Leonhard Euler

Leonhard Euler ( ; ; 15 Nisan 170718 Eylül 1783), çizge teorisi çalışmasını kuran bir İsviçreli matematikçi, fizikçi, astronom, coğrafyacı, mantıkçı ve mühendisti. Topoloji ve analitik sayı teorisi, karmaşık analiz ve sonsuz küçük hesap gibi matematiğin diğer birçok dalında öncü ve etkili keşifler yaptı. Bir matematiksel fonksiyon kavramı da dahil olmak üzere, modern matematiksel terminolojinin ve gösterim'in çoğunu tanıttı. Ayrıca mekanik, akışkan dinamiği, optik, astronomi ve müzik teorisi alanındaki çalışmalarıyla da tanınır.

Pierre-Simon Laplace'a atfedilen bir ifade, Euler'in matematik üzerindeki etkisini ifade eder: "Euler'ı okuyun, Euler'i okuyun, o hepimizin efendisidir." Carl Friedrich Gauss şunu belirtti: "Euler'in çalışmalarının incelenmesi, matematiğin farklı alanları için en iyi okul olmaya devam edecek ve başka hiçbir şey onun yerini tutamaz." Euler ayrıca yaygın olarak en üretken matematikçi olarak kabul edilir, 850'den fazla yayını 92 "quarto" ciltte (Opera Omnia dahil) alandaki herkesten daha fazla toplanmıştır. Yetişkin yaşamının çoğunu Sankt-Peterburg, Rusya ve Berlin'de, ardından Prusya'nın başkentinde geçirdi.

Euler, Arşimet sabitini (bir dairenin çevresinin çapına oranı) belirtmek için Yunanca (küçük pi) harfini popüler hale getirmek, ayrıca ilk defa bir fonksiyonun y-ekseni'ni tanımlamak için f(x) terimini kullanmak, √-1'e eşdeğer sanal kısmı ifade etmek için i harfini kullanmak ve toplamları ifade etmek için Yunanca Σ (büyük harf sigma) harfini kullanmakla tanınmaktadır. Halen Euler sayısı olarak bilinen doğal logaritma'nın temeli olan e sabitinin mevcut tanımını vermiştir. Euler, trigonometrik fonksiyonlar için neredeyse modern kısaltmalar olan sin, cos, tang, cot, sec ve cosec kısaltmalarını kullandı. Euler ayrıca, bu tür soyut enstrümanların incelenmesiyle ilgili temel bir matematik disiplini olan çizge teorisi (kısmen Königsberg'in yedi köprüsü problemine bir çözüm olarak) yaratılmasından da sorumluydu. Paralel olarak, diğerlerinin yanı sıra, sonsuz bir kareler dizisinin toplamının tam olarak π 2/6'ya eşit olduğunu kanıtladıktan sonra Basel Problemini çözmesiyle ve çokyüzlülerin kenarlarının sayısı ile yüzlerinin sayısı toplamı eksi tepe noktalarının sayısının 2'ye eşit olduğunu keşfettiği için, bu genellikle Euler özelliği olarak bilinir. Fizik alanında, Euler iki ciltlik Mechanica adlı çalışmasında Newton'un fizik yasalarını katı cisimlerin hareketini daha kolay açıklamak için yeni yasalar olarak yeniden formüle etti. Ayrıca katı cisimlerin elastik deformasyonlar çalışmasına önemli katkılarda bulunmuştur.

Leonhard Euler, 15 Nisan 1707'de Basel, İsviçre'de Reform Kilisesi papazı Paul III Euler ve başka bir papazın kızı Marguerite (evlilik öncesi soyadı Brucker) çiftinin çocuğu olarak doğdu. Anna Maria ve Maria Magdalena adında iki küçük kız kardeşi ve Johann Heinrich adında bir erkek kardeşi olan dört çocuğun en büyüğüydü. Leonhard'ın doğumundan kısa bir süre sonra, Euler ailesi Basel'den babasının yerel kilisede Lüteriyen papaz olduğu ve Leonhard'ın çocukluğunun çoğunu geçirdiği İsviçre'nin Riehen kasabasına taşındı. Paul, Bernoulli ailesi'nin bir arkadaşıydı, matematikle ilgileniyordu ve Jacob Bernoulli'den ders aldı. O zamanlar Avrupa'nın önde gelen matematikçisi olarak kabul edilen Johann Bernoulli, sonunda genç Leonhard üzerinde önemli bir etki yapacaktı.

Euler'in örgün eğitimi, anneannesi ile birlikte yaşamaya gönderildiği Basel'de başladı. 1720'de, henüz on üç yaşındayken Basel Üniversitesi'ne kaydoldu. 1723'te René Descartes ve Isaac Newton'un felsefelerini karşılaştıran bir tezle Felsefe Yüksek Lisansı aldı. Daha sonra Basel Üniversitesi ilahiyat fakültesine kaydoldu. Burada İbranice ve Yunanca eğitimi de aldı. Euler'in matematik yeteneğini çabucak keşfeden Johann Bernoulli'den Cumartesi öğleden sonra dersleri alıyordu. Eğitimi süresince Varignon, Descartes, Newton, Galileo, van Schooten, Hermann, Taylor, Wallis ve tabii ki Jacob Bernoulli gibi pek çok ünlü matematikçinin yaptığı çalışmalarla ilgilenmiş ve bazılarını yeniden yapılandırmıştı. Bu süre zarfında, Johann Bernoulli'nin öğreticisinin sonuçlarından cesaret alan Euler, babasının papaz yerine matematikçi olmak için rızasını aldı.

