Koordinat sistemi

Koordinat sistemi geometride herhangi bir düzlemdeki (çokkatlıdaki) bir nokta veya başka bir geometrik elemanın konumunu tam olarak belirlemek için bir veya daha çok sayı ya da koordinat kullanılan bir sistemdir. Koordinatlar basit matematikteki reel sayılardan oluşur. Fakat soyut cebir gibi bazı alanlarda karmaşık sayılar veya elemanlardan oluşabilir. Koordinat sisteminin kullanılması, geometrik problemlerin sayısal problemlere ve tersine dönüştürülmesini sağlar. Bu analitik geometrinin temelidir.

Bir koordinat sistemine en basit örnek, sayı doğrusunu kullanarak bir çizgi üzerinde bulunan noktaları tanımlanmasıdır. Bu sistemde çizgi üzerinde keyfi bir O (orjin) noktası seçilir. Bir P noktasının koordinatı, O'dan P'ye kadar olan işaretli mesafe ile belirtilir. Buradaki işaretli mesafe, P'nin doğru üzerinde bulunduğu tarafa göre pozitif veya negatif olabilir. Her bir nokta eşsiz koordinata sahiptir ve her bir reel sayı eşsiz bir noktanın koordinatıdır.

Koordinat sisteminin prototipsel örneği, kartezyen koordinat sistemidir. Düzlemde iki dik çizgi verilsin. Bu düzlemdeki bir noktanın koordinatları bu çizgilere göre işaretli mesafesi ile belirtilir.

Üç boyutlu uzaydaki üç dik düzlemde, bir noktanın her bir düzleme göre üç koordinatı vardır. Bu, n boyutlu Öklid uzayındaki bir noktanın n tane koordinatını hesaplamak için genelleştirilebilir.

Kutupsal koordinat sistemi düzlem için ortak koordinat sistemidir. Kutup olarak bir merkez noktasına ışın kadar bir mesafedeki noktaya kutupsal eksen denir. Örneğin kutupsal eksenden θ açı r mesafesi kadar (aksi belirtilmediği müddetçe saat yönünün tersinde) uzaklıktaki bir noktanın koordinatlarından (r, θ)'dir. Bu sadece tek bir noktanın koordinatlardır. Fakat herhangi bir nokta birçok koordinat ile belirtilebilir. Örneğin (r, θ), (r, θ+2π) ve (−r, θ+π), aynı noktaya ait kutupsal koordinatlardır.

Kutupsal koordinat sistemini genişletip üç boyuta çıkarmanın ortak iki yöntemi vardır. Silindirik koordinat sistemi, kartezyen koordinat sistemi ile benzerdir, yalnızca r ve θ kutupsal koordinatlara z koordinatı ilave edilmiştir. Küresel koordinatlar bunu bir adım daha ileri götürür ve (r, z) silindirik koordinat çiftleri, (ρ, φ) kutupsal koordinatlarına dönüştürür ve (ρ, θ, φ) biçiminde üç kat olur.

Düzlemdeki bir nokta homojen koordinat sisteminde (x, y, z) katlarıyla ifade edilebilir. Burada x/z ve y/z noktanın kartezyen kooordinatlarıdır. Bu, düzlemdeki bir noktayı ifade etmek için gereken "ek" bir koordinat ilavesidir. Fakat bu sistem sonsuzda olmayan izdüşümsel düzlemdeki herhangi bir noktayı ifade etmek için kullanılır. Genellikle bir homojen koordinat sistemi, yalnızca anlamlı olan, fakat gerçek değeri olmayan koordinatlardan oluşur.

Geometriksel şekli ifade eden çok farklı koordinat sistemi olduğundan dolayı, aralarındaki bağlantıyı anlamak önem arz eder. Bir sistemdeki koordinatların formülü, koordinat dönüşümleri vasıtasıyla başka bir sisteme dönüştürülerek aralarındaki bağlantı açığa çıkar. Örneğin düzlemde, (x, y) kartezyen koordinatları ile (r, θ) kutupsal koordinatları aynı orjinde ve kutupsal eksen, pozitif x ekseni olsun. Bu durumda kutupsal koordinatların kartezyen koordinatlarına dönüşümü x = r cosθ ve y = r sinθ'dir.