Jakob Bernoulli

Jacob Bernoulli (James ya da Jacques olarak da bilinir; d. 6 Ocak 1655 – ö. 16 Ağustos 1705), Bernoulli ailesindeki ünlü matematikçilerden biridir. Leibniz kalkülüsünün ilk savunucularındandır ve Leibniz- Newton kalkülüs tartışmasında Leibniz'in yanında yer almıştır. Kardeşi Johann ile birlikte kalkülüse yaptığı birçok katkıyla da ünlüdür. Ancak, matematiğe en önemli katkısı büyük sayılar yasası ile olasılık alanında olmuştur.

Jacob Bernoulli İsviçre’nin Basel kentinde dünyaya gelmiştir. Babasının isteği üzerine teoloji (dinbilim, ilahiyat) okuyup papazlık eğitimi almıştır. Ancak, ailesinin isteğinin aksine matematik ve astronomi eğitimleri de almıştır. 1676 ve 1682 yılları arasında Avrupa boyunca dolaşarak aralarında Hudde, Robert Boyle ve Robert Hooke'un da bulunduğu o zamanın ileri gelen isimlerinden matematik ve bilim alanındaki en son gelişmeleri öğrenmiştir. Bu süre boyunca kuyruklu yıldızlar için hatalı bir kuram üretmiştir.

Daha sonra tekrar İsviçre’ye dönerek 1683 yılından itibaren Basel Üniversitesi'nde mekanik dersleri vermeye başlamıştır. 1684 yılında Judith Stupanus ile evlendi ve iki çocukları oldu. Bu süreçte çok verimli bir araştırma kariyerine başladı. Yaptığı seyahatler ona döneminin ünlü matematikçileri ve bilim inanları ile hayatı boyunca sürdüreceği bir iletişim olanağı sundu. Bu süreçte matematikteki yeni gelişmeleri yakından takip etti. Christian Huygen’in “De ratiociniis in aleae ludo” ve Descartes’in “Geometrie” adlı yapıtları üzerinde çalıştı. 1684 ve 1689 yılları arasında Ars Conjectandi’yi oluşturacak sonuçların birçoğuna ulaştı.

1687 yılında Basel Üniversitesi'nde profesörlük görevine başladı. O zamana kadar kardeşi Johann Bernulli’yi matematik alanında çalıştırmaya başlamıştı. İki kardeş Leibniz’in 1684 yılında yayımlanan Nova Methodus pro Maximis, itemque Tangentibus adlı diferansiyel kalkülüs ile ilgili olan yayını üzerinde çalışmaya başladılar. Bunun haricinde von Tschinhaus’un yayınlarını da incelediler. Leibniz’in çalışmaları o zamanki matematikçiler için epey karmaşıktı. Bernoulliler bu kuramları anlamayı ve uygulamayı deneyen ilk kişilerdi. Jacob kardeşi ile el ele vererek kalkülüsün çeşitli uygulamaları üzerinde çalıştılar. Bu işbirliği Johann’ın matematiksel dehasının olgunlaşmaya başlamasıyla rekabete dönüştü. Birbirleriyle oldukça zor matematiksel problemler üzerinden mücadele ederek karşılıklı olarak yeteneklerini test etmeye başladılar. 1697 yılına kadar aralarındaki ilişki tamamen yok oldu.

Jacob Bernoulli 1705 yılında hayatını kaybetti. Mezar taşı için bir logaritmik spiral figürü ve “Eadem mutata resurgo” (Değişmeme rağmen aynı şekilde yeniden yükseleceğim) sloganını seçmiştir. Mezarı “Basel Munster or Cathedral” inde bulunmaktadır. Aydaki bir kratere kardeşi Johann ve onun anısına Bernoulli adı verilmiştir.

Jacob Bernoulli’nin ilk önemli katkıları, 1685 yılında yayımlanan mantık ve cebrin paralelliği üzerine bir kitapçık, 1685 yılında yayımlanan olasılık ve 1687 yılında yayımlanan geometri üzerine çalışmalardır. Geometri üzerine yaptığı çalışmalar sonucunda herhangi bir üçgenin birbirine dik iki doğru ile dört eşit parçaya bölünebileceğini göstermiştir.

