RoLLMHub/RoSchoolToUniQA huggingface dataset:
Să se calculeze  $I = \int_{-2}^{2} \frac{1}{(x^{2}+4)(3^{x}+1)} dx$.
A. $I = \frac{\pi}{3}$
B. $I = 0$
C. $I = \frac{\pi}{20}$
D. $I = \frac{\pi}{4}$
E. $I = \frac{\pi}{10}$
F. $I = \frac{\pi}{8}$
Răspuns corect: F
Fie matricea $A = \begin{pmatrix} 1 & 3 & -3 \\ 3 & 1 & 0 \\ 3 & 0 & 1 \end{pmatrix} \in M_3(\mathbb{R})$. Atunci suma modulelor elementelor de pe diagonala principală a matricei $A^{59}$ este:
A. 30799
B. 30789
C. 30790
D. 30800
E. 30795
F. 30788
Răspuns corect: A
Rezolvați ecuația $2^{3x-1} = 4$.
A. $x = -2$
B. $x = -1$
C. $x=2$
D. $x=1$
E. $x=4$
F. $x = 0$
Răspuns corect: D
Soluția ecuației $\sqrt{2x+3}=3$ este:
A. $x=2$
B. $x=0$
C. $x=-1$
D. $x=1$
E. $x=3$
F. $x = -3$
Răspuns corect: E
Aflați valorile lui $m \in \mathbb{R}$ pentru care ecuația $1-2x-2x^2 = me^{2x}$ admite trei soluții reale distincte.
A. $m \in (-\frac{3}{e^2},0)$
B. $m \in (-\infty,-\frac{3}{e^2})$
C. $m \in (\frac{1}{e},1)$
D. $m \in (e,\infty)$
E. $m \in (1,e)$
F. $m \in (0,\frac{1}{e})$
Răspuns corect: A
Mulțimea soluțiilor reale ale inecuației $2x+1 \leq x+7$ este:
A. $(13,\infty)$
B. $[11,13]$
C. $(-\infty,6]$
D. $(7,9)$
E. $(6,7)$
F. $(9,11)$
Răspuns corect: C
Fie $a \in (0,1) \cup (1,\infty)$ și $f : (0,\infty) \rightarrow (0,\infty), f(x) = x^x + a^x+x^a$. Determinați valoarea parametrului $a$
pentru care $f'(1)=1$.
A. $a = \frac{1}{e}$
B. $a = \frac{1}{2}$
C. $a = \frac{1}{e^2}$
D. $a = e^2$
E. $a = 2$
F. $a=e$
Răspuns corect: A
Fie polinomul $f = (X+1)^{2024} +3X+5$. Să se determine restul împărțirii polinomului $f$ la polinomul $g = X^2 +3X +3$.
A. $X+3$
B. $3X+5$
C. $3X+3$
D. $2X-3$
E. $X+1$
F. $2X+3$
Răspuns corect: F
Fie $(a_n)_{n \geq 1}$ o progresie aritmetică, de rație $r = 2$ și cu primul termen $a_1 = 3$. Calculați $a_5$.
A. 13
B. 8
C. 11
D. 9
E. 10
F. 12
Răspuns corect: C
Fie $x_1$ și $x_2$ soluțiile ecuației $\begin{vmatrix} x+7 & 3 \\ x-1 & x \end{vmatrix} = 0$. Calculați $x_1^2 + x_2^2$.
A. 7
B. 8
C. 12
D. 9
E. 10
F. 11
Răspuns corect: E
Să se rezolve sistemul $\begin{cases} x+y = 5 \\ x-y=1 \end{cases}$
A. $x = 0; y = 3$
B. $x = 3; y = 2$
C. $x = 0; y = 1$
D. $x = 1; y = 1$
E. $x = 1; y = -1$
F. $x = 3; y = 4$
Răspuns corect: B
Să se determine mulțimea soluțiilor reale ale ecuației $\sqrt{1-5x} + x = 1$.
A. $\{1; 3\}$
B. $\{-2; 1\}$
C. $\{-1; 0\}$
D. $\{-3; 0\}$
E. $\{-1; 1\}$
F. $\{3; 4\}$
Răspuns corect: D
Fie $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f(x) = x^4 + 3x^2$. Să se calculeze $f'(1)$.
A. 6
B. 8
C. 11
D. 7
E. 9
F. 10
Răspuns corect: F
Să se calculeze $l = \lim_{x \to \infty} \int_{0}^{a} \frac{2x+1}{x^4+2x^3 +3x^2+2x+2} dx$.
