Peter Gustav Lejeune Dirichlet

Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet (; 13 Şubat 1805 - 5 Mayıs 1859), sayı teorisi (analitik sayı teorisi alanını oluşturmak da dahil) ve Fourier serileri teorisi ile matematiksel analizdeki diğer konulara derin katkılarda bulunan Alman bir matematikçiydi. Bir fonksiyonun modern biçimsel tanımını veren ilk matematikçilerden biri olarak kabul edilmektedir.

Gustav Lejeune Dirichlet, 13 Şubat 1805'te Ren Nehri'nin sol yakasında, o zamanlar Birinci Fransız İmparatorluğu'nun bir parçası olan Düren'de doğdu ve 1815'teki Viyana Kongresi'nden sonra Prusya'ya geri döndü. Babası Johann Arnold Lejeune Dirichlet posta müdürü, tüccar ve belediye meclis üyesidir. Babasının dedesi Düren'e Belçika'daki Liège'nin 5 km kuzey doğusunda küçük bir topluluk olan Richelette'den (veya daha çok Richelle'den) gelmişti, soyadı "Lejeune Dirichlet" de ("), "Richelette'li gençler"in Fransızcasından türetilmiştir.

Ailesi zengin olmamasına ve yedi çocuğun en küçüğü olmasına rağmen, ailesi eğitimini destekledi. Daha sonra bir tüccar olacağı umuduyla onu bir ilkokula ve ardından özel okula kaydettirdiler. 12 yaşından önce matematiğe büyük ilgi gösteren genç Dirichlet, ailesini çalışmalarına devam etmesi için ikna etti. 1817'de onu, ailesinin tanıdığı bir öğrenci olan Peter Joseph Elvenich'in gözetimi altında 'a gönderdiler. 1820'de Dirichlet, Köln'deki Cizvit Spor Salonu'na geçti ve burada Georg Ohm'dan aldığı dersler matematikteki bilgisini genişletmeye yardımcı oldu. Bir yıl sonra spor salonundan sadece bir sertifika ile ayrıldı, çünkü akıcı Latince konuşamaması Abitur'u kazanmasına engel oldu.

Dirichlet, hukuk alanında kariyer yapma arzusuna karşın anne babasını matematik alanındaki çalışmaları için daha fazla mali destek sağlamaya tekrar ikna etti. Almanya, o zamanlar yüksek matematik eğitimi almak için çok az fırsat sağladığından, yalnızca Göttingen Üniversitesi'nde astronomi profesörü olan ve her halükarda öğretmekten hoşlanmayan Gauss ile, Dirichlet Mayıs 1822'de Paris'e gitmeye karar verdi. Orada, Collège de France ve Paris Üniversitesi'ndeki derslere katıldı, diğerlerinin yanı sıra Hachette'den matematik öğrenirken, hayatı boyunca yanında tuttuğu bir kitap olan Disquisitiones Arithmeticae’nin özel çalışmasını üstlendi. 1823'te, onu çocuklarına Almanca öğretmesi için özel öğretmen olarak işe alan General Maximilien Foy'a tavsiye edildi ve bu, sonunda Dirichlet'in ebeveynlerinin mali desteğinden bağımsız olarak maaş almasını sağladı.

durumu için Fermat'nın son teoreminin ; kanıtının bir parçasını içeren ilk orijinal araştırması, durumu için Fermat'ın kendi ispatından ve Euler'in için ispatından bu yana teoremdeki ilk ilerleme olarak ona hemen ün kazandırdı. Hakemlerden Adrien-Marie Legendre bu durumun ispatını kısa sürede tamamladı; Dirichlet, Legendre'den kısa bir süre sonra kendi ispatını tamamladı ve birkaç yıl sonra durumu için tam bir kanıt üretti. Haziran 1825'te Fransız Bilimler Akademisi'nde durumu için kısmi kanıtı üzerine ders vermesi kabul edildi, bu, 20 yaşındaki bir öğrenci için olağanüstü bir başarıydı. Akademi'deki dersi, Dirichlet'i teorik fiziğe, özellikle de Fourier'in analitik ısı teorisine olan ilgisini artıran Fourier ve Poisson ile yakın bir temasa sokmuştu.

