Dönüşüm geometrisi

Matematikte, dönüşüm geometrisi veya dönüşümsel geometri, geometrik dönüşüm gruplarına ve bunların içindeki değişmez özelliklere odaklanarak geometri çalışmalarına verilen matematiksel ve pedagojik yaklaşımın adıdır. Teoremleri ispatlamaya odaklanan Öklid geometrisinin klasik sentetik geometri yaklaşımına karşıdır.

Örneğin dönüşüm geometrisinde bir ikizkenar üçgenin özellikleri, belirli bir doğrunun yanındaki bir yansıma ile kendisine eşleştirildiği olgusundan çıkarımda bulunulur. Bu durum, üçgenlerin eşleşiklik ölçütleri bakımından klasik kanıtlarla çelişmektedir.

Dönüşümleri, geometrinin temeli olarak kullanmak amacıyla ilk sistematik uğraş 19. yüzyılda Erlangen programı adı altında Felix Klein tarafından gerçekleştirilmiştir. Yaklaşık bir yüzyıl boyunca bu yaklaşım matematik araştırma çevreleriyle kısıtlı kalmıştır. 20. yüzyılda matematik eğitiminde yararlanmak için uğraşlar verilmiştir. Andrei Kolmogorov bu yaklaşımı (kümeler teorisi ile birlikte), Rusya'da geometri öğretim reformuna teklifinin bir ögesi olarak dahil etmiştir. Bu çabalar, 1960'larda Yeni Matematik hareketi olarak bilinen matematik öğretiminin genel reformuyla bir sonuca ulaşmıştır.

Dönüşüm geometrisinin incelenmesi, genellikle günlük yaşamda bulunan yansıma simetrisi çalışmalarıyla başlamaktadır. İlk gerçek dönüşüm, bir eksene karşı yansıma ya da bir çizgideki yansımadır. İki yansımanın bileşkesi, çizgiler kesiştiğinde bir dönme ile veya paralel olduklarında bir öteleme ile sonuçlanmaktadır. Böylelikle dönüşümler yoluyla öğrenciler Öklid düzlem izometrisi hakkında bilgi edinmektedirler. Örneğin, dikey bir çizgideki yansımayı ve yataya 45° eğimli bir çizgiyi düşünün. Bir bileşkenin saat yönünün tersine çeyrek dönüş (90°) gerçekleştirdiği, ters bileşkenin ise saat yönünde çeyrek dönüş gerçekleştirdiği gözlemlenebilir. Bu tür sonuçlar, dönüşüm geometrisinin sırabağımlı (yeri değiştirilemez) işlemleri bünyesinde barındırdığını göstermektedir.

Genç öğrencilere tanıtılan bir diğer dönüşüm ise benzeşimdir. Bununla birlikte, bir daire dönüşümündeki yansıma, düşük sınıflar için uygun görünmemektedir. Bu nedenle, ilkokul dönüşüm geometrisinden daha büyük bir çalışma alanı olan inversif geometri (tersinme geometrisi), genellikle üniversite öğrencilerine ayrılmıştır.

Somut simetri gruplarıyla yapılan deneyler, soyut grup teorisinin önünü açmaktadır. Diğer somut etkinlikler, dönüşüm geometrisini ifade etmek için karmaşık sayılar, hiperkarmaşık sayılar veya matrisler içeren hesaplamaları kullanmaktadır. Bu tür dönüşüm geometrisi dersleri, klasik sentetik geometri ile çelişen alternatif bir görüş sunar. Öğrenciler daha sonra analitik geometri ile karşılaştığında, koordinattaki dönme ve yansıma fikirlerini kolayca kavramaktadırlar. Bütün bu kavramlar, yansıma kavramının genişletildiği lineer cebre hazırlamaktadır.

Eğitimciler, anaokulundan liseye çocuklar için dönüşüm geometrisiyle ilgili projeler ve deneyler tasarlamışlardır ve bunların da bazı yararlarını göstermektedirler. Bazı tasarılarda öğrenciler, soyut dönüşümleri uygulamaya başlamadan önce, bir şeklin her noktasının eşlenmesinin tanımları yoluyla somut nesnelerle uygulama gerçekleştirmeye başlamaktadırlar.

Rusya'da geometri derslerini yeniden yapılandırma girişiminde Kolmogorov, dönüşümlerin bakış açısından sunmayı teklif etmiş, böylece geometri dersleri kümeler teorisine göre yapılandırılmıştır. Bu durum, daha önce "eşleşik" olarak adlandırılan şekiller için, okullarda "eşit" teriminin ortaya çıkmasını beraberinde getirmiştir: Bir şekil bir nokta kümesi olarak görüldüğünden, yalnızca kendisine eşit olabilir ve üst üste binen iki üçgen izometrilerine göre eşleşik olduğu söylenir.

Kitabımın dönüşüm gruplarına ilk giriş olarak hizmet edebilmesi amacıyla, ilk ilkelerden gereksinim duyduğum bütün grup teorisini geliştirmek için ve bunları daha önce hiç görmediyseniz soyut grup teorisi kavramlarını geliştirmek için biraz zorluk çektim.