Kepler yörüngesi

Gök mekaniği olarak, Kepler yörüngesi (veya Keplersel yörünge) üç boyutlu uzayda iki boyutlu bir yörünge düzlemi oluşturan bir elips, parabol, hiperbol benzeri bir yörünge cismininin hareketini açıklar. (Kepler yörüngesi aynı zamanda düz bir çizgi de çizebilir). Kepler yörüngesi yalnızca nokta iki cismin nokta benzeri yerçekimsel çekimlerini dikkate alır, atmosfer sürüklemesi, güneş radyasyonu baskısı, dairesel olmayan cisim merkezi ve bunun gibi bir takım şeylerin diğer cisimlerle girdiği çekim ilişkileri nedeniyle ihmal eder. Böylece Kepler problemi olarak bilinen iki-cisim probleminin, özel durumlara bir çözüm olarak atfedilir. Klasik mekaniğin bir teorisi olarak, aynı zamanda genel görelilik etkilerini dikkate almaz. Kepler yörüngeleri çeşitli şekillerde altı yörünge unsurları içine parametrize edilebilir.

Çoğu uygulamalarda, tüm sistemin kütle merkezi olarak kabul edilen büyük bir merkezi cisim ve kütle merkezi vardır. Ayrıştırma yapılınca, iki objenin benzer kütleleri, ikisinin ortak kütle merkezinin Kepler yörüngesi ya da barisentileri olarak açıklanabilir.

Eski çağlardan itibaren 16. ve 17. yüzyıllara kadar gezegenlerin hareketlerinin Antik Yunan filozofları Aristo ve Batlamyus tarafından öğretildiği gibi mükemmel dairesel jeosentrik yolları takip ettiğine inanılırdı. Gezegenlerin hareketler değişimleri (epidaire) üst üste küçük dairesel yollar şeklinde açıklanmıştır.. Gezegenlerin ölçümleri giderek daha kesin olmaya başladığında, bu teoriye revizyonlar önerilmiştir. Hala gezegenlerin güneş merkezli mükemmel dairesel yörüngede gittiğine inanılmasına rağmen 1543 yılında Nicolaus Copernicus, güneş sisteminin bir güneş merkezli modelini yayınladı.

yörüngedeki nesnenin mevcut konumu ile yörüngedeki merkez cisme en yakın olduğu (enberi noktası olarak adlandırılan) konum arasındaki açı olan gerçek ayrıklıkdır.

Newton, hareket yasaları ve evrensel kütleçekim yasasından astronomide yörünge hareketine özgü Kepler yasalarını türetebildi. Kepler yasaları gözlem verileriyle iyi bir şekilde desteklendiğinden, bu tutarlılık Newton'un genelleştirilmiş teorisinin ve birleşik göksel ve sıradan mekaniğin geçerliliğine güçlü bir destek sağladı. Bu hareket yasaları, 20. yüzyılın başlarında Albert Einstein özel ve genel görelilik kavramlarını ortaya koyana kadar modern gök mekaniğinin temelini oluşturdu. Çoğu kullanımda Kepler hareketi, gezegenlerin ve uyduların hareketlerini nispeten yüksek doğruluk derecelerine yaklaştırır ve astronomi ve astrodinamikte yaygın olarak kullanılır.

Büyük gök cisimlerinin şekilleri kürelere yakındır. Simetri ile, bir kütle noktasını homojen bir küreye doğru çeken net kütleçekim kuvveti, merkeze doğru yönlenmelidir. Kabuk teoremi (Isaac Newton tarafından da kanıtlanmış olan), kürenin yoğunluğu derinliğe göre değişse bile (çoğu gök cisimleri için olduğu gibi) bu kuvvetin büyüklüğünün, kütlenin tamamı kürenin ortasında toplanmış gibi aynı olduğunu belirtir. Bundan hemen sonra iki homojen küre arasındaki çekim, her ikisinin de kütlesi merkezinde yoğunlaşmış gibidir.

