Hamilton mekaniği

Hamilton mekaniği klasik mekaniğin tekrar formüle edilmesiyle geliştirilmiş ve Hamilton olmayan klasik mekanik ile aynı sonuçları öngörmüş bir teoridir. Teoriye daha soyut bir bakış açısı kazandıran Hamilton mekaniği klasik mekaniğe kıyasla farklı bir matematiksel formülasyon kullanmaktadır. Tarihi açıdan önemli bir çalışma olan Hamilton mekaniği ileriki yıllarda istatistiksel mekanik ve kuantum mekaniği konularının da geliştirilmesine önemli katkılarda bulunmuştur.

Hamilton mekaniği ilk olarak William Rowan Hamilton tarafından 1833 yılında, klasik mekanik Lagranjiyen mekaniği'nden itibaren ele alınarak tekrar formüle edilmiştir. Lagranjiyen mekaniği ise klasik mekaniğin önceki önemli formülasyonlarından birisidir ve Joseph Louis Lagrange tarafından 1788 yılında geliştirilmiştir.

ve denklem içerisindeki (q, p, t) Hamiltonyen'ı ifade etmektedir. Hamiltonyen genelde sistemin toplam enerjisine eşittir ancak bunun geçerli olmadığı durumlar da vardır. Kapalı bir sistemde Hamiltonyen H sistemin kinetik ve potansiyel enerjisinin toplamına eşittir.

Newton mekaniğinde, zamandaki değişim sistem içerisindeki her parçacığa etki eden toplam kuvvet hesaplanarak elde edilir ve Newton'ın ikinci yasası kullanılarak hem hızın hem de pozisyonun zaman içindeki değişimi hesaplanır. Buna karşın Hamilton mekaniğinde zamandaki değişim, sistemin Hamiltonyen'ı genel koordinatlarda hesaplandıktan sonra Hamilton denklemine yerleştirilerek elde edilir. Bu yöntem Lagranjiyen mekaniğinde kullanılan yöntem ile aynıdır. Aşağıda da gösterildi üzere, Hamiltonyen aslında q ve t değerlerinin sabit tutulup p 'yi iki değişkeli bir eleman olarak tanımlayan bir Lagranjiyen Legendre dönüşümüdür. Buna bağlı olarak her iki yaklaşım da aynı genelleştirilmiş momentum değerleri için aynı denklemleri verir. Lagranjiyen mekaniği yerine Hamilton mekaniği kullanılmasının temel nedeni ise Hamiltonyen sistemlerin simplektik (symplectic structure) yapısından kaynaklanmaktadır.

Hamilton mekaniği zıplayan bir top, bir sarkac veya salınım yapan bir yay gibi basit sistemlerin hareketini açıklamak için kullanılabilir. Bu basit sistemlerdeki enerji, kinetik enerji ve potansiyel enerji arasında zamanla değişime uğrayarak birbirine dönüşür. Buna ek olarak Hamilton mekaniğinin gücünün asıl görüldüğü nokta daha karmaşık dinamik sistemlerdir. Gezegenlerin yörünge hareketleri, gök mekaniği gibi alanlar buna birer örnektir. Sistemin hareket eksenlerindeki özgürlük arttıkça, sistemin zamana bağlı değişkelerinin hesaplanması zorlaşır. Çoğu durumda ise bu sistemler kaotik davranışlar gösterir.

Bu örnekte, p'nin zamana bağlı türevi Newtonyan kuvvete eşittir. Buda birinci Hamiltonyen denkleminin ifade ettiği gibi kuvvet, potansiyel enerjinin negatif gradyanına eşittir. q'nun zamana bağlı türevi ise hıza eşittir. Buda ikinci Hamiltonyen denkleminin ifade ettiği gibi parçacığın hızı, kinetik enerjinin momentuma bağlı türevine eşittir.

alt indisler ise bu türdeki tüm değişkenleri tanımlar. Hamilton mekaniğinin amacı genelleştirilmiş hız değişkenlerini genelleştirilmiş momentum değişkenleri ile değiştirmektir. Genelleştirilmiş momentum değişkenleri konjuge momentum olarak da bilinmektedir. Böylelikle bazı sistemleri ele alarak incelemek mümkün hale gelmektedir. Quantum mekaniğindeki bazı problemler bunlara örnek olarak sayılabilir ve Hamilton mekaniğinin yardımı olmadan bu sistemler çok daha karmaşık bir hal almaktadır.

