Análise de freqüência conjugada


section_content: Neste trabalho é apresentada uma nova metodologia para determinação dos valores máximos de projeto das variáveis hidrológicas (precipitação e vazão). Essa metodologia, denominada Análise de Freqüência Conjugada (AFC), resulta da combinação dos procedimentos atualmente usados: metodologias probabilística e determinística Inicialmente são efetuadas análises críticas das metodologias atuais, com exemplos numéricos que demonstram suas inconsistências ou falhas que caracterizam a necessidade de revisão nos conceitos e nos procedimentos de cálculo dos valores máximos de projeto. 

A Análise de Freqüência Conjugada é conceituada através da combinação das virtudes dos métodos atuais e da coerência com o fenômeno físico. Assim, considera a série de valores observados das variáveis hidrológicas, seu comportamento estatístico e seus limites físicos, permitindo desenvolver análises de riscos de projetos hidráulicos de engenharia. 

A partir de uma série de variáveis hidrológicas observadas e o valor da Precipitação Máxima Provável (PMP) ou da Enchente Máxima Provável (EMP), são estimados, através de diferentes métodos, os parâmetros da distribuição probabilística. Esta distribuição tem um limite superior representado pelo valor da PMP/EMP, cuja probabilidade de excedência é considerada nula.
section_name: RESUMO

section_content: Freqüência Conjugada para a engenharia são apresentados alguns estudos de casos. 

A conclusão é que a Análise de Freqüência Conjugada representa um avanço em relação aos métodos atualmente utilizados, uma vez que é consistente com o fenômeno físico e permite atribuir probabilidades às variáveis hidrológicas, resultando em valores de projeto mais realistas e seguros.
section_name: Com o objetivo de caracterizar as importantes contribuições da Análise de

section_content: A determinação das precipitações e vazões de projeto (valores máximos) requeridas no dimensionamento de obras hidráulicas fluviais impõe estudos hidrológicos judiciosos, criteriosos e bem fundamentados. Os dimensionamentos de órgãos extravasores (vertedouros, descarregadores, válvulas dispersoras) e as definições das cotas da crista de barragens envolvem decisões de grande responsabilidade. Estas decisões estão vinculadas diretamente aos custos e à segurança do empreendimento, aos aspectos sócio-políticos e ambientais, incluindo muitas vezes até risco de perda de vidas humanas. 

O estado da arte na definição dos valores hidrológicos máximos (precipitação e vazão) de projeto pode ser resumido nas seguintes metodologias:

• Estatística ou Probabilística, utilizando a análise de freqüência de eventos observados; • Determinística, que utiliza análises hidrometeorológicas para determinação da Precipitação Máxima Provável (PMP) e da Enchente Máxima Provável (EMP). 

Na metodologia estatística são ajustadas distribuições probabilísticas às séries de valores máximos observados. Com base em diferentes critérios, alguns subjetivos, escolhe-se a distribuição de melhor ajuste. A partir desta distribuição são estimados, por extrapolação, os valores máximos de projeto, para diferentes períodos de recorrência. 

Essa metodologia apresenta vários aspectos que geram insegurança na determinação dos valores máximos relacionados a períodos de retorno muito superiores à extensão da série histórica. 

A metodologia estatística é fortemente dependente da extensão da série histórica. Além disso, a escolha da distribuição de melhor ajuste depende do julgamento do hidrólogo responsável pelos estudos. Outro aspecto relevante é a instabilidade gerada pela presença de um evento extraordinário na série de dados observados. 

Além da instabilidade dos valores máximos inferidos a partir desta metodologia, outro aspecto que merece crítica é a quase total desvinculação desses valores com a realidade física do fenômeno. Determinar-se um valor máximo com período de retorno de, por exemplo, 10. 000 anos a partir de uma distribuição probabilística escolhida através de critérios rigorosos, não garante que esse valor seja fisicamente possível de ocorrer, isto é, factível. 

Por sua vez, a metodologia determinística utiliza-se de dados hidrometeorológicos para inferir a enchente máxima provável (EMP), a partir da precipitação máxima provável (PMP), definida pela WMO (1973) como a maior altura pluviométrica fisicamente possível de ocorrer sobre uma bacia. No entanto, os projetos desenvolvidos com base na PMP/EMP não podem ser submetidos a análise de risco. Isto tem sido uma importante desvantagem nesta era de intensas pressões econômicas e acirrada competição por recursos. A prática atual está, de modo crescente, voltada aos métodos clássicos de análises de sistemas visando a otimização dos riscos, os quais requerem descrições probabilísticas das variáveis de decisão. 

Assim a ironia da situação atual é que, de um lado, a credibilidade da metodologia determinística vem sendo deteriorada pela falta de uma descrição probabilística objetiva. Por outro lado, a metodologia estatística perde credibilidade quando as distribuições probabilísticas são extrapoladas para faixa de valores de precipitação e Vazão da ordem de magnitude da PMP e da EMP, para as quais as probabilidades são "objetivamente" estimadas. 

