Rassal değişken

Rassal değişken kavramının geliştirilmesi ile, sezgi yoluyla anlaşılan şans kavramı, soyutlaştırarak teorik matematik analiz alanına sokulmuş ve bu geliştirilen matematik kavram ile olasılık kuramı ve matematiksel istatistiğin temeli kurulmuştur.

Son birkaç yüzyılda olasılıkla ilgili matematiksel fikirler geliştirilirken rassal değişkenlerlerle ilişkili teori ve kullanım matematik kuramı biçimlerine konulmuştur. Rassal değişkenleri modern matematik görüşle tam olarak anlamak için, daha yakın zamanlarda matematikçiler tarafından geliştirilmiş olan ölçüm kuramı hakkında geniş bilginin kazanılması gerekmektedir. Rassal değişken kavramı, bu kuram içinde tüm özellikleri ile arka planda kalmakla beraber, kuramın içeriğinde önemli bir yeri bulunmaktadır. Bununla beraber, rassal değişkenler kavramının matematiksel teoride değişik ileri seviyelerde fazla teori gerektirmeyen çok daha az ileri matematiksel bilgisi ile de anlaşılması mümkündür. Böylece rassal değişkenler hakkında temel bilgileri anlamak için sadece küme kuramı ve değişkenler hesabının bilinmesi yeterli olmaktadır.

Geniş bir tanımlama ile, bir rassal değişken, değerleri rassal olan ve bu değerler için bir olasılık dağılımı saptamak imkânı olan bir sayıdır. Daha matematiksel biçimde, bir rassal değişken bir örneklem uzayından değişkenin mümkün değerlerinden oluşan ölçülebilir uzaya değişimi gösterir. Rassal değiskenlerin bu formel tanımlanması reel değerli sonuçlar veren deneyleri çok sıkı bir surette matematiksel ölçüm kuramı çerçevesi içine sokmakta ve reel değerli rassal değişkenler için dağılım fonksiyonu kurulmasına imkân sağlamaktadır.

Bir sürekli rassal değişken için bir örnek sonunda belli bir yöne yönelip kalan bir döner ibreli aletin ibresi ele alınabilir. Bu örneğinde rassal değişken tarafından sonuç değerler yönlerdir. Bu yönler ayrık olarak Kuzey batı, Doğu güneydoğu vb. şekilde ifade edilebilirler. Fakat genellikle örnek uzayını bir rassal değişkene eşlendirilmesi yapılırken reel sayılar kullanmak daha kullanışlı olacaktır. Bunu başarmak için döner ibresini son durma yönünü Kuzey'den olan saat yönündeki açısının derece birimi ile ifade edebiliriz. Böylece rassal değişken [O, 360] aralığında herhangi bir sayı şekilde ifade edilir ve her bir mümkün sayının açıklığı rasgelirliği "eşit olasılıklı"dır. Bu halde rassal değişken X= ibre duruş açısı olur. Herhangi bir belirli sayının olasılığı 0 olur ama bir sayısal aralık için bir pozitif olasılık sayısı verilebilir. Örneğin, [0,180] arasında bir sayının gelme olasılığı ½ olur. Bu halde olasılık kütle yoğunluk fonksiyonu demeyiz ama X için olasılık yoğunluğu 1/360 olur. (0, 360) alt-seti icin olasılık bu setin ölçüsünü 1/360 ile çarpma ile elde edilir. Genel olarak, bir belirlenmemiş sürekli rassal değişken seti için olasılık yoğunluğun verilmiş set üzerinde entegrasyonunu bulmak suretiyle elde edilir.

Karışık ayrık ve sürekli rassal değişken için örneğin bir matal parayı atmak ile eğer para "yazı" gelmişse bir döner ibreli aletin ibresini döndürmek şeklinde verilebilir. Bu deneyin sonucunun matematiksel ifadesi şöyle olur: Eğer para atış "tura" gelirse X= -1; aksi halde X döner ibreli aletin ibresinin durduğunda gösterdiği yönün Kuzeye göre saat yönündeki açı değeridir. Bu ikili deney için rassal değişken değerinin -1 olma olasılığı ½ olur; diğer aralıklar için rassal değişken değerleri bir önceki deneyin sonuçlarının yarısına eşittir.

