Fonksiyon (matematik)

Fonksiyon, matematikte değişken sayıları girdi olarak kabul edip bunlardan bir çıktı sayısı oluşmasını sağlayan kurallardır. Fonksiyon, 17. yüzyılda matematiğin kavramlarından biri olmuştur. Fizik, mühendislik, mimarlık ve birçok alanda kullanılmaktadır. Galile, Kepler ve Newton hareketlerin araştırılmasında, zaman ve mesafe arasındaki durumu incelemek için fonksiyonlardan faydalanmıştır. Dört işlemden sonra gelen bir işlem türüdür.

fonksiyonuna adı verilirse, verilen bir için 'nin ilişkisini sağlayan tek elemanı olarak gösterilir. Kimi zaman yerine yazıldığı da olur. Yani her için olur. Ayrıca kümesine fonksiyonunun grafiği adı verilir.

ve iki küme ise, 'nın her elemanını bir şekilde 'nin bir ve bir tek elemanıyla ilişkilendirilmiştir. Mesela (gerçel sayılar kümesi), de -3'ten büyük gerçel sayılar kümesi olsun, yani olsun. İlişkilendirme de şöyle yapılmalı: 'nın her elemanını (yani her gerçel sayıyı), o elemanın karesiyle ilişkilendirilmiş olsun. Böylece ilişkilendirmeyi bir formülle tanımlamış olduk. Bu örnekteki ilişkilendirmeyi olarak yazarız, her sayı karesiyle ilişkilendirilmiştir, mesela -3 sayısı 9'la, sayısı 2'yle ilişkilendirilmiştir. İşte 'dan 'ye giden fonksiyon böyle bir şeydir. Fonksiyon sembolüyle ifade edilir. Verilen örnek için yazılır.

yaşamış ya da şu anda yaşayan insanlar kümesi olsun. fonksiyonu her insanı annesine götürsün. Matematiksel olmasa da bu, 'dan 'ya giden bir fonksiyondur, çünkü her insanın bir annesi vardır. Ama her insanı kardeşine götüren bir fonksiyon yoktur çünkü bazı insanların kardeşi olmadığı gibi bazı insanların birden çok kardeşi vardır. Öte yandan, her insanı en büyük kardeşine götüren kural, kardeşi olan insanlar kümesinden kümesine giden bir fonksiyondur.

Yukarıda R ve almış ve fonksiyonu kuralıyla tanımlanmıştı. Şimdi yerine alırsak ve formülü ve kümesini aynı tutarsak, o zaman elde edilen fonksiyonunu gene ile göstermek yanlış olur, çünkü bu iki fonksiyon değişik fonksiyonlardır. 'den 'ye giden ve kare alma kuralıyla tanımlanan fonksiyonu mesela ile gösterilebilir.

Bunun gibi, kümesi değişirse, o zaman fonksiyon da değişir; mesela ise, kare alma kuralı 'dan 'e giden bir fonksiyon tanımlar ve bu fonksiyon, yukarıdakilerle karışmasın diye, ya da ile değil, bir başka sembolle, mesela ile gösterilir.

Yukarıda koyu renkle yazılı kelimeler şu nedenle önemlidir: Bir fonksiyonu, kümesinin her elemanını 'nin bir elemanına götürür, yani 'nın bazı elemanlarını unutmuş olamaz. Mesela, karekök alma kuralı, gerçel sayılar kümesi 'den 'ye giden bir fonksiyon tanımlamaz, çünkü negatif sayıların gerçel sayılarda karekökü yoktur. Ya da (doğal sayılar kümesi) ise, kuralı, 'dan 'ye giden bir fonksiyon tanımlamaz çünkü 'dir ve olmasına karşın sayısı 'de değildir. Öte yandan bu kuralı, 'den tam sayılar kümesi 'ye giden bir fonksiyon tanımlar.

ve fonksiyonlarının birbirine eşit olması için, 1) tanım kümelerinin eşit olması, 2) değer kümelerinin eşit olması ve 3) tanım kümesindeki her için olması gerekmektedir. Bu üç şarttan biri eksikse fonksiyonlar eşit olmaz. (Genellikle liselerde sadece üçüncü şart üzerinde durulur.) Gene de eşitlikte en önemli şart (3) şartıdır. Ardından (1) şartı gelir. (2) şartının gözden kaçtığı olur.

ve iki küme olsun ve olsun. 'nın her elemanını 'nin bu elemanına götüren fonksiyona sabit fonksiyon adı verilir. değerini alan sabit fonksiyonu olarak gösterirsek, o zaman fonksiyonu, her için kuralıyla tanımlanır. Not: ve kümelerinin önemini ortaya çıkarmak istiyorsak, yerine yazmak gerekebilir. Bu fonksiyona "sabit fonksiyonu" adı verilir.

Eğer ise, hangi küme olursa olsun, 'dan 'ye giden bir ve tek fonksiyon vardır: boş fonksiyon. Pek de önemli olmayan bu olgu, birazdan, fonksiyonun matematiksel tanımı verdiğimizde bariz olacak.

Eğer bir kümeyse, her için Id kuralıyla tanımlanan Id fonksiyonuna 'nın özdeşlik fonksiyonu adı verilir. Özdeşlik fonksiyonu bileşkenin sağdan ve soldan etkisiz elemanıdır.

Bir fonksiyonun varış kümesini de değiştirilebilir: bir fonksiyon olsun. , 'nin görüntü kümesi 'yı altküme olarak içeren herhangi bir küme olsun. O zaman tanım kümesini ve kuralını değiştirmeden yeni bir fonksiyonu elde edilebilir. Bu fonksiyon - daha önceki paragraftaki gibi - özel bir sembolle gösterilmez.

Yukarıdaki yapıştırmayı yapabilmemiz için ve fonksiyonlarının varış kümeleri aynı olmak zorunda değildi. Nitekim, eğer ve iki fonksiyon ise ve bu fonksiyonların kümesinde aldıkları değer eşitse, o zaman üzerinde olan, üzerinde olan bir fonksiyonunu gene tanımlayabiliriz.

Eğer , 'in alt kümeleri kümesiyse, yukarıdaki kuralı, 'ten 'ye giden bir fonksiyon tanımlar. Bu fonksiyonu altküme olma ilişkisine saygı duyar.

Başka bir deyişle, bir bağıntının gönderme olabilmesi için, A kümesindeki herhangi bir ögenin B kümesinden en fazla bir ögeyle eşleşmesi gerekmektedir.

En yaygın tanımlama biçimi, örneklerde görüldüğü gibi sağ tarafı girdilere (parametrelere) dayalı formül, sol tarafı göndermenin ve bağımsız girdilerin belirtildiği bir eşitliktir.