A. $l = arctg \space 2$
B. $l = arctg \space 3$
C. $l = \frac{\pi}{2}$
D. $l = arctg \space \frac{1}{3}$
E. $l = \frac{\pi}{3}$
F. $l = \frac{\pi}{4}$
Răspuns corect: F
Soluția ecuației $9^{x+1} = 81$ este:
A. $x = 0$
B. $x = 2$
C. $x = -3$
D. $x = 1$
E. $x = -1$
F. $x = -2$
Răspuns corect: D
Fie $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f(x) = \frac{x^2 + ax + b}{\sqrt{x^2+1}}$ unde $a, b$ sunt numere reale. Presupunem că funcția $f$ admite trei puncte de extrem local și are asimptota $y = x + 2$. Atunci
A. $ab = 6$
B. $ab \in (6,7)$
C. $ab = \frac{1}{4}$
D. $a+b > 7$
E. $a+b \in (5,6)$
F. $a+b \in (6,7)$
Răspuns corect: D
Mulțimea soluțiilor reale ale ecuației $x^2 -7x +10 = 0$ este:
A. $\{2; 5\}$
B. $\{5; 6\}$
C. $\{3; 5\}$
D. $\{1; 4\}$
E. $\{1; 2\}$
F. $\{4; 5\}$
Răspuns corect: A
Pentru ce valori ale lui $x \in \mathbb{R}$, numerele 4, $2x+3$ și 10 (în această ordine) formează o progresie aritmetică?
A. $x = -2$
B. $x = -4$
C. $x = 3$
D. $x = 4$
E. $x = 1$
F. $x = 2$
Răspuns corect: F
Fie polinomul $P \in \mathbb{R}[X], P = aX^{2024} +bX^{2023} +2X^3+cX^2+7X-3$. Dacă $P$ este divizibil prin $X^2+1$ și restul împărțirii lui $P$ la $X+1$ este 3, să se calculeze $P(1)$.
A. 36
B. 31
C. -14
D. 21
E. 27
F. 15
Răspuns corect: B
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție: $x * y = 2xy-10x-10y+55$. Să se determine suma soluțiilor reale ale ecuației $\underbrace{x*x*...*x}_{de \space 2024 \space ori} = \frac{11}{2}$.
A. 9
B. 14
C. 12
D. 13
E. 11
F. 10
Răspuns corect: F
Fie sistemul $\begin{cases} mx+y-z = 1 \\ x+y-z=2 \\ -x + y + z = 0 \end{cases}$ unde m este un parametru real. Pentru câte valori $m\in \mathbb{Z}$ sistemul are soluție unică $(x_0, y_0, z_0)$, cu componentele numere întregi?
A. 4
B. 3
C. 1
D. o infinitate
E. 2
F. 5
Răspuns corect: E
Fie $f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f(x) = x^3 + x^2$. Să se calculeze $f'(1)$.
A. 4
B. 3
C. 0
D. 2
E. 5
F. 7
Răspuns corect: E
Ecuația $2^{2x+1} = 8$ are soluția:
A. $x = -1$
B. $x = 2$
C. $x = 1$
D. $x = 0$
E. $x = 3$
F. $x = -2$
Răspuns corect: C
Determinantul matricei $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \ 1 & 2 \\ \end{pmatrix}$ este:
A. 3
B. 6
C. 1
D. 5
E. 4
F. 0
Răspuns corect: A
Fie $f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f(x) = \int_{0}^{1} |x - t|dt$. Să se calculeze $I = \int_{-1}^{2} f(x)dx$.
A. $I = \frac{11}{2}$
B. $I = \frac{8}{5}$
C. $I = \frac{4}{3}$
D. $I = \frac{1}{2}$
E. $I = \frac{1}{5}$
F. $I = \frac{7}{3}$
Răspuns corect: F
Fie $(a_n)_{n \geq 1}$ o progresie aritmetică astfel ca $a_2 = 3$ și $a_3 = 5$. Să se calculeze $a_4$.
A. 8
B. 11
C. 9
D. 6
E. 7
F. 10
Răspuns corect: E
Să se afle valorile parametrului real $m$ astfel încât ecuația $x^2 +1 = me^{-\frac{1}{x}}$ să aibă trei soluții reale distincte.
