Henri Poincaré

Jules Henri Poincare (; 29 Nisan 1854 – 17 Temmuz 1912) Fransız matematikçi, teorik fizikçi, mühendis ve bilim felsefecisiydi. Yaşamı boyunca var olduğu şekliyle disiplinin tüm alanlarında mükemmel olduğundan, genellikle bir bilge ve matematikte "Son Evrenselci (The Last Universalist)" olarak tanımlanır.

Bir matematikçi ve fizikçi olarak, soyut ve uygulamalı matematiğe, matematiksel fiziğe ve gök mekaniğine birçok özgün temel katkı yaptı. Poincaré, üç cisim problemi üzerine yaptığı araştırmada, modern kaos teorisinin temellerini atan bir kaotik determinist sistemi keşfeden ilk kişi oldu. Ayrıca topoloji alanının kurucularından biri olarak kabul edilir.

Poincaré, farklı dönüşümler altında fizik yasalarının değişmezliğine dikkat etmenin önemini açıkça ortaya koydu ve Lorentz dönüşümlerini modern simetrik formlarında sunan ilk kişi oldu. Poincare kalan göreli hız dönüşümlerini keşfetti ve bunları 1905'te Hendrik Lorentz'e yazdığı bir mektupta kaydetti. Böylece, özel görelilik teorisinin formülasyonunda önemli bir adım olan tüm Maxwell denklemlerinin mükemmel değişmezliğini elde etti. 1905 yılında Poincaré ilk olarak bir cisimden yayılan ve Lorentz dönüşümlerinin gerektirdiği şekilde ışık hızında yayılan kütleçekim dalgalarını (ondes gravifiques) önerdi.

20. yüzyılın başlarında, 2002-2003 yıllarında Grigori Perelman tarafından çözülene kadar matematikteki ünlü çözülmemiş problemlerden biri haline gelen Poincaré varsayımını formüle etti.

Poincaré, 29 Nisan 1854'te Nancy, Meurthe-et-Moselle'deki Cité Ducale semtinde etkili bir Fransız ailesinde doğdu. Babası Léon Poincaré (1828-1892) Nancy Üniversitesi'nde tıp profesörüydü. Küçük kız kardeşi Aline, manevi filozof Émile Boutroux ile evlendi. Henri'nin ailesinin bir diğer önemli üyesi, 1913'ten 1920'ye kadar Fransa Cumhurbaşkanı olarak görev yapacak olan Académie française'nin bir üyesi olan kuzeni Raymond Poincaré idi.

1862'de Henri, Nancy'deki Lycée'ye girdi.(şimdi onun onuruna yine Nancy'de olan Henri Poincaré Üniversitesi ile birlikte, olarak yeniden adlandırıldı.). Lisede on bir yıl geçirdi ve bu süre zarfında okuduğu her konuda en iyi öğrencilerden biri olduğunu kanıtladı. Yazılı kompozisyonda mükemmeldi. Matematik öğretmeni onu bir "matematik canavarı" olarak tanımladı ve Fransa'daki tüm Liselerin en iyi öğrencileri arasında bir yarışma olan concours général'de birincilik ödülleri kazandı. En zayıf dersleri, "en iyi ihtimalle ortalama" olarak tanımlandığı müzik ve beden eğitimiydi. Ancak, görme zayıflığı ve dalgınlığa eğilim bu zorlukları açıklayabilir. 1871'de Lycée'den hem edebiyat hem de bilimde bir bakalorya ile mezun oldu.

Poincaré, 1873'te École Polytechnique'e en iyi eleme derecesi ile girdi ve 1875'te mezun oldu. Orada Charles Hermite'in öğrencisi olarak matematik okudu, sivrilmeye devam etti ve 1874'te ilk makalesini (Démonstration nouvelle des propriétés de l'indicatrice d'une Surface) yayınladı. Kasım 1875'ten Haziran 1878'e kadar École des Mines'de okudu, maden mühendisliği müfredatına ek olarak matematik çalışmasına devam etti ve Mart 1879'da sıradan maden mühendisi derecesini aldı.

