Matematikte teorileri birleştirmek

Tarihte birleşik bir matematik teorisine ulaşmak için çeşitli girişimlerde bulunulmuştur. En büyük matematikçilerden bazıları, tüm konunun tek bir teoriye sığdırılması gerektiği görüşünü dile getirdiler.

Örneğin, cebir ve geometri büyük ölçüde farklı kabul edilirken, mekanik ve matematiksel analiz, 18. yüzyılda, diferansiyel denklem kavramıyla birleştirilen tek bir konuda müşterek biçimde birleştirildi. Şimdi analiz, cebir ve geometriyi ele alıyoruz, ancak mekanik değil, çünkü bunlar öncelikle tümdengelimli biçimsel bilimlerdir, fizik gibi mekanikler ise gözlemlerle ilerlemelidir. Eski anlamda analitik mekanik, şimdi daha yeni manifoldlar teorisine dayanan simplektik topoloji terimleriyle ifade edildiğinden, önemli bir içerik kaybı yoktur.

Teori terimi, matematikte gayri resmi olarak, kendi içinde tutarlı bir tanımlar, aksiyomlar, teoremler, örnekler vb. anlamına gelir. (Örnekler arasında grup teorisi, Galois teorisi, kontrol teorisi ve K-teorisi yer alır.) Özellikle varsayımsal bir çağrışım yoktur. Bu nedenle, birleştirici teori terimi daha çok matematikçilerin eylemlerini incelemek için kullanılan sosyolojik bir terim gibidir. Keşfedilmemiş bir bilimsel bağlantıya benzeyen varsayımsal hiçbir şey varsayılamayabilir. Matematikte, dilbilimdeki Proto-World veya Gaia hipotezi gibi kavramların gerçekten bir akrabası yoktur.

Bununla birlikte, matematik tarihinde, bireysel teorem kümelerinin tek bir birleştirici sonucun özel durumları olduğu veya bir matematik alanı geliştirirken nasıl ilerleyeceğine dair tek bir bakış açısının konunun birçok dalına verimli bir şekilde uygulanabileceği birkaç bölüm olmuştur.

İyi bilinen bir örnek, Descartes ve Fermat gibi matematikçilerin elinde, özel tipteki eğriler ve yüzeyler hakkında, her biri daha sonra aynı teknikler kullanılarak kanıtlanabilen, birçok teoremin cebirsel dilde (daha sonra yeni şekilde) ifade edilebileceğini gösteren analitik geometrinin gelişimiydi. aynı teknikler kullanılarak kanıtlanabilir. Yani, geometrik yorumlar farklı olsa bile teoremler cebirsel olarak çok benzerdi.

1859'da Arthur Cayley, Cayley-Klein metriklerini kullanarak metrik geometrilerin birleştirilmesini başlattı. Daha sonra Felix Klein, Öklid dışı geometri için bir temel sağlamak için bu tür metrikleri kullandı.

1872'de Felix Klein, 19. yüzyılda geliştirilen birçok geometri dalının (afin geometri, projektif geometri, hiperbolik geometri vb.) hepsinin tek tip bir şekilde ele alınabileceğini kaydetti. Bunu, geometrik nesnelerin değişmez olduğu grupları dikkate alarak yaptı. Geometrinin bu birleşimi Erlangen programı adıyla anılır.

Genel açı teorisi, alan'ın değişmez ölçüsü ile birleştirilebilir. Hiperbolik açı alan cinsinden tanımlanır, doğal logaritma ile ilişkilendirilen alana çok yakındır. Dairesel açı, yarıçapı ikinin kareköküne eşit olan bir daireye atıfta bulunulduğunda alan yorumuna da sahiptir. Bu alanlar sırasıyla hiperbolik dönüş ve dairesel dönüş açısından değişmezdir..Bu afin dönüşümler, özel lineer grup SL(2,R) elemanları tarafından gerçekleştirilir. Bu grubun incelenmesi, eğimleri artıran veya azaltan ancak eğim farklılıklarının değişmediği kesme haritalamalarını (shear mappings) ortaya koymaktadır. Eğim farklılıklarına bağlı bir alan olarak da yorumlanan üçüncü bir açı türü, kayma haritasının alan koruması nedeniyle değişmezdir.

