# 代數曲線

在代數幾何中，一條**代數曲線**是一維的代數簇。最典型的例子是射影平面 WIKINIUM\_MATH\_PH\_0 上由一個齊次多項式 WIKINIUM\_MATH\_PH\_2 定義的零點。

## 仿射曲線

定義在域 WIKINIUM\_MATH\_PH\_4 上的仿射代數曲線可以看作是 WIKINIUM\_MATH\_PH\_6 中由若干個 WIKINIUM\_MATH\_PH\_8 -元多項式 WIKINIUM\_MATH\_PH\_10 定義的公共零點，使得其维数為一。

利用結式，我們可以將變數消至兩個，並化約到與之雙有理等價的平面代數曲線 WIKINIUM\_MATH\_PH\_12 ，其中 WIKINIUM\_MATH\_PH\_14 ，因此在探討曲線的雙有理幾何時僅須考慮平面曲線。

## 射影曲線

射影空間中的曲線可視作仿射曲線的緊化，它們帶有更好的幾何性質。在以上考慮的方程 WIKINIUM\_MATH\_PH\_16 （ WIKINIUM\_MATH\_PH\_18 ）中，我們作代換：

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_20
遂得到 WIKINIUM\_MATH\_PH\_22 個齊次多項式，它們在射影空間 WIKINIUM\_MATH\_PH\_24 中定義一條曲線，此射影曲線與開集 WIKINIUM\_MATH\_PH\_26 的交集同構於原曲線。射影曲線的例子包括 WIKINIUM\_MATH\_PH\_28 中的費馬曲線 WIKINIUM\_MATH\_PH\_30 ，其上的有理點對應到費馬方程 WIKINIUM\_MATH\_PH\_32 的互素整數解。

## 代數函數域

代數曲線之研究可化約為不可約代數曲線之研究，後者的範疇在雙有理等價之意義下等價於代數函數域範疇。域 WIKINIUM\_MATH\_PH\_34 上的函數域 WIKINIUM\_MATH\_PH\_36 是超越次數為一的有限型域擴張，換言之：存在元素 WIKINIUM\_MATH\_PH\_38 使得 WIKINIUM\_MATH\_PH\_40 在 WIKINIUM\_MATH\_PH\_42 上超越，而且 WIKINIUM\_MATH\_PH\_44 是有限擴張。

以複數域 WIKINIUM\_MATH\_PH\_46 為例，我們可以定義複係數有理函數域 WIKINIUM\_MATH\_PH\_48 。變元 WIKINIUM\_MATH\_PH\_50 對代數關係 WIKINIUM\_MATH\_PH\_52 生成的域 WIKINIUM\_MATH\_PH\_54 是一個橢圓函數域，代數曲線 WIKINIUM\_MATH\_PH\_56 給出它的一個幾何模型。

若基域 WIKINIUM\_MATH\_PH\_58 非代數封閉域，則函數域無法只由多項式的零點描述，因為此時存在無點的曲線。例如可取實數域 WIKINIUM\_MATH\_PH\_60 並考慮其上的代數曲線 WIKINIUM\_MATH\_PH\_62 ，此方程定義了一個 WIKINIUM\_MATH\_PH\_64 的有限擴張，因而定義了一個函數域，然而

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_66
代數封閉域上的代數曲線可以用代數簇完整地描述，對於一般的基域或者環上的曲線論，概形論能提供較合適的框架。

## 複代數曲線與黎曼曲面

複射影曲線可以嵌入 WIKINIUM\_MATH\_PH\_68 維複射影空間 WIKINIUM\_MATH\_PH\_70 。複射影曲線在拓撲上為二維的對象，當曲線光滑時，它是個緊黎曼曲面，即一維的緊複流形，因而是可定向的二維緊流形。這時該曲面的拓撲虧格（直觀說就是曲面有幾個洞或把手）等同於曲線上由代數幾何學定義的**虧格**。視這類曲線為黎曼曲面，則可以採複分析手法加以研究。另一方面，黎曼則證明了任何緊黎曼曲面都同構於一條複射影曲線。

於是我們有三個相互等價的範疇：複數域上的不可約平滑射影曲線、緊黎曼曲面與 WIKINIUM\_MATH\_PH\_72 上的函數域。因此一維複分析（包括位勢論）、代數幾何與域論的方法此時能相互為用，這是高等數學裡很常見的現象。