1726'da Euler, Sesin Yayılımı üzerine "De Sono" başlıklı tezini tamamladı ve bununla Basel Üniversitesi'nde bir pozisyon elde etmek için yaptığı başvuru başarısız oldu. 1727'de ilk kez Paris Akademisi ödül yarışmasına (1720'de başlayan akademi tarafından her yıl ve daha sonra iki yılda bir verildi) girdi. O yılki problem, direği bir gemiye yerleştirmenin en iyi yolunu bulmaktı. "Deniz mimarisinin babası" olarak tanınan Pierre Bouguer kazandı ve Euler ikinci oldu. Euler sonunda bu yarışmaya 15 kez katılarak 12'sini kazandı.

Johann Bernoulli'nin iki oğlu Daniel ve Nicolaus, Sankt-Peterburg'da İmparatorluk Rusya Bilimler Akademisi'ne hizmet etmek üzere görev aldılar. 1725'te Euler'e, müsait olduğunda onu bir göreve tavsiye edecekleri güvencesini verdiler. 31 Temmuz 1726'da Nicolaus, Rusya'da bir yıldan az bir süre kaldıktan sonra apandisitten öldü. Daniel matematik/fizik bölümünde erkek kardeşinin pozisyonunu aldığında, fizyolojide boşalttığı pozisyonun arkadaşı Euler tarafından doldurulmasını tavsiye etti. Kasım 1726'da Euler teklifi hevesle kabul etti, ancak Basel Üniversitesi'nde fizik profesörlüğüne başarısız bir şekilde başvurduğu için Saint Petersburg'a gitmeyi erteledi.

Euler, 1727 Mayıs'ında Saint Petersburg'a geldi. Akademinin tıp bölümündeki küçük görevinden matematik bölümünde bir pozisyona terfi etti. Yakın işbirliği içinde çalıştığı Daniel Bernoulli'nin evine yerleşti. Euler Rusça konusunda uzmanlaştı, Saint Petersburg'daki yaşama alıştı ve Rus Donanması'nda sağlık görevlisi olarak ek bir iş aldı.

Büyük Peter tarafından kurulan Saint Petersburg'daki Akademi, Rusya'daki eğitimi iyileştirmeyi ve Batı Avrupa ile bilimsel açığı kapatmayı amaçlıyordu. Sonuç olarak, Euler gibi yabancı bilim insanları için özellikle çekici hale getirildi. Rahmetli kocasının ilerici politikalarını sürdüren Akademi'nin hayırseveri Catherine I, Euler'in Saint Petersburg'a gelmesinden önce öldü. Rus muhafazakar asaleti, daha sonra on iki yaşındaki II.Peter'in yükselişi üzerine güç kazandı. Akademinin yabancı bilim adamlarından şüphelenen soylular, Euler ve meslektaşları için fonları kesti ve yabancı ve aristokrat olmayan öğrencilerin Gymnasium ve Üniversitelere girişini engelledi.

II. Peter'in 1730'da ölümünden sonra koşullar biraz düzeldi ve Alman etkisindeki Anna İvanovna görevi üstlendi. Euler akademide hızla yükseldi ve 1731'de fizik profesörü oldu. Ayrıca teğmen rütbesine terfi etmeyi reddederek Rus Donanması'ndan ayrıldı. İki yıl sonra, Saint Petersburg'da karşılaştığı sansür ve düşmanlıktan bıkan Daniel Bernoulli, Basel'e gitti. Euler matematik bölümünün başkanı olarak onun yerine geçti. Ocak 1734'te Georg Gsell'in kızı Katharina Gsell (1707-1773) ile evlendi.

Rusya'da devam eden kargaşadan endişe duyan Euler, Prusya'nın Büyük Fredericki tarafından teklif edilen Berlin Akademisi'nde bir görev almak için Haziran 1741'de St. Petersburg'dan ayrıldı. Birkaç yüz makale yazdığı Berlin'de 25 yıl yaşadı. 1748'de fonksiyonlar üzerine Introductio in analysin infinitorum adlı metni yayınlandı ve 1755'te diferansiyel hesap üzerine Institutiones calculi differentialis adlı bir metin yayınlandı. 1755'te İsveç Kraliyet Bilimler Akademisi ve Fransız Bilimler Akademisi'nin yabancı üyesi seçildi. Euler'in Berlin'deki önemli öğrencileri arasında, daha sonra ilk Rus astronomu olarak kabul edilen Stepan Rumovsky vardı. 1748'de, yakın zamanda ölen Johann Bernoulli'nin yerine geçmek için Basel Üniversitesi'nden gelen bir teklifi reddetti. 1753'te Charlottenburg'da ailesi ve dul annesiyle birlikte yaşadığı bir ev satın aldı.