Este dilema, presente nas discussões e trabalhos internacionais, nas áreas acadêmicas, de pesquisa e na prática da engenharia (National Research Council, 1988; Hydrology Subcommittee, 1986) é que inspirou este artigo. Seu propósito é apresentar um novo método que permita, para diferentes critérios de risco, definir com segurança os valores das variáveis hidrológicas (precipitação, vazão) de projeto.
section_name: INTRODUÇÃO

section_name: ANÁLISE DAS METODOLOGIAS ATUAIS

section_content: O método estatístico baseia-se na arrojada hipótese que as precipitações (diária, mensal, sazonal, totais anuais) e enchentes (vazão de pico, volume, etc. . . ) são variáveis aleatórias com populações infinitas, controlados por alguma fórmula matemática simples que pode ser aplicada com igual validade ao longo de toda a série, i. e., para todos os valores da variável, sendo mínimos ou máximos. A partir desta hipótese todo o objeto do assunto é desvinculado do campo da hidrometeorologia, ou física, e transformase em um apêndice da teoria da estatística matemática. 

A principal crítica a este método foi identificada e sintetizada há 50 anos por Moran (Moran, 1957) : ". . . a forma da distribuição não é conhecida e qualquer distribuição usada deve ser adivinhada. . . . . . uma vez que a parte da distribuição que nós estamos interessados está muito além da parte onde as observações forneceram alguma informação. . . . . . e [esta dificuldade] não pode ser resolvida através de um truque matemático de ilusionista". 

Com o objetivo de analisar o aspecto prático da aplicação desta metodologia, serão apresentados exemplos das afirmações acima mencionadas. Para isso, selecionou-se uma série de vazões máximas anuais e aplicou-se a metodologia usual de ajuste de distribuições probabilísticas para a definição das vazões de projeto. 

O exemplo a ser utilizado refere-se à série de vazões máximas anuais do Aproveitamento Múltiplo Jequitaí, localizado no rio Jequitaí. A série estende-se de 1948 a 1994, correspondendo a 47 anos de vazões máximas anuais. A vazão máxima referente ao ano hidrológico de 1978 (1. 991 m 3 /s) foi considerada um evento extraordinário ("outlier"), indicado pelo teste de Grubbs e Beck (1972 ), recomendado pelo "United States Water Resources Council" (1981). 

Análise da influência da extensão da série de valores -A partir da série de vazões máximas anuais, foram selecionadas 5 sub-séries de vazões máximas, respeitando a seqüência cronológica de ocorrência, conforme definido na Tabela 1.
section_name: Análise crítica do método estatístico

section_content: As séries de vazões são apresentadas na Tabela 2. 

Ashkar e Bobée (1989) sugeriram uma metodologia objetiva para a escolha da distribuição probabilística a ser adotada, definindo um diagrama MRD ("moment ratio diagrams"). Utilizando essa metodologia, verificou-se que a distribuição Log Pearson Tipo III é, neste caso, a mais adequada. 

Uma análise de diferentes métodos de determinação dos parâmetros recomendados para esta distribuição (Arora e Singh, 1989), concluiu que um dos mais adequados é o "method of mixed moments" (MM1), que será utilizado neste trabalho. 

Assim, ressalta-se que foram escolhidos a distribuição probabilística e o método de determinação dos parâmetros que geram o melhor ajuste com os valores observados. Aplicando-se essa metodologia para cada uma das séries de vazões, foram definidos os parâmetros da distribuição probabilística Log-Pearson Tipo III. 

A Figura 1 apresenta as curvas da distribuição probabilística Log-Pearson Tipo III ajustadas para as diferentes séries de vazões máximas. 

A Tabela 3 apresenta as vazões máximas para diferentes períodos de retorno, inferidas a partir das distribuições probabilísticas ajustadas a cada série de vazões. 

A análise da Tabela 3 e da Figura 1 permite verificar a significante diferença entre as vazões com períodos de retorno superiores a 100 anos, correspondendo aos valores usuais utilizados para definir as vazões de projeto. 

Assim, esse exemplo demonstra a forte dependência do método estatístico com a extensão da série de vazões e a insconsistência dos valores máximos inferidos utilizando-se a metodologia usual de ajuste de distribuições probabilísticas. Ressalta-se que a utilização de diferentes distribuições levaria a valores ainda mais discrepantes. 

Análise da influência da presença de "outliers" na série de valores -A análise a ser desenvolvida refere-se à influência da presença de eventos extraordinários ("outliers") na série de valores. A presença desses eventos é relativamente freqüente. Destaca-se, por exemplo, os eventos ocorridos entre os meses de junho e julho de 1983 na bacia do rio Paraná e, entre fevereiro Período Número de eventos Série de vazões máximas 1. 2. 3. 4. 5. 1948-1962 1948-1977 1948-1994 1974-1994 1964-1994 15 Vazões máximas (m³/s) série de vazões • não aceita que trata-se de um evento extraordinário e, conseqüentemente, as obras a serem executadas serão m a i s o n e r o s a s. N o e n t a n t o, pergunta-se: será que esta decisão não levou ao super-dimensionamento da obra?

