Identificação de Danos Estruturais utilizando Dados no Domínio do Tempo e Critério D-ótimo

The present work deals with the damage identification problem in mechanical structures from their impulse response. In the adopted model, the structural integrity is continually described by a cohesion parameter and the finite element model (FEM) is used to spatially discretize the displacement and cohesion fields. The damage identification problem is then posed as an optimization one, whose objective is to minimize, with respect to the vector of nodal cohesion parameters, a functional based on the difference between the experimentally obtained impulse response and the corresponding one predicted by an FEM of the structure. The damage identification problem built on the time domain presents some advantages, as the applicability in linear systems with high levels of damping an/or closed spaced modes, and in nonlinear systems. Numerical studies were carried out considering a simply supported Euler-Bernoulli beam. The D-optimal criterion was considered with the aim at determining the optimal position of the displacement sensor. The Differential Evolution (DE) optimization method was considered to solve the inverse problem of damage identification. Numerical analysis were carried out in order to assess the influence, on the identification results, of noise in the synthetic experimental data and of the sensor position. The presented results shown the potentiality of the proposed damage identification approach and also the importance of the optimal experiment design for the quality of the damage identification results.

section_content: distintos podem contribuir para tais acontecimentos, como fatores naturais e outros provocados pelo homem. 

O desenvolvimento de procedimentos de identificac ¸ão de danos é indispensável para garantir a seguranc ¸a e aumentar a vida útil da estrutura. Nos últimos anos, técnicas não destrutivas de identificac ¸ão de danos estruturais, fundamentadas na resposta dinâmica da estrutura, vem se tornando uma prática utilizada nas indústrias da construc ¸ão civil, mecânica e aeroespacial [4]. O contínuo monitoramento da estrutura e a identificac ¸ão de danos num estágio inicial contribuem para a reduc ¸ão dos custos de manutenc ¸ão e reparo, além de aumentar sua confiabilidade e vida útil. 

As técnicas de identificac ¸ão de danos fundamentados na resposta dinâmica da estrutura são, de forma geral, classificados em três tipos, de acordo com o domínio dos dados utilizados: técnicas no domínio do tempo [2], técnicas no domínio da frequência [5] e técnicas modais [8]. O presente trabalho considera a identificac ¸ão de danos a partir da resposta impulsiva da estrutura, sendo portanto, uma técnica fundamentada no domínio do tempo. 

Neste trabalho, estuda-se o problema de identificac ¸ão de danos estruturais em uma viga de Euler-Bernoulli simplesmente apoiada. A resposta impulsiva da estrutura foi considerada na formulac ¸ão do problema inverso. O trabalho é organizado como se segue. Na formulac ¸ão do problema direto apresenta-se a definic ¸ão do parâmetro de coesão β, utilizado para descrever o estado de dano na estrutura [6], e o modelo matemático do problema direto de vibrac ¸ões de uma viga de Euler-Bernoulli no domínio do tempo, via MEF. Na formulac ¸ão do problema inverso, é apresentada, de forma sucinta, o problema de identificac ¸ão de danos a ser resolvido. Nos resultados numéricos é apresentada a estratégia utilizada para a escolha do posicionamento ótimo do sensor de deslocamento e os resultados referentes à estimac ¸ão dos parâmetros nodais de coesão de uma viga de Euler-Bernoulli simplesmente apoiada. São considerados dados experimentais sintéticos corrompidos com ruído aditivo. Foi utilizado o método de otimizac ¸ão ED com o propósito de solucionar o problema inverso de identificac ¸ão de danos e foi utilizado o software MATLAB para a implementac ¸ão das simulac ¸ões numéricas. Por último, são apresentadas as conclusões obtidas com a presente pesquisa e são realizadas algumas sugestões para trabalhos futuros.

section_content: Na estratégia de identificac ¸ão de danos adotada, a integridade da estrutura é considerada como sendo continuamente descrita, no domínio do corpo, por um parâmetro estrutural denominado parâmetro de coesão (β) [6]. Este parâmetro está relacionado com a ligac ¸ão entre os pontos materiais e pode ser interpretado como uma medida do estado de coesão local do material, onde 0 ≤ β ≤ 1. Se β = 1, considera-se que todas as ligac ¸ões entre os pontos materiais foram preservadas, ou seja, não há defeito na estrutura. Se β = 0, considera-se uma ruptura local, pois todas as ligac ¸ões entre os pontos materiais foram desfeitas. 