Euler, Anhalt-Dessau Prensesi ve Frederick'in yeğeni olan Brandenburg-Schwedt Friederike Charlotte'in öğretmeni oldu. 1760'ların başında ona 200'den fazla mektup yazdı ve bunlar daha sonra Bir Alman Prensesine Hitap Edilen Doğal Felsefede Farklı Konularda Euler'in Mektupları başlıklı bir ciltte derlendi. Bu çalışma, Euler'in fizik ve matematikle ilgili çeşitli konulardaki açıklamalarını içeriyordu ve Euler'in kişiliği ve dini inançları hakkında değerli bilgiler sunuyordu. Birçok dile çevrildi, Avrupa'da ve Amerika Birleşik Devletleri'nde yayınlandı ve matematik çalışmalarından daha fazla okundu. "Mektuplar"ın popülaritesi, Euler'in bilimsel meseleleri sıradan bir kitleye etkili bir şekilde iletme becerisine tanıklık ediyor; bu, kendini adamış bir araştırmacı bilim insanı için ender bir yetenek.

Berlin'de kaldığı süre boyunca St. Petersburg'daki Akademi ile güçlü bir bağ kurdu ve ayrıca Rusya'da 109 makale yayınladı. Ayrıca St. Petersburg'daki Akademi'den öğrencilere yardım etti ve zaman zaman Rus öğrencileri Berlin'deki evinde misafir etti. 1760 yılında, Yedi Yıl Savaşı şiddetlenirken, Euler'in Charlottenburg'daki çiftliği ilerleyen Rus birlikleri tarafından yağmalandı. General Ivan Petrovich Saltykov, bu olayı öğrendikten sonra, Euler'in mülküne verilen zarar için tazminat ödedi ve Rusya'dan İmparatoriçe Elizabeth daha sonra 4000 ruble -o zaman için fahiş bir miktar- daha ödeme yaptı. Euler, 1766'da Berlin'den ayrılmaya ve Rusya'ya dönmeye karar verdi.

Rusya'daki siyasi durum Büyük Catherine'nin tahta çıkmasından sonra istikrar kazandı, bu nedenle 1766'da Euler St. Petersburg Akademisine geri dönme davetini kabul etti.Koşulları oldukça fahişti - yıllık 3000 ruble maaş, karısı için emekli maaşı ve oğulları için yüksek rütbeli atamalar vaadi. Üniversitede öğrencisi Anders Johan Lexell ona yardım etti. Petersburg'da yaşarken, 1771'de çıkan bir yangın evini yok etti ve 1773'te karısı Katharina Gsell öldü.

Euler, Vasilievsky Adası'ndaki Smolensk Lutheran Mezarlığı'nda Katharina'nın yanına gömüldü. 1837'de Rus Bilimler Akademisi onun aşırı otlarla sarılmış mezar levhasının yerine yeni bir anıt dikti. Euler'in 1957'deki doğumunun 250. yıldönümünü anmak için mezarı Alexander Nevsky Manastırı'ndaki Lazarevskoe Mezarlığı'na taşındı.

7 Ocak 1734'te Academy Gymnasium'dan bir ressam olan Georg Gsell'in kızı Katharina Gsell (1707-1773) ile evlendi. Genç çift Neva Nehri kıyısında bir ev satın aldı. On üç çocuğundan sadece beşi çocukluktan sağ olarak çıkabildi; üç oğlu ve iki kızı. İlk oğulları, vaftiz babası Christian Goldbach olan Johann Albrecht Euler idi. Karısının ölümünden üç yıl sonra Euler, üvey kız kardeşi Salome Abigail Gsell (1723-1794) ile evlendi. Bu evlilik ölümüne kadar sürdü.

Euler'in görme yetisi matematik kariyeri boyunca kötüleşti. Euler 1735 yılında bir takım sağlık problemleri yaşamaya başladı. 1738'de Humma hastalığına yakalandı ve ateşi bitmek üzereyken, sağ gözü neredeyse kör oldu. Euler, durumu için St. Petersburg Akademisi için sergilediği haritacılığı suçladı, ancak körlüğünün nedeni spekülasyon konusu olmaya devam etmektedir. Euler'in o gözdeki görme kabiliyeti, Almanya'da kaldığı süre boyunca, Frederick'in ondan "tepegöz" olarak bahsettiği ölçüde kötüleşti. Euler görme kaybından bahsetti ve "Artık daha az dikkat dağınıklığım olacak" dedi. 1766'da sol gözünde bir katarakt keşfedildi ve birkaç hafta sonra onu neredeyse tamamen kör eden başarısız bir cerrahi restorasyon yapıldı. Ancak, durumunun üretkenliği üzerinde çok az etkisi olduğu görüldü. Katiplerinin yardımıyla, Euler'in birçok çalışma alanındaki üretkenliği arttı ve 1775'te ortalama olarak her hafta bir matematik makalesi üretti.

Euler, geometri, sonsuz küçük hesap, trigonometri, cebir ve sayı teorisi gibi matematiğin hemen hemen tüm alanlarında ve sürekli ortamlar fiziği, ay teorisi ve fizik'in diğer alanlarında çalıştı. O, matematik tarihinde çığır açan bir şahsiyettir; basılsaydı, çoğu temel ilgiyi çeken eserleri 60 ila 80 çeyrek boy (quarto) cilt kaplayacaktı. Euler'in adı bir çok sayıda konu ile ilişkilidir.