Esses exemplos, que ocorreram e ocorrem no dia-a-dia da engenharia, são conseqüências da insegurança gerada pelo método estatístico que não impõe um limite superior aos eventos hidrometeorológicos. Uma vez que a extensão da série de valores é, invariavelmente, curta (≅ 60 anos) em relação à probabilidade de excedência dos eventos que pretende-se avaliar (TR=1. 000, 10. 000 anos) é sempre muito difícil caracterizar um evento extraordinário. 

O teste de Grubbs e Beck (1972) revelou que a vazão máxima referente ao ano hidrológico de 1978 (1. 991 m 3 /s) é considerada um evento extraordinário. Para exemplificar a influência da presença deste "outlier" na série, foi aplicado o método estatístico para os casos de inclusão e exclusão desse valor. 

Apresenta-se na Tabela 4 as vazões máximas para as diferentes probabilidades de excedência, inferidas a partir das distribuições probabilísticas ajustadas à série de vazões de 1948 a 1994, para os dois casos analisados. 

A Figura 2 apresenta as curvas obtidas para os casos de inclusão e exclusão do "outlier". 

A análise da Tabela 4 e da Figura 2 permite concluir que, utilizando-se o método estatístico, a inclusão do evento extraordinário na série de vazões provoca um incremento de 53 % na vazão milenar e de 81% na vazão decamilenar. Conseqüentemente, a decisão de considerar o "outlier" na série implicará em um aumento significativo do custo da obra podendo, até, inviabilizá-la. 

Por sua vez, excluir o "outlier" implicaria em considerar que este evento teria período de retorno da ordem de 1. 000 anos. Esta decisão levaria, certamente, ao questionamento da segurança da obra, uma vez que a vazão de projeto (TR = 10. 000 anos) seria 2. 682 m 3 /s, cuja magnitude não está muito acima da vazão observada ("outlier"). 

Assim, esse exemplo demonstra a significativa influência de "outliers" na determinação dos valores máximos através do método estatístico e a conseqüente insegurança gerada por essa metodologia na definição das vazões de projeto.
section_name: Tabela 1. Sub-séries de vazões máximas.

section_content: Período de retorno (anos) c/outlier s/outlier (%)

Vazões máximas Diferença (m 3 /s) 0,0001 0,0005 0,001 0,002 0,005 0,01 0,02 0,05 0,10
section_name: Probabilidade de excedência

section_content: A análise a ser desenvolvida refere-se à influência da magnitude dos valores mínimos de uma série de valores máximos na definição dos valores extremos (valores de projeto), utilizando-se o método estatístico. Análises similares foram desenvolvidas em trabalhos de Klemes (1986). 

Será desenvolvida uma análise comparativa dos valores extremos obtidos através do método estatístico de ajuste de distribuições, utilizando-se a série de vazões máximas de 1948 a 1994, excluindo-se o "outlier". Os 3 menores valores das séries de vazões máximas foram minorados e majorados, conforme apresentado na Tabela 5. 

Mantendo-se os demais valores e modificando esses 3 valores mínimos, resultaram 2 novas séries de vazões máximas, denominadas séries minoradas e majoradas. A mesma metodologia de ajuste da distribuição probabilística Log-Pearson Tipo III foi aplicada a essas 2 novas séries de vazões. 

A Figura 3 apresenta os valores originais das vazões máximas, com posição de plotagem definida pela fórmula de Weibull, e as curvas da distribuição ajustada. 

A Tabela 6 apresenta os valores máximos para diferentes probabilidades de excedência, inferidas através do método estatístico, para as séries original, minorada e majorada. 

A análise da Tabela 6 e da Figura 3 permite verificar que a minoração em 20% dos valores mínimos resulta em diminuição dos valores extremos (TR ≥ 1. 000 anos) de 4,6 a 8,4 %. Por sua vez, a majoração entre 12 a 20 % dos valores mínimos ocasiona o incremento dos valores extremos de 2,6 a 5,2%. 

Portanto, conclui-se que, no método estatístico, as pequenas modificações dos valores mínimos da série de valores máximos resulta em alterações, de mesma ordem de grandeza, nos valores extremos. Ressalta-se que a série utilizada é relativamente extensa e, portanto, a influência dos valores mínimos deveria ser ainda menos intensa. 

Esses resultados matemáticos apartam-se da realidade física, uma vez que não existe significado físico em verificar que o regime das enchentes mais intensas seria afetado pelo regime de vazões nos anos que praticamente não ocorreram enchentes (a vazão média de longo termo é de 51 m 3 /s). Da mesma forma, não existe significado físico na dependência entre a probabilidade de excedência de uma enchente catastrófica com o regime de vazões dos 3 anos menos severos.
section_name: Análise da influência dos valores mínimos da série de valores máximos -

section_content: Uma das etapas da metodologia estatística consiste em escolher uma distribuição probabilística que tenha habilidades descritiva e predictiva, conforme definido por Cunnane (1986). No entanto, devido à falta de bases sólidas para a escolha da distribuição que melhor atenda a estas habilidades, várias devem ser testadas e a decisão é tomada com base em técnicas visuais ou em critérios parcialmente objetivos, como testes estatísticos. 

