İtalyan cebirsel geometri okulu

Matematik tarihi ile bağlantılı olarak, İtalyan cebirsel geometri okulu, özellikle cebirsel yüzeylerde olmak üzere birasyonel geometride uluslararası olarak yapılan yarım yüzyıldan fazla (kabaca 1885-1935 arasında gelişen) süreci içeren birçok çalışmaya atıfta bulunmaktadır. Bölgede, önemli katkılarda bulunan önde gelen 30-40 matematikçi vardı ve bunların yaklaşık yarısı aslında İtalyandı. Liderlik Roma'da Guido Castelnuovo, Federigo Enriques ve Francesco Severi'nin en derin keşiflerinden bazılarına dahil olan ve aynı zamanda tarzı belirleyen gruba düştü.

Cebirsel yüzeylere yapılan vurgu —ikinci boyutun cebirsel varyeteleri— cebirsel eğrilerin (boyut 1) esasen eksiksiz bir geometrik teorisinden gelmiştir. 1870 civarındaki düşünce, eğri teorisinin Brill-Noether teorisi ile Riemann-Roch teoremini (teta-bölenin ayrıntılı geometrisi aracılığıyla) tüm iyileştirmeleriyle birleştirdiği yönündeydi.

Cebirsel yüzeylerin sınıflandırılması, cebirsel eğrilerin g cinsine göre bölünmesini tekrarlamak için cesur ve başarılı bir girişimdi. Eğrilerin bölünmesi, kaba sınıflandırmaya göre üç tipe karşılık gelir: g = 0 izdüşümsel çizgi); g = 1 (eliptik eğri); ve g > 1 (bağımsız holomorfik diferansiyelli Riemann yüzeyleri). Yüzeyler söz konusu olduğunda, Enriques sınıflandırması beş benzer büyük sınıfa ayrılmıştı, bunlardan üçü eğri durumlarının analogları ve 'orta' bölgede iki boyutlu değişmeli varyetelerin olması durumunda iki tane daha (eliptik fibrasyonlar ve şimdiki adıyla K3 yüzeyleri) durumla ilgiliydi. Bu, 1950'lerde Kunihiko Kodaira tarafından modern karmaşık manifold dilinde elde edilen ve 1960 civarında Zariski, Shafarevich okulu ve diğerlerinin mod p fenomenlerini içerecek şekilde rafine edilmiş, esasen sağlam, çığır açan bir içgörü setiydi. Bir yüzey üzerinde Riemann-Roch teoreminin formu da çalışıldı.

Okul tarafından üretilen bazı kanıtlar, temel zorluklar nedeniyle tatmin edici olarak kabul edilmemektedir. Bunlar, yalnızca yüksek boyutlu izdüşümsel uzaya gömüldüğünde tekil olmayan modellere sahip olabilen yüzeylerin üçüncü boyutunda çift yönlü modellerin sık kullanımını içeriyordu. Bu problemlerden kaçınmak için, bir doğrusal bölen sistemini ele alan sofistike bir teori geliştirildi (aslında, izdüşümsel uzayda varsayılan gömmelerin hiperdüzlem bölümleri için bir çizgi demeti teorisi). İlkel biçimde birçok modern teknik bulundu ve bazı durumlarda bu fikirlerin dile getirilmesi mevcut teknik dili aştı.

Guerraggio & Nastasi'ye göre (sayfa 9, 2005), Luigi Cremona "İtalyan cebirsel geometri okulunun kurucusu olarak kabul edilir". Daha sonra Turin'de Enrico D'Ovidio ve Corrado Segre'nin işbirliğinin "kendi çabalarıyla veya öğrencilerinin çabalarıyla İtalyan cebirsel geometrisini tam olgunluğa getireceğini" açıkladılar. Bir zamanlar Segre öğrencisi olan H. F. Baker (1926, sayfa 269), Corrado Segre'nin "cebirsel lokusların çift yönlü teorisinde çok şey başarmış olan o harika İtalyan okulunun babası olduğu söylenebilir" diye yazmıştı. Bu konuda Brigaglia & Ciliberto (2004), "Segre, Luigi Cremona'nın 1860'ta kurduğu geometri okuluna öncülük etti ve devam ettirdi" demektedir. Matematik Şecere Projesi'ne yapılan atıflar, İtalyan doktoraları açısından, okulun gerçek üretkenliğinin Guido Castelnuovo ve Federigo Enriques ile başladığını göstermektedir. ABD'de Oscar Zariski birçok doktoraya ilham verdi.

