Felix Klein

Christian Felix Klein (; 25 Nisan 1849 - 22 Haziran 1925), grup teorisi, karmaşık analiz, Öklid dışı geometri ve geometri ile grup teorisi arasındaki ilişkiler üzerine yaptığı çalışmalarla tanınan Alman matematikçi ve matematik eğitimcisi. Klein'ın geometrileri temel simetri gruplarına göre sınıflandıran 1872 Erlangen programı, döneminin matematiğinin büyük kısmının etkili bir senteziydi.

Felix Klein 25 Nisan 1849'da Prusyalı bir ailenin çocuğu olarak Düsseldorf'ta doğdu. Babası Caspar Klein (1809-1889), Ren Eyaleti'nde görevli bir Prusya hükûmet yetkilisinin sekreteriydi. Annesi, Sophie Elise Klein'dı (1819-1890, Evlilik öncesi soyadı Kayser). Düsseldorf'taki Gymnasium'a katıldı, daha sonra fizikçi olma niyetiyle 1865-1866 Bonn Üniversitesi'nde matematik ve fizik okudu. O zamanlar Julius Plücker, Bonn'un matematik ve deneysel fizik profesörüydü, ancak Klein asistanı olduğunda, 1866'da Plücker'in ilgisi esas olarak geometri idi. Klein doktorasını 1868'de Bonn Üniversitesi'nden Plücker'ın gözetiminde yaptı.

Plücker 1868'de öldü ve çizgi geometrisinin temeli hakkındaki kitabını eksik bıraktı. Klein, Plücker'in Neue Geometrie des Raumes'ın ikinci bölümünü tamamlayan en bariz kişiydi ve böylece 1868'de Göttingen'e taşınan Alfred Clebsch ile tanıştı. Klein ertesi yıl Berlin ve Paris ziyaretleri esnasında Clebsch'i de ziyaret etti. Temmuz 1870'te, Fransa-Prusya Savaşı'nın başında Paris'teydi ve ülkeyi terk etmek zorunda kaldı. 1871'in başlarında Göttingen'de kısa bir süre için öğretim görevlisi olarak atanmadan önce Prusya Ordusunda sağlık memuru olarak görev yaptı.

Erlangen, 1872'de henüz 23 yaşındayken Klein profesörü olarak atandı. Bunun için, onu zamanının en iyi matematikçisi olarak gören Clebsch tarafından uygun bulundu. Klein, çok az öğrencinin olduğu Erlangen'de kalmak istemedi ve 1875'te Münih'teki Technische Hochschule'de profesörlük teklif edilmesinden memnun oldu. Orada Alexander von Brill ile birlikte, Adolf Hurwitz, Walther von Dyck, Karl Rohn, Carl Runge, Max Planck, Luigi Bianchi ve Gregorio Ricci-Curbastro dahil olmak üzere birçok mükemmel öğrenciye ileri kurslar verdiler.

Technische Hochschule'de beş yıl geçirdikten sonra Klein, Leipzig'de bir geometri kürsüsüne atandı. Meslektaşları arasında Walther von Dyck, Rohn, Eduard Study ve Friedrich Engel de vardı. Klein'ın Leipzig'deki 1880-1886 yılları, hayatını temelden değiştirdi. 1882'de sağlığı çöktü; 1883-1884'te depresyona girdi. Yine de araştırmalarına devam etti; Onun hiperelliptik sigma fonksiyonları üzerine 1886 ve 1888 yılları arasında yayınlanan ufuk açıcı çalışması bu dönemden kalmadır.

Klein, 1886'da Göttingen Üniversitesi'nde profesörlüğü kabul etti. O andan itibaren, 1913 emekli olana kadar, Göttingen'i matematik araştırmaları için dünyanın en önemli merkezi olarak yeniden kurmaya çalıştı. Bununla birlikte, geometri geliştiricisi olarak kendi başrolünü Leipzig'den Göttingen'e asla transfer etmeyi başaramadı. Göttingen'de matematik ve fizik arasındaki arayüz, özellikle de mekanik ve potansiyel teori ile ilgili çeşitli dersler verdi.