Asteroitler veya uzay araçları gibi daha küçük nesneler genellikle bir küreden güçlü bir şekilde ayrılan bir şekle sahiptir. Ancak bu düzensizlikler tarafından üretilen kütleçekim kuvvetleri, merkezi cismin kütleçekimi ile karşılaştırıldığında genellikle önemsizdir. Düzensiz bir şekil ile mükemmel bir küre arasındaki fark da mesafelerle azalır ve yörünge mesafelerinin çoğu, yörüngedeki küçük bir cismin çapıyla karşılaştırıldığında çok büyüktür. Bu nedenle bazı durumlar için şekil düzensizliği, kesinlik üzerinde önemli bir etki olmaksızın ihmal edilebilir. Bu etki, özellikle alçak yörüngelerde bulunan yapay Dünya uyduları için oldukça belirgindir.

Gezegenler değişen hızlarda dönerler ve bu merkezkaç kuvveti nedeniyle hafif basık bir şekil alabilirler. Böyle yassı bir şekille kütle çekimi, homojen bir küreninkinden bir miktar sapacaktır. Daha büyük mesafelerde bu yassılığın etkisi ihmal edilebilir hale gelir. Güneş Sistemindeki gezegensel hareketler, nokta kütleler olarak ele alınırsa yeterli hassasiyetle hesaplanabilirler.

Merkezi cisim ile karşılaştırıldığında yörüngedeki cismin kütlesi önemsizdir. Matematiksel olarak, m1 >> m2, yani 'dir. Genellikle olarak gösterilen bu tür standart kütleçekim parametreleri, yörüngedeki uydularından çok daha büyük kütlelere sahip olan Güneş, büyük gezegenler ve Ay için yaygın olarak kullanılır.

Bu varsayım, sadeleştirilmiş iki cisim problemini çözmek için gerekli değildir, ancak özellikle Dünya yörüngesindeki uydular ve Güneş'in yörüngesindeki gezegenlerle ilgili hesaplamaları basitleştirir. Jüpiter'in kütlesi bile Güneş'inkinden 1047 kat daha azdır, bu da α değerinde %0,096'lık bir hata oluşturur. Dikkate değer istisnalar arasında Dünya-Ay sistemi (kütle oranı 81,3), Plüton-Charon sistemi (kütle oranı 8,9) ve ikili yıldız sistemleri sayılabilir.

Bu varsayımlar altında iki cisim problemi için diferansiyel denklem matematiksel olarak tamamen çözülebilir ve Kepler'in gezegensel hareket yasalarını takip ederek sonuçta oluşan yörüngeye "Kepler yörüngesi" denir. Tüm gezegenlerin yörüngeleri yüksek doğrulukta Güneş etrafındaki Kepler yörüngeleridir. Küçük sapmalar, gezegenler arasındaki çok daha zayıf kütleçekim etkilerinden ve Merkür durumunda genel görelilikten kaynaklanmaktadır. Dünya etrafındaki yapay uyduların yörüngeleri, makul bir tahminle Güneş, Ay ve Dünya'nın yassılığından dolayı küçük düzensizliklere sahip Kepler yörüngeleridir. Hareket denkleminin bütün kütleçekim ve kütleçekim olmayan kuvvetlerin (güneş radyasyon basıncı ve atmosfer direnci gibi) hesaba katılmasıyla sayısal olarak entegre edilmesi gereken yüksek doğruluktaki kullanımlarda, Kepler yörünge kavramları çok önemlidir ve yoğun olarak kullanılır.

Kepler yörüngesinin altı parametre ile tanımlanabilirliğinden söz etmek gerekir. Üç boyutlu uzayda hareket eden bir nesnenin hareket bir konum vektörü ve bir hız vektörü ile karakterize edilir. Her vektörün üç bileşeni vardır, bu yüzden uzayda bir yörünge tanımlamak için gerekli değerlerin toplam sayısı altıdır. Bir yörünge (Kepler Elementleri olarak bilinen) ve pozisyon ve hızına bağlı olarak ölçülebilen altı elementten oluşur ki bunların üçü daha önce gösterilmiştir. Bu altı uygun elementten beş tanesi yörünge için değişmezdir. (iki sürekli değişen vektöre bir tezat niteliğinde olmak üzere). Kendi yörüngesinde içindeki bir nesnenin gelecekteki konumu tahmin edilebilir ve yeni konum ve hız kolayca yörünge elemanları ile elde edilebilir.