Euler'in 200. doğum günü anısına 1907 yılında İsviçre Bilimler Akademisi tarafından başlatılan, tüm çalışmalarının bir araya getirilip basılması ile ilgili proje 100 seneyi aşmasına rağmen hâlâ devam etmektedir. Bugüne kadar basılmış çalışmalarının tamamı yeniden basıldı ve bu onun bütün çalışmalarının ancak dörtte birini oluşturuyor. Not defterlerinin ve kişisel notlarının da basılması plânlanıyor ve bunun yaklaşık 20 yıl alacağı tahmin ediliyor. Legendre'in anlattığına göre Euler tam bir matematik ispatını iki yemek öğünü arasında yapabiliyordu. Görüşleri birbirine oldukça paralel olmasına rağmen Euler ve Legendre hiç karşılaşmamıştır.

Euler'in bilgisi matematik ve astronomiyi böylesine şevkle takip etmiş birinden beklenenden daha geneldir. Tıp, botanik ve kimya alanında önemli çalışmalar yapmıştır. Aynı zamanda mükemmel bir tarihçi ve çok okuyan bir edebiyatseverdi. Olağanüstü hafızası ile bilinir ve derin düşüncelerle ya da okuyarak vardığı sonuçları belleğinde saklayabilmesi ile tanınırdı. Aeneid of Virgil'in (eski Yunanda epik bir şiir) tamamını hatasız tekrarlayabiliyor ve kullandığı basımın her sayfasının ilk ve son satırını belirtebiliyordu.

Euler, çok sayıda ve geniş çapta dağıtılan ders kitapları aracılığıyla birkaç matematiksel notasyon geleneğini tanıttı ve popüler hale getirdi. En önemlisi, bir fonksiyon kavramını tanıttı ve x argümanına uygulanan f fonksiyonunu belirtmek için f(x) yazan ilk kişi oldu. Ayrıca trigonometrik fonksiyonlar için modern gösterimi, doğal logaritma'nın tabanı için harfini (şimdi Euler sayısı olarak da bilinir), toplamalar için Yunan harfi Σ ve sanal kısmı belirtmek için harfini tanıttı. Yunanca harfini, bir dairenin çevresinin çapına oranı anlamına gelen π olarak kullanımı, Galli matematikçi William Jones ile ortaya çıkmasına rağmen, Euler tarafından popüler hale getirildi.

Sonsuz küçük hesabı'nın gelişimi 18. yüzyıl matematik araştırmalarının ön saflarında yer aldı ve Bernoulliler —Euler'in aile dostları— bu alandaki erken ilerlemelerin çoğundan sorumluydu. Etkileri sayesinde, matematik çalışmak Euler'in çalışmalarının ana odak noktası oldu. Euler'in kanıtlarından bazıları matematiksel kesinlik (özellikle cebrin genelliği ilkesine dayanması) modern standartlarına göre kabul edilemez olsa da, onun fikirleri birçok büyük ilerlemeye yol açtı.

Euler, analitik ispatlarda üstel fonksiyon ve logaritmalar'ın kullanımını tanıttı. Kuvvet serilerini kullanarak çeşitli logaritmik fonksiyonları ifade etmenin yollarını keşfetti ve negatif ve karmaşık sayı'lar için logaritmaları başarıyla tanımladı, böylece logaritmaların matematiksel uygulamalarının kapsamını büyük ölçüde genişletti. Ayrıca karmaşık sayılar için üstel fonksiyonu tanımladı ve trigonometrik fonksiyonlar ile ilişkisini keşfetti. Herhangi bir gerçel sayı için (radyan olarak alınır), Euler formülü, karmaşık üstel fonksiyonun 'i sağladığını belirtir.

Yukarıdaki formülün özel bir durumu Euler özdeşliği olarak bilinir, , Richard P. Feynman tarafından toplama, çarpma, üs alma ve eşitlik kavramlarının ve 0, 1, , ve önemli sabitlerin tekil kullanımları ile "matematiğin en dikkat çekici formülü" olarak adlandırılmıştır.

Euler, gama fonksiyonu'nu tanıtarak daha yüksek aşkın fonksiyonlar teorisini geliştirdi ve kuartik denklemleri çözmek için yeni bir yöntem tanıttı. Modern karmaşık analiz gelişiminin habercisi olarak, karmaşık limitli integralleri hesaplamanın bir yolunu buldu. Varyasyonlar hesabı'nı icat etti ve bu alandaki optimizasyon problemlerini diferansiyel denklemler çözümüne indirgemek için Euler-Lagrange denklemi'ni formüle etti.

Euler, sayı teorisi problemlerini çözmek için analitik yöntemlerin kullanılmasına öncülük etti. Bunu yaparken, matematiğin iki farklı dalını birleştirdi ve yeni bir çalışma alanı olarak analitik sayı teorisini başlattı. Bu yeni alan için temel atarken, Euler hipergeometrik seriler teorisi, q-serisi, hiperbolik trigonometrik fonksiyonlar ve sürekli kesirler'in analitik teorisini yarattı. Örneğin, harmonik seriler'in ıraksamasını kullanarak asal sayıların sonsuzluğunu kanıtladı ve asal sayıların dağılımının nasıl olduğunu anlamak için analitik yöntemler kullandı. Euler'in bu alandaki çalışması asal sayı teoremi'nin geliştirilmesine yol açtı.

