Napier'in kemikleri

Napier'in kemikleri, John Napier tarafından oluşturulan bir abaküstür. Pratik olarak çarpma, bölme ve karekök alma işlemleri için kullanılabilir. Napier, bu eserini Rabdology adıyla 1617'nin sonunda, İskoçya Edinburgh'da yayımlamıştır. Napier'in kemikleri, Napier'in adıyla ilişkili olan logaritma ile aynı şey değildir.

Abaküs bir tahta ve bir çerçeveden oluşur. Kullanıcı, Napier’in çubuklarını çarpma veya bölmeyi yapmak için bu çerçeveli tahtaya yerleştirir. Tahtanın sol kenarı, 1'den 9’a kadar numaraları içeren 9 kareye bölünmüştür. Napier'in çubukları, ahşap çubuklar, metal veya kartondan oluşur. Bir çubuk yüzeyinde 9 kare vardır. En üstteki hariç diğer kareler sağ üst köşeden sol alt köşeye doğru köşegen şekilde ikiye ayrılmıştır. En üstteki karede tek rakam vardır. Diğer karelerde en üstteki rakamın iki katı, üç katı, dört katı, beş katı ve böylece son kareye kadar dokuz katı yer alacak şekilde çift rakam bulunur.

Bu yönteme uygun olarak bir önceki sayıyı şimdi de 96431 ile çarpımını bulmak için; çubuklar aynı şekilde dizilir. İkinci çarpanın birler basamağından başlamak üzere karşılığı olan satırlardaki rakamlar yukarıda anlatıldığı gibi köşegenel toplanarak alt alta ve her biri birer basamak sola kaydırılarak toplama suretiyle sonuç bulunur.

Bölme benzer şekilde yapılabilir. Diyelim ki, 46785399'u 96431'e böleceğiz. Bu iki sayıyı önceki örnekte kullanmıştık. Bölen (96.431) için çubukları tablodaki gibi yerleştirin. Abaküsü kullanarak, bölen için 1 den 9 a kadarki satırların köşegenel toplamlarını bulun. (tablonun sağında gösterilmiştir) Bölünen 8 basamaklıdır. Köşegenel toplamlar sonucu bulunan sayılar ise ilki hariç 6 basamaklı olduklarından bölünenin son iki rakamı (99) geçici olarak dikkate alınmayacaktır. Böylece kısaltılmış bölünen 467853 den küçük olan en büyük toplamı bulun. Bu toplamın 385724 bulunduğu satırın başındaki rakam yani 4 bölümün ilk rakamı olarak bulunur. Şimdi bulunan bu kısmi sonucu 385724 sola hizalayarak bölünenin altına yazın ve farkını 8212999 olarak bulun. Bu değerde 6 basamaktan fazla olduğundan yine soldan 6 rakamını dikkate alın ve yukarıdaki işlemi yineleyerek 821299 için 771448 i bulun. Bu da 8 inci satırda olduğundan bölümün ikinci rakamı da 8 olur. Bu işlem kalan(en sol altta) bölenden küçük olana kadar devam eder ve bölüm 485 olarak bulunur. Kalan 16364 dür.

Karekök almak için ek bir çubuğa daha ihtiyaç vardır. Diğerlerinden biraz farklıdır ve üzerinde üç kolon vardır. İlk sütunda ilk dokuz karede 1, 4, 9 ,... 64, 81, ikinci sütunda 2 den 18 e sayılar , son sütunda ise sadece 1 den 9 a kadar sayılar vardır.

En soldaki grup 46 ile başlayın. Karekök çubuğunun birinci sütununda 46 dan küçük olan en büyük sayı olan 36, 6. satırda yer almaktadır. Böylece çözümün ilk rakamı 6 olarak bulunur.

Daha önce olduğu gibi, karekökün sonraki rakamını elde etmek için 8'i ekleyin. geçerli kalan 1078'den sekizinci sıradaki 1024 değerini çıkarın 54 eder. ekleyin. , Karekök çubuğunun sekizinci satırının ikinci sütununda 16'yı okuyun ve tabloyu aşağıdaki gibi oluşturun.

Tabloda mevcut sayı 12'dir. Buna 16'nın ilk rakamını ekleyin 13 eder, bunun sağına da 16'nın ikinci rakamını ekleyin 136 eder. Böylece tablo aşağıdaki gibi oluşturulmalıdır.

Bir kez daha, geçerli kalan 5453'den küçük olan enbüyük değerin olduğu satırı bulun. Bu sefer bunun içinde 4089 olan üçüncü satır olduğunu bulun.

Karekökün sonraki rakamı 3'tür. Daha önce olduğu gibi tekrar aynı adımları ve bundan sonraki kalan olan 1364'ü bulmak için geçerli kalan 5453'den 4089'u çıkarın. Tabloyu oluştururken karekök çubuğunun üçüncü satırında ikinci sütunda 6 vardır ve tek hanelidir dolayısıyla, tablodaki 136 olan geçerli sayıya sadece 6 eklenir.

Uygulamada, genellikle cevap almak için her satırın değerini bulmak gerekmez. Tablodaki ilk birkaç çubuktaki sayıya bakarak ve bunu kalanın ilk birkaç rakamı ile karşılaştırarak cevabın hangi satırda olduğunu tahmin etmek mümkün olabilir. Ama bu diyagramlarda, biz anlamayı kolaylaştırmak için tüm satırların değerlerini göstereceğiz.

Şimdi sayımızın her basamağı kullanıldı ama hala kalan var. Bunun anlamı, karekökün tam sayı kısmı bulundu ancak hala biraz kesirli kısım var demektir.

Gerçekten karekökün tam sayı kısmını elde ettiğimize dikkat edelim, bulunan sonucun karesi (6839² = 46771921) 46785399'a en yakın değerdir. Çünkü, 46785399'un karekökü 6839.xxxx... gibi bir şey olacak. Yani 6839², 46785399'dan daha küçük olduğu anlamına gelir. Buna karşın 6840², 46785399 dan daha büyüktür dolayısıyla, 46785399'a en yakın olan değer 6839²'dir.

Eğer bir tam sayı olmayan bir sayının karekökünü bulmak istiyorsanız, 54782,917 sayısı gibi. Ondalık işaretinin (virgülün) solundaki ve sağındaki rakamları ikişerli gruplama farkı dışında her şey aynıdır.