Ewald toplamı

Ewald toplamı, ismini Paul Peter Ewald’dan alır, periyodik sistemlerin, özellikle elektrostatik enerjilerin, etkileşim enerjilerini hesaplayan bir yöntemdir. Ewald toplamı Poisson toplam formülünde gerçek uzaydaki etkileşim enerjilerinin Fourier uzayındaki denk bir toplam ile değiştirilmiş toplam formülünün özel bir halidir. Bu yöntemin avantajı gerçek uzaydaki etkileşimler uzun mesafeli olduğunda Fourier uzayındaki toplamın hızlı yakınsıyor olmasıdır. Elektrostatik enerjiler kısa ve uzun mesafeli etkileşimlerden oluştukları için en verimli hesaplama etkileşim potansiyeli gerçek uzayda kısa mesafeli etkileşim toplamı ve Fourier uzayında uzun mesafeli etkileşim toplamı olarak iki parçaya ayrıldığında gerçekleşir.

burada gerçek uzaydaki kısa mesafe terimine karşılık gelirken Fourier uzayındaki uzun mesafe terimine karşılık gelir. Uzun mesafe terimi tüm argümanlar için sonlu olmalıdır; ama yine de tutarlı herhangi bir matematiksel yapı da gösterebilir, örneğin Gauss dağılımı. Bu yöntem kısa mesafe teriminin kolayca toplanabileceğini kabul eder; bu yüzden problem doğrudan uzun mesafe teriminin hesaplanması problemine dönüşür. Fourier toplamının faydasından dolayı bu yöntem dolaylı olarak üzerinde çalışıldığı sistemin sonsuz periyodik olduğunu kabul eder. Bu varsayımsal sistemin tekrar eden birimlerine birim hücre denir. Bu hücrelerden bir tanesi referans olarak merkezi hücre olarak, diğerleri de görüntüler olarak adlandırılır.

Burada Dirac delta fonksionu, , ve ağ vektörleri ve , and tam sayı değeri alan değişkenlerdir. Toplam alan ağ fonksiyonu ile birlikte nin bir evrişimi olarak gösterilebilir.

En önemli sonuç budur. hesaplandığı zaman, üzerinden toplam/integral bariz olup hızlı bir şekilde yakınsar. Olası bir ıraksaklığın en genel sebebi birim hücrenin iyi tanımlı olmamasından kaynaklanır.

Ewald toplamı bilgisayar kullanımının gelişmesinden çok önce teorik fizik aracı olarak geliştirildi. Öte yandan Ewald yönteminin parçacık sistmlerindeki en yaygın kullanımı 1970 yıllarına denk gelir. Uygulama alanları arasında plazma fiziği, galaksiler ve moleküller sayılabilir.

burada ve potansiyel ve yük yoğunluğunun Fourier dönüşümlerini temsil etmektedir. İki toplamda kendi uzaylarında hızlı bir şekilde yakınsadıklarından hesaplamada vakit kazanmak adına baştaki sonlu sayıdaki terimi alınabilir. Yük yoğunluğu alanının Fourier dönüşümünü hesaplamak için Hızlı Fourier transformu kullanılabilir. Bunun yapılabilmesi iin yoğunluk alanının kesikli bir uzayda tanımlanması gerekir.

Ewald toplamındaki periyodiklik varsayımından dolayı bu yöntemin uygulanabildiği fiziksel sistemlerde bu periyodik özellikle sınırlıdır. Böylece bu yöntem uzaysal dağılımı sonsuza kadar uzandığı varsayılabilecek periyodik sistemlerde en iyi çalışır. Molekül dinamiği simülasyonlarında bu şart sonsuz kere görüntü oluşturabilecek yüksüz birim hücrelerin oluşturulmasıyla sağlanabilir. Düzeltmelerle beraber toplam etkiye periyodik sınır koşulları denir. Bu durum en iyi şu şekilde düşünülebilir. Bir birim küp alalım. Öyle ki karşılıklı yüzeyler birbirleri ile etkili bir biçimde temas halinde olsun. Kübün boyutları öyle seçilmelidir ki küp karşılıklı yüzeylerde oluşabilecek istenmeyen bağıntıları engelleyecek kadar geniş ve hesaplamaya uygun olacak kadar küçük olsun.

Bir yoğunluk alanının ağa sınırlandırılması yoğunluğu sürekli değişen sistemler için bu yöntemi daha kullanışlı hale getirir. Bu durumu sağlamayan sistemler Greengard ve Rokhlin yöntemiyle daha etkili çözümlenebilir.

Küresel hesaba göre farklı bir değere yakınsar. Kabaca söylemek gerekirse bu şartlı yakınsaklık başlıca üç sebepten kaynaklanır: (1) yarıçaplı bir küre kabuğu içerisindeki etkileşen dipol sayısı ile artar, (2) bir dipol-dipol etkileşimi ile azalır, ve (3) ıraksaktır.

burada ve sırasıyla net dipol momentine ve birim hücrenin hacmine, cristal yüzeyindeki sonsuz küçük alana ve merkezi birim hücrenin alan vektörüne karşılık gelmektedir. Bu formül tarafından kaynaklanan enerjisinin integrasyonundan gelir.

Genel olarak farklı Ewald toplamı teklikleri farklı zaman karışıklıkları verir. Doğrudan hesaplama değerini verir. Burada sistemdeki atom sayısıdır. PME yöntemi verir.