Topolojik kusur

Matematik ve fizikte bir topolojik çözüm veya topolojik kusur, kısmi diferansiyel eşitliklerinin bir sisteminin veya kuantum alan teorisinin boşluk çözümünden homotopik olarak farklı olan bir çözümüdür; var olduğu ispatlanabilir çünkü sınır şartları homotopik olarak farklı çözümlerin varlığını gerektirir. Tipik olarak bu diferansiyel eşitliklerde muhafaza edilen önemsiz olmayan homotopi gruplarının belirtildiği sınır şartları altında oluşur; diferansiyel eşitliklere çözümler topolojik fark olur ve homotopi sınıflarına göre sınıflandırılırlar. Topolojik kusurlar yalnızca küçük karışıklıklar karşısına kararlı değildir, ancak kesin olarak çürütemez veya geri alamaz çünkü onları tekdüze ya da “önemsiz” bir çözüme yönelik olarak haritalandıracak sürekli dönüşüm yoktur.

Örnekler tam olarak çözünebilen modellerin birçoğunda oluşan çözelti veya tek dalgayı, kristal yapılı maddelerde vidadislokasyonunu, skyrmion ve kuantum alan teorisinde Wess-Zumino-Witten modelini içerir.

Topolojik kusurların yoğunlaşmış madde fiziğinde faz geçişini yönlendirdiğine inanılır. Topolojik kusurların dikkate değer örnekleri sıvı kristallerde vida/kenar dislokasyonu, süperiletkenlerde manyetik akı tüpleri ve süperakışkanlardaki girdapları içeren lambda geçişi yaygınlık sınıf sistemlerinde gözlemlenmiştir.

Bir topolojik kusurun güvenilirliği sistemin sonsuz zaman geçtikten sonra eğilimli olacağı boşluğun gerçekliğine bağlıdır; doğru ve yanlış topolojik kusurlar kusurun yanlış bir boşlukta veya doğru bir boşlukta olmasına göre ayırt edilebilir.

Belirli büyük birleşim kuramı topolojik kusurların eski evrende oluştuğunu tahmin eder. Big Bang teorisine göre evren yoğun durum yoğunlaşmış madde sistemlerine çok benzer şekilde bir faz geçişi serisini tetikleyerek anlık bir sıcaklıktan soğumuştur.

Fiziksel kozmolojide, bir topolojik kusur sıklıkla maddenin bazı teoriler tarafından en eski evrende faz geçişlerinde oluştuğu tahmin edilen kararlı bir konfigürasyondur.

Simetri arızasının doğasına bağlı olarak Kibble-Zurek mekanizmasına göre erken evrende çeşitli çözümlerin oluştuğuna inanılmaktadır. İyi bilinen topolojik kusurlar manyetik monopoller, kozmik diziler, alan duvarları, skyrmionlar ve dokulardır.

Evrenin genişleyip soğumasından, fizik kurallarındaki simetriler ışık hızında yayılan bölgelerde bozulmaya başlamıştır; topolojik kusurlar farklı bölgeler birbiri ile temas ettiğinde oluşur. Bu kusurlarda madde yeni asimetrik faza geçiş tamamlandıktan sonra decam eden orijinal simetrik fazdadır.

Alan duvarları, bir ayrık simetri faz geçişi esnasında bozulduğunda oluşan iki boyutlu zarlardır. Bu duvarlar evreni ayrık hücrelere bölen kapalı hücre köpüğünün duvarlarına benzer .

Monopoller, küresel bir simetri bozulduğunda oluşan küp şeklinde kusurlardır ve kuzey ve güney şeklinde manyetik yüke sahip oldukları tahmin edilmektedir (böylelikle manyetik monopoller olarak da anlandırılırlar).

Dokular, daha büyük ve karmaşık simetri grupları bozulduğunda oluşur. Diğer kusurlar gibi lokalize değildirler ve kararsızdırlar. Bu kusur çeşidinin diğer daha karmaşık melezleri de mümkündür.

