Lp uzayı

Matematik'te Lp uzayı, sonlu boyutlu vektör uzayı için p-norm'un doğal bir genelleme kullanarak tanımlı fonksiyon uzayı'dır.Bazen Lebesque uzayı denir.İlk Frigyes Riesz (Riesz 1910) tarafından Bourbaki grubu olarak tanıtılmasına rağmen,Henri Lebesgue , adına ithaf edilmiştir. fonksiyonal analiz'de Banach uzayı'nın ve topolojik vektör uzaylarının önemli bir sınıfını Lp uzayı formu oluşturur.Lebesgue uzayının fizik, istatistik, finans, mühendislik ve diğer disiplinlerde uygulamaları var.

Öklid uzunluğu x ve y gibi iki nokta arasındaki düz çizginin uzunluğudur,birçok durum içinde,Öklid uzaklığı belirli bir alanda gerçek mesafeleri yakalamak için yetersizdir.örneğin,taksi sürücüleri için Manhattan uzunluk ölçüsü gitmesi gereken yerlere düz çizgi uzunluğu açısından değildir,ama Manhattan mesafesi terimlerinin içinde sokakların birbirine dik veya paralel olduğu dikkate alınır. p-norm sınıflarının genellemesi burada iki örnektir ve matematik,fizik ve bilgisayar bilimleri'nin birçok parçasının içindeki uygulamalar bolcadır.

norm l0 'ın matematiksel tanımı Banach tarafından Doğrusal Operasyon Teorisi ile kurulmuştur. Bu uzayı dizisinin F-norm tarafından sağlanan bir tam metrik topolojisi idi.

Diğer fonksiyon l0 "norm" olarak adlandırılmıştı David Donoho tarafından —tırnak işareti olan bu fonksiyonun uygun bir norm olmadığına gösterir— x vektörünün sıfır-olmayan sayı girişidir. Birçok yazarın tırnak işaretleri atlanması ile kötü terminoloji'dir .00 = 0 tanımı, xın sıfır "norm"u ya eşittir.Bu bir norm değildir.(B-norm, "B" ile Banach için)çünkü homojen değildir. Matematiksel bir norm olarak bu hatalarına rağmen, sıfır-dışı sayılabilir "norm" bilimsel hesaplamalar, bilgi teorisi, ve istatistikler – özellikle sıkıştırılmış algılama'da işaret işleme'de ve bilişimsel harmonik yerel analiz'de kullanımı vardır.

Burada,bir komplikasyon ortaya çıkar, yani bu seri;gerçekten her zaman yakınsak değildir, örneğin,tek olanlar dizisi oluşur,Her sonlu p ≥ 1 için (1, 1, 1, …), p-norm (uzunluk) sonsuz olacaktır . ℓp uzayı ardından p-norm sonlu olduğu gibi gerçek (ya da karmaşık) sayıların tüm sonsuz sıraları kümesi olarak tanımlanır.

p-norm böylece ℓp üzerinde tanımlı gerçek bir normdur, ve ℓp ile beraber bu norm bir Banach uzayıdır. Tam genel olarak Lp uzayı elde edilir. — aşağıda görüldüğü gibi —, sonlu ya da sayılabilir-sonsuz birçok bileşenleri değil sadece vektörleri dikkate alınarak,fakat " keyfi birçok bileşen"; başka bir deyişle, fonksiyonları.Bir integral bunun yerine bir p-norm toplamı tanımlamak için kullanılır.

· p. Böylece pinci güç integrallenebilir fonksiyonların kümesi, ile birlikte bu fonksiyon  · p, bir yarınorm'lu vektör uzayıdır, ile ifade edilir.

1 ≤ p ≤ ∞, Lp(S, μ) için Banach uzayıdır. Gerçek şu ki Lp tam dır sık sık Riesz-Fischer teoremi ne başvurulur. Tamlık Lebesgue integral için yakınsama teoremleri kullanılarak kontrol edilebilir. Temel ölçüm aralığı S anlaşıldığı zaman, Lp(S, μ) genellikle kısaltılmıştır Lp(μ) veya sadece Lp. Yukarıdaki tanımlar Bochner uzayı'na genellenebilir.

L2 içindeki fonksiyonlara integrallenebilir kare fonksiyonlar denir, 'karesi integrallenebilir fonksiyonlar veya''' 'toplanabilir kare fonksiyonlar- ama bazen bu koşulları, Riemann integrali böyle bir anlamında diğer bazı anlamda karesi integrallenebilir işlevleri, için ayrılmıştır .

