Rikunarita-ORG/Wikinium huggingface dataset:
# 平均曲率[编辑]

在微分几何中，一个曲面 WIKINIUM\_MATH\_PH\_0 的**平均曲率**（mean curvature） WIKINIUM\_MATH\_PH\_2 ，是一个“外在的”弯曲测量标准，局部地描述了一个曲面嵌入周围空间（比如二维曲面嵌入三维欧几里得空间）的曲率。

这个概念由索菲·热尔曼在她的著作《弹性理论》中最先引入。

## 定义

令 WIKINIUM\_MATH\_PH\_4 是曲面 WIKINIUM\_MATH\_PH\_6 上一点，考虑 WIKINIUM\_MATH\_PH\_8 上过 WIKINIUM\_MATH\_PH\_10 的所有曲线 WIKINIUM\_MATH\_PH\_12 。每条这样的 WIKINIUM\_MATH\_PH\_14 在 WIKINIUM\_MATH\_PH\_16 点有一个伴随的曲率 WIKINIUM\_MATH\_PH\_18 。在这些曲率 WIKINIUM\_MATH\_PH\_20 中，至少有一个极大值 WIKINIUM\_MATH\_PH\_22 与极小值 WIKINIUM\_MATH\_PH\_24 ，这两个曲率 WIKINIUM\_MATH\_PH\_26 称为 WIKINIUM\_MATH\_PH\_28 的主曲率。

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_30 的**平均曲率**是两个主曲率的平均值(斯皮瓦克 1999，第3卷，第2章)，由欧拉公式其实也是所有曲率的平均值，故有此名。

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_32
利用第一基本形式与第二基本形式的系数，平均曲率表示为：

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_34
这里 WIKINIUM\_MATH\_PH\_36 是第一基本形式的系数， WIKINIUM\_MATH\_PH\_38 为第二基本形式的系数。

平均曲率可推广为更一般情形 (斯皮瓦克 1999，第4卷，第7章)，一个超曲面 WIKINIUM\_MATH\_PH\_40 的平均曲率为：

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_42
更抽象地说，平均曲率是第二基本形式（或等价地，形算子）的迹 WIKINIUM\_MATH\_PH\_44 。

另外，平均曲率 WIKINIUM\_MATH\_PH\_46 可以用共变导数 WIKINIUM\_MATH\_PH\_48 写成

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_50
这里利用了高斯-Weingarten 关系， WIKINIUM\_MATH\_PH\_52 是一族光滑嵌入超曲面， WIKINIUM\_MATH\_PH\_54 为单位法向量，而 WIKINIUM\_MATH\_PH\_56 是度量张量。

一个曲面是极小曲面当且仅当平均曲率为零。此外，平面 WIKINIUM\_MATH\_PH\_58 平均曲率满足一个热型方程称为平均曲率流方程。

有些作者會將平均曲率直接定為第二基本形式的迹（而並未 WIKINIUM\_MATH\_PH\_60 ）。然而，這並不影響一個曲面是否成為一個極小曲面的條件。

### 3 维空间中曲面

对 3 维空间中的曲面，平均曲率与曲面的单位法向量相关：

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_62
这里法向量的选取影响曲率的正负号。曲率的符号取决于法向量的方向：如果曲面“远离”法向量则曲率是正的。上面的公式对 3 维空间中任何方式定义的曲面都成立，只要能够计算单位法向量的散度。

对曲面是两个坐标的函数定义的曲面，比如 WIKINIUM\_MATH\_PH\_64 ，使用向下的法向量平均曲率（的两倍）表示为

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_66
如果曲面还是轴对称的，满足 WIKINIUM\_MATH\_PH\_68 ，则

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_70
## 流体力学

在流体力学中使用的另外一种定义是不要因子 2：

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_72
这出现于楊-拉普拉斯公式中，平衡球状小滴内部的压力等于表面张力乘以 WIKINIUM\_MATH\_PH\_74 ；两个曲率等于小滴半径的倒数 WIKINIUM\_MATH\_PH\_76 。

## 极小曲面

Costa 极小曲面示意图
一个**极小曲面**是所有点的平均曲率为零的曲面。经典例子有悬链曲面、螺旋面、Scherk 曲面与Enneper 曲面。新近发现的包括Costa极小曲面（1982年）与Gyroid（1970年）。

