Olasılık teorisi

Olasılık teorisi ya da ihtimaliyet teorisi rastgele olayların analizi ile ilgilenen bir matematik bilim dalıdır. Olasılık teorisinin ana ögeleri rassal değişkenler, saf rassal süreçler, olaylar olarak sayılabilir. Bunlar ya tek olarak ortaya çıkan veya bir zaman dönemi içinde gelişerek meydana gelen, ilk görünüşü rastgele bir şekilde olan deterministik olmayan olayların veya ölçülebilir miktarların matematiksel soyutlamalarıdır. Bir madeni parayı yazı-tura denemesi için havaya atmak veya bir zarı atmak ile ortaya çıkan sonuç ilk bakışta rastgele bir olay olarak görülebilirse bile eğer birbirini takip eden rastgele olaylar tekrar tekrar ortaya çıkartılırsa incelenebilecek ve tahmin edilebilecek belirli bir istatistiksel seyir takip ettikleri görülecektir. Bu türlü olaylar ve sonuçların seyirlerini betimleyen iki temsilci matematiksel sonuç büyük sayılar yasası ve merkezsel limit teoremidir.

İstatistik bilim dalının matematiksel temelini oluşturan olasılık teorisi, büyük veri serilerinin niceliksel analizini gerektiren birçok insan faaliyetinin incelenebilmesi ve anlaşılabilmesi için gereken temel esasları oluşturur. Bunun yanında, olasılık teorisinin yöntemleri, durumları hakkında sadece kısımsal bilgimiz olabilecek karmaşık sistemlerin tanımlanmasına da uygulanabilir. Örneğin; İstatistiksel Mekanik. Yirminci yüzyılda fizik biliminde en büyük buluşlardan biri, atomik düzeyde fiziksel olayların tabiatının olasılıklı olduğu ve bunların kuantum mekanik bilgisi ile açıklanıp, incelenip, kullanılabileceğidir.

Bilinen en eski olasılık ve istatistik hesaplamaları, 8 ve 13. yüzyıllar arasında kriptografi üzerine çalışan Arap matematikçiler tarafından geliştirilmiştir. Halil ibn Ahmed el-Ferahidi (717-786) sesli ve sessiz harflerle olası tüm Arapça kelimeleri listelemek için tarihte ilk defa permütasyon ve kombinasyonun kullanıldığı Şifreleme Mesajları Kitabı'nı yazmıştır. Kindî (801-873), kriptanaliz ve frekans analizi konusundaki çalışmalarında bilinen en erken istatistiksel çıkarımlarda bulunmuştur. İbn Adlan (1187-1268) ise frekans analizi kullanımı için örneklem büyüklüğü üzerine çalışmalar yapmıştır.

Matematiksel olasılık teorisinin tarihsel kökleri 16. yüzyılda Gerolamo Cardano ve 17. yüzyılda Pierre de Fermat ile Blaise Pascal tarafından yapılan şans oyunlarının matematiksel incelemelerine dayanır.

Başlangıçta, olasılık teorisi genellikle ayrık olayları incelemek için geliştirilmiş ve kullanılan yöntemler genellikle tümleşik matematik kurallarına dayandırılmıştır. Fakat giderek matematik analiz görüşleri daha ağır basarak olasılık teorisine sürekli değişkenlerin incelenmesinin de katılması gerektirmiştir. Bu gelişmenin şu andaki en son aşamasının temelleri, Andrey Nikolaevich Kolmogorov tarafından, ölçüm teorisina bağlantılı olan modern olasılık teorisi olarak ortaya çıkartılmıştır. Kolmogorov, Richard von Mises tarafından ortaya atılan örnek uzay kavramlarını ölçüm teorisi kavramları ile birleştirerek 1933'te modern olasılık teorisi için esas olan Kolmogorov aksiyomlarını ortaya atmıştır. Bu gelişme bilim camiası tarafından çabucak, hiç karşı çıkan kuram olmadan, modern olasılık teorisinin ana aksiyom sistemi olarak benimsenmiştir.

Olasılık teorisine girişlerin çoğunda, ayrık olasılık dağılımları ve sürekli olasılık dağılımları ayrı ayrı olarak incelemeye alınmaktadır. Halbuki olasılığın daha ileri matematiksel yaklaşımla incelenmesinin, hem ayrık, hem sürekli ve hem de bunların karışığı ve daha ilerisinde olan dağılımların hep birlikte yapılmasını gerektirmektedir.

