Hamilton optiği

Hamiltonyan optik ve Lagrange optiği, matematiksel formülasyonlarının büyük bir kısmını Hamilton mekaniği ve Lagrange mekaniği ile paylaşan Geometrik optiğin iki formülasyonudur.

Lagrange’ın parametre ’ya, konumlara ve konumların ’ya göre türevlerine nasıl bağlı olduğuna bakılarak yeni bir diferansiyel denklem seti üretilebilir. Bu türetme, Hamiltonyen mekaniğindeki ile aynıdır, ancak şimdi zamanı genel bir parametre ile değiştirilmiştir. Bu diferansiyel denklemler iken Hamilton denklemleridir.

burada n, p'nin hesaplandığı kırılma indisidir. Vektör , ışığın yayılım yönünde işaret eder. Eğer ışık değişken indis optiğinde yayılıyorsa, ışık ışınının yolu eğridir ve vektörü ışık rayına teğettir.

Işığın ekseni boyunca ilerlediği varsayıldığında, yukarıdaki Hamilton denkleminde, ve koordinatları genelleştirilmiş koordinatlar rolünü alırken, σ parametresinin rolünü alır. Yani, parametre ve .

Gelen bir ışık ışını kırılma öncesinde ( düzleminin altında) momentumuna ve kırılma sonrasında ( düzlemi üzerinde) momentumuna sahiptir. Işık ışını kırılmadan önce ekseni (kırıcı yüzeyin normali) ile açısı ve kırılma sonrası ekseni ile açısı yapar. Momentumun ve bileşenleri sabit olduğu için yalnızca 'dan 'ye değişir.

burada i ve r, gelen ışın ve kırılmış ışın yönlerindeki birim vektörlerdir. Ayrıca, giden ışın ( yönünde) gelen ışın ( yönünde) ve yüzey normali ile aynı düzlemdedir.

, ışık ışınlarına teğet vektörü olduğundan, Sabit yüzeyler bu ışık ışınlarına dik olmalıdır. Bu yüzeylere Dalga Cephesi denir. Şekil "ışınlar ve dalga cepheleri" bu ilişkiyi göstermektedir. Ayrıca bir ışık ışınına tanjant ve dalga cephesine dikey olan optik momentum gösterilmiştir.

sonuçlarına varılır ve bunları birbirine bağlayan ışın boyunca ve noktaları arasındaki optik yol uzunluğu , ve noktaları arasındaki ışın boyunca optik yol uzunluğu ile aynıdır. Optik yol uzunluğu, dalga cepheleri arasında sabittir.

verilirse, hesaplanabilir (kırılma indisi değeri verilirse) ve bu nedenle , ışık ışınının yönünü belirlemek için yeterlidir. Işının seyahat ettiği ortamın kırılma indisi ifadesiyle belirlenir.

Örneğin, ışın eksenini, konumunda ortalayan yarıçapı olan bir çember üzerinde ucu bulunan optik bir momentum ile koordinatından kesmektedir. Koordinatını ve momentum 'nin yatay koordinatını , ışını 'yi, eksenini keserken tamamen tanımlar. Bu ışın daha sonra, şeklin alt kısmında gösterildiği gibi uzayında bir nokta ile tanımlanabilir. Uzay 'e faz uzayı denir ve farklı ışık ışınları bu alanda farklı noktalardan temsil edilebilir.

Bu durumda, en üstte gösterilen ışın , alttaki faz uzayında bir nokta ile temsil edilir. ve Işınları arasında bulunan koordinatında ekseni geçen tüm ışınlar, faz uzayında ve noktalarını birbirine bağlayan dikey bir doğru ile temsil edilir. Buna göre, ve ışınları arasında bulunan koordinatında eksenini geçen tüm ışınlar, faz uzayında ve noktalarını birbirine bağlayan dikey bir doğru ile temsil edilir. Genel olarak, ekseni ve arasında geçen tüm ışınlar, faz uzayında bir hacmi ile gösterilir. hacminin sınırındaki ışınlara kenar ışınları denir. Örneğin, ekseni koordinat 'da, ışınlar ve , diğer ışınlar bu ikisi arasında bulunduğu için kenar ışınlarıdır.

with ve verilirse, hesaplanabilir (kırılma indisinin değeri verilir) ve bu nedenle ve ışık ışınının yönünü belirlemek için yeterlidir. ekseni boyunca ilerleyen bir ışın daha sonra düzleminde bir nokta ve bir yönde tanımlanır. Daha sonra, dört boyutlu faz uzayı 'deki bir nokta ile tanımlanabilir.