极小曲面的一个推广是考虑平均曲率为非零常数的曲面，球面和圆柱面就是这样的例子。Heinz Hopf的一个问题为是否存在曲率为非零常数的非球面闭曲面。球面是惟一具有常平均曲率且没有边界或奇点的曲面；如果允许自交，则存在平均曲率为非零常数的闭曲面，Wente在1986年曾构造出这样的自交环面(陈维桓 2006，4.6节)。

* 高斯曲率
* 平均曲率流
* 逆平均曲率流
* 面积公式第一变分

* 斯皮瓦克, 迈克尔, A comprehensive introduction to differential geometry (Volumes 3-4) 3rd, Publish or Perish Press, 1999, ISBN 0-914098-72-1 (Volume 3), ISBN 0-914098-73-X (Volume 4) .
* 陈维桓, 微分几何, 北京大学出版社, 2006, ISBN 7-307-10709-9 请检查`|isbn=`值 (帮助)
# 相对高度

1. 海洋
2. 参考椭球体
3. 局地铅垂线
4. 大陆
5. 大地水准面
垂直距离比较
**相对高度**（英語：elevation）是地理坐标系的垂直坐标中，一个地理位置的高度相对于一个固定参考点之上或之下的高度；最常参考的是大地水准面，它是地球的海平面的数学模型，是一个等位重力平面。

术语“相对高度”主要用于指称在地球表面上的点，而术语海拔（英語：altitude）或位势高度用于在地面之上的点，比如飞行中的航空器或在轨道上的航天器。另外，对地面之下的点则使用深度。

相对高度不可以混淆于到地球中心的距离。由于赤道隆起，珠穆朗玛峰和钦博拉索山的顶点，分别是最大相对高度和最大的地心距离。

有辞书定义相对高度为两个任意地点的垂直距离，与海拔的区别在于海拔使用的是某一地点与海平面间的垂直距离。

左眼科测量学中，高度（elevation）的定义一般是指在给定位置的给定方向上测量的角膜表面到给定参考面的距离。

* 高程
* 大地测量系统§高程系统
* 位势高度，是对“几何高度”如相对海平面的高度，根据重力随纬度和高度变化而做出调整的高度。

## 参考
# 位势高度[编辑]

**位势高度**（英語：geopotential height）是气象学中使用的一种假想高度，指与大气中某一点的重力位势（单位质量的空气相对于平均海平面的势能）成正比的高度，单位为位势米。与几何高度相比，位势高度不需再考虑重力随纬度与高度的变化。气象学中通常使用的等压面图上的等高线即为等位势高度线。

在某一高度*h*处，重力位势的定义为

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_0
其中 WIKINIUM\_MATH\_PH\_2 为该处的重力加速度， WIKINIUM\_MATH\_PH\_4 为纬度， WIKINIUM\_MATH\_PH\_6 为几何高度。于是，位势高度即为

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_8
其中 WIKINIUM\_MATH\_PH\_10 为平均海平面上的标准重力。
# 深度

**深度**可以指：

* 向下或向里面的距离
* 深度 (模論)，交換環與模的一種不變量
* 深度操作系统，武漢深之度開發的Linux作業系統
* 光深度，透明度的測量
* 色彩深度，计算机图形学领域表示在點陣圖或者视频帧缓冲区中儲存1像素的顏色所用的位数
* 保险深度，一国或地区全部保费收入与该国或地区的GDP总额的比率
# 角膜[编辑]

| 角膜 |
| --- |
| 眼睛结构图顯示角膜的位置 |
| 基本信息 |
| 屬於 | 眼前部 |
| 系統 | 视觉系统 |
| 标识字符 |
| 拉丁文 | *cornea* |
| MeSH | D003315 |
| TA98 | A15.2.02.012 |
| TA2 | 6744 |
| FMA | FMA:58238 |
| 格雷氏 | p.1070 |
| 《解剖學術語》 |

