# 椭圆积分[编辑]

在积分学中，**椭圆积分**最初出现于椭圆的弧长有关的问题中。朱利奥·法尼亚诺和欧拉是最早的研究者。现代数学将**椭圆积分**定义为可以表达为如下形式的任何函数 WIKINIUM\_MATH\_PH\_0 的积分

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_2
其中 WIKINIUM\_MATH\_PH\_4 是其两个参数的有理函数， WIKINIUM\_MATH\_PH\_6 是一个无重根的 WIKINIUM\_MATH\_PH\_8 或 WIKINIUM\_MATH\_PH\_10 阶多项式，而 WIKINIUM\_MATH\_PH\_12 是一个常数。

通常，椭圆积分不能用基本函数表达。这个一般规则的例外出现在 WIKINIUM\_MATH\_PH\_14 有重根的时候，或者是 WIKINIUM\_MATH\_PH\_16 , WIKINIUM\_MATH\_PH\_18 没有 WIKINIUM\_MATH\_PH\_20 的奇数幂时。但是，通过适当的简化公式，每个椭圆积分可以变为只涉及有理函数和三个经典形式的积分。（也即，第一，第二，和第三类的椭圆积分）。

除下面给出的形式之外，椭圆积分也可以表达为勒让德形式和Carlson对称形式。通过对施瓦茨-克里斯托费尔映射的研究可以加深对椭圆积分理论的理解。历史上，椭圆函数是作为椭圆积分的逆函数被发现的，特别是这一个： WIKINIUM\_MATH\_PH\_22 其中 WIKINIUM\_MATH\_PH\_24 是雅可比正弦椭圆函数。

## 记法

椭圆积分通常表述为不同变量的函数。这些变量完全等价（它们给出同样的椭圆积分），但是它们看起来很不相同。很多文献使用单一一种标准命名规则。在定义积分之前，先来检视一下这些变量的命名常规：

* WIKINIUM\_MATH\_PH\_26 **模角**;
* WIKINIUM\_MATH\_PH\_28 **椭圆模**;
* WIKINIUM\_MATH\_PH\_30 **参数**;

上述三种常规完全互相确定。规定其中一个和规定另外一个一样。椭圆积分也依赖于另一个变量，可以有如下几种不同的设定方法：

* WIKINIUM\_MATH\_PH\_32 **幅度 WIKINIUM\_MATH\_PH\_34 其中 WIKINIUM\_MATH\_PH\_36
* WIKINIUM\_MATH\_PH\_38 ，其中 WIKINIUM\_MATH\_PH\_40 而 WIKINIUM\_MATH\_PH\_42 是雅可比椭圆函数之一

规定其中一个决定另外两个。这样，它们可以互换地使用。注意 WIKINIUM\_MATH\_PH\_44 也依赖于 WIKINIUM\_MATH\_PH\_46 。其它包含 WIKINIUM\_MATH\_PH\_48 的关系有

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_50
和

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_52
后者有时称为**δ幅度**并写作 WIKINIUM\_MATH\_PH\_54 。有时文献也称之为补参数，补模或者补模角。这些在四分周期中有进一步的定义。

## 第一类不完全椭圆积分

**第一类不完全椭圆积分** WIKINIUM\_MATH\_PH\_56 定义为

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_58
与此等价，用雅可比的形式，可以设
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_60 ；则

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_62
其中，假定任何有竖直条出现的地方，紧跟竖直条的变量是（如上定义的）参数；而且，当反斜杠出现的时候，跟着出现的是模角。
在这个意义下， WIKINIUM\_MATH\_PH\_64 ，这里的记法来自标准参考书Abramowitz and Stegun。

但是，还有许多不同的用于椭圆积分的记法。取值为椭圆积分的函数没有（像平方根，正弦和误差函数那样的）标准和唯一的名字。甚至关于该领域的文献也常常采用不同的记法。Gradstein, Ryzhik[1] （页面存档备份，存于互联网档案馆）, WIKINIUM\_MATH\_PH\_66 .(8.111)]采用 WIKINIUM\_MATH\_PH\_68 。该记法和这里的 WIKINIUM\_MATH\_PH\_70 ；以及下面的 WIKINIUM\_MATH\_PH\_72 等价。

和上面的不同对应的是，如果从Mathematica语言翻译代码到Maple语言，必须将EllipticK函数的参数用它的平方根代替。反过来，如果从Maple翻到Mathematica，则参数应该用它的平方代替。Maple中的EllipticK( WIKINIUM\_MATH\_PH\_74 )几乎和Mathematica中的EllipticK[ WIKINIUM\_MATH\_PH\_76 ]相等；至少当 WIKINIUM\_MATH\_PH\_78 时是相等的。

注意

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_80
其中 WIKINIUM\_MATH\_PH\_82 如上文所定义：由此可见，雅可比椭圆函数是椭圆积分的逆。

### 加法公式

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_84
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_86
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_88
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_90
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_92
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_94
### 性质