## 奇點

### 判斷方式

曲線在一點 WIKINIUM\_MATH\_PH\_74 的平滑性可以用雅可比矩陣判斷。以下考慮嵌於 WIKINIUM\_MATH\_PH\_76 中的曲線：設該曲線由 WIKINIUM\_MATH\_PH\_78 個 WIKINIUM\_MATH\_PH\_80 個變元的齊次多項式 WIKINIUM\_MATH\_PH\_82 定義，若其雅可比矩陣 WIKINIUM\_MATH\_PH\_84 在區線上一點 WIKINIUM\_MATH\_PH\_86 滿秩，則稱它 WIKINIUM\_MATH\_PH\_88 點光滑；反之則稱為奇點。在一點的平滑性與多項式 WIKINIUM\_MATH\_PH\_90 的選取無關，也與曲線的嵌入方式無關。

在平面射影曲線的例子，假設曲線 WIKINIUM\_MATH\_PH\_92 由齊次方程式 WIKINIUM\_MATH\_PH\_94 定義，則 WIKINIUM\_MATH\_PH\_96 的奇點恰為 WIKINIUM\_MATH\_PH\_98 上使得 WIKINIUM\_MATH\_PH\_100 為零的點，即：

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_102
在特徵非零的域上，一條代數曲線僅有有限個奇點；無奇點的曲線即**平滑曲線**。奇點在雙有理映射下可能映為光滑點；事實上，奇點總是可藉著平面的拉開映射或正規化解消，由此得到的新平滑曲線仍雙有理等價於原曲線；然而對代數封閉域上的射影曲線，其奇點總數則關係到曲線的幾何虧格，後者是個雙有理不變量。

### 奇點分類

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_104
曲線的奇點包括多重點（這是曲線的自交點）及尖點（如仿射曲線 WIKINIUM\_MATH\_PH\_106 之於原點 WIKINIUM\_MATH\_PH\_108 ，見右圖）等等。一般來說，仿射平面曲線 WIKINIUM\_MATH\_PH\_110 在一點 WIKINIUM\_MATH\_PH\_112 的奇點性質可以透過下述方式理解：

透過平移，不妨假設 WIKINIUM\_MATH\_PH\_114 。將多項式 WIKINIUM\_MATH\_PH\_116 寫成

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_118
其中 WIKINIUM\_MATH\_PH\_120 是 WIKINIUM\_MATH\_PH\_122 次齊次多項式。直觀地想像， WIKINIUM\_MATH\_PH\_124 在原點附近的性狀僅決定於最低次的非零項，設之為 WIKINIUM\_MATH\_PH\_126 。根據齊次性可以將之分解成

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_128
換言之，曲線在原點附近將近似於 WIKINIUM\_MATH\_PH\_130 條（含重複）直線 WIKINIUM\_MATH\_PH\_132 的聯集。上式中相異的直線數 WIKINIUM\_MATH\_PH\_134 稱作**分支數**，正整數 WIKINIUM\_MATH\_PH\_136 稱作平面曲線在該點的**重數**，此外還有一個內在的不變量 WIKINIUM\_MATH\_PH\_138 ，其中 WIKINIUM\_MATH\_PH\_140 是該曲線的正規化態射。資料[m, δ, r]能夠被用來分類奇點。例如*一般尖點*對應到 WIKINIUM\_MATH\_PH\_142 ，*一般雙重點*對應到 WIKINIUM\_MATH\_PH\_144 ，而*一般n重點*則對應到 WIKINIUM\_MATH\_PH\_146 。

各奇點的不變量δP決定平面曲線 WIKINIUM\_MATH\_PH\_148 的虧格：設 WIKINIUM\_MATH\_PH\_150 ，則有

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_152
對於在複數域上的平面曲線，John Milnor以拓撲方式定義了不變量μ，稱為**Milnor數**：同樣假設 WIKINIUM\_MATH\_PH\_154 ，在原點附近夠小的四維球 WIKINIUM\_MATH\_PH\_156 內有 WIKINIUM\_MATH\_PH\_158 ，此時有連續映射

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_160
由於 WIKINIUM\_MATH\_PH\_162 同倫等價於三維球面 WIKINIUM\_MATH\_PH\_164 ，於是可定義μ為此映射的拓撲次數。μ與前述不變量的關係由下式表明：

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_166
事實上， WIKINIUM\_MATH\_PH\_168 在ε夠小時是 WIKINIUM\_MATH\_PH\_170 中的一個環圈，稱作**奇點環圈**，它具有複雜的拓撲性質。例如： WIKINIUM\_MATH\_PH\_172 在尖點附近的奇點環圈是三葉結。

## 曲線的例子

### 有理曲線

域 WIKINIUM\_MATH\_PH\_174 上的**有理曲線**是雙有理等價於射影直線 WIKINIUM\_MATH\_PH\_176 的曲線，換言之，其函數域同構於單變元有理函數域 WIKINIUM\_MATH\_PH\_178 。當 WIKINIUM\_MATH\_PH\_180 代數封閉時，這也等價於該曲線之虧格為零，對一般的域則不然；實數域上由 WIKINIUM\_MATH\_PH\_182 給出的函數域虧格為零，而非有理函數域。