Ecole des Mines mezunu olarak, kuzeydoğu Fransa'daki Vesoul bölgesi için müfettiş olarak Corps des Mines'e katıldı. Ağustos 1879'da Magny'de 18 madencinin öldüğü bir maden felaketi mahallindeydi. Kazayla ilgili resmi soruşturmayı karakteristik olarak kapsamlı ve insani bir şekilde yürütmüştür.

Aynı zamanda, Poincare, Charles Hermite'in gözetiminde matematik alanında Bilim Doktorasına hazırlanıyordu. Doktora tezi, Sur les propriétés des fonctions définies par les équations aux différences partielles diferansiyel denklemler alanındaydı. Poincare, bu denklemlerin özelliklerini incelemek için yeni bir yol tasarladı. Sadece bu tür denklemlerin integralini belirleme sorunuyla karşı karşıya kalmadı, aynı zamanda genel geometrik özelliklerini inceleyen ilk kişiydi. Güneş Sistemi içinde serbest hareket halindeki birden fazla cismin davranışını modellemek için kullanılabileceğini fark etti. Poincare, 1879'da Paris Üniversitesi'nden mezun oldu.

Derecesini aldıktan sonra, Poincare, Normandiya'daki Caen Üniversitesi'nde (Aralık 1879'da) matematik alanında genç öğretim görevlisi olarak ders vermeye başladı. Aynı zamanda, bir sınıf otomorfik fonksiyonların incelenmesine ilişkin ilk büyük makalesini yayınladı.

Orada, Caen'de müstakbel eşi Louise Poulain d'Andecy ile tanıştı ve 20 Nisan 1881'de evlendiler. Dört çocukları oldu: Jeanne (1887 doğumlu), Yvonne (1889 doğumlu), Henriette (1891 doğumlu) ve Léon (1893 doğumlu).

Poincaré hemen Avrupa'nın en büyük matematikçileri arasına yerini aldı ve birçok önde gelen matematikçinin dikkatini çekti. 1881'de Poincaré, Paris Üniversitesi Fen Fakültesi'nde öğretim görevlisi pozisyonuna davet edildi; daveti kabul etti. 1883-1897 yılları arasında École Polytechnique'de matematiksel analiz dersleri verdi.

1881-1882'de Poincare yeni bir matematik dalı yarattı: diferansiyel denklemlerin nitel teorisi. Denklemi çözmek zorunda kalmadan bir çözüm ailesinin davranışı hakkında en önemli bilgiyi elde etmenin nasıl mümkün olduğunu gösterdi (çünkü bu her zaman mümkün olmayabilir). Bu yaklaşımı gök mekaniği ve matematiksel fizikteki problemlere başarıyla kullandı.

Madencilik kariyerini asla tamamen matematiğe bırakmadı. 1881'den 1885'e kadar Kuzey demir yolu gelişiminden sorumlu bir mühendis olarak Kamu Hizmetleri Bakanlığı'nda çalıştı. Sonunda 1893'te Corps de Mines'in baş mühendisi ve 1910'da genel müfettiş oldu.

1881'den başlayarak ve kariyerinin geri kalanında Paris Üniversitesi'nde (Sorbonne) ders verdi. Başlangıçta maître de conférences d'analyse (analiz doçenti) olarak atandı. Sonunda, Fiziksel ve Deneysel Mekanik, Matematiksel Fizik ve Olasılık Teorisi, ve Gök Mekaniği ve Astronomi kürsülerinde bulundu.

1899'da ve yine daha başarılı bir şekilde 1904'te Alfred Dreyfus'un davalarına müdahil oldu. Fransız ordusunda vatana ihanetle suçlanan bir Yahudi subayı olan Dreyfus'a karşı getirilen bazı delillerin sahte bilimsel iddialarını eleştirdi.

