De motu corporum in gyrum

De motu corporum in gyrum ("Yörüngedeki cisimlerin hareketi"), Isaac Newton’un 1684 Kasım’ında Edmond Halley’e gönderdiği el yazısı müsveddelerin tahmin edilen başlığıdır. Newton bu müsveddeleri, Halley’in Newton’u problemler üzerine sorguladığı ve Halley’in fikirleri ve Sör Christopher Wren ile Robert Hooke dahil, onun Londra’daki bilimsel camiası hususlarında fikir jimnastiğinin yapıldığı o yıl içinde daha önce Halley tarafından yapılan bir ziyareti takiben göndermiştir.

Bu el yazısı müsveddeler (Kısaca De Motu, ancak Newton’un aynı kelimelerle başlayan çok sayıdaki diğer makalelerinin başlıklarıyla karıştırılmaması gerekir) günümüzde "Kepler yasaları" (Newton’un çalışmasından önce, bunlar genel anlamda yasa olarak kabul edilmiyorlardı) olarak bilinen üç bağıntıyla ilgili önemli matematik türevlerini ortaya koymuştur. Halley, 10 Aralık 1684’te Newton’dan gelen iletileri Kraliyet Derneğine rapor etmiştir. Newton, Halley'in teşvikleri sonucunda, ‘De Motu’da görülebilecek- hemen hemen tüm içerik Principia’da da yer almaktadır- bir nüveden Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica (Principia olarak bilinir) isimli kitabını geliştirmiş ve yazmıştır.

1: Newton, aşağıda yer alan ilk 9 önermede direncin sıfır, ve geri kalan (2) önermede ise direncin hem cismin hızı ve hem de ortam yoğunluğuyla orantılı olduğunun kabul edildiğini belirtir.

3: Kuvvetler paralelogram kuralı ile birleşirler. Newton onları günümüzün vektörleri gibi işler. Bu husus, Principia’da hareketin üçüncü yasası olan Yasa 3'te, Sonuç 1 ve 2’de tekrar yer alır.

4: Merkezcil kuvvet etkisinin başlangıç momentlerinde, uzaklık zamanın karesiyle orantılıdır. (bu bağlam Newton’un burada sonsuzküçükler veya onların sınırlayıcı orantıları ile uğraştığını gösterir.) Bu, Principia, Kitap 1, Yardımcı Önerme 10’da tekrar yer alır.

Teorem 1 yörüngedeki bir cismin tek bir merkezcil kuvvete tabi olduğunda, cisimden çekim merkezine çizilen bir yarıçap vektörünün, eşit alanları eşit zamanda (merkezcil kuvvet uzaklığa bağlı olarak ne kadar da değişse) dışarıya süpürdüğünü gösterir. (Newton bu türev için, yarıçap vektörü tarafından süpürülen alanın üçgen parçalara bölündüğü, geometrik formda sonsuzküçükler hesabının limit argümanını kullanır - De Motu’nun sonraki kanıtlamalarında ve daha sonraki Principia’nın birçok bölümünde yaptığı gibi-. Bunlar, sayıları sınırsız olarak artarken, münferit olarak sıfıra doğru gittiği düşünülen küçük ve azalan ebattadırlar.) Bu teorem, ‘Principia’ Teorem 1 Önerme 1’de daha geniş bir açıklamayla tekrar yer alır.

Sonuç 2 bunu daha farklı bir biçimde ortaya koyar ve, merkezcil kuvvetin, P yörünge periyodu olan, (1/P2)*R ile orantılı olduğunu gösterir.

Bir açıklama Sonuç 5 ilişkisinin (yörünge periyodunun karesi yörünge büyüklüğünün küpüne orantılı) Güneşin çevresinde yörüngelerindeki gezegenlere ve Jüpiter’in yörüngesindeki Galile uydularına uygulandığının gözlemlendiğine işaret eder.

Teorem 3 yok denecek kadar küçük doğru parçası oranları içeren, başka bir geometrik limit argümanı kullanarak, merkezcil kuvveti dairesel olmayan bir yörüngede değerlendirir. Kanıtlama, yörünge eğriliğinin sanki sonsuz küçük arklardan yapılmış gibi değerlendirilmesi ve herhangi bir noktadaki merkezcil kuvvetin hız ve lokal sonsuzküçük arkın eğriliğinden değerlendirilmesine kadar iner. Bu konu Pricipia’da Kitap 1 Önerme 6 olarak tekrar ortaya çıkar.

