Matris (matematik)

Matematikte matris veya dizey, dikdörtgen bir sayılar tablosu veya daha genel bir açıklamayla, toplanabilir veya çarpılabilir soyut miktarlar tablosudur. Dizeyler daha çok doğrusal denklemleri tanımlamak, doğrusal dönüşümlerde (lineer transformasyon) çarpanların takibi ve iki parametreye bağlı verilerin kaydedilmesi amacıyla kullanılırlar. Dizeylerin toplanabilir, çıkartılabilir, çarpılabilir, bölünebilir ve ayrıştırılabilir olmaları, doğrusal cebir ve dizey kuramının temel kavramı olmalarını sağlamıştır.

Bir matrisdeki düz yatay sıraya satır dikey sıraya sütun adı verilir. Bir matris içinde dizili gösterilen sayılar öğe veya eleman olarak adlandırılır. Matrisin büyüklüğü satır ve sütun sayılarıyla ifade edilir. Yukarıdaki matrisler 4x3 (yani 4 satırlı 3 sütunlu) matrislerdir.

Eğer bir matrisin boyutlarından biri 1 ise (yani ya satır sayısı 1 veya sütun sayısı 1 ise yani satır matrisi veya sütun matrisi ise) bu matris, bir yöney veya vektör veya Euclid-tipi vektör olarak da tanımlanır.

A·B matris çarpımı için A ön-çarpan ve B art-çarpan, B·A matris çarpımı için B ön-çarpan ve A art-çarpan olur. İki matris çarpımı notasyonla belirtilmekle beraber ya "A·B" ya "B·A" ya da hem "A·B" hem "B·A" geçerli olmayabilir.

Matris çarpımı ancak ön-çarpan sütun sayısı ile art-çarpan satır sayısı birbirine eşitse mümkündür. Yani (p * j) boyutlu A matrisi ile (k * l) boyutlu B matrisinin çarpımı ancak "j = k" ise mümkün olur; yoksa geçerli değildir. Eğer matris çarpımı geçerli ise, ortaya çıkartılacak çarpım matrisi, ön-çarpan satır sayısı ve art-çarpan matris sütun sayısı boyutludur Yani eğer "j = k" ise, matris çarpımı sonucu matrisi (p * l) boyutludur.

Sayısal bir örnek olarak, A matrisi (2 * 3) boyutlu ise ve B (3 * 4) boyutlu ise matris çarpımı (A·B), "j = k" (3 = 3) olduğu için geçerlidir ve matris çarpımı işlemi sonuç matrisi (2 * 4) boyutludur; ama B·A matris çarpımı işlemi geçerli değildir; çünkü "j ≠ k" (4 ≠ 2).

Matris çarpımının algoritması şu şekildedir: İlk öğenin i'nci satırının bileşenleriyle, ikinci öğenin j'nci sütununun bileşenleri karşılıklı olarak çarpılıp toplanır ve sonuç dizeyin bileşeni olarak yazılır.

Doğrusal denklemler sistemlerinin çözülmesi için matris kavramlarının kullanılmasının çok uzun bir tarihi bulunmaktadır. Doğrusal denklemler sistemlerin ilk matris kullanarak açıklanıp çözülmesi, özellikle kare matrislerle ifade edilip determinant kullanımı dahil, MÖ.300 ile MS.200 arasında yazılmış olan Jiu Zhang Suan Shu (Matematik Sanatinda Dokuz Bölüm) adlı eserde bulunduğu anlaşılmıştır. Bu eserden Batı Avrupa matematikçileri hiç haberdar olmamışlardır. Bundan sonra matris kavramı 2000 yıl kadar sonra 1683'te "Seki Kowa" adlı Japon matematikçisi ve Batı Avrupa'da ilk defa 1693de Alman matematikçisi Leibniz tarafından ortaya atılmış ve ilk determinant kullanarak pratik çözüm olarak Cramer'in kuralı 1750'de Gabriel Cramer tarafından gösterilmiştir.