Kartezyen koordinat sistemlerinde genelleştirilmiş momentum tam olarak lineer (doğrusal) momentuma karşılık gelir. Dairesel (kutupsal) koordinat sisteminde ise açısal hız ile ilişkilendirilen genelleştirilmiş momentum açısal momentuma karşılık gelir. Rastgele bir seçim ile tanımlanan genelleştirilmiş koordinat sistemleri her zaman sezgisel bir konjuge momentum karşılığına sahip olmayabilir.

Bu koordinata bağımlı formülasyonda açıkça görünmeyen bir durum vardır. Aynı simplektik (symplectic) manifoldlardaki farklı genelleştirilmiş koordinatlar, farklı koordinat yamalarından çok da farklı değillerdir (matematiksel formülasyonu aşağıda görünmektedir).

Eğer ki genelleştirilmiş koordinatları tanımlayan dönüşüm denklemleri 'den bağımsız ise ve Lagranjiyen 0, 1 veya 2. dereceden homojen bir fonksiyonun ürünlerinin toplamından oluşuyor ise, Hamiltonyen toplam enerji 'ye eşittir.

Hamilton denklemleri tane birinci dereceden diferansiyel denklemden oluşmasına karşın Lagrange denklemleri tane ikinci dereceden diferansiyel denklemden oluşur. Buna karşın Hamilton denklemleri, hareket denklemlerine açık bir çözüm bulmayı kolaylaştırmaz. Bir takım önemli teorik sonuçlar elde edilebilebilmesi Hamilton denklemlerinin sağladığı bazı avantajlardandır. Bu durum momentum ve koordinatların neredeyse simetrik role sahip bağımsız değişkenler olması ile mümkündür.

Hamilton denklemlerinin Lagrange denklemleri üzerindeki bir diğer avantajı ise simetri bulunan herhangi bir koordinatın çözüm denklemlerinin ihmal edilebilmesidir. Simetri bulunan sistemlerde yani Hamiltonyenin ortaya çıkmadığı koordinatlarda, bu sisteme karşılık gelen momentumlar korunur. Bu sayede problem koordinatdan koordinata indirgenmiş olur.

Hamilton denklemleri yukarıda da görüldüğü üzere klasik mekanikte tutarlı bir şekilde sonuç vermektedir ancak kuantum mekaniğinde aynı durum geçerli değildir. Bunun nedeni klasik mekanikte sistem içindeki bir parçacığın konum ve momentum bilgisinin anlık olarak herhangi bir anda kesin olarak bilinebilmesine karşın kuantum mekaniğinde bu durum söz konusu değildir. Buna rağmen denklemler genelleştirilerek klasik mekaniğe uygulandığı gibi kuantum mekaniğine de uygulanabilir. Poisson cebirin ve üzerindeki yapısı tekrar oluşturularak Moyal parantezleri cebirine çevirilebilir.

Bu yöntem ile 'nin deneysel olarak ölçülememesine karşın deneysel olarak ölçülebilir. Bu hesaplamada Hamiltonyenin (toplam enerji) relativistik enerji (kinetik + durgun kütle) , ve potansiyel enerji toplamı olduğu göz önünde bulundurulmalıdır.

Hamiltonyen bir sistem zaman üzerinde bulunan lif yumağı olarak anlaşılabilir. Fiberler , burada konum uzaylarıdır. Böylece Lagranjiyen üzerinde bulunan jet yumağı 'dir. Lagranjiyenin lif benzeri Legendre dönüşümlerinin alınmasıyla, zaman üzerinde çiftle yumak fonksiyonları oluşturulur. Burada 'de bulunan lif kotanjant uzayı 'dir. Doğal simplektik form ile donatılmış ve bu fonksiyon Hamiltonyendir.