Neste trabalho, considerou-se que o dano afeta apenas as propriedades elásticas da estrutura, hipótese comumente adotada na literatura. Deste modo, a matriz de rigidez do MEF da estrutura pode ser escrita como

onde H é o operador diferencial discretizado, E 0 e I 0 são, respectivamente, os valores nominais do módulo de elasticidade e do momento de inércia de área da sec ¸ão transversal da viga e β representa o campo de coesão no domínio elástico da estrutura. Deve-se enfatizar que a discretizac ¸ão do campo de coesão β não depende da discretizac ¸ão do campo de deslocamentos, de forma que diferentes malhas podem ser adotadas. 

Considerando um elemento de viga, de comprimento l e, com dois graus de liberdade por nó e o campo de coesão, em seu interior, interpolado por func ¸ões lagrangeanas lineares a partir dos parâmetros nodais β 1 e β 2, tem-se a seguinte matriz de rigidez elementar

A partir da Eq. (2. 1), tem-se que a rigidez à flexão ao longo da viga é dada por

Portanto, o parâmetro de coesão representa qualquer alterac ¸ão, provocada pela presenc ¸a de danos estruturais, na rigidez à flexão da estrutura. Por simplicidade, considerando-se uma viga de sec ¸ão transversal retangular e com módulo de elasticidade uniforme, o campo de coesão pode ser escrito como

, onde h 0 e h(x), indicam, respectivamente, a espessura nominal e a espessura da viga na posic ¸ão x. O vetor de parâmetros nodais de coesão é definido como

onde np é o número total de parâmetros de coesão do modelo. Portanto, nos nós defeituosos tem-se h(x)/ h 0 < 1, e nos nós onde não há danos, tem-se h(x)/ h 0 = 1. 

A equac ¸ão de movimento do sistema, após a discretizac ¸ão espacial a partir do MEF, é dada por

onde q representa o vetor de coordenadas generalizadas, M é a matriz de massa, D é a matriz de amortecimento, K(β) é a matriz de rigidez, parametrizada pelo parâmetro de coesão, e f é o vetor de carregamentos generalizados.
section_name: FORMULAC ¸ÃO DO PROBLEMA DIRETO

section_content: Para a formulac ¸ão do problema de identificac ¸ão de danos no domínio do tempo, define-se o vetor de resposta generalizada como se segue. Seja y E i a resposta experimental da estrutura medida no sensor i, formulada como

onde y E i (t j ) representa a resposta amostrada, no sensor i, no instante de tempo t j e N é o número de amostras no tempo consideradas no processo de identificac ¸ão. Descreve-se o vetor de resposta experimental generalizada como

sendo m o número de sensores utilizados no ensaio experimental. 

Define-se o problema inverso de identificac ¸ão de danos como o seguinte problema de minimizac ¸ão min β

onde z(β) corresponde ao vetor de resposta generalizada previsto pelo modelo da estrutura. 

A resposta estrutural em questão pode ser obtida a partir de sensores comumente utilizados em ensaios de vibrac ¸ões, como os acelerômetros e sensores de deslocamento, por exemplo, e para que esta contenha informac ¸ões a respeito do comportamento da estrutura em alta frequência, excitac ¸ões de impacto ou aleatórias geralmente são consideradas. No presente trabalho, para a resoluc ¸ão do problema inverso em questão, utiliza-se o método Evoluc ¸ão Diferencial [7].
section_name: FORMULAC ¸ÃO DO PROBLEMA INVERSO

section_content: Nos resultados que se seguem, considerou-se uma viga de ac ¸o, simplesmente apoiada de Euler-Bernoulli, com os parâmetros geométricos e materiais descritos na Tabela 1. A viga foi discretizada pelo Método dos Elementos Finitos, em 24 elementos, onde cada elemento apresenta dois nós e cada nó, dois graus de liberdade (GDL) -um de rotac ¸ão e outro de translac ¸ão -e um parâmetro nodal de coesão. Portanto, a estrutura possui 25 parâmetros nodais de coesão e, devido às condic ¸ões de contorno, 48 GDL. 

A resposta impulsiva da viga foi simulada considerando-se uma excitac ¸ão de impacto a 0,365 m da extremidade esquerda da mesma. Simulou-se 10 s de resposta de deslocamento em intervalos de tempo constantes de 0,001 s, totalizando assim, 10000 amostras no tempo. 