Klein'ın Göttingen'de kurduğu araştırma ünitesi, dünya çapında bu tür ünitelerin en iyisi için örnek teşkil etti. Haftalık tartışma toplantılarını başlattı ve matematiksel bir okuma odası ve kütüphane oluşturdu. 1895'te Klein, David Hilbert'i Königsberg Üniversitesi'nde işe aldı. Bu atamanın büyük önemi olduğunu kanıtladı; Hilbert, Göttingen'in matematikteki önceliğini 1932'de emekli olana kadar geliştirmeye devam etti.

Klein'ın editörlüğünde Mathematische Annalen, dünyanın en iyi matematik dergilerinden biri oldu. Clebsch tarafından kuruldu, Klein'ın yönetimi altında büyüdü, Berlin Üniversitesi'ndeki Crelle's Journal'a rakip oldu ve sonunda geçti. Klein, düzenli olarak toplanan ve demokratik bir ruhla kararlar alan küçük bir editörler ekibi kurdu. Dergi ilk olarak karmaşık analiz, cebirsel geometri ve değişmezlik teorisi alanlarında uzmanlaştı. Ayrıca gerçel analiz ve yeni grup teorisi için önemli bir çıkış noktası sağladı.

1893'te Klein, Dünya Kolomb Sergisi'nin bir parçası olarak Chicago'da düzenlenen Uluslararası Matematik Kongresi'nde önemli bir konuşmacıydı. Göttingen, kısmen Klein'in çabalarından dolayı 1893'te kadınları kabul etmeye başladı. Klein, hayranlık duyduğu Arthur Cayley'nin İngiliz öğrencisi Grace Chisholm Young tarafından Göttingen'de bir kadın tarafından yazılan ilk matematik doktora tezini yönetti. 1897'de Klein, Hollanda Kraliyet Sanat ve Bilim Akademisi'nin yabancı bir üyesi oldu.

1900'lerde Klein, okullarda matematik öğretimiyle ilgilenmeye başladı. 1905'te analitik geometrinin, diferansiyel ve integral Kalkülüsün temellerinin ve fonksiyon kavramının ortaokullarda öğretilmesini öneren bir planın formüle edilmesinde etkili oldu. Bu öneri, dünyanın birçok ülkesinde kademeli olarak uygulanmıştır. 1908'de Klein, Roma Uluslararası Matematikçiler Kongresi'nde Uluslararası Matematiksel Öğretim Komisyonu'nun başkanı seçildi. Onun rehberliğinde, Komisyon'un Almanlardan oluşan kısmı, Almanya'daki her seviyede matematik öğretimi üzerine birçok cilt yayınladı.

1893'te London Mathematical Society, Klein'a De Morgan Madalyası verdi. 1885'te Royal Society üyeliğine seçildi ve 1912'de Copley Madalyası ile ödüllendirildi. Ertesi yıl sağlığı bozuk olduğu için emekli oldu, ancak birkaç yıl daha evinde matematik öğretmeye devam etti.

Klein'ın ilk önemli matematiksel keşifleri 1870'te yapıldı. Sophus Lie ile birlikte Kummer yüzeyindeki asimptotik çizgilerin temel özelliklerini keşfetti. Daha sonra bir grup izdüşümsel dönüşüm altında değişmeyen eğriler olan W-eğrilerini araştırdılar. Daha sonraki çalışmalarında önemli bir role sahip olacak olan grup kavramını Klein'a tanıtan Lie idi. Klein ayrıca Camille Jordan'dan da grupları öğrendi.

Klein, kendi adını taşıyan "Klein şişesini" tasarladı, üç boyutlu Öklid uzayına gömülemeyen tek taraflı kapalı bir yüzey, ancak "içeriden" diğer ucuyla birleşmek için kendi içinden geri dönen bir silindir olarak kendi içine daldırılır. 4 ve daha yüksek boyutlardaki Öklid uzayına gömülmüş olabilir. Klein şişesi konsepti, 3 boyutlu bir Möbius şeridi olarak tasarlandı ve bir yapım yöntemi, iki Möbius şeridinin kenarlarının bağlanmasıydı.

1890'larda Klein matematiksel fiziği daha yoğun bir şekilde çalışmaya başladı ve Arnold Sommerfeld ile jiroskop üzerine yazdı. 1894'te, Encyklopädie der mathematischen Wissenschaften adını alan, uygulamalarını da içeren bir matematik ansiklopedisi fikrini başlattı. 1935 yılına kadar ayakta kalan bu girişim, kalıcı değer konusunda önemli bir standart referans sağlamıştır.

