Spearman'ın sıralama korelasyon katsayısı

İstatistik bilim dalında, Spearman'ın sıralama korelasyon katsayısı veya Spearman'ın rho, bu istatistiksel ölçüyü ilk ortaya atan İngiliz psikolog Charles Edward Spearman'a atfen adlandırılmıştır. Matematik notasyon olarak çok defa eski Yunan harfi ρ (rho okunur) ile belirtilir. Bir parametrik olmayan istatistik ölçüsüdür ve iki değişken arasındaki bağımlılık, yani korelasyon, ölçüsü olarak bulunup kullanılır. Bu demektir ki Spearman'in rho (ρ) katsayısı iki değişken için çokluluklar dağılımı hakkında hiçbir varsayım yapmayarak, bu iki değişken arasında bulunan bağlantının herhangi bir monotonik fonksiyon ile ne kadar iyi betimlenebilineceğini değerlendirmek amaçlı incelemedir.

Prensip olarak Spearman'ın sıralama korelasyon katsayısı ρ Pearson çarpım-moment korelasyon katsayısının özel bir halidir. ρ değerinin hesaplanması için iki değişken (Y ve X) içinde örneklem verilerinin sıralama düzeninde olmaları gereklidir. Genel olarak, örneklem verileri için bu koşul uygun değildir ve veriler sıralama düzeni halinde olmadan oransal ölçekli veya aralıksal ölçekli veya sırasal ölçekli olarak bulunur ve bu halde bir dönüşümle sıralama düzeni haline sokulurlar. Böylece ρ formülü için sıralama düzenli ve örneklem verileri kullanılır.

Spearman'in ρ katsayısı değerleri de (aynı Pearson'un çarpım-moment korelasyon katsayısı gibi) -1 ile +1 arasında değişir. Uç değerler (yani ρ=-1 ve ρ=+1 ve yakın değerler) iki değişken sıralaması arasında bağlantının çok iyi olduğunu (eğer sıralamalar noktalar olarak bir serpme diyagramına konulursa hepsinin çizilen bir doğru üzerinde olduğunu) gösterirler. Eğer ρ<0 ise, sıralamalar arasında indirek aksi değişme vardır; yani biri artınca diğeri azalır ve aksi olur. Eğer ρ>0 ise sıralamalar arasında birlikte (yani birlikte artma veya eksilme) değişme görülür. Eğer ρ=0 ise, sıralamalar arasında hiçbir bağlantını bulunmadığı (ve serpme diyagrami üzerinde noktaların rastgele dağıldıkları) sonucu çıkartılır.

Spearman'in ρ katsayısı sıralama düzeni verileri ile Pearson çarpım-moment korelasyon katsayısının hesaplanmasıdır ve temel mantik olarak bu iki katsayı aynı önerimlere dayanırlar. Halbuki Kendal'in τ katsayısı bir olasılık ifade eder ve uyuşma ve uyuşmama puanları için gerçek toplam ile maksimum mümkün toplam arasında bir orantıdır.

Tabloda iki değişken X ve Y için n=8 gözlem sayılı örneklem verileri için Spearman'ın sıralama korelasyon katsayısı ρ hesaplanması için örneğin verilmektedir. [A] ve [B] sütunlarında bu iki değişken X ve Y için örneklem verileri verilmiştir. [C] ve [D] sütunlarında bu iki değişkenlerin verileri için ayrı ayrı sıralama düzeni uygulanıp sıra numaraları x ve y olarak verilmiştir. X için verilerde 2 değişik beraberlik görülmektedir: 3 ve 10. Bu nedenle iki tekrarlı 3 için verilen sıra numaraları ortalaması (2+3)/2= 2,5 dur. Aynı şeklide 2 tekrarlı 10 için sıra numaraları 7,5 7,5 olarak verilmiştir. Y için verilerde ise 1,5 için 2 beraberlik ve 5 için 2 beraberlik bulunmaktadır ve bunlara da ortalama sıra numaraları verilmiştir. Sütun [E]de sıra numaraları farkları d verilmekte ve son [F] sütununda fark kareleri d2 hesaplanmaktadır.

Bu ρ=0.6 değeri sıfıra yakın pozitiftir. Sıfıra yakınlığı X ve Y sıralamaları arasındaki bağlantının (korelasyonun) az olduğunu gösterir ve negatif olma ise var zayıf bağlantının aksi yönde olduğunu ifade eder (yani X sıralaması artarsa Y sıralaması düşer ve aksi olur).

Bu veriler içinde beraberlikler bulunmaktadır. Bu nedenle kullanılan genel ρ formülü uygun sonuç vermeyebilir. Daha uygun sonuç bulmak için x ve y sıra numaraları için Pearson'un çarpım-moment korelasyon katsayısı bulunması tavsiye edilmektedir.

ρ kestirminin anlamlılık sınanması için en basit yaklaşım belirli gözlem sayısı ve belirli anlamlılık düzeyi değerleri için hazırlanmış özel tablolar kullanılarak başarılır . Ancak bu tablolar belirli veri sayısı ve anlamlılık düzeyi dışında ise kullanılamaz.

değişkeni sıfır hipotez olan ρ=0 için bir Student'in t dağılımı gösterir. Ancak karşıt hipotez biraz zayıftır ve sifir hipotez ret edilnece ρ'nun ne değer alacağını göstermez.

Gözümlenen ρ değerinin anlamlı şekilde 0dan başka değerde olmasını sınama için modern yaklaşım olarak tekrar örnekleme sınaması yöntemi kullanılmaktadır ve bu tip sınama için, sıfır hipotez verilmişse anakütle ρ değerinin örneklemle elde edilen değerde ve ondan büyük olma olasılığı hesap edilir. Bu modern sınama yöntemi ancak kompüter programı yazabilen ve kompüteri iyi kullanabilen bir bilim insanı için çok kolay olabilir.