Para exemplificar a subjetividade e, conseqüentemente, a insegurança gerada pelo método estatístico na escolha da distribuição probabilística, utilizou-se a série de vazões máximas de 1948 a 1994, excluindo-se o evento extraordinário de 1978. 

De acordo com o diagrama MRD ("moment ratio diagrams") definido por Ashkar e Bobée (1989), as seguintes distribuições são recomendadas: Log-Normal, Weibull, Gama, Gama Generalizada, Pearson Tipo III e Log Pearson Tipo III. Uma vez que a distribuição de Weibull (Valores Extremos Tipo III) é mais indicada para estudos probabilísticos de vazões mínimas, optou-se por utilizar em seu lugar a clássica distribuição de Gumbel (Valores Extremos Tipo I). 

As distribuições probabilísticas foram ajustadas aos dados e os parâmetros foram determinados pelo método dos momentos. As distribuições ajustadas atenderam ao critério das vazões observadas estarem contidas dentro dos limites de confiança. Assim, qualquer uma das distribuições poderia ser justificada com base no bom ajuste. 

A Figura 4 apresenta, no mesmo gráfico, os pontos correspondentes às vazões máximas observadas e às curvas das diferentes distribuições ajustadas. 

A Tabela 7 apresenta, para cada uma das distribuições, as vazões máximas para diferentes probabilidades. 

As análises da Figura 4 e da Tabela 7 permitem verificar que todas as curva das diferentes distribuições apresentam um ótimo ajuste em relação aos pontos correspondentes aos valores observados. Em decorrência da própria metodologia, as curvas das distribuições praticamente se sobrepõem na faixa dos dados observados. No entanto, verifica-se que as distribuições apresentam uma forte divergência das curvas para períodos de retorno acima de 200 anos, apresentando até 44 % de diferença. 

Conceitualmente, esse caso exemplifica que o bom ajuste da distribuição em relação aos pontos, ou seja, a habilidade descritiva, não garante a consistência da extrapolação, ou seja, a habilidade predictiva. Ao hidrólogo e, muitas vezes, ao decisor fica a pergunta: "Qual distribuição escolher?". 

Assim, não há procedimento estatístico que assegure confiabilidade às extrapolações computadas. As extrapolações sempre suscitam controvérsias, uma vez que irão depender dos critérios do hidrólogo responsável pelo estudo. Além disso, a adoção arbitrária de distribuições ajustadas às séries de valores máximos, em geral com períodos muito inferiores aos que se pretende prever, sempre gera dúvidas. 

A grande maioria das distribuições probabilísticas ajustadas às séries de valores máximos tem seu limite superior convergindo para + ∞. Este limite teórico contraria a mais evidente realidade física colocando, a priori, em suspeição as previsões obtidas por extrapolação analítica efetuada na cauda superior da distribuição. 

O ajuste de distribuições de forma estatísticamente satisfatória, via de regra, aparta-se da realidade física em sua cauda superior, onde são efetuadas as previsões com base em extrapolações analíticas, não dispondo-se de um valor ou parâmetro para controlar este procedimento.
section_name: Análise conceitual do método estatístico -escolha da distribuição -

section_content: A metodologia determinística desenvolve análises hidrometeorológicas através das quais determina a precipitação máxima provável (PMP) e a enchente máxima provável (EMP). Esta metodologia tem a vantagem inerente em fazer um esforço conciso para embasar seu desenvolvimento em considerações físicas relevantes. Além disso, essa metodologia apresenta a característica de ser implicitamente regional, como conseqüência do procedimento para estimativa da PMP. 

Esta metodologia é fundamentada na hipótese que os mecanismos físicos que regem a dinâmica interna de um fenômeno são relativamente estáveis e os seus processos componentes elementares operam dentro de limites finitos, os quais são razoavelmente representados através das séries de dados observados de 50 a 100 anos. Os eventos extremos deste processo são interpretados como combinações raras de fenômenos elementares relativamente usuais. Uma vez que estes fenômenos elementares são considerados como tendo uma limitação física, por conseqüência os eventos extremos, também, são considerados limitados. O principal objetivo e desafio desta metodologia é determinar os supostos limites superiores dos processos componentes e sua combinação factível, a partir das observações e da teoria física. 

Por definição, a PMP tem probabilidade de não-excedência igual a 1,0, ou seja, representa o limite físico máximo. Da mesma forma, a EMP, definida a partir da PMP e das características fisiográficas da bacia hidrográfica, representa o limite físico máximo em termos de vazão e, assim, tem probabilidade de não-excedência igual a 1,0. 

