Hareket denklemleri

Matematiksel fizikte, hareket denklemi, fiziksel sistemin davranışını, sistem hareketinin zamanı ve fonksiyonu olarak tanımlar. Daha detaya girmek gerekirse; hareket denklemi, matematiksel fonksiyonların kümesini "devinimsel değişkenler" cinsinden izah eder. Normal olarak konumlar, koordinat ve zaman kullanılır, ama diğer değişkenler de kullanılabilir: Momentum bileşenleri ve zaman gibi. En genel seçim genelleştirilmiş koordinatlardır ve bu koordinatlar fiziksel sistemin karakteristiğinin herhangi bir uygun değişkeni olabilirler. Klasik mekanikte, fonksiyonlar öklid uzayında tanımlanmıştır ama görelilikte öklid uzayı, eğilmiş uzay ile tanımlanmıştır. Eğer sistemin dinamiği biliniyor ise, denklemler dinamiğin hareketini izah eden diferansiyel denklemlerin çözümleri olacaktır.

Hareketin iki tane açıklaması vardır: dinamik ve kinematik. Parçacığın momentası, kuvvetleri ve enerjisi hesaba katıldığında dinamik geneldir. Bu durumda, bazen terim sistemi tatmin eden bir diferansiyal denkleme (örneğin, Newton'un ikinci yasası veya Euler-Lagrange denklemleri) ve bazen de denklemlerin çözümlerine işaret eder.

Kinematik, konumsal ve zaman bağlantılı değişkenlerle ilgilendiği için daha basittir. Sabit ivme durumunda, hareketin bu göreceli basit denklemleri genellikle "YİSİZ" denklemleriyle çözülebilir," kinematik büyüklüklerden doğarlar, yer değiştirme (Y), ilk hız(İ), son hız (S), ivme (İ), ve zaman(Z). (aşağıya bakınız).

klasik hareket denklemleri değiştirilmiştir. Tüm bu durumlarda, kuvvetler ve enerji değişimlerinden etkilenmiş olan parçacığın, yörüngesini uzay ve zaman koordinatları cinsinden içeren bir diferansiyel denklem şeklinde ifade edilmiştir. Kuantum mekaniğinin denklemi dahi hareket denklemi olarak düşünülebilir, çünkü o denklemler dalga fonksiyonlarının kuantum durumunun nasıl davranacağını benzer olarak, parçacığın uzay ve zaman koordinatlarını kullanarak açıklayan diferansiyel denklemleriydi. Hareket denklemlerinin benzeşleri vardır. Dalgalar bu benzeşmelerin fiziğin diğer dallarındaki önemli örneklerindendir. Bu denklemler aşağıda açıklanmıştır.

Diferansiyel denklem, uygulamanın genel tanımıdır ve belirli bir durum için ayarlanabilir. Çözüm tam olarak sistemin nasıl hareket edebileceğin başlangıç anından sonraki herhangi bir an için, sınır değerlerini kullanarak tanımlar.

Çözüm r (veya p), bu hareket denklemi için, başlangıç değerleri dikkate alınarak yapılan, sistemin t=0 anından sonraki tüm zamanları içindir. Birden çok parçacık için, ayrı denklemler vardır her bir parçacık için (İstatistiksel mekanikte, bu birçok parçacığın istatistiksel topluluğu ile çelişir, ve çok parçacıklı sistemlerle, quantum mekaniğindeki - tüm parçacıkların tek bir olasılık dağlımı ile tanımlandığı). Bazen, denklem lineer olur ve kesin olarak çözülebilir. Genelde, denklem lineer değildir ve kaotik bir davraşın halinde olur, sistemin ne kadar duyarlı bir başlangıç koşuluna sahip olmasıyla kaotiklik değişir.

Hız vektörünün her zaman hareketin yönüne doğru olduğuna dikkat etmek gerekir. Bir diğer deyişle, eğimli yörüngeye teğet vektörüdür. Detaya girmeden konuşursak, birinci derecen türevler eğimlerin teğetleriyle bağlantılıdır. Yine eğimli yörüngeler için, ivme vektörü yörüngenin eğrilik merkezine doğrudur. Tekrar, detaya girmeden konuşursak, ikinci dereceden türevleri eğrilikle ilgilidir.

burada dönme ekseniyle aynı doğrultudaki birim vektördür. 'nin yönündeki birim vektördür ve açıya teğetsel bir birim vektördür. Bu dönüşsel tanımlarda, açı belirlenmiş bir eksene göre herhangi bir açı olabilir. Açısal hız geleneksel olarak ile gösterilir, ama bu sembol polar koordinat sistemlerinde kullanılan ile karıştırılmamalıdır.

r açısal konum, v parçacığın teğetsel hızı ve a parçacığın ivmesidir. Bu denklemler, dönüşün herhangi sürecinde, bir katı cismin herhangi bir noktası için de doğrudurlar.

Bu denklemler, üç boyutlu düzlemde düz çizgi üstünde sabit ivme ile ilerleyen parçacıklar için lineer olarak ilerleyen parçacıklara uygulanır. Bunun sebebi konum, hız ve ivme doğrudaş olduğundan (paralel ve aynı düzlemde olan) - sadece bu vektörlerin büyüklükleri gerekli olmasıdır, çünkü hareket düz bir çizgide olduğundan, problem üç boyuttan bir boyuta etkili bir şekilde düşmektedir.

Burada sabit ivme var veya yer çekimi etkisinde olan cisimler. Önemli nokta, her denklemin 5 değişkenden 4' ünü mutlaka içeriyor olmasıdır. Bu durumda, üç denklemi bilmek 5 değişkenin içinden geri kalan 2 değişkenin hesaplanmasına yetecektir.

