Orta Çağ İslam matematiği

İslam'ın Altın Çağı'nda matematik, özellikle 9. ve 10. yüzyıllarda, Yunan matematiği (Öklid, Arşimet, Apollonius) ve Hint matematiği (Aryabhata, Brahmagupta) üzerine inşa edilmiştir. Ondalık basamak-değer sisteminin ondalık kesirleri içerecek şekilde tam olarak geliştirilmesi, ilk sistematik cebir çalışması (Hârizmî tarafından yazılan Cebir ve Denklem Hesabı Üzerine Özet Kitap (, ) adlı eser ve geometri ve trigonometride önemli ilerlemeler kaydedilmiştir.

İslam bilim tarihçisi Dr. Sally P. Ragep, matematik bilimleri ve felsefe alanındaki "on binlerce" Arapça el yazmasının hala okunmadığını, "bireysel önyargıları yansıtan ve nispeten az sayıda metin ve bilim adamı ile sınırlı bir odaklanma" olduğunu tahmin ediyor.

Adı tamamlama veya "kırık parçaların yeniden birleşmesi" anlamına gelen Arapça kelimeden türetilen cebir ile ilgili çalışmalar, İslam'ın Altın Çağı'nda parladı ve gelişti. Bağdat'taki Beyt'ül Hikmet (House of Wisdom)'de bir alim olan Hârizmî, Yunan matematikçi Diophantus ile birlikte cebirin babası olarak bilinir. Harizmi, Cebir ve Denklem Hesabı Üzerine Özet Kitap (, ) adlı kitabında, birinci ve ikinci derece (doğrusal ve ikinci dereceden) polinom denklemlerinin pozitif köklerini çözmenin yollarını ele alır. Ayrıca indirgeme yöntemini tanıtır ve Diophantus'un aksine, ilgilendiği denklemlere genel çözümler sunar.

Harizmi'nin cebiri retorikti, yani denklemler tam cümlelerle yazılmıştı. Bu, Diophantus'un aksak ritimli cebirsel çalışmasından farklıydı, yani bazı semboller kullanıldı. Yalnızca sembollerin kullanıldığı sembolik cebire geçiş, İbnü’l-Bennâ el-Merrâküşî ve Ebu el-Hasan bin Ali el-Kalasadi'nın çalışmalarında görülebilir.

Bu dönemde diğer birkaç matematikçi Harizmi'nin cebirini genişletti. Ebu Kamil Şüca bin Aslam, geometrik çizimler ve ispatlar eşliğinde bir cebir kitabı yazdı. Ayrıca bazı sorunlarının olası tüm çözümlerini de sıraladı. Muhammed bin Ahmed bin el-Layth, Ömer Hayyam, Şerafeddin el-Tusî ile birlikte kübik denklemin birkaç çözümünü buldu. Ömer Hayyam, kübik bir denklemin genel geometrik çözümünü buldu.

Ömer Hayyam (yaklaşık 1038/48, İran - 1123/24) Hârizmî'nin cebirinin ötesine geçen kübik veya üçüncü mertebeden denklemlerin sistematik çözümünü içeren Cebir Problemlerinin Gösterilmesi Üzerine İnceleme () 'yi yazdı. Hayyam, iki konik kesitin kesişme noktalarını bularak bu denklemlerin çözümlerini elde etti. Bu yöntem Yunanlar tarafından kullanılmıştı ancak tüm denklemleri pozitif köklerle kapsayacak şekilde genelleştirmediler.

Hayyam, "geometrik" ve "aritmetik" çözümleri birbirinden ayırdı. Hayyam, hatalı olarak aritmetik çözümlerin yalnızca denklem kökleri pozitif ve rasyonel sayı olması durumunda var olduğuna inanıyordu. Hayyam, çözümlerin sayısal hesaplamalarıyla ilgilenmedi.

Matematiksel tümevarımın en eski örtük izleri Öklid'in asal sayıların sonsuz olduğunun kanıtı olarak geliştirdiği Öklid teoremi'nde bulunabilir (yaklaşık MÖ 300). Tümevarım ilkesinin ilk açık formülasyonu, Blaise Pascal tarafından 1665 yılında Aritmetik Üçgen üzerine inceleme () adlı eserinde vermiştir.

Aritmetik diziler için tümevarım yoluyla örtük ispat ise Kerecî tarafından tanıtıldı (yaklaşık 1000) ve bunu binom teoreminin özel durumları ve Pascal üçgeninin özellikleri için kullanan Semev’el el-Mağribî tarafından devam ettirildi.