As maiores objeções à metodologia determinística são mais de natureza operacional do que uma questão de princípios. Em termos gerais, embora seja apreciável que se considere que os processos hidroclimáticos operam dentro de limites finitos, ainda não está claro quais são esses limites, com algumas exceções como umidade relativa, umidade do solo, temperatura do estado líquido da água e outros semelhantes. Também ainda não está amplamente compreendida a relação entre os processos elementares para sua aplicação totalmente objetiva e sem freqüentes hipóteses arbitrárias e mutuamente contraditórias. 

Os valores da PMP/EMP vêm raramente acompanhados por estimativas do seu grau de precisão. Occhipinti (1989) afirma categoricamente que "não existe meio objetivo de avaliar a precisão da PMP". No entanto, este fato acaba por gerar um contraste entre a aparente precisão das estimativas e a sua imprecisão intrínseca caracterizada pelo termo "provável". Conseqüentemente, a metodologia fica sujeita a críticas da consistência conceitual do seu procedimento. 

Em termos práticos, como uma enchente é formada a partir de uma combinação muito desfavorável de eventos que foram realmente observados, a EMP pode ser considerada como uma representação satisfatória da ordem de magnitude de um limite, o qual as enchentes, causadas por mecanismos meteorológicos e hidrológicos usuais, podem realmente atingir, com base no atual estado de compreensão destes mecanismos. Analogamente, um argumento similar é válido para a PMP. Ressalta-se que este conceito prático é ainda mais razoável quando esta definição está relacionada a um período pré-definido como, por exemplo, a vida útil de uma determinada obra. 

Por último, ressalta-se que a maior crítica à metodologia determinística está no campo prático das decisões, que devem ser fundamentadas em algum tipo de análise de risco -como é o caso das decisões da vazão de projeto do vertedouro ou na verificação da segurança de barragens -e onde formulações probabilísticas são indispensáveis, uma vez que, de outra forma, os resultados de soluções alternativas não podem ser comparadas de forma efetiva. Por outro lado, a grande vantagem dessa metodologia está na sua abertura para progredir através do avanço da geofísica e do maior entendimento dos fenômenos hidro-climáticos.
section_name: Análise crítica do método determinístico

section_content: Pelo exposto neste item, fica evidenciado que a metodologia probabilística é inconsistente e desconsidera o comportamento físico das variáveis hidrológicas, restringindo-se a procedimentos matemáticos. Por sua vez, a metodologia determinística desconsidera o comportamento estatístico dessas variáveis e não permite inferir uma distribuição probabilística que possibilite uma avaliação de risco. 

Desta forma, caracteriza-se a necessidade de se desenvolver uma nova metodologia que considere o comportamento estatístico das variáveis hidrológicas, respeitando os seus limites físicos determinados através da metodologia determinística e que, a despeito das imprecisões dos valores da PMP/EMP permita inferir, com segurança, as suas distribuições probabilísticas. 

Klemes (KLEMES, 1996 a) afirma que: "A fundamental, ainda que não reconhecida, razão pela qual cada escola defende sua metodologia e rejeita a outra, não é tanto devido a inabalável confiança na sua exclusiva precisão, mas sim ao fato que ninguém sabe como combinar as duas metodologias enquanto, do outro lado, todos sentem uma pressão para fazer alguma coisa, de produzir resultados, sejam eles trabalhos científicos ou decisões de engenharia".
section_name: Conclusões

section_content: As chuvas máximas observadas nas bacias hidrográficas, assim como as máximas enchentes, tendem a alcançar um limite superior que depende de suas características fisiográficas e hidrometeorológicas. Os picos e volumes de hidrogramas têm um limite físico superior ditado pelo contexto hidrogeográfico de sua bacia. 

Estes limites dos processos hidrológicos são avaliados pelo método determinístico através de estudos hidrometeorológicos, resultando na PMP e na EMP. 

Assim, as distribuições probabilísticas compatíveis com o conceito da PMP/EMP e com a realidade física teriam um limite superior finito, para o qual sua cauda superior deveria desenvolver-se. A Análise de Freqüência Conjugada a ser apresentada é desenvolvida com base neste conceito.
section_name: ANÁLISE DE FREQÜÊNCIA CONJUGADA Conceituação

section_content: O objetivo de inferir os valores máximos para diferentes intervalos de recorrência leva à necessidade de utilizar-se uma distribuição probabilística. Por sua vez, esta distribuição deve ajustar-se satisfatoriamente aos valores máximos da série histórica e ter como limite superior a EMP ou a PMP. Desta forma, as características que constituem um modelo de previsão nos limites da realidade física e que oferecem respostas satisfatórias para as inconsistências verificadas nas metodologias existentes são apresentadas a seguir:

• a probabilidade de não-excedência da PMP ou da EMP é igual a 1,0; • os valores de projeto com probabilidade de não-excedência superior ao do valor máximo da série e inferior às da PMP ou da EMP sejam inferidos por interpolação, ao invés de extrapolação, resultando sempre em valores compreendidos dentro de um intervalo de magnitude factível; • o valor da PMP ou da EMP esteja sempre incluido como limite superior da distribuição cujos parâmetros serão obtidos por métodos de estimativas, aplicados diretamente aos dados da série histórica; • a distribuição probabilística ajustada não esteja sujeita às variações significativas em função da inclusão de eventos extraordinários ou da extensão da série de dados. 