General Foy Kasım 1825'te öldüğünden ve Fransa'da para kazanacağı herhangi bir pozisyon bulamadığından, Dirichlet Prusya'ya dönmek zorunda kaldı. Fourier ve Poisson, onu Kral III. Friedrich Wilhelm'in sarayına davet edilen Alexander von Humboldt ile tanıştırdı. Berlin'i bir bilim ve araştırma merkezi yapmayı planlayan Humboldt, derhal Dirichlet'e yardım teklif etti, Prusya hükûmetine ve Prusya Bilimler Akademisi'ne lehine mektuplar gönderdi. Humboldt ayrıca Gauss'tan bir tavsiye mektubu aldı ve Fermat teoremi hakkındaki anılarını okuduktan sonra alışılmadık miktarda övgü ile "Dirichlet'in mükemmel bir yetenek gösterdiğini" yazdı. Humboldt ve Gauss'un desteğiyle Dirichlet'e Breslau Üniversitesi'nde öğretmenlik pozisyonu teklif edildi. Ancak, doktora tezini geçemediği için, Fermat teoremine ilişkin anılarını tez olarak Bonn Üniversitesi'ne sundu. Yine, Latinceyi akıcı şekilde kullanamaması nedeniyle, teziyle ilgili gerekli halka açık münazarayı savunamamasına neden oldu; uzun tartışmalardan sonra, Üniversite ona Şubat 1827'de fahri doktora vererek sorunu aşmaya karar verdi. Ayrıca, Eğitim Bakanı, Habilitasyon için gerekli olan Latince tartışması için ona bir muafiyet verdi. Dirichlet Habilitasyonu kazandı ve 1827/28 yılında Breslau'da Privatdozent olarak ders verdi.

Dirichlet, Breslau'dayken, o zamanlar Gauss'un araştırmasının odak noktası olan bikuadratik karşılıklılık yasasına önemli katkılar yayınlayarak sayı teorisindeki araştırmasına devam etti. Alexander von Humboldt, Friedrich Bessel'den de coşkulu övgüler alan bu yeni sonuçlardan istifade etti ve Berlin'e istenen transferi ayarlamak için yararlandı. Dirichlet'in genç yaşı (o sırada 23 yaşındaydı) göz önüne alındığında, Humboldt, Breslau Üniversitesi'nde kadrolu olarak çalışırken ona Berlin'deki Prusya Askeri Akademisi'nde sadece bir deneme pozisyonu alabildi. 1831'de pozisyon kesinleşene kadar deneme süresi üç yıl uzatıldı.

Dirichlet'in Berlin'e taşınmasının ardından Humboldt, onu bankacı Abraham Mendelssohn Bartholdy ve ailesinin düzenlediği büyük salonlarla tanıştırdı. Evleri, her ikisi de seçkin müzisyenler olan Abraham'ın çocukları Felix ve Fanny Mendelssohn ile ressam Wilhelm Hensel (Fanny'nin kocası) dahil Berlinli sanatçılar ve bilim adamları için haftalık bir buluşma noktasıydı. Dirichlet, 1832'de evlendiği Abraham'ın kızı Rebecka'ya büyük ilgi gösterdi.

Dirichlet Berlin'e gelir gelmez Berlin Üniversitesi'nde ders vermek için başvurdu ve Eğitim Bakanı transferini onaylayarak 1831'de onu felsefe fakültesine atadı. Fakülte ondan yenilenmiş bir habilitasyon yeterliliği almasını istedi ve Dirichlet gerektiği gibi bir Habilitationsschrift yazmasına rağmen, zorunlu dersi Latince olarak vermeyi 1851'e kadar 20 yıl daha erteledi. Bu resmi koşulu tamamlamadığı için, sınırlı maaşlar dahil olmak üzere tam haktan daha azıyla fakülteye bağlı kaldı ve onu Askeri Okuldaki öğretim görevini paralel olarak sürdürmeye zorladı. 1832'de Dirichlet, 27 yaşındaki en genç üye olan Prusya Bilimler Akademisi'nin bir üyesi oldu.