1912'de Poincaré prostat sorunu nedeniyle ameliyat oldu ve ardından 17 Temmuz 1912'de Paris'te bir emboliden öldüğünde 58 yaşındaydı. Paris'teki Montparnasse Mezarlığı'ndaki Poincaré aile mezarına gömüldü.

Poincaré, gök mekaniği, akışkanlar mekaniği, optik, elektrik, telgraf, kılcallık, esneklik, termodinamik, potansiyel kuram, kuantum teorisi, görelilik teorisi ve fiziksel kozmoloji gibi soyut ve uygulamalı matematiğin ayrı alanlarına birçok katkı yaptı.

Diferansiyel denklemler alanında Poincare, örneğin Poincare küresi ve Poincare haritası gibi, diferansiyel denklemlerin nitel teorisi için kritik olan birçok sonuç vermiştir.

Güneş Sisteminde yörüngede dönen ikiden fazla cismin hareketine genel bir çözüm bulma problemi, Newton'un zamanından beri matematikçilerin gözünden kaçmıştı. Bu, başlangıçta üç cisim problemi ve daha sonra n’nin ikiden fazla yörüngedeki cisimlerin herhangi bir sayısı olduğu n-cisim problemi olarak biliniyordu. n-cisim çözümü, 19. yüzyılın sonunda çok önemli ve zorlu kabul edildi. Nitekim 1887'de 60. yaş günü şerefine Gösta Mittag-Leffler'in tavsiyesiyle İsveç Kralı II. Oscar, soruna çözüm bulabilen herkese bir ödül verdi.

Problemin çözülememesi durumunda, klasik mekaniğe herhangi bir başka önemli katkının ödüle değer olduğu düşünülürdü. Asıl problem çözmemiş olsa da ödül sonunda Poincaré'ye verildi. Hakemlerden biri, seçkin Karl Weierstrass, "Bu çalışmanın, önerilen problemin tam çözümünü sağladığı düşünülemez, ancak yine de, yayınlanması göksel mekanik tarihte yeni bir çağı başlatacak kadar önemlidir." (Katkısının ilk versiyonu ciddi bir hata bile içeriyordu; ayrıntılar için Diacu'nun makalesine ve Barrow-Green'in kitabına bakın). Sonunda basılan versiyon, kaos teorisine yol açan birçok önemli fikri içeriyordu. Başlangıçta belirtildiği gibi problem nihayet 1912'de Karl F. Sundman tarafından n = 3 için çözüldü ve 1990'larda Qiudong Wang tarafından n > 3 cisim durumuna genelleştirildi.

Poincaré'nin Bureau des Longitudes'deki uluslararası zaman dilimleri oluşturma konusundaki çalışması, onu, mutlak uzaya (veya "ışıklı eter") göre farklı hızlarda hareket eden Dünya'da hareketsiz olan saatlerin nasıl senkronize edilebileceğini düşünmeye yöneltti. Aynı zamanda, Hollandalı teorisyen Hendrik Lorentz, Maxwell'in teorisini, yüklü parçacıkların ("elektronlar" veya "iyonlar") hareketi ve bunların radyasyonla etkileşimi teorisine dönüştürüyordu. 1895'te Lorentz, "yerel saat" adı verilen (fiziksel yorumu olmayan) yardımcı bir niceliği tanıtmıştı. ve etere göre hareketi algılamak için optik ve elektrik deneylerinin başarısızlığını açıklamak amacıyla uzunluk daralması hipotezini tanıttı (bkz. Michelson-Morley deneyi). Poincaré, Lorentz'in teorisinin sürekli bir yorumcusu (ve bazen dostça bir eleştirmeni) idi. Poincare, bir filozof olarak "daha derin anlam (deeper meaning)" ile ilgilendi. Böylece Lorentz'in teorisini yorumladı ve bunu yaparken şimdi özel görelilik ile ilişkilendirilen pek çok içgörü buldu. Poincare, The Measure of Time'da (1898) şöyle demiştir: "Bütün bu olumlamaların kendi başlarına hiçbir anlamı olmadığını anlamak için biraz düşünmek yeterlidir. Sadece bir geleneğin sonucu olarak bir tane alabilirler." Ayrıca bilim insanlarının, fiziksel teorilere en basit biçimi vermek için bir varsayım olarak ışık hızının sabitliğini belirlemeleri gerektiğini savundu. Bu varsayımlara dayanarak 1900'de Lorentz'in yerel zamanın "harika icadı"nı tartıştı ve hareket halindeki saatlerin, hareketli bir çerçevede her iki yönde aynı hızda hareket ettiği varsayılan ışık sinyallerinin değiş tokuşuyla senkronize edildiğinde ortaya çıktığını belirtti.