Sendo um limite superior, seu valor terá probabilidade de não-excedência unitária, ou seja, F(VMP) =1,0. Substituindo-se a Equação (2) em ( 1 ), e atendendo às considerações de nomenclatura feitas anteriormente, tem-se:
section_name: Características fundamentais da distribuição de valores máximos

section_content: Dentre os vários métodos para estimação dos parâmetros da distribuição, escolheu-se para apresentar neste artigo o método da máxima verossimilhança. Outros métodos são apresentados por Garcia (1996). Essa estimativa dos parâmetros û e da distribuição probabilística da Análise de Freqüência Conjugada (Equação 4) é desenvolvida definindo-se, inicialmente, a função de verossimilhança apresentada a seguir:
section_name: Determinação dos parâmetros da distribuição

section_content: Para definição da Análise de Freqüência Conjugada pesquisou-se dentre as diferentes distribuições probabilísticas as que apresentassem as seguintes características:

• assintótica a um valor máximo definido;

• flexível, permitindo o ajuste para diferentes séries de valores máximos; • que os parâmetros fossem de fácil definição, para diferentes séries de valores. 

Escolheu-se para compor a Análise de Freqüência Conjugada a distribuição probabilística dos Valores Extremos Tipo lII (EV3), uma vez que atende aos aspectos conceituais e práticos. A função da distribuição de freqüência acumulada é apresentada a seguir:

(1) onde x é um valor máximo qualquer, α é o parâmetro de escala (α > 0), k é o parâmetro de forma e u é o parâmetro de localização. 

A distribuição probabilística EV3 tem k > 0, é definida por 3 parâmetros e tem uma forma assintótica com um limite superior, onde. A aplicação desta distribuição à Análise de Freqüência Conjugada requer as seguintes considerações iniciais:

• a variável x será renomeada como V, nome genérico para os valores máximos de precipitações e/ou vazões; • VMP é o valor máximo provável, nome genérico para a PMP e a EMP. 

Introduzindo-se nesta distribuição o conceito de VMP, tem-se que:

(2). Desta forma, o cálculo destes parâmetros deve ser feito através de um processo iterativo. A substituição da Equação ( 7 ) em ( 8 ), resulta em:

(11)

A solução do sistema de equações é obtida quando a função A( ), definida pela Equação (11), for nula. Uma vez que o parâmetro k é sempre positivo e, em termos práticos, maior que 1,0, a análise da Equação (11) permite concluir que a função A( ) é decrescente com o incremento de. 

Devido a esta característica da função A( ), optou-se por utilizar o método da bissecção para determinar os parâmetros da distribuição û e. A Figura 5 apresenta o fluxograma do processo iterativo.
section_name: Análise de freqüência conjugada

section_content: Este item apresenta alguns estudos de casos da Análise de Freqüência Conjugada. Para permitir a comparação, os exemplos apresentados são os mesmos utilizados na análise do método estatístico.
section_name: ESTUDOS DE CASOS Introdução

section_content: A partir da série de vazões máximas anuais do A. M. Jequitaí, foram selecionadas 5 sub-séries de vazões máximas, conforme apresentado na Tabela 2. A posição de plotagem das vazões da série foi definida pela fórmula de Weibull e os parâmetros foram definidos através do método da máxima verossimilhança. 

Aplicando-se a Análise de Freqüência Conjugada para cada uma das séries de vazões, foram definidos os parâmetros da distribuição apresentados na Tabela 8. 

Com objetivo ilustrativo, apresenta-se na Figura 6 a curva da distribuição acumulada para a série de vazões 1948-1994, ajustada pela Análise de Freqüência Conjugada. 

Percebe-se a forma assintótica do ramo superior da curva da distribuição, compatível com o fenômeno físico. Ressaltase que, embora a escala horizontal esteja limitada a 2. 500 m 3 /s, a curva é assintótica à EMP (6. 050 m 3 /s). 

As curvas da distribuição probabilística ajustadas para as diferentes séries são apresentadas na Figura 7. 

A Tabela 9 apresenta as vazões máximas para diferentes períodos de retorno, inferidas a partir das distribuições ajustadas. 1948-1962 1948-1977 1948-1994* 1974-1994* 1964-1994 Figura 6. Análise de freqüência conjugada -exemplo da distribuição probabilística. 

Tabela 9. Análise da influência da extensão das séries de valores. 

* A vazão do ano hidrológico de 1978 foi eliminada por ser considerada um "outlier". 

