Ayar teorisi

Terim olarak yerelleştirilmiş bakışım Lagrangian içindeki gereksiz serbestlik derecelerine işaret eder. Ayar dönüşümleri denilen olası göstergeleri arasındaki dönüşümler, bir Lie grubu-sevk simetri grubu ya da teorinin gösterge grubu olarak oluşturur. Grup jeneratörlerin Lie cebiri herhangi Lie grubu ile ilişkilendirilmiştir. Her grup jeneratör için mutlaka bir karşılık gelen alan (genellikle bir vektör alanı) gauge alanı denilen alan ortaya çıkar. Gauge alanları yerel grup dönüşümleri altında değişmezliği (denilen gauge değişmezliği) sağlamak için Lagrange dahildir. Böyle bir teori nicemlenmis olduğunda, Gauge alanlarının kuantumuna Gauge bozonları denir. Simetri grubu değişmeli değil ise ise, normal olan örnek Yang-Mills teorisidir.

Fizikteki birçok güçlü teoriler Lagrangeler altında sabit simetrik dönüşüm grupları tarafından açıklanmıştır. Onlar aynı fiziksel süreçler ortaya çıktığı zaman uzayın her noktasında yapılan bir dönüşüm altında değişmezdir, onların küresel bir simetriye sahip olduğu söylenir. Gauge teorilerinin temel taşı olan yerel simetri daha sıkı bir engeldir. Aslında, küresel simetri uzayda sabitlenmiş olan yerel simetrinin grup parametlereleridir.

Guage teorileri temel parçacıkların dinamiklerini açıklayan başarılı alan teorileri kadar önemlidir. Kuantum elektrodinamiği gauge teorisinin simetrik grubu U(1) ile değişmelidir. Kuantum elektrodinamiği bir tane gauge alanına sahiptir. Standart Modelin toplamda on iki tane gauge bozonu vardır. Bunlar foton, üç tane zayıf bozon ve 8 tane gluondur. U (1) SU × simetri grubu ile değişmeli olmayan gauge teorisi (2) × SU (3) ve on iki bozonlarının toplam vardır: fotonun, üç zayıf bozonları ve sekiz gluonların.

Gauge teorileri genel görelilik teorisi içindeki yerçekimini açıklamada önemlidir. Onun vaka göstergesi alan bir tensör, Lanczos tensör olduğunu biraz benzersizdir. Gauge çekim teorisi ile başlayan kuantum yerçekimi teorisi, aynı zamanda kütleçekimi olarak bilinen bir ölçü bozonunun varlığına inanmaktayız. Gauge simetrilerinin koordinat sistemi uzay keyfi diffeomorphisms altında serbestçe seçilebilir olduğu genel genel görelilik kovaryans ilkesi analogları olarak görülebilir. Hem gauge değişmezliği ve Diffeomorfizm değişmezliği sisteminin açıklamasında bir fazlalık göstermektedir. Bir alternatif kütleçekimi teorisi olarak gauge kütleçekim teorisi yeni gauge alanları ile gerçek bir gauge ilkesinin genel kovaryans ilkesini değiştirir.

Tarihsel olarak, bu fikirler ilk klasik elektromanyetizma bağlamında ve daha sonra genel görelilik ile belirtilmiştir. Ancak, gauge simetrilerinin modern fizikteki önemi elektron göreli kuantum mekaniğiyle ilk olarak ortaya çıktı. Bugün, Gauge teorileri yoğun madde fiziğinde, nükleer ve yüksek enerji fiziğinde ve diğer alt başlıklar arasında yararlıdır.

Bir gauge simetriye sahip ilk alan teorisi, 1864-65 yılında, Maxwell'in formülasyonu olan elektrodinamiktir. ( "Elektromanyetik Alan Bir Dinamik Teorisi"). Bu simetrinin önemi erken formülasyonlarda fark edilememiştir. Benzer şekilde fark edilemeyen, Hilbert'ın Einstein'ın alan denklemlerinden türettiiği genel koordinat dönüşümü altında eylem değişmezliğini varsaymıştı. Daha sonra Hermann Weyl, genel görelilik ve elektromanyetizma birleştirmek amacıyla, ayar (ya da "Gauge") değişikliği altında genel görelilikte yerel simetri olabileceğini tahmin etti. Kuantum mekaniğinin gelişiminden sonra Weyl, Vladimir Fock ve Fritz London karmaşık bir miktar ayar katsayısını değiştirerek gague değiştirilmiş oldu  ve U (1) gauge simetrisi olan faz değişikliği içine ölçekli dönüşüme döndü.  Bu olay  yüklü  kuantum mekaniksel parçacığın dalga fonksiyonu üzerinde elektromanyetik alan etkisi olarak açıklandı. Bu 1940'larda Pauli tarafından yaygınlaştırılan ilk tanınmış ayar teorisi, oldu.