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_96
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_98
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_100
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_102
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_104
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_106
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_108
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_110
### 第一类不完全椭圆积分的导数

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_112
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_114
## 第二类不完全椭圆积分

**第二类不完全椭圆积分** WIKINIUM\_MATH\_PH\_116 是

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_118
与此等价，采用另外一个记法（作变量替换 WIKINIUM\_MATH\_PH\_120 ），

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_122
其它关系包括

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_124
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_126
### 加法公式

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_128
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_130
### 性质

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_132
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_134
### 第二类不完全椭圆积分的导数

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_136
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_138
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_140
## 第三类不完全椭圆积分

**第三类不完全椭圆积分** WIKINIUM\_MATH\_PH\_142 是

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_144
或者

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_146
或者

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_148
数字 WIKINIUM\_MATH\_PH\_150 称为**特征数**，可以取任意值，和其它参数独立。但是要注意 WIKINIUM\_MATH\_PH\_152 对于任意 WIKINIUM\_MATH\_PH\_154 是无穷的。

### 加法公式

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_156
### 第三类不完全椭圆积分的导数

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_158
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_160
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_162
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_164
### 特殊值

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_166
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_168
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_170
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_172
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_174
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_176
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_178
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_180
## 第一类完全椭圆积分

第一类完全椭圆积分 WIKINIUM\_MATH\_PH\_182
如果幅度为 WIKINIUM\_MATH\_PH\_184 或者 WIKINIUM\_MATH\_PH\_186 ，则称椭圆积分为*完全*的。
**第一类完全椭圆积分** WIKINIUM\_MATH\_PH\_188 可以定義为

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_190
或者

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_192
它是第一类不完全椭圆积分的特例：

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_194
这个特例可以表达为幂级数

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_196
它等价于

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_198
其中 WIKINIUM\_MATH\_PH\_200 表示双阶乘。利用高斯的超几何函数，第一类完全椭圆积分可以表达为

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_202
第一类完全椭圆积分有时称为四分周期。它可以利用算术几何平均值來快速计算。

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_204
### 复数值

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_206
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_208

### 特殊值

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_210
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_212
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_214
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_216
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_218
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_220
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_222
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_224
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_226
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_228
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_230
其中

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_232
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_234
第一类完全椭圆积分满足

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_236
### 导数

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_238
### 漸近表示

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_240
這個近似在k<1/2時相對誤差小於 WIKINIUM\_MATH\_PH\_242 ，若只保留前兩項則誤差在k<1/2時小於0.01

### 微分方程

此函數滿足以下微分方程

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_243
此微分方程之另一解為 WIKINIUM\_MATH\_PH\_245 ，此解滿足以下關係。

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_247 .
## 第二类完全椭圆积分

第二类完全椭圆积分 WIKINIUM\_MATH\_PH\_249
**第二类完全椭圆积分** WIKINIUM\_MATH\_PH\_251 可以定义为

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_253
或者

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_255
它是第二类不完全椭圆积分的特殊情况：

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_257
它可以用幂级数表达

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_259
也就是

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_261
用高斯超几何函数表示的话，第二类完全椭圆积分可以写作

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_263
有如下性质

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_265
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_267

### 复数值

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_269
### 特殊值

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_271
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_273
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_275
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_277
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_279
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_281
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_283
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_285
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_287
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_289
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_291
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_293

其中

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_295
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_297
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_299
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_301
### 导数、積分及微分方程

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_303
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_305
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_307
此微分方程之另解為 WIKINIUM\_MATH\_PH\_309 。

## 第三类完全椭圆积分

不同 WIKINIUM\_MATH\_PH\_311 值的第三类完全椭圆积分 WIKINIUM\_MATH\_PH\_313
**第三类完全椭圆积分** WIKINIUM\_MATH\_PH\_315 可以定义为

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_317
注意有时第三类椭圆积分被定义为带相反符号的 WIKINIUM\_MATH\_PH\_319 ，也即

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_321
用阿佩尔函数可表示为

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_323
第三类完全椭圆积分和第一类椭圆积分之间的关系

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_325
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_327

如

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_329

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_331
### 偏导数

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_333
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_335
### 特殊值

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_337
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_339
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_341
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_343
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_345
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_347
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_349
## 函數關係

勒讓得關係指出了第一类和第二类完全椭圆积分之间的联系:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_351
## 参看

* 椭圆曲线
* 施瓦茨-克里斯托费尔映射
* 雅可比橢圓函數
* 魏爾斯特拉斯橢圓函數
* Θ函數
* 算术-几何平均数

## 参考

* Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, *Handbook of Mathematical Functions*, (1964) Dover Publications, New York. ISBN 0-486-61272-4. *(See chapter 17)*.
* Harris Hancock *Lectures on the theory of Elliptic functions* (New York, J. Wiley & sons, 1910)
* Alfred George Greenhill *The applications of elliptic functions* (New York, Macmillan, 1892)
* Louis V. King *On The Direct Numerical Calculation Of Elliptic Functions And Integrals* (Cambridge University Press, 1924)