Bir yığmalı dağılım fonksiyonunu belli bir rassal değişkeni ile birlikte olduğunu düşünmek bir değişkene bir değer tahsis etmenin bir genelleştirilmesidir. Eğer yığmalı dağılım fonksiyonu sağdan sürekli bir Heaviside basamak fonksiyonu ise, o halde rassal değişken bu sıçrama için 1 olasılık değerini alır. Genel olarak, yığmalı dağılım fonksiyonu değişkenin belirli değerinde ne olasılık göstereceğini tanımlar.

ve bazen de ele geçirme bir olasılık yoğunluk fonksiyonu kullanılarak gerçekleştirilebilir. Ölçüm kuramında rassal değişken olan Xi Ω üzerindeki P ölçüsünü R üzerinde bir F ölçüsüne "ileri itmek" için kullanırız.

Teorinin altında bulunan Ω olasılık uzayı rassal değişkenlerin varoluşlarını garanti etmek için, bazen de onları inşa etmek için bir teknik gereçtir. Pratikte çok defa Ω uzayı tümüyle bir tarafa bırakılır. Doğrudan doğruya R üzerine reel doğrunun tümüne 1 ölçü değeri tahsis eden bir yeni ölçü koyulur. Yani rassal değişkenler yerine olasılık dağılımları doğrudan doğruya kullanılır.

Bir rassal değişkenin olasılık dağılımı, çok kere pratikte anlanması ve uygulanması kolay olan küçük sayıda parametreler ile nitelendirilir. Örneğin, sadece "ortalama değer" olan λ değerini bilmek Poisson dağılımını bilmek için yeterlidir. Ortalama kavramı matematik teoride bir rassal değişkenin beklenen değeri olarak, yani E[X] olarak ifade edilir. Genellikle E[f(X)] ifadesi f(E[X]) ifadesine eşit değildir. "Ortalama değer" bilinince, bu ortalama değerin X tipik değerlerinden ne kadar fazla uzaklıkta olduğu sorusu hemen akla gelir ve bu soruya yanıt bu rassal değişkenin standart sapması ve varyansı ile bulunur.

Matematik kuramı içinde bu (genelleştirilmiş) momentler problemi olarak bilinmektedir: Bilinmekte olan bir sınıf rassal değişkenler olan X için, E[fi(X)] ifadesindeki beklenen değerler ile rassal değişken Xin dağılımını tam olarak nitelendiren bir {fi} fonksiyonlar koleksiyonu bulunması istenmektedir.

Rassal değişkenlerin birbirlerine eşitliliği kavramı birbirlerinden değişik anlamları olan çeşitli şekillerde açıklanabilir. Bu değişik şekiller şöyle sıralanabilir: iki rassal değişkenin eşitliliği; nerede ise kesinlikle eşitliği; ortalama olarak eşitliliği; dağılım içinde eşitliliği. Bu sıralama değişik eşitlilik kavramının tarifinin artan teorik sıkılığına göre (en çok bağlayıcı tanımdan en zayıf tanıma doğru) yapılmıştır. Bu değişik eşitlilik kavramların ayrıntılı tanımları aşağıda verilmektedir.

Birbirine eşit moment üreten fonksiyonu olan iki rassal değişken de aynı dağılımı gösterir. Örneğin, bu çeşit eşitlilik bazı fonksiyonların eşit olup olmadıklarını kontrol etmek için kullanılır bir yöntem olabilir.

Olasılık kuramının pratik kullanılması için bu tanımlama ve bu kavrama gore iki olasılık değişkeninin birbirine eşitliliği hiç olmazsa diğer eşitlilik kavramları kadar kesindir.

Matematik istatistik analizinin büyük bir kısmı bazı rassal değişkenler serilerinin yakınsalama sonuçlarının geliştirilmesinden oluşmuştur. Örneğin, büyük sayılar yasası ve merkezsel limit teoremi maddelerine bakın.

Bir rassal değişken serisi olan Xnnin limitte bir rassal değişken olan Xe yakınsalaması değişik tanımlamalara göre değişmektedir; bunun için olasılık değişkenlerinin yakınsalaması maddesine bakın.