Para a determinac ¸ão do posicionamento ótimo do sensor de deslocamento e do número de pontos da resposta impulsiva que serão utilizados no processo de identificac ¸ão de danos, considerou-se o critério D-ótimo [1], que tem como objetivo maximizar o determinante da matriz de informac ¸ão (X T X), onde X é a matriz de sensibilidade [3], definida como

Para o cálculo da matriz de sensibilidade, a reposta impulsiva da viga foi determinada para três cenários de danos distintos, definidos a partir de uma reduc ¸ão de 10% na espessura relativa da viga, separadamente, nas posic ¸ões 0,1217, 0,7908 e 1,3383 m. 

A Tabela 2 apresenta as diferentes posic ¸ões em metros (em relac ¸ão à extremidade esquerda da viga) para a possível fixac ¸ão do sensor na viga. 

Tabela 2: Posic ¸ões do sensor ao longo da viga. S1 S2 S3 S4 S5 S6 Posic ¸ão (m) 0,2433 0,3650 0,4867 0,7300 0,9733 1,2167 A Tabela 3, por sua vez, apresenta os números de pontos da resposta impulsiva, que serão considerados para o cálculo da matriz de sensibilidade. Vale lembrar que a resposta impulsiva foi amostrada a uma taxa de 1000 amostras por segundo (1000 Hz). Tabela 3: Número de pontos da resposta impulsiva.
section_name: RESULTADOS NUM ÉRICOS

section_content: N4 N5 Número de pontos 125 250 500 1000 5000 A Figura 1 apresenta o determinate da matriz de informac ¸ão, calculado para as diferentes posic ¸ões do sensor em func ¸ão do número de pontos, para os diferentes cenários de dano. 

Considerando-se a Figura 1, pode-se determinar que em 86,67% dos casos, os maiores valores do determinante da matriz (X T X) foram calculados com o sensor S1 e os menores valores foram calculados com os sensores S4 (60% das simulac ¸ões) e S6 (40% das simulac ¸ões). Sendo assim, assume-se que a posic ¸ão ótima para a fixac ¸ão do sensor na estrutura é a 0,2433 m da extremidade esquerda da viga, ou seja, a posic ¸ão do sensor S1. Figura 1: Determinante da matriz (X T X) em func ¸ão do número de pontos da resposta impulsiva, calculado para diferentes posic ¸ões do sensor e cenários de dano. 

Nos resultados que se seguem, considerou-se o cenário de dano composto por duas regiões danificadas, definidas por h(x)/ h 0 = 0,9 (ou seja β(x) = 0,7290), nas posic ¸ões x = 0,5475 e 1,2775 m. Adotou-se a mesma malha de elementos para aproximar o campo de deslocamentos e o campo de coesão (dano). O vetor de resposta generalizada da estrutura, obtido a partir do MEF com os valores prescritos dos parâmetros nodais de coesão, representam os dados experimentais sintéticos utilizados no processo de identificac ¸ão de danos. A esses dados, considerou-se a adic ¸ão de ruído de distribuic ¸ão gaussiana, de média nula e desvio padrão determinado indiretamente pela razão-sinal-ruído (SNR), definida como SNR = 10 log (P s / P r ), onde P s e P r são, respectivamente, a potência do sinal e do ruído. 

Os casos considerados são apresentados na Tabela 4. No Caso 1, considerou-se os 125 primeiros pontos da resposta impulsiva da estrutura, medida com o sensor de deslocamento na posic ¸ão S1 -que possui posicionamento ótimo, segundo o critério D-ótimo -; além disso, considerou-se a resposta impulsiva corrompida com ruído aditivo com SNR = 20 dB. No Caso 2, considerou-se os 125 primeiros pontos da resposta impulsiva da estrutura, medida no no sensor de deslocamento S4 -que representa o sensor que produziu os menores valores para o determinante da matriz de informac ¸ão -e a mesma intensidade de ruído adicionado aos dados experimentais. 

A seguir, apresenta-se os resultados da estimac ¸ão dos parâmetros nodais de coesão. Devido à aleatoriedade dos métodos estocásticos, realiza-se 10 simulac ¸ões com o método ED, todas utilizando a mesma resposta impulsiva da estrutura danificada. 

