Kähler manifoldunun, kaybolan Ricci eğriliği ile aynı sınıfta bir Kähler metriğine sahip olduğunu ima eden Calabi varsayımına ilişkin kanıtından kaynaklanmaktadır. (Bir Kähler metriğinin sınıfı, ilişkili 2-formunun kohomoloji sınıfıdır.)Calabi böyle bir metriğin benzersiz olduğunu gösterniştir.

Tanımların çoğu Calabi-Yau manifoldlarının kompakt olduğunu öne sürer, ancak bazıları bunların kompakt olmamasını sağlar. Kompakt olmayan manifoldlara genellemede, fark asimptotik olarak ortadan kaybolması gerekir. Burada, Kähler metriği ile ilişkili Kähler formudur.

Bazı tanımlar, bir Calabi-Yau manifoldunun temel grubuna, sonlu veya önemsiz olmasını talep etmek gibi kısıtlamalar getirir. Herhangi bir Calabi-Yau manifoldu, bir simit ile basit bağlantılı bir Calabi-Yau manifoldunun çarpımı olan sonlu bir örtüye sahiptir.

Bazı tanımlar holonominin tam olarak eşit olmasını gerektirir bunun bir alt grubu yerine, Hodge sayılarının olduğu anlamına gelir için kaybolmak . Abelian yüzeyleri, holonomiden kesinlikle daha küçük olan bir Ricci düz metriğine sahiptir. (aslında önemsizdir) bu tanımlara göre Calabi-Yau manifoldları değildir.

Tanımların çoğu, bir Calabi-Yau manifoldunun bir Riemann metriğine sahip olduğunu varsayar, ancak bazıları bunları bir metrik içermeyen karmaşık manifoldlar olarak ele alır.

Tanımların çoğu manifoldun tekil olmadığını varsayar, ancak bazıları hafif tekilliklere izin verir. Chern sınıfı tekil Calabi-Yau'lar için iyi tanımlanamasa da, tüm tekillikler Gorenstein şemasında kanonik paket ve kanonik sınıf hala tanımlanabilir ve bu nedenle pürüzsüz bir Calabi-Yau manifoldunun tanımı, şu şekilde genişletmek için kullanılabilir: "muhtemelen tekil bir Calabi-Yau çeşididir."