Ortogonal koordinatlar

Matematik'te, ortogonal koordinatlar q = (q1, q2, ..., qd) bir d koordinat kümesi olarak tanımlanır,hepsi koordinat yüzeyi içinde dik açılarla birleşir(not: üstsimge indis'tir, üstel değildir). Özel bir koordinat için Bir koordinat yüzeyi qk eğrilik, yüzey, veya hiperyüzey veya hangisiyse qk bir sabittir. örneğin, üç-boyut Kartezyen koordinatlar (x, y, z) bir ortogonal koordinat sistemidir. Bu koordinat yüzeyleri için x = sabit, y = sabit, ve z = sabit., yüzeyler dik açıda buluşurlar, bu örnek dik açı içindir. Ortogonal koordinatlar eğrisel koordinatlar'ın özel ama son derece yaygın bir durumudur.

basınç dalgası baskısı sadece merkezden zaman ve mesafeye bağlı olduğundan). Başka bir örnek düz bir dairesel borudaki (yavaş) bir sıvıdır: Kartezyen koordinatlarda, bir kısmi diferansiyel denklem içeren bir (zor) iki boyutlu sınır değer sorunu çözmek için vardır, fakat silindirik koordinatlar sorunu ile tek boyutlu olur bir kısmi diferansiyel denklemin yerini,düzgün diferansiyel denklemi alır.

Vektör işlemleri ve fiziksel yasalar normalde Kartezyen koordinatlar'da kolay olsa da non-kartezyen ortogonal koordinatlar sıklıka farklı problemlerin çözümünde kullanılır,kuantum mekaniğinin alan teorisi, akışkan, elektrodinamik ve kimyasal türlerin difuzyon'u veya ısı'da bu gibi ortaya çıkan özellikle sınır değer probleminde..

Kartezyen olmayan koordinatların baş avantajı problemin simetri eşleştirmek için seçilebilir olmasıdır. Örneğin,bir patlama nedeniyle basınç dalgası Kartezyen koordinatlarda 3 boyutlu uzaya bağlıdır zemin (ya da diğer engeller) gibi,ancak basınç ağırlıklı olarak küresel koordinatlar sorunu çok olur, böylece küresel koordinatlar'da öylesine sorun haline gelirki yaklaşık olarak bir boyutlu olur(bu basınç dalgası baskısı sadece merkezden zaman ve mesafeye bağlı olduğundan). Başka bir örnek düz bir dairesel borudaki (yavaş) bir sıvıdır: Kartezyen koordinatlarda, bir kısmi diferansiyel denklem içeren bir (zor) iki boyutlu sınır değer sorunu çözmek için vardır, fakat silindirik koordinatlar sorunu ile tek boyutlu olur bir kısmi diferansiyel denklemin yerini düzgün diferansiyel denklemi alır.

Ortogonal koordinatların tercih nedeni genel eğrisel koordinatlar'ın basitleşirilebilmesidir: koordinatları ortogonal olmadığı durumlarda birçok komplikasyonlar ortaya çıkar. örneğin birçok problem,ortogonal koordinatlarda değişkenlerin ayrılması ile çözülür. Değişkenlere ayırma bir matematik tekniktir bir kompleksd-boyutlu problem, d tek-boyutlu problemlere dönüştürülerek bilinen fonksiyonun içindeki terimler çözülebilir. Birçok denklem Laplace denklemi veya Helmholtz denklemine indirgenebilir. Laplace denklemi ile 13 ortogonal koordinat sistemine ve Helmholtz denklemi ile 11 ortogonal koordinat sistemine ayrılır.

Kartezyen koordinat (x, y) standart bir iki boyutlu grid konformal haritalaması iki boyutlu ortogonal koordinat sistemleri üretmek için basit bir yöntemdir.

ortaya çıkan karmaşık sayı w = u + iv olarak yazılmış ise herhangi bir holomorfik fonksiyonu w = f(z) sıfır olmayan karmaşık türev ile bir konformal haritalama üretecektir. Daha sonra sabit bir u ve v, sabit x ve y egrilerinin özgün çizgilerinin yaptığı gibi dik açıda kesişir.

iki boyutlu bir koordinat sisteminden üç ve daha yüksek boyutlarda ortogonal koordinatlar ya da (silindirik koordinatlar) içine çıkıntı yapan ya da kendi simetri ekseni yaklaşık bir iki boyutlu bir sistem döndürülerek,ortogonal yeni bir boyut oluşturulabilir.

Ancak, bu tür iki boyutlu bir sistemin, çıkıntı veya çevirerek elipsoidal koordinatlar elde edilemeyen üç boyutlu diğer ortogonal koordinat sistemleri vardır.

Bir vektör alanı baz vektörleri veya normalize baz vektörleri ile ilgili bileşenleri tarafından belirtilebilir. Normalize tabanda bileşenlerin niceliklerinde netlik (örneğin, bir teğet hız yerine teğet hız kez ölçek faktörü ile uğraşmak isteyebilirsiniz) uygulamaların en yaygın, daha karmaşık olduğu türevlerde normalize tabanlarda daha az yaygın görülür.

Kullanılan bu fonksiyonlar ölçek faktörü olarak bilinir (bazen Lamé katsayıları olarak adlandırılan ve bu biraz daha iyi bilinen doğrusal elastisite içinde aynı adı taşıyan katsayilardan kaçinilmalidir) koordinatların basit uzunluğu taban vektörlerin uzunluğudur.(aşağıdaki tabloya bakınız).

Şimdi yaygın olarak ortogonal koordinatlardaki üç farklı taban vektörlerini tanımlamak için kullanılan kümelerle karşı karşıyayiz: kovaryant taban ei, kontravaryant taban ei, ve normalize tabana êi. Bir vektörün kimliği herhangi bir koordinat sisteminden bağımsız, yani bir nesnel miktar iken, diğer bir vektörün vektör içeri bilesenleri gösterimi tabana bağlıdır.

Normalize tabana göre herhangi bir vektör bileşeni için kullanılan yaygın indis gösterimi vardır, bu yazıda vektör bileşenleri için indisleri kullanma ve bileşenler normalize bazında nasıl hesaplanır buna dikkat edeceğiz.

Burada büyük Π indisi (sapkali Pi) bir çarpım benzer şekilde büyük Σ indisi toplam sembolüdür. Unutmadan tüm ölçek faktörlerinin çarpımları Jakobiyen determinanttir.