1954 yılında, temel parçacık fiziğinde büyük bir karışıklığı bazı çözmek için çalışırken, Chen Ning Yang ve Robert Mills birlikte atom çekirdeklerindeki nükleonları tutan güçlü etkileşimi anlamak için model olarak değişmeyen gauge  teorileri tanıtıldı. (Ronald Shaw, Abdus Salam altında çalışan, bağımsız doktora tezi aynı kavramını tanıttı.) Elektromanyetizma göstergesi değişmezliği yaygınlaştırılması, onlar (non-değişmeli) SU (2) simetri grubunun eylem dayalı bir teori inşa etmek için proton ve nötronların izospin duble üzerinde çalıştı. Bu, kuantum elektrodinamik spinör alanları U (1) grubunun hareketine benzerdir. Parçacık fiziğindeki odak kuantize gauge teorilerini kullanarak oldu.

Bu fikir daha sonra kuantum alan teorisinin zayıf kuvvet uygulaması ve elektrozayıf teoride elektromanyetizma ile birleşmesine vesile oldu. Değişmez gauge teorileri asimptotik özgürlük olarak adlandırılan bir özellik ile  yeniden fark edildiğinde gauge teorileri daha da çekici hale geldi. Asimptotik serbestlik güçlü etkileşimlerin önemli bir özelliği olduğuna inanılıyordu. Bu güçkü kuvvetler için gauge teorisini aramaya taşvik etti. Şimdi kuantum renk teorisi olarak bilinen bu teori,  kuarkların renk üçlüsü SU (3) grubunun eylemi ile birlikte bir gauge teorisidir. Standart Model, gauge teorisi dilinde elektromanyetizma, zayıf etkileşimler ve güçlü etkileşimlerin açıklamasını birleştirir.

1970'li yıllarda, Michael Atiyah klasik Yang-Mills matematiksel denklemlerinin çözümlerinin çalışsmasına başladı. 1983 yılında, Atiyah'ın öğrencisi Simon Donaldson pürüzsüz 4-manifoldları türevlenebilir sınıflandırma ile  homeomorfizma kadar onların sınıflandırmadan çok farklı olduğunu göstermek için bütün çalışmasını bunun üzerine inşa etti. Michael Freedman Öklid 4-boyutlu uzayda üzerinde egzotik R4 Stürevlenebilir yapılarını sergilemek için Donaldson çalışmalarını kullandı. Bu temel fizik başarılarından bağımsız, kendi iyiliği için gauge teorisi giderek artan ilgiye yol açtı. 1994 yılında, Edward Witten ve Nathan Seiberg bazı topolojik değişmezler (Seiberg-Witten değişmezler) hesaplanmasını etkin Süpersimetri dayalı gauge teorisinin tekniklerini icat etti. Gauge teorisinden matematiğe olan bu katkılar bu alanda yenilenmiş bir ilgiye yol açmıştır.

Fizikteki gauge teorilerinin önemi elektromanyetizmanın kuantum alan teorisi açıklamak için birleşik bir çerçeve, zayıf kuvvet ve güçlü  kuvvet sağlayan matematiksel biçimcilik gibi muazzam başarılara örnek olmuştur. Standart Model olarak bilinen bu teori,  doğanın dört temel kuvvetten üçüne ilişkin deneysel tahminleri açıklar. Sicim teorisi gibi modern teorilerin, yanı sıra genel görelilik, teorilerinin içinde bir şekilde gauge teorileri vardır.

Fizikte, herhangi bir fiziksel durum için matematiksel açıklama, genellikle fazla serbestlik dereceleri ihtiva eder; aynı fiziksel durum ise, aynı zamanda birçok eşdeğer matematiksel yapılandırmalar için tarif edilir. Bu dönüşümler teorinin "simetrileri" bir grubu olduğu, ve fiziksel durumu bağımsız bir matematik yapılandırmaya ancak bu simetri grubu ile birbirine bağlı sınıflardaki konfigürasyonlarda karşılık gelir.

Bu fikir tüm fiziksel sistemi kapsar hiçbir tercih "eylemsizlik" koordinat sistemi vardır bir durumda çok daha soyut "koordinatların değişiklikler" benzer yerel yanı sıra küresel simetri içerecek şekilde genel olabilir. Bir gauge teorisi  modelin simetrileri ile birlikte tutarlı fiziksel tahminler yapmak için gerekli teknikler sete sahip  bir matematiksel modeldir.