**角膜**（cornea）属眼球纤维膜最前端透明、稍突出的圆盘状薄膜部分，无色透明、无血管、无黑素细胞，但富含感觉神经末梢；角膜为多層組織，内、外面被覆上皮，中间为规则排列的致密结缔组织。

角膜作用為：

* 初步集中進入眼球內的光
* 防止異物進入眼球

角膜位於虹膜、瞳孔及前房前方，並為眼睛提供2/3的屈光力（角膜的屈光力是眼球中最強，總屈光度為43-48D），進入眼球的光在經過角膜後，通過晶状體的折射，光線(影像)便可以聚焦在視網膜上。角膜的折光能力之所以是屈光系統中最强的，是因为它直接和空气接触。

角膜有十分敏感的神經末梢，如有外物接觸角膜，眼瞼便會反射地合上以保護眼睛。為了保持透明，角膜並沒有血管，而是透過淚液及房水獲取養分及氧氣。

人類角膜直徑約11.5毫米（橫向徑略大於垂直徑），中心厚度約有0.5至0.6毫米，邊緣厚度則約0.6至0.8毫米；前表面曲率半徑約7.8mm，後表面約6.8mm。

由于角膜是眼球屈光度最大构造，因此也是角膜塑形镜与激光手术（LASIK等）减少近视度数作用的部位；而真正因角膜结构异常（曲率半径过小而屈光力强）引起的近视很少见，例如圆锥角膜。

## 组织学（显微解剖学）

食肉类角膜只有四层，而人类角膜从前至后（由外向内）约分为5层：

* 上皮层（上皮细胞层，角膜上皮）
* 前弹力层（前界层，鲍曼膜）
* 基质层（固有层，角膜基质）
* 后弹力层（后界层，德塞梅膜）
* 内皮层（角膜内皮）

自近角膜缘处的人类角膜垂直切面，图示1-5为角膜的5层，a-f为角膜基质的细部构造。
## 角膜缘

角膜缘（corneal limbus）又称角巩膜缘，是角膜和巩膜（眼白）的移行区，为两者间的边界，也是与结膜三者共同的结合处；许多眼科手术在此作切口。

* 角膜刮傷

## 參考文獻

### 引用

### 来源

* Daxer A, Misof K, Grabner B, Ettl A, Fratzl P. "Collagen fibrils in the human corneal stroma: structure and aging." Invest *Ophthalmol Vis Sci.* 1998 Mar;39(3):644-8. PMID 9501878.
* Daxer A, Fratzl P. "Collagen fibril orientation in the human corneal stroma and its implication in keratoconus." *Invest Ophthalmol Vis Sci.* 1997 Jan;38(1):121-9. PMID 9008637.
* Fratzl P, Daxer A. "Structural transformation of collagen fibrils in corneal stroma during drying. An x-ray scattering study." *Biophys J.* 1993 Apr;64(4):1210-4. PMID 8494978.

* Facts About The Cornea and Corneal Disease （页面存档备份，存于互联网档案馆） National Eye Institute (NEI)
* Keratoconus (Irregular Astigmatism), Patient Support （页面存档备份，存于互联网档案馆）
* Keratos, Patient Support （页面存档备份，存于互联网档案馆）
# 類球面

椭圆围绕一个垂直轴旋转而成的类球面
|  |
| 扁球面 | 長球面
 |

**類球面**是一種二次曲面。二維的橢圓有兩個主軸，稱為**長軸**與**短軸**。在三維空間裏，將一個橢圓繞著其任何一主軸旋轉，則可得到一個類球面。

* 假若，這旋轉主軸是長軸，則這個類球面為長球面。例如，英式足球裏所用的橄欖球是長球形狀。
* 假若，這旋轉主軸是短軸，則這個類球面為扁球面。例如，地球在北極與南極稍微有點扁平，在赤道又有點凸漲。所以，地球是扁球形狀。
* 假若，生成的橢圓是圓圈，則這個類球面為完全對稱的圓球面。

## 方程式

对类球面半轴的赋值。如果 WIKINIUM\_MATH\_PH\_0 则为扁球面（左图）而如果 WIKINIUM\_MATH\_PH\_1 则为长球面（右图）。
用另外一種方法來描述，類球面是一種橢球面。採用直角坐標 WIKINIUM\_MATH\_PH\_2 ，橢球面可以表達為