Gerçek anomali ()periapsis ölçülen yörünge boyunca yörüngedeki cismin konumunu tanımlar. Çeşitli başka değerlerin yerine gerçek bir anomali kullanılabilir, bunlardan en sık kullanılanları mean anomoli olan ve periapsisden yana geçen süre olan ’dir.

, ve sadece yörünge düzlemi içinde nesnenin hareketini tartışırken referans çerçevesinde yörünge yönünü tanımlayan açısal ölçümlerdir ve kesin olarak gerekli değildir. Burada tamamlanmışlık adına belitilmişlerdir ancak aşağıdaki ispatlar için gerekli değillerdir.

() ve (}) denklemleri ’ın diferansiyellerini elememize izin verir.. In order to eliminate the time derivatives of ’ın zaman diferansiyellerini ellimine etmek için uygun kısaltmaları bulmak bunun için de zincir kuralı kullanmamız gerekir.

e ve ’un başlangıçtaki s ve ’n başlangıç değerlerinin integral sabitleri olursa, integralinin sabitini kullanmak yerine birim vektörleri kullanıma alınır ve seçilen yörünge alanındaki koordinat sistemini belirler, böylece sıfır değerini alır ve e is pozitiftir. Bu şu anlama gelir: ’in maksimum olduğu yerde sıfırdır ve böylece minimumdur. p parametresini olarak tanımlarsak şu ortaya çıkar.

t’nin hangi zamanda belirli bir gerçek anomaliye () ne ulaştığını bulmak için, buna uyan parametre olan E’nin () ile zamana olan bağını hesaplaması, elips için () ile bağını ve hiperbolik yörünge için.

Bu ilişki gerçek anomali ve E parametresi arasında geçiş yapmak için uygundur. (burada E ()’e zaman yönünden bağlıdır.) Aralık arasındaki alana dikkat ediniz.

Eğer bu Kepler yörüngesi aynı vektörlerine sahipse ve gerçek anomalisi () ve ()de tanımladığı gibi ise, Kepler yörüngesinin vektörleri istenen değer olan ’yi gerçek anomalisi olmak üzere alır.

Standart atalet sabit koordinat sistemi yörüngesel düzlemde ( pericentre'nin homojen küresindin merkezinden gelecek şekilde) konik alanın oryantasyonunu belirliyorsa (elips, parabol, hiperbol), bu ilişkiyle hesaplanabilir.

gibi herhangi bir durum vektörü için, bu durumdaki Kepler yörüngesi aşağıda tanılmlanan algoritma ile hesaplanabilir. İlk parametreler ile belirlenir ve yörüngesel düzelemde ortogonal birim vektörleri de () ve () arasındaki ilişkiyi kullanarak bulunur.

T zamanında bu şekilde "hareket denkleminin" çözümü olarak aynı "durum vektör" olan () 'da hesaplanan Kepler yörüngesi bu durumda "oskülatör" olduğu söylenebilir.

küçük bir “bozucu güç”tür çünkü, bir örnekle açıklamak gerekirse diğer gök cisimlerinden sönük bir yer çekimi bu durumda örnek gösterilebilir. Oskülasyon halindeki Kepler yörüngesinin parametreleri, ancak o zaman yavaşça değişecek ve oskülasyon halindeki Kepler yörüngesi iyi bir tahminle oskülasyonun öncesinde ve sonrasında gerçek yörüngeye hatrı sayılır bir zaman diliminde girecektir.

Bu konsept aynı zamanda bir roket uçuşu için de faydalı olabilir çünkü itme kapatıldığı zaman hangi Keppler yörüngesinde devam edebileceği belirlenmiş olur.