Euler'in sayılar teorisine olan ilgisi, St. Petersburg Akademisi'ndeki arkadaşı Christian Goldbach'ın bu konudaki etkisine kadar uzanır. Euler'in sayı teorisi üzerine ilk çalışmalarının çoğu Pierre de Fermat'ın çalışmalarına dayanıyordu. Euler, Fermat'ın bazı fikirlerini geliştirdi ve bazı varsayımlarını çürüttü; örneğin biçimindeki tüm sayıların (Fermat sayıları) asal olduğu varsayımı gibi.

Euler, asal dağılımın doğasını analizdeki fikirlerle ilişkilendirdi. Asal sayıların çarpmaya göre terslerinin toplamının ıraksak olduğunu kanıtladı. Bunu yaparken Riemann zeta fonksiyonu ile asal sayılar arasındaki bağlantıyı keşfetti; bu Riemann zeta fonksiyonu için Euler çarpım formülü olarak bilinir.

Euler, "n" tam sayısından küçük veya ona eşit olan ve n ile aralarında asal olan pozitif tam sayıların sayısını veren totient fonksiyon φ(n)'i icat etti. Bu fonksiyonun özelliklerini kullanarak Fermat'nın küçük teoremi'ni şimdi Euler teoremi olarak bilinen şeye genelledi. Öklid'den beri matematikçileri büyüleyen mükemmel sayılar teorisine önemli ölçüde katkıda bulunmuştur. Hatta mükemmel sayılar ile daha önce Öklid tarafından kanıtlanan Mersenne asalları arasında gösterilen ilişkinin bire bir olduğunu kanıtladı, bu şu anda Öklid–Euler teoremi olarak bilinen bir sonuçtur. Euler ayrıca kuadratik karşılıklılık yasasını da tahmin etti. Bu kavram, sayı teorisinin temel bir teoremi olarak kabul edilir ve onun fikirleri Carl Friedrich Gauss'un, özellikle de Disquisitiones Arithmeticae çalışmasının yolunu açmıştır. 1772'de Euler,231 − 1 = 2.147.483.647'nin bir Mersenne asalı olduğunu kanıtlamıştı. 1867'ye kadar bilinen en büyük asal sayı olarak kalmış olabilir.

Euler ikinci dereceden evrikliği keşfetti ve mükemmel sayıların bile Öklid formunda olması gerektiğini ispatladı. İlkel kökleri araştırdı, yeni büyük asal sayılar buldu ve harmonik serilerin ıraksamasından asal sayıların sonsuz tane olduğu sonucuna vardı. Bu keşif bu alanda 2000 yılda yapılan en büyük buluş olarak kabul edilir ve analitik sayı teorisinin yaratıcısı olmuştur. Kompleks düzlem üzerindeki tüm sayıların çarpanlarına ayrılması üzerine yaptığı çalışma, cebirsel sayı teorisinin başlangıcıdır. Arkadaş sayılar Euler’den 2000 sene önce biliniyordu ve sadece 3 çifti keşfedilmişti. Euler 59 çift daha buldu.

1735'te Euler, Königsberg'in yedi köprüsü olarak bilinen probleme bir çözüm sundu. Königsberg şehri, Prusya Pregel Nehri üzerinde kurulmuş ve yedi köprü ile birbirine ve anakaraya bağlı iki büyük adadan oluşuyordu. Problem, her köprüyü tam olarak bir kez geçen ve başlangıç noktasına dönen bir yolu izlemenin mümkün olup olmadığına karar vermekti. Bu mümkün değil: Eulerian devresi yok. Bu çözüm, graf teorisi'nin ilk teoremi olarak kabul edilir. Bu mümkün değildir: Bir Euler yolu yoktur. Bu çözüm, çizge teorisi'nin ilk teoremi olarak kabul edilir.

Euler ayrıca bir dışbükey çokyüzlü ve dolayısıyla bir düzlemsel çizgenin köşe, kenar ve yüzlerinin sayısıyla ilgili Euler Formülünü keşfetti. Bu formüldeki sabit, artık çizgenin (veya diğer matematiksel nesnenin) Euler özelliği olarak bilinir ve nesnenin cinsiyle ilgilidir. Bu formülün özellikle Cauchy ve L'Huilier, tarafından çalışılması ve genelleştirilmesi topoloji'nin kökenini oluşturur.

Euler'in en büyük başarılarından bazıları, gerçek dünya problemlerini analitik olarak çözmede ve Bernoulli sayıları, Fourier serisi, Euler sayıları, and sabitleri, sürekli kesirler ve integrallerdir. Leibniz'in diferansiyel hesabı ile Newton'un Akış Yöntemi'ni (Method of Fluxions) entegre etti ve kalkülüsün fiziksel problemlere uygulanmasını kolaylaştıran araçlar geliştirdi. İntegraller için sayısal yaklaşım geliştirilmesinde büyük adımlar attı ve şimdi Euler yaklaşımları olarak bilinen şeyi icat etti. Bu yaklaşımların en dikkate değer olanları Euler yöntemi ve Euler-Maclaurin formülü'dür.

