# 球 (数学)[编辑]

一个球
在歐氏空間裡，**球**是指球面的內部。
**球**（英語：ball）在數學裡，是指球面內部的空間。球可以是封閉的（包含球面的邊界點，稱為**閉球**），也可以是開放的（不包含邊界點，稱為**開球**）。

球的概念不只存在於三維歐氏空間裡，亦存在於較低或較高維度，以及一般度量空間裡。 WIKINIUM\_MATH\_PH\_0 維空間裡的球稱為 WIKINIUM\_MATH\_PH\_2 維球，且包含於 WIKINIUM\_MATH\_PH\_4 維球面內。因此，在歐氏平面裡，球為一圓盤，包含在圓內。在三維空間裡，球則是指在二維球面邊界內的空間。

## 歐氏空間裡的球

在 WIKINIUM\_MATH\_PH\_6 維歐氏空間裡，一個中心為 WIKINIUM\_MATH\_PH\_8 ，半徑為 WIKINIUM\_MATH\_PH\_10 的 WIKINIUM\_MATH\_PH\_12 維（開）球是個由所有距 WIKINIUM\_MATH\_PH\_14 的距離小於 WIKINIUM\_MATH\_PH\_16 的點所組成之集合。一個中心為 WIKINIUM\_MATH\_PH\_18 ，半徑為 WIKINIUM\_MATH\_PH\_20 的 WIKINIUM\_MATH\_PH\_22 維閉球是個由所有距 WIKINIUM\_MATH\_PH\_24 的距離小於等於 WIKINIUM\_MATH\_PH\_26 的點所組成之集合。

在 WIKINIUM\_MATH\_PH\_28 維歐氏空間裡，每個球都是某個超球面內部的空間。在一維時，球是個有界的區間；在二維時，是某個圓的內部（圓盤）；而在三維時，則是某個球面的內部。

### 體積

在 WIKINIUM\_MATH\_PH\_30 維歐氏空間裡，半徑 WIKINIUM\_MATH\_PH\_32 的球之 WIKINIUM\_MATH\_PH\_34 維體積為：

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_36
其中， WIKINIUM\_MATH\_PH\_38 是李昂哈德·歐拉的Γ函數（可被視為階乘在實數的延伸）。使用Γ函數在整數與半整數時的公式，可不需要估算 WIKINIUM\_MATH\_PH\_40 函數即可計算出球的體積：

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_42
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_44
在奇數維度時的體積公式裡，對每個奇數 WIKINIUM\_MATH\_PH\_46 ，雙階乘 WIKINIUM\_MATH\_PH\_48 定義為 WIKINIUM\_MATH\_PH\_50 。

## 一般度量空間裡的球

令 WIKINIUM\_MATH\_PH\_52 為一度量空間，即具有度量（距離函數） WIKINIUM\_MATH\_PH\_54 的集合 WIKINIUM\_MATH\_PH\_56 。中心為 WIKINIUM\_MATH\_PH\_58 內的點 WIKINIUM\_MATH\_PH\_60 ，半徑為 WIKINIUM\_MATH\_PH\_62 的開球，通常標計為 WIKINIUM\_MATH\_PH\_64 或 WIKINIUM\_MATH\_PH\_66 ，定義為

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_68
其閉球，可標計為 WIKINIUM\_MATH\_PH\_70 或 WIKINIUM\_MATH\_PH\_72 ，則定義為

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_74
請特別注意，一個球（無論開放或封閉）總會包含點 WIKINIUM\_MATH\_PH\_76 ，因為依定義， WIKINIUM\_MATH\_PH\_78 。

開球的閉包通常標記為 WIKINIUM\_MATH\_PH\_80 。雖然 WIKINIUM\_MATH\_PH\_82 與 WIKINIUM\_MATH\_PH\_84 總是成立的，但 WIKINIUM\_MATH\_PH\_86 則不一定總是為真。舉例來說，在一個具離散度量的度量空間 X 裡，對每個 X 內的 p 而言， WIKINIUM\_MATH\_PH\_88 ，但 WIKINIUM\_MATH\_PH\_90 。

一個（開或閉）單位球為一半徑為 1 的球。

度量空間的子集是有界的，若該子集包含於某個球內。一個集合是全有界的，若給定一正值半徑，該集合可被有限多個具該半徑的球所覆蓋。

度量空間裡的開球為拓撲空間裡的基，其中所有的開集合均為某些（有限或無限個）開球的聯集。該拓撲空間被稱為由度量 d 導出之拓撲。

## 賦範向量空間裡的球

每個具範數 |·| 的賦範向量空間亦為一度量空間，其中度量 WIKINIUM\_MATH\_PH\_92 。在此類空間裡，每個球 WIKINIUM\_MATH\_PH\_94 均可視為是單位球 WIKINIUM\_MATH\_PH\_96 平移 WIKINIUM\_MATH\_PH\_98 ，再縮放 WIKINIUM\_MATH\_PH\_100 後所得之集合。