Eğer karmaşık-değerli fonksiyonlar kullanıyorsak, L∞ uzayı noktasal çarpım ve birleşme ile bir birleşmeli C*-cebri'dir.Birçok ölçüm uzayları için, tüm sigma-sonlu olanlar dahilinde,bu aslında bir birleşmeli bir von Neumann cebri'dir. L∞ nin ögesiyle çarpımı herhangi Lp uzayı üzerinde bir sınır operatör tanımlar.

Çift uzay Lp(μ)'nin çift uzayı (sürekli doğrusal tüm fonksiyonellerin uzayı) 1 < p < ∞ için Lq(μ) ile doğal bir izomorfizm idi.,burada q  1/p + 1/q = 1 sağlar, g ∈ Lq(μ) ile κp(g) yi ilişkilendiren fonksiyonel  ∈ Lp(μ)∗ tanımı ile aşağıdadır.

karşılığı Lp(μ) den Lq(μ)∗üzerinedirLp(μ)'dan Lp(μ)∗∗ 'ya, bir düzen ile elde edilir κq ile κp'nın birbirlerinin tersidir.Devrik (veya eşlenik),Lp(μ) nin sıklığı ile kanonik gömme J  kendi ikinci sıra duali içine,dahası, jp göndermesi üzerinedir, iki üzerine izometrinin uyumu olarak,ve bu yansıtılabilirliği kanıtlıyor.

Diyelimki 0 ≤ p < q ≤ ∞. Lp(S, μ) içeriyor Lq(S, μ) S ancak ve ancak sıfırdan küçük keyfi ölçüde kümeleri içermez.

Özellikle,bağlı olan etki alanı S ise sonlu ölçü, (Jensen eşitsizliği'nin bir sonucu)Lq uzayının anlamı Lp içinde kesintisiz gömülüdür.Demek ki,kimlik operatörü sınırlı doğrusal harita Lq dan Lp ye'dir. Yukarıdaki eşitsizlik görünen sabit en uygunudur, I : Lq(S, μ) → Lp(S, μ) is kesin olarakf = 1 a.e.[μ].eşitlik durumu tam olarak ne zaman elde ediliyor?

burada aj skalerdir ve Aj ∈ Σ  sonlu ölçü idi,j = 1, …, n için.integral'inin yapısı tarafından,Lp(S, Σ, μ) içinde integrallenebilir basit fonksiyonların vektör uzayında yoğundur.

Eğer açık kümelerin sonlu ölçüde artan dizisi tarafından karşılanabilir (Vn) S  var,ise p–integrallenebilir sürekli fonksiyonlar uzayının Lp(S, Σ, μ) içindeki yoğunluktur,daha doğrusu, açık kümelerin bir Vn dışında kaybolan sınırlı sürekli fonksiyonları kullanılabilir.

Bu özellik geçerli olduğunda S = Rd ve eğer μ Lebesgue ölçüsü ise,sürekli ve tıkız desteklenen fonksiyonlar uzayı Lp(Rd) yoğundur. Benzer şekilde,integrallenebilirlerin uzayı basamak fonksiyonu  dur. Lp(Rd) içindeki yoğunluktur.Bu uzay sınırlı aralıkların göstergesinin fonksiyonlarının doğrusal süresi d = 1 ise, sınırlı dikdörtgenlerin d = 2 ise ve daha genel olarak sınırlı aralıklarının çarpımları ise; Genel fonksiyonları çeşitli özellikleri Lp(Rd) içindedir.İlki (bazen basamak fonksiyonlar için) sürekli ve tıkız desteklenen işlevler için kanıtlandı,sonraki tüm fonksiyonlara yoğunluk tarafından genişletilmiştir.Örneğin,ötelemenin sürekli olduğu Lp(Rd) şeklindede kanıtlanmıştır aşağıdaki anlamda:her f ∈ Lp(Rd),içint ∈ Rd ise 0'a gider, burada tarafından çevrilen fonksiyon olarak tanımlanır.

Fourier dönüşümü için gerçek çizgi(sırası ile. periyodik fonksiyonlar için, cf. Fourier serisi) haritaları Lp(R) ya Lq(R) (resp. Lp(T) ya ℓq), burada 1 ≤ p ≤ 2 ve 1/p + 1/q = 1. Bu,Riesz-Thorin interpolasyon teoremi'nin bir sonucudur ve Hausdorff-Young eşitsizliği ile hassas yapılır.

Hilbert uzayı birçok uygulamanın merkezindedir, kuantum mekaniği'nden rassal hesabı'na kadar. Bu L2 ve ℓ2 her iki uzay Hilbert uzayıdır.aslında seçilen bir Hilbert tabanın,ℓ2(E) tüm Hilbert uzayları için izometrik olduğu görülür burada E uygun bir önem düzeyi olan bir kümedir.

