# 拋物線座標系[编辑]

拋物線坐標系的綠色的 WIKINIUM\_MATH\_PH\_0 等值曲線和紅色的 WIKINIUM\_MATH\_PH\_2 等值曲線。横軸與縱軸分別為 x-軸與 y-軸。
**拋物線坐標系**（英語：Parabolic coordinates）是一種二維正交坐標系，兩個坐標的等值曲線都是共焦的拋物線。將二維的拋物線坐標系繞著拋物線的對稱軸旋轉，則可以得到三維的拋物線坐標系。

實際上，拋物線坐標可以應用在許多物理問題。例如，斯塔克效應（Stark effect），物體邊緣的位勢論，以及拉普拉斯-龍格-冷次向量的保守性。

## 二維拋物線坐標系

直角坐標 WIKINIUM\_MATH\_PH\_4 可以用二維拋物線坐標 WIKINIUM\_MATH\_PH\_6 表示為

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_8 、
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_10 ；
其中， WIKINIUM\_MATH\_PH\_12 ， WIKINIUM\_MATH\_PH\_14 。

反算回來，二維拋物線坐標 WIKINIUM\_MATH\_PH\_16 可以用直角坐標 WIKINIUM\_MATH\_PH\_18 表示為

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_20 、
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_22 。
坐標 WIKINIUM\_MATH\_PH\_24 為常數的曲線形成共焦的，凹性向上的（往 +y-軸）拋物線：

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_26 ，
而坐標 WIKINIUM\_MATH\_PH\_28 為常數的曲線形成共焦的，凹性向下的（往 -y-軸）拋物線：

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_30 。
這些拋物線的焦點的位置都在原點。

## 二維標度因子

拋物線坐標 WIKINIUM\_MATH\_PH\_32 的標度因子相等：

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_34 。
因此，面積的無窮小元素是

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_36 。
拉普拉斯算子是

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_38 。
其它微分算子，像 WIKINIUM\_MATH\_PH\_40 ， WIKINIUM\_MATH\_PH\_42 ，都可以用 WIKINIUM\_MATH\_PH\_44 坐標表示，只要將標度因子代入在正交坐標系條目內的一般公式。

## 三維拋物線坐標系

三維拋物線坐標的坐標曲面。紅色的拋物曲面的坐標 WIKINIUM\_MATH\_PH\_46 。藍色的拋物曲面的坐標 WIKINIUM\_MATH\_PH\_48 。黃色的半平面的坐標 WIKINIUM\_MATH\_PH\_50 。三個面相交於點 WIKINIUM\_MATH\_PH\_52 （以黑色小球表示）。
將二維的拋物線坐標系繞著拋物線的對稱軸旋轉，則可以得到三維的拋物線坐標系，又稱為**旋轉拋物線坐標系**。將對稱軸與 z-軸排列成同直線；而拋物線坐標系的共焦點與直角坐標系的原點同地點。直角坐標 WIKINIUM\_MATH\_PH\_54 可以用三維拋物線坐標 WIKINIUM\_MATH\_PH\_56 表示為

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_58 、
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_60 、
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_62 ；
其中， WIKINIUM\_MATH\_PH\_64 ， WIKINIUM\_MATH\_PH\_66 ，方位角 WIKINIUM\_MATH\_PH\_68 定義為

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_70 。
反算回來，三維拋物線坐標 WIKINIUM\_MATH\_PH\_72 可以用直角坐標 WIKINIUM\_MATH\_PH\_74 表示為

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_76 、
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_78 、
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_80 。
每一個 WIKINIUM\_MATH\_PH\_82 -坐標曲面都是共焦的，凹性向上的（往 +z-軸）**拋物曲面**：

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_84 ，
而每一個 WIKINIUM\_MATH\_PH\_86 >-坐標曲面都是共焦的，凹性向下的（往 -z-軸）**拋物曲面**：

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_88 。
這些拋物曲面的焦點的位置都在原點。

## 三維標度因子

三維標度因子為：

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_90 、
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_92 、
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_94 。
我們可以觀察出，標度因子 WIKINIUM\_MATH\_PH\_96 ， WIKINIUM\_MATH\_PH\_98 與二維標度因子相同。因此，體積的無窮小元素是