1881'de Poincaré hiperbolik geometriyi hiperboloid model açısından tanımladı ve Lorentz aralığını değişmez bırakan dönüşümleri formüle etti. , bu da onları 2+1 boyutlarındaki Lorentz dönüşümlerine matematiksel olarak eşdeğer kılar. Ek olarak, Poincaré'nin hiperbolik geometrinin diğer modelleri (Poincaré disk modeli, Poincaré yarı-düzlem modeli) ve Beltrami-Klein modeli göreli hız uzayıyla ilişkilendirilebilir (bkz. Jirovektör uzayı).

1892'de Poincare, polarizasyon da dahil olmak üzere bir ışığın matematiksel teorisini geliştirdi. Polarize durumları temsil eden bir küre üzerinde hareket eden polarizörlerin ve yavaşlatıcıların eylemi hakkındaki vizyonuna Poincaré küresi denir. Poincaré küresinin, Lorentz dönüşümlerinin ve hız eklemelerinin geometrik bir temsili olarak kullanılabileceği, temel bir Lorentz simetrisine sahip olduğu gösterildi.

ve dönüşümlerin bir grup oluşturması için keyfi fonksiyonunun tüm (Lorentz 'i farklı bir argümanla ayarlamıştı) değerleri için tekil olması gerektiğini gösterdi. 1906'da yayınlanan makalenin genişletilmiş bir versiyonunda Poincare, kombinasyonunun değişmez olduğuna işaret etti. Bir Lorentz dönüşümünün 'i dördüncü sanal koordinat olarak tanıtarak yalnızca dört boyutlu uzayda orijin etrafında bir dönüşüm olduğunu kaydetti ve dört vektörün erken bir biçimini kullandı. Poincaré, 1907'de yeni mekaniğinin dört boyutlu yeniden formüle edilmesine ilgi eksikliğini dile getirdi, çünkü onun görüşüne göre, fiziğin dört boyutlu geometri diline çevrilmesi, sınırlı fayda için çok fazla çaba gerektirecekti. Bu düşüncenin sonuçlarını 1907'de çözen Hermann Minkowski oldu.

Daha önce keşfeden diğerleri gibi, Poincaré (1900) kütle ve elektromanyetik enerji arasında bir ilişki keşfetti. Etki/tepki ilkesi ile Lorentz esir kuramı arasındaki çatışmayı incelerken, elektromanyetik alanlar işe karıştığınfa ağırlık merkezinin hala düzgün bir hızla devinip devinmediğini belirlemeye çalıştı. Etki/tepki ilkesinin yalnızca madde için geçerli olmadığını, elektromanyetik alanın kendi momentumuna sahip olduğunu fark etti. Poincaré, bir elektromanyetik dalganın elektromanyetik alan enerjisinin, kütle yoğunluğu E/c2 olan imgesel bir sıvı ("fluide fictif" ,"kurgusal akışkan") gibi davrandığı sonucuna varmıştır. Eğer kütle çerçevesinin merkezi hem maddenin kütlesi hem de kurgusal akışkanın kütlesi tarafından tanımlanıyorsa ve kurgusal akışkan yok edilemezse -ne yaratılır ne de yok edilir- o zaman kütle merkezi çerçevesinin devinimi tekdüze (üniform) kalır. Ancak elektromanyetik enerji, diğer enerji biçimlerine dönüştürülebilir. Böylece Poincaré, uzayın her noktasında elektromanyetik enerjinin dönüştürülebildiği ve aynı zamanda enerjiyle orantılı bir kütle taşıyan elektrik enerjisi olmayan bir akışkanın var olduğunu varsaymıştır. Bu biçimde kütle merkezinin devinimi düzgün kalır. Poincaré, bu varsayımlara çok şaşırmamak gerektiğini çünkü bunların yalnızca matematiksel kurgular olduğunu söyledi.

