Poisson dağılımı

Poisson dağılımı çok kere belirli sabit zaman aralığı birimleri bulunan problemlere uygulanmakla beraber, diğer birimsel aralıklı problemlere de (yani birim uzaklık, alan veya hacim içeren problemlere de) başarı ile uygulanabilir.

Prusya süvari birliklerinde her bir yıl at ve katır tepmeleri ile ölen asker sayısı: Bu klasik örnek 1868'de Ladislaus Josephovich Bortkiewicz tarafından bir kitapta yayınlanmış ve çok tanınmış bir örnek olarak yıllarca askeri ve sivil yüksek okul öğrencilerine verilmiştir.

Bu dağılım ilk defa Siméon-Denis Poisson (1781–1840) tarafından diğer olasılık hakkındaki yazıları ile birlikte 1838'de yayınlanan Recherches sur la probabilité des jugements en matières criminelles et matière civile ("Ceza hukuku ve medeni hukuk alanlarındaki hükümlerin olasılığı üzerinde araştırmalar") adındaki eserinde ortaya atılmıştır.

yani varyans da olur. Böylece gözlenen olay meydan çıkış sayısı bir ortalama değer λ ile bir standart sapması olması niteliklerini taşıyan bir olasılık dağılımı, Poisson dağılımı, göstermektedir.

Genellikle bir Poisson dağılımı büyük sayıda olay ortaya çıkabilmesi mümkün olduğu, ama bu ortaya çıkması mümkün olayların nadir olduğu kabul edilen, sistemlerde uygulanabilir. Bilimsel alanlarda klasik örnekler atomların nükleer parçalanması; verilen bir DNA zincirinde ortaya çıkan mutasyon sayısı vb. Bu örneklerle ve diğer birçok örneğin için, ortaya çıkan nadir olay sayısı ayrık denemelerin sonucudur ve daha kesinlikle bir binom dağılım kullanılarak model haline getirilebilirler. Fakat n ve λ/n parametreli bir binom dağılımı (yani her deneme için λ/n başarı olasılığı olan n sayıda deneme için belirli bir başarı sayısı için olasılık dağılımı), deneme sayısı n büyüyüp limitte sonsuzluğa yaklaştıkça, beklenen değeri λ olan bir Poisson dağılıma yakınsallaşır. Bu limit bazen nadir olaylar kuralı olarak anılmaktadır. Bu ifade bir bakıma yanıltıcıdır; çünkü birçok Poisson dağılımı ile modellenebilen olaylar arasında birçoğu (örneğin bir otobüs durağına yarım saat aralığında gelen otobüs sayısı; bir mobil telefona bir saat aralığında gelen çağrı sayısı gibi) hiç de nadir olmayan olaylar bulunur. Ancak binom dağılımının büyük sayılar için hesaplanması faktöriyel sayılar kullanılması gerektirdiği için, bu uzun hesaplama biraz sıkıcı görülebilmekte ve bu nedenle Poisson dağılımı yaklaşık olarak binom dağılım yerine kullanılmaktadır.

olursa, bu seri dağılımda ortalaması λ olan bir Poisson rassal değişkeni için serilere yakınlaşır..Örnek:Bir nehirde ortalama olarak her 100 yılda bir taşkın seli meydana gelir. Poisson modelinin uygun olduğunu varsayarak, 100 yıllık bir aralıkta k = 0, 1, 2, 3, 4, 5 veya 6 taşkın seli olma olasılığını hesaplayın.

Poisson dağılımı gösteren rassal bir değişken için beklenen değer ve varyans değeri de λdır. Poisson dağılımının yüksek momentleri λ terimleri ile oluşan (matematiksel kombinatorik kuramında anlamlı olan katsayıları bulunan) Touchard polinomlarıdır. Eğer Poisson dağılımı için beklenen değer 1 ise, o zaman Dobinski'nin formülüne göre ninci moment n büyüklüğünde olan set bölünümlerinin sayısına eşittir.

Tam sayılı olmayan bir λ lambda parametreli Poisson dağılımı gösteren bir rassal değişkenin mod değeri, λ 'dan küçük olan en büyük pozitif tam sayıya, yani 'ya, eşittir.

Basit olmakla beraber, karmaşıklık λ ile doğrusal olarak oranlıdır. Bu sorun etkisini azaltmak için çeşitli diğer algoritmalar geliştirilmiştir.Joachim H. Ahrens ve Ulrich Dieter (1982) "Computer Generation of Poisson Deviates" ACM Transactions on Mathematical Software C.8 No.2 say.163-179 doi=10.1145/355993.355997.

Eğer ve bağımsızlarsa ve ise, o zaman ya koşullu dağılımı, bir binom dağılımı olur. Özellikle, olur. Daha genel olarak, eğer X1, X2,...,Xn rassal değişkenleri, parametreleri λ1, λ2,..., λn olan Poisson dağılımı gösteriyorlarsa, o zaman .

Eğer denemeler sayısı limitte sonsuza doğru yaklaşır ve başarı sayısının beklenen değeri sabit kalırsa, bu binom dağılım limitte Poisson dağılıma yaklaşacağı ispat edilmiştir. Bu nedenle Poisson dağılım, eğer n yeterce büyük ve p yeterce küçük ise, bir binom dağılım yerine yaklaşım olarak kullanılabilir. Alışılagelen bir kurala göre, eğer n en aşağı 20 ise ve p 0,05'e eşit veya daha küçük ise, Poisson dağılımı binom dağılımının iyi bir yaklaşımı olacaktır. Bu kurala göre eğer n ≥ 100 ve np ≤ 10 ise, bu yaklaşım mükemmel olur.

Eğer bir sabit zaman aralığı içinde bir hizmet alanına gelenler sayısı, ortalaması olan bir Poisson dağılımına uygun ise, o halde gelişler-arası zaman aralıkları, oran parametresi olan, bir üstel dağılım gösterir.

Her gözlem için ortalama λ olduğu için bu ifadenin beklenen değeri de λ olur. Bu nedenle bu kestirim λ için bir yansiz kestirim olur. Bunun kestirim varyans değeri Cramer-Rao alt sınırına ulaşıp geçtigi için, bu kestirim bir etkin kestirim de olur.