Hipotez testi

Hipotez testleri bir örneklem ortalaması ile bu örneklemin çekilmiş olduğu düşünülen ortalama değer etrafındaki farkın anlamlı olup olmadığını (yani önemli bir fark olup olmadığını) saptayan testlerdir.

Eğer iki ana kütlenin ortalamaları arasındaki fark sınanıyorsa bunlardan çekilen örneklemlerin ortalamaları üzerinde hipotez testleri yapılarak farkın doğru olup olmadığı anlaşılabilir.

"H0 hatalı veya yanlıştır": Biz onun yanlış olduğunu bulduk; H0'ı reddettik. ((1-β) veya testin gücü ile bu çıkardığımız sonuç doğrudur .

"Güç", bir hipotez testinin isabetliliği için önemli bir kriterdir ve her zaman maksimize edilmek istenir. Güç'ün 1 çıkması o testin ideal olduğunu gösterir ama pratikte "Güç = 1" olan testlere çok nadir rastlanır.

I. Tür - α ve II. Tür - β tipi hatalar bilinçli olarak yapılan hatalardır. Burada bu hataların bilinçli yapılmasının sebebi olaylara bir de tersinden bakma gereksiniminden dolayıdır.

Hipotez testi yaparken, α ve β hatalarını en aza indirmek için örneklemdeki birim sayısını olabildiğince fazlalaştırmak gerekir. α hatası yapma olasılığı azalırsa β hatası yapma olasılığı artar. İki hatanın olasılığından biri azalırken diğeri artar. Aynı testte hem α hem de β hatası beraber yapılamaz. Hatasız bir test yapmak mümkün değildir. %1,0 doğru karar verilemez. Normal dağılım asimtotik olup x-ekseni ile kesişmediği için çok küçük de olsa bir risk söz konusudur.

Bir anakütleden "basit olasılık örnekleme yöntemi" kullanarak "n" örneklem büyüklüğü olan bir örneklem ele geçirilir; istenilen değerler ölçülür ve (x bar diye okunur) değerindeki örneklem ortalaması bulunur. Hipotez testi yönteminde araştırma hedefi bu örneklemin söz konusu anakütleden çekilmiş olup olamayacağını ya da kaynağı olan anakütleden çekilmiş olabilmesinin olasılığının ne olabileceğini ortaya koymaktır.

Bir alçı dolum makinesi μo=20 kg ortalama ağırlıklı alçı dolumu yaparken arıza yapar. Tamirci getirip tamir ettirilir. Acaba yine μo=20kglık dolum yapabilecek midir?

Ho: Elimizdeki örneklem anakütle ortalaması "Mo = 20kg" olan bir anakütleden çekilmiş bir rassal örneklem olup, örneklem ortalaması X- değeri anakütle ortalamasına eşit olarak kabul edilebilir. Aradaki 1,4 kg lık fark ise tesadüfe bağlanabilecek, önemli olmayan, anlam taşımayan çok küçük bir farktır. Dolayısıyla X- = Mo yazabiliriz. Yani elimizdeki örneklemin ait olduğu anakütle ortalamasını M ile gösteririz.

H1: Bu örneklem "Mo = 20kg" olan bir anakütleden çekilmiş bir rassal örneklem olamaz. Aradaki 1,4 kg lık fark tesadüfe bağlı değil, ayarlamanın yapılmamış olması nedeni ile gerçekleşmiştir. Bu kadarlık farkın tesadüfen ortaya çıkmış olması olasılığı çok küçüktür. Dolayısıyla dolum ayarı iyi olmadığı için istenenden daha hafif ya da daha ağır dolumlarla karşılaşmamız olasıdır. Bu örneklemin çekilmiş olduğu anakütle 20 kg olamaz. Örneklemimiz kendine ait başka bir anakütleden çekilmiş olmalıdır.

Hatasız bir test yapamayacağımız için her testte bir miktar yanılma riskimiz vardır. Bunu 0,05; 0,01; 0,005; 0,0001;... gibi bir düzey olarak benimseyebiliriz. Yanılma payımız küçüldükçe, teste olan güven düzeyimiz yükselir. O nedenle istatistikçiler olabildiğince az yanılma ile test yapmak isterler. Yine de α =0,05 ve α=0,01 düzeyleri en çok kullanılanlardır.

