Debye modeli

Termodinamik ve katı hal fiziğinde Debye modeli; Peter Debye tarafından 1912 yılında geliştirilen, katılarda özgül ısıya (ısı kapasitesi) olan fonon katkısını tahmin etmek için kullanılan metottur. Atomik kristal yapının salınımlarını, bir kutu içerisindeki fononlar gibi düşünerek ele alır. Bu; katıya ayrı ayrı kuantum harmonik osilatörlerden oluşmuş olarak davranan Einstein modelinin tam tersidir. Debye modeli;  – Debye T3 yasası - ısı kapasitesini düşük sıcaklıklarda doğru bir şekilde tahmin eder. , düşük sıcaklıklarda olan. Tıpkı Einstein modeli gibi, yüksek sıcaklıklarda Dulong–Petit Yasasını da doğru bir şekilde kapsar. Ama, ara sıcaklıklarda basitleştirmek için yapılan varsayımlar nedeniyle doğruluğu kusurludur.

Debye modeli; elektromanyetik radyasyona kapalı bir kutudaki fotonlardan oluşmuş gaz olarak davranan Planck'ın siyah cisim ışımasının katı-hal muadilir. Debye modeli, atomik titreşimlere kutudaki (kutu = katı cisim) fononlar olarak yaklaşır. Hesaplamaların çoğu aynıdır.

Frekansın dalga boyuyla (ses hızını sabit kabul edersek) ters orantılı olduğu varsayımı yüksek-enerjili fononlar (detaylı bilgi için fonon başlığına bakınız)  için olmasa da düşük-enerjili  fononlar için iyi bir yaklaşımdır. Bu; Debye modelinin sınırlandırmalarından birisidir ve ara sıcaklıklarda sonuçların hatalı olmasına karşılık gelir. Oysaki düşük ve yüksek sıcaklıklarda hatasızlardır.

Şimdi, burası Debye modeli ve Planck'ın siyah cisim ışıması farklılaştığı yerdir. Kutudaki elektromanyetik radyasyonun aksine, fononun enerji seviyesi sayısı sınırlıdır. Çünkü, bir fonon sınırsız frekansa sahip olamaz. Frekansı, ilerlediği ortamla—katının atomik örgüsü (atomic lattice of the solid) sınırlanmıştır. Aşağıdaki; enine(transverse) bir fononun tasvirine bakınız.

Bu integrallerin fotonlar için hesaplanmasının kolay olmasının sebebi, ışığın frekansının, en azından yarı klasik olarak, bağlanmamış olması gerçeğidir. Yukarıdaki resimde görüldüğü gibi, bu fononlar için geçerli değildir. Debye, bu üçlü integrali yaklaşık olarak hesaplayabilmek için küresel koordinatları kullandı.

Birçok referans Debye sıcaklığını bazı sabitler ve materyale bağlı değişkenler için kısaltma olarak tanımlar. Ancak, aşağıda gösterildiği gibi,  kabaca minimum dalga boyu modunun fonon enerjisine eşittir. Böylelikle Debye sıcaklığını, en yüksek frekans modunun (ve dolayısıyla her modun) uyarıldığı sıcaklık olarak yorumlayabiliriz.

Bu formüller, Debye modelini tüm sıcaklıklarda sağlar. Aşağıda verilen daha temel formüller, düşük ve yüksek sıcaklıkların sınırında asimptotik davranışı verir.  Daha önce belirtildiği gibi, bu davranış, ara davranışa aksi  olarak daha kesindir. Düşük ve yüksek enerjilerdeki kesinliğin temel nedeni, sırasıyla: (i) kesin dağılım ilişkisi (dispersion relation)  düşük frekanslar, ve (ii) kesin seviye yoğunlukları(density of states) frekans aralığı başına titreşim sayısı ile ilgili olarak.

