Merkezî limit teoremi

Merkezi limit teoremi büyük bir sayıda olan bağımsız ve aynı dağılım gösteren rassal değişkenlerin (eğer sonlu varyans değerleri bulunuyorsa) aritmetik ortalamasının, yaklaşık olarak normal dağılım (yani Gauss dağılımı) göstereceğini ifade eden bir teoremdir. Matematiksel bir ifadeyle, bir merkezi limit teoremi olasılık kuramı içinde bulunan bir zayıf yakınsama sonucu setidir. Bunların hepsi, birçok bağımsız aynı dağılım gösteren rassal değişkenlerin herhangi bir toplam değerinin limitte belirli bir "çekim gücü gösteren dağılıma" göre dağılım gösterme eğiliminde olduğu gerçeğini önerir.

Bu teoreminin kapsamını genişletip sonuçlarını genelleştiren eklere göre (Lindeberg koşulu, Lyapunov koşulu, Gnedenko durumu ve Kolmogorov durumu) sonlu varyans gösterme için mutlaka aynı dağılım gerekmemektedir.

Merkezi limit teoremi olasılık kuramı için ikinci temel teorem olarak kabul edilmektedir. (Birinci temel teorem büyük sayılar yasasıdır.) , tane bağımsız ve aynı şekilde sonlu sayıda ve ortalamasıyla ve varyansıyla dağılım gösteren rassal değişkenler olsun. Merkezi limit teoremine göre, değişken sayısı artarak sonsuza yaklaştıkça, orijinal dağılım her ne şekilde olursa olsun, ortalaması ve varyansı olan, bir normal dağılıma yakınsama gösterir.

Yillarca, büyük örneklem hacmi pratik olarak olarak kabul edilmekteydi. Fakat 1990'lı yıllarda yapılan araştırmalar ortaya çıkarmıştır ki bu pratik kural her zaman geçerli değildir. Anakütle ne kadar çok çarpıklık gösterirse gereken büyük örneklem hacminin gittikçe daha büyük olması gerekmektedir. Bu şekilde çarpıklık gösteren anakütleler pratikte çok nadir bulunabilirler. Bu pratik kurala dayanan ve çıkarımsal istatistik için kullanılan Student'in t dağılımı tablolarına ancak verilmektedir ama simülasyon ve bilgisayar animasyonu ile gösterilmiştir ki Student'in t dağılımı tabloları için seçilen en yüksek örneklem hacmi olan yeterli büyüklükte değildir.Marasinghe, M., Meeker, W., Cook, D. & Shin, T.S.(1994 August), "Using graphics and simulation to teach statistical concepts", American Statistician Association'un, Toronto, Kanada 1994 yılı için yıllık konferansına sunulan bir makale.

Olasılık kuramı ve istatistik bilimleri için temel önem taşıyan merkezi limit teoremi'nin ispatı karakteristik fonksiyonu kullanarak kolayca yapılabilir. Bu ispat zayıf büyük sayılar yasasını ispat etmek için kullanılan yönteme çok benzemektedir.

olduğu çıkartılır. Bu limit ise açıkça standart normal dağılımı için karakteristik fonksiyondur ve merkezi limit teoremi, karakteristik fonksiyonların yakınsamasının dağılımın yakınsamasına eşit olduğunu bildiren Levy süreklilik teoremi kullanarak ispat edilmiş olur.

Eğer üçüncü merkezsel moment E((X1 − μ)3) bulunuyorsa ve sonlu ise, yukarıda açıklanan yakınsalaşma Berry-Eseen teoremi ile yakınsalaşma hızı asgari 1/n½ olur. Yakınsalaşma normali monotoniktir yani 'nin enformasyon entropisi bir normal dağılım entropisine monotonik olarak yakınsalaşır.

Merkezi Limit teoremi sonlu sayıda gözlemler için bir tahmin olarak kullanılması gerek bu sayılar normal dağılımın zirvesi etrafında toplanırsa iyi sonucdur; dağılımın kuyruklarında olan gözlemler için bu tahminin yeterince doğru olması için çok sayıda gözlem elde edilmesi gerekir.

Merkezi Limit Teoremi özellikle bağımsız ve aynen dağılım gösteren ayrık rassal değişkenler için uygulanır. Ayrık rassal değişken için bir toplama ile elde edilen değerde bir ayrık rassal değişkendir ve böylece bir seri ayrık rassal değişken için tek tek yığmalı olasılık dağılım fonksiyonu bir sürekli değişken için bir yığmalı olasılık dağılım fonksiyonua (yani normal dağılıma) yakınsalaşır.

Bu demektir ki eğer n sayıda bağımsız ve özdeş ayrık değişkenlerin toplamının gerçekleşmelerinin bir histogramını kurarsak, histogramı şekillendiren dikdörtgenlerin yukarı yüzlerinin merkezlerini birleştiren eğri, n' değerine yakınsalaştıkça, bir Gauss-tipi çan eğrisine gittikçe benzemeye başlar. Basit sadece iki değer alan bir ayrık değişkeni içeren binom dağılımı gösterdiği simüle edilen bir halde bile bu merkezi limit teoremi uygulandığı görülebilir.

olur ve böylece sıfır olmayan limitleyici davranışı temin eden bir normalize etme fonksiyonu hizmetini gören n nin en yüksek üssü olur. "Takrarlanan logaritma yasası" ise çok ilgi çekici olarak, normalize edici fonksiyonun, Büyük Sayılar Yasası için n ile Merkezi Limit Teoremi için ifadeleri arasında olduğunu bildirir ve bu iki teorem ifadesi de bu değerin iki tarafında bulunan limitleri gösterir demektedir.