Kolmogorov-Smirnov sınaması

İstatistik bilim dalında, Kolmogorov-Smirnov (K-S) sınaması parametrik olmayan istatistik olup Andrey Kolmogorov ve Nikolai Smirnov adlarındaki iki Sovyet bilim insanı tarafından oluşturulmuştur.

Tek örneklem K-S sınaması: Hedef, verilmiş olan bir deneysel olasılık dağılımı gösteren örneklem verilerinin, dağılım parametreleri tam olarak bilinen tam tanımlanmış bir teorik anakitle olasılık dağılımına uyum gösterip göstermediğini sınamak. Bu tip problemde sıfır hipotez Ho örneklem verilerin deneysel dağılımının tam tanımlanmış bir anakitle olasılık dağılımından gelmiş olduğudur.

İki örneklem K-S sınaması: Hedef, verilmiş iki tane değişik deneysel olasılık dağılımı gösteren iki örneklem veri serisinin aynı tek bir teorik anakitle olasılık dağılımından gelip gelmediğini sınamak. Bu tip problemde sıfır hipotez Ho ise iki örneklem verilerin deneysel dağılımlarının tek bir anakitle olasılık dağılımından gelmiş olduğudur.

Tek örneklem K-S sınaması çok popüler olarak olarak bir normallik sınaması olarak, yani örneklem verilerinin tanımlanmış bir anakitle normal olasılık dağılımına uyumluluk gösterip göstermemesini sınamak için kullanılır. Örneklem verileri standardize edilerek (yani her bir veri değerinden teorik anakitle olasılığı için verilmiş ortalama çıkartıp sonucu verilmiş teorik yığın varyansına bölerek) elde edilen normalize veriler standart normal dağılım ile karşılaştırılır. Fakat bu türlü dönüşüm yapmanın sınamanın gücünü azalttığı ispat edilmiştir. Bu taraflılığın düzeltilmesi Lilliefors sınamasını ortaya çıkartır. Fakat, Anderson-Darling sınaması veya Shapiro-Wilk sınaması normallik sınaması olarak hem Lilliefors sınaması hem de K-S tek örneklem normallık sınamasından daha güçlüdür. K-S tek örneklem sınaması, gözlenen ve beklenen kümülatif frekans dağılış arasındaki mutlak farklılıklar dikkate alınarak geliştirilmiştir. Örneklem hacmi küçük olduğu için ki-kare sınaması uygulanamadığı durumlarda Kolmogorov-Simirnov testi kullanılabilir.

"İki örneklem K-S sınaması" hem genel olarak uygulanabilen hem de çok kullanışlı olan bir "parametrik olmayan sınama" yöntemidir çünkü bu sınama hem konum hem de dağılım şekline duyarlıdır ve bu türlü problem çözümü için popüler olarak kullanılır.

verileri ile bulunursa, yukarıda verilen kritik değerler uygun değildir. Bu hallerde Monte Carlo simülasyon yöntemi veya benzer sayısal yöntemler kullanılması gerekir. Ama bazı haller için özel tablolar kurulmuştur. Pearson ve Hartley (1957) Tablo 54de normal dağılım ve tekdüze dağılım için kritik değerleri ve test istatistiğini vermektedir.

Örnek verilerini vermek ve K-S sınamalarını uygulamak için "R" adı altında hazırlanmış olan ve standart olarak uygulanan ve telif hakkı gerektirmeyen serbest kullanılma hakları verilmiş bir istatistik yazılım paketi kullanılacaktır.

X veri serisi için 50 gözlem üretilmiştir ve bunların (ortalaması 0 ve varyansı 1 olan) bir standart normal dağılıma sahip olarak (R yazılım paketi için X ← rnorm(50) komutası ile) simülasyonla elde edilmişlerdir.

Y veri serisi için 40 gözlem standart normal dağılıma sahip olarak (R yazılım paketi için Y ← rnorm(40) komutası ile) simülasyonla elde edilmişlerdir.

Z veri serisi için 30 gözlem (0 ile 1 arasında) sürekli tekdüze dağılıma sahip olarak (R yazılımı icin Y ← runif(30) komutası ile) simülasyonla elde edilmişlerdir.

Bu sınama için alternatif hipotezde pozitif bir dağılım ifadesi bulunmaz ve anakitle dağılımının ne olmadığına dair negatif bir hipotezdir. Tek örneklem K-S sınaması iki-kuyruklu testtir.

Burada 0.5551 olarak hesaplanan D istatistiğine tekabül eden kritik sınır p-değeri 1.033x10−14 çok küçük bir değerdir. Bu p-değeri istatistikçilerin kullandığı %5 veya %1'den çok daha küçük olduğundan reddetme alanındır. Bu nedenle X veri serisinin bir (0-1) arasında tekdüze dağılımlı anakitleden gelmediği sonucuna varılması gerekir. Ama görüldüğü gibi sıfır hipotez reddedildiği zaman X veri serisinin hangi anakitle dağılımından geldiği bilinmez. Onun için yeni bir hipotez kurmak ve yeni bir sınama yapmak gerekir.

Burada hesaplanan D istatistiğe tekabül eden kritik sınır p-değeri 0.8586 yani %85den daha büyüktür. Bu p-değeri istatistikçilerin kullandığı %5 veya %1'den çok büyük olduğu için kritik p-değeri kabul edilme alanındadır ve bu sıfır hipotez red edilemez. Bu nedenle X veri serisinin bir standart normal anakitleden geldiği sonucuna varılır.

Burada bulunan D istatistiği 0.135 olup buna tekabül eden kritik sınır p-değeri 0.7652. Bu p-değeri istatistikçilerce kullanılan 0.05 veya 0.01 değerlerinden çok büyüktür ve açıkça H0 kabul alanındadır. Sonuç olarak X ve Y serilerinin aynı anakitle dağılımından geldiği kabul edilir.

Bu problemde sorun olarak 50 gözlemli X örneklem veri serisi ile 30 gözlemli Z örneklem veri serisinin aynı anakitle dağılımından mı yoksa değişik anakitle dağılımından mı geldikleri incelensin. Bu "iki örneklem K-S sınaması" için hipotezler şunlardır.

Burada D istatistiği 0.48 olarak hesaplanmıştır ve buna tekabül eden kritik sınır p-değeri 0.0002033 küçük bir değerdir. Bu p-değeri istatistikçilerin kullandığı %5 veya %1'den çok daha küçük olduğundan reddetme alanındadır. Bu nedenle X ve Z örneklem veri serilerinin aynı dağılımlı anakitleden gelmediği sonucuna varılır.

Son örnek problem için 40 gözlemli Y örneklem veri serisi ile 30 gözlemli Z örneklem veri serisinin aynı anakitle dağılımından mı geldikleri incelensin. Bu "iki örneklem K-S sınaması " için hipotezler şunlardır.

Burada 0.55 olarak bulunan D istatistiği ve buna tekabül eden kritik sınır p-değeri 2.889x10−5 küçük değerdir ve p-değeri istatistikçilerin kullandığı %5 veya %1'den çok daha küçük ve reddetme alanındadır. Bu nedenle Y ve Z örneklem veri serilerinin aynı dağılımlı anakitleden gelmediği sonucuna varılır.