20. yüzyılın başlarında, matematiğin birçok bölümü, faydalı aksiyom kümelerini betimleyerek ve ardından sonuçlarını inceleyerek ele alınmaya başlandı. Bu nedenle, örneğin, Kuaternion Derneği tarafından ele alınan "hiper karmaşık sayılar" çalışmaları halka teorisinin dalları olarak aksiyomatik bir temele oturtulmuştur (bu durumda, karmaşık sayılar cismi üzerinde Birleşmeli cebirlerin özel anlamı ile). Bu bağlamda bölüm halkası kavramı en güçlü birleştiricilerden biridir.

Bu, genel bir metodoloji değişikliğiydi, çünkü o zamana kadar uygulamaların ihtiyaçları, matematiğin çoğunun algoritmalar (veya algoritmik olmaya yakın süreçler) aracılığıyla öğretildiği anlamına geliyordu. Aritmetik hala bu şekilde öğretiliyor. Matematiksel mantığın matematiğin bağımsız bir dalı olarak gelişmesine paraleldi. 1930'larda sembolik mantığın kendisi matematiğe yeterince dahil edildi.

Çoğu durumda, incelenen matematiksel nesneler (kanonik olmasa da) kümeler olarak veya daha gayri resmi olarak, toplama işlemi gibi ek yapıya sahip kümeler olarak tanımlanabilir. Küme teorisi artık matematiksel temaların geliştirilmesi için bir ortak dil olarak hizmet vermektedir.

Aksiyomatik gelişimin nedeni, Bourbaki matematikçiler grubu tarafından ciddiyetle ele alındı. En uç noktasına götürüldüğünde, bu tutumun matematiğin en büyük genelliğinde geliştirilmesini talep ettiği düşünülüyordu. Biri en genel aksiyomlardan başladı ve daha sonra örneğin değişmeli halkalar üzerinde modüller ekleyerek ve yalnızca kesinlikle gerekli olduğunda gerçek sayılar üzerinden vektör uzaylarıyla sınırlayarak uzmanlaştı. Uzmanlaşmalar birincil ilgi teoremleri olduğunda bile hikâye bu şekilde ilerledi.

Özellikle, bu bakış açısı, çalışma nesneleri genellikle özel olan veya konunun daha aksiyomatik dallarıyla yalnızca yüzeysel olarak ilişkilendirilebilecek durumlarda bulunan matematik alanlarına (kombinatorik gibi) çok az değer verdi.

Kategori teorisi, başlangıçta 20. yüzyılın ikinci yarısında geliştirilen birleştirici bir matematik teorisidir. Bu açıdan küme teorisine bir alternatif ve tamamlayıcıdır. "Kategorik" bakış açısından anahtar bir tema, matematiğin yalnızca belirli türdeki nesneleri (Lie grupları, Banach uzayları, vb.) değil, aynı zamanda yapılarını koruyan aralarındaki eşlemeleri de gerektirmesidir.

Özellikle bu, matematiksel nesnelerin aynı olarak kabul edilmesinin tam olarak ne anlama geldiğini netleştirir. (Örneğin, tüm eşkenar üçgenler aynı mıdır, yoksa boyut önemli midir?) Saunders Mac Lane, yeterli 'her yerde bulunan' (matematiğin çeşitli dallarında meydana gelen) herhangi bir kavramın, kendi başına tecrit etmeyi ve çalışmayı hak ettiğini öne sürdü. Kategori teorisi bu amaca diğer mevcut yaklaşımlardan tartışmasız daha iyi uyarlanmıştır. Sözde soyut saçmalıklara (abstract nonsense) güvenmenin dezavantajları, somut problemlerde köklerden kopma anlamında belli bir yavanlık ve soyutlamadır. Bununla birlikte, kategori teorisi yöntemleri, birçok alanda (D-modüllerinden kategorik mantığa kadar) kabulde istikrarlı bir şekilde ilerlemiştir.

Daha küçük bir ölçekte, matematiğin iki farklı dalındaki sonuç kümeleri arasındaki benzerlikler, paralellikleri açıklayabilecek birleştirici bir çerçevenin var olup olmadığı sorusunu gündeme getirir. Analitik geometri örneğini daha önce belirtmiştik ve daha genel olarak cebirsel geometri alanı, geometrik nesneler (cebirsel varyeteler veya daha genel olarak şemalar) ile cebirsel nesneler (idealler) arasındaki bağlantıları tamamen geliştirir; Buradaki mihenk taşı sonucu Hilbert'in Nullstellensatz'ıdır ve kabaca konuşursak, iki tür nesne arasında doğal bire bir yazışma olduğunu gösterir.

