Analitik mekanik

18. yy. ve sonrasında geliştirilmiş, genellikle vektörel mekanik olarak nitelendirilen ve orijinalinde Newton mekaniği olarak bilinen analitik mekanik (veya kuramsal mekanik), klasik mekaniğin matematiksel fizik kaynaklarıdır. Model harekete göre analitik mekanik, Newton’un vektörel enerjisinin yerine, hareketin iki skaler özelliği olan kinetik enerjiyi ve potansiyel enerjiyi kullanır. Bir vektör, yön ve nicelik ile temsil edilirken bir skaler, nicelik ile(yoğunluğu belirtirken) temsil edilir.

Özellikle Lagrange mekaniği ve Hamilton mekaniği gibi (ikisi de birbirine sıkıca geçmiş alanlar) analitik mekanik de, sorunları çözmek için bir sistemin kısıtlamalarının ve tamamlayıcı yollarının kavramını kullanarak klasik mekaniğin kullanım alanını etkili bir şekilde yapılandırır. Schrödinger, Dirac, Heisenberg ve Feynman gibi kuram fizikçileri bu kavramları kullanarak kuantum fiziğini ve onun alt başlığı olan kuantum alan teorisini geliştirdiler. Uygulamalar ve eklemelerle, Einstein’a ait kaos teorisine ve izafiyet teorisine ulaşmışlardır. Analitik mekaniğin çok bilindik bir sonucu, modern teorik fiziğin çoğunu kaplayan Noether teoremidir.

Newton mekaniğinde, biri alışıldığı üzere, hareket esnasında vücudun pozisyonuna göndermek için bütün Kartezyen koordinatların üçünü ya da diğer 3D koordinat sistemlerini kullanır. Ancak fiziksel sistemlerde, bazı yapılar ya da sistemler genellikle vücudun hareketini, belirli bir yönü ya da yolu tutmaktan alıkoyar. Bu yüzden Kartezyen koordinatının tamamına genelde ihtiyaç duyulmaz çünkü kısıtlamalar, koordinatlar arasındaki bağlantılara karşılık veren denklemler tarafından biçimlendirilebilir. Lagrange ve Hamilton biçimselciliğinde; kısıtlamalar, koordinat miktarını hareketi biçimlendirmek için ihtiyaç duyulan en az seviyeye düşüren hareketin geometrisine dahil edilir. Bunlar,qi (i = 1, 2, 3...) ile ifade edilen genelleştirilmiş koordinatlar olarak bilinir.

ve bu ilişki her t için tutuyorsa, q Holonomik kısıtlama olarak adlandırılır. r vektörü, kısıtlamaların sadece q(t) yüzünden olmayıp t ile de farklılaştığı durumlarda açık bir şekilde t ye bağlıdır. Zamandan bağımsız durumlar için kısıtlamalar, skleronomik olarak da adlandırılır ve zamana bağlı durumlar için de reonomik olarak adlandırılır.

Bu formülleme; toplam enerjinin sabit olduğu ve geçiş süresinde hiçbir etkisi olmadığı düşünüldüğünde, hareketin takip ettiği asıl yolun üzerinde kinetik enerjinin zaman integralinin en az olduğu yolun seçimi olarak tanımlar.

momentum uzayı "k-uzayı"; olarak da adlandırılır yani kuantum mekaniğinde ve dalgalar teorisinde de kullanıldığı gibi, De Broglie ilişkileri tarafından verilen bütün dalga vektörleri grubu. Ancak bu kapsamda bundan bahsedilmemektedir.

Başlangıç t1 ve bitişit2 sabit tutarak. Eylem terimi çeşitli anlamlara gelir. Bu tanım sadece bir tanesidir ve özellikle Lagrangian sisteminin integraline cevap verir. Yol ya da yörünge terimi, sistemin zaman değişimini konfigürasyon uzayı aracılığyla , i.e. q(t) olan yol olarak tanır yani ’deki yolun planını çizer. Eylemin en az olduğu yol sistem tarafından alınmış yoldur.

