Ruffini's rule

Matematikte, Ruffini'nin kuralı, bir polinomun Öklid bölünmesinin x – r biçimindeki bir denklem ile kağıt kalemle hesaplanması için geliştirilmiş bir yöntemdir. 1804 yılında Paolo Ruffini tarafından tanımlanmıştır. Kural, bölenin doğrusal bir faktör olduğu özel bir sentetik bölme durumudur.

b değerleri, derecesi P (x) değerinden bir eksik olan sonuç (R (x)) polinomunun katsayılarıdır. Elde edilen son değer, s, kalandır. Polinom kalan teoremi, kalanın, r'deki polinomun değeri olan P (r)'ye eşit olduğunu ileri sürer.

Ruffini kuralının birçok pratik uygulaması vardır ve bunların çoğu basit bölmeye (aşağıda gösterildiği gibi) veya aşağıda daha da verilen ortak uzantılara dayanır.

(Örnek basittir çünkü polinom moniktir (a n = 1). Monik olmayan polinomlar için, olası kökler kümesi bazı kesirler içerecek, ancak bunların yalnızca sonlu bir sayısı olacaktır, çünkü a n ve a 0'ın her birinde yalnızca sonlu sayıda tam sayı bölen bulunur.) Her durumda, monik polinomlar için, her rasyonel kök bir tam sayıdır ve bu nedenle her tam sayı kökü, sabit terimin (a 0) yalnızca bir bölenidir. Monik olmayan polinomlar için doğru kalmanın: tamsayı katsayıları olan herhangi bir polinomun tamsayı köklerini bulmak için sabit terimin bölenlerini kontrol etmenin yeterli olduğu gösterilebilir .

Bu nedenle, r olası köklerin her birine eşit olarak ayarlandığında, polinom (x - r) ile bölünür. Elde edilen bölümün kalanı 0 ise, r polinomun köküdür.

p < n rasyonel çözümler bulduysanız, sonunda p lineer faktörlere kısmi çarpanlara ayırma (aşağıya bakın) ve n – p derecesinin lineer olmayan başka bir faktörüne ulaşırsınız, bu da sırasıyla irrasyonel veya karmaşık köklere sahip olabilir.

Polinomu tamamen çarpanlara ayırmak mümkün olduğu için, son kökün -2 olduğu kesindir (önceki prosedür, son bölümü 1 ile aynı sonucu verirdi).

Belirli bir polinomun tüm gerçek rasyonel köklerini bulmak için yukarıdaki " p / q " sonucunu (veya başka herhangi bir yolu) kullandıktan sonra, bu kökleri kullanarak o polinomu kısmen çarpanlara ayırmak için önemsiz bir adımdan başka bir şey değildir. İyi bilindiği gibi, belirli bir polinomu bölen her lineer faktör (x - r), bir r köküne karşılık gelir ve bunun tersi de geçerlidir .

Ancak her durumda işlerin bu kadar kolay olması beklenemez; dördüncü dereceden polinomlar için ikinci dereceden formülün sürekliliği çok dolambaçlıdır ve beşinci dereceden veya daha yüksek polinomlar için böyle bir süreklilik yoktur. Bunun neden böyle olduğuna dair teorik bir açıklama için Galois teorisine ve polinomların köklerine sayısal olarak yaklaşmanın yolları için sayısal analize bakın.

Bu, belirli bir polinomun köklerini arıyor olabilir, S(x) için karmaşık yüksek dereceli bir polinom elde edilir; bu, polinom x 5 − 3 x 4 için olduğu gibi irrasyonel veya karmaşık faktörler göz önüne alınmadan önce bile rasyoneller üzerinde daha fazla çarpanlara ayrılabilen bir polinom elde edilir. + 3 x 3 − 9 x 2 + 2 x − 6. Ruffini'nin yöntemini kullanarak, sadece bir kök bulunur (x = 3), onu P (x) = (x 4 + 3 x 2 + 2)(x − 3) olarak çarpanlarına ayırır.

Yukarıda açıklandığı gibi, belirtilen atama " C üzerinden indirgenemezleri çarpanlarına ayırmak" ise, deltayı incelemek ve irrasyonel ve/veya karmaşık köklerini aramak için bir yol bulmak gereklidir. Ancak atama " Q üzerinden indirgenemezlerin çarpanı" olsaydı, bunun zaten yapılmış olduğu düşünülebilir, ancak durumun böyle olmayabileceğini anlamak önemlidir.

Bu durumda, delta, iki ikinci dereceden (x 2 + 1)(x 2 + 2) çarpımı olarak çarpanlara ayrılabilir. Sonunda, rasyoneller (ve bu örnekte gerçekler) üzerinde indirgenemezler ve bu da yöntemi sonuçlandırıyor; P (x) = (x 2 + 1)(x 2 + 2)(x − 3). Bu durumda, quartic denklemi bir biquadratik denklem olarak ele alarak çarpanlara ayırmak kolaydır; ancak daha yüksek dereceli bir polinomun bu tür faktörlerini bulmak çok zor olabilir.

Yöntem, İtalyan Bilim Derneği (Kırk) tarafından düzenlenen bir yarışmaya katılan Paolo Ruffini tarafından icat edildi. Cevaplanması gereken soru, herhangi bir polinomun köklerini bulma yöntemiydi. Beş başvuru alındı. 1804'te Ruffini's birincilik ödülü aldı ve yöntemi yayınlandı. Ruffini, yönteminin iyileştirmelerini 1807 ve 1813'te yayınladı.