Kesirli analiz

Kesirli analiz, matematiksel analiz'in bir koludur. Kesirli analiz, D = d/dx ile gösterilen türev işlemcisi'nin ve J ile gösterilen integrasyon işlemcisi'nin kuvvetlerinin reel sayı veya karmaşık sayı değerler olabilme olanaklarını inceler.

Bu bağlamda bir üst cümlede kullanılan kuvvetleri terimi, doğrusal bir operatörün bir fonksiyona f 2(x) = f(f(x)) şeklinde peşpeşe uygulanmasını ifade eder.

Kesirli türevde diğer bir önemli nokta ise bir x noktasının tam sayı olmasının yalnızca yerel özellik olduğu; tam sayı olmayan durumlarda ise bir şekilde,tam sayı-kuvvet türev yapacak şekilde x a çok yakın f'in değerlerine bağlı bir f fonksiyonunun x'teki kesirli türevleri olduğunu söyleyemeyiz. Bu nedenle teorinin fonksiyon hakkında daha ileri bilgi içeren, sınır koşullarının bazı çeşitlerini içermesi beklenmektedir.

Bir mecaz kullanmak gerekirse kesirli türev, at gözlüklerini çıkartmayı gerektirir. Bildiğimiz kadarıyla böyle bir teorinin varlığı için ilk olarak, konunun temelleri Liouvillenin 1832'deki notlarında atılmıştır.

Gerçek n için bir genelleme basit bir yol içinde yer alır. Faktöriyel fonksiyonunun gamma işlevini kullanarak ayrık doğasını ortadan kaldırmak bize integral işlemcinin kesirli uygulamaları için doğal bir aday verir.

Bu ilişkililiğe kesirli diferintegral operatörlerin yarı grup özelliği denir. Ne yazık ki türev operatörü D için karşılaştırılabilir süreç çok daha karmaşık, ancak gösterilebilir ki D genel içinde ne değişmeli ne de eklemelidir.

Kesirli analizin klasik formu Riemann–Liouville integrali tarafından veriliyor, bu esasen yukarıda tanımlanmıştır. Teori periyodik fonksiyonlar için (bir periyod sonra yinelenen 'sinir değerler' içerir) Weyl integralidir. Bu Fourier serisi üzerinde tanımlanıyor ve Fourier katsayılarının kaybolması gereklidir (böylece, 0 için birim çember üzerindeki fonksiyonlar integrallerin evrimi için uygulanıyor).

Kesirli türevleri hesaplamak için başka bir seçenek;1967 makalesinde M. Caputo tarafından tanıtılan Caputo kesirli türevidir. Caputo'nun tanımlaması kullanılarak diferansiyel denklem çözerken Riemann Liouville kesirli türev aksine, bu kesirli mertebeden başlangıç koşullarını tanımlamaya gerek yoktur. Aşağıdaki gibi Caputo tanımı gösterilmiştir.

Bu denklemin, heterojen gözenekli ortam içinde kirletici akışı modellemek için kullanışlı olduğu gösterilmiştir.Benson, D., Wheatcraft, S., Meerschaert, M., (2000). "The fractional-order governing equation of Lévy motion." Water Resources Res 36, 1413–1423.

Karmaşık ortamda anormal difüzyon süreçleri kesirli-dereceli difüzyon denklem modelleri kullanılarak karakterize edilebilir.Chen, W., Sun, H.G., Zhang, X., Korosak, D., (2010). "Anomalous diffusion modeling by fractal and fractional derivatives." Computers and Mathematics with Applications, 59(5), 1754-1758. Zaman türevi terimi uzun süre ağır kuyruk çürümesi ve yerel olmayan difüzyon için uzay türevine karşılık gelir. Uzay-zaman kesirli difüzyon yönetim denklemi olarak yazılabilir.

Kesirli türevin basit bir uzantısı değişken dereceli kesirli türev, α, β ifadeleri α(x, t), β(x, t) içinde değişir. Anormal difüzyon modelleme uygulamaları için kaynak bulunabilir.

Ayrıca buradaki referanslara bakınız. Bu tür modeller birden fazla gevşeme fenomeni ölçülen karmaşık ortamlarda zayıflama doğuran, yaygın olarak tanınan hipotez ile bağlantılıdır. Bu bağlantı ayrıca içindeki tanım ve araştırma makalesinde, akustik zayıflamada ayrıca yazılıdır.

burada dalga fonksiyonu denkleminin çözümü olması için verilen bir durum vektörüne ψ(r, t) - kuantum mekaniksel parçacık için r olasılık genliği var t herhangi verilen zaman ve ħ indirgenmiş Planck sabitidir.Potansiyel enerji fonksiyonu sistemi üzerinden V(r, t) bağımlıdır.