前面討論的歐氏空間裡的球亦為賦範向量空間裡球的一例。

### p-範數

在具 p-範數 WIKINIUM\_MATH\_PH\_102 的笛卡爾空間 WIKINIUM\_MATH\_PH\_104 裡，開球是指集合

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_106
在二維（ WIKINIUM\_MATH\_PH\_108 ）時， WIKINIUM\_MATH\_PH\_110 （通常稱為曼哈頓度量）的球是對角線平行於坐標軸的正方形；而 WIKINIUM\_MATH\_PH\_112 （切比雪夫度量）的球則是個邊平行於坐標軸的正方形。對於 WIKINIUM\_MATH\_PH\_114 的其他值，該球則會是超橢圓的內部。

在三維（ WIKINIUM\_MATH\_PH\_116 ）時， WIKINIUM\_MATH\_PH\_118 的球是個對角線平行為坐標軸的八面體，而 WIKINIUM\_MATH\_PH\_120 的球則是個邊平行為坐標軸的正立方體。對於 WIKINIUM\_MATH\_PH\_122 的其他值，該球則會是超橢球的內部。

### 一般凸範數

更一般性地，給定任一 WIKINIUM\_MATH\_PH\_124 內中心對稱、有界、開放且凸的集合 WIKINIUM\_MATH\_PH\_126 ，均可定義一個在 WIKINIUM\_MATH\_PH\_128 的範數，該球均為 WIKINIUM\_MATH\_PH\_130 平移再一致縮放後所得之集合。須注意，若將此定理內的「開」子集以「閉」子集替代，則定理不能成立，因為原點也符合定理內所定之集合，但無法定義 WIKINIUM\_MATH\_PH\_132 內的範數。

## 拓撲空間裡的球

在拓撲學的文獻裡，「球」可能有两種含义，由上下文决定。

### 開集

“（开）球”一词有时被非正式地用于指代任何开集：可以用“ WIKINIUM\_MATH\_PH\_134 点周围的一个球”代表包含 WIKINIUM\_MATH\_PH\_136 的一个开集。该集合同胚于什么依赖于背景拓扑空间以及所选取的开集。同样，“闭球”有时用于表示这样一个开集的闭包。（这可能产生误导，例如超度量空间中一个闭球不是同样半径的开球的闭包，它们都是既开且闭的。）

有时，邻域用于指代这个意义上的球，但是邻域其实有更一般的意义： WIKINIUM\_MATH\_PH\_138 的一个邻域是任何包含一个 WIKINIUM\_MATH\_PH\_140 的开集的集合，因此通常不是开集。

### 拓撲球

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_142 內的 WIKINIUM\_MATH\_PH\_144 維（開或閉）拓撲球是指 WIKINIUM\_MATH\_PH\_146 內同胚於 WIKINIUM\_MATH\_PH\_148 維（開或閉）歐幾里得球的任一子集，該子集不一定需要由某個度量導出。 WIKINIUM\_MATH\_PH\_150 維拓撲球在組合拓撲學裡很重要，為建構胞腔復形的基礎。

任一 WIKINIUM\_MATH\_PH\_152 維開拓撲球均同胚於笛卡爾空間 WIKINIUM\_MATH\_PH\_154 及 WIKINIUM\_MATH\_PH\_156 維開單位超方形 WIKINIUM\_MATH\_PH\_158 。任一 WIKINIUM\_MATH\_PH\_160 維閉拓撲球均同胚於 WIKINIUM\_MATH\_PH\_162 維閉超方形 WIKINIUM\_MATH\_PH\_164 。

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_166 維球同胚於 WIKINIUM\_MATH\_PH\_168 維球，若且唯若 WIKINIUM\_MATH\_PH\_170 。 WIKINIUM\_MATH\_PH\_172 維開球 WIKINIUM\_MATH\_PH\_174 與 WIKINIUM\_MATH\_PH\_176 間的同胚可分成兩種類型，以 WIKINIUM\_MATH\_PH\_178 的兩種可能之拓撲定向來區分。

一個 WIKINIUM\_MATH\_PH\_180 維拓撲球不一定是光滑的；若該球是光滑的，亦不一定需微分同胚於一 WIKINIUM\_MATH\_PH\_182 維歐幾里得球。

## 另見

* 球 - 一般常見的意義
* 圓盤
* 形式球，將球的半徑延伸至負值。
* 鄰域
* 三維球面
* n維球面（超球面）
* 亞歷山大帶角球
* 流形
* n維球的體積
* 正八面體， WIKINIUM\_MATH\_PH\_184 度量下的三維球
* 球殼
* 橢球
* 球缺
* 半球

* D. J. Smith and M. K. Vamanamurthy, "How small is a unit ball?", *Mathematics Magazine*, 62 (1989) 101–107.
* "Robin conditions on the Euclidean ball", J. S. Dowker [1]
* "Isometries of the space of convex bodies contained in a Euclidean ball", Peter M. Gruber[2]