Grupoid

Grupoidler genellikle manifoldlar gibi geometrik nesneler hakkında akıl yürütmek için kullanılır. Heinrich Brandt (1927), Brandt yarı-grupları (Brandt Semigroup) aracılığıyla dolaylı olarak grupoidleri tanıtmıştır.

Her grup bir grupoiddir. Örnek olarak () grubunu düşünelim. Grupoidin grup teorisindeki tanımını kullanarak bu grubun bir grupoid olduğunu gösterelim. kümesini ve operatörünü ele alacağız. Rastgele alalım.

Nesneleri vektör uzayları ve morfizmaları birebir ve örten lineer (doğrusal) fonksiyonlar olan bir kategorisi grupoid belirtir. Kategori teorisindeki grupoid tanımını kullanarak ’in bir grupoid olduğunu gösterelim.

(iv) Herhangi üç nesneleri alalım. kümesinden ve şeklinde tanımlı iki morfizma düşünelim. ve ’nin birebir, örten ve lineer fonksiyonlar olduğunu biliyoruz. şeklinde tanımlı bileşke fonksiyonunun birebir, örten ve lineer olduğunu göstermeliyiz.

Sonuç olarak olur ve dolayısıyla öyle ki; şeklinde tanımlanabilir.(v) Herhangi iki nesneleri ve rastgele bir morfizması ele alalım. birebir ve örten olduğundan vardır. lineer bir fonksiyon olduğundan de lineerdir. Sonuç olarak olur. Bu örnekte morfizmalar fonksiyon olduğundan rastgele alınan , ve morfizmaları için aşağıdaki özellikler de sağlanmaktadır:•.

(iii) Rastgele bir nesnesi alalım. fonksiyonunun ’ten ’e giden bir morfizma olduğunu gösterelim. fonksiyonu bir yol olup bariz bir şekilde olur. Sonuç olarak denilir.

(iv) Rastgele alalım. Herhangi iki , morfizmalarını düşünelim. O zaman öyle ki iyi tanımlıdır, çünkü şeklinde uzayında bir yol belirtir. Sonuç olarak ’dir.

Grupoidin grup teorisindeki tanımı ile kategori teorisindeki tanımı birbirine denktir.İspatını yaparken, bir grupoidi, kategori teorisindeki gibi tanımlansın diyelim. Bu grupoidin grup teorisindeki tanımın özelliklerini sağladığını göstereceğiz.

grupoidi kategori teorisindeki tanıma göre ikisi de boş kümeden farklı nesneler kümesinden ve morfizmalar kümesinden oluşur. Bu kümelere sırasıyla ve diyelim. Rastgele bir nesnesi alalım. ’ten x’e giden morfizmaların kümesi 'in bileşim, tersinirlik ve özdeşlik özelliklerini sağladığını gösterelim.(i) Bileşim: Rastgele alalım. ’nin kategori teorisindeki tanımına göre ve tanımlıdır. Yine kategori teorisindeki tanıma göre özelliği sağlanır.

(ii) Tersinirlik: Herhangi bir morfizması alalım. Kategori teorisindeki tanıma göre her morfizmanın tersi vardır. Dolayısıyla ’nin de tersi vardır ve olur. Bu yüzden . Tekrar kategori teorisindeki tanıma göre ve olur. Sonuç olarak tersinirlik özelliği sağlanır.

(iii) Rastgele bir nesnesi olsun. şeklinde tanımlanır. Bu fonksiyonun kümesinin bir elemanı olduğunu gösterelim. ’nin grup teorisindeki grupoid tanımından dolayı ve özellikleri sağlanacağından olur.

(iv) Herhangi üç nesnelerini ele alalım. Rastgele iki , morfizmaları olsun. ’nın olduğunu gösterelim. olduğundan olur dolayısıyla ve elde edilir. Sonuç olarak, olur.

(v) Rastgele nesneleri ve morfizmasını ele alalım ve olduğunu gösterelim. , grup teorisindeki grupoid tanımını sağladığından olmaktadır. olduğundan ve sağlanmaktadır. Yine ’nin sağladığı tanımdan dolayı ve olduğu görülür. Sonuç olarak sağlanarak elde edilmiş olur.

ilişkisi, üzerinde bir denklik bağıntısıdır.Kanıtını şöyle açıklayabiliriz: olan rastgele bir alalım. Bariz bir şekilde olur. Dolayısıyla ’dir. Böylelikle bağıntısının simetri özelliğini sağladığı görülür.Rastgele alalım. ve olduğunu varsayalım ve olduğunu gösterelim.