Euler, mühendisliğin temel taşı haline gelen Euler-Bernoulli kiriş denklemi'nin geliştirilmesine yardımcı oldu. Euler, analitik araçlarını klasik mekanik alanındaki problemlere başarıyla uygulamanın yanı sıra, bu teknikleri gök problemlerine de uyguladı. Astronomi alanındaki çalışmaları, kariyeri boyunca birçok Paris Akademi Ödülüne layık görüldü. Başarıları arasında kuyruklu yıldızların ve diğer gök cisimlerinin yörüngelerini büyük bir doğrulukla belirlemek, kuyruklu yıldızların doğasını anlamak ve Güneş'in ıraklık açısı (paralaks) değerini hesaplamak yer alıyor. Hesaplamaları, doğru boylam tabloları geliştirilmesine katkıda bulundu..

Euler optikte önemli katkılarda bulundu. O zamanlar geçerli bir teori olan Newton'un cisimsel ışık teorisine katılmadı. Optik üzerine 1740'lardaki makaleleri, Christiaan Huygens tarafından önerilen ışığın dalga teorisinin, en azından ışığın kuantum teorisinin gelişimine kadar, baskın düşünce tarzı haline gelmesini sağlamaya yardımcı oldu.

1757'de akışkan dinamiği içindeki viskoz olmayan akış için, şimdi Euler denklemleri olarak bilinen, Navier-Stokes denklemlerine benzeyen, önemli bir denklem kümesi yayınladı. Bu denklemlerle akışkanlar dinamiğindeki bir dizi devinim kanununu ortaya koydu (diğer bir muhteşem buluşu olan şok dalgalarının yayılımını açıklamaktadır).

Euler, yapı mühendisliğinde, yalnızca uzunluğuna ve eğilme sertliğine bağlı olan ideal bir dikmenin kritik burkulma yükünü Euler kritik yükünü veren formülüyle tanınır.

Bir Euler diyagramı, kümeler ve bunların ilişkilerini temsil etmenin diyagramsal bir yoludur. Euler diyagramları, düzlemde kümeler'i gösteren basit kapalı eğrilerden (genellikle çemberler) oluşur. Her Euler eğrisi, düzlemi iki alana veya "bölgeye" ayırır: kümenin ögelerini sembolik olarak temsil eden iç kısım ve kümenin üyesi olmayan tüm öğeleri temsil eden dış kısım. Eğrilerin boyutları veya şekilleri önemli değildir; diyagramın önemi, nasıl örtüştüklerindedir. Her bir eğri tarafından sınırlanan bölgeler arasındaki uzamsal ilişkiler (örtüşme, kapsama veya hiçbiri) küme-teorik ilişkilere (kesişim, alt küme ve ayrıklığa karşılık gelir). İç bölgeleri kesişmeyen eğriler ayrık kümeler'i temsil eder. İç bölgeleri kesişen iki eğri, ortak elemanlara sahip kümeleri temsil eder; her iki eğrinin içindeki bölge, her iki küme için ortak olan öğeler kümesini (kümelerin kesişimini) temsil eder. Tamamen bir başkasının iç bölgesi içinde yer alan bir eğri, onun bir alt kümesini temsil eder.

Euler diyagramları (ve onların Venn diyagramı şeklinde iyileştirilmesi), 1960'lardaki yeni matematik hareketinin bir parçası olarak küme teorisi'ndeki talimatın bir parçası olarak dahil edildi. O zamandan beri, karakteristik kombinasyonlarını görselleştirmenin bir yolu olarak geniş bir kullanıma sahiptirler.

Euler'in daha sıra dışı ilgi alanlarından biri de matematiksel fikirlerin müzikte uygulanmasıydı. 1739'da "Tentamen novae theoriae musicae" ("Müzik Teorisinde Yeni Bir Girişim", Attempt at a New Theory of Music) adlı eseri yazdı ve sonunda müzik teorisi​'ni matematiğin bir parçası olarak birleştirmeyi umdu. Bununla birlikte, çalışmalarının bu kısmı fazla ilgi görmedi ve bir zamanlar müzisyenler için fazla matematiksel ve matematikçiler için fazla müzikal olarak tanımlandı. Müzikle uğraşırken bile, örneğin, oktavlar'ın kesirli parçalara bölünmesini sayısal olarak tanımlamanın bir yolu olarak ikili logaritmaların tanıtılması dahil, Euler'in yaklaşımı esas olarak matematikseldir. Müzik üzerine yazıları özellikle çok sayıda değildir (yaklaşık otuz bin sayfalık toplam üretiminde birkaç yüz sayfadır), ancak bunlar erken dönemlerindeki ve hayatı boyunca onu terk etmeyen bir meşguliyeti yansıtır.