İstatistikde, bu, ortalama, medyan ve standart sapma olarak merkezi eğilim ve istatistiksel dağılım ölçüleri Lp ölçümleri açısından tanımlanır ve merkezi eğilim ölçüleri varyasyonel sorunlara çözüm olarak karakterize edilebilir.

bir Lp(μ) bir metrik ve sonuç olarak tam metrik uzaydır doğrulama ailevi duruma benzer ise p ≥ 1 dir.Lp çerçevesi içerisinde bir ters Minkowski eşitsizliği uygundur böylece u ve v için in LpBu sonuç kullanıcıya Clarkson eşitsizliğini sağlar, which are in turn used to establish the tektip dışbükeylik of Lp uzayının 1 < p < ∞ için .

0 < p < 1 Lp uzayı için bir F-uzayı şudur:o bir tam öteleme-değişmezi metrik sırasıyla vektör uzayı için süreklilik operasyonu olduğunu kabul eder o ayrıca yerel sınır gibidir daha çok p ≥ 1 durumu gibidir. Bir F-uzayının prototip örneğidir ;en mantıklı ölçüm uzayı için,yerel dışbükey değildir: ℓp içinde veya Lp([0, 1]), her açık dışbükey küme 0 fonksiyon içeren p-sözde-norm için sınırlıdır; bu nedenle 0 vektör dışbükey komşuluğun bir temel sistemine sahip değildir.Özel olarak, bu pozitif ölçümün sonlu kümelerinin parçalarının bir sonsuz ailesi dahilinde ise S ölçüm uzayı doğru ölçülebilir.Lp([0, 1]) içinde yalnızca boş olmayan açık kümenin tüm uzaydır . Belirli bir sonucu olarak, burada are no nonzero linear functionals on Lp([0, 1]): dual uzayı sıfır uzaydır.Doğal sayılar (dizi uzayı üreten Lp(μ) = ℓp) üzerinde sayılabilir ölçünün durumu içinde sınırlı doğrusal fonksiyoneller ℓp olarak tam olarak budur ve ℓ1 sınırdır,yani bu verilen ℓ∞ içindeki dizi tarafından verilen ℓp ye rağmen önemsiz olmayan dışbükey açık kümeler içermektedir, bunların topolojisine yeteri kadar bir taban vermek için başarısız.

(sınıfının eşdeğeri) ölçülebilir fonksiyonların vektör uzayı (S, Σ, μ) olarak L0(S, Σ, μ) ifade edilir. . Tanımıyla, bu tüm Lp , yi içerir ve ölçüm içinde yakınsaklık topolojisi ile donanımlıdır, ise μ bir olasılık ölçüsü (yani., μ(S) = 1), dür.Bu yakınsaklığın modu olasılık içinde yakınsaklık olarak adlandırılır.Bu tanım μ ye yakın ise sonludur.

burada φ  sınırlı sürekli içbükey ve azalmayan olarak [0, ∞), ile φ(0) = 0 ve φ(t) > 0 ise t > 0 dır. (örnek için, φ(t) = min(t, 1)). Böyle bir metrik L0 için Lévy-metrik- olarak adlandırılır.L0 bu metrik uzayı altındadır ve tamdır. (o tekrar bir F-uzayıdır). Bu uzay L0 genel içindeki yerel sınır değildir, ve yerel içbükey değildir.

ve özel olarak Lp(S, μ) ⊂ Lp,w(S, μ). kuralı altındaki iki işlev eğer onlar μ hemen hemen her yerde eşit, ise uzayı Lp,w tamdır..

Herhangi 0 < r < p için ifadeLp,w-norm ile karşılaştırılabilir. durum içinde daha fazla p > 1, bu bir norm ifade eder eğer r = 1. Bundan dolayı p > 1 için zayıf Lp uzayı Banach uzayı'dır .

-uzayları olarak,ağırlıklı uzaylar özel değildir, dahası ya eşittir. Ama bu harmonik analiz içinde bazı sonuçlar için doğal çerçevedir; bu Muckenhoupt teoremi içinde örnek için görüntüsü: için,klasik Hilbert dönüşümü üzerinde tanımlanan burada ifadesi birim çember ve Lebesgue ölçüsüdür;(doğrusal olmayan) Hardy–Littlewood maksimal operatörü üzerinde sınırlıdır. Muckenhoupt'un teoremi böylece üzerinde ve Hilbert dönüşümü izleri üzerinde maksimal operatörü w ağırlıkları tanımlar.