A Figura 2, apresenta os resultados da identificac ¸ão de danos obtidos de 10 simulac ¸ões com o método ED para o Caso 1. Da Figura 2, pode-se notar que, embora alguns resultados indicaram a presenc ¸a de dano em regiões intactas da estrutura, em geral, tem-se uma boa estimativa da atual região danificada. 

A Figura 3, apresenta a média dos 10 resultados de identificac ¸ão obtidos com o método ED. Como pode ser observado na Figura 3, considerando-se a média dos resultados individuais, a abordagem proposta foi capaz de identificar com acurácia a localizac ¸ão do dano, porém indicando uma intensidade ligeiramente menor nas regiões afetadas. 

A Figura 4 apresenta os resultados individuais obtidos de 10 simulac ¸ões com o método ED para o Caso 2, que considera o sensor na posic ¸ão S4, que fornece, em geral, os menores valores para o determinante da matriz de informac ¸ão. Na Figura 4, pode-se observar que alguns dos resultados fornecidos pelo método ED indicam a presenc ¸a de danos, com elevada intensidade, em regiões intactas da estrutura. 

A Figura 5, apresenta a média dos 10 resultados de identificac ¸ão obtidos com o método ED. Da Figura 5, pode-se observar que, o campo de dano estimado, não recupera de forma correta a localizac ¸ão e intensidade dos danos, apresentando falsas regiões de danos. 

Portanto, pode-se concluir que o posicionamento do sensor interferiu de forma significativa no resultado de identificac ¸ão de danos apresentado pelo método ED.
section_name: N1 N2 N3

section_content: No presente trabalho, o campo de dano da estrura foi descrito de forma contínua por um parâmetro estrutural denominado parâmetro de coesão. A discretizac ¸ão espacial do campo de coesão foi obtida através do MEF. O problema de identificac ¸ão de danos foi definido como um problema de minimizac ¸ão, onde o objetivo é minimizar, em relac ¸ão aos parâmetros nodais de coesão, um funcional definido a partir da diferenc ¸a entre a resposta impulsiva prevista por um MEF da estrutura e a correspondente resposta obtida experimentalmente. O critério D-ótimo foi utilizado para selecionar a posic ¸ão ótima, dentre algumas posic ¸ões pré-definidas, do sensor de deslocamento utilizado para a medic ¸ão da resposta impulsiva. O método de otimizac ¸ão estocástico Evoluc ¸ão Diferencial foi considerado para resolver o problema inverso de identificac ¸ão de danos. Das análises numéricas apresentadas, observa-se claramente que a posic ¸ão do sensor influenciou de forma significativa nos resultados de identificac ¸ão. Quando a posic ¸ão ótima do sensor foi considerada no processo de identificac ¸ão, a abordagem proposta foi capaz de identificar com acurária o campo de dano da estrutura, mesmo na presenc ¸a de um elevado nível de ruído nos dados experimentais sintéticos. O mesmo não ocorreu quando a posic ¸ão do sensor foi alterada para aquela que apresentou um menor desempenho, segundo o critério D-ótimo. Nesse caso, falsas indicac ¸ões de dano foram obtidas. 

Sugestões para trabalhos futuros tem-se a análise de técnicas de localizac ¸ão de danos com o intuito de minimizar o número de parâmetros nodais de coesão a serem atualizados e utilizar dados no domínio do tempo, juntamente com o critério D-ótimo, para problemas de identificac ¸ão de danos em placas. 

ABSTRACT. The present work deals with the damage identification problem in mechanical structures from their impulse response. In the adopted model, the structural integrity is continually described by a cohesion parameter and the finite element model (FEM) is used to spatially discretize the displacement and cohesion fields. The damage identification problem is then posed as an optimization one, whose objective is to minimize, with respect to the vector of nodal cohesion parameters, a functional based on the difference between the experimentally obtained impulse response and the corresponding one predicted by an FEM of the structure. The damage identification problem built on the time domain presents some advantages, as the applicability in linear systems with high levels of damping an/or closed spaced modes, and in nonlinear systems. Numerical studies were carried out considering a simply supported Euler-Bernoulli beam. The D-optimal criterion was considered with the aim at determining the optimal position of the displacement sensor. The Differential Evolution (DE) optimization method was considered to solve the inverse problem of damage identification.
section_name: CONCLUS ÕES