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_100 。
拉普拉斯算子是

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_102 。
其它微分算子，像 WIKINIUM\_MATH\_PH\_104 ， WIKINIUM\_MATH\_PH\_106 ，都可以用 WIKINIUM\_MATH\_PH\_108 坐標表示，只要將標度因子代入在正交坐標系 條目內的一般公式。

## 第二種表述

另外還有一種拋物線坐標系的表述，專門用於哈密頓-亞可比方程式。假若使用此種表述的公式，則哈密頓-亞可比方程式可以很容易的分解出來。應用此方法，可以導引出拉普拉斯-龍格-冷次向量的恆定性．

採用下述從拋物線坐標變換至直角坐標的公式：

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_110 、
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_112 、
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_114 。
假若 WIKINIUM\_MATH\_PH\_116 ，則可得到一片截面；其坐標被限制於 WIKINIUM\_MATH\_PH\_118 的 +xz-半平面：

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_120 、
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_122 。
假若包含於一條曲線的每一點的坐標 WIKINIUM\_MATH\_PH\_124 是一個常數， WIKINIUM\_MATH\_PH\_126 ，則

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_128 。
這是一個共焦點在原點的拋物線；對稱軸與 z-軸同軸；凹性向上。

假若包含於一條曲線的每一點的坐標 WIKINIUM\_MATH\_PH\_130 是一個常數， WIKINIUM\_MATH\_PH\_132 ，則

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_134 。
這也是一個共焦點在原點的拋物線；對稱軸與 z-軸同軸；凹性向下。

思考任何一條向上的拋物線 WIKINIUM\_MATH\_PH\_136 與任何一條向下的拋物線 WIKINIUM\_MATH\_PH\_138 ，我們想要求得兩條曲線的相交點：

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_140 。
稍微計算，可得

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_142 。
將相交點的横坐標 WIKINIUM\_MATH\_PH\_144 代入向上的拋物線的公式，

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_146 。
所以，相交點 P 坐標為 WIKINIUM\_MATH\_PH\_148 。

思考正切這兩條拋物線於點 P 的一對切線。向上的拋物線的切線的斜率為

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_150 。
向下的拋物線的切線的斜率為

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_152 。
兩個斜率的乘積為

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_154 。
所以，兩條切線相垂直。對於任何兩條凹性相反的拋物線，都會有同樣的結果。

假設 WIKINIUM\_MATH\_PH\_156 。讓 WIKINIUM\_MATH\_PH\_158 值從 WIKINIUM\_MATH\_PH\_160 緩慢增值，這半平面會相應地繞著 z-軸按照右手定則旋轉；拋物線坐標為常數的拋物線 形成了拋物曲面。一對相反的拋物曲面的相交 設定了一個圓圈。而 WIKINIUM\_MATH\_PH\_162 值設定的半平面，切過這圓圈於一個唯一點。這唯一點的直角坐標是：

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_164 、
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_166 、
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_168 。
## 參考文獻

* Morse PM, Feshbach H. Methods of Theoretical Physics, Part I. New York: McGraw-Hill. 1953: p. 660. ISBN 0-07-043316-X.  引文格式1维护：冗余文本 (link)
* Margenau H, Murphy GM. The Mathematics of Physics and Chemistry. New York: D. van Nostrand. 1956: pp. 185–186.  引文格式1维护：冗余文本 (link)
* Korn GA, Korn TM. Mathematical Handbook for Scientists and Engineers. New York: McGraw-Hill. 1961: p. 180.  引文格式1维护：冗余文本 (link)
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* Moon P, Spencer DE. Parabolic Coordinates (μ, ν, ψ). Field Theory Handbook, Including Coordinate Systems, Differential Equations, and Their Solutions corrected 2nd ed., 3rd print ed. New York: Springer-Verlag. 1988: pp. 34–36 (Table 1.08). ISBN 978-0387184302.  引文格式1维护：冗余文本 (link)