Yakınsaklık yarıçapı

Matematikte, bir kuvvet serisinin yakınsaklık yarıçapı negatif olmayan bir gerçel sayı veya ∞ olan bir niceliktir. Verilen bir kuvvet serisinin yakınsaklık yarıçapı serinin yakınsak olduğu bölgeyi gösterir. Bu yakınsaklık yarıçapının içinde kalan bölgede, kuvvet serisi mutlak yakınsak ve aynı zamanda tıkız yakınsaktır. Seri yakınsak ise, o zaman bu seri bir analitik fonksiyonun bu yakınsaklık yarıçapının belirlediği bölgenin içinde kalan bölgede yakınsayan bir Taylor serisidir.

Başka bir deyişle, seri, z merkeze yeteri kadar yakınken yakınsar ve oldukça uzak iken de ıraksar. Yakınsaklık yarıçapının belirlediği ise bu yakınlık ve uzaklığın ne olduğudur. Sınır üzerinde, yani |z − a| = r iken, kuvvet serisinin yakınsayıp yakınsamadığını belirten özel bir ifade veya tanım yoktur. Çünkü bazı seriler sınırın üzerindeki her noktada yakınsak iken, bazıları her noktada ıraksak ve bazıları ise belli noktalarda yakınsak ve ıraksak olabilir.

Seriyi yakınsak yapan z leri içeren kümenin öziçine yakınsaklık bölgesi adı verilir ve bu bölgelere z lerin hangi uzaydan değer aldığına bağlı olarak yakınsaklık aralığı, yakınsaklık dairesi, yakınsaklık yuvarı gibi değişik adlar da verilmektedir.

değerinden küçük olduğu durumlarda yakınsar. Benzer bir şekilde, bu değerden büyük olduğu durumlarda ise ıraksar. Bunun tam ifadesi Cauchy-Hadamard teoremi tarafından verilmektedir. r = 1/0 durumu sonsuz yarıçap olarak yorumlanır ve f 'nin bir tam fonksiyon olduğu anlamına gelir.

Burada Bn sayıları Bernoulli sayısıdır. Bu durumda oran testini uygulamak oldukça zahmetli olacaktır. Ancak, karmaşık analiz için yukarıda verilen teorem problemi çok kolay bir şekilde halledecektir. z = 0 olduğunda, aslında tekillik yoktur çünkü bu tekillik kaldırılabilir tekilliktir. Kaldırılabilir olamyan diğer tekillikler paydanın 0 olduğu diğer noktalarda olmaktadır.

elde ederiz. Şimdi, x ve y 'yi gerçel alalım. y gerçel olduğu için, cos(y) + i sin(y) ifadesinin mutlak değeri 1 olacaktır. Bu yüzden, e z ifadesinin mutlak değeri x değeri gerçel olduğu için ancak e x=1 ise 1'e eşit olacaktır. y gerçel olduğu için, bu da ancak cos(y) = 1 ve sin(y) = 0 olduğunda gerçekleşecektir. Böylece, y  2π 'nin bir tam sayı katı olur. Sonuç olarak, bu fonksiyonun tekil noktaları z 'nin  2πi 'nin 0 haricindeki tam sayı katlarında olur.

Kuvvet serisi açılımının merkezi olan 0 'a en yakın tekillikler ±2πi 'dedir. Her iki noktaya da 0 noktasından uzaklık 2π olduğu için yakınsaklık yarıçapı da 2π olur.

Bir kuvvet serisi a noktası etrafında açılırsa ve yakınsaklık yarıçapı r ise, o zaman z such that |z − a| = r koşulunu sağlayan tüm z sayılarının kümesine yakınsaklık dairesinin sınırı adı verilen bir çemberdir. Bir kuvvet serisi sınırdaki noktaların tümünde ıraksayabilir, belli noktalarında ıraksak olup geri kalan noktalarında yakınsayabilir. Hatta, seri sınırın tümünde yakınsak olup mutlak yakınsak olmayabilir.

Örnek 1: ƒ(z) = (1 − z)−1 fonksiyonunun z = 0 merkezindeki kuvvet serisinin yakınsaklık yarıçapı 1'dir ve sınırdaki tüm noktalarda bu seri ıraksaktır.

Örnek 2: g(z) = ln(1 − z) fonksiyonun yine 0 merkezli kuvvet serisinin yakınsaklık yarıçapı r = 1 'dir. z = 1 iken seri ıraksaktır ve ama sınırın üzerindeki diğer tüm noktalarda seri yakınsakır. Örnek 1'deki ƒ(z) fonksiyonu, g(z) 'nin negatifinin türevidir.

kuvvet serisinin yakınsaklık yarıçapı 1'dir ve sınır üzerindeki her yerde yakınsaktır. eğer h(z) bu seri tarafından temsil edilen fonksiyon ise, o zaman h(z) 'nin türevi Örnek 2'deki g(z) 'nin z 'ye bölümüdür.