Bununla birlikte, Poincaré'nin kararı, çerçeveleri değiştirirken bir çelişkiye yol açtı: Bir Hertz osilatörü belirli bir yönde ışıma yapıyorsa, kurgusal akışkanın eylemsizliğinden dolayı bir geri tepmeyle karşılacaktır. Poincaré, devinimli kaynağın çerçevesine bir Lorentz yükseltmesi (v/c dereceye) gerçekleştirdi. Enerji korunumunun her iki çerçevede de geçerli olduğunu, ancak momentumun korunumu yasasının bozulduğunu kaydetti. Bu, onun nefret ettiği bir kavram olan sürekli devinim izin verecekti. Doğa yasaları, referans çerçevelerinde farklı olmak zorunda kalacaktı ve görelilik ilkesi geçerli olmayacaktı. Bu nedenle, bu durumda da esirde başka bir dengeleyici mekanizmanın olması gerektiğini savundu.

Ayrıca açıklanamayan diğer iki etkiyi de tartıştı: (1) Lorentz'in değişken kütlesi , Abraham'ın değişken kütle kuramı ve Kaufmann'ın hızlı devinen elektronların kütlesi üzerindeki deneylerinden çıkan kütlenin korunmama durumu ve (2) Marie Curie'nin radyum deneylerinde enerjinin korunmama durumu.

Poincare çelişkisini, esir içinde herhangi bir dengeleme mekanizması kullanmadan çözen, Albert Einstein'ın kütle-enerji denkliği (1905) kavramıydı; ışınım veya ısı olarak enerji kaybeden bir cismin kütlesi m = E/c2 miktarında bir kütle kaybediyordu. Hertz osilatörü yayınım sürecinde kütle kaybeder ve momentum herhangi bir çerçevede korunur. Bununla birlikte, Poincaré'nin Ağırlık Merkezi probleminin çözümü ile ilgili olarak, Einstein, Poincare'nin formülasyonunun ve 1906'dan itibaren kendisininkinin matematiksel olarak eşdeğer olduğunu kaydetti.

Einstein'ın görelilik üzerine ilk makalesi, Poincaré'nin kısa makalesinden üç ay sonra, ancak Poincaré'nin uzun versiyonundan önce yayınlandı. Einstein, Lorentz dönüşümlerini türetmek için görelilik ilkesine dayandı ve Poincaré'nin (1900) tarif ettiğine benzer bir saat senkronizasyonu prosedürü (Einstein senkronizasyonu) kullandı, ancak Einstein'ın makalesi, hiçbir referans içermemesi bakımından dikkat çekiciydi. Poincare, Einstein'ın özel görelilik üzerine çalışmasını hiçbir zaman kabul etmedi. Ancak Einstein, 3 Mayıs 1919'da Hans Vaihinger'e yazdığı bir mektupta Poincaré'nin bakış açısına dolaylı olarak sempati duyduğunu ifade etti. Einstein, Poincaré'nin ölümünden sonra 1921'de "Geometri und Erfahrung ("Geometri ve Deneyim", "Geometry and Experience)" başlıklı bir konferans metninde, özel görelilik ile bağlantılı olarak değil ancak Öklidyen olmayan geometri ile bağlantılı olarak kabul etti. Ölümünden birkaç yıl önce Einstein, Poincaré'i göreliliğin öncülerinden biri olarak yorumladı ve "Lorentz, kendisinden sonra adlandırılan dönüşümün Maxwell denklemlerinin analizi için gerekli olduğunu zaten kabul etmişti ve Poincare bu öngörüyü daha da derinleştirdi. . .

