Matematik

Matematikçiler örüntüleri araştırır ve bunları yeni konjektürler formüle etmekte kullanırlar. Bu konjektürlerin doğruluğunu veya yanlışlığını matematiksel ispat yoluyla çözmeye çalışırlar. Matematiksel yapılar gerçek fenomenleri iyi modelize ettiklerinde matematiksel düşünce doğa hakkında tahmin yürütmemizi ve onun iç yüzünü anlamamızı sağlayabilir. Matematik soyutlama ve mantığı kullanarak ve sistemli çalışmayla fiziksel objelerin şekillerini ve hareketlerini saymayı, hesaplamayı ve ölçmeyi mümkün kılar ve böylece gelişir. Pratik matematik yazılı kayıtlardan beri insan etkinliği olagelmiştir. Matematik problemlerinin çözümü için gerekli araştırma yıllarca hatta yüzyıllarca süren bir çaba gerektirebilmektedir.

İlk titiz kayıtlara Yunan matematiğinde rastlanır. (Özellikle Öklid'in Elementler kitabında) Giuseppe Peano (1858-1932), David Hilbert (1862-1943) ve diğerlerinin geç 19 yüzyılda belitsel sistemler üzerine kurdukları çalışmalarından beri matematiksel araştırmada doğruyu kurmanın geleneği değişti. (Artık uygun olarak seçilen aksiyom ve tanımlardan titiz bir şekilde tümdengelim yapılmaktadır.) Matematik Rönesans'a kadar görece yavaş gelişti. Sonra matematikteki yenilikler diğer yeni bilimsel keșiflerle etkileșerek matematiksel keșiflerde günümüzde hâlâ devam eden hızlı bir artış sağladı.

Galileo Galilei (1564-1642) "Kainat dediğimiz kitap, yazıldığı dil ve harfler öğrenilmedikçe anlaşılamaz. O, matematik dilinde yazılmış; harfleri üçgen, daire ve diğer geometrik şekillerdir. Bu dil ve harfler olmaksızın kitabın tek bir kelimesinin anlaşılmasına olanak yoktur. Bunlar olmaksızın yapılan karanlık bir labirentte amaçsızca dolaşmaktır." Carl Friedrich Gauss (1777-1855) matematiği bilimlerin kraliçesine benzetmiştir. Benjamin Peirce (1809-1880) matematik için bilimlerin sonuçlarının çizilmesi için gereken bilim demiştir. David Hilbert "Biz burada gelişigüzel konuşmayız. Matematik şart koşulan rastgele kuralların olduğu bir oyun gibi değildir. O yalnızca içsel gerekliliğin olduğu kavramsal bir sistemdir, aksi hiçbir şey değil." Albert Einstein (1879-1955), "Matematik kesin olduğunda gerçeği yansıtmaz, gerçeği yansıttığında kesin değildir." Fransız matematikçi Claire Voisin, "Matematikte yaratıcı itki, her yerinde kendini ifade etmeyi denemesidir." der.

Matematik dünya genelinde doğa bilimleri, mühendislik, teknoloji ve maliye gibi birçok alanın temel aracıdır. Uygulamalı matematik, matematiksel bilginin diğer alanlara uygulanmasıyla ilgilidir. Bu uygulamalar sayesinde istatistik ve oyun teorisi gibi tamamıyla yeni matematik disiplinleri doğmuştur. Ayrıca matematikçiler soyut matematikle akıllarında herhangi bir kullanım olmadan da yalnızca matematik yapmak için uğraşırlar. Soyut matematikle uygulamalı matematiği ayıran belirgin bir çizgi yoktur. Soyut matematikteki keşifler sıklıkla pratik matematik uygulamalarının başlatıcısı olurlar.

Antik Yunanca kelimesi matematik kelimesinin köküdür ve bilirim anlamına gelmektedir. Daha sonradan sırasıyla bilim, bilgi ve öğrenme gibi anlamlara gelen (máthema) kelimesinden türemiştir. (mathematikós) öğrenmekten hoşlanan anlamına gelir. Osmanlı Türkçesinde ise "riyaziye" denilmiştir. Matematik kelimesi Türkçeye kelimesinden gelmiştir.