A. $m > 2e$
B. $m \in (1, e)$
C. $m \in (1, e^2)$
D. $m \in (e, 2e)$
E. $m < 2e$
F. $m \in (0,1)$
Răspuns corect: A
Să se rezolve ecuația $\sqrt{x + 1} + x = 5$.
A. $x = 0$
B. $x = 5$
C. $x = -1$
D. $x = 4$
E. $x = 7$
F. $x = 3$
Răspuns corect: F
Mulțimea soluțiilor reale ale ecuației $x^2 -11x + 18 = 0$ este:
A. $\{1,4\}$
B. $\{3,6\}$
C. $\{2,9\}$
D. $\{1,3\}$
E. $\{0,1\}$
F. $\{2, 7\}$
Răspuns corect: C
Fie $f : \mathbb{N}^* \rightarrow \mathbb{R}, f(n) = n + [\frac{2022}{n}]$, unde prin $[x]$ notăm partea întreagă a numărului real $x$. Pentru câte valori $n \in \mathbb{N}^*$, funcția $f$ își atinge cea mai mică valoare?
A. 6
B. 2
C. 4
D. 1
E. 3
F. 5
Răspuns corect: E
Fie funcția $f : [1,\infty) \rightarrow \mathbb{R}, f(x) = \int_{1}^{x} t(1-\ln^2 t)dt$. Aflați abscisa punctului de maxim local.
A. $e$
B. $2\sqrt{e}$
C. $\sqrt{e^2}$
D. $\frac{1}{e}$
E. $\sqrt{e}$
F. $e^2$
Răspuns corect: A
Să se determine numărul real $m$ astfel încât $\begin{vmatrix} m & 6 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} = 0$.
A. $m=1$
B. $m=3$
C. $m=2$
D. $m=5$
E. $m=0$
F. $m=4$
Răspuns corect: B
Să se determine numărul natural $n$ astfel încât $4, \frac{n+8}{2}$ și 8 să fie trei termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice.
A. $n=4$
B. $n=1$
C. $n=2$
D. $n=3$
E. $n=0$
F. $n=6$
Răspuns corect: A
Fie funcția $f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=e^x + x^2$. Atunci $f'(0)$ este:
A. 4
B. 1
C. -1
D. 3
E. 0
F. 2
Răspuns corect: B
Să se rezolve în $\mathbb{R}$ inecuația $3x-1 > x+3$.
A. $x<1$
B. $x<-2$
C. $x>2$
D. $x>3$
E. $x<2$
F. $x<3$
Răspuns corect: C
Mulțimea soluțiilor reale ale ecuației $x^2 -6x + 8 = 0$ este:
A. $\{1,3\}$
B. $\{1,5\}$
C. $\emptyset$
D. $\{1\}$
E. $\{-4, -2\}$
F. $\{2,4\}$
Răspuns corect: F
Pe mulțimea $\mathbb{Z}$ a numerelor întregi se definește legea de compoziție $x \circ y = xy - 5x - 5y + 30$. Atunci suma elementelor simetrizabile în raport cu legea de compoziție $\circ$ este:
A. 10
B. 9
C. 6
D. 0
E. 5
F. 8
Răspuns corect: A
Să se rezolve în mulțimea numerelor reale ecuația $\sqrt{x+3} - 1 = x$.
A. $x=3$
B. $x \in \emptyset$
C. $x=-5$
D. $x \in \{-1, 2\}$
E. $x=0$
F. $x=1$
Răspuns corect: F
Fie $M = \{1, 2, 3, ..., 999\}$. Să se determine numărul elementelor mulțimii $M$ care conțin cifra 9 cel puțin o dată:
A. 271
B. 243
C. 270
D. 274
E. 275
F. 272
Răspuns corect: A
Se consideră ecuația $3^{x^2+1} = 9$. Atunci soluțiile acesteia sunt:
A. $-1$ și 1
B. 2 și 3
C. -2 și 2
D. $-\sqrt{2}$ și $\sqrt{2}$
E. 0
F. 0 și 5
Răspuns corect: A
Să se determine mulțimea valorilor lui $a \in \mathbb{R}$ astfel încât ecuația $\ln(1+ 2x) - x^2 = a$ să aibă o singură soluție strict negativă.
