Thoralf Skolem

Skolem'in babası bir ilkokul öğretmeni olmasına rağmen, geniş ailesinin çoğu çiftçiydi. Skolem, 1905'te üniversite giriş sınavlarını geçerek Kristiania'da (daha sonra Oslo adını aldı) orta dereceli bir okula gitti. Daha sonra matematik okumak ve ayrıca fizik, kimya, zooloji ve botanik dersleri almak için Det Kongelige Frederiks Universitet'e girdi.

1909'da manyetize küreleri elektronlarla bombardıman etmek ve aurora benzeri etkiler elde etmekle tanınan fizikçi Kristian Birkeland'ın asistanı olarak çalışmaya başladı; dolayısıyla Skolem'in ilk yayınları, Birkeland ile birlikte yazılan fizik makaleleriydi. 1913 yılında Skolem eyalet sınavlarını üstün başarı ile geçti ve Investigations on the Algebra of Logic başlıklı tezini tamamladı. Zodyak ışığını gözlemlemek için Birkeland ile Sudan'a da seyahat etti. O zamanlar matematiksel mantık, metamatematik ve soyut cebirde Skolem'in sonunda baskın geldiği alanlarda önde gelen araştırma merkezi olan Göttingen Üniversitesi'nde 1915 kış dönemini geçirdi. 1916'da Det Kongelige Frederiks Universitet'e araştırma görevlisi olarak atandı. 1918'de Matematik Doktoru oldu ve Norveç Bilim ve Edebiyat Akademisi'ne seçildi.

Skolem ilk başta resmi olarak Doktora adayı olduğuna inanarak doktoraya kaydolmadı. Doktora, Norveç'te gereksizdi. Daha sonra fikrini değiştirdi ve 1926'da belirli cebirsel denklemlere ve eşitsizliklere integral çözümler hakkında bazı teoremler başlıklı bir tez sundu. Thue 1922'de ölmüş olmasına rağmen, kavramsal tez danışmanı Axel Thue idi.

Skolem, 1930'da Bergen'deki Chr. Michelsen Enstitüsü'nde Araştırma Görevlisi olana kadar Det kongelige Frederiks Universitet'te (1939'da Oslo Üniversitesi olarak yeniden adlandırıldı) ders vermeye devam etti. Bu kıdemli görev, Skolem'in idari ve öğretim görevlerinden bağımsız olarak araştırma yapmasına izin verdi. Bununla birlikte, pozisyon aynı zamanda, daha sonra bir üniversitesi olmayan ve dolayısıyla araştırma kütüphanesi olmayan bir şehir olan Bergen'de ikamet etmesini gerektirdi, böylece matematik literatürünü takip edemedi. 1938'de üniversitede Matematik Profesörlüğü görevini üstlenmek için Oslo'ya döndü. Orada cebir ve sayı teorisinde ve sadece ara sıra matematiksel mantık üzerine lisansüstü dersler verdi. Skolem'in doktora öğrencisi Øystein Ore ABD'de kariyerine devam etti.

Skolem, Norveç Matematik Topluluğunun (Norwegian Mathematical Society) başkanı olarak görev yaptı ve uzun yıllar Norsk Matematisk Tidsskrift ("The Norwegian Mathematical Journal") adlı derginin editörlüğünü yaptı. Aynı zamanda Mathematica Scandinavica'nın kurucu editörüdür.

1957 emekli olduktan sonra, Amerika Birleşik Devletleri'ne birkaç gezi yaptı, oradaki üniversitelerde konuştu ve ders verdi. Ani ve beklenmedik ölümüne kadar entelektüel olarak aktif kaldı.

Skolem, Diophantine denklemleri, grup teorisi, kafes teorisi ve hepsinden önemlisi küme teorisi ve matematiksel mantık üzerine yaklaşık 180 makale yayınladı. Çoğunlukla sınırlı uluslararası tirajlı Norveç dergilerinde yayınladı, bu nedenle elde ettiği sonuçlar ara sıra başkaları tarafından yeniden keşfedildi. Basit cebirlerin otomorfizmlerini karakterize eden Skolem-Noether teoremi buna bir örnektir. Skolem 1927'de bir kanıt yayınladı, ancak Emmy Noether bunu birkaç yıl sonra bağımsız olarak yeniden keşfetti.