Problem 3 yine elipsi inceler ama bu durumda çekim merkezi odak noktalarından birindedir. "Bir elipsin yörüngesinde dönen bir cisim: Elipsin bir odak noktasına yönlenen merkezcil kuvvet yasası gerektirir." Burada, Newton bu konfigürasyonda hareket üretecek merkezcil kuvvetin yarıçap vektörünün karesiyle tersine orantılı olacağını bulur. (Tercümesi: ‘Bu nedenle merkezcil kuvvet karşılıklı olarak L X SP2 olup, (karşılıklı olarak) uzaklığın iki katı oranındadır [yani karesi]....’). Bu Principia’da Önerme 11’dir.

Bir açıklama Problem 3’ün gezegen yörüngelerinin Güneşin bir odak noktasında yer aldığı elipsler olduklarını kanıtladığına işaret eder. (Tercümesi: ‘Bu nedenle, her birlikte Kepler’in varsaydığı gibi, büyük gezegenler, Güneşin merkezinde bir odak noktası olan elipsler halinde yörüngede dönerler, ve yarıçapları (vektörleri) Güneşe doğru çizildiğinde, (Latince: ‘omnino) zamanlara orantılı alanları tariflerler’.) (Bu sonuca, Teorem 1 Sonuç 5'te dikkate alınan, yörüngesel dönemin karesi ile yörünge boyutunun küpü arasında gözlemlenen oransallığın ilk gerçek olarak alınmasından sonra varılmıştır.) (Bu sonucun inandırıcılığına ilişkin bir tartışma aşağıda belirtilmiştir.) Problem 3’ün konusu Principia’da Problem 6, Öneri 11’dir.

Bir açıklama kuyrukluyıldız yörüngelerinin tanımlanmasına imkân vermesi ve yörüngelerin eliptik olması halinde bunların dönemleri ve dönüşlerinin tahminini mümkün kılmasının bu gösterimin bonusu olduğuna dikkat çeker. Bunun uygulanmasındaki bazı pratik zorluklar da tartışılmıştır.

Bir açıklama atmosferik direncin sıfır kabul edilebilmesi halinde, Problem 4 ve 5’in atmosferdeki roketlere veya ağır cisimlerin düşüşüne nasıl uygulanacağını gösterir.

Son olarak, Newton, ilk önce bir düz çizgide direncin eylemsiz hareket üzerindeki etkilerini dikkate alarak (Problem 6) ve sonra da (Problem 7) direnç ile tek biçimli merkezcil bir kuvvetin homojen bir ortamda merkeze doğru/merkezden uzak hareket üzerindeki birleşik etkilerini dikkate alarak, atmosferik direncin mevcut olduğu durumun sonuçlarını genişletmeye çalışır. Her iki problem de hiperbolik yapılar kullanılarak gerometrik olarak ele alınır. Bu son iki ‘Problem’ Principia’nın 2. Kitabında Öneri 2 ve 3 olarak tekrar yer alır.

Bu sorunun başka bir versiyonu otuz yıl kadar sonra Newton’un kendisi tarafından verilmiştir: Halley’in kendisine "Gezegenlerin kendi orblarında Güneş hakkında nasıl bir şekil tanımladıklarını bilmeyi kanıtım için çok arzu ederdim" demişti. Her ikisi de eski hatıralardan üretilen bu farklı raporlar ışığında, Halley’in tam olarak hangi kelimeleri kullandığını bilmek zordur.

Bazen, Newton’un Halley’in sorusundan farklı bir soruya cevap vermiş olduğu ileri sürülür ancak bu noktada kesin bir şey söylemek mümkün değildir.

Hooke 1679 Kasım’ında Newton’a yazarak kendisinin Kraliyet Derneğinin yazışmalarını yönetmek üzere görevlendirildiğini bildirmiş ve karşılıklı yazışmaya başlamışlardır. Hooke, bu görevi nedeniyle dernek üyelerinden araştırmalarıyla ilgili bilgi almak veya diğerlerinin araştırmaları hakkındaki görüşlerini öğrenmek istiyordu. Hooke, Newton’un ilgisini uyandırmak için kendisine çeşitli konular hakkında ne düşündüğünü sordu ve bir liste vererek, "Tanjant tarafından doğrudan hareketli ve merkezi cisme doğru çekim hareketli gezegenlerin gökyüzü hareketlerinin birleştirilmesi" ve "Benim esneklik yasaları ve sebeplerine ilişkin hipotezim" ve gezegenlerin hareketlerine ilişkin Paris’ten yeni bir hipotez (Hooke geniş bir biçimde tarif etmişti) ve ulusal araştırmaların yapılması veya iyileştirilmesi çabaları, Londra ve Cambridge arasındaki enlem farkı ve diğer hususlardan bahsetti. Newton, düşen bir cismi kullanarak Dünya’nın hareketinin belirlenmesiyle ilgili olarak "benim kendi düşüm" şeklinde bir cevap vermişti. Hooke Newton’un düşen bir cismin nasıl hareket edebileceğine ilişkin fikrine karşı çıkmış ve aralarında kısa bir yazışma olmuştur.