A. $a \in (-e, e)$
B. $a \in (0, \ln 2)$
C. $a \in (-1, \ln 2)$
D. $a \in (-\infty, 0)$
E. $a \in (0, \ln 2 - \frac{1}{4})$
F. $a \in (\frac{1}{2}, \ln 3)$
Răspuns corect: D
Valoarea determinantului $\begin{vmatrix} 2 & 0 & 1 \\ 1 & -1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix}$ este:
A. -1
B. 0
C. 5
D. 1
E. -2
F. 2
Răspuns corect: B
Pentru $r > 0$, fie mulțimea $M = \{z \in \mathbb{C} ; |z| = 1 \text{ și } |z - 3i| = r\}$. Fie $A = \{r > 0; M \text{ are un singur element}\}$. Să se determine suma $S$ a elementelor mulțimii $A$.
A. $S = 6$
B. $S = 5$
C. $S = 4$
D. $S = 2$
E. $S = 8$
F. $S = 12$
Răspuns corect: A
Știind că numerele $x, x + 1, x + 3$ sunt în progresie geometrică (în această ordine), atunci:
A. $x = 3$
B. $x = -1$
C. $x = 1$
D. $x = -2$
E. $x = 4$
F. $x = 2$
Răspuns corect: C
Fie matricele $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 2 & -2 \end{pmatrix}$ și $B = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}$. Dacă $X = A + 2B$, să se calculeze determinantul matricei $X$.
A. -10
B. 14
C. -14
D. 10
E. 20
F. -20
Răspuns corect: D
Fie $P$ un polinom cu coeficienți reali astfel încât $P(1) + P(2) + ... + P(n) = n^5$, pentru orice număr natural $n \ge 1$. Să se calculeze $P(\frac{3}{2})$.
A. $\frac{225}{49}$
B. $\frac{121}{16}$
C. $\frac{114}{31}$
D. $\frac{47}{15}$
E. $\frac{91}{17}$
F. $\frac{169}{25}$
Răspuns corect: B
Dacă a, b și c sunt determinate astfel încât să aibă loc egalitatea $\lim_{x \to 0} \frac{1}{x^5} \int_{0}^{x} (a+b\cos t+c\cos 2t)dt = \frac{1}{5}$, să se calculeze $S = |a| + |b| + |c|$.
A. $S = 16$
B. $S = 18$
C. $S = 14$
D. $S = 24$
E. $S = 20$
F. $S = 22$
Răspuns corect: A
Produsul soluțiilor ecuației $\sqrt{1 - x} + \sqrt{x} = 1$ este:
A. 0
B. 2
C. -1
D. 1
E. $\frac{1}{3}$
F. $\frac{1}{2}$
Răspuns corect: A
Fie ecuația $x^3 + x^2 - 2x = 0$. Suma $S$ a soluțiilor reale este:
A. $S = 0$
B. $S = 1$
C. $S = -2$
D. $S = 2$
E. $S = -1$
F. $S = 3$
Răspuns corect: E
Soluția ecuației $4^{x-1} = 16$ este:
A. $x = -2$
B. $x = 4$
C. $x = 5$
D. $x = 2$
E. $x = 0$
F. $x = 3$
Răspuns corect: F
Se consideră dreptele de ecuații $d_1: 2x+y-3=0$ și $d_2: x+2y-3 = 0$. Dacă $y = a_1x + b_1$ și $y = a_2x+b_2$, cu $a_1, b_1, a_2, b_2 \in \mathbb{R}$ sunt ecuațiile celor două drepte bisectoare ale unghiurilor rezultate din intersecția dreptelor $d_1$ și $d_2$, atunci suma $S = b_1 + b_2$ este:
A. 3
B. 2
C. 0
D. 1
E. 5
F. -3
Răspuns corect: B
Valoarea parametrului real $m$ pentru care punctul $P(0, m)$ aparține dreptei de ecuație $d : 2x + y = 1$ este:
A. 0
B. -$\frac{1}{2}$
C. -1
D. 1
E. 2
F. $\frac{1}{2}$
Răspuns corect: D
Dacă $tg \alpha = 1$, atunci valoarea expresiei $E = cos \alpha - sin \alpha$ este:
A. $\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{2}$
B. $\frac{\sqrt{3}}{2}$
C. 0
D. 1
E. $\frac{1}{2}$
F. $\sqrt{3}$
