Kuantum harmonik salınıcı

Kuantum harmonik salınıcı, klasik harmonik salınıcın benzeşiğidir. Rastgele seçilmiş potansiyeli denge noktası civarında harmonik potansiyele yakınsanabildiğinden nicem mekanğindeki en önemli model sistemlerden biridir. Dahası, nicem mekaniğinde kesin analitik çözümü olan çok az sistemden biridir.

Bu enerji spekturumu üç nedenden dikkat edilmeye değerdir. Öncelikle enerjiler nicelenir, yani sadece ayrık enerji değerleri mümkündür (tam sayı ve yarısının toplamı ile ħω’ın çarpımı); bu nicem sistemlerinde, parçacık sınırlandığındaki sistemlerin genel özelliğidir. İkinci olarak, bu ayrık enerji düzeylerinde eşit olarak boşluk bırakılır, Bohr atom modelinin aksine, ya da kutudaki parçacık gibi. Üçüncü olarak, ulaşılabilen en düşük enerji (n = 0 durumu, zemin durumu) potansiyel enerjiden büyüktür ancak hw/2’den küçüktür bu duruma sıfır noktası enerjisi denir. Heisenberg’ün belirsizlik ilkesine göre sıfır noktası enerjisi yüzünden, salınıcının zemin noktasındaki konumu ve momentumu klasik salınıcıda olduğu gibi düzgün değildir, ama dağılım çeşitliliği azdır. Sıfır noktası enerjisinin nicem alan kuramı ve nicem kütleçekimi içinde oldukça büyük önemi vardır. Zemin durumu olası özkütlesinin sıfır noktasında yoğunlaşması dikkate alınması gereken bir durumdur. Bu parçacığın beklendiği gibi düşük bir enerji ile zamanının çoğunu potansiyel kuyusunun dibinde geçirdiği anlamına gelir.

Enerjinin artması ile birlikte, olası özkütle enerjinin potansiyel enerji ile uyuştuğu klasik dönüm noktalarında yoğunlaşır. Bu klasik harmonik salınıcı ile tutarlıdır, bunun için parçacık zamanının çoğunu en yavaş olduğu dönüm noktalarında harcar. Bu yüzden karşılanım ilkesi doğrudur.

Bu şu anlama gelir; a |n⟩’e göre değişir, çarpımsal bir sabit, |n–1⟩, üretmek için ve () |n⟩’e göre değişir, |n+1⟩, sabitini üretmek için değişir. Bu yüzden, a düşürücü işlemci, ve () yükseltici işlemcisi olarak da adlandırılır. Bu iki işlemciye yaradış-yokediş işlemcileri de denir. Nicem alan kuramında yaradış-yokediş işlemcileri olarak da adlandırılırlar çünkü enerjinin miktarına göre parçacık yaratıp yok ederler.

Nicem mekaniğinin faz-uzayı denklemleştirilmesinde, nicem harmonik salınıcı için olasılık dağılımında birkaç farklı temsili çözümler yazılabilir. En yaygın kullanılanı ise Wigner işlevidir.

Bu Hamilton işlevi formunun açıkça gösterdiği gibi, N-boyutlu harmonik salınıcı N tane bağımsız, aynı kütle ve yay sabitine sabit salınıcı ile tamamıyla aynı şeydir. Bu durumda, nicelikler, x1, ..., xN, N tane parçacığın yerini belirtirler. Bu potansiyelinin, potansiyel enerjinin koordinatlara göre ayrılmasını sağlayan uygun bir özelliğidir.

Tek-boyutlu durumdaki gibi enerji nicemlenir. Taban durum enerjisi tek boyutlu durum enerjisinin N katıdır, bu benzerliği beklendiği gibi N tane bağımsız tek-boyutlu salınıcı için kullanırız. Bunun dışında bir fark daha vardır tek-boyutlu durumda, tüm enerji düzeyleri farklı bir nicem değeri ifade eder. N-boyutta, zemin durumu hariç, enerji düzeyleri bozulur, bu yüzden bazı durumlarda aynı enerji olur.

Çakışıklık (degeneracy) diğer işlemlere oranla kolayca hesaplanabilir. Örnek olarak, 3-boyutlu bir durumu varsayalım: n = n1 + n2 + n3 olarak tanımlayalım. Tüm durumlar aynı n ile eşit enerjiye sahip olur. Bilinen n için, belirli bir n1 seçilir, n2 + n3 = n − n1 ‘dir. n − n1 + 1‘in olası grupları {n2, n3}’dir. n2 0’dan n − e kadar değerler alır ve tüm n2 değerli için n3 ayarlanır. Çakışıklığın (degeneracy) derecesi şöyle hesaplanır.

Verilen özel durum N = 3, tamamen bu eşitliği takip edilerek bulunur. Ancak bu sadece fark edilebilir parçacıklar için doğrudur ya da N-boyuttaki bir parçacık için doğrudur. N tane bozon için geçerli durumdaki çakışıklık çizelgesi tam sayıları kullanarak yazıldığında N’den küçük ya da N’e eşittir.

n’in çift ya da tek olmasına göre toplam 0 ya da 1’den başlar. Bu sonuç üsteki boyut denklemine göre ve SU(3)’ün eşbakışımlı temsili ile ilgili çakışıklık grubudur.

Harmonik salınıcı görüşünü birçok parçacığın kafesi olarak genişletebiliriz. Tek boyutlu nicem mekanik harmonik zincirinde N tane özdeş atom ele alınır. Bu kafesin en basit nicem mekaniksel modelidir, ve bundan nasıl fononların yayıldığını görürüz. Bu model için gelişecek olan biçim iki ve üç boyutlu olarak genellenebilir.

fononun dalga numarasıdır, yani 2 π’nin dalga boyuna bölünmesidir. Nicelikli değerlerdir, çünkü atom sayısı sonludur. Bu seçim istenilen değiştirme ilişkilerinin gerçek boşluk ya da dalgayöneyi uzayını alıkoyar.

ħω’ nin gerçek enerji değeri, sonraki enerji düzeyinin harmonik salınıcı kafesine tedarik edilmelidir. Elektromanyetik alan sayısal olarak belirlendiğinde foton durumunun kıyasında titreşim enerjisinin nicemine fonon denir.

Tüm nicem sistemleri dalgamsı ya da parçacığımsı özellik gösterirler. Fononun parçacığımsı özellikleri ikinci nicelemede en iyi anlaşılır ve işlemci teknikleri sonra tanımlanır.

Kütle ve yükün değişmeyen manyetik alanda olması açısal momentumlu tek boyutlu nicem harmonik salınıcına ya da iki boyutlu nicem harmonik salınıcına bir örnektir.