Poincaré'nin özel göreliliğin geliştirilmesindeki çalışması iyi bilinmektedir, çoğu tarihçi Einstein'ın çalışmasıyla birçok benzerliğe karşın, ikisinin çok ayrı araştırma gündemlerine ve çalışma yorumlarına sahip olduğunu vurgulamaktadır. Poincare, yerel zamanın benzer bir fiziksel yorumunu geliştirdi ve sinyal hızıyla olan bağlantıyı fark etti, ancak Einstein'ın tersine, esir kavramını makalelerinde kullanmayı sürdürdü ve esirde devinimsiz olan saatlerin "gerçek" zamanı gösterdiğini ve devinen saatlerin yerel saati gösterdiğini savundu. Böylece Poincare, görelilik ilkesini klasik fizikteki kavramlarına uygun tutmaya çalışırken, Einstein, uzay ve zamanın göreliliğinin yeni fiziksel kavramlarına dayanan matematiksel olarak eşdeğer bir kinematik geliştirdi.

Çoğu tarihçinin görüşü bu olsa da, Poincaré ve Lorentz'in göreliliğin gerçek kaşifleri olduğunu savunan E. T. Whittaker gibi bir azınlık çok daha ileri gider.

Poincare, grup teorisini fiziğe tanıttı ve Lorentz dönüşümleri grubunu inceleyen ilk kişi oldu. Ayrık gruplar teorisine ve bunların temsillerine de büyük katkılarda bulundu.

Konu, Felix Klein tarafından "Erlangen Programı"nda (1872) gelişigüzel sürekli dönüşümün geometri değişmezleri, bir tür geometri olarak açıkça tanımlanmıştır. "Topoloji" terimi, daha önce kullanılan "Analiz durumu (Analysis situs)" yerine Johann Benedict Listing tarafından önerildiği gibi tanıtıldı. Bazı önemli kavramlar Enrico Betti ve Bernhard Riemann tarafından tanıtıldı. Ancak bu bilimin temeli, herhangi bir boyuttaki bir alan için Poincare tarafından yaratıldı. Bu konudaki ilk makalesi 1894'te yayınlandı.

Geometri alanındaki araştırması, homotopi ve homolojinin soyut topolojik tanımına yol açtı. Ayrıca ilk olarak Betti sayıları ve temel grup gibi kombinatoryal topolojinin temel kavramlarını ve değişmezlerini tanıttı. Poincare, n-boyutlu çokyüzlülerin (Euler-Poincaré teoremi) kenarlarının, köşelerinin ve yüzlerinin sayısıyla ilgili bir formülü kanıtladı ve sezgisel boyut kavramının ilk kesin formülasyonunu verdi.

Poincaré, "Gök Mekaniğinin Yeni Yöntemleri (New Methods of Celestial Mechanics)" (1892-1899) ve "Gök Mekaniği Üzerine Dersler (Lectures on Celestial Mechanics)" (1905-1910) adlı iki klasik monografi yayınladı. Onlarda, araştırmalarının sonuçlarını üç cismin hareketi problemine başarıyla uyguladı ve çözümlerin davranışını (frekans, kararlılık, asimptotik vb.) Küçük parametre yöntemini, sabit noktaları, integral değişmezleri, varyasyon denklemlerini, asimptotik açılımların yakınsamasını tanıttı. Bruns'ın (1887) bir teorisini genelleştiren Poincaré, üç cisim probleminin tümlevlenemez olduğunu gösterdi. Başka bir deyişle, üç cisim probleminin genel çözümü, cisimlerin kesin koordinatları ve hızları aracılığıyla cebirsel ve aşkın fonksiyonlar açısından ifade edilemez. Bu alandaki çalışması, Isaac Newton'dan bu yana gök mekaniğindeki ilk büyük başarıydı.

