Kuvvet serisi

şeklinde olan bir sonsuz seridir. Bu gösterimde an, n 'inci terimin katsayısı, c bir sabit ve x de c etrafında değerler alan değişkendir. Bu sebeple, yukarıdaki gösterimdeki gibi bir kuvvet serisine bazen c merkezli seri de denmektedir.

Bu tür kuvvet serileri karşımıza analizde, kombinatorikte (üreteç fonksiyon adı altında) ve elektrik mühendisliğinde (Z-dönüşümü adı altında) çıkmaktadır. Gerçel sayıların ondalık gösterimi de aslında bir kuvvet serisinin bir noktadaki değeri olarak görülebilir. Bu gösterimde, ondalık gösterimdeki virgülden sonraki her rakam yukarıda bahsedilen katsayılar olmaktadır. Kuvvet serisinin merkezi 0 ve x 'in değeri de 1/10 alınır. Sayılar teorisinde, p-sel sayılar kavramı da aynı zamanda kuvvet serileriyle yakından alakalıdır.

Kuvvet serilerinde, örneğinde olduğu gibi negatif kuvvetlere izin verilmez. Bu tür negatif kuvvete sahip seriler Laurent serisi örneğidir ve kuvvet serisi sayılmazlar. Benzer bir şekilde, örneğindeki gibi, kuvvetin kesirli sayı olmasına da izin verilmez (Puiseux serisine bakınız).

Bir değişkenli kuvvet serilerinin daha fazla değişkeni içeren kuvvet serilerine genelleştirilmeleri çok değişkenli hesap için gereklidir. Çok değişkenli bir kuvvet serisi aşağıdaki şekilde olan bir seridir.

Burada, j = (j1, ..., jn) bir doğal sayılar vektörüdür, a(j1,...,jn) katsayıları ise genellikle gerçel veya karmaşık sayıdır. Yine, c = (c1, ..., cn) merkezi ve x = (x1, ..., xn) değişkeni ise gerçel ve karmaşık vektör olarak alınırlar.

formülünü uygulamaktır. Seriyi yakınsak yapan x leri içeren kümenin öziçine yakınsaklık bölgesi adı verilir ve bu bölgelere x lerin hangi uzaydan değer aldığına bağlı olarak yakınsaklık aralığı, yakınsaklık dairesi, yakınsaklık yuvarı gibi değişik adlar da verilmektedir.

Kuvvet serisi |x - c| < r değerlerini sağlayan x ler için mutlak yakınsaktır. {x : |x − c| < r} kümesinin her tıkız altkümesi içinse düzgün yakınsaktır. Başka bir deyişle, seri yakınsaklık dairesinin öziçinde mutlak ve tıkız bir şekilde yakınsaktır.

Çok değişkenli kuvvet serilerinin kuramı ve geliştirilmesi elde edilen yakısanlık bölgelerinin bir değişkenli kuvvet serilerininkine kıyasla çok farklı olmasından dolayı daha zordur. Örneğin, serisi kümesi içinde, yani iki hiperbolün arasında mutlak yakınsaktır.

R veya C 'nin açık bir U altkümesinde tanımlı bir f fonksiyonu, eğer yerel anlamda bir kuvvet serisi tarafından ifade edilebiliyorsa f 'ye analitik fonksiyon adı verilir. Yani, her a ∈ U için, a 'nın açık bir V( ⊆ U) komşuluğu vardır öyle ki a merkezli bir kuvvet serisi vardır ve her x ∈ V için f(x) 'e yakınsar.

Pozitif yakınsaklık yarıçapına sahip her kuvvet serisi yakınsaklık bölgesinin öziçindeki her noktada analitiktir. Bütün holomorf fonksiyonlar karmaşık-analitiktir. Analitik fonksiyonların toplamları,farkları ve çarpımları analitiktir. Payda sıfır olmadığı zaman, analitik fonksiyonların bölümleri de analitiktir.

Burada, f 'nin c noktasındaki n 'inci türevini göstermektedir ve dir. Yani, her analitik fonksiyon yerel anlamda fonksiyonun kendi Taylor serisi tarafından temsil edilir.

Analitik fonksiyonun heryerel ifadesi ise tamamen fonksiyonun yerel ifadesi tarafından şu şekilde belirlenir: f ve g bağlantılı bir U kümesi üzerinde tanımlı iki analitik fonksiyon ise ve her n ≥ 0 için f (n)(c) = g (n)(c) eşitliğini sağlayan bir c∈U varsa, o zaman tüm x ∈ U için f(x) = g(x) eşitliği vardır.

α, bir f(x1, x2, …, xn) kuvvet serisi için çoklu indeks olsun. O zaman f kuvvet serisinin derecesini aα ≠ 0 koşulunun sağlayan en küçük |α| değeri veya f ≡ 0 ise 0 olarak tanımlarız. Tek değişkenli kuvvet serisinde durum o zaman f 'nin derecesi sıfır katsayıya sahip olmayan x kuvvetlerinin en küçüğüdür. Aynı tanım Laurent serilerine de genişletilebilir.