Euler'in müzik teorisinin ilk noktası, "türlerin", yani 3 ve 5 asal sayıları kullanılarak oktavın olası bölümlerinin tanımıdır. Euler, genel tanımı 2m A ile bu biçimde 18 tür tanımlar; burada A, türün "üssü"dür (yani 3 ve 5'in üslerinin toplamıdır) ve 2m ("m, sesler algılanabildiği sürece küçük veya büyük belirsiz bir sayıdır"), ilişkinin ilgili oktav sayısından bağımsız olarak geçerli olduğunu ifade eder. A = 1 olan ilk tür, oktavın kendisidir (veya kopyalarıdır); ikinci tür, 2m .3, oktavın beşinciye bölümüdür (beşinci + dördüncü, C–G–C); üçüncü tür 2m .5, majör üçüncü + minör altıncı (C–E–C); dördüncüsü 2m .32, dörtte iki ve bir ton (C–F–B–C); beşincisi 2m .3.5 (C–E–G–B–C); vb. Tür 12 (2m .33 .5), 13 (2m .32 .52) ve 14 (2m .3.53), sırasıyla Antik dönemlerdeki diyatonik, kromatik ve enharmonik'in düzeltilmiş versiyonlarıdır. Tür 18 (2m .33 .52) "diatonik-kromatik", "genel olarak tüm kompozisyonlarda kullanılır", ve Johann Mattheson tarafından açıklanan sistemle aynı olduğu ortaya çıktı. Euler daha sonra 7 asal sayısı da dahil olmak üzere türleri tanımlama olasılığını tasavvur etti.

Euler, diyatonik-kromatik türü göstermek için Speculum musicum, adlı özel bir çizge tasarladı ve Königsberg'in yedi köprüsü'ne olan ilgisini hatırlatarak bu çizgedeki yolları belirli aralıklarla tartıştı (bkz. yukarı). Cihaz, neo-Riemann teorisinde Tonnetz olarak yeniden ilgi gördü (ayrıca bkz. Kafes (müzik)).

Euler ayrıca "üssü" ilkesini, aralıkların ve akorların gradus suavitatis (incelik, uygunluk derecesi) temel faktörlerinden türetilmesini önermek için kullandı - onun sadece tonlamayı düşündüğünü akılda tutmak gerekir, yani 1 ve sadece 3 ve 5 asal sayıları. Bu sistemi herhangi bir sayıda asal sayıya genişleten formüller önerilmiştir, örneğin biçiminde, burada pi asal sayılardır ve ki onların üsleridir.

Howard Garns’ın sayı yapbozu Sudoku’ya esin kaynağı olmuş Latin karesi’ni Euler’in yarattığı yönünde bir yanlış anlaşılma bulunmaktadır. Greco-Latin karelerinin birkaç bin yıllık tarihi vardır. Özellikle kabir ve mezarların üstünde tılsım olarak kullanılırdı ve Euler doğmadan bin yıl önce Jabirean Corpus’ta üçten dokuza kadar Arap sayıbilimciler tarafından etraflıca numaralanmıştı. Euler’in tek yaptığı popülaritesini canlandırmak olmuştu.

Sayı teorisinde totient fonksiyonunu buldu. Pozitif tam sayı n’in totient’i φ(n) , n’e eşit ya da küçük pozitif tam sayılar ve “n” ile asal olan sayıların sayısı olarak tanımlanır. Örneğin, φ(8) = 4’tür çünkü 1, 3, 5 ve 7 olmak üzere dört sayı 8 ile aralarında asaldır. Bu fonksiyon yardımı ile Euler Fermat'nın küçük teoremini Euler teoremine genelleştirebildi.

Geometri ve cebirsel topolojide, kenar sayıları, köşeler ve dışbükey çokyüzlülerin yüzleri arasında bir ilişki bulunmaktadır (Euler Formülü olarak da adlandırılır). Birçok yüzlü için, köşelerin ve yüzlerin sayısının toplamı kenar sayısının toplamı artı ikidir, örneğin Y + KÖ = KE + 2. Teoremi herhangi bir düzlemsel grafiğe uygulamak mümkündür. Düzlemsel olmayan grafiklerde bir genelleme vardır: Eğer grafik bir “M” manifoldunun içine gömülebiliyorsa Y - KE + KÖ = χ(M) olarak yazılabilir (χ manifoldun Euler karakteristiği, sürekli deformasyon altında değişmez bir sabittir). Bir küre ya da düzlem gibi basit bağlanmış manifoldun Euler karakteristiği 2'dir. Euler formülünün gelişigüzel düzlemsel grafikler için genelleştirilmiş şekli mevcuttur: “Y” – “KE” + “KÖ” - C = 1 (“C” grafikteki bileşenlerin sayısıdır).

1736 yılında Königsberg'in yedi köprüsü olarak bilinen bir problemi çözdü ve grafik teorisi ve topolojinin ilk uygulaması olan Solutio problematis ad geometriam situs pertinentis isimli makaleyi çıkardı.

1739 yılında matematik ve müziği bir araya getirmek için Tentamen novae theoriae musicae adlı eseri yazdı. Yapılan yorumlarda “müzisyenler için çok ileri, matematik ve matematikçiler için çok müzikal” deniyordu.

Euler, Leibniz'in monadizm kavramlarına ve Christian Wolff felsefesine karşı çıktı. Euler, bilginin kısmen, monadizm ve Wolffian biliminin sağlayamadığı kesin nicel yasalar temelinde kurulduğunda ısrar etti. Euler'in dini eğilimlerinin doktrine karşı hoşnutsuzluğu üzerinde bir etkisi olabilir; Wolff'un fikirlerini "kafir ve ateist" olarak etiketleyecek kadar ileri gitti.