Matematiksel konfigürasyonda meydana gelen miktarı sadece bir sayı değil de bir hız ya da bir dönme ekseni, bir vektör veya bir matris halinde düzenlenmiş sayıları da koordinat transformasyonu ile değiştirilebilir  olarak geometrik öneme sahip olduğunu  temsili  olarak görmek gerekir.

Gauge teorilerinin çoğunda, uzay ve zamanda bireysel bir noktada soyut ölçü bazında olası dönüşümlerin kümesi sonlu boyutlu Lie grubudur. En basit şekliyle böyle bir grup karmaşık sayılar kullanımı yoluyla kuantum elektrodinamik (QED) modern formülasyonu görünen U (1) 'dir. Kuantum elektrodinamik genellikle ilk ve en basit fiziksel ölçü teorisi olarak kabul edilir. Belirli bir gauge teorisinin tüm yapılandırma için mümkün gauge dönüşümlerinin kümesi de bir grup oluşturmaktadır. Bu grupta  gauge grubunun teorisini oluşturmaktadır. Gauge grubunun bir elemanı (sonlu boyutlu) Lie grubu, örneğin her noktada fonksiyonun değerini ve türevlerinin göstergesi dönüşüm eylem üzerinde temsil ettiği için uzay-zamanın noktalarından bir düzgün değişen fonksiyonu tarafından değiştirilebilen bu nokta üzerindedir.

Gauge alanı matematiksel yapılandırmayı açıklamak için  önemli bir parça  haline gelir. Gauge alan bir gauge dönüşümü ile yok edilebilecek bir yapılandırma (matematiksel dili, kendi eğriliği olarak) kendi alan şiddeti her yerde sıfır özelliğine sahip; Gauge teorisi bu yapılandırmalar ile sınırlı değildir. Başka bir deyişle, bir gauge teorisinin ayırt edici özelliği gauge alanı sadece koordinat sisteminin kötü bir seçimi ile telafi olmamasıdır. Başka bir deyişle  genellkile gauge alanını yok eden hiçbir gauge dönüşüm  yoktur.

Bir veya daha fazla ölçü alanlarına kavramaları olarak bu düzeltme terimleri yeniden yorumlanmasına ve bu alanları uygun öz enerji terimleri ve dinamik davranışı vererek.

Bu bir anlamda gauge teorisinin global simetriden lokal simetriye uzanıştır.  Ayrıca bu oldukça yakın bir şekilde gauge kütleçekimi teorisinin bilenen adıyla genel görelilik teorisinin tarihsel gelişimini andırıyor.

Özel bir referans olmadan genellikle deneyin kurulum bilgileri ve olası ölçüm sonuçları matematiksel açıklamalarla anlatılamaz buna gauge seçimide dahildir. Gauge teorisinin hesaplamalarında anormalliklerin sık görülen kaynağı hor kullanılan sınır durumlardaki gauge bağımlılığıdır.

Bu varsayımlar, enerji ölçekleri ve deneysel koşullar için  geniş bir yelpazede geçerlidir. Bu teoriler ışığında, günümüzde karşılaşılan  ışıktan ısı ve elektrik düşüşlerinden ve yükselmelerinden gelen bütün fenomenleri doğru tahmin etmede kullanılır. Bu tahminler sadece çok küçük ve çok büyük ölçeklerde doğru değildir.

Bu klasik süreklilik alan teorileri dışında, en yaygın olarak bilinen gauge teorileri, kuantum elektrodinamik ve temel parçacık fiziğinin Standart Modeli dahil kuantum alan teorisi vardır. En az eylem ilkesine göre "izin verilen" fiziksel durumları niteleyen bir gauge-kovaryantı eylem ayrılmaz. Ancak, gauge dönüşümleri tarafından aşırı derecelerde serbest davranışlarından dolayı süreç (continuum) ve kuantum teorileri büyük farklılıklar göstermektedir. Süreç (continuum) teorileri ve basit kuantum alan teorilerinin çoğu matematiksel düzenlemelerin yörüngelerini düşürmeden gauge reçetesini kullanırlar.

