Korelasyon

Korelasyon, olasılık kuramı ve istatistikte iki rassal değişken arasındaki doğrusal ilişkinin yönünü ve gücünü belirtir. Genel istatistiksel kullanımda korelasyon, bağımsızlık durumundan ne kadar uzaklaşıldığını gösterir.

Farklı durumlar için farklı korelasyon katsayıları geliştirilmiştir. Bunlardan en iyi bilineni Pearson çarpım-moment korelasyon katsayısıdır. İki değişkenin kovaryansının, yine bu değişkenlerin standart sapmalarının çarpımına bölünmesiyle elde edilir. Pearson ismiyle bilinmesine rağmen ilk olarak Francis Galton tarafından bulunmuştur.

Pearson çarpım-moment korelasyon katsayısı isminde, kovaryans hesaplanırken yapılan işlemin fiziksel moment hesabına benzerliği etkili olmuştur. Çift taraflı bir kaldıraçın iki yük kolundaki ağırlıkların momenti hesaplanırken kullanılan, ağırlık ile ağırlığın destek noktasına olan uzaklığın çarpımı ile her bir değişkenin ortalamaya olan uzaklıklarının bulunması arasındaki benzerlik bu isimlendirmeye neden olmuştur.

Korelasyon katsayısı, bağımsız değişkenler arasındaki ilişkinin yönü ve büyüklüğünü belirten katsayıdır. Bu katsayı, (-1) ile (+1) arasında bir değer alır. Pozitif değerler direkt yönlü doğrusal ilişkiyi; negatif değerler ise ters yönlü bir doğrusal ilişkiyi belirtir. Korelasyon katsayısı 0 ise söz konusu değişkenler arasında doğrusal bir ilişki yoktur.

Korelasyon, yalnızca standart hataların ikisi de sonlu ve sıfırdan farklı ise, tanımlıdır. Korelasyon katsayısının 1'i (mutlak değer olarak) geçemeyeceği ise Cauchy-Schwarz eşitsizliğinin doğal bir sonucudur.

Tam bir artan doğrusal ilişkinin varlığı halinde korelasyon katsayısı 1 değerini alır, tam bir azalan ilişkinin varlığı halinde ise korelasyon katsayısı -1 değerini alır. Katsayının alabileceği diğer tüm değerler ise ilişkinin doğrusallığına bağlı olarak bu iki değer arasında olacaktır. Katsayı +1'e veya -1'e ne kadar yakınsa ilişkinin doğrusallığı o kadar güçlüdür.

Bir örnek: Rastgele X değişkeninin -1 ve +1 aralığında tekdüze dağılımına göre dağıldığını varsayalım ve Y = X2 ilişkisi geçerli olsun. Bu durumda Y tamamen X tarafından belirlenmiştir, öyle ki X ve Y birbirlerine bağımlıdır, fakat Pearson anlamdaki korelasyon 0 olacaktır. Ne var ki, X ve Ynin birlikte normal dağıldığı durumda, istatistiksel bağımsızlık aynı zamanda korelasyonun da olmaması anlamına gelir..

Eğer X ve Y verileri normal dağılım gösteren bir anakütleden gelmişlerse, Pearson'un örneklem korelasyon katsayısı bu iki anakütle değişkeni arasında bulunan korelasyon için en iyi korelasyon kestirimi olduğu ispat edilmiştir. Yine, anakütle korelasyonu için doğru olduğu gibi, örneklem korelasyon katsayısı da -1 ile +1 arasında değişme gösterir.

Verilen formül kullanılarak, komputer kullanarak tek geçişli algoritm olarak örneklem korelasyon katsayısı hesaplanması kolay görülmesine rağmen, pratikte özellikle bu formülün kullanışı sayısal kararsız olarak pek şöhret kazanmıştır. Aşağıda daha kararlı ve kesin sonuç veren örneklem korelasyon katsayı hesaplaması verilecektir.

Burada σy|x2 terimi xi'in yi'ye arasındaki ilişkinin bir y = a + bx doğrusu ile ifade edilmesinin kestirimi sırasında ortaya çıkan hata karelerinin toplamıdır.

Örneklem korelasyon katsayısı mümkün uçsal değerler olan -1 veya +1 olursa, çok iyi iki değişken arasında çok iyi bir doğrusal bağlantı bulunduğu kabul edilir. Eğer örneklem korelasyon katsayısı 0'a eşitse, iki değişken arasında hiç doğrusal bağlantı bulunmaz. Dikkat edilirse hep örneklem korelasyon katsayısı ile doğrusal bağlantı açıklanmakta ve genel olarak bağlantıdan bahis edilmemektedir. Örneğin iki değişken arasında çok yakın bir daire şeklinde bağlantı bulunsa, örneklem korelasyon katsayısı 0'a yakın olacaktır.

