Lineer interpolasyon

Bu formül, aynı zamanda, ağırlıklı ortalama (İng. "weighted average") olarak düşünülebilir. Ağırlıklar değer aralığı uç noktalarından bilinmeyen noktaya olan uzaklıkla ters orantılıdır. Bir başka deyişle, yakın bir nokta uzak bir noktaya göre daha fazla ağırlığa (etkiye) sahiptir.

(x0, y0), (x1, y1), ..., (xn, yn)'den oluşan bir data setinin lineer interpolasyonu, dataya ait nokta çiftlerinden oluşan lineer interpolantların uç uca eklenmesi olarak tanımlanır. Bu, türevi (genellikle) süreksiz, diferansiyellenebilirlik sınıfı olan bir sürekli eğriyi üretir.

Görüleceği üzere, bir fonksiyona ait iki nokta arasındaki bir yaklaşımın niteliği, fonksiyonun ikinci türevine bağlıdır. Dolayısıyla, sert ve çok kıvrımlara sahip bir fonksiyon, az kıvrımlara sahip bir fonksiyona göre, lineer interpolasyonla, daha az bir nitelikte bir (kötü) yaklaşımı üretilebilir.

Lineer interpolasyon, genellikle bir değer tablosundaki ara boşlukları doldurmak için kullanılır. Örneğin, bir ülkenin 1970, 1980, 1990 ve 2000 yılındaki nüfusunu veren bir tablodan, 1994 senesi nüfusunu tahmin etmek, lineer interpolasyon ile mümkün olabilir.

Yanı sıra, bilgisayar grafik uygulamalarında lineer interpolasyon sıklıkla kullanılır. Lineer interpolasyon, bu konunun teknik jargonunda, bazen lerp olarak adlandırılır. Bu terim, İngilizce'de fiil ya da isim olarak kullanılabilir: ör. "Bresenham's algorithm lerps incrementally between the two endpoints of the line."

Lerp fonksiyonu, tüm modern bilgisayar grafik işlemcilerinin donanımına yükleniktir. Sıklıkla, bunlar daha karmaşık fonksiyonların yapıtaşı olarak kullanılır: örneğin, bir bilineer interpolasyon üç lerp ile tamamlanır. Bu fonksiyonun kullanılmasına, (kaynakları kullanma seviyesi olarak) ucuz ve kolay olduğu için, sürekli fonksiyonlarda hızlıca arabul için çok fazla maddeye (elemana ya da data noktasına) ihtiyaç duymadan doğruluk seviyesi yüksek bir başvuru çizelgesi yaratılmasında başvurulabilir.

Eğer bir C0 fonksiyonu yetersiz ise, örneğin C0'dan daha çalkantısız data değerleri üreten bir process varsa, lineer interpolasyon çoğunlukla bağ interpolasyonu ile ya da bazı hallerde polinom interpolasyon yer değiştirir.

Lineer interpolasyon, buraya kadar sadece bir konumsal boyutlu (İng. "spatial dimension") data noktaları için açıklandı. İki konumsal boyut için (düzlem), lineer interpolasyon bilineer interpolasyona; üç konumsal boyut için (hacim) trilineer interpolasyona evrilir. Dikkat edilmesi gereken husus ise, bu interpolantların artık konumsal koordinatların lineer fonksiyonu olmadığıdır. Aksine, lineer fonksiyonların çarpımlarından müteşekkildirler.

Lineer interpolasyonun diğer dönüşmüş tanımlarına, üçgensel ve dörtyüzlü meşlerde, örneğin Bézier yüzeyleri'nde rastlanabilir. Bu dönüşümler, çok-boyutlu parçalı lineer fonksiyon olarak adlandırılır (en alt figüre bakınız).

Babilli astronom ve matematikçilerin Seleukos Mezopotamyası'nda (milattan önce son üç yüzyıl), ve Yunan astronom ve matematikçi Hipparkos'un (M.Ö. 200 civarı) lineer interpolasyon kullanmış olduğu düşünülmektedir.

Bu lerp fonksiyonu alpha blending için (parametre t, alpha değeridir) sıklıkla kullanılan bir fonksiyondur. Bu formülasyon, bir vektörün çoklu bileşenlerinin harmanlanması için genişletilebilir (ör. konumsal olarak x, y, z eksenlerinde veyahut r, g, b renk bileşenlerinde).