Henri Léon Lebesgue

Henri Léon Lebesgue (; ; d. 28 Haziran 1875, Beauvais - ö. 26 Temmuz 1941, Paris), 17. yüzyıl integral kavramının-bir eksen ile o eksen için tanımlanmış bir fonksiyonun eğrisi arasındaki alanı toplamak- bir genellemesi olan entegrasyon teorisi ile tanınan Fransız matematikçiydi. Teorisi ilk olarak 1902'de Nancy Üniversitesi'ndeki Intégrale, longueur, aire ("İntegral, uzunluk, alan") tezinde yayınlandı.

Henri Lebesgue, 28 Haziran 1875'te Beauvais, Oise'de doğdu. Lebesgue'nin babası bir dizgici ve annesi bir okul öğretmenydi. Ailesi evde genç Henri'nin kullanabileceği bir kütüphane kurdu. Babası, Lebesgue henüz çok küçükken ve annesi onu tek başına desteklemek zorunda kaldığında tüberkülozdan öldü. İlkokulda matematik için dikkate değer bir yetenek gösterdiği için, eğitmenlerinden biri eğitimine Collège de Beauvais ve ardından Lycée Saint-Louis ve Paris'te Lycée Louis-le-Grand'da devam etmesi için toplum desteği ayarladı.

1894'te Lebesgue, enerjisini matematik çalışmasına odaklamaya devam ettiği École Normale Supérieure'ye kabul edildi ve 1897'de mezun oldu. Mezun olduktan sonra iki yıl boyunca École Normale Supérieure'de kaldı, kütüphanede çalıştı ve burada süreksizlik üzerine o sırada, okuldan yeni mezun olmuş René-Louis Baire tarafından yapılan araştırmadan haberdar oldu. Aynı zamanda Sorbonne'da yüksek lisans eğitimine başladı ve burada Émile Borel'in yeni başlayan ölçü teorisi ve Camille Jordan'ın Jordan ölçüsü üzerindeki çalışmalarını öğrendi. 1899'da Nancy'deki Lycée Central'da bir öğretim pozisyonuna geçti ve doktorasını sürdürdü. 1902'de Ph.D. derecesini, kendisinden dört yaş büyük danışmanı Borel ile birlikte sunduğu İntegral, Uzunluk, Alan (Intégrale, longueur, aire) konulu ufuk açıcı teziyle Sorbonne'dan kazandı.

Bu doktorası üzerinde bir söylenti de vardır. Dirichlet fonksiyonunun Riemann anlamında integralinin olmadığı o çağlarda biliniyordu. Hatırlanırsa, rasyonel noktalarda bir ve irrasyonel noktalarda sıfır değerini alan fonksiyon, matematikte Dirichlet fonksiyonu adıyla bilinir. Lebesgue, bu Dirichlet fonksiyonunu integralleyebilecek bir integral tanımı getirebilir miyim diye düşündü. Riemann integralinin tersine, bölüntüyü -ekseni üzerinde değil de -ekseni üzerinde aldı. Bunda başarılı oldu. Bu getirdiği integral yöntemine de Lebesgue integrali adını verdi. Böylece, analize yeni ufuklar açtı.

Tezini yayınladıktan sonra, 1902'de Lebesgue'ye Rennes Üniversitesi'nde bir pozisyon teklif edildi ve 1906'da Poitiers Üniversitesi Bilimler Fakültesine taşınana kadar orada ders verdi. 1906 ile 1910 yılları arasında Potiers Fen Fakültesinde öğretim yaşamını sürdürdü. 1910'da Lebesgue öğretim görevlisi olarak Sorbonne'a taşındı ve 1919'dan itibaren profesörlüğe terfi etti. 1921'de, ders verdiği ve araştırma yaptığı Collège de France'da matematik profesörü olmak için Sorbonne'dan ayrıldı. 1922'de Bilimler Akademisi üyeliğine seçildi. 1921 ile 1931 yılları arasında Paris Fen Fakültesinde çalıştı.

