Laurent serisi

Matematikte karmaşık bir fonksiyonun Laurent serisi ("Loran serisi" diye okunur) bu fonksiyonun negatif dereceli terimler de içeren kuvvet serisi temsilidir. Karmaşık fonksiyonların Taylor serileri açılımının mümkün olmadığı durumlarda bu fonksiyonları açıklamak için de kullanılabilir. Laurent serisi ilk defa 1843'te Pierre Alphonse Laurent tarafından yayınlanmış ve bu matematikçinin adını almıştır. Karl Weierstrass 1841'de bu seriyi bulmuş olabilir ancak o zamanda ilk yayınlayan olamamıştır.

İntegral yolu olan γ, kendini kesemeyen, c noktasını çevreleyen, f(z)'nin holomorf olduğu bir A halkasında yer alan kapalı, doğrultulabilir ve saat yönünün tersi yönlü bir yoldur.

f(z)'nin bu halkadaki herhangi bir yerdeki açılımı geçerlidir. Sağdaki diyagramda kırmızı ile gösterilen halka ile birlikte γ etiketli örnek bir integral yolu da gösterilmiştir. Uygulamada, bu formül nadiren kullanılır çünkü integralleri bulunması zordur; yerine Laurent serisi, bilinen Taylor serisi ile birleştirilir. Aşağıda anlatıldığı gibi başka ihtimaller olmasına rağmen, an ve c karmaşık sayıları genelde karmaşık sayı olarak alınır.

Daha genel olarak, Laurent serileri, diskte tanımlı holomorf fonksiyonları ifade etmekte kullanılan kuvvet serileri kadar, bir halka üzerinde tanımlı holomorf fonksiyonları ifade etmekte kullanılır.

Laurent serisi A := {z : r < |z - c| < R} açık halkasında yakınsar. Laurent serisi yakınsar denirken burada hem pozitif dereceli kuvvet serisinin hem de negatif dereceli kuvvet serisinin yakınsadığı denilmektedir. Dahası, bu yakınsaklık tıkız kümeler üzerinde düzgün olacaktır. Sonuçta, yakınsak seri açık halka üzerinde holomorf bir f(z) fonksiyonu tanımlar.

Halkanın sınırı üzerinde, iç sınırın üzerindeki en az bir noktada ve dış sınırın üzerindeki en az bir noktada f(z) 'nin holomorf bir şekilde bu noktalara devam ettirilemeyeceğini söylemek dışında genel bir yargıya varmak söz konusu değildir.

r 'nin sıfır olması veya R 'nin sonsuz olması da muhtemeldir ancak r 'nin R 'den küçük olması pek de muhtemel değildir. Bu yarıçaplar şu şekilde hesaplanabilir.

Böyle bir fonksiyonun Laurent açılımındaki a−1 katsayısına f(z) 'nin c noktasındaki kalıntısı adı verilir ve kalıntı teoreminde önemli bir role sahiptir.

Bir Laurent polinomu, sadece sonlu sayıdaki katsayısı sıfırdan farklı olan bir Laurent serisidir. Laurent polinomları diğer polinomlardan negatif dereceli terimler bağlamında ayrılırlar.

Eğer f 'nin esaslı kısmı sonlu bir toplamsa, o zaman f 'nin c noktasında negatif derecelerin negatifinin en büyüğüne eşit bir mertebeden kutbu vardır veya tersi bir şekilde, eğer esaslı kısım sonsuz bir seriyse, f 'nin c 'de esaslı tekilliği vardır.

f 'nin Laurent serisinin iç yakınsaklık yarıçapı 0 ise, o zaman bu ancak ve ancak şu halde olur: f 'nin c 'de ancak ve ancak esaslı kısmı sonsuz seri ise esaslı tekilliği vardır; öteki türlü bir kutbu vardır.

Eğer iç yakınsaklık yarıçapı pozitifse, f 'nin sonsuz sayıda negatif terimi olabilir ama hala c 'de yukarıdaki örnekte olduğu gibi düzenli olabilir ki bu sefer c etrafında farklı Laurent serileri ile temsil edilir.

Sonlu sayıda negatif terimleri olan bir Laurent serisi çok da heyecan verici değildir – ile bölünmüş bir kuvvet serisidir ve benzer bir şekilde incelenebilir. Ancak; sonsuz tane negatif terime sahip bir Laurent serisinin iç yakınsaklık çemberi üzerindeki davranışı karışık olabilir.

Cebirsel olarak, çarpımın terimlerinin ifadesi yakınsamak zorunda olmayan sonsuz toplamları içerebilir (tam sayı dizilerinin girşimi alınamaz). Geometrik olarak, iki Laurent serisinin örtüşmeyen yakınsaklık halkası olabilir.

Sadece sonlu sayıda negatif terimler içeren Laurent serileri çarpılabilir: cebirsel olarak, toplamların hepsi sonludur; geometrik olarak, bunların c noktasında kutupları vardır ve iç yakınsaklık yarıçapı 0'dır böylece her ikisi de örtüşen halkalar üzerinde yakınsar.

Benzer bir şekilde, yakınsak iki Laurent serisinin toplamı her zaman formel bir şekilde tanımlanmış olmasına rağmen yakınsak olmak zorunda değildir; ancak alttan sınırlı iki Laurent serisinin (veya herhangi bir delikli diskteki Laurent serisi) toplamının boş olmayan yakınsaklık halkası vardır.