Basıklık

Olasılık kuramı ve bir dereceye kadar istatistik bilim dallarında basıklık (İngilizce: kurtosis) kavramı 1905da K. Pearson tarafından ilk defa açıklanmıştır. Basıklık kavramı bir reel değerli rassal değişken için olasılık dağılımının, grafik gösteriminden tanımlanarak ortaya çıkarılan bir kavram olan, sivriliği veya basıklığı özelliğinin ölçümüdür. Basıklık kavramının ayrıntıları olasılık kuramı içinde geliştirilmiştir. Betimsel istatistik için bir veri setinin basıklık karakteri pek dikkate alınmayan bir özellik olarak görülmektedir. Buna bir neden parametrik çıkarımsal istatistik alanında basıklık hakkında hemen hemen hiçbir kestirim veya sınama bulunmamasındandır ve pratik istatistik kullanımda basıklık pek önemsiz bir karakter olarak görülmektedir. Belki de basıklık ölçüsünün elle hesaplanmasının hemen hemen imkânsızlığı buna bir neden olmuştur.

Burada μ4 dördüncü ortalama etrafındaki moment ve σ standart sapmadır. Biraz eski istatistik kitaplarında bazen bu ifade basıklık tanımlaması olarak kullanılmaktaydı.

Bu bir ölçü olarak kullanılırsa basıklık fazlalığı olarak bilinir. Formülün son terimi olan eksi 3 çok kere basıklık tanımlama formülüne yapılan bir ayarlama olarak açıklanır. Bu ayarlama sayesinde, normal eğrisinin basıklık ölçüsü değeri sıfır olur.

Dördüncü standardize edilmiş moment için en küçük değer 1dir; bu nedenle en küçük basıklık fazlalığı değeri -2 olur. Dördüncü moment ve kümülant değeri için üst bir sınırlama yoktur ve üst değer artı sonsuz kadar büyük olabilir. Bu nedenle basıklık ölçüsü değeri -2 ile artı sonsuzluk arasında bulunabilir.

Eğer bir olasılık dağılımının veya veri setinin basıklık ölçüsü 0 (sıfır) değerde ise, bu çeşit veri seti veya olasılık dağılımına meso-basık (İngilizcesi 'meso-kurtic') adı verilir. Sıfır (0) basıklık ölçülü, yani meso-basık, en iyi bilinen olasılık dağılımı (parametreleri ne değerlerde olursa olsun) normal dağılımdır. Parametre değerlerine göre birkaç diğer olasılık dağılımı da meso-basık, yani 0 basıkliık ölçü değeri gösterirler. Örneğin, eğer ise bir binom dağılım meso-basıktır.

Bir olasılık dağılımı veya bir veri seti için basıklık ölçüsü sıfırın üstünde pozitif (0 ile sonsuz arasında) olursa, bu türlü dağılıma lepto-basık adı verilir. Eğer bir olasılık dağılımı veya veri seti lepto-basık karakterli (yani pozitif basıklık ölçülü) ise, olasılık dağılım yoğunluk grafiği veya veri seti çokluluk grafiği, ortalama değerinde (normal dağılıma nazaran) daha sivri ve kuyrukları daha "şişman" olma görüntüsü verirler. Bu tip olasılık dağılımlarına şişman kuyruklu dağılım ve bazen de yüksek-Gauss tipi dağılım adı verilir. Laplace dağılımı ve logistik dağılım lepto-basık dağılımlara örnektirler. Basitçe bir ifade ile bir dağılımın ortası sivri, kuyrukları şişman ise, lepto-basık olur ve pozitif basıklık ölçüsü gösterir.

Bir olasılık dağlımı veya bir veri seti için basıklık ölçüsü sıfırın altında, negatif 0 ile -2 arasında olursa, bu türlü dağılıma plati-basık adı verilebilir. En alt sınırda basıklık ölçüsü -2 olan bir olasılık dağılım örneği, parametre değeri p = ½ olan bir Bernoulli dağılımıdır. Bu çeşit negatif basıklık ölçüsü gösteren dağılımların grafikleri ortalama etrafında düşük ve yayvan ve kuyrukları kısa sıska görünümünde veya ortası basık yamaçları dik yokuş bir "masa dağı" görünüşünde olurlar. Ayrık veya sürekli tekdüze dağılım ve yükseltilmiş kosinus dağılımı plati-basıklık (yani negatik basıklık ölçüsü) gösteren dağılımlara örnektirler. Bu türlü dağılımlar bir normal dağılımın yoğunluk grafiğine nazaran hem ortasında ve hem de kuyruklarında daha alçak görünüşlü olduğu için, alçak-Gauss tipi adı da verilir.

Eğer yukarıda verilen 'basıklık' ölçüsü yüksek pozitif değer gösteriyorsa dağılımın yoğunluk grafiğinde sivri bir doruk ve şişman kuyrukları bulunur; diğer taraftan basıklık ölçüsü negatif ve düşük ise (yani -2ye yakın), doruk daha yuvarlanmıştır ve genişçe yüksek omuzları bulunan bir "masa dağ" görünüşü almaktadır.

Mavi eğri basıklığı 2'ye eşit olasılık yoğunluk gösterir. Mavi eğri ile siyah eğri arasında olasılık yoğunlukları 2 = 1, 1/2, 1/4, 1/8, ve 1/16 olarak elde edilen eğriler verilir. Kırmızı eğri VII Tip Pearson dağılımları için ile (yani dördüncü momenti bulunmayan) bir yukarı limit verir. Bu kırmızı eğri için eğri orijinden uzaklaştıkça en az düşüş gösterir ; yani "şişman kuyrukları" vardır.

Bu aile içinde en üstteki eğri, meso-basık normal dağılıma kıyasla, çok lepto-basıklık karakteri gösterir. VII. tip Pearson yoğunluklarının doğasal üstel logaritmalarinin grafik gösterimi olan ikinci grafik ise lepto-basık yoğunlukların şişman kuyruklarını açıkça göstermektedir. Bu grafikte siyah renkli eğri ters bir parabolya benzeyen normal dağılım eğrisidir. Görülmektedir ki, basıklık derecesi 2 lepta-basık karakterli VII. tip Pearson dağılımın gösteren mavi eğri olan mavi eğriye nazaran, siyah normal eğri yoğunluk ortalamadan uzak bölgelere çok daha az olasılık vermektedir (yani "daha sıska kuyrukludur).

kullanılmaktadır, Burada n - örneklem büyüklüğü, D - hesaptan önce bilinen varyans değeri, xi x'inci ölçüm değeri ve - hesaptan önce bilinen ortalama değeri olurlar.

Ne yazıktır ki bu kendisi genellikle yanlı kestirimdir. Bu sadece bir normal dağılım için yanlı değildir çünkü o halde beklenen değeri sıfır olmaktadır.