# 雙極圓柱坐標系[编辑]

雙極坐標系繪圖。圖中的紅色圓圈是 WIKINIUM\_MATH\_PH\_0 -等值曲線，藍色圓圈則是 WIKINIUM\_MATH\_PH\_2 -等值曲線。
**雙極圓柱坐標系**（英語：Bipolar cylindrical coordinates）是一種三維正交坐標系。往 z-軸方向延伸二維的雙極坐標系 ，則可得到雙極圓柱坐標系。雙極坐標系的兩個焦點 WIKINIUM\_MATH\_PH\_4 與 WIKINIUM\_MATH\_PH\_6 ，其直角坐標 WIKINIUM\_MATH\_PH\_8 分別設定為 WIKINIUM\_MATH\_PH\_10 與 WIKINIUM\_MATH\_PH\_12 。延伸至三維空間，這兩個焦點分別變成兩條直線， WIKINIUM\_MATH\_PH\_14 與 WIKINIUM\_MATH\_PH\_16 ，稱為**焦線**。

## 基本定義

雙極圓柱坐標 WIKINIUM\_MATH\_PH\_18 通常定義為

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_20 、
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_22 、
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_24 ；
其中，點 WIKINIUM\_MATH\_PH\_26 的 WIKINIUM\_MATH\_PH\_28 坐標等於 WIKINIUM\_MATH\_PH\_30 的弧度， WIKINIUM\_MATH\_PH\_32 坐標等於 WIKINIUM\_MATH\_PH\_34 與 WIKINIUM\_MATH\_PH\_36 的比例的自然對數

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_38 。
注意到焦線 WIKINIUM\_MATH\_PH\_40 與 WIKINIUM\_MATH\_PH\_42 的坐標分別為 WIKINIUM\_MATH\_PH\_44 與 WIKINIUM\_MATH\_PH\_46 。

## 坐標曲面

雙極坐標的幾何詮釋。 WIKINIUM\_MATH\_PH\_48 與 WIKINIUM\_MATH\_PH\_50 的夾角 WIKINIUM\_MATH\_PH\_52 的弧度是 WIKINIUM\_MATH\_PH\_54 。 WIKINIUM\_MATH\_PH\_56 與 WIKINIUM\_MATH\_PH\_58 的比例的自然對數是 WIKINIUM\_MATH\_PH\_60 。 WIKINIUM\_MATH\_PH\_62 與 WIKINIUM\_MATH\_PH\_64 的等值曲線都是圓圈，分別以紅色與藍色表示。兩條等值曲線以直角相交（以洋紅色表示）。
不同 WIKINIUM\_MATH\_PH\_66 的坐標曲面是一組不同圓心線，而相交於兩個焦線 WIKINIUM\_MATH\_PH\_68 與 WIKINIUM\_MATH\_PH\_70 的圓柱面：

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_72 。
它們的圓心線都包含於 yz-平面。正值 WIKINIUM\_MATH\_PH\_74 的圓柱面的圓心線都在 WIKINIUM\_MATH\_PH\_76 半空間；而負值 WIKINIUM\_MATH\_PH\_78 的圓柱面的圓心線則在 WIKINIUM\_MATH\_PH\_80 半空間。當絕對值 WIKINIUM\_MATH\_PH\_82 增加時，圓半徑會減小，圓心線會靠近原點。當圓心線包含原點時， WIKINIUM\_MATH\_PH\_84 達到最大值 WIKINIUM\_MATH\_PH\_86 。

不同 WIKINIUM\_MATH\_PH\_88 的坐標曲面是一組圍著焦線，互不相交，不同半徑的圓柱面。半徑為

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_90 。
它們的圓心線都包含於 xz-平面。正值 WIKINIUM\_MATH\_PH\_92 的圓柱面在 WIKINIUM\_MATH\_PH\_94 半空間；而負值 WIKINIUM\_MATH\_PH\_96 的圓柱面在 WIKINIUM\_MATH\_PH\_98 半空間。 WIKINIUM\_MATH\_PH\_100 平面則與 yz-平面同平面。當 WIKINIUM\_MATH\_PH\_102 值增加時，圓柱面的半徑會減少，圓心線會靠近焦點。

### 逆變換

雙極圓柱坐標 WIKINIUM\_MATH\_PH\_104 可以用直角坐標 WIKINIUM\_MATH\_PH\_106 來表示。點 P 與兩個焦線之間的距離是

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_108 、
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_110 。
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_112 是 WIKINIUM\_MATH\_PH\_114 與 WIKINIUM\_MATH\_PH\_116 的比例的自然對數：

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_118 。
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_120 是兩條從點 P 到兩個焦點的線段 WIKINIUM\_MATH\_PH\_122 與 WIKINIUM\_MATH\_PH\_124 的夾角。這夾角的弧度是 WIKINIUM\_MATH\_PH\_126 。用餘弦定理來計算：

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_128 。
z-坐標的公式不變：

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_130 。
## 標度因子

雙極圓柱坐標 WIKINIUM\_MATH\_PH\_132 與 WIKINIUM\_MATH\_PH\_134 的標度因子相等；而 WIKINIUM\_MATH\_PH\_136 的標度因子是 1 ：

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_138 、
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_140 。
所以，無窮小體積元素等於

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_142 。
拉普拉斯算子是

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_144 。
其它微分算子，例如 WIKINIUM\_MATH\_PH\_146 與 WIKINIUM\_MATH\_PH\_148 ，都可以用雙極圓柱坐標表達，只需要將標度因子代入正交坐標系的一般方程式內。

## 應用

雙極圓柱坐標有一個經典的應用，這是在解析像拉普拉斯方程或亥姆霍茲方程這類的偏微分方程式。在這些方程式裏，雙極圓柱坐標允許分離變數法的使用。一個典型的例題是，有兩個互相平行的圓柱導體，請問其周圍的電場為什麼？應用雙極圓柱坐標，我們可以精緻地分析這例題。

## 參閱

## 參考文獻

* Margenau H, Murphy GM. The Mathematics of Physics and Chemistry. New York: D. van Nostrand. 1956: pp. 187–190.  引文格式1维护：冗余文本 (link)
* Korn GA, Korn TM. Mathematical Handbook for Scientists and Engineers. New York: McGraw-Hill. 1961: p. 182. ASIN B0000CKZX7.  引文格式1维护：冗余文本 (link)
* Moon P, Spencer DE. Conical Coordinates (r, θ, λ). Field Theory Handbook, Including Coordinate Systems, Differential Equations, and Their Solutions corrected 2nd ed., 3rd print ed. New York: Springer-Verlag. 1988: unknown. ISBN 978-0387184302.  引文格式1维护：冗余文本 (link)