Bu monograflar, daha sonra matematiksel "kaos teorisi" (özellikle bkz. Poincaré yinelenme teoremi) ve dinamik sistemlerin genel teorisinin temeli haline gelen bir Poincare fikrini içerir. Poincare, yer çekimi ile dönen bir akışkanın denge figürleri için astronomi üzerine önemli eserler yazdı. Çatallanma noktalarının önemli kavramını tanıttı ve halka biçimli ve armut biçimli şekiller de dahil olmak üzere elipsoid olmayanlar gibi denge şekillerinin varlığını ve bunların stabilitesini kanıtladı. Bu keşif için Poincare, Kraliyet Astronomi Derneği'nin Altın Madalyasını aldı (1900).

Poincaré, diferansiyel denklemler sisteminin tekil noktalarının incelenmesi üzerine doktora tezini savunduktan sonra, "Diferansiyel denklemlerle tanımlanan eğriler üzerine (On curves defined by differential equations)" (1881-1882) başlığı altında bir dizi anı yazdı. Bu makalelerde, "diferansiyel denklemlerin nitel teorisi" adı verilen yeni bir matematik dalı oluşturdu. Poincaré, diferansiyel denklemin bilinen fonksiyonlar cinsinden çözülemese bile, denklemin formundan, çözümlerin özellikleri ve davranışları hakkında çok sayıda bilgi bulunabileceğini gösterdi. Özellikle, Poincaré düzlemdeki integral eğrilerin yörüngelerinin doğasını araştırdı, tekil noktaların (semer, odak, merkez, düğüm) bir sınıflandırmasını verdi, bir limit çevrimi kavramını ve döngü indeksini tanıttı ve bazı özel durumlar dışında limit çevrim sayısı her zaman sonludur. Poincaré ayrıca genel bir integral değişmezler teorisi ve varyasyon denklemlerinin çözümlerini geliştirdi. Sonlu fark denklemleri için yeni bir yön yarattı -çözümlerin asimptotik analizi. Tüm bu başarıları matematiksel fizik ve gök mekaniğinin pratik problemlerini incelemek için uyguladı ve kullanılan yöntemler topolojik çalışmalarının temeliydi.

Poincaré'nin çalışma alışkanlıkları, çiçekten çiçeğe uçan bir arıya benzetilmiştir. Poincare, zihninin nasıl çalıştığıyla ilgileniyordu; alışkanlıklarını inceledi ve 1908'de Paris'teki Genel Psikoloji Enstitüsü'nde gözlemleri hakkında bir konuşma yaptı. Düşünme tarzını nasıl birkaç keşif yaptığına bağladı.

Her gün aynı saatlerde kısa süreler içinde çalıştı. Günde dört saat, sabah 10:00 ile öğlen arasında, ardından tekrar 17:00'den itibaren akşam 7'ye kadar matematiksel araştırma yaptı. Akşamın ilerleyen saatlerinde dergilerdeki makaleleri okurdu..

Duyduklarını görselleştirme yeteneği özellikle derslere katıldığında faydalı oldu, çünkü görme yeteneği o kadar zayıftı ki öğretim görevlisinin tahtaya ne yazdığını tam olarak göremiyordu.

Bilinçli olarak başka bir problem üzerinde çalışırken, bilinçaltının problem üzerinde çalışmaya devam edeceğine inandığı için hiçbir zaman bir problem üzerinde uzun zaman harcamamıştı.

Ayrıca Toulouse, çoğu matematikçinin önceden belirlenmiş ilkelerden çalıştığını, Poincaré'nin ise her seferinde temel ilkelerden yola çıktığını belirtmiştir (O'Connor ve diğerleri, 2002).

Poincaré, Georg Cantor'un sonlu-ötesi sayılar teorisi karşısında dehşete düştü ve bundan matematiğin sonunda tedavi edileceği bir "hastalık" olarak bahsetti. Poincare, "Gerçek bir sonsuz yoktur; Cantorcular bunu unuttular ve bu yüzden çelişkiye düştüler" dedi.

