Kepler'in gezegensel hareket yasaları

Kepler'in gezegensel hareket yasaları, Güneş Sisteminde bulunan gezegenlerin hareketlerini açıklayan üç matematiksel yasadır. Alman matematikçi ve astronom Johannes Kepler (1572-1630) tarafından keşfedilmişlerdir.

Tycho Brahe, Kepler'den önce Alman İmparatorluğunun astroloğuydu ve o güne kadarki en iyi gök haritalarını hazırlamıştı. Brahe'nin kalfası olan Kepler, Brahe'nin ölümünden sonra bu haritaları inceleyerek Brahe'in gezegenlerin konumları ile tutmuş olduğu kayıtların görece basit olan üç adet matematiksel ifade ile açıklanabileceğini bulmuştur.

Kepler yasaları, Aristocu ve Batlamyusçu astronomi ve fiziğe meydan okumuştur. Batlamyus modelinden tamamen farklı olarak, gezegenlerin değişken hızlarının, tüm gezegenlerin Güneş çevresindeki eliptik yörüngelerde dolandığını iddia ederek doğrulukla açıklanabileceğini söylemiş, astronomi ve fiziği kökten değiştirmiştir. Hemen hemen bir asır sonra Isaac Newton, kendi hareket yasalarından ve yine kendi bulduğu evrensel çekim yasasından yola çıkıp, Öklid geometisini kullanılarak Kepler yasalarının ortaya çıkarılabileceğini göstermiştir.

Bu yasalar birbiri etrafında dönen herhangi iki cismin hareketini açıklar. Bu cisimlerin kütleleri, yaklaşık olarak birbirine eşit (örn. Charon ve Plüton (~1:10)), birbirinden az miktarda farklı (örn. Ay ve Dünya (~1:100)) veya birbirinden çok farklı (örn. Merkür ve Güneş (~1:10,000,000)) olabilir.

Tüm durumlarda her iki cisim de ortak bir kütle merkezi noktası etrafında dolanır ve hiçbirinin de kendi kütle merkezi elipsin odaklarından birinde bulunmaz. Buna rağmen her iki yörünge de, odaklarından biri sistemin kütle merkezinde olacak şekilde bir elips şeklindedir. Kütleler birbirinden çok farklı olduğunda (örn. Güneş etrafında dolanan gezegenler), kütle merkezi daha kütleli cismin kendi kütle merkezinin çok yakınında hatta gövdesi içinde bulunur. Dolayısıyla, sistemin kütle merkezi, kütlesi büyük olan cismin içinde kalır. (Güneş sisteminde Güneş-Jüpiter ağırlık merkezi hariç durum böyledir.) Bu durumda sistemin kütle merkezini büyük kütleli cismin kütle merkezinden ayırt edebilmek için çok hassas ölçümler yapmak gerekir. Bu nedenle birinci yasa Güneş etrafında dolanan gezegenlerin hareketini doğrulukla açıklar.

Zamanında bu çok çarpıcı bir iddia idi; önceki inanışa göre yörüngeler mükemmel çemberler üzerinde bulunmalıydı. Bu gözlem evrenin Kopernikçi görüşünü desteklemekteydi. Bu durum, yasanın modern bağlamda ilişkisini yitirdiği anlamına gelmez. Teknik olarak elips çemberden farklı olmasına rağmen, küçük dışmerkezliliğe sahip bir yörüngede dolanan bir gezegenin yörüngesi kabaca bir çember olarak düşünülebilir. Bu nedenle gezegenlerin yörüngeleri kabaca gözlenerek, yörüngelerin gerçekten de eliptik olduğunu görebilmek kolay değildir. Buna rağmen Kepler'in hesaplamaları yörüngelerin eliptik olduğunu göstermiş, Güneş'e çok daha uzak göksel cisimlerin yörüngelerinin de büyük dışmerkezliliğe sahip eliptik yörüngeler olacağını öngörmüştür (bu iki yanından çekilip uzatılmış bir çembere benzer). Kepler'den sonra birçok göksel cisim astronomlar tarafından kuyruklu yıldız veya asteroid olarak adlandırıldı. Cüce gezegen Plüton 1930'ların sonlarına doğru keşfedildi. Keşfin bu denli gecikmesinin nedeni, Plüton'un boyutlarının diğer gezegenlere kıyasla çok daha küçük olması, ve dışmerkezliliğinin çok büyük olmasıdır.

Burada ifadesi "alansal hız"'ı (birim zamanda taranan alan) ifade eder. Matematiksel olarak bu ifadenin zamana göre türevinin sıfır olması, gezegen tarafından birim zamanda taranan alanın sabit olduğu anlamına gelmektedir.

