Çift merkezli dörtgen

Öklid geometrisinde, bir çift merkezli dörtgen, hem bir iç teğet çembere hem de çevrel çembere sahip olan bir dışbükey (konveks) dörtgendir. Bu çemberlerin çevreleri, yarıçapları ve merkezlerine sırasıyla iç çap (inradius) ve çevrel çap (circumradius), iç merkez (incenter) ve çevrel merkez (circumcenter) denir. Tanımdan, çift merkezli dörtgenlerin hem teğetler dörtgeninin hem de kirişler dörtgeninin tüm özelliklerine sahip olduğu anlaşılmaktadır. Bu dörtgenler için diğer isimler kiriş-teğet dörtgeni ve iç teğet ve dış teğet dörtgenidir. Ayrıca nadiren çift çemberli dörtgen ve çift işaretlenmiş dörtgen olarak adlandırılmıştır.

İç içe iki çember, çift merkezli bir dörtgenin iç teğet çemberi ve çevrel çemberiyse, çevrel çemberdeki her nokta, aynı iç teğet çembere ve çevrel çembere sahip çift merkezli bir dörtgenin tepe noktasıdır. Bu, Fransız matematikçi Jean-Victor Poncelet (1788–1867) tarafından kanıtlanan Poncelet doğal sonucunun (porizminin) bir sonucudur.

, , , sırasıyla , , , 'nin orta noktaları ise, teğetler dörtgeni , ancak ve ancak dörtgeni bir dikdörtgense aynı zamanda kirişler dörtgenidir.

Başka bir nitelendirmeye göre, eğer , karşıt kenarların uzantılarının ve 'de kesiştiği bir teğetler dörtgenindeki iç teğet çemberin merkezi ise, o zaman dörtgen de, ancak ve ancak bir dik açı ise kirişler dörtgenidir.

Merkez etrafında yarıçaplı iç teğet çemberi ile başlar ve daha sonra  iç teğet çemberi içinde birbirine dik iki ve kirişleri çizilir. Kirişlerin uç noktalarında, iç teğet çembere , , ve teğetleri çizilir. Bunlar, çift merkezli bir dörtgenin köşeleri olan dört , , ve noktasında kesişir. Çevrel çemberi çizmek için, çift merkezli dörtgen sırasıyla ve kenarlarına iki dik açıortay ve çizilir. Dikey açıortaylar ve , çevrel çember 'nin merkezi 'da  iç teğet çember 'nin merkezi arasındaki mesafede kesişir. Çevrel çember, merkez etrafında çizilebilir.

Bu yapının geçerliliği, bir teğetler dörtgeni 'de, temas dörtgeni 'nin, ancak ve ancak teğetler dörtgeninin aynı zamanda kirişler dörtgeni olması durumunda dikey köşegenlere sahip olduğu nitelendirmesinden kaynaklanmaktadır.

Bu, Brahmagupta formülünün özel bir halidir. Ayrıca bir teğetler dörtgeninin alanı için trigonometrik formülden doğrudan türetilebilir. Tersinin geçerli olmadığına dikkat edin: Çift merkezli olmayan bazı dörtgenler de alanına sahiptir. Böyle bir dörtgene bir örnek, kare olmayan bir dikdörtgendir.

Teğet uzunlukları , , , ve iç teğet çemberinin yarıçapı olan çift merkezli bir dörtgen varsa, teğet uzunlukları , , , ve iç teğet çemberinin yarıçapı olan çift merkezli bir dörtgen vardır, burada herhangi bir gerçel sayı olabilir.

Bu eşitsizlik, L. Fejes Tóth tarafından 1948'de kanıtlanmıştır. Sadece iki çember eş merkezli olduğunda (birbirleriyle aynı merkeze sahip olduklarında) eşitlik geçerli olur; o zaman dörtgen bir karedir. Eşitsizlik, yukarıdaki alan için çifte eşitsizlik kullanılarak birkaç farklı şekilde kanıtlanabilir.

Üçgenler için Euler teoreminin analogu olan çift merkezli dörtgenler için Fuss teoremi, eğer bir dörtgen çift merkezli ise, iki ilişkili çemberin yukarıdaki denklemlere göre birbiriyle ilişkili olduğunu söyler. Aslında, tersi de geçerlidir: Fuss teoremindeki koşulu sağlayan merkezler arasında ve yarıçaplı ve iki çemberin merkezleri arasındaki uzaklık mesafeli iki çember (biri diğerinin içinde) verildiğinde, bunlardan birini çevreleyen ve diğerine içeriden teğet olan bir dışbükey dörtgen vardır. (ve sonra Poncelet kapanma teoremine göre, sonsuz sayıda vardır).

Çift merkezli bir dörtgende köşegenlerin uzunlukları, sırasıyla kirişler dörtgeni ve teğetler dörtgeninde sağlanan formüller olan kenarlar veya teğet uzunlukları cinsinden ifade edilebilir.

bir çift merkezli dörtgen ve , çevrel çemberin merkezi olsun. O zaman , , , gibi dört üçgenin iç teğet çemberlerinin merkezleri bir çember üzerinde yer alır.