Diğer teoremleri de aynı ışıkta görebiliriz. Örneğin, Galois teorisinin temel teoremi, bir alanın uzantıları ile alanın Galois grubunun alt grupları arasında bire bir yazışma olduğunu iddia eder. Eliptik eğriler için Taniyama-Shimura varsayımı (şimdi kanıtlanmış durumda), modüler formlar olarak tanımlanan eğriler ile rasyonel sayılar üzerinde tanımlanan eliptik eğriler arasında bire bir yazışma kurar. Bazen Monstrous Moonshine lakaplı bir araştırma alanı, modüler formlar ile Monster olarak bilinen sonlu basit grup arasında bağlantılar geliştirdi ve yalnızca her birinde oldukça sıra dışı olan 196884 sayısının çok doğal bir şekilde ortaya çıkacağına dair sürpriz gözlemle yola çıktı. Langlands programı olarak bilinen başka bir alan da benzer şekilde görünüşte gelişigüzel benzerliklerle (bu durumda, sayı-teorik sonuçlar ve belirli grupların temsilleri arasında) başlar ve her iki sonuç kümesinin de doğal sonuçları olacağı yapıları arar.

İyi bilinen bir örnek, rasyonel sayılar üzerindeki her eliptik eğrinin bir modüler forma çevrilebileceğini (ilişkili L-fonksiyonunu koruyacak şekilde) öneren, şimdi modülerlik teoremi olan Taniyama-Shimura varsayımıdır. Bunu kelimenin tam anlamıyla bir izomorfizmle tanımlamanın zorlukları vardır. Bazı eğrilerin, varsayım formüle edilmeden önce (yaklaşık 1955) hem eliptik eğriler (cins 1'in) hem de modüler eğriler olduğu biliniyordu. Tahminin şaşırtıcı kısmı, cins > 1'in modüler eğrilerinin Jacobian faktörlerine genişletilmesiydi. Varsayım açıklanmadan önce, bu tür rasyonel faktörlerin 'yeterli' olması muhtemelen makul görünmemişti; ve aslında sayısal kanıtlar, tabloların bunu doğrulamaya başladığı 1970'lere kadar çok azdı. Karmaşık çarpmalı eliptik eğriler durumu, 1964'te Shimura tarafından kanıtlandı. Bu varsayım, genel olarak kanıtlanmadan önce on yıllarca geçerliliğini korudu.

Aslında Langlands programı (veya felsefesi) daha çok birleştirici varsayımlar ağına benzer; gerçekten de otomorfik formların genel teorisinin Robert Langlands tarafından tanıtılan L-grupları tarafından düzenlendiğini varsayıyor. L-grubuna göre fonksiyonellik ilkesi, bilinen otomorfik formların kaldırılması türlerine göre çok büyük bir açıklayıcı değere sahiptir (şimdi daha geniş olarak otomorfik temsiller olarak incelenmektedir). Bu teori bir anlamda Taniyama-Shimura varsayımıyla yakından bağlantılı olsa da, varsayımın aslında tam tersi yönde işlediği anlaşılmalıdır. Motifler kategorisinde (çok soyut olarak) yer alan bir nesneyle başlayan otomorfik bir formun varlığını gerektirir.

Bir diğer önemli ilgili nokta, Langlands yaklaşımının, Monstrous Moonshine'ın tetiklediği tüm gelişmeden (Fourier serisi olarak eliptik modüler fonksiyonlar ve Monster grubunun ve diğer sporadik grupların grup temsilleri arasındaki bağlantılar) ayrı durmasıdır. Langlands felsefesi bu araştırma çizgisini ne önceden haber verdi ne de dahil edebildi.

Şimdiye kadar daha az gelişmiş olan ancak matematiğin geniş bir alanını kapsayan başka bir durum, K-teorisinin bazı bölümlerinin varsayımsal temelidir. Artık uzun süredir devam eden bir problem olan Baum-Connes varsayımına, K-teorisinde izomorfizm varsayımları olarak bilinen bir grupta başkaları da katıldı. Bunlar, Farrell-Jones varsayımını ve Bost varsayımnı içerir.