Euler, hayatı boyunca dindar bir insan olarak kaldı. Euler'in dini inançları hakkında bilinenlerin çoğu, onun Letters to a German Princess (Bir Alman Prensesine Mektuplar) ve daha önceki bir çalışması olan Özgür Ruhlarının Üzüntülerine Karşı İlahi Vahyin Kurtuluşu (Rettung der Göttlichen Offenbahrung gegen die Einwürfe der Freygeister, Defense of the Divine Revelation against the Objections of the Freethinkers) adlı eserinden çıkarılabilir. Bu eserler, Euler'in İncil'in ilham edildiğine inanan dindar bir Hristiyan olduğunu göstermektedir; "kurtarma" öncelikle kutsal yazıların ilahi ilhamı için bir argümandı.

Euler'in St. Petersburg Akademisi'ndeki ikinci görevi sırasında, Euler'in din üzerine laik filozoflarla yaptığı tartışmalardan esinlenen ünlü bir efsane vardır. Fransız filozof Denis Diderot, Büyük Catherine'in daveti üzerine Rusya'yı ziyaret ediyordu. Bununla birlikte, İmparatoriçe, filozofun ateizm hakkındaki argümanlarının mahkeme üyelerini etkilediği konusunda endişeliydi ve bu nedenle Euler'den Fransız'la yüzleşmesi istendi. Diderot, bilgili bir matematikçinin Tanrının varlığına dair bir kanıt ürettiği konusunda bilgilendirildi: kanıtı mahkemede sunulduğu şekliyle görmeyi kabul etti. Euler belirdi, Diderot'ya doğru ilerledi ve mükemmel bir inanç tonuyla şunu açıkladı non-sequitur: "Efendim, =x, dolayısıyla Tanrı var! - diye yanıtladı." Tüm matematiğin anlamsız olduğunu söyleyen Diderot, mahkemeden kahkaha sesleri yükselirken afalladı. Utanarak, İmparatoriçe tarafından nezaketle kabul edilen bir istek olan Rusya'dan ayrılmak istedi. Anekdot ne kadar eğlenceli olursa olsun, Diderot'nun kendisinin matematikte araştırma yaptığı göz önüne alındığında, bu doğruluğu şüpheli (apocryphal) idi. Efsane, görünüşe göre ilk olarak Dieudonné Thiébault tarafından Augustus De Morgan tarafından süslenerek anlatıldı.

Euler, İsviçre 10-frank banknotunun hem altıncı hem de yedinci serisinde ve çok sayıda İsviçre, Alman ve Rus posta pullarında yer aldı.

Leonhard Euler Altın Madalyası, İsviçre, Alman ve Rus matematikçi Leonhard Euler'in adını taşıyan ve Rusya Bilimler Akademisi Matematik Bilimleri Şubesi tarafından matematik ve fizikte olağanüstü sonuçlar için verilen bir madalyadır.

İsviçre Bilimler Akademisi Euler Komitesi (Euler Komitesi veya Euler Komisyonu olarak da bilinir), Leonhard Euler'in tüm bilimsel üretimini toplu olarak Opera Omnia (Toplu Eserler) adı verilen dört seri halinde yayınlamak amacıyla Temmuz 1907'de kurulmuştur.

Methodus inveniendi lineas curvas maximi minimive proprietate gaudentes, sive solutio problematis isoperimetrici latissimo sensu accepti (1744). İngilizce çeviri: a method for finding curved lines enjoying properties of maximum or minimum, or solution of isoperimetric problems in the broadest accepted sense.

Introductio in analysin infinitorum (Lausanne, 1748, 2 cilt). İngilizce çeviri: Introduction to the analysis of the infinites, John Blanton tarafından (Kitap I, ISBN 0-387-96824-5, Springer-Verlag 1988; Kitap II, ISBN 0-387-97132-7, Springer-Verlag 1989).

Euler'in ölümünden sonra eserlerinin büyük bir kısmının bireysel olarak yayınlanması 1830'a kadar sürdü, Euler'in büyük torunu ve Nicolas Fuss'un oğlu Paul Heinrich von Fuss tarafından keşfedilen ve bir derleme olarak yayınlanan 61 yayınlanmamış eserden oluşan ek bir grupla birlikte. 19. yüzyıldaki birkaç gecikmeden sonra, Euler'in Opera Omnia başlıklı eserlerinin kesin bir koleksiyonu, 1911'den beri İsviçre Bilimler Akademisi Euler Komisyonu tarafından yayınlanmıştır. Euler'in eserlerinin kronolojik bir kataloğu İsveçli matematikçi Gustaf Eneström tarafından derlendi ve 1910'dan 1913'e kadar yayınlandı, Euler'in eserlerine genellikle E1'den E866'ya kadar Eneström indeksindeki sayılarıyla atıfta bulunuldu. Euler Arşivi, Mathematical Association of America'ya ve son olarak da 2017'de University of the Pacific'e taşınmadan önce Dartmouth College'da başlatıldı.