A análise da Tabela 9 e da Figura 6 permite verificar que, para toda a gama de probabilidades, a diferença entre as vazões é, no máximo, de 11 %. Esta diferença é pouco significativa em termos tanto de segurança da barragem, quanto no aspecto de custo do vertedouro ou da obra. 

Assim, através deste exemplo, demonstra-se que a Análise de Freqüência Conjugada depende muito pouco da extensão da série de vazões e os valores obtidos para as vazões de projeto (por exemplo, TR = 10. 000 anos) não diferem significativamente.
section_name: Análise da influência da extensão da série de valores

section_content: A análise a ser desenvolvida refere-se à influência da presença de eventos extraordinários ("outliers") na série de valores. Para verificar esta influência, foi aplicada a Análise de Freqüência Conjugada para a série completa de vazões máximas anuais, com e sem o "outlier". Na Tabela 10 são apresentados os parâmetros da distribuição probabilística, obtidos pelo método da máxima verossimilhança, para os dois casos:

A Tabela 11 apresenta as vazões máximas para as diferentes probabilidades de excedência. 

A Figura 8 apresenta as curvas obtidas para os casos de inclusão e exclusão do "outlier". 

A análise da Tabela 11 e da Figura 8 permite concluir que, utilizando-se a Análise de Freqüência Conjugada, a inclusão do evento extraordinário na série de vazões máximas não altera, significativamente, as vazões de projeto. 

Verifica-se que a inclusão do "outlier" provoca um incremento de, apenas, 11 % na vazão milenar e decamilenar. Conseqüentemente, utilizando-se a Análise de Freqüência Conjugada, a decisão de considerar o "outlier" na série de vazões implicará em um pequeno aumento no custo da obra. 

Assim, este exemplo demonstra a diminuta influência de eventos extraordinários ("outliers") na determinação dos valores máximos e na definição das v a z õ e s de projeto utilizando a Análise de Freqüência Conjugada. Tabela 11. Análise da influência da presença do "outlier". 

Figura 8. Análise de freqüência conjugada -análise da influência da presença do "outlier".
section_name: Análise da influência da presença de "outliers" na série de valores

section_content: A análise a ser desenvolvida, semelhante à apresentada no item 2, referese à verificação da influência da magnitude dos valores mínimos de uma série de valores máximos na definição dos valores extremos, utilizando a Análise de Freqüência Conjugada. Para essa análise, utilizou-se a série de vazões máximas do A. M. Jequitaí, excluindose o "outlier". 

Foram selecionados os 3 menores valores das séries de vazões e minorados e majorados seus valores, da mesma forma que no item "Análise da influência dos valores mínimos da série de valores máximos", resultando duas novas séries de vazões máximas denominadas séries minoradas e majoradas. A Análise de Freqüência Conjugada foi aplicada a essas séries de vazões, utilizando o método da máxima verossimilhança para a determinação dos parâmetros. Na Tabela 12 são apresentados os parâmetros da distribuição para cada uma das séries. 

A Figura 9 apresenta os valores originais das vazões máximas observadas com posição de plotagem definida pela fórmula de Weibull e as curvas da distribuição probabilística ajustadas. 

A Tabela 13 apresenta os valores máximos para diferentes probabilidades de excedência, inferidas através da Análise de Freqüência Conjugada para as séries de vazões máximas original, minorada e majorada. 

A análise da Tabela 13 e da Figura 9 permite verificar que a minoração em 20% dos valores mínimos da série de vazões resulta em diminuição dos valores extremos de, no máximo, 2,1 %. Por sua vez, a majoração entre 12 a 20 % dos valores mínimos da série de vazões resulta no incremento dos valores extremos de, no máximo, 2,9 %. Assim, constata-se que, na Análise de Freqüência Conjugada, os valores extremos não são influenciados significativamente pelos valores mínimos da série de valores máximos. Isto mostra que a forma da cauda superior da distribuição sugerida pela Análise de Freqüência Conjugada é, em grande parte, independente da forma da cauda inferior. 

Este comportamento revela que a Análise de Freqüência Conjugada está em concordância com o bom senso, ou seja, mostra a independência entre a probabilidade de excedência de uma enchente catastrófica com o regime de vazões dos anos menos severos. Os parâmetros da distribuição foram obtidos pelo método da máxima verossimilhança e são apresentados na Tabela 14.
section_name: Análise da influência dos valores mínimos da série de valores máximos

section_content: A Figura 10 apresenta as vazões máximas observadas com posição de plotagem definida pela fórmula de Weibull e as curvas da distribuição ajustadas para o valor original da EMP e para as variações de 20%. 

A Tabela 15 apresenta os valores máximos para diferentes probabilidades de excedência para os diferentes valores da EMP. 

A análise da Tabela 15 e da Figura 10 permite verificar que as variações de 2 0 % n o valor da EMP refletem-se em variações de, no máximo, 2,3 % nos valores extremos. Isto se deve ao comportamento assintótico do ramo superior da distribuição. 