Lebesgue, Fransa'da matematik alanında büyük bir çağın en seçkin önderlerindendi. Analiz çalışmalarının hemen hemen tümü gerçel değişkenli fonksiyonlar kuramıyla ilgilidir. Özellikle, integral kavramının Lebesgue integrali denilen bir genişlemesini ona borçluyuz. Lebesgue'in integral tanımına göre, bazı fonksiyonların Riemann anlamında integrali olmadığı halde, Lebesgue integrali vardır. Buna en güzel örnekte, ünlü Dirichlet fonksiyonudur. İntegralin bu genelleştirilmiş kavramı matematikte en çok uygulama alanı bulan bir yenilik olmuştur. Çağımızda da halen bu kuram tüm canlılığıyla yürütülmektedir. Bu kuram artık analizin temel dersidir. Analizci herkes önce bu konuları öğrenir. İleri araştırmalar için gereklidir.

Şüphesiz, Lebesgue integralinin anlaşılması hemen kolay bir kuram da değildir. Bunun için önce Lebesgue ölçümü kuramını geliştirmek gerekir. Bu nedenle, Lebesgue önce Lebesgue ölçümünü geliştirdi. Burada, kümelerin ölçülebilmeleri ve fonksiyonların ölçülebilmeleri kavramlarını getirdi. Bundan sonra, kendi adıyla anılan ünlü Lebesgue integralini oluşturdu. Bu konuda hazırladığı teze, jüri üyelerinin önce itiraz ettiği, sonra doktora yöneticisinin ricasıyla, "Bu öğrenci çok zeki ve bana düşündürücü sorular sorar", diyerek onları razı ettiği söylenir. Bu söylenti doğru da olsa yanlışta olsa; Lebesgue tarafından bu çalışma yayınlandığında, bu buluş, tüm dünyada bir bomba gibi patlamış ve tüm matematikçileri bu sahada çalışmaya ve yeni yeni buluşları gerçekleştirmeye yöneltmiştir. Bu kuramın çok geniş bir biçimde meyveleri alınmıştır. Oldukça uygulama alanları bulmuş ve sürekli genelleştirmeleri yapılmıştır. Artık bu kuram analizin kaçınılmaz bir aleti durumuna getirilmiştir. Bunun ötesinde, matematiğin diğer dallarına da yeni ufuklar açarak, onların gelişmesini sağlamıştır.

Lebesgue, ünlü olduktan sonra, birçok üniversitede dersler vermiştir. 1921 yılında College de France'ta profesör olmuştur. Lebesgue'in çok parlak ve yaratıcı bir matematik kafası vardır. Ülkesi içinde ve tüm dünyada oldukça şereflendirilmiş, ödüllendirilmiş ve çok mesut bir evlilik yapmış biriydi. Bugün, integral kuramının kurucusu olarak tüm dünya onu kabul eder. Bu kuramda ve analizde çok sayıda buluşları vardır. Çalışmalarının tüm ürünlerini almış ve kuramının tutulup ne kadar ileri götürüldüğünü gören mutlu matematikçilerden biridir. 26 Temmuz 1941 günü altmış altı yaşındayken Paris'te öldü.

Lebesgue'nin ilk makalesi 1898'de yayınlandı ve Sur l'approximation des fonctions (Fonksiyonların yaklaşıklığı üzerine) başlığını taşıyordu. Polinomlarla sürekli fonksiyonlara yaklaşım üzerine Weierstrass teoremi ile ilgilendi. Mart 1899 ile Nisan 1901 arasında Lebesgue, Comptes Rendus’da altı not yayınladı. Bunlardan ilki, onun Lebesgue integralini geliştirmesiyle ilgisi olmayan, Baire teoreminin iki değişkenli fonksiyonlara genişletilmesiyle ilgiliydi. Sonraki beşi, bir düzleme uygulanabilen yüzeyler, çarpık çokgenlerin alanı, belirli bir sınırla minimum alanın yüzey integralleri ve son not, bazı f(x) fonksiyonları için Lebesgue entegrasyonunun tanımını verdi. Lebesgue'nin büyük tezi, Intégrale, longueur, aire, bu çalışmanın tam açıklamasıyla birlikte 1902'de Annali di Matematica’da yayınlandı. İlk bölüm, ölçü teorisini geliştirir (bkz. Borel ölçümü). İkinci bölümde integrali hem geometrik hem de analitik olarak tanımlar. Sonraki bölümler uzunluk, alan ve uygulanabilir yüzeylerle ilgili Comptes Rendus notlarını genişletir. Son bölüm esas olarak Plateau problemi ile ilgilidir. Bu tez, bir matematikçi tarafından yazılmış tezlerin en iyilerden biri olarak kabul edilir.