1871'de Göttingen'deyken Klein geometride büyük keşifler yaptı. Öklidyen ve Öklidyen olmayan geometrilerin Cayley-Klein metriğiyle belirlenen metrik uzaylar olarak kabul edilebileceğini gösteren Öklid Olmayan Geometri Üzerine (On the So-called Non-Euclidean Geometry) adlı iki makale yayınladı. Bu içgörü, Öklid dışı geometrinin ancak ve ancak Öklid geometrisi olduğu takdirde tutarlı olduğu, Öklidyen ve Öklid dışı geometrilere aynı statüyü veren ve Öklid dışı geometri hakkındaki tüm tartışmaları sona erdiren sonuca sahipti.Arthur Cayley döngüsel olduğuna inandığı için Klein'ın argümanını asla kabul etmedi.

Erlangen programı (1872) olarak bilinen belirli bir dönüşüm grubu altında değişmeyen bir uzayın özelliklerinin incelenmesi olarak Klein'ın geometri sentezi, matematiğin evrimini derinden etkiledi. Bu program, Klein'ın Erlangen'de profesör olarak yaptığı açılış konuşmasıyla başlatıldı, ancak bu vesileyle yaptığı asıl konuşma değildi. Program, kabul gören modern yöntem haline gelen birleşik bir geometri sistemi önerdi. Klein, belirli bir geometrinin temel özelliklerinin, bu özellikleri koruyan dönüşüm grubu tarafından nasıl temsil edilebileceğini gösterdi. Böylece programın geometri tanımı hem Öklidyen hem de Öklid dışı geometriyi kapsıyordu.

Şu anda, Klein'ın geometriye katkılarının önemi açıktır. Matematiksel düşüncenin o kadar büyük bir parçası oldular ki, ilk sunulduğunda yeniliklerini takdir etmek ve çağdaşlarının tümü tarafından hemen kabul edilmediklerini anlamak zordur.

Klein, modüler grubun, düzlemi mozaiklemek için karmaşık düzlemin temel bölgesini hareket ettirdiğini gösterdi. 1879'da modüler grubun bir görüntüsü olarak kabul edilen PSL (2, 7)'nin hareketini inceledi ve şimdi Klein dörtleniği olarak adlandırılan bir Riemann yüzeyinin açık bir temsilini elde etti. Denklemi olan eğirinin izdüşümsel uzayda karmaşık bir eğri ve simetri grubunun 168 dereceden PSL (2, 7) olduğunu gösterdi. Ueber Riemann'ın Theorie der cebebraischen Funktionen und ihre Integrale (1882) adlı eseri, karmaşık analizi geometrik bir şekilde ele alır ve potansiyel teori ile açıkorur gönderimleri birbirine bağlar. Bu çalışma akışkanlar dinamiğinden gelen fikirlere dayanıyordu.

Klein, derecesi > 4 olan denklemleri değerlendirdi ve özellikle beşinci derecenin genel denklemini çözmek için aşkın yöntemlerle ilgileniyordu. Charles Hermite ve Leopold Kronecker'in yöntemlerine dayanarak, Brioschi'ninkilere benzer sonuçlar verdi ve daha sonra problemi (yirmi eşkenar üçgen yüzlü) ikosahedral grubu aracılığıyla tamamen çözdü. Bu çalışma, eliptik modüler fonksiyonlar üzerine bir dizi makale yazmasını sağladı.

Klein, ikosahedron üzerine 1884 tarihli kitabında cebir ve geometriyi ilişkilendiren bir otomorfik fonksiyonlar teorisini kurdu. Poincaré, 1881'de otomorfik fonksiyonlar teorisinin bir taslağını yayınladı ve bu, iki adam arasında dostane bir rekabetle sonuçlandı. Her ikisi de yeni teoriyi daha eksiksiz bir şekilde kuracak büyük bir Tekdüzelik teoremini ifade etmeye ve kanıtlamaya çalıştı. Klein böyle bir teoremi formüle etmeyi ve bunu ispatlamak için bir strateji tanımlamayı başardı.

Klein, otomorfik ve eliptik modüler fonksiyonlar hakkındaki çalışmasını, Robert Fricke ile 20 yıllık bir süre boyunca yazdığı dört ciltlik bir incelemede özetledi.