Matematik, bilimde olduğu kadar günlük hayatta da bir insanın sık sık karşısına çıkar. Matematik, temeli mantığa dayanan bir sistemdir ve zihni geliştiren bir araç olarak kişiye rasyonel bakış açısı kazandırır. Kişiye özgür ve ön yargısız bir düşünce ortamı yaratır. İnsanın sistemli, mantıklı, tutarlı düşünmesini sağlar. Bu yüzden matematik dersi ilköğretimden yükseköğretim programlarına kadar her alanda yer alır. İlköğretimde ortaöğretime hazırlık olarak, ortaöğretimde yükseköğretime hazırlık olarak matematik öğretimi yapılır.

Rönesans'tan önce matematik iki ana alana ayrılıyordu: sayıların işlenmesiyle ilgili olarak aritmetik ve şekillerin incelenmesiyle ilgili olarak geometri. Nümeroloji ve astroloji gibi bazı sahte bilim türleri, o zamanlar matematikten açıkça ayırt edilmiyordu.

Rönesans sırasında iki alan daha ortaya çıktı. Matematiksel gösterim, kabaca formüllerin çalışılmasından ve işlenmesinden oluşan cebir'e yol açtı. Sonsuz küçükler hesabı ve integral hesabı olmak üzere iki alt alandan oluşan Kalkülüs, değişkenler ile temsil edildiği şekliyle değişen nicelikler arasındaki tipik doğrusal olmayan ilişkileri modelleyen sürekli fonksiyonlar çalışmasıdır. Aritmetik, geometri, cebir, hesap olmak üzere dört ana alana bölünme 19. yüzyılın sonuna kadar sürdü. Ardından Gök mekaniği ve katı mekaniği gibi alanlar matematikçiler tarafından incelendi ancak artık bunlar fiziğin konularıdır. Kombinatorik konusu kayıtlı tarihin büyük bir bölümünde çalışıldı ancak on yedinci yüzyıla kadar ayrı bir matematik dalı haline gelmedi.

2020 Matematik Konu Sınıflandırması en az altmış üç birinci düzey alan içerir. Bu alanlardan bazıları sayı teorisi (yüksek aritmetik'in modern adı) ve geometri ile ilgili olduğu gibi eski bölüme karşılık gelir. Diğer bazı birinci seviye alan adlarında "geometri" vardır veya genellikle geometrinin parçası olarak kabul edilirler. Cebir ve hesap, birinci düzey seviye olarak görülmez ama birkaç birinci seviye alanına ayrılır. Matematiksel mantık ve temeller gibi diğer birinci seviye alanlar 20. yüzyılda ortaya çıktı veya daha önce matematik olarak kabul edilmemişlerdi.

Diferansiyel denklemler ve sayısal analiz teknikleri uçak ve motor modellemelerinde, uydu yapımında ve daha genel olarak dinamik sistemlerin değişimlerinin ölçümünde kullanılır.

Fraktallar, anten teknolojisinde hacmi küçük, yüzey alanı büyük antenlerin yapımında kullanılır. Ayrıca fraktal geometri, canlılarda kılcal damarların düzeni ve kanın akışının izahında kullanılır.

Fourier analizi ve teknikleri, iletişim ağlarında verinin çok uzak mesafelere gönderilebilmesi ve kaybın en az olması için kullanılır. Ayrıca, Fourier teknikleri resim, video ve dijital müziğin sıkıştırılmasında kullanılır.

Cebirsel topolojinin bir alt dalı olan uygulamalı homoloji, dijital verinin matematiksel topolojisini belirlemek için kullanılır. Buna en iyi örnek, uzak gezegenlerin fotoğraflarından gezegen yüzeyinin coğrafyasının belirlenmesidir.

Graf teorisi, veri tabanının topolojik ve kombinatorik olarak incelenmesinde kullanılır. Örnek olarak, bir ülkedeki hastanelerin bulundukları yer ile aralarındaki uzaklıkların ideal olup olmadığının belirlenmesini verebiliriz. Bir başka örnek ise internet sitelerinin dağılımlarının incelenmesidir.

Eskiden sayı teorisine aritmetik denirdi ancak günümüzde bu terim çoğunlukla sayısal hesaplamalar için kullanılır. Sayı teorisinin kökeni eski Babil ve muhtemelen Çin'e dayanmaktadır. Önde gelen ilk sayı teorisyenleri Öklid ve Diophantus idi. Sayı teorisinin soyut biçimindeki modern çalışması büyük ölçüde Pierre de Fermat ve Leonhard Euler'e atfedilir. Alan, Adrien-Marie Legendre ve Carl Friedrich Gauss'un katkılarıyla meyvesini verdi.