Răspuns corect: C
Valoarea expresiei $E = sin \alpha \cdot cos(3\alpha)$ pentru $\alpha = 30^\circ$ este:
A. 1
B. -1
C. $\frac{\sqrt{2}}{2}$
D. $\frac{\sqrt{3}}{2}$
E. $\frac{1}{2}$
F. 0
Răspuns corect: F
În reperul cartezian $xOy$, punctele $A(0,0)$ și $B(6,8)$ reprezintă vârfuri ale triunghiului echilateral $ABC$. Dacă vârful $C$ este situat în al doilea cadran, atunci ordonata acestuia este:
A. $1 + \sqrt{10}$
B. $4 + 3\sqrt{3}$
C. $\sqrt{10}$
D. 5
E. $4 - 3\sqrt{3}$
F. 10
Răspuns corect: B
Lungimea laturii unui pătrat cu diagonala $d = 2\sqrt{2}$ este:
A. $\frac{\sqrt{2}}{2}$
B. $2\sqrt{2}$
C. 2
D. $\sqrt{2}$
E. 1
F. $\sqrt{3}$
Răspuns corect: C
În reperul \{O,$\vec{i}$,$\vec{j}$\} se consideră vectorii $\vec{u} = \vec{i} - 3\vec{j}$ și $\vec{v} = 2\vec{i} + \vec{j}$. Atunci vectorul $\vec{w} = \vec{u} + 2\vec{v}$ este:
A. $5\vec{i} - \vec{j}$
B. $3\vec{i} - 2\vec{j}$
C. $-\vec{i} - 4\vec{j}$
D. $\vec{i} - \vec{j}$
E. $\vec{i}$
F. $4\vec{i} - 5\vec{j}$
Răspuns corect: A
Aria triunghiului dreptunghic $ABC$ cu $m(\widehat{BAC}) = 90^\circ$, $m(\widehat{ABC}) = 60^\circ$ și $AB = 1$ este:
A. $\sqrt{3}$
B. $\frac{\sqrt{3}}{4}$
C. $\frac{\sqrt{3}}{2}$
D. 1
E. 2
F. $\frac{1}{2}$
Răspuns corect: C
În reperul \{O,$\vec{i}$,$\vec{j}$\} fie vectorii $\overrightarrow{OA} = -2\vec{i} + 2\vec{j}$, $\overrightarrow{OB} = 4\vec{i} +3\vec{j}$, $\overrightarrow{OC} = m\vec{i} - \vec{j}$ și $\overrightarrow{OD} = -3\vec{i} - 2\vec{j}$. Valoarea parametrului real m pentru care $ABCD$ este paralelogram este:
A. 0
B. -3
C. -2
D. 2
E. 3
F. 1
Răspuns corect: E
În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(1, -2)$ și $B(5,1)$. Lungimea segmentului $[AB]$ este:
A. 5
B. $\sqrt{7}$
C. $\sqrt{5}$
D. 25
E. $\sqrt{3}$
F. 3
Răspuns corect: A
Un pătrat și un romb au același perimetru. Dacă aria pătratului este 16, iar unul dintre unghiurile rombului are 30°, atunci suma pătratelor diagonalelor rombului este:
A. 10
B. 32
C. 16
D. 40
E. 36
F. 64
Răspuns corect: F
Valoarea numărului $P = \sin 60^\circ \cdot \text{tg } 30^\circ \cdot \cos 90^\circ$ este
A. 1
B. $\frac{\sqrt{2}}{2}$
C. $\frac{\sqrt{3}}{2}$
D. $\frac{1}{4}$
E. 0
F. $\frac{\sqrt{3}}{4}$
Răspuns corect: E
În triunghiul $ABC$ se cunosc $AB = 2, BC = \sqrt{7}$ și $m(\widehat{A}) = \frac{\pi}{3}$. Lungimea laturii $AC$ este:
A. $\sqrt{7}$
B. 4
C. 2
D. 7
E. $\sqrt{3}$
F. 3
Răspuns corect: F
Într-un triunghi $ABC$ în care $AB = 6$ are loc relația $2(\cos A + \cos B) = 3 + 2 \cos(A + B)$. Atunci aria triunghiului este:
A. $6\sqrt{3}$
B. 18
C. $9\sqrt{3}$
D. $3\sqrt{3}$
E. 12
F. 36
Răspuns corect: C
Fie $x \in (0, \frac{\pi}{2})$. Dacă $\sin x = \frac{3}{5}$, atunci $\cos x$ este:
A. 1
B. $\frac{3}{5}$
C. $\frac{4}{5}$
D. $\frac{\sqrt{3}}{5}$
E. -$\frac{3}{5}$
F. 0
Răspuns corect: C
