Toplama

Toplama, öğeleri saymanın yanı sıra, somut nesnelere atıfta bulunmadan, tamsayılar, reel sayılar ve karmaşık sayılar gibi sayılar olarak adlandırılan soyutlamalar kullanılarak da tanımlanabilir ve yürütülebilir. Toplama, matematiğin bir dalı olan aritmetiğe aittir. Matematiğin başka bir dalı olan cebirde, vektörler, matrisler, alt uzaylar ve altöbek gibi soyut nesneler üzerinde de toplama yapılabilir.

Toplama işleminin birkaç önemli özelliği vardır. Toplama, değişme özelliğine sahiptir; bu, terimlerin sırasının işlem sonucu için önemli olmadığı anlamına gelir (ör. .) Toplama, birleşme özelliğine de sahiptir; bu, ekleme işleminin sırasının önemli olmadığı anlamındadır (ör. .) 1 sayısının tekrar tekrar eklenmesi, sayı sayma ile aynıdır. 0 sayısının eklenmesi, toplama işleminin sonucunu değiştirmez.

Bu özellik, "değişme yasası" olarak da adlandırılır. Kimi diğer ikili işlemler de değişme özelliğine sahiptir (ör. çarpma); ancak çıkarma ve bölme gibi işlemler de değişmeli değildir.

Toplama işlemi, diğer işlemlerle birlikte kullanıldığında işlem sırası önem kazanabilir. Standart işlem düzeninde toplama, üs alma, kök alma, çarpma ve bölmeden daha az önceliktedir; ancak, çıkarma ile eşit önceliğe sahiptir.

Bu yasa, ilk olarak Brahmagupta'nın Brahmasphutasiddhanta'''sında M.Ö. 628 yılında tanımlanmıştır. Brahmagupta, bu yasayı a nın negatif, pozitif veya sıfır olmasına göre üç ayrı yasa olarak, cebirsel semboller yerine sözcükler kullanarak yapar. Zamanla, Hintli matematikçiler bu kavramı yeniden tanımlar; 830 senesinde Mahavira, yasayı, "sıfır, kendisine eklenen sayı olur," olarak tanımlar (Sembolik olarak: ). 12. yüzyılda Bhaskara, yasayı, "sayıya sıfırın eklenmesi veya çıkarılması sonucunda, pozitif veya negatif olsun, sayı aynı kalır," şeklinde tanımlamıştır (Sembolik olarak: ).

Ardıl, herhangi bir tamsayısı için tamsayısı olarak tanımlanır. Burada, , 'dan büyük en küçük tamsayıdır ve 'nın ardılıdır. Örneğin, 3, 2'nin ardılıdır ve 7, 6'nın ardılıdır.

Bu ardışıklık nedeniyle, 'nin değeri 'nın 'inci ardılı olarak da görülebilir. Örneğin, 8'e eşittir; çünkü 8, 6'nın ardılı olan 7'nin ardılıdır ve 8 de, 6'nın ikinci ardılıdır.

Birimli fiziksel niceliklerin sayısal olarak eklenmesi için, bu niceliklerin aynı birime sahip olmaları gerekir. Örneğin, 150 mililitreye 50 mililitre eklemek 200 mililitre verir. Yanı sıra, birbirine dönüştürülebilen alt-üst birimleri de birbirine eklemek mümkündür. Örneğin, 5 santimetrelik bir niceliğe 10 milimetre eklemek 6 santimetre verir. Fakat, alt-üst birim ilişkisi olmayan birimlerin arasında ekleme işlemi yapılamaz. Örneğin, 2 metre ile 10 metrekareyi toplamak tanımsızdır. Bu kural, boyut analizinin temel kurallarından biridir.

1980'lerde başlayan matematiksel gelişim çalışmaları, uyarana karşı alışkanlık kazanma olgusundan yararlanmıştır. Karen Wynn'in 1992'de yaptığı bir deney, bebeklerin beklenmedik durumlara daha uzun süre bakakalıyor olmalarına dayanmıştır. Bu deneyde, bazı Mickey Mouse oyuncakları bir ekranın arkasından farklı düzenlerde beş aylık bebeklere gösterilmiş; bebeklerin 'in 2 olduğunu bekledikleri ve 'in 1 veya 3 olarak gösterildiği düzenlerde nispeten şaşırdıkları gözlemlenmiştir. Bu bulgu, bu ilk deneyden beri farklı metodolojiler kullanılarak çeşitli gruplar tarafından teyit edilebilmiştir. 1992 yılında bir başka deneyde ise yürümeye yeni başlayan çocukların motor kontrol kabiliyetlerinden yararlanılmıştır. Bu deneyde, 18-35 aylık çocukların bir kutudan ping-pong topları almaları sağlanmış; nispeten büyük çocukların 5'e kadar toplama işlemi yapabildikleri gözlemlenmiştir.

Bazı hayvanlar türleri de, özellikle primatlar, kısıtlı bir toplama kabiliyetine sahiptir. Wynn'e ait 1992 deneyini hayvanlar üzerinde uygulayan 1995 yılında yapılan bir deneyde, oyuncak yerine patlıcan kullanılmış; hint şebeği ve pamuk-başlı tamarin maymunlarının bebeklere benzer bir performans gösterdiği gözlemlenmiştir. Bir diğer deneyde ise, 0 ila 4 arası Arap rakamlarının öğretildiği bir şempanze, daha fazla öğretim almadan iki farklı rakamı toplayabilme kabiliyeti gösterebilmiştir. Yanı sıra, Asya fillerinin de temel aritmetik işlem yapma kabiliyetine sahip oldukları haberleştirilmiştir.

Genellikle, çocuklar önce saymayı öğrenir. Örneğin, iki öğe ile üç öğenin bir araya getirilmesi gereken bir problem sorulduğunda, küçük çocuklar genellikle parmaklarını kullanarak ya da bir çizim vasıtasıyla durumu modeller ve toplama ulaşırlar. Çocuklar, deneyim kazandıkça, "sayma" stratejisini öğrenirler veya keşfederler: 'iki artı üç' sorusunun sonucu olan beşe, çocuklar, ikiyi "üç, dört, beş" diye üç kere geçerek varırlar. Bu stratejinin evrensel olduğu düşünülmektedir ve çocukların bunu akranlarından ya da öğretmenlerinden kolayca öğrenebildikleri belirtilmektedir.

Genellikle, çocuklara ezberlemeleri için, 0 ve 9 arası sayı çiftlerinin bulunduğu bir toplama tablosu sunulur. Bu tabloyu öğrenen çocuklar herhangi bir toplama işlemini yapabilir.

İki ondalık kesir, ondalık noktası aynı hizada olacak şekilde üst üste konumlanır. Gerekirse, ondalık kısmı daha kısa olan sayıya diğer sayı ile aynı uzunlukta olması için sıfır eklemlenebilir. Son olarak, ondalık noktasının aynı hizada olması sağlanarak 'taşıma' yöntemiyle toplama işlemi gerçekleştirilir.

Bilimsel gösterimde, reel sayılar şeklinde yazılır. Bu terimde, tabandır ve 'üs'tür. Toplama, sayıların aynı üslere sahip olmasını gerektirir. Bu sayede, tabanlar basitçe toplanabilir.

N(S), S kümesinin kardinal sayısı olsun. A ve B, ve olacak şekilde ayrık iki küme seçilir. Bu durumda , olarak tanımlanır.