Bu yasa eşit alanlar yasası olarak da bilinir. Bu yasayı anlayabilmek için, gezegenin bir A noktasından B noktasına bir günde gittiğini varsayalım. Güneş'ten A ve B noktalarına çizilen çizgiler ve gezegenin A noktasından B noktasına hareket ederken izlediği eğrinin içinde kalan bölge bir alan (kabaca bir üçgen) tanımlar. İkinci yasa der ki gezegen, yörüngesinin hangi konumunda olursa olsun, gezegenin bir günlük hareketi boyunca bu aynı alan kaplanacaktır. Birinci yasa bir gezegenin yörüngesinin eliptik olduğunu söylediğine göre, gezegen, yörüngenin farklı konumlarında Güneş'e farklı uzaklıklarda bulunacaktır. Bu durum, gezegenin Güneşe yakın olduğu durumda, uzak olduğu durumdaki ile aynı alanı taraması için daha hızlı gitmesi gerektiği sonucunun çıkmasını gerektirir.

Kepler'in ikinci yasası, birinci yasasının üzerine eklenen bir gerçeği daha ifade etmektedir. İkinci yasa, birinci yasaya göre eliptik yörüngede dolanan gezegene etkiyen net teğet kuvvetin sıfır olması gerektiğini söylemektedir. 'Alansal hız' adı verilen nicelik açısal momentum ile çok yakından ilişkilidir ve bu sebepten ötürü Kepler'in ikinci yasası açısal momentumun korunumunun da bir ifadesidir.

Örneğin, bir A gezegeninin Güneşe olan uzaklığının B gezegeninin Güneşe olan uzaklığından dört kat daha büyük olduğunu düşünelim. Bu durumda A gezegeni B her turda, B gezegeninden 4 kat daha fazla yol katedecektir ve dahası A gezegeni B gezegeninin yarısı kadar bir hızla hareket edecektir. Yasaya göre, toplamda A gezegeninin yörüngeyi tamamıyla dolanması için geçen süre, B gezegeninin yörüngeyi dolanması için geçen süreden 4×2=8 kat daha büyük olacaktır (82=43).

Gerçekten de Kopernik ve Kepler tarafından bilinen altı gezegenin dışmerkezlilikleri oldukça küçüktür, bu nedenle bu gezegenler için Kepler yasalarını yukarıdaki şekilde almak, bu gezegenlerin hareketi için mükemmel yaklaşıklıklar sağlar.

Kepler yasalarına uygun şekilde hareket eden bir gezegenin ivmesinin Güneş'e yönelmiş olduğu ve ivmenin büyüklüğünün Güneş'e olan uzaklığın karesi ile ters orantılı olduğu gösterilebilir. Isaac Newton evrende bulunan tüm kütlelerin, kütleçekim kuvveti olarak tanımladığı bir kuvvet ile birbirini çektiğini varsaymıştır. Gezegenlerin kütlesi Güneş'e kıyasla çok küçük olduğundan, yörüngeler yaklaşık olarak Kepler yasalarına uyumludur. Newton'ın modeli Kepler yasalarını geliştirerek, gözlemlere daha uygun sonuçlar elde edilmesini sağlar.

Burada P yörüngeyi dolanmak için geçen zaman (periyot) ve P/2π radyan başına zamandır. kütleçekim sabiti, Güneş'in kütlesi ve gezegenin kütlesidir. Eşitlikten görüleceği üzere, gezegenin kütlesi Güneş'in kütlesi yanında ihmal edilebilecek ölçüde küçük olduğunda, Kepler sabitinde gezegenin kütlesi nedeni ile meydana gelen değişim yok sayılabilir. Örnek olarak Kepler sabitinde, Güneş Sistemindeki en büyük kütleli gezegen olan Jupiter'in kütlesinden kaynaklanan tutarsızlık bile yüzde 10 kadardır.

Bütün ilk ve ortaçağ boyunca, Dünya’nın evrenin merkezi olduğu varsayıldı (Batlamyus modeli). Buna karşı çıkan ilk isim görüşlerini ölüm döşeğinde yayımlatmayı başaran Polonyalı papaz ve bilim insanı Nicolaus Copernicıus (1473-1543) oldu. 17. yüzyıla gelindiğinde bilim insanları ikiye ayrılmıştı. Bir bölümü din ve ilk çağ Yunan filozoflarının etkisi altında hala Dünya merkezli evreni, bir kısmı da Güneş merkezli evreni savunuyordu. Kepler ikinciler arasındaydı. Ne var ki, Güneş merkezli evreni savunanlar o tarihte bilinen altı gezegenin (Merkür, Venüs, Dünya, Mars, Jüpiter ve Satürn) hareketlerindeki bazı düzensizlikleri açıklayamıyorlardı.

Kepler’in ikinci yasasının o günkü matematiksel imkânlarla nasıl üretildiği daima merak konusu olmuş ve Nobel ödüllü Amerikalı fizikçi Richard Feynman (1918-1988) bu konuyu bir ders konusu haline getirmiştir. 13.3.1964 tarihinde Kaliforniya Teknik Üniversitesi’nde Feynman’ın tamamen geometri kullanarak verdiği dersin notları sonradan David L.Goodstein ve Judith R.Goodstein tarafından toparlanarak yayımlanmıştır. Bu kitap Zekeriya Aydın tarafından çevrilmiş ve 2003 yılında Türkiye'de de Feynman'ın Kayıp Dersi: Gezegenlerin Güneş Çevresindeki Hareketi adı altında Tübitak tarafından yayımlanmıştır.