Kinematiğin basit ve yaygın örneklerinde roketler ele alınır. Örneğin; yukarıya doğru atılan topa u hızı verildiğinde, ne kadar yukarı çıkacağı düşmeye başlamadan önce bulunabilir. İvmelenme yer çekiminden (g) kaynaklanıyor. Bu noktada hatırlanması gereken, bu denklemler skaler gibi gözükse de hızın, yer değiştirmenin ve ivmelenmenin yönleri önemlidir. Hatta tek yönlü vektörler olarak bile ele alınabilirler. s i yukarıdan yere doğru çekerse, ivmelenme -g olmalıdır, çünkü yer çekimi kuvveti aşağıya doğru etki ettiği için, bu yüzden aynı zamanda topun üstündeki ivmelenme de öyledir.

Benzeşmesi kullanılarak rotasyon için aşağıdaki denklemleri yazabiliriz. Yine bu eksensel vektörlerin hepsi rotasyon eksenine paralel olmalı, o yüzden sadece vektörlerin büyüklükleri gereklidir.

α sabit açısal ivme, w açısal hız, w0 başlangıç açısal hızı, θ açısal yer değiştirme, θ0 başlangıç açısı ve t başlangıç konumundan son konumuna kadar geçen süredir.

Bunlar kinematik denklemlerdir ve gezegenin etrafında dönen parçacık için r = r(t) konumuyla tanımlanmıştır. Aslında sadece r' nin zamana göre türevleridir ve polar koordinatlarda fiziksel niceliklerle tanımlanmıştır (açısal hız w gibi).

Hareketin özel durumları tanımlanırken, bu durumlar aşağıdaki tabloda kısaca anlatılmıştır. İki tanesi zaten yukarıda tartışıldı, bu durumlarda ya yarıçapsal ya da açısal bileşeni sıfırdır ve sıfır olamayan bileşeni hareketin tektik ivmelenmeyi tanımlar.

Üç boyutlu uzayda, denklemler küresel koordinatlarda olduğundan daha karışık ve hantal oluyor. (r, θ, ϕ), Birim vektörleriyle birlikte, sırasıyla konum, hız ve ivme olarak sıralanabilir.

ve bu denklem birden çok boyutlu harmonik salınım diye bilinir. Kartezyan koordinatlarda, konumun her bileşeni süperpozisyonudur, basit harmonik motion'nın. sinüslü biçiminin.

Hareket denklemini vektör biçiminde yazmak Newton'nun hareket yasalarını kullanarak basit olabilir, ama bileşenleri değişebilir ve karışık olduğundan onları çözmek kolay olmayabilir. Genellikle soruyu tam olarak çözebilmemizi engelleyecek kadar değişkenlerin fazlalığına takılabiliriz, bu yüzden Newton'un yasaları parçacığın hareketini anlamada en etkili yöntem değildir. Dikdörtgen geometrisinin daha basit durumlarında, kartezyen koordinatların kullanımı çok güzel çalışır, ama diğer koordinat sistemleri üzücü bir şekilde daha karışık olabilir.

m sabit olduğundan dolayı, newton mekaniğinde. Momentumun biçimi seçilebilirdir, çünkü rahatlıkla karışık sistemlere genelleştirilebilir, ve bu genelleştirmeye özel ve genel görecelikte dahildir, çünkü momentum korunabilir bir nicelik olduğundan dolayı; ki daha derin ve temel bir önem arz ettiğinden, pozisyon vektörüne göre veya momentumun zamana göre, türevine göre.

Birden çok parçacık için;Encyclopaedia of Physics (second Edition), R.G. Lerner, G.L. Trigg, VHC publishers, 1991, ISBN (VHC Inc.) 0-89573-752-3pi = i. parçacığın momentumu, Fij = j parçacığı tarafından i parçacığına uygulanan kuvvet, ve FE = soçun olan dış kuvvet. i parçacığı kendi kendisine bir kuvvet uygulamaz.

Eğer sistemde kısıtlamalar varsa üç boyutlu düzlemin tüm koordinatlarını kullanmak gereksizdir. Genelleştirilmiş koordinatlar q(t) = [q1(t), q2(t) ... qN(t)], N sistemin tüm serbestlik derecesinin toplamı, koordinat setlerinden herhangi birini sistemin konfigürasyonunu ark boyları ve açılar biçiminde tanımlanmasında kullanılır. Hatır sayılır derecede yalınlaştırmalar vardır hareketi tanımlarken, çünkü esas kısıtlamaların avantajıyla sistemin hareketini limitleyerek - mesela, birkaç koordinatta olan bir hareket minimuma indirgenmeye çalışılabilir, tüm koordinatları kullanarak tanımlanması yerine.

Lagrangian veya Hamiltonian fonksiyonu p ve q''' değişkenlerini kullanarak kurulmuş bir sistemdir ve bunlar Euler-Lagrange veya Hamilton'nın denklemlerinin içine sistemin bir diferansiyal denklemini elde etmek için sokulmuştur. Bunlar koordinat ve momenta için çözülür.

Hamiltonian'da yerine koyduktan sonra, kismi türevleri hesaplanmış ve yalınlaştırılmış, iki birinci derecen adi diferansiyal denklem her qi ve pi için elde edilmiştir.

Denklemin basit bir biçimi olduğu halde, aslında bir lineear olmayan kısmi bir diferansiyel denklemdir, ilk derecesi N+1 değişkenli olan, 2Nli olması yerine. S'' aksiyonundan dolayı, korunabilir nicelikleri tanımlarken kullanılabilir, mekanik sistemlerde, hatta ne zaman bu mekanik problemin kendisi tam olarak çözülemez, çünkü fiziksel sistemin aksiyonun diferansiyallenebilir simetrisi korunum kanuna uygun düşer. Bu teori Emmy Noether sayesinde vardır.