Bu ilkeden yola çıkarak, klasik mekanikteki bütün hareket denklemleri çıkarılabilir. Bu yaklaşımların genellemeleri, quantum mekaniğinin integral formülleme yolunun altını çizer ve genel izafiyetteki jeodeziği hesaplamak için kullanılır.

Her bağımsızlık derecesi için olan bütün başlı başına genelleştirilmiş koordinatlar qi(t), süratler q̇i(t) ve momentumlar pi(t) karşılıklı bağımsızlardır. Kapalı olmayan zaman-bağımlı fonksiyon; basitçe q(t) ve p(t) aracılığıyla parametre olarak değil, (ki bu da kapalı olmayan zaman-bağımsız anlamına gelirdi) zamanı t q(t) ve p(t) nin yanında bir çeşit olarak içerir.

Yukarıdaki dönüşümler kanonik dönüşümler olarak adlandırılır, her bir Gn fonksiyonu "n cinsinden" ya da "n tipi" üreten fonksiyon olarak adlandırılır. Momentumların ve koordinatların dönüşümleri, Hamiltonian denklemleri için verilen problemi çözmede sadeleştirmeye izin verebilir.

Poisson ParanteziQ ve P seçimleri tamamen raslantısaldır fakat her seçim kanonik dönüşüme sebep olmaz. Poisson parantezini hesaplamak, bir q → Q ve p → Pdönüşümünün kanonik olup olmadığını kontrol etmek için olan basit bir testir.

Bütün dinamik değişkenler, r pozisyonundan, p momentumundan, t zamanından ve A = A(q, p, t) nin bir fonksiyonu olarak yazılanlardan türer. A nın toplam türevini hesaplamak ve sonuçlarda Hamilton denkleminin yerine kullanmak A nın evrimine sebep olur.

A daki bu denklem, Heissenberg betimlemesindeki hareket denklemiyle yakından alakalıdır ki bu denklemde klasik dinamik değişkenler (^) ile belirtilen quantum operatörlerine dönüşür ve Poisson parantezi, Dirackanonikkuvantumlaması aracılığıyla, operatör komütatörleri tarafından yer değiştirilir.

Kanonik olarak dönüştürülmüş Hamiltonian K = 0 olarak ayarlandığında, ikinci tip üretici fonsiyon Hamilton’un temel fonksiyonu (ayrıca ) ile gelişigüzel sabit (keyfi, belirsiz sabit) C toplamına eşittir.

Bir diğer ilgili fonksiyon, zaman-bağımsız Hamiltonian H için olan toplumsal ayırma değişkenleri tarafından, HJE’yi çözmek için kullanılan Hamilton’ın karakteristik fonksiyonudur .

Hamilton-Jacobi denklemlerinin çözümleme çalışmaları haliyle simplektik manifold ve simplektik topoloji çalışmasına yol açmıştır. Bu formüllemede, Hamilton-Jacobi denklemlerinin çözümlemeleri, Hamiltonian vektör alanlarının integral eğrileridir.

Bu skaler alan formüllemesi, vektör alanlarına, tensor alanlarına ve hatta spinor alanlarına genişletilebilir. Aslen klasik alanlar için geliştirilmiş yukarıdaki formülleme, klasikteki bütün fiziksel alanlar, quantum ve göreceli durumlar için (Newton yerçekimi, klasik elektromanyetizm, genel izafiyet ve quantum alan teorisi gibi ) kabul edilebilirdir. Bu, doğru olan denklemini geliştirmek için doğru Lagrangian yoğunluğuna karar verme meselesidir.

Her dönüşüm bir operatör tarafından tanımlanabilir. (yani r pozisyonu ya da p momentumu değişkenleri üzerindeki fonkiyon temsili onları değiştirmek içindir.) Aşağıdakiler, operatörlerin r ya da p yi yani simetrileri değiştirmediği durumlardır.

Noether teoremi şunu belirtir: bir hareketin zincirleme simetri dönüşümü, korunum yasasına cevap verir yani hareket (ve nitekim Lagrangian) bir s parametresi tarafından ifade edilen bir dönüşüm durumunda değişmez.

Lagrangian aynı s bağımsız hareketini tanımlar, ki bu uzunluk, rotasyon açısı ya da zaman olabilir. q'' ya karşılık gelen momentum korunur.