1902'den 1903'e kadar olan dersleri, Leçons sur l'intégration et la recherche des fonctions primitives adlı bir "Borel risalesi"nde toplandı. İlkel bir fonksiyon arayışı olarak görülen entegrasyon problemi, kitabın kilit noktasıdır. Lebesgue, entegrasyon problemini tarihsel bağlamında Augustin-Louis Cauchy, Peter Gustav Lejeune Dirichlet ve Bernhard Riemann'a değinerek sunar. Lebesgue, integralin karşılaması gereken altı koşul sunar; bunlardan sonuncusu "Eğer fn(x) dizisi f(x) sınırına yükselirse, fn(x)'nin integrali, f(x)'in integraline eğilimlidir." Lebesgue, koşullarının ölçü teorisi, ölçülebilir fonksiyonlara ve integralin analitik ve geometrik tanımlarına yol açtığını gösteriyor.

1903 tarihli makalesi "Sur les serie trigonometriques" ile trigonometrik fonksiyonlarına yöneldi. Bu çalışmada üç ana teorem sunmuştur: sınırlı bir fonksiyonu temsil eden trigonometrik bir serinin bir Fourier serisi olduğu, n. Fourier katsayısının sıfır olma eğiliminde olduğu (Riemann-Lebesgue lemması) ve Fourier serisi terim terim integrallenebilirdir. 1904-1905'te Lebesgue bir kez daha Collège de France'da bu kez trigonometrik diziler üzerine ders verdi ve derslerini bir başka "Borel risalesi"nde yayınlamaya devam etti. Bu risalede konuyu bir kez daha tarihsel bağlamı içinde ele alır. Fourier serileri, Cantor-Riemann teorisi, Poisson integrali ve Dirichlet problemi hakkında açıklamalar yapar.

1910 tarihli Représentation trigonométrique approchée des fonctions satisfaisant a une condition de Lipschitz (Bir Lipschitz koşulunu sağlayan fonksiyonların yaklaşık trigonometrik gösterimi) adlı bir makalede, kalan terimin büyüklük sırasının bir değerlendirmesiyle, bir Lipschitz koşulu'nu sağlayan Fourier fonksiyonları dizisi ile ilgilenir. Ayrıca Riemann–Lebesgue lemması'nın sürekli fonksiyonlar için mümkün olan en iyi sonuç olduğunu kanıtlar ve Lebesgue sabitleri'ne bir miktar giriş yapar.

Ölçü-teorik analizde ve matematiğin ilgili dallarında, Lebesgue–Stieltjes integrali, Riemann – Stieltjes ve Lebesgue entegrasyonunu genelleştirir ve ikincisinin birçok avantajını daha genel bir ölçü-teorik çerçevede korur.

Kariyeri boyunca Lebesgue, karmaşık analiz ve topoloji alanlarına da deneysel girişimler yaptı. Ayrıca Émile Borel ile kimin integralinin daha genel olduğu konusunda bir anlaşmazlığı vardı. Ancak, gerçel analiz'e yaptığı katkılarla karşılaştırıldığında bu küçük hamleler sönük kalıyor; bu alana yaptığı katkılar, bugün alanın şekli üzerinde muazzam bir etkiye sahipti ve yöntemleri modern analizin önemli bir parçası haline geldi. Bunların, aşağıda belirtildiği gibi, Lebesgue'nin tamamen habersiz olacağı temel fizik için önemli pratik sonuçları vardır.

Entegrasyon, bir fonksiyon'un grafik altındaki alan'ını bulmanın gayri resmi fikrine karşılık gelen matematiksel bir işlemdir. İlk entegrasyon teorisi Arşimet tarafından MÖ 3. yüzyılda kareler yöntemiyle geliştirildi, ancak bu yalnızca yüksek derecede geometrik simetriye sahip sınırlı durumlarda uygulanabilir. 17. yüzyılda, Isaac Newton ve Gottfried Wilhelm Leibniz, entegrasyonun özünde farklılaşma ile bağlantılı olduğu fikrini keşfetti; ikincisi, bir fonksiyonun ne kadar hızlı olduğunu ölçmenin bir yoluydu. grafiğin herhangi bir noktasında değişti. Kalkülüsteki iki ana geometrik işlem, türev alma ve integrasyon arasındaki bu şaşırtıcı ilişki, şimdi Hesabın temel teoremi olarak biliniyor. Matematikçilerin ilk kez geniş bir integral sınıfını hesaplamasına izin verdi. Ancak, Arşimet'in Öklid geometrisine dayanan yönteminden farklı olarak, matematikçiler Newton'un ve Leibniz'in integral hesabı kesin bir temele sahip olmadığını hissettiler.

