Açısal hız

Açısal hız, bir objenin birim zamandaki açısal olarak yer değiştirme miktarına verilen isimdir. Açısal hız vektörel olup bir cismin bir eksen üzerindeki dönüş yönünü ve hızını verir. Açısal hızın SI birimi radyan/saniyedir, ancak başka birimlerde de ölçülebilir (açı/saniye, açı/saat vb.). Açısal hız genellikle omega sembolü (ω, bazen Ω) ile gösterilir. Açısal hızın yönü genellikle dönüş düzlemine diktir ve sağ el kuralı ile bulunabilir.

Bir parçacığın açısal hızı belirlenen bir merkez noktaya göre hesaplanır. Resimde görüldüğü gibi (ɸ ve θ açıları) ve merkez (O) dan (P) noktasına bir çizgi çekilir. Bu işlem sonrasında (v) cismin hızının düzlem üzerinde bileşenleri ortaya çıkar. Eğer karşı bir bileşen yoksa cisim bir çember şeklinde dönmeye başlar.

Yarıçapa bağlı bir hareket parçacığın hareket yönünde herhangi bir değişime yol açmaz bu sebeple açısal hız bulunurken yarıçap yönündeki hareketi hesabımıza katmamıza gerek yoktur. Açısal hızın oluşması bu durumda tamamen dik olan hareketlerden oluşur. İki boyutlu işlemlerde açısal hız (ω): işlemi ile bulunur.

İki boyutlu durumlarda açısal hız tek bir sayı olarak sonuçlanır ve yönü yoktur ancak bir eksen yönü vardır. İki boyutlu hareketlerde açısal hızın işareti bulunduğu eksenin değişmesi ile değişir. Bu değişime eksenlerin yerlerinin değiştirilmesi de eklenebilir, tıpkı x ekseni ve y eksenlerinin değiştirilmesi gibi. Eğer eksenler yer değiştirilmez ve sadece yönler değişirse açısal hızın sadece işareti değişir. Bir elips yörüngesinde ilerleyen üç tür açısal hız mevcuttur: Doğru açısal hız, merkezsiz açısal hız ve ortalama açısal hız.

Belirli bir noktaya göre oluşan dönüşün üç vektörünün, herhangi bir zaman aralığındaki açısal hızları eşit olmalıdır. Bu tür noktalardaki her vektör bir önceki konudaki (hareket eden parçacık) gibi sabit değeri olan vektörlerdir. Bu konu hareket eden parçacığın dönüşüne benzese de, esnemez-katı cisimlerle yakından bağlantılı olduğu için daha önemlidir ve ölçümler için özel araç ve gereçler üretilmiştir. Bir noktaya bağlı dönüşün açısal hızı bulmanın iki yolu vardır bunlar; açısal hız vektörü ve açısal hız gergisidir. Bu iki birim birbirleri ile bağlantılıdır ve birbirlerini bulmada kullanılabilirler.

Genel yaklaşımda, açısal hız vektörlerine yapılan toplam uygulaması hareket bileşimi ile tanımlanabilir. Bir noktaya bağlı dönüşlerde areket bileşimini uygulamak genel tanıma kıyasla daha kolaydır çünkü yapılan işlemler sonucunda ortaya çıkan son matris her zaman dönüş matrisinin bir ürünüdür. Genel durumda toplam değiştirilebilir.

Euler yaptığı araştırmalar ile açısal hızın birimlerinin üç eksen ile çarpının aralarındakş açıların türevine eşit olduğunu kanıtlamıştır. (Bu sonuçlar ayrıca ilk dönüşün temellerini üç birincil euler dönüşü olarak tanımlanmasını sağlar.

bu formüldeki IJK birim vektördür ve hareket eden cisme göre değişir. Bu örnek z-x-z düzenlenmesinin Euler açıları için kullanılması ile bulunmuştur.

Genellikle n-boyutlu uzaydaki açısal hız açısal yer değiştirme gergisinin türevine eşittir. Bu W gergisi n(n-1)/2 bağımsız bileşeni vardır ve bu bileşenler Lie Matematiğinin Lie dönüş gruplarında n-boyutlu iç çarpımında yer alır.

Açısal hız gergisi haritalarında hızlar yer değiştirmelerin vektör düzlemidir. Detaylı incelendiğinde bu vektör düzlemleri Killing vektör düzlemidir ve bir element olan Lie algebra so(3) ün üç boyutlu dönüş gruplarına SO(3) e aittir. SO(3) teki element açısal hız vektörü olarak kabul edilebilir.

Açısal sürat için yazılmış tüm formüller dönüş yapan katı bir cisim içinde geçerlidir. Bu bölümde dönüş yapan sabit cismin bir eksen üzerinde dönmediği kabul edilmiştir. Bu bölümde sabit cismin, rastgele seçilmiş V(t) ile hareket eden bir noktaya göre dönüş yaptığı düşünülmüştür.

Denklemleri oluşturabilmek için katı cismin koordinat sisteminde bir noktaya göre sabit tutulduğu varsayılır, daha sonra bu koordinat düzlemi ve katı cisim arasındaki alan laboratuvar sisteminde incelenir.

Görüldüğü gibi katı bir cisim içerisindeki bir noktanın hızı iki birimde yazılabilir, katı cisim üzerinde belirlenmiş bir noktadaki hız artı açısal hız barındıran vektörel çarpım formülü. Bahsedilen açısal hız O' ve O arasındaki dönüş eksenindeki hızdır.

Esnemez katı cismin rastgele seçilmiş bir nokta etrafında dönüş yaptığını kabul ettik. Bir önceki konuda kanıtladığımız gibi açısal hızın merkeze göre seçilmesinin bir önemi olmadığını göstermiştik. Bu da bize açısal hızın dönüş yapan cismin kendine ait bir özellik olduğunu gösterir.

Eğer seçtiğimiz nokta anlık dönüş ekseni üzerinde bir nokta olur ise, cisim üzerindeki bir noktanın hızı açısal hıza eşit olur. Bunun sebebi anlık dönüş eksenin hızının sıfır olmasıdır. Anlık dönüş eksenine örnek olarak kapı menteşesi verilebilir.