En sağdaki terim, hacim V üzerindeki hacim integrali ve orta terim, hacim 'nin sınır 'sı üzerindeki yüzey integralidir. Ayrıca, , noktalarının hangi hareket ettiği hızdır.

zamanın rolünü üstlenir. Faz uzayında ışık ışını “hızı” ile ilerleyen bir nokta ile tanımlanır. Burada nokta ’e göre türevi temsil eder.

Faz uzayında bir dizi ışın tarafından kullanılan hacim, yönündeki optik sistemde ışık ışınları ilerledikçe korunan etendue olarak adlandırılır. Bu Liouville teorisine karşılık gelir ve bu da Hamilton mekaniği için de geçerlidir.

Bununla birlikte, mekanikte Liouville teoremi anlamı, eminin korunması teorisinden oldukça farklıdır. Liouville teoremi aslında doğasında istatistikseldir ve aynı özelliklere sahip, ancak başlangıç koşulları farklı mekanik sistemlerin bir topluluğunun zaman içindeki evrimini ifade eder. Her sistem, faz uzayında tek bir nokta ile temsil edilir ve teorem, faz uzayındaki noktaların ortalama yoğunluğunun zaman içinde sabit olduğunu belirtir. Buna bir örnek, konteynerde dengede mükemmel bir klasik gaz molekülü olacaktır. Bu örnekte boyutlarına sahip olan, faz uzayındaki her nokta, , molekül sayısıdır ve temsil eden noktaların yoğunluğunun istatistiksel bir ortalamasını almaya yetecek kadar büyük bir topluluk olan aynı kapların bir grubunu temsil eder. Liouville teoremine göre, tüm kaplar dengede kalırsa puanların ortalama yoğunluğu sabit kalır.

Şekil "etendue korunumu" solda, ve olduğu diyagramsal iki boyutlu bir optik sistemi gösterir, bu nedenle ışık x3 değerleri artan yönünde ilerler.

Noktanın noktasındaki optik giriş alanını geçen ışık ışınları giriş alanının (şeklin sağ alt köşesi) faz uzayında ve noktaları arasındaki dikey bir çizgi ile temsil edilen kenar ışınları ve arasında bulunur. Giriş alanını geçen tüm ışınlar faz uzayında bir bölge ile temsil edilir.

Ayrıca, noktanın x1 = x0 noktasındaki optik çıkış açıklığından geçen ışık ışınları, çıkış açıklığının faz uzayında ve noktaları arasında dikey bir çizgi ile gösterilen kenar ışınları ve arasında bulunur (sağ üst köşe şekli). Çıkış açıklığından geçen tüm ışınlar, faz uzayında bir bölge ile gösterilir.

Optik sistemdeki etenduenin korunması, giriş alanındaki tarafından işgal edilen faz uzayındaki hacmin (veya bu iki boyutlu durumda olan alanın) çıktı alanındaki tarafından işgal edilen faz uzayındaki hacim ile aynı olması gerektiği anlamına gelir.

Görüntülenen optikte giriş diyaframını 'de geçen tüm ışık ışını olarak çıkış deliğine doğru yönlendirilir. Bu, girişte bir büyütme ile çıktıda bir görüntü oluşturulmasını sağlar. Faz uzayında, bu, girişteki faz uzayındaki dikey çizgilerin çıktıda dikey çizgiler haline dönüştüğü anlamına gelir. Bu, 'da dikey çizgi 'nin 'da dikey çizgi 'ye dönüştürüldüğü durumda olurdu. Görüntüsüz optikte amaç, bir görüntü oluşturmak değil yalnızca giriş ışık aralığından çıkış diyaframına tüm ışığı aktarmaktır. Bu, 'nın kenar ışınları 'yi 'nun kenar ışınlarına dönüştürerek başarılır. Bu, kenar ışınları prensibi olarak bilinir.

ve koordinatları genelleştirilmiş koordinatlar rolünü alırken, parametre rolünü üstlenir, yani parametre ve 'dir. Bununla birlikte, genelleştirilmiş koordinatların kullanımı kadar, ışık ışınlarının farklı parametrizasyonları da mümkündür.

ve açıkça parametre 'ya bağlı değildir. Bu nedenle, Euler-Lagrange denklemlerinin tüm çözümleri ışık ışınları için mümkün olmayacaktır, çünkü türevleri optikte meydana gelmeyen üzerine 'nin açık bir bağımlılığa sahiptir.