Henri Poincaré Nobel Fizik Ödülü'nü almadı, ancak Henri Becquerel veya komite üyesi Gösta Mittag-Leffler gibi etkili savunucuları vardı. Adaylık arşivi, Poincaré'nin ölüm yılı olan 1904 ile 1912 arasında toplam 51 adaylık aldığını ortaya koyuyor. 1910 Nobel Ödülü için verilen 58 adaylıktan 34'ü Poincaré'e idi. Adaylar arasında Nobel ödüllü Hendrik Lorentz ve Pieter Zeeman (her ikisi de 1902), Marie Curie (1903), Albert Michelson (1907), Gabriel Lippmann (1908) ve Guglielmo Marconi (1909) vardı.

Poincaré, Boltzmann veya Gibbs gibi ünlü teorik fizikçilerin Nobel Ödülü'nü almamış olmaları, Nobel komitesinin teoriden çok deneye önem verdiğini gösteren bir kanıt olarak görülüyor. Poincaré'nin durumunda, onu aday gösterenlerden birkaçı, en büyük problemin belirli bir keşif, buluş ya da tekniğe isim vermek olduğuna dikkat çekti.

Poincare, aritmetiğin sentetik olduğuna inanıyordu. Peano aksiyomlarının tümevarım ilkesiyle döngüsel olmayan bir şekilde kanıtlanamayacağını savundu (Murzi, 1998), bu nedenle aritmetiğin a priori sentetik olduğu ve analitik olmadığı sonucuna vardı. Poincaré daha sonra matematiğin analitik olmadığı için mantıktan çıkarılamayacağını söylemeye devam etti. Görüşleri Immanuel Kant'ın görüşlerine benziyordu (Kolak, 2001, Folina 1992). Cantor küme teorisine şiddetle karşı çıktı ve tahmin edici tanımların kullanımına itiraz etti.

Ancak Poincaré, felsefe ve matematiğin tüm dallarında Kantçı görüşleri paylaşmadı. Örneğin, geometride Poincaré, Öklidyen olmayan uzayın yapısının analitik olarak bilinebileceğine inanıyordu. Poincare, uzlaşmanın fizikte önemli bir rol oynadığını savundu. Görüşü (ve daha sonra, daha aşırı versiyonları) "uzlaşımcılık" olarak bilinmeye başladı. Poincare, Newton'un birinci yasasının ampirik olmadığına, mekanik için geleneksel bir çerçeve varsayımı olduğuna inanıyordu (Gargani, 2012). Ayrıca fiziksel uzayın geometrisinin geleneksel olduğuna inanıyordu. Fiziksel alanların geometrisinin veya sıcaklık gradyanlarının değiştirilebildiği örnekleri, ya katı cetveller tarafından ölçülen bir alanı Öklidyen olmayan olarak tanımlayarak ya da cetvellerin değişken bir ısı dağılımı ile genişletildiği veya küçültüldüğü bir Öklid uzayı olarak tanımladı. Ancak Poincaré, Öklidyen olmayan bir fiziksel geometriye geçmek yerine Öklid geometrisini kurtarmak için fiziksel yasaları değiştirmeyi tercih edeceğimiz kadar Öklid geometrisine alıştığımızı düşündü.

Poincaré'nin Paris'teki Société de Psychologie'den önceki ünlü dersleri (Bilim ve Hipotez (Science and Hypothesis), Bilimin Değeri (The Value of Science) ve Bilim ve Yöntem (Science and Method) olarak yayınlandı) Jacques Hadamard tarafından yaratıcılık ve buluşun iki zihinsel aşamadan oluştuğu fikrinin kaynağı olarak gösterildi, ilki bir probleme olası çözümlerin rastgele kombinasyonları, ardından bir eleştirel değerlendirme.

; reprinted in 1921; This book includes the English translations of Science and Hypothesis (1902), The Value of Science (1905), Science and Method (1908).