1689 yılına kadar sonsuz seriler üzerine olan önemli çalışmalarını ve olasılıkta büyük sayılar yasası kuramını yayımlamıştır. Jacob Bernoulli 1682 ve 1704 yılları arasında sonsuz seriler üzerine beş adet bilimsel inceleme yazmıştır. Bunlardan ikisi Bernoulli’nin yeni bir keşif olarak düşündüğü ancak Mengoli tarafından 40 yıl önce kanıtlanan ifadesinin ıraksadığı gibi sonuçları içeriyordu. Bernoulli ifadesi için kapalı bir form bulamadı fakat bu ifadenin 2’den az sonlu bir limite yakınsadığını gösterdi. Bunların yanı sıra bileşke faiz incelemeleri sırasında üstel seriler üzerine de çalışmalar yaptı.

1690 yılında yayımlanan Acta Eruditorium’da Jacob Bernoulli, eşoylum eğrisini belirleme probleminin çözümünün, birinci dereceden doğrusal olmayan diferansiyel denklem çözümü ile aynı olduğunu gösterdi. Eşoylum eğrisi ya da sabit azalım eğrisi, başlangıç noktasına bakılmaksızın herhangi bir noktadan yere tam olarak aynı sürede düşen bir parçacığın eğrisidir. Diferansiyel denklemi bulduktan sonra Bernoulli, bugün değişkenlerine ayırma dediğimiz yöntem ile çözmüştür. Jacob Bernoulli’nin 1690’da yayımlanan çalışması kalkülüs tarihi için oldukça önemlidir çünkü integral(tümlev) terimi ilk kez integrasyon (tümlevleme) anlamı ile kullanılmıştır. 1696 yılında, günümüzde Bernoulli Diferansiyel Denklemi denilen aşağıdaki denklemi çözmüştür.

Bernoulli’nin kelebek eğrisi Bernoulli tarafından 1694 yılında tasarlanmıştır. 1695 yılında kablo boyunca kayan ağırlığın köprüyü sürekli dengede tutması için bir eğri gerektiren asma köprü problemini incelemiştir.

“ …ölçülebilir kesinlik değeri olarak olasılık; gereklilik ve ihtimal; ahlak matematiksel beklentiye karşı; öncül ve soncul olasılık; oyuncular maharetlerine göre ayrıldığında kazanma olasılığı; bütün mevcut savların göz önüne alınması, bunların değerlendirilmesi ve hesaplanabilir değerlendirmesi; büyük sayılar kuralı…”

Bernoulli, matematiksel bir sabit olan e sayısını bileşke faiz ile ilgili olan ve ona aşağıdaki ifadenin değerini (: sayısı) bulmasını gerektiren bir soru üzerinde çalışırken keşfetti.

$1.00’lık bir banka hesabı yıllık yüzde 100 faiz ile açılıyor. Eğer faiz, yılsonunda, bir kere uygulanırsa para $2.00 olmaktadır. Ancak eğer faiz hesaplanıp yılda iki kez uygulanırsa (yüzde 50 olarak iki kez), $1.00 1.5 ile iki kez çarpılır, elde edilecek para $1.00×1.5² = $2.25 olur. Yılda dört kere hesaplanıp uygulanırsa (yüzde 25 olarak dört kez) elde edilecek para $1.00×1.254 = $2.4414... olmaktadır. Eğer bu faiz hesaplanıp aylık uygulanırsa elde edilecek para $1.00×(1.0833...)12 = $2.613035.... olmaktadır.

Bernoulli bu dizinin daha çok ve daha küçük bileşke aralıkları için bir limite yaklaştığını fark etti. Faizi haftalık hesaplayınca elde edilen para $ 2.692597…, günlük hesaplayınca ise $2.714567…, yani sadece 2 sent fazla olmaktadır. Bileşke aralığı olarak kullanıldığında ve her aralık için 100%/ faizle, büyük sayıları için elde edilen sayı olarak bilinen sabittir. Yani, eğer sürekli bileşik faiz uygulanmaya devam edilirse hesap $2.7182818.... değerine ulaşacaktır. Daha genel olarak $1 ile açılan ve basit faiz ile (1+) dolar değerine, ulaşan bir hesap sürekli bileşik faiz ile değerine ulaşacaktır.