Okulun onur listesinde şu diğer İtalyanlar yer alıyor: Giacomo Albanese, Eugenio Bertini, Luigi Campedelli, Oscar Chisini, Michele De Franchis, Pasquale del Pezzo, Beniamino Segre, Francesco Severi, Guido Zappa (Gino Fano, Carlo'nun da katkılarıyla) Rosati, Giuseppe Torelli, Giuseppe Veronese).

Başka yerlerden, H. F. Baker ve Patrick du Val (İngiltere), Arthur Byron Coble (ABD), Georges Humbert ve Charles Émile Picard (Fransa), Lucien Godeaux (Belçika), Hermann Schubert ve Max Noether ve daha sonra Erich Kähler (Almanya), H. G. Zeuthen (Danimarka) dahil olmuştur.

Bu şahsiyetlerin tümü, tartışılan dönemde, (hacimsel olarak) çok büyük ancak (araştırma olarak önemine göre değerlendirildiğinde) ikincil bir konu olan sentetik geometri olarak projektif geometri arayışından ziyade cebirsel geometri ile ilgiliydi.

İtalyan okulunun yerini alacak yeni cebirsel geometri, cebirsel topolojinin yoğun kullanımıyla da tanındı. Bu eğilimin kurucusu Henri Poincaré idi; 1930'larda Lefschetz, Hodge ve Todd tarafından geliştirildi. Modern sentez, Cartan okulunun ve W. L. Chow ve Kunihiko Kodaira'nın çalışmalarını geleneksel bulgularla bir araya getirdi.

Castelnuovo altındaki İtalyan okulunun önceki yıllarında, kesinlik standartları çoğu matematik alanı kadar yüksekti. Enriques altında, sınıra kadar doğru olanın sınırda doğru olduğunu söyleyen "süreklilik ilkesi" gibi tam kesin (rigorous) kanıtlar yerine biraz daha gayri resmi argümanlar kullanmak yavaş yavaş kabul edilebilir hale geldi, ne kesin bir kanıt ne de kesin bir ifadesi olmayan bir iddia. İlk başta bu çok önemli değildi, çünkü Enriques'in sezgileri o kadar iyiydi ki, iddia ettiği tüm sonuçlar aslında doğruydu ve bu şekilde daha gayri resmi argüman tarzını kullanmak, cebirsel yüzeyler hakkında muhteşem sonuçlar üretmesine izin verdi. Ne yazık ki, yaklaşık 1930'dan itibaren Severi'nin liderliği altında, doğruluk standartları, iddia edilen sonuçların bazılarının sadece yetersiz bir şekilde kanıtlanmadığı, aynı zamanda umutsuzca yanlış olduğu noktaya kadar daha da azaldı. Örneğin, 1934'te Severi, bir cebirsel yüzey üzerindeki döngülerin rasyonel denklik sınıflarının uzayının sonlu boyutlu olduğunu iddia etti ancak , bunun pozitif geometrik cinsin yüzeyleri için yanlış olduğunu gösterdi ve 1946'da Severi, 3-boyutlu izdüşümsel uzayda 6. derece bir yüzeyin en fazla 52 düğüme sahip olduğunu kanıtladığını iddia eden bir makale yayınladı, ancak Barth sextic'inin 65 düğümü vardı. Severi, argümanlarının yetersiz olduğunu kabul etmedi ve bazı sonuçların durumu konusunda bazı sert tartışmalara yol açtı.

1950 civarında, iddia edilen sonuçların hangisinin doğru olduğunu söylemek çok zorlaştı ve cebirsel geometrinin resmi olmayan sezgisel okulu, yetersiz temelleri nedeniyle basitçe çöktü. 1950'den 1980'e kadar, enkazdan mümkün olduğu kadar fazlasını kurtarmak ve onu Weil ve Zariski tarafından kurulan cebirsel geometrinin kesin cebirsel stiline dönüştürmek için büyük çaba sarf edildi. Özellikle 1960'larda Kodaira ve Shafarevich ve öğrencileri, cebirsel yüzeylerin Enriques sınıflandırmasını daha titiz bir tarzda yeniden yazdılar ve aynı zamanda tüm kompakt karmaşık yüzeylere genişlettiler, 1970'lerde Fulton ve MacPherson, klasik kesişim teorisi hesaplamalarını kesinlik temelleri üzerine inşa etti.