19. yüzyılda, Augustin Cauchy epsilon-delta limiti geliştirdi ve Bernhard Riemann, şimdi Riemann integrali olarak adlandırılan şeyi resmileştirerek bunu takip etti. Bu integrali tanımlamak için, grafiğin altındaki alan giderek daha küçük dikdörtgenler ile doldurulur ve her aşamada dikdörtgenlerin alanlarının toplam limiti alınır. Ancak bazı fonksiyonlar için bu dikdörtgenlerin toplam alanı tek bir sayıya yaklaşmaz. Bu nedenle, Riemann integrali yoktur.

Lebesgue, bu problemi çözmek için yeni bir entegrasyon yöntemi icat etti. Lebesgue, fonksiyonun tanım bölgesi'ne odaklanan dikdörtgenlerin alanlarını kullanmak yerine, temel alan birimi için fonskiyonun eş tanım bölgesine'ne baktı. Lebesgue'nin fikri, önce hem kümeler hem de bu kümelerdeki fonksiyonlar için ölçüyü tanımlamaktı. Daha sonra basit fonksiyonların dediği şeyin integralini oluşturmaya başladı; sadece sonlu birçok değer alan ölçülebilir fonksiyonlar. Daha sonra, daha karmaşık fonksiyonlar için, söz konusu fonksiyondan daha küçük basit fonksiyonların tüm integrallerinin en küçük üst sınırı olarak tanımladı.

Lebesgue entegrasyonu, bir Riemann integrali ile sınırlı bir aralıkta tanımlanan her fonksiyonun aynı zamanda bir Lebesgue integraline sahip olma özelliğine sahiptir ve bu fonksiyonlar için iki integral uyuşmaktadır. Ayrıca, kapalı bir sınırlı aralıktaki her sınırlı fonksiyonun bir Lebesgue integrali vardır ve Lebesgue integrali olan ve Riemann integrali olmayan birçok fonksiyon vardır.

Lebesgue entegrasyonunun geliştirilmesinin bir parçası olarak Lebesgue, uzunluk fikrini aralıklardan ölçülebilir kümeler olarak adlandırılan çok büyük bir küme sınıfına genişleten ölçü kavramını icat etti (yani, daha kesin olarak, basit fonksiyonlar, sonlu sayıda değer alan ve her değer ölçülebilir bir kümede alınan fonksiyonlardır).

Lebesgue integrali bir açıdan eksiktir. Riemann integrali, tanım alanı kapalı aralık olmayan fonksiyonları ölçmek için uygun olmayan Riemann integrali'ne genellenir. Lebesgue integrali bu fonksiyonların çoğunu bütünleştirir (yaptığında her zaman aynı cevabı üretir), ancak hepsini değil.

Gerçek doğru üzerindeki fonksiyonlar için, Henstock integrali, hem Lebesgue entegrasyonunu hem de uygun olmayan Riemann entegrasyonunu kapsayan (Lebesgue'den ziyade Riemann'ın teorisine dayanan) daha da genel bir integral kavramıdır. Bununla birlikte, Henstock integrali gerçek doğrunun belirli sıralama özelliklerine bağlıdır ve bu nedenle daha genel uzaylarda (örneğin, manifoldlar) entegrasyona izin verecek şekilde genelleme yapmazken, Lebesgue integrali bu tür uzaylara oldukça doğal bir şekilde uzanır.

2012 yılından bu yana bir matematik merkezi (temeller, etkileşimler, uygulamalar ve eğitim) adını taşımaktadır. Bu merkez, (Centre de Mathématiques Henri Lebesgue), “Laboratoires d'Excellence” (“Labex”) proje çağrısının ikinci dalgasının kazananıdır. Rennes Matematiksel Araştırma Enstitüsü (IRMAR), Nantes'teki Jean-Leray Matematik Laboratuvarı (LMJL) ve Cachan'daki ÉNS'nin Brittany şubesinin Matematik Bölümü (2013'te ENS'den bağımsız hale gelen şube) tarafından kurulmuştur.