Skolem kafesler üzerine yazan ilk kişiler arasındaydı. 1912'de, n element tarafından oluşturulan serbest bir dağıtıcı kafesi tanımlayan ilk kişi oydu. 1919'da, her dolaylı kafesin (şimdi Skolem kafesi olarak da adlandırılır) dağıtıcı olduğunu ve kısmi bir tersi olarak, her sonlu dağılımlı kafesin dolaylı olduğunu gösterdi. Bu sonuçlar başkaları tarafından yeniden keşfedildikten sonra, Skolem, kafes teorisindeki daha önceki çalışmalarını inceleyen 1936 tarihli Almanca "Über gewisse 'Verbände' oder 'Lattices'''" adlı bir makale yayınladı.

Skolem, öncü bir model teorisyeniydi. 1920'de, Leopold Löwenheim'ın ilk kez 1915'te kanıtladığı bir teoremin ispatını büyük ölçüde basitleştirdi ve sonuçta Löwenheim-Skolem teoremi ortaya çıktı; bu teorem, eğer sayılabilir bir birinci dereceden teorinin sonsuz bir modeli varsa, o zaman sayılabilir bir modeli olduğunu ifade etmektedir. Onun 1920 kanıtı seçim aksiyomunu kullandı, ancak daha sonra (1922 ve 1928) bu aksiyom yerine Kőnig lemmasını kullanarak kanıtlar verdi. Löwenheim gibi Skolem'in matematiksel mantık ve küme teorisi üzerine yazdığı, Peano'nun, Principia Mathematica ve Principles of Mathematical Logic adlı eserlerin notasyonlarının aksine değişken bağlayıcı niceleyiciler olarak ∏, ∑ de dahil olmak üzere öncü model teorisyenleri Charles Sanders Peirce ve Ernst Schröder'in notasyonunu kullanarak yazması dikkate değerdir. Skolem (1934) küme teorisi ve standart olmayan aritmetik modellerinin oluşturulmasına öncülük etti.

Skolem (1922), Zermelo'nun belirsiz "kesin" özellik kavramını birinci dereceden mantıkla kodlanabilen herhangi bir özellik ile değiştirerek Zermelo'nun küme teorisi aksiyomlarını geliştirdi. Ortaya çıkan aksiyom artık küme teorisinin standart aksiyomlarının bir parçasıdır. Skolem ayrıca, Löwenheim-Skolem teoreminin bir sonucunun şu anda Skolem paradoksu olarak bilinen şey olduğuna dikkat çekti: Zermelo'nun aksiyomları tutarlıysa, sayılamayan kümelerin varlığını ispat etseler bile sayılabilir bir alanda tatmin edilebilir olmaları gerekir.

Birinci dereceden mantığın tamlığı, Skolem'in 1920'lerin başında kanıtladığı ve Skolem'de (1928) tartıştığı sonuçların doğal bir sonucudur, ancak bu gerçeği not edemedi, belki de matematikçiler ve mantıkçılar temel bir meta-matematik olarak tamlığın tam olarak farkına varamamışlardır. Hilbert ve Ackermann'ın Matematiksel Mantığın İlkeleri adlı eserinin 1928'deki ilk baskısına kadar problemi açıkça ifade etti. Her halükarda Kurt Gödel bu bütünlüğü ilk kez 1930'da kanıtladı.

Skolem tamamlanmış sonsuza güvenmiyordu ve matematikte sonluluğun kurucularından biriydi. Skolem (1923), sonsuzun sözde paradokslarından kaçınmanın bir yolu olarak, hesaplanabilir fonksiyonlar teorisine çok erken bir katkı olan ilkel yinelemeli aritmetiği ortaya koyar. Burada önce nesneleri ilkel özyineleme ile tanımlayarak, ardından ilk sistem tarafından tanımlanan nesnelerin özelliklerini kanıtlamak için başka bir sistem tasarlayarak doğal sayıların aritmetiğini geliştirdi. Bu iki sistem, asal sayıları tanımlamasına ve önemli miktarda sayı teorisi ortaya koymasına olanak sağladı. Bu sistemlerden ilki, nesneleri tanımlamak için bir programlama dili, ikincisi ise nesneler hakkındaki özellikleri kanıtlamak için bir programlama dili olarak kabul edilebilirse, Skolem teorik bilgisayar biliminin farkında olmadan öncüsü olarak görülebilir.

1929'da Presburger, Peano aritmetiğinin çarpma olmaksızın tutarlı, eksiksiz ve karar verilebilir olduğunu kanıtladı. Ertesi yıl, Skolem, onuruna Skolem aritmetiği adlı bir sistem olan Peano aritmetiği için de aynı şeyin geçerli olduğunu kanıtladı. Gödel'in 1931'deki ünlü sonucu, Peano aritmetiğinin kendisinin (hem toplama hem de çarpma ile) tamamlanamaz ve bu nedenle a posteriori karar verilemez olmasıdır.