Simplektik manifold içerisinde herhangi bir düzgün (smooth) gerçel değerli fonksyion Hamiltonyen sistem tanımlamak için kullanılabilir. foksiyonu Hamiltonyen olarak bilinir ve enerji fonksiyonu olarak da kullanılır. Böylece simplektik manifold faz uzayı olarak da adlandırılır. Hamiltonyen, simplektik manifold üzerinde özel bir vektör alanı tanımlar ve bu alan Hamiltonyen vektör alanı olarak adlandırılır.

Özel bir çeşit simplektik vektör alanı olan Hamiltonyen vektör alanı, manifold üzerinde Hamiltonyen akışını oluşturur. Bu durum manifoldun tek parametreli dönüşüm ailesidir. Eğrilerin parametreleri genel olarak zaman olarak adlandırılır. Başka bir deyişle simplektikmorfizmin izotopisi özdeşlik ile başlar. Liouville teorem ile birlikte her bir simplektikmofizm, faz uzayındaki hacim formunu korur. Hamiltonyen akış tarafından oluşturulan simplektikmorfizmin bir araya gelmesi genellikle Hamiltonyen sistemlerin Hamiltonyen mekaniği olarak adlandırılır.

Simplektik manifold üzerindeki her bir düzgün (smooth) fonksiyon , simplektikmorfizmin tek parametreli bir ailesini meydana getirir. Eğer ki durumu sağlanır ise, korunur ve simplektikmorfizm bir simetri dönüşümüdür.

Hamiltonyen vektör alanının integral alınabilir olması ile ilgili açık bir soru vardır. Genelde Hamiltonyen sistemler kaotikdir. Ölçüm konsepti, tamamlayıcılık, integral alınabilirlik ve durağan olma durumu yetersiz şekilde tanımlanır. Bu durumda, dinamik sistemlerin incelenmesi öncelikli olarak niteldir, nicel bir bilim değildir.

Denklemde bulunan , bazen kometrik olarak da adlandırılır ve konfigürasyon uzayı 'ya kotanjant uzayında fiber 'da düzgünce değişiklik gösterir. Bu Hamiltonyen tamamen kinetic kısımdan oluşmaktadır.

Riemann manifold veya yarı Riemann manifold göz önünde bulundurulduğunda, Riemann metriğin tanjant ve kotanjant demetleri arasında doğrusal izomorfizme yol açtığı görülür. Bu isomorfizm kullanılarak kometric tanımlanabilir. Koordinatlar içerisinde kometriği tanımlayan matriks, metriği tanımlayan matriksin tersidir. Hamiltonyen için Hamilton-Jacobi denklemlerinin çözümü, manifoldlarda bulunan jeodezik ile aynıdır. Bilhassa, bu durumda gözlenen Hamiltonyen akış, jeodezik akış ile aynıdır. Bu çözümün varlığına ve varlığının oluşturduğu setin tamamlayıcılığına dair detaylı bilgi jeodezik makalesinde daha detaylı anlatılmıştır.

Kometriğin (cometric)'in dejenere olduğu durumlar aynı zamanda tersine çevrilemediği durumlardır. Bu durumlarda Riemann manifoldunu ve dolayısıyla metriği elde etmek olanaksızdır. Buna rağmen Hamiltonyen halen daha hesaplanabilir. Konfigürasyon manifold uzayı 'nun her bir noktası 'da dejenere halde bulunan kometriğin derecesi, konfigürasyon manifold uzayı 'nun boyutundan daha azdır ve bu durum Alt Riemannyen manifoldu olarak adlandırılır.

Hamiltonyen sistemler farklı yöntemler ile genelleştirilebilirler. Simplektik manifold üzerinde bulunan düzgün (smooth) bir fonksiyonun cebirine basitçe bakmak yerine, Hamiltonyen mekaniği genel komütatif birimsel gerçek Poisson cebir (general commutative unital real Poisson algebra) üstüne formüle edilebilir. Bir durum Poisson cebirinde devamlı doğrusal (lineer) fonksiyonumsudur. Bu fonksiyonumsu bazı uygun topolojiler ile donatılmıştır ve barındırdığı her element için pozitif olmayan gerçel sayılar kümesi düşer.