Valoarea parametrului $m\in \mathbb{R}$ pentru care vectorii $\vec{u} = m\vec{i} + \vec{j}$ și $\vec{v} = -\vec{i} + 3\vec{j}$ sunt ortogonali, este:
A. -3
B. 1
C. -1
D. 3
E. $\frac{1}{3}$
F. 0
Răspuns corect: D
Centrul de greutate al triunghiului $ABC$ de vârfuri $A(0,3)$, $B(-1,0)$ și $C(1,0)$ este:
A. $G(0, -1)$
B. $G(0,1)$
C. $G(1,1)$
D. $G(-1,0)$
E. $G(2,0)$
F. $G(0,0)$
Răspuns corect: B
Se consideră dreptele de ecuații $d_1: mx + y = 2$ și $d_2 : x + 2y = -2$. Valoarea parametrului real $m$ pentru care dreptele sunt paralele, este:
A. -1
B. 2
C. $\frac{1}{2}$
D. -$\frac{1}{2}$
E. 1
F. 0
Răspuns corect: C
Se consideră vectorii $\vec{u} = \vec{i} + \vec{j}$, $\vec{v} = \vec{i} - \vec{j}$ și $\vec{w} = 2\vec{i} + \vec{j}$. Atunci vectorul sumă $\vec{u} + \vec{v} + \vec{w}$ este:
A. $\vec{j}$
B. $\vec{i}$
C. $-2\vec{j}$
D. $2\vec{i} + \vec{j}$
E. $4\vec{i} + \vec{j}$
F. $4\vec{i} - \vec{j}$
Răspuns corect: E
În planul $xOy$ se consideră paralelogramul $ABCD$. Fie $M$ punctul de intersecție al diagonalelor și $P$ mijlocul segmentului $[CD]$. Dacă $\overrightarrow{AB} = \vec{i} + \vec{j}$ și $\overrightarrow{AM} = 2\vec{i} - \vec{j}$, atunci vectorul $\overrightarrow{AP}$ este:
A. $\frac{1}{2}\vec{i} + \frac{1}{2}\vec{j}$
B. $-\vec{i} + \vec{j}$
C. $\frac{1}{2}\vec{i} - \frac{5}{2}\vec{j}$
D. $2\vec{i} + \vec{j}$
E. $\frac{7}{2}\vec{i} - \frac{5}{2}\vec{j}$
F. $\frac{7}{2}\vec{i} + \vec{j}$
Răspuns corect: E
Într-un triunghi dreptunghic $ABC$ avem $m(\widehat{A}) = 90^\circ$, $BC = 5$ și $AB = 4$. Atunci aria triunghiului $ABC$ este:
A. 6
B. 12
C. 3
D. 10
E. 2
F. 5
Răspuns corect: A
Știind că $sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}$, atunci $cos^2 x$ este:
A. $\frac{1}{\sqrt{2}}$
B. $\frac{1}{2}$
C. $\frac{3}{4}$
D. $\frac{1}{4}$
E. 1
F. 0
Răspuns corect: D
Soluția ecuației $sin^3 x = cos^3 x$ din intervalul $[0, \pi]$ este:
A. $x = \frac{\pi}{3}$
B. $x = \frac{\pi}{5}$
C. $x = \frac{5\pi}{6}$
D. $x = \frac{\pi}{4}$
E. $x = \frac{2\pi}{3}$
F. $x = \frac{3\pi}{4}$
Răspuns corect: D
Distanța de la punctul $M(-1,2)$ la dreapta de ecuație $d : 3x + 4y - 3 = 0$ este:
A. $\frac{2}{5}$
B. 1
C. 5
D. $\frac{1}{5}$
E. 2
F. $\frac{5}{2}$
Răspuns corect: A
Fie $M$ mulțimea valorilor parametrului $m\in \mathbb{R}$ pentru care dreptele de ecuații $d_1 : mx + y = 2$ și $d_2: x + my = 1$ sunt paralele. Atunci:
A. $M = \{1\}$
B. $M = \{-1\}$
C. $M = \emptyset$
D. $M = \{0\}$
E. $M = \{-1,0,1\}$
F. $M = \{-1,1\}$
Răspuns corect: F
Se consideră triunghiul $ABC$ de vârfuri $A(0, 2), B(2, 0)$ și $C(4,0)$. Centrul cercului circumscris triunghiului $ABC$ are coordonatele:
A. $(\frac{3}{2},3)$
B. $(0,3)$
C. $(3,0)$
D. $(\frac{3}{2},\frac{3}{2})$
E. $(3,3)$
F. $(0,\frac{3}{2})$
Răspuns corect: E
Să se determine valoarea parametrului $m\in \mathbb{R}$ pentru care vectorii $\vec{u} = (2m + 1)\vec{i} + 3\vec{j}$ și $\vec{v} = -\vec{i} + \vec{j}$ sunt ortogonali.
