Katı cisim dinamiği

Katı cisim dinamiği Newton’un hareket yasalarından ve Lagrange mekaniğinden oluşan hareket denklemleri ile tanımlanmaktadır. Bu denklemlerin çözümleri, katı cisimlerin içinde olduğu sistemin değişimlerini zaman bağlı yapılandırmaktadır. Katı cisim dinamiğinin formülize edilmesi ve çözülmesi mekanik sistemlerin  bilgisayar benzetimlerinin önemli bir aracıdır.

Düzlem üzerinde sınırlanmış bu hareket sistemleri içinaçısal hız ve açısal ivme vektörleri k boyunca ve hareket düzlemine dik olarak yönlendirmişlerdir; bu ivme denklemini de sabitleştirir. Bu durumda ivme vektörleri, referans noktası olan R’den ri noktasına birim vektörleri kullanarak ifade edilebilir ve birim vektörlerti=kxei olur.

Konumlandırmanın ilk girişimlerini Leonhard Euler gerçekleştirmştir. Euler birbiri etrafında dönebilen üç çerçeve düşünmüş ve sabit bir çerçeveden başlayarak, üç adet dönüş ile herhangi bir referans çerçeve oluşturabileceğini keşfetmiştir. Bu üç dönüş değerine Euler açısı denilmektedir.

Bu üç açı savrulma, dönme ve atılma ayrıca navigasyon veya Kardan açıları olarak da adlandırlmaktadır. Matematiksel olarak on iki setten oluşan Euler açılarının içinden altı olasılığı içeren bu konumlandırma bir cismin konumunu (örneğin bir uçağın konumu) belirlemekte en iyi yaklaşımdır. Havacılıkta genellikle Euler açıları olarak kullanılırlar.

Euler ayrıca iki farklı eksen etrafında dönmenin, farklı bir eksen etrafında tek bir dönme olarak da ifade edilebileceğini fark etmişti (Euler’in dönme Teorisi). Bu durumda daha önce kullanılan üç açı tek bir dönmeyi ifade etmeli idi, bu eksenin hesaplanması matris yöntemi geliştirilene kadar karmaşıktı. Bu bilgiler ışığında herhangi bir dönme işlemini ifade etmek için, dönme ekseni üzerinde bir vektör ve açı büyüklüğüne eşit bir modülü olan vektörel bir yaklaşım geliştirdi. Bu durumda herhangi bir dönme, bir referans noktadan tanımlana bilen bir dönme vektörü ile ifade edilebildi (bu vektör Euler vektörü olarak da adlandırılır). Bu vektör konumlama için kullanıldığında konumlama vektörü veya irtifa vektörü olarak adlandırılır. Eksen-açısı temsili olarak bilinen benzer bir metot, dönmeyi veya konumlandırmayı dönme ekseni üzerine yerleştirilmiş bir birim vektör ve açıyı ayrıca gösteren bir yaklaşımla ifade etmektedir (Bakınız şekil).

Matrisleri geliştirilmesi ile Euler teorisi yeniden yazılmıştır. Dönme hareketi, dönme matrisleri veya yönlü kosinüs matrisleri olarak adlandırılan, dikey matrisler kullanılarak tanımlanmıştır. Konum belirlemede kullanılan matrisler, genellikle konumlama matrisi veya irtifa matrisi olarak isimlendirilir.

Yukarıda belirtilen Euler vektörü, dönme matrisinin öz vektörüdür. İki dönme matrisinin sonucu, dönmelerin bir bileşkesidir. Bu durumda konum, başlangıçtan itibaren oluşan dönme hareketlerinin bütünü olarak tanımlanabilir.

Simetrik olamayan cismin n-boyutlu bir uzayda yerleştirilmesi SO(n) × Rn, olarak tanımlanır. Cisim için konumlandırma cisim üzerine yerleştirilecek teğet vektörleri ile görselleştirilebilir. Her bir vertörün gösterdiği nokta cismin konumunu ortaya koyar.

Dönmeyi tanımlamanın bir başka yolu, versor olarak da tanımlanan dönme kuaternionlarının kullanılmasıdır. Kuaternionlar, dönme matrisine ve vektörüne eşleniktir ve dönme vektörlerine kıyasla matrislere veya matrislerden daha kolay dönüşümü sağlanır. Konumlama için kullanıldıklarında konumlama kuaternionu veya irtifa kuarternionu olarak tanımlanır.

Burada, F parçacık üzerinde etki eden tek dış kuvvet olarak anlaşılmaktadır. M parçacığın kütlesi, a ivme vektörüdür. Newton 2. Kanununun katı cisimlere genişletilmesi, katı cismin katı parçacıklardan oluşan bir sistem olarak tanımlanması ile elde edilmektedir.

Katı sistem üzerinde etki eden kuvvet denklemlerinde önemli bir sadeleştirme, sonuç kuvvet ve tork kullanımı ile elde edilmektedir. Sonuç kuvvet ve sonuç tork için kullanılan denklemler aşağıda verilmektedir.

Bu nokta yerçekimi veya yay kuvvetleri gibi korunmalı kuvvetlerin, potansiyel enerji olarak bilinen potansiyel fonksiyondan V(q1, ..., qn), elde edilebileceğini belirtmek yerinde olur.

Katı cisimlerin oluşturduğu mekanik sistemlerin hareket denklemleri edinimsiz işi D'Alembert formunda ifade ederek belirlenebilir. Edinimsiz iş, katı cisimlerin durağan denge içinde olduğu sistemleri incelemek için kullanılmaktadır, ancak bu yaklaşım ivmelenme terimlerinin Newton kanunlarına eklenmesi ile genellenmiş dinamik denge yaklaşımlarında kullanılmaya başlanmıştır.

Tek serbestlik derecesi olan sistem üzerinde etkili genel kuvvet denklemi. Mekanik sistemin m genel koordinat qj, j=1,...,m, ile tanımlanması durumunda bu sistemin m adet serbestlik derecesi vardır.

Bu formülleri katı cinsime özgü hale getirmek için, parçacıkların Pi i=1 …n, birbirlerine katı olarak ri koordinatlarında bağlandığı ve hızlarının violduğu varsayıldığında; R referans noktası kullanılarak görece konum ve hız vektörleri hesaplanır.