Dirichlet, açıklamalarının netliği knusunda öğrenciler arasında iyi bir üne sahipti ve özellikle Üniversite dersleri, araştırma yaptığı daha ileri konular üzerine olma eğiliminde olduğundan, öğretmenlik yapmaktan zevk aldı: sayı teorisi (sayı teorisi konusunda ders veren ilk Alman profesördü.), analiz ve matematiksel fizik. Gotthold Eisenstein, Leopold Kronecker, Rudolf Lipschitz ve Carl Wilhelm Borchardt gibi birçok önemli Alman matematikçinin doktora tezlerine danışmanlık yaparken, Elwin Bruno Christoffel, Wilhelm Weber, Eduard Heine, Ludwig von Seidel ve Julius Weingarten dahil olmak üzere birçok bilim adamının matematiksel oluşumunda etkili oldu. Askeri Akademide Dirichlet, müfredata diferansiyel ve integral hesabı getirmeyi başardı ve buradaki bilimsel eğitim seviyesini yükseltti. Ancak, yavaş yavaş Harp Akademisi ve Üniversite'deki çifte öğretim yükünün araştırmalarına ayırdığı zamanı sınırladığını hissetmeye başladı.

Dirichlet, Berlin'deyken diğer matematikçilerle iletişimini sürdürdü. 1829'da bir gezi sırasında, Königsberg Üniversitesi'nde matematik profesörü olan Carl Jacobi ile tanıştı. Yıllar geçtikçe araştırma konularında görüşmeye ve yazışmaya devam ettiler, zamanla yakın arkadaş oldular. Dirichlet, 1839'da Paris'i ziyareti sırasında Joseph Liouville ile tanıştı; iki matematikçi arkadaş oldu, birkaç yıl sonra ailelerle iletişim halinde kaldı ve hatta birbirlerini ziyaret etti. 1839'da Jacobi, Dirichlet'e o sırada öğretmen olan Ernst Kummer tarafından yazılmış bir makale gönderdi. Kummer'in potansiyelini fark ederek, Berlin Akademisi'ne seçilmesine yardım ettiler ve 1842'de onun için Breslau Üniversitesi'nde tam bir profesör pozisyonu elde ettiler. 1840'ta Kummer, Rebecka'nın kuzeni Ottilie Mendelssohn ile evlendi.

1843'te, Jacobi hastalanınca, Dirichlet ona yardım etmek için Königsberg'e gitti, sonra onun için Kral IV. Friedrich Wilhelm'in kişisel doktorunun yardımını aldı. Doktor, Jacobi'nin İtalya'da biraz zaman geçirmesini tavsiye ettiğinde, Dirichlet ailesiyle birlikte geziye katıldı. İtalya'ya tercüman olarak gelen Ludwig Schläfli eşlik etti; matematikle yakından ilgilendiği için hem Dirichlet hem de Jacobi gezi sırasında ona ders verdiler ve daha sonra kendisi de önemli bir matematikçi oldu. Dirichlet ailesi, İtalya'daki kalışlarını 1845'e kadar uzattı, kızları Flora orada doğdu. Jacobi 1844'te tamamen emekli olarak Berlin'e taşındı ve dostlukları daha da yakınlaştı. 1846'da Heidelberg Üniversitesi Dirichlet'i işe almaya çalıştığında Jacobi, von Humboldt'a Dirichlet'in Berlin'de kalması için Üniversite'deki maaşının iki katına çıkması için gereken desteği sağladı; ancak, o zaman bile kendisine tam bir profesör maaşı ödenmedi ve Harp Okulu'ndan ayrılamadı.

Liberal görüşlere sahip olan Dirichlet ve ailesi 1848 devrimini destekledi; hatta bir tüfekle Prusya Prensi'nin sarayını korudu. Devrim başarısız olduktan sonra, Harp Akademisi geçici olarak kapandı ve bu onun için büyük bir gelir kaybına neden oldu. Yeniden açıldığında, öğretmenlik yaptığı memurların kurulan hükûmete sadık olması beklendiğinden, ortam ona karşı daha düşmanca bir hale geldi. Devrimden yana olmayan bazı basın mensuplarının yanı sıra, Jacobi ve diğer liberal profesörler gibi onu "kırmızı grupta personel" olarak işaret etti.