Elimizdeki veriler tartma yoluyla elde edilmiş sürekli, nitelik, nicel bir değişkene aittir. Bu tip veriler genelde normal dağılım gösterirler. Yani örneklemimiz "normal dağılım" lı bir anakütleden çekilmiştir. Anakütle sonsuz büyüklüktedir. Seçim iadesiz seçimdir ve tamamen rassal bir süreçle yapılmıştır. Yani torbaların ağırlıkları birbirini etkilememiştir. n>30 olduğu için büyük bir örneklem ile çalışıyoruz. Aynı anakütleden n=40 birimli pek çok sayıda örneklem çekmiş olsak, bunların X- ortalama dağılımı bir normal dağılım olur. Bu ortalamaların ortalaması anakütle ortalamasını verir. "kg" biriminden kurtulmak için X- ortalama değerlerini standardize edersek, verilerimiz z değerlerine dönüşür ve dağılımımız bir standart normal dağılım olan z dağılımı na dönüşür.

Ret alanı demek; normal dağılım eğrisi altında seçtiğimiz güven alanı (Ho'ın kabul alanı) dışında kalan Ho'ın reddedilmesini sağlayan küçük alanlardır. Ret alanı çift yönlü olabilir. (eksi taraf, artı taraf) veya tek taraflı olabilir. (Yani ya sol tarafta ya da sağ tarafta) Bunun anlaşılması için H1 hipotezine bakarız.

Elimizdeki örnekleme ait zh değeri örneklemin bir istatistiğidir. Bu istatistik yardımıyla hipotez testini sonuçlandıracağız. O nedenle, zh değerine Test İstatistiği adını veriyoruz.

Bir hipotez testinde; zh < zα ise; Ho kabul edilir. Bu elimizdeki X-in, M ye yakın kabul edilebilecek bir konumda (Ho'ın kabul alanında) bulunduğunu gösterir.

Eğer zh > zα ise; Ho reddedilir. Elimizdeki örneklemin, Mo ortalamalı bir anakütleden çekilmiş rassal bir örneklem olmayacağı çünkü böyle bir şeyin gerçekleşmesi olasılığının çok küçük (p<0,05 veya p<0,01) olduğu sonucuna ulaşılır.

Bu duruma göre: elimizdeki örneklemin ortalaması, ilgilendiğim anakütlenin ortalamasından çok uzağa düşen bir büyüklüktedir. O nedenle iki ortalama arasındaki farkı z değerine dönüştürdüğümde, bulduğum zh = 2,74 değeri de z0,05 = 1,96 nın ötesine düşmüştür. Yani %5'lik ret alanına düşmüştür. Bu durumda X- = Mo biçiminde ifade ettiğim ve oradan M=Mo düzeyine yükselttiğim Ho hipotezini kabul edemem. Demek ki, bu makine hatalı dolum yapmakta, ortalaması 20 kg olan dolumlar gerçekleştirememektedir. Aynı deneyi n=40 olan 100 örneklem ile tekrarlarsam, bunun 95inde gene aynı sonuçla karşılaşmayı beklerim. Belki yalnızca 5inde makinenin ayarı iyiymiş gibi hatalı bir sonuca ulaşabilirim.

İki örneklem ortalaması arasında gözlediğimiz farkın bir olasılık eseri olarak ortaya çıkmış, istatistik bakımından anlamlı olmayan, önemli olmayan küçük bir fark olduğunu düşünürüz.

Bu büyüklükteki zh değerinin olasılığa bağlı olarak ortaya çıkmış olması olasılığı (ihtimali) çok düşüktür. Bu olasılık (p değeri) seçtiğimiz α değerinden de küçüktür. Bu kadar küçük bir olasılıkla ortaya çıkan bu z değerini artık rastgeleliğe değil anakütlenin gerçekten farklı olmasına bağlarız.