Memoir on the theory of matrices (Matris teorisi hakkında bir not) adında eserle başlamıştır. Matris terimi isim olarak ilk defa J.J.Syvester adlı İngiliz matematikçisi tarafından kullanılmıştır. Bu matematikçi determinantları açıp sayısal değerlerini bulmak için sütun ve satırları silip gittikçe daha küçük determinant (minor) elde ederek bu sonuca bulma üzerinde uğraşı göstermiş ve sanki bir ana determinanttan gittikçe küçülen "çocuk" determinantların bulunmasından ilham alarak şimdi matris olarak adlandırdığımız kavrama Latince kökten mater (anne) sözcüğünden çıkardığı matrix adını vermiştir.

Hem matematikte hem de diğer bilimlerde matrislerin çok sayıda uygulaması vardır. Bazıları yalnızca bir matristeki bir dizi sayının kompakt temsilinden yararlanır. Örneğin, oyun teorisi ve ekonomi'de ödeme matrisi, oyuncuların belirli (sonlu) alternatifler arasından hangisini seçtiğine bağlı olarak iki oyuncu için getiriyi kodlar. Metin madenciliği ve otomatikleştirilmiş Tesarus derlemesi, çeşitli belgelerdeki belirli kelimelerin sıklıklarını izlemek için örneğin tf-idf gibi belge-terim matrislerini kullanır.

Örneğin 2'ye 2 döndürme matrisleri, yukarıda gibi bazı mutlak değer 1 karmaşık sayısıyla çarpmayı gösterir. Genel olarak dördeyler ve Clifford cebirleri için de benzer bir yorum mümkündür.

Bilgisayar grafikleri teorik kamera gözlemine karşılık gelen, üç boyutlu bir nesneyi iki boyutlu bir ekrana yansıtmak gibi görevleri gerçekleştirmede afin dönüş matrislerini kullanarak nesnelerin dönüşümlerini hesaplamada ve keskinleştirme, bulanıklaştırma, kenar algılama vb görüntü kıvrımlarını uygulamada nesneleri temsil için matrisleri kullanır. Polinom halkası üzerindeki matrisler, kontrol teorisi çalışmasında önemlidir.

Kimya'da özellikle kuantum teorisi moleküler bağı ve spektroskopiyi anlatmak için kullanıldığından beri matrisler çeşitli şekillerde kullanılmaktadır. Hartree–Fock yönteminin moleküler orbital'lerini elde etmek için Roothaan denklemlerini çözmek için kullanılan örtüşme matrisi ve Fock matrisi kimyadaki bazı kullanım örnekleridir.

Bir sonlu grafiğin bitişik matrisi, grafik teorisi'nin temel kavramıdır. Grafiğin hangi köşelerinin bir kenarla bağlandığını kaydeder. Yalnızca iki farklı değer içeren matrislere (1 ve 0 sırasıyla "evet" ve "hayır" anlamına gelir) mantıksal matrisler denir.

Mesafe matrisi kenarların mesafeleri hakkında bilgi içerir. Bu kavramlar, hiperlinkler ile bağlanan web sitelerine veya karayolu vb. ile bağlanan şehirlere uygulanabilir bu durumda (bağlantı ağı aşırı derecede yoğun olmadığı sürece) matrisler seyrek olma eğilimindedir yani sıfır olmayan birkaç giriş içerir. Bu nedenle özel uyarlanmış matris algoritmaları ağ teorisinde kullanılabilir.

n > m ise ve Jacobi matrisinin rankı maksimum değeri mye ulaşıyorsa, f bu noktada örtük fonksiyon teoremi ile yerel olarak tersinebilir.

Kısmi diferansiyel denklemler, denklemin en yüksek mertebeden diferansiyel operatörlerinin katsayı matrisi dikkate alınarak sınıflandırılabilir. Eliptik kısmi diferansiyel denklemler için bu matris pozitif tanımlıdır ve söz konusu denklemin olası çözüm kümesi üzerinde belirleyici bir etkiye sahiptir.

Sonlu elemanlar yöntemi, karmaşık fiziksel sistemleri simüle etmede yaygın olarak uygulanan, kısmi diferansiyel denklemleri çözmek için önemli bir sayısal yöntemdir. Parçaların yeterince ince bir ızgaraya göre seçildiği ve bunun da bir matris denklemi olarak yeniden şekillendirilebildiği parçalı lineer fonksiyonlarla bazı denklemlerin çözümüne yaklaşmaya çalışır.