Daha sofistike olan kuantum alan teorileri özellikle değişme olmayan gauge gruplarını içerenler başta olmak üzere gauge simetrisine karışıklık teorisi teknikleriyle yok ederler ve  ve karşı terimler BRST nicelemesinde bilindiği gibi  birbirlerini anormal bir şekilde iptal etmek için motive ederler. Bu endişeler bir anlamda son derece teknik olmakla birlikte, aynı zamanda yakından ölçümü, fiziksel bir durum bilgisine sınırları ve eksik belirtilen deneysel koşullar nedeniyle tam olarak anlaşılmamıştır. Matematiksel teknikler işlenebilir gauge teorilerini uygulamak için birçok alanda geliştirildi. Bunlara örnek düşük boyutlu topoloji katı hal fiziği ve kristalografisi verilebilir.

Burada f zamana ve pozisyona dayalı herhangi bir fonksiyondur. Gauge dönüşümleri altında alanlar aynı kalır ve sonuç olarak Maxwell denklemleri hala geçerlidir. Buda Maxvell denklemlerinin gauge simetrisine sahip olduğunu söyler.

Aşağıdaki formüllerle sezgisel küresel simetri özelliklerinden başlayarak "motive" nasıl yerel gauge  değişmezliği gösterir ve başlangıçta olmayan etkileşim alanları arasındaki etkileşime nasıl yol açar. Aşağıdaki formüllerle örneklendirilmiştir.

G  n-by-n ortogonal gruba ait olan sabit matrisdir. türevi benzer biçimde ve her iki nicelikte nokta çarpımının içindeki Lagrange belirdiği için Lagrange'nin korunuduğu görünür.

Bu bu özel Lagrangian küresel simetri karakterize ve simetri grup genellikle ölçü grubu denir; Matematiksel terim özellikle G-yapıların teorik olarak yapı grubudur. Bu arada, Noether teoremi dönüşümleri bu grup altında değişmezlik akımların korunmasına yol açtığını ima edilir.

Burada g eşleşen sabit olarak adlandırılır ve etkileşimin gücünü tanımlamada önemlidir. Basit birkaç hesaplamadan sonra Gauge Alanı A(x) aşağıdaki gibi dönüşmek zorundadır.

Bu terim sadece yerel gauge değişmezliği için talebin bir sonucu olarak n skaler alanlar arasındaki etkileşimleri tanıtır. Bununla birlikte, bu etkileşimin fiziksel olup tamamen rastgele hale getirmek için, arabulucu A (X) uzayda yayılması gerekir. Bununla başa çıkmak için bir sonraki aşama teriminin Lagrangiana eklenmesidir. Elde edilen klasik alan teorisi kuantize sürümünde, kuantum gauge alanı A (x) gauge bozonları denir. Kuantum alan teorisinde  Lagrangian etkileşiminin yorumlanması skaler bozonların değişen gauge bozonlarıyla etkileşimidir.

ve İzler vektör uzay alanları üzerinden atılıyor. Buna Yang-mills hareketi denir. Diğer gauge değişmez haretleri hala mevcuttur. Örneğin doğrusal olmayan elektrodinamik, Born-Infeld hareketi Chern-Simons model gibi.

Daha önceki bölümlerde geliştirilen biçimcilik basit bir uygulama olarak, sadece elektron alanı ile, elektrodinamik davayı düşünün.  Bare-bones hareketi elektrik alanın Dirac denklemini üretir.

Gauge alan için Lagrangian eklenmesi diğer bir terimle elektrodinamik de aynı olan alan güç sensörü eklenmesiyle kuantum elektrodinamikteki başlangıc noktasını kullanarak Lagrangian elde edilir.

Gauge  teorileri genellikle diferansiyel geometrinin dilinde tartışılmıştır. Matematiksel olarak, bir gauge  bazı temel yığınların bir (yerel) bölümünde sadece bir seçimdir. Bir gauge dönüşümü sadece iki bölge arasındaki dönüşümdür.

Gauge teorisi bağlantıların çalışmasıyla (öncelikle yüksek enerjili fizikçiler tarafından çalışılmıştır.) hakim olmasına rağmen, bağlantı fikri genelde gauge teorisinin merkezi olmamıştır. Aslında, genel gauge teorisindeki bir sonuç gauge dönüşümlerinin  temsillerini afine etmektedir. Örneğin afin modülleri.  Bu temsiller belli özellikleri karşılayan jet paket bölümleri olarak sınıflandırılabilir. Bazı temsiller nokta tabanlı ( fizikçiler tarafından ilk tür gauge dönüşümleri için kullanılır)  eşdeğişkenli olarak dönüşürler.  Başka temsiller bağlantı formu ( fizikçiler tarafından ikinci tür gauge dönüşüm olarak adlandırılır.) şeklinde dönüşür. Diğer genel temsiller düz olmayan temsillerdir ancak bunlar çok karışıktır. Hala düz olmayan sigma modelleri düz olmayan bir şekilde dönüşür.