Dirichlet'in uzmanlığına ve aldığı onurlara rağmen, 1851'de bir profesör için tüm resmi şartları nihayet tamamlamış olmasına rağmen, üniversitede maaşını yükseltme meselesi hala sürüyordu ve Harp Akademisi'nden ayrılamıyordu. 1855'te Gauss'un ölümü üzerine Göttingen Üniversitesi, Dirichlet'i halefi olarak çağırmaya karar verdi. Berlin'de karşılaşılan zorluklar nedeniyle teklifi kabul etmeye karar verdi ve hemen ailesiyle birlikte Göttingen'e taşındı. Kummer, Berlin'de matematik profesörü olarak görevine çağrıldı.

Dirichlet, Göttingen'de geçirdiği zamandan zevk aldı, çünkü daha hafif öğretim yükü ona araştırma için daha fazla zaman verdi ve yeni nesil araştırmacılarla, özellikle Richard Dedekind ve Bernhard Riemann ile yakın temasa geçti. Göttingen'e taşındıktan sonra, Riemann'ı buradaki öğretim kadrosunda tutması için küçük bir yıllık maaş aldı. Dedekind, Riemann, Moritz Cantor ve Alfred Enneper, hepsi zaten doktoralarını kazanmış olsalar da, Dirichlet'in derslerine onunla çalışmak için katıldılar. Matematik eğitiminde boşluklar olduğunu hisseden Dedekind, Dirichlet ile çalışma fırsatının onu "yeni bir insan" yaptığını düşünüyordu. Daha sonra Dirichlet'in derslerini ve sayı teorisindeki diğer sonuçlarını (Lectures on Number Theory, Sayı Teorisi Üzerine Dersler) başlığı altında düzenledi ve yayımladı.

1858 yazında, Montrö'ye yaptığı bir gezi sırasında Dirichlet kalp krizi geçirdi. 5 Mayıs 1859'da, karısı Rebecka'nın ölümünden birkaç ay sonra Göttingen'de 54 yaşında öldü. Dirichlet'in beyni, Gauss'un beyni ile birlikte Göttingen Üniversitesi fizyoloji bölümünde korunmaktadır. Berlin Akademisi, onu 1860 yılında Kummer tarafından sunulan resmi bir anma konuşmasıyla onurlandırdı ve daha sonra Kronecker ve Lazarus Fuchs tarafından düzenlenen toplu çalışmalarının yayınlanmasını emretti.

Sayı teorisi, Dirichlet'in temel araştırma ilgi alanıydı, birçok derin sonuç bulduğu ve bunları kanıtlarken birçoğu daha sonra onun adını taşıyan bazı temel araçları tanıttığı bir alandı. 1837'de Dirichlet'in aritmetik ilerlemeler üzerine teoremini yayınladı, cebirsel bir problemi çözmek için matematiksel analiz kavramlarını kullandı ve böylece analitik sayı teorisi dalını yarattı. Teoremi kanıtlarken Dirichlet karakterlerini ve L-fonksiyonlarını tanıttı. Ayrıca makalede, serinin mutlak ve koşullu yakınsaması arasındaki farkı ve daha sonra Riemann serisi teoremi olarak adlandırılan şeydeki etkisini kaydetti. 1841'de aritmetik ilerleme teoremini tam sayılardan, Gauss tam sayıları halkasına genelleştirdi.

1838 ve 1839'daki birkaç makalede, ikinci dereceden formlar için birinci sınıf sayısı formülünü kanıtladı (daha sonra öğrencisi Kronecker tarafından geliştirildi). Jacobi'nin "insan zekasına en fazla dokunan" sonuç olarak adlandırdığı formül, daha genel sayı cisimleri açısından da benzer sonuçların yolunu açtı. Kuadratik cisimlerin birim grubunun yapısı üzerine yaptığı araştırmaya dayanarak, cebirsel sayı teorisinin temel bir sonucu olan Dirichlet birim teoremini kanıtladı.