Bu ayrıntılı açıklama çok subjektifdir ve belli bir bilim dalı için (psikoloji) uygundur ama genelleştirilmesi uygun değildir. Değişik bilim dalları korelasyon katsayısı değerlerinin değişik olarak açıklamasını kabul etmektedirler. Örneğin çok dakik ölçüm aletleri ile ortaya çıkarılan ölçüler arasında bulunan 0,9 korelasyon değerinin çok düşük olduğu kabul edilebilir; halbuki ayni katsayı değeri bir sosyal bilimci veya iktisatçı tarafından çok yüksek (hatta gerçekliğine şüphe yaratırcasına büyük) olarak kabul edilmektedir.

İskandinavya'da 19. yüzyıl sonu ve 20. yüzyıl için yıllık leylek sayısı ve yıllık çocuk doğumları inceleyince çok yakın bir pozitif korelasyon bulunmaktadır. Bu, doğan çocukların leylekler tarafından getirildikleri önermesini doğrulamaz. Hem çocuk doğum sayısı hem de leylek sayısı ekonomik gelişme ve şehirleşme dolayısıyla azalmış ve bu iki azalma birinin diğerine sebep-sonuç olmasından ortaya çıkmamıştır.

Bir sahil şehrinde aylık dondurma satışları ile aylık denizde boğulma sayıları yıl içinde birlikte artıp eksilme gösterip yakın pozitif korelasyon gösterirler. Bu demek değildir ki fazla dondurma fazla boğulmalara sebep-sonuç olmakta veya boğulmaların azalması dondurma satışlarına aksi tesirde bulunmaktadır. Her ikisi de mevsim değiştiği için aynı yönde değişik etki görmektedir.

Ayakkabı ile uyumak, baş ağrısı ile uyanmakla yakın pozitif korelasyon gösterir. Bu demek değildir ki ayakkabı ile yatmak baş ağrısı doğurur. Çok daha uygun bir açıklama, her ikisinin de fazla alkollü içki kullanımı sonucu ortaya çıkmasıdır.

Bir yangına müdahale eden itfaiye mensuplarının sayısı ile yangından ortaya çıkan maddi hasar birbirleri ile yakın korelasyon gösterirler. Bu demek değildir ki itfaiye mensubu sayısı artışı (yağmacı artışı gibi) daha çok maddi hasar çıkmasına neden olur. Asıl açıklama yangının büyüklüğü ve şiddetine dayanır; büyük yangınlar daha çok itfaiyeci gerektirir ve daha çok hasar doğurur.

1950'lerden beri hava kirliliği göstergeleri ile polise bildirilen hırsızlık olayları sayısı pozitif korelasyon göstermektedir. Bu demek değildir ki hava kirliliği artışı hırsızlık olaylarının artışına; yahut hava kirliliğinin artışı hırsızlık sayısı artışına neden olmuştur. Her iki değişkende de hızlı şehirleşme dolayısı ile artış görülmektedir.

Pearson'un korelasyon katsayısı iki değişken arasındaki doğrusal ilişkinin gücünü göstermekle beraber, kestirim olarak bulunan katsayı değeri bu ilişkiyi tam olarak açıklamak için yeterli değildir. Bu sonuç eğer veriler normal dağılım göstermiyorlarsa daha da önem kazanmaktadır.

Dört değişik veri çiftini ve dört serpme diyagramını kapsayan ve istatistikçiler arasında çok iyi bilinen yandaki gösterimler İngiliz asıllı Amerikan istatistikçi Francis Anscombe tarafından hazırlanan bir yazıda gösterilmiştir. Gösterilen 4 değişik y değişkeninin hepsi için de aynı olan ortalama (7,5), standart sapma (4,12), korelasyon katsayısı (0,81) ve regresyon doğrusu () bulunmaktadır. Fakat gösterimden açıkça görülmektedir ki dört Y değişkenin dağılımları çok farklıdır. Sol yukarıdaki göstergede iki değişken birbirine korelasyon ile ilişkili olup her iki değişkenin de normal dağılıma uyduğu varsayımlarının gerçeğe uygun olduğu kabul edilebilir. Üst sağdaki gösterim de değişkenlerin normal dağılım gösterdikleri kabul edilemez; iki değişken arasında ilişki olmakla beraber bunun doğrusal olduğu da kabul edilemez ve bu nedenle yüksek korelasyon katsayısı bu ilişkiyi açıklayamaz. Alt soldaki göstergeden görülmektedir ki iki değişken arasında tam bir doğrusal ilişki vardır, ancak tek bir aykırı değer bulunmakta ve bu da korelasyon katsayı değerini 1'den 0.81'e düşürmektedir. Alt sağdaki son gösterimden iki değişken arasındaki ilişkinin doğrusal olmadığı ve bulunan tek bir aykırı noktanın hesaplanan yüksek korelasyon katsayısına neden olduğu görülmektedir.

Bu örnek açıkça göstermektedir ki bir özetleme istatistiğine (burada korelasyon katsayı değerine) dayanarak, verilerin daha ayrıntılı incelenmesi yapılmadan, ortaya sonuç çıkartma iyi inceleme için gayet yetersizdir.