Cebirin temel teoremi

eşitliği yazılabilir ve bu eşitliğin bu şekilde yazılabilmesi sadece tek bir şekilde yapılabilir. Bu şekilde yazıldıktan sonra, polinomun köklerinin olacağı açıktır. Burada polinomun köklerinin birbirinden farklı olmak zorunda olmayacağına dikkat edilmelidir.

Cebirin temel teoremi, her ne kadar cebirin ve teoremin kanıtlanmasından sonra üretilmiş matematiğin büyük bir bölümünün geliştirilmesinde önemli bir yere sahipse de, isminin içerdiği cebir kelimesi teoremi dar bir alana sokmamalıdır. Zira, bu teoremin tamamen cebirsel olan bir kanıtı bile yok gibidir. Teoremin bu isimle anılmasının sebebi teoremin kanıtlandığı dönemde cebirin kendini "denklemler kuramı" yani polinomların çözümüyle uğraşan bir kuram olarak tanımlamasıdır. Ancak, kanıtın yapıldığı zamandan bu yana cebirin kapsamına giren fikirler artmışsa da teoremin ismi değişmeden kalmıştır.

Teorem, kendine matematiğin içinde oldukça geniş bir uygulama bulmuştur. Örneğin, doğrusal cebirde özyapı dönüşümlerinin indirgenmesinde önemli bir yere sahiptir. Yine analizde, rasyonel fonksiyonların ayrışımında ve daha birçok teoremin kanıtında kullanılmaktadır.

Karmaşık değişkenli her polinom bölünebilir; yani derecesi 1 olan ve karmaşık katsayılara sahip polinomların çarpımı şeklinde yazılabilir.Teorem, derecesi n olan ve karmaşık katsayılı anXn +... + a1X + a0 şeklindeki polinomların an(X - α1)...(X - αn) halinde de yazılabileceğini işaret eder. Burada, 1'den k'ye kadar değişen her αk polinomun bir köküdür. Burada, farklı k'ler için αk'ler eşit olabilir. Bu durumda, αk'ye katlı kök adı verilir.

Cebirin temel teoremi, katsayıları gerçel sayı olan polinomlar ele alındığında şu dengi ifadelere karşılık gelmektedir:Gerçel katsayılara sahip, sabit olmayan her polinomun en az bir karmaşık kökü vardır. Gerçel katsayılı indirgenmez polinomlar ya 1 derecelidir ya da ikinci dereceden diskriminantı kesin negatif olan polinomlardır (yani ve halinde yazılabilen ve koşulunu sağlayan polinomlar).Sabit olmayan, gerçel katsayılara sahip her polinom, derecesi 1 veya 2 olan polinomların çarpımı şeklinde yazılabilir.

Peter Rothe (Petrus Roth), 1608'de yayımlanan Arithmetica Philosophica adlı kitabında gerçel katsayılara sahip n'inci dereceden bir polinom denkleminin n tane çözümünün olabileceğini yazmıştır. Albert Girard, 1629'da yayımlanan L'invention nouvelle en l'Algèbre adlı kitabında n'inci dereceden bir polinom denkleminin n tane çözümünün olduğunu yazmıştır. Dahası, bu ifadesinin "denklem eksikli olmadıkça" geçerli olduğunu ifade etmiştir. Ancak, ne demek istediğini detaylı bir şekilde açıkladığında, aslında ifade ettiği önermenin her zaman geçerli olduğuna inandığı ortaya çıkmaktadır. Mesela, x4 = 4x − 3 eksikli değildir; ancak yine de 4 kökü vardır:1 (iki kere), −1 + i√2, ve −1 − i√2.

Teoremi ilk kanıtlama girişimi 1746'da d'Alembert tarafından yapılmıştır; ancak kanıtı eksikti. Kanıtın sorunlarından biri de Puiseux teoremi olarak da bilinen bir teoremi varsaymasıdır ki bu teorem bu kanıtın yapılmaya tarihten 100 yıl sonra kanıtlanmıştır. Dahası, bu kanıt da cebirin temel teoremini varsayar. Teoremi kanıtlama girişimi euler tarafından (1749'da), de Foncenex tarafından (1759'da), Lagrange tarafından (1795'te) yapılmıştır. Bu dört girişimin hepsi de Girard'ın ifadesine dayanmaktadır.

18'inci yüzyıl sonunda, köklerin varlığını varsaymayan iki kanıt yayınlandı. Bunlardan biri James Wood tarafından verilmişti ve genel çerçevede cebirsel bir kanıttı; ancak zamanında pek de önemsenmedi. Wood'un verdiği kanıtın aynı zamanda cebirsel bir açığı vardı. Diğer kanıt ise Gauss tarafından 1799'da verilen kanıttı ve genel çerçevede geometrik bir kanıttı; ancak topolojik bir açığı vardı. Bu açık, Alexander Ostrowski tarafından 1920'de kapatılmıştır. Tamamen titizce hazırlanmış bir kanıt Argand tarafından 1806'da verilmiştir ve ilk defa burada cebirin temel teoremi gerçel katsayılı polinomlardan değil de karmaşık katsayılı polinomlardan bahsederek ifade edilmiştir. Gauss, daha sonra biri 1816'da ve diğeri de ilk verdiği kanıtın değişik bir hali olmak üzere 1849'da iki kanıt daha yayımlamıştır.

Teoremi ve kanıtını içeren ilk kitap Cauchy'nin Cours d'analyse de l'École Royale Polytechnique (1821) adlı kitabıdır. Argand'ın kanıtını içermektedir; ancak Argand'a herhangi bir atıf yapılmamıştır.

Bu bölümde dahil edilen kanıtların neredeyse hepsi bir şekilde analizden en azından gerçel ve karmaşık fonksiyonların sürekliliğini kullanacak derecede faydalanmaktadır. Bazı kanıtlar türevi ve hatta analitik fonksiyonları kullanmaktadır. Bu yüzden, aslında cebirin temel teoreminin ne temel ne de tamamen cebirsel bir özelliği mevcuttur.

polinomunun sadece gerçel katsayıları olacaktır. Dahası, z eğer q(z) 'yi sıfır yapan bir sayıysa yani q(z) 'nin köküyse, o zaman ya z ya da z 'nin eşleniği p(z) 'nin kökü olacaktır.

elde edilir. Burada sadece toplamdaki indeksin k = 0 olduğu durumda integralin değeri 0 olmaz. Bu bir çelişkidir. O yüzden, Anın özdeğeri vardır.