Başka bir örnek, 2'den büyük her çift tam sayının iki asal sayı'nın toplamı olduğunu öne süren Goldbach hipotezi'dir. 1742'de Christian Goldbach tarafından ifade edilen, büyük çabalara rağmen bugüne kadar kanıtlanmamıştır.

Sayı teorisi, analitik sayı teorisi, cebirsel sayı teorisi, sayıların geometrisi (yöntem yönelimli), diophantine denklemleri ve aşkınlık teorisi dahil olmak üzere birçok alt alanı içerir.

Geometri, matematiğin en eski dallarından biridir. Doğrular, açılar ve daireler gibi şekillerle ilgili ampirik tariflerle başladı ve esasen yerölçümünün ve mimari'nin ihtiyaçları için geliştirildi ancak o zamandan beri diğer birçok alt alana yayıldı.

Temel yenilik eski Yunanlar tarafından kanıtlar kavramının getirilmesiydi ve her iddianın "kanıtlanması" gerekliliği vardı. Örneğin iki uzunluğun eşit olduğunu ölçerek doğrulamak yeterli değildir. Uzunlukların eşit olup olmadıkları önceden kabul edilmiş sonuçlardan (teoremler) ve birkaç temel ifadeden çıkarım yapılarak kanıtlanmalıdır. Temel ifadeler apaçık anlaşılabilir olduklarından (varsayımlar) veya çalışma konusu tanımın parçası olduklarından (aksiyomlar) ispata tabi değildirler. Tüm matematiğin temelini oluşturan bu ilke ilk olarak geometri için geliştirildi ve Öklid tarafından MÖ 300 civarında Elementler adlı kitabında sistemleştirildi.

Ortaya çıkan Öklid geometrisi Öklid düzleminde (düzlem geometrisi) ve üç boyutlu Öklid uzayındaki çizgilerden, düzlemlerden ve dairelerden inşa edilmiş şekillerin ve düzenlemelerinin incelenmesidir.

Öklid geometrisi, René Descartes'ın Kartezyen koordinatları tanıttığı 17. yüzyıla kadar yöntem veya kapsam değişikliği olmadan geliştirildi. Bu büyük bir paradigma değişikliği idi. Çünkü gerçek sayıları doğru parçalarının uzunlukları olarak tanımlamak yerine (bkz. sayı doğrusu), noktaların koordinatlarını (sayılar) kullanarak temsiline imkan verdi. Bu, kişinin geometrik problemleri çözmek için cebiri (ve daha sonra kalkülüsü veya hesabı) kullanmasına imkan verir. Bu, geometriyi iki yeni alt alana ayırdı: tamamen geometrik yöntemler kullanan sentetik geometri ve sistematik olarak koordinatları kullanan analitik geometri.

Analitik geometri, daireler ve doğrularla ilgili olmayan eğrilerin çalışılmasına izin verir. Bu tür eğriler fonksiyonların grafiği olarak tanımlanabilir (çalışması diferansiyel geometri'ye yol açtı). Ayrıca kapalı denklemler, genellikle cebirsel denklemleri (cebirsel geometri'yi doğuran) olarak da tanımlanabilir. Analitik geometri ayrıca üç boyuttan daha yüksek Öklid uzaylarını dikkate almayı mümkün kılar.

19. yüzyılda matematikçiler, paralel varsayımı izlemeyen Öklid dışı geometrileri keşfettiler. Bu varsayımın doğruluğunu sorgulayarak, bu keşfin Matematiğin temellerini ortaya çıkarmada Russel paradoksu ile birleştiği görüldü. Krizin bu yönü, aksiyomatik yöntemi sistematik hale getirerek ve seçilen aksiyomların doğruluğunun matematiksel bir problem olmadığını benimseyerek çözüldü. Buna karşılık aksiyomatik yöntem ya aksiyomları değiştirerek ya da uzay'ın belirli dönüşümleri altında değişmez olan özellikleri dikkate alarak elde edilen çeşitli geometrilerin incelenmesine imkan verir.

16. yüzyılda Girard Desargues tarafından tanıtılan Projektif geometri, paralel çizgiler'in kesiştiği sonsuzda noktalar ekleyerek Öklid geometrisini büyütür. Bu, kesişen ve paralel çizgiler için işlemleri birleştirerek klasik geometrinin birçok yönünü kolaylaştırır.