Portanto, constata-se que as variações no valor da EMP devido, por exemplo, às imprecisões, não influenciam significativamente as vazões extremas.
section_name: Análise de sensibilidade dos valores extremos em relação ao VMP

section_content: Pelo exposto neste item, fica evidenciado que a Análise de Freqüência Conjugada é consistente e reflete o comportamento físico das variáveis hidrológicas. Além disso, considera o comportamento estatístico das variáveis hidrológicas permitindo inferir uma distribuição com limite superior que, por sua vez, possibilita uma avaliação de risco. Verifica-se, também, que a imprecisão do VMP e as incertezas inerentes ao cálculo não resultam em diferenças significativas nos valores extremos inferidos.
section_name: Conclusões

section_content: Com o objetivo de desenvolver uma análise comparativa final entre a metodologia estatística utilizada atualmente e a conjugada, proposta nesta tese, de forma a caracterizar a contribuição deste trabalho para os projetos de engenharia de obras hidráulicas, optou-se por aplicar estas duas técnicas ao mesmo conjunto de dados. Estes dados referem-se à série de vazões máximas anuais do A. M. Jequitaí e os exemplos de aplicação foram apresentados nos itens "Análise das Metodologias Atuais" e "Estudos de Casos". 

A análise comparativa pode ser feita confrontando-se as Tabelas 3, 4 e 6, referentes ao método estatístico, com as Tabelas 9, 11 e 13, correspondentes à Análise de Freqüência Conjugada. A comparação das diferenças dos valores das vazões máximas inferidas permite constatar que a Análise de Freqüência Conjugada é mais consistente e estável. 

Outro aspecto importante na Análise de Freqüência Conjugada é que as imprecisões do procedimento de cálculo do método determinístico na definição da VMP não resultam em variações significativas dos valores extremos das variáveis hidrológicas, limitadas ao período de retorno de 10. 000 anos. Não obstante, ressalta-se que os progressos que forem sendo conseguidos no cálculo da VMP, através das pesquisas que estão sendo desenvolvidas e da maior precisão nas observações das variáveis hidrometeorológicas, resultarão no conseqüente aprimoramento da Análise de Freqüência Conjugada. 

Quanto ao aspecto conceitual, a Análise de Freqüência Conjugada tem a vantagem de transformar as extrapolações do método estatístico através de curvas de distribuições definidas com base em poucas observações, com limite infinito e forma convexa em interpolações com limite superior e forma assintótica, traduzindo, o que é intuitivo em relação à realidade física desses fenômenos. 

Maiores detalhes, estudos de casos adicionais e um programa computacional para cálculo dos valores extremos podem ser encontrados em Garcia (1996).
section_name: COMENTÁRIOS FINAIS

section_content: A Análise de Freqüência Conjugada apresenta-se como uma nova metodologia para definição de valores extremos de variávies hidrológicas, com as seguintes características:

• considera a série de dados hidrológicos observados; • considera a existência de um limite superior das variáveis hidrológicas; • define uma curva de distribuição probabilística e, através desta, permite a determinação dos valores máximos de projeto por interpolação; • revela-se consistente, uma vez que a extensão da série de dados hidrológicos observados, a presença de "outliers" e a variação dos menores valores da série de máximos tem pouca influência nos valores máximos inferidos. 

Conclui-se que a Análise de Freqüência Conjugada é mais consistente, precisa e segura que o método estatístico utilizado atualmente. Além disso, tem a vantagem em relação ao método determinístico de, considerando o limite superior inferido por este (VMP), determinar a curva de distribuição probabilística, permitindo análises de riscos, fundamentais para decisões em relação às obras hidráulicas, como é o caso das definições da vazão de projeto do vertedouro ou da verificação da segurança de barragens.
section_name: CONCLUSÃO

section_name: Constrained Frequency Analysis

section_content: In this thesis a new methodology for the calculation of extreme hydrologic variables (rainfall and flow) for the design of hydraulic structures is presented. This approach is derived from the combination of the current procedures: the probabilistic and the deterministic approaches. 

Initially, critical analysis of the current approaches are carried out, with numerical examples that demonstrate their inconsistencies, pointing out the need of concepts revision and improvement of the procedures for calculation of extreme hydrologic design variables. 

The constrained frequency analysis is characterized through the combination of the virtues of the current approaches and the coherence with the physical phenomenon. Therefore, considers the hydrologic variables series, its statistical behavior and its physical limits, allowing the risk analysis of engineering hydraulic projects. 

From a series of hydrologic variables and the value of the Probable Maximum Precipitation (PMP) or the Probable Maximum Flood (PMF), the propabilistic distribution parameters are estimated using different methods. The proposed distribution has an upper bound represented by the PMP/PMF value, whose exceedance probability is considered null. 

Aiming to highlight the main contributions of this new approach to engineering, some study cases series are presented. 

The conclusion is that the constrained frequency analysis approach represents an improvement in comparison with the current methods, once is consistent with the physical phenomenon and allows the assignment of probabilities to the hydrologic variables, resulting in design values that are more safe and realistic.
section_name: ABSTRACT