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_4 ；
其中， WIKINIUM\_MATH\_PH\_6 與 WIKINIUM\_MATH\_PH\_8 分別是橢球面在x-軸與y-軸的**赤道半徑**， WIKINIUM\_MATH\_PH\_10 是橢球面在z-軸的**極半徑**，這三個正值實數的半徑決定了橢球面的形狀。 以z-轴为旋转轴的类球面 WIKINIUM\_MATH\_PH\_12 ，它的方程为：

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_14 。
* 假若，三個半徑都相等，則這橢球面是圓球面：

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_16 。
* 假若，類球面的赤道半徑小於極半徑，則這是類球面是長球面：

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_18 。
* 假若，類球面的赤道半徑大於極半徑，則這是類球面是扁球面：

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_20 。
## 性质

### 面積

扁球面 WIKINIUM\_MATH\_PH\_22 ，它的表面积为：

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_23 其中 WIKINIUM\_MATH\_PH\_25 。
扁球面是半长轴为 WIKINIUM\_MATH\_PH\_27 而半短轴为 WIKINIUM\_MATH\_PH\_28 的椭圆围绕 WIKINIUM\_MATH\_PH\_29 -轴旋转而形成的，因此 WIKINIUM\_MATH\_PH\_30 可看作为离心率。

长球面 WIKINIUM\_MATH\_PH\_31 ，它的表面积为：

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_32 其中 WIKINIUM\_MATH\_PH\_34 。
长球面是半长轴为 WIKINIUM\_MATH\_PH\_36 而半短轴为 WIKINIUM\_MATH\_PH\_37 的椭圆围绕 WIKINIUM\_MATH\_PH\_38 -轴旋转而形成的，因此 WIKINIUM\_MATH\_PH\_39 可看作离心率。

### 體積

類球的體積是 WIKINIUM\_MATH\_PH\_40 。

### 曲率

假若，一個類球面被參數化為

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_42  ;
其中， WIKINIUM\_MATH\_PH\_44 是參數緯度（parametric latitude）， WIKINIUM\_MATH\_PH\_46 ， WIKINIUM\_MATH\_PH\_48 是經度， WIKINIUM\_MATH\_PH\_50 。

那麼，類球面的高斯曲率（Gaussian curvature）是

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_52 。
類球面的平均曲率（mean curvature）是

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_54 。
對於類球面，這兩種曲率永遠是正值的。所以，類球面的每一點都是橢圓的。

## 參閱

* 皮埃爾·莫佩爾蒂
* 橢球體
* 卵形體（ovoid）
* 長球面坐標系
* 扁球面坐標系

## 引用
# 初等函数[编辑]

**初等函数**（基本函數）是由常函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数等经过有限次的有理运算（加、减、乘、除、乘方、开方）及有限次函数复合所产生、并且在定义域上能用一个方程式表示的函数。

一般来说，分段函数不是初等函数，因为在这些分段函数的定义域上不能用一个解析式表示。

初等函数的全体对算术运算、复合和微分（求导）是封闭的，但对求极限、无穷级数以及积分不封闭。只有刘维尔函数（初等函数及其积分）的全体对积分才是封闭的。

此外，部分初等函数不是整函数，或者在复数域上是多值函数。

## 名称来源

之所以称这些函数为“初等函数”或“基本函数”（法语：**fonction élémentaire**），需要从微分代数的角度考虑。尽管“初等函数”这个概念最初是由约瑟夫·刘维尔引入的，但目前的通行定义是由约瑟夫·里特给出的：

一个**微分域** WIKINIUM\_MATH\_PH\_0 ，定义为某一个域 WIKINIUM\_MATH\_PH\_2 再加上一个函数对函数的映射 WIKINIUM\_MATH\_PH\_4 。其中， WIKINIUM\_MATH\_PH\_6 满足以下条件：

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_8 WIKINIUM\_MATH\_PH\_10 且该域内的任意常数 WIKINIUM\_MATH\_PH\_12 都满足 WIKINIUM\_MATH\_PH\_14 。

在以上定义满足时，一个函数 WIKINIUM\_MATH\_PH\_16 被称为 WIKINIUM\_MATH\_PH\_18 上的**初等函数**，当且仅当该函数至少满足以下三者之一：

* 是 WIKINIUM\_MATH\_PH\_20 上的代数函数；
* 是 WIKINIUM\_MATH\_PH\_22 上的指数性函数，意即 WIKINIUM\_MATH\_PH\_24 ；
* 是 WIKINIUM\_MATH\_PH\_26 上的对数性函数，意即 WIKINIUM\_MATH\_PH\_28 。