A. $m = 0$
B. $m = 1$
C. $m = -\frac{1}{2}$
D. $m = \frac{1}{2}$
E. $m = -1$
F. $m = -2$
Răspuns corect: B
Valoarea expresiei $E = 2 \cos 60^\circ \cdot \text{ctg }45^\circ \cdot \text{tg }30^\circ \cdot \sin 90^\circ$ este:
A. $E = -\frac{\sqrt{3}}{3}$
B. $E = \frac{\sqrt{3}}{3}$
C. $E = 0$
D. $E = \frac{\sqrt{3}}{6}$
E. $E = \frac{\sqrt{2}}{2}$
F. $E = 1$
Răspuns corect: B
Se dau vectorii $\vec{u} = \sqrt{3}\vec{i} - \vec{j}$ și $\vec{v} = -\sqrt{3}\vec{i} + 2\vec{j}$. Calculați $||\vec{u} + \vec{v}||$.
A. 0
B. 2
C. 1
D. 4
E. 3
F. $\sqrt{3}$
Răspuns corect: C
Fie $n$ numărul soluțiilor ecuației $\sin x + \cos x = \sqrt{2}$ care aparțin intervalului $[\frac{\pi}{4}, \frac{17\pi}{4}]$. Atunci:
A. $n = 3$
B. $n = 5$
C. $n = 0$
D. $n = 2$
E. $n = 4$
F. $n = 1$
Răspuns corect: A
Știind $\cos x = \frac{\sqrt{3}}{2}$, atunci $\sin^2 x$ este:
A. $\frac{1}{\sqrt{2}}$
B. $\frac{1}{4}$
C. $\frac{1}{2}$
D. $\frac{\sqrt{3}}{2}$
E. $\frac{1}{8}$
F. $\frac{\sqrt{3}}{3}$
Răspuns corect: B
Valoarea expresiei $E = \frac{\text{ctg }30^\circ \cos 90^\circ}{\sin 15^\circ}$ este:
A. 1
B. $\frac{\sqrt{3}}{3}$
C. $\frac{\sqrt{2}}{2}$
D. $\frac{1}{2}$
E. 0
F. $\frac{1}{4}$
Răspuns corect: E
Să se determine valoarea parametrului $m \in \mathbb{R}$, știind că punctul $A(m, 2)$ aparține dreptei de ecuație $d: 2x + y = 3$.
A. $\frac{1}{3}$
B. 1
C. 0
D. $\frac{1}{2}$
E. 2
F. 3
Răspuns corect: D
Se consideră triunghiul $ABC$ în care $AB = 1, BC = \sqrt{2}, \widehat{B} = \frac{\pi}{4}$. Atunci $AC$ este:
A. $\sqrt{2}$
B. $\frac{1}{4}$
C. $\frac{3}{2}$
D. 1
E. $\frac{1}{2}$
F. 2
Răspuns corect: D
În triunghiul $ABC$ are loc relația $\cos \widehat{B} + \cos \widehat{C} = \sin \widehat{B} + \sin \widehat{C}$. Atunci $\sin \widehat{A}$ este:
A. $\frac{\sqrt{2}}{2}$
B. -1
C. $-\frac{1}{2}$
D. $\frac{1}{2}$
E. 1
F. $\frac{\sqrt{3}}{2}$
Răspuns corect: E
Aria triunghiului de vârfuri $A(0,0), B(2,0), C(1,1)$ este:
A. 1
B. $\frac{1}{4}$
C. 2
D. $\frac{\sqrt{2}}{2}$
E. 4
F. $\frac{1}{2}$
Răspuns corect: A
Să se calculeze $\sin 105^\circ$.
A. $\frac{\sqrt{6}-\sqrt{3}}{2}$
B. $\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}$
C. $\frac{\sqrt{6}}{2}$
D. $\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$
E. $\frac{\sqrt{2}}{2}$
F. $\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$
Răspuns corect: D
Aflați valoarea parametrului $m \in \mathbb{R} \setminus \{0\}$ astfel încât unghiul format de vectorii $\vec{u} = \sqrt{3}\vec{i} - \vec{j}$ și $\vec{v} = \vec{i} + m\vec{j}$ să fie $\frac{\pi}{6}$.