Aslında, Debye denklemini biraz daha farklı ve daha basit türetti. Sürekli ortamın katı mekaniğini kullanarak, belirli bir değerden daha düşük frekanstaki titreşim seviyesi(state) sayısının aşağıdaki ifadeye asimptotik olduğunu buldu.

Önce titreşim frekansı dağılımını türetiriz. Aşağıdaki türetme Appendix VI kısmından alınmıştır. Yan uzunlukları . Elastik dalga dalga denklemine uyacak ve düzlem dalgalardan oluşacaktır; dalga vektörü  ele alalım.

Bu Dulong-Petit yasasıdır ve ısı kapasitesinin daha da yükselmesine neden olan anharmoniği dikkate almıyor olmasına rağmen oldukça doğrudur. Bir iletken veya yarıiletken katı maddenin toplam ısı kapasitesi elektronlardan da ihmal edilemez bir katkı içerebilir.

Peki Debye ve Einstein modelleri deneyle ne kadar örtüşüyor? Şaşırtıcı derecede yakın, ancak Debye düşük sıcaklıklarda doğru olmasına rağmen Einstein doğru değildir.

Şimdi her iki model de aynı grafik üzerinde çizilebilir. Bu oran, bir 3-boyutlu küre hacminin, onu içeren küpün hacmine oranının küp kökü olduğuna dikkat edelim; bu sadece yukarıdaki enerji integralini hesaplarken Debye tarafından kullanılan düzeltme faktörüdür.

Alternatif olarak, 2 sıcaklığın oranı, tüm osilatörlerin salınacağı Einstein'ın tek frekansının ve Debye'nin maksimum frekansının oranı olarak görülebilir. Einstein'ın tek frekansının Debye modeli için mevcut olan frekansların ortalaması olduğu görülebilir.

Debye modelinin deneysel verilere uyması, genellikle Debye sıcaklığının sıcaklığa bağlı olmasına izin vererek fenomenolojik olarak geliştirilir; örneğin, sıcaklık Mutlak sıfırdan yaklaşık 100 K'ye yükseldiğinde, su buzunun değeri yaklaşık 222 K'den 300 K'ye yükselir.

Diğer bozonik yarı-parçacıklar için, mesela fononlar (kuantize olmuş ses dalgaları) yerine ferromıknatıslardaki magnonlar için benzer sonuçlar kolayca elde edilebilir. Bu durumda, düşük frekanslarda farklı dağılma ilişkilerine (dispersion relation) sahiptir. Örneğin, magnonlar için   , fonon olsaydı   (dalga vektörü ). Ayrıca seviyelerin yoğunluğu farklılık gösterir. (Örneğin ). Sonuç olarak ferromıknatıslarda, ısı kapasitesine magnon katkısı olur. , bu, yeterince düşük sıcaklıklarda fonon katkısını domine eder, . Buna karşın metallerde, düşük sıcaklıklardaki asıl ısı kapasitesine yapılan katkı  , elektronlardan gelmektedir. Fermiyoniklerdir, ,Arnold Sommerfeld'e kadar uzanan farklı metotlarla hesaplanırlar.

Sıvılar sadece boyuna fononları destekleyebileceği, enine fononları desteklemeyeceği için, uzun bir süre boyunca, fonon teorisinin sıvıların ısı kapasitesini açıklamayacağını düşünülüyordu, katılardaki ısı kapasitesinin 2/3'ünden sorumlu olduklarını düşünürsek haksız bir çıkarım değildi. Ancak, nötronlar ve X-Işınları ile yapılan Brillouin saçılması deneyleri Yakov Frenkel'in sezgilerini destekliyordu. Bununla; her ne kadar Frenkel frekansı denilen, eşik frekansının üzerindeki frekanslarla sınırlı olsa da, enine fononların sıvılarda da mevcut olduğu anlaşıldı. Enerjinin çoğu bu yüksek-frekans modlarında bulunduğu için, basit sıvıların deneysel ısı kapasitelerine iyi bir yakınlık elde etmek için Debye modelinin basit bir modifikasyonu yeterlidir.