İlk olarak, temel bir sayma argümanı olan güvercin deliği prensibini, daha sonra Dirichlet yaklaşım teoremi olarak adlandırılan, Diyofant yaklaşımını bir teoremin ispatında kullandı. ve durumlarını ispatladığı Fermat'nın son teoremine ve bikuadratik karşılıklılık yasasına önemli katkılar yayınladı. İlk sonuçlarını bulduğu Dirichlet bölen problemi, diğer matematikçilerin daha sonraki katkılarına rağmen sayı teorisinde hala çözülmemiş bir problemdir.

Dirichlet, akıl hocasının Paris'teki çalışmasından esinlenerek, 1829'da Fourier serisinin yakınsamasının hangi fonksiyonlar için geçerli olduğunu gösteren koşulları veren ünlü bir inceleme yazısı yayınladı. Dirichlet'in çözümünden önce, sadece Fourier değil, Poisson ve Cauchy de kesin bir yakınsama kanıtı bulmayı başaramadılar. İnceleme yazısı, Cauchy'nin hatasını işaret etti ve serilerin yakınsaması için Dirichlet testini tanıttı. Dirichlet fonksiyonunu, integrallenemeyen bir fonksiyonun bir örneği olarak tanıttı (belirli integral o zamanlar hala gelişmekte olan bir konuydu) ve Fourier serisi için teoremin ispatında Dirichlet çekirdeği ve Dirichlet integralini tanıttı.

Dirichlet ayrıca Laplace denklemi için ilk sınır değer problemini inceledi ve çözümün benzersizliğini kanıtladı; Kısmi diferansiyel denklemler teorisindeki bu tür problem daha sonra Dirichlet problemi olarak adlandırıldı. Dirichlet sınır koşullarına tabi bir kısmi diferansiyel denklemi karşılayan bir fonksiyon, sınırda sabit değerlere sahip olmalıdır. İspatta, çözümün sözde Dirichlet enerjisini en aza indiren fonksiyon olduğu ilkesini kullandı. Riemann daha sonra bu yaklaşıma Dirichlet prensibi adını verdi, ancak bunun Gauss ve Lord Kelvin tarafından da kullanıldığını biliyordu.

Dirichlet, Fourier serisinin yakınsamasının gösterilebileceği fonksiyonların aralığını ölçmeye çalışırken, "herhangi bir 'e tek bir sonlu 'ye karşılık gelir" özelliğiyle bir fonksiyonu tanımlar, ancak daha sonra dikkatini parçalı sürekli fonksiyonlara sınırlar. Buna dayanarak, analitik formül olarak bir fonksiyonun daha eski belirsiz anlayışının aksine, bir fonksiyon için modern kavramı tanıtmakla tanınır. Imre Lakatos, Hermann Hankel'den bu atıfın erken kökeni olarak alıntı yapıyor, ancak "Bu kavram hakkında hiçbir fikri olmadığına dair pek çok kanıt var [...] örneğin, parça parça sürekli fonksiyonları tartışırken, süreksizlik noktalarında fonksiyonun iki değeri olduğunu söylüyor." diyerek iddiaya itiraz ediyor.

Dirichlet ayrıca matematiksel fizik alanında çalıştı, potansiyel teorisinde (yukarıda bahsedilen Dirichlet problemi ve Dirichlet prensibi dahil), ısı ve hidrodinamik teorisinde araştırma yayınladı ve ders verdi. Lagrange'ın konservatif sistemler üzerindeki çalışmasını, denge koşulunun potansiyel enerjinin minimum olduğunu göstererek geliştirdi.

Dirichlet ayrıca olasılık teorisi ve en küçük kareler üzerine ders verdi, özellikle limit teoremleri ve merkezî limit teoremiyle ilgili yaklaşım Laplace yönteminin iyileştirilmesi için bazı orijinal yöntemler ve sonuçlar tanıttı. Dirichlet integralini temel alan Dirichlet dağılımı ve Dirichlet süreci onun adını almıştır.

1855'te Dirichlet'e, von Humboldt'un tavsiyesi üzerine Pour le Mérite madalyası verildi. Ay üzerindeki Dirichlet krateri ve 11665 Dirichlet asteroiti onun ismini taşıyor.