Eğer taban alanı uzay ya da uzayzaman ve yapı grubu Lie grup olan ana P demeti varsa, P formlarının  bölümleri gauge dönüşüm gruplarınn homojen uzayının temelidir.

Bağlantılar (gauge  bağlantısı) temel demetleri tanımlar. Bu demetler her vektor demetinde birleşmiş  gevşek eşdeğişkenli türevlerdir. Eğer yerel bir çerçeve seçilmiş ise, eşdeğişkenli türev  A bağlantı formu ile temsil edilir. Lie cebiri 1-form değerini vermiştir bu fizikte Gauge potansiyeli olarak anılır. Açıkça gerçek değildir ancak çerçeve niceliğe bağlıdır. Eğrilik formu F lie cebiri tarafından 2 değer formuna atanmıştır. Bu bağlantı formlarıyla kurulmuştur.

Tüm gauge dönüşümleri  genel olarak sonsuz dercede küçük  gauge dönüşümleri tarafından oluşturulmuş olmayabilir. Baz manifoldu Lie grubu bu manifoldundan dönüşümlerin homotopi sınıf nontrivial şekilde sınır olmadan kompakt manifoldu olduğunda bir örnektir.

Gauge teorileri herhangi kuantum alan teorisi için geçerli olan yöntemlerin uzmanlık ile kuantize olabilir. Ancak, gauge kısıtlamaları dayattığı inceliklerini nedeniyle diğer alan teorileri ortaya çıkmazsa çözülmesi gereken birçok teknik sorunlar var.Gauge teorileri zengin yapısı bazı hesaplamaların basitleştirilmesi sağlar. Örneğin, Farklı renormalizasyon sabitlerini Ward kimliklerine bağlamak gibi.

Niceleme  ilk olarak  gauge  teorisinde kuantum elektrodinamik (QED) idi. İlk yöntemler  gauge yer sabitlemesi için geliştirildi ve daha sonra meşru kuantumlama için kullanıldı. Gupta-Bleuler yöntemi de bu sorunu ele almak geliştirilmiştir. Değişmeyen gauge teorileri artık çeşitli araçlarla tarafından ele alınır. Kuantumlamanın yöntemleri kuantumlama ile alakalı makalede bahsedilmektedir.

Teori tarafından izin verilen çeşitli işemler için kuantum genliklerinin hesaplanamaması kuantumlamanın ana noktası olmuştur. Teknik olarak vakum durumdaki belli korelasyon fonksiyonlarının hesaplamalarını azaltmak. Bu teorinin bir renormalizasyona içerir.

Teorinin çalışan eşleşmelerde yeteri kadar küçük olduğu zaman, bundan sonra gerekli tüm miktarlar pertürbasyon teoride hesaplanabilir. (Örneğin kanonik nicemleme gibi)Nicemleme şemaları bu tür hesaplamaları kolaylaştırmak için tasarlanmıştır. Nicemleme şemalarına pertürbatif nicemleme şemaları denebilir. Şu anda bu yöntemlerden bazıları gauge teorileri en hassas deneysel testlere öncülük ediyor.

Ancak, çoğu gauge teorilerinde çok fazla ilginç sorunlar bulunuyor. Niceleme şemaları bu problemlere uyum sağlıyor. sigara tedirgemesiz birçok ilginç soru vardır. (Örneğin kafes gauge teorisi gibi) bu sorunlara uygun niceleme  düzenleri olmayan pertürbatif niceleme şemaları denebilir.Hassas hesaplamalar genellikle mükemmel hesaplama gerektirir ve bu nedenle dğier şemalara göre daha az gelişmiştir.

Kiral anomal:: Bu anlık eğlimler yoluyola topoloji ile yanıdan bir bağlantısı vardır. Kuantum elektrodinamiğinde kiral anomali iki foton ve bir pion çürümesine neden olur.

Gauge anomali: Bu anomali herhangi tutarlı fiziksel bir teoride iptal etmemiz gerekir. Elektro zayıf teoride bu iptal için gerekli olan elektronların ve kuarkların eşitliğidir.

Saf gauge,  yani bir sıfır gauge-dönüşümüdür. Saf gauge elde etmek için gauge dönüşümünü boş bir alan üzerinde uygulamak gerekir. Yani alan yapılandırmanın uzayda belirli bir "gauge  yörünge" sindedir.