Yunanlar irrasyonel sayıları keşfetmişlerdi, ancak onlardan memnun değillerdi ve yalnızca "büyüklük" ve "sayı" arasında bir ayrım yaparak irrasyonel sayılarla başa çıkabildiler. Yunan görüşünde, "büyüklükler" sürekli olarak değişiyordu ve çizgi parçaları gibi varlıklar için kullanılabilirken, "sayılar" ayrık idi. Dolayısıyla irrasyoneller yalnızca geometrik olarak ele alınabilirdi ve gerçekten de Yunan matematiği esas olarak geometrikti. Ebu Kamil Şüca bin Aslam ve Abdülkāhir el-Bağdâdî gibi İslami matematikçiler, büyüklük ve sayı arasındaki ayrımı yavaşça ortadan kaldırarak irrasyonel büyüklüklerin denklemlerde katsayılar olarak görünmesine ve cebirsel denklemlerin çözümleri olmasına izin verdi. Matematiksel nesneler olarak irrasyonellerle özgürce çalıştılar, ancak doğalarını yakından incelemediler.

12. yüzyılda, Harizmi'nin Hint rakamları üzerindeki Aritmetiğinin (, Hindu Hesaplamalarının İlkeleri adlı eseri) Latince tercümeleri, ondalık konumsal sayı sistemini Batı dünyasına tanıttı. Cebir ve Denklem Hesabı Üzerine Özet Kitap (, ) adlı eseri, doğrusal ve ikinci dereceden denklemlerin ilk sistematik çözümlerini sundu. Rönesans Avrupa'sında, çalışmalarının eski Hint veya Yunan kaynaklarına dayandığı artık bilinmesine rağmen, cebrin orijinal mucidi olarak kabul edildi. Batlamyus'un Coğrafya () 'sını gözden geçirdi ve astronomi ile astroloji üzerine yazdı. Ancak, C.A. Nallino, Hârizmi'nin orijinal çalışmasının Batlamyus'a değil, muhtemelen Süryanice veya Arapça bir kaynaktan türetilmiş bir dünya haritasına dayandığını öne sürer.

Küresel sinüs yasası, 10. yüzyılda keşfedildi: çeşitli şekillerde Hucendî, Nasîrüddin Tûsî ve Ebu Nasr Mansur'a, katkıda bulunan kişi olarak Ebu'l-Vefâ el-Bûzcânî'ye atfedildi. İbn Mu'az el-Ceyyani'nin 11. yüzyılda bir kürenin bilinmeyen yayları kitabında genel sinüs yasasını tanıttı. Sinüslerin düzlem yasası 13. yüzyılda Nasîrüddin Tûsî tarafından tanımlanmıştır. On the Sector Figure adlı eserinde düzlem ve küresel üçgenler için sinüs yasasını belirtmiş ve bu yasaya kanıtlar sağlamıştır.

9. yüzyılda İslami matematikçiler Hint matematikçilerin çalışmalarındaki negatif sayılara aşinaydı, ancak bu dönemde negatif sayıların tanınması ve kullanılması konusunda çekingen kalındı. Hârizmi, negatif sayılar veya negatif katsayılar kullanmadı. Ancak elli yıl içinde Ebu Kamil Şuca, çarpımını genişletmek için işaretlerin kurallarını açıkladı. El-Kerecî, al-Fakhrī adlı kitabında "negatif miktarların terim olarak sayılması gerektiğini" yazdı. 10. yüzyılda Ebu'l-Vefâ el-Bûzcânî, Aritmetik Biliminden Yazanlar ve İşadamları İçin Gerekli Olanlar Üzerine Bir Kitap () 'ta borçları negatif sayılar olarak kabul etti.

9. ve 10. yüzyıllar arasında Mısırlı matematikçi Ebu Kamil Şuca, İki Hatanın Kitabı () olarak bilinen çift yanlış yönteminin kullanımı üzerine şimdi kaybolmuş olan bir inceleme yazdı. Orta Doğu'dan çift yanlış yöntemi üzerine günümüze ulaşan en eski yazı, Lübnan'ın Baalbek şehrinden bir Arap matematikçi olan Kusta bin Luka'ya (10. yüzyıl) aittir. Tekniği, Öklidci tarzda muntazam bir geometrik ispat yöntemiyle doğruladı. Ortaçağ Müslüman matematiği geleneğinde, çift yanlış yöntemi, hesab'ül haṭaʾeyn ("iki hatayla hesaplaşma", "reckoning by two errors") olarak biliniyordu. Yüzyıllar boyunca ticari ve hukuki sorunlar (Kuran'daki miras kurallarına göre mülk paylaşımı) ve tamamen eğlence problemleri gibi pratik problemleri çözmek için kullanıldı. Algoritma genellikle, Fas kökenli matematikçiler olan İbn Haccâc el-İşbîlî'ye atfedilen bir dize ve Ebû Bekir bin Ayyâş ile İbnü’l-Bennâ el-Merrâküşî tarafından açıklanan denge-ölçekli diyagramlar gibi anımsatıcılar yardımıyla ezberlendi.