具體地說，一條有理曲線是能以有理函數參數化的曲線，例子請見條目有理正規曲線。

任何 WIKINIUM\_MATH\_PH\_184 上有有理點的圓錐曲線都是有理曲線。參數化的過程如下：過給定有理點 WIKINIUM\_MATH\_PH\_186 而斜率為 WIKINIUM\_MATH\_PH\_188 的直線交平面上一條二次曲線於兩點，就x坐標來說，交點的x坐標是一個二次多項式的根，其中一個屬於 WIKINIUM\_MATH\_PH\_190 的根已知，即 WIKINIUM\_MATH\_PH\_192 的x坐標；因此透過根與係數的關係得知另一根也屬於 WIKINIUM\_MATH\_PH\_194 ，而且能表作 WIKINIUM\_MATH\_PH\_196 在 WIKINIUM\_MATH\_PH\_198 上的有理函數。y坐標的作法相同。

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_200
**例**。考慮斜橢圓 WIKINIUM\_MATH\_PH\_202 ，其中 WIKINIUM\_MATH\_PH\_204 是有理點。畫一條過該點且斜率為t之直線 WIKINIUM\_MATH\_PH\_206 ，並帶入E的等式，於是得到：

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_208 。
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_210
這就給出E的有理參數化，於是證明了E是有理曲線。

將此結果置於射影幾何的框架下，則能導出若干數論的結論。例如我們可在E中加入無窮遠點，得到射影曲線

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_212
以上參數化遂表為

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_214
若取 WIKINIUM\_MATH\_PH\_216 為整數，對應的 WIKINIUM\_MATH\_PH\_218 是不定方程 WIKINIUM\_MATH\_PH\_220 的整數解；若將 WIKINIUM\_MATH\_PH\_222 代以 WIKINIUM\_MATH\_PH\_224 ，則此方程詮釋為θ=60°時的餘弦定理，藉此能描述所有一角為 60°且邊長均為整數的三角形，例如取 WIKINIUM\_MATH\_PH\_226 ，就得到邊長分別為X=3, Y=8, Z=7的三角形。

### 橢圓曲線

橢圓曲線可以定義為任意虧格等於一且給定一個有理點的代數曲線，它們都同構於平面上的三次曲線。此時通常取無窮遠處的反曲點為給定的有理點，這時該曲線可以寫作射影版本的Tate-魏爾施特拉斯形式：

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_228
橢圓曲線帶有唯一的阿貝爾群結構，使得給定有理點為單位元素，且加法為代數簇的態射，因而橢圓曲線構成一個阿貝爾簇。在三次平面曲線的情形，三點和為零若且唯若它們共線。對於複數域上的橢圓曲線，此阿貝爾簇同構於 WIKINIUM\_MATH\_PH\_230 ，其中的 WIKINIUM\_MATH\_PH\_232 由相應的橢圓函數給出。

### 虧格大於一的曲線

對虧格大於一的曲線，其性質與有理曲線與橢圓曲線有顯著不同。根據法爾廷斯定理，定義在數域上的這類曲線只有有限個有理點；若視為黎曼曲面，它們則帶有雙曲幾何的結構。例子包括超橢圓曲線、克萊因四次曲線與一開始提到的費馬曲線在 WIKINIUM\_MATH\_PH\_234 的情形。

## 文獻

* Egbert Brieskorn and Horst Knörrer, *Plane Algebraic Curves*, John Stillwell, trans., Birkhäuser, 1986
* Claude Chevalley, *Introduction to the Theory of Algebraic Functions of One Variable*, American Mathematical Society, Mathematical Surveys Number VI, 1951
* Hershel M. Farkas and Irwin Kra, *Riemann Surfaces*, Springer, 1980
* Phillip A. Griffiths, *Introduction to Algebraic Curves*, Kuniko Weltin, trans., American Mathematical Society, Translation of Mathematical Monographs volume 70, 1985 revision
* Robin Hartshorne, *Algebraic Geometry*, Springer, 1977
* Shigeru Iitaka, *Algebraic Geometry: An Introduction to the Birational Geometry of Algebraic Varieties*, Springer, 1982
* John Milnor, *Singular Points of Complex Hypersurfaces*, Princeton University Press, 1968
* George Salmon, *Higher Plane Curves*, Third Edition, G. E. Stechert & Co., 1934
* Jean-Pierre Serre, *Algebraic Groups and Class Fields*, Springer, 1988