Ayrık olasılık teorisi sayılabilir örneklem uzayında ortaya çıkan olayları inceler. Örneğin: Zar atılması, küp deneyleri, iskambil kartlarını çekmek veya rastgele yürüyüş olayları.

Buna göre tüm örneklem uzayının olasılığı 1e eşittir ve boş örneklem uzayı veya 0 olay için de olasılık 0a eşit olur.

fonksiyonuna, olasılık kütle fonksiyonu adı verilir. Modern tanım olasılık kütle fonksiyonunun nasıl ortaya çıktığını açıklayan bir kuram yaratmaz; sadece bu fonksiyonların varolduğunu kabul eden bir kuram ortaya çıkartır.

Olasılık yoğunluk fonksiyonu sadece sürekli rassal değişkenler için var olmakta ise de, yığmalı dağılım fonksiyonu içinde değerleri olan (aralıklı rassal değişkenler dahil) tüm rassal değişken için mevcut bulunmaktadır.

Modern olasılık teorisi yaklaşımı ölçüm teorisi kullanılması suretiyle yapılmakta ve bu kuram olasılık uzayında Kolmogorov aksiyomlarına dayandırılmaktadır. Olasılık uzayı üç kısımdan oluşmuştur. Olasılığın bu ölçüm teorisine göre uygulanmasının esas nedeni bu teorisin ayrık ve sürekli değişkenleri birlikte ele alabilmesinden ve aralarındaki farkları kullanılan ölçü ile açıklamasındandır. Bundan başka saf ayrık veya saf sürekli dağılımlar yanında bu iki kategoriye tam uymayan dağılımları da inceleme imkânı sağlamaktadır.

Eğer bir Borel σ-cebiri ise o hâlde herhangi bir yığmalı dağılım fonksiyonu üzerinde tek ve tek bir olasılık ölçümü bulunur ve bunun aksi önerim de doğrudur. Bu ölçüm ayrık değişkenler için olasılık kütle fonksiyonu ve sürekli değişkenler için olasılık yoğunluk fonksiyonu ile çakışmaktadır ve böylece ölçüm teorisine bağlı yaklaşım yanıltıcı mantıktan uzaklaştırmaktadır.

Belirli bir olay A için olasılık 0 ile 1 arasında değişen bir sayı ile temsil edilir. Hiç olanaksız bir olay için olasılık 0 olur ve kesinlikle olacak bir olayın olasılığı 1 olur. Bazı istatistikçiler bu uçsal olasılık değerlerinin sadece teorik olduğunu iddia etmektedirler çünkü kabul ettikleri olasılık açıklaması deneylemelerle limitte göresel çokluluk (relatif frekans) değerine dayanır. Diğer Bayes-tipi, özellikle subjektif, olasılık açıklamasına göre bu uçsal olasılık değerlerini sübjektif olarak düşünmek ve olaylara bu değerleri koymak imkân dahilindedir.

Bazı rassal değişkenler olasılık teorisi içinde daha sık olarak isimleri geçmektedir; çünkü bu değişkenler birçok doğal veya fiziksel süreçleri belirlemektedirler veya özellikle çıkarımsal istatistikte çok öneme haizdirler. Bunun için bu tür değişkenler için olasılık dağılımları olasılık teorisi içinde özel önem taşımaktadırlar.

Olasılık teorisi içinde rassal değişkenler in yakınsama kavramı birkaç değişik şekilde tanımlanır. Aşağıdaki listede bu değişik tanımlar tanımın geçerlilik gücüne göre sıralanmışdır. Bu sıralamaya göre sıranın içindeki herhangi bir tanım daha önce verilmiş olan tüm tanımları da içinde kapsamaktadır.

Güçlü yakınsamanın bir zayıf yakınsamanın daha güçlü bir şekli olduğu gerçeğinin sezilmesi kolaydır ve her iki hâlde de rassal değişkenler , ile artan bir korelasyon göstermektedirler. Ancak dağılım için yakınsama hâlinde, rasssal değişkenlerin gerçekleşen değerlerinin gerçekte yakınsama göstermeleri gerekli değildir ve bunların arasındaki herhangi bir korelasyonun hiçbir pratik önemi bulunmaz.