A. 1
B. $\sqrt{5}$
C. $2\sqrt{3}$
D. 3
E. $\sqrt{2}$
F. $-\sqrt{3}$
Răspuns corect: F
Dreapta ce trece prin punctele $A(0,1)$ și $B(1,0)$ are ecuația:
A. $x + y = 1$
B. $x - y = 1$
C. $x + y = 0$
D. $x - y = -1$
E. $x - y = 0$
F. $x + y = -1$
Răspuns corect: A
Distanța de la punctul $A(2, -1)$ la dreapta de ecuație $x - y + 1 = 0$ este:
A. 1
B. $\sqrt{2}$
C. 2
D. $\frac{\sqrt{2}}{2}$
E. $2\sqrt{2}$
F. 4
Răspuns corect: C
Mulțimea soluțiilor ecuației $\cos 2x + \sin x = 1$ din intervalul $[0, \frac{\pi}{2}]$ este:
A. $\{\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{3}\}$
B. $\{0, \frac{\pi}{2}\}$
C. $\{\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{4}\}$
D. $\{\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{3}\}$
E. $\{0, \frac{\pi}{6}\}$
F. $\{0, \frac{\pi}{3}\}$
Răspuns corect: E
Determinați valoarea parametrului $m \in \mathbb{R}$ astfel încât dreptele $d_1: mx + y - 2 = 0$ și $d_2 : x - y + 2m = 0$ să fie paralele.
A. 0
B. $\sqrt{2}$
C. -1
D. $\sqrt{3}$
E. 2
F. 3
Răspuns corect: C
Valoarea parametrului $m \in \mathbb{R}$ pentru care vectorii $\vec{u} = m\vec{i} + \vec{j}$ și $\vec{v} = -\vec{i} + 4\vec{j}$ sunt perpendiculari este:
A. -1
B. 2
C. 1
D. 0
E. 4
F. -2
Răspuns corect: E
Lungimea razei cercului circumscris unui triunghi echilateral de latură $2\sqrt{3}$ este:
A. 1
B. $\frac{1}{2}$
C. 3
D. 2
E. $\frac{1}{\sqrt{3}}$
F. $\sqrt{3}$
Răspuns corect: D
Se dau vectorii $\vec{u} = 2\vec{i} + 3\vec{j}$ și $\vec{v} = -2\vec{i} + 3\vec{j}$. Atunci vectorul $2\vec{u} - 3\vec{v}$ este:
A. $3\vec{j}$
B. $2\vec{j}$
C. $\vec{i} + \vec{j}$
D. $10\vec{i} - 3\vec{j}$
E. $8\vec{i}$
F. $4\vec{i} + 6\vec{j}$
Răspuns corect: D
Soluția ecuației $\sqrt{2}\sin x = 1$, unde $x \in [0, \frac{\pi}{2}]$ este:
A. $\frac{\pi}{6}$
B. $\frac{\pi}{4}$
C. 0
D. $\frac{\pi}{2}$
E. $\frac{\pi}{8}$
F. $\frac{\pi}{3}$
Răspuns corect: B
Fie triunghiul ascuțitunghic $ABC$ cu aria $3\sqrt{2}, AB = 3$ și $AC = 4$. Atunci măsura unghiului $\hat{A}$ este:
A. $30^\circ$
B. $90^\circ$
C. $75^\circ$
D. $45^\circ$
E. $120^\circ$
F. $60^\circ$
Răspuns corect: D
Știind că $2 \cos x = 1$, să se calculeze $\sin^2 x$.
A. $\frac{1}{5}$
B. $\frac{1}{2}$
C. $\frac{2}{3}$
D. $\frac{3}{4}$
E. 1
F. 0
Răspuns corect: D
Ecuația dreptei care trece prin punctele $M(1,5)$ și $N(2, 1)$ este:
A. $x + 2y = 3$
B. $4x - 3y = 1$
C. $4x + 3y = 0$
D. $4x + y = 9$
E. $x - y = 1$
F. $x + y = 5$
Răspuns corect: D
Aria triunghiului $ABC$, unde $A(4,6), B(10,6), C(10,0)$ este:
A. 18
B. 11
C. 8
D. 7
E. 10
F. 12
Răspuns corect: A