Topolojik kusurlar (kozmolojik türün) aşırı derecede yüksek enerji olgularıdır ve Dünyadaki fizik deneylerinde üretilmeleri imkânsız gibidir, ancak evrenin oluşumunda meydana gelen topolojik kusurlar teorik olarak gözlemlenebilir.

Herhangi bir topolojik kusur astronomlar tarafından henüz gözlenememiştir, halbuki belirli çeşitleri şu anki gözlemlerle uygun değildir; bilhassa eğer alan duvarları ve monopoller gözlemlenebilen evrende mevcut olsaydı astronomların gördüklerinden büyük sapmalara yol açarlardı. Bu gözlemler sonucu gözlemlenebilir evren içinde bu yapıların oluşumu oldukça kısıtlıdır ve özel şartlar gerektirir (bkz.enflasyon). Diğer taraftan kozmik serilerin yoğunlaşmış madde evreninin büyük ölçekli yapısının etrafında anlık yer çekimini sağladığı öne sürülmüştür. Dokular da benzer şekilde iyi huyludur. 2007’nin sonlarında kozmik mikrodalga arka planında soğuk bir nokta o yönde olan dokunun varlığına bir işaret olarak yorumlanmıştır.

Yoğun madde fiziğinde homotopi gruplarının teorisi düzenli sistemlerde kusurların tanım ve sınıflandırılmasına doğal bir düzenleme sağlar. Topolojik methodlar yoğun madde teorisinin birşok probleminde kullanılmaktadır. Poénaru ve Toulouse bir doğrunun karmaşıklık olmadan birbiri içinde olabilen sıvı kristallerdeki kusur şartlarını elde etmek için topolojik methodaları kullanmıştır. Bu topolojinin, süperakışkan helyum-3 ün A- fazındaki tuhaf hidrodinamik davranışının keşfine yol açan önemsiz olmayan bir uygulamasıydı.

Düzenli bir ortam uzayın bölgedeki her noktaya bir sıra parametresi veren bir fonksiyon f(r) tarafından ifade edilen bir bölge olarak tanımlanır ve düzen parametreli uzayın muhtemel değerleri düzen parametreli bir uzay oluşturur. Kusurların homotopi teorisi topolojik kusurların bir ortamdaki varlığı, kararlılığı ve sınıflandırmalarını tartışmak için o ortamın düzen parametreli uzayınının temel grubunu kullanır.

R nin bir ortam için düzen parametre uzayı olduğunu ve G nin R üzerindeki dönüşümlerin bir Lie grubu olduğunu varsayalım. H nin de ortam için G nin bir simetri altgrubu olduğunu varsayalım . Böylelikle düzen parametre uzayı Lie grubu bölmesi olarak R=G/H şeklinde yazılabilir.

Ortamdaki çeşitli türlerde kusurlar düzen parametreli uzayın çeşitli homotopi gruplarının birimleri tarafından karakterize edilebilir. Örneğin (3 boyutta) doğru kusurları π1 (R) elementlerinin yerine geçer ve sürekli olarak birbiri ile deforme olabilirler ve böylece kusurlar farklı eşlenik sınıflarına karşılık gelir.

Homotopi teorisi topolojik kusurların kararlılığıyla (sabit olmasıyla) derinden ilgilidir. Doğru bozulması durumunda, eğer kapalı yol sürekli olarak bir noktaya deforme olabiliyorsa kusur sabit değildir, diğer türlü ise sabittir.

Kozmoloji ve alan teorisindekinin aksine, yoğun maddedeki topolojik kusurlar deneysel olarak gözlemlenebilir. Ferro-manyetik maddeler alan duvarları tarafından ayrılan manyetik hiza bölgelerine sahiptir. Nematik ve iki eksenli nematik sıvı kristalleri monopolleri, dizileri dokuları vs. içeren türlü kusurlar gösterirler. Kusurlar ayrıca biyokimyada özellikle protein katlama işleminde bulunabilir.