## 常函数

称 WIKINIUM\_MATH\_PH\_30 为常数函数，其中*C*为常数，它的定义域为 WIKINIUM\_MATH\_PH\_32 。

## 幂函数

称形如 WIKINIUM\_MATH\_PH\_34 的函数为幂函数，其中*C*, *r*为常数。幂函数的定义域与*r*的值有关，但是不管*r*取何值，该函数在 WIKINIUM\_MATH\_PH\_36 上总有意义。

## 指数函数

称形如 WIKINIUM\_MATH\_PH\_38 的函数为指数函数，其中*a*是常数， WIKINIUM\_MATH\_PH\_40 且 WIKINIUM\_MATH\_PH\_42 。该函数的定义域为 WIKINIUM\_MATH\_PH\_44 ，值域为 WIKINIUM\_MATH\_PH\_46

## 对数函数

称形如 WIKINIUM\_MATH\_PH\_48 的函数为对数函数，其中 WIKINIUM\_MATH\_PH\_50 且 WIKINIUM\_MATH\_PH\_52 ，是指数函数 WIKINIUM\_MATH\_PH\_54 的反函数。该函数定义域为 WIKINIUM\_MATH\_PH\_56 ，值域为 WIKINIUM\_MATH\_PH\_58

## 三角函数

### 正弦函数

称形如 WIKINIUM\_MATH\_PH\_60 的函数为正弦函数，它的定义域为 WIKINIUM\_MATH\_PH\_62 ，值域为 WIKINIUM\_MATH\_PH\_64 ，最小正周期为 WIKINIUM\_MATH\_PH\_66 。

### 余弦函数

称形如 WIKINIUM\_MATH\_PH\_68 的函数为余弦函数，它的定义域为 WIKINIUM\_MATH\_PH\_70 ，值域为 WIKINIUM\_MATH\_PH\_72 ，最小正周期为 WIKINIUM\_MATH\_PH\_74 。

### 正切函数

称形如 WIKINIUM\_MATH\_PH\_76 的函数为正切函数，它的定义域为 WIKINIUM\_MATH\_PH\_78 ，值域为 WIKINIUM\_MATH\_PH\_80 ，最小正周期为 WIKINIUM\_MATH\_PH\_82 。

### 余切函数

称形如 WIKINIUM\_MATH\_PH\_84 的函数为余切函数，它的定义域为 WIKINIUM\_MATH\_PH\_86 ，值域为 WIKINIUM\_MATH\_PH\_88 ，最小正周期为 WIKINIUM\_MATH\_PH\_90 。

### 正割函数

称形如 WIKINIUM\_MATH\_PH\_92 的函数为正割函数，它的定义域为 WIKINIUM\_MATH\_PH\_94 ，值域为 WIKINIUM\_MATH\_PH\_96 ，最小正周期为 WIKINIUM\_MATH\_PH\_98 。

### 余割函数

称形如 WIKINIUM\_MATH\_PH\_100 的函数为余割函数，它的定义域为 WIKINIUM\_MATH\_PH\_102 ，值域为 WIKINIUM\_MATH\_PH\_104 ，最小正周期为 WIKINIUM\_MATH\_PH\_106 。

## 反三角函数

## 其它常见初等函数

### 双曲函数

双曲正弦函数： WIKINIUM\_MATH\_PH\_108

双曲余弦函数： WIKINIUM\_MATH\_PH\_110

双曲正切函数： WIKINIUM\_MATH\_PH\_112

### 反双曲函数

反双曲正弦函数： WIKINIUM\_MATH\_PH\_114

反双曲余弦函数： WIKINIUM\_MATH\_PH\_116

## 扩展阅读

* Davenport, J. H.: What Might "Understand a Function" Mean. In: Kauers, M.; Kerber, M., Miner, R.; Windsteiger, W.: Towards Mechanized Mathematical Assistants. Springer, Berlin/Heidelberg 2007, p. 55-65. [1]（页面存档备份，存于互联网档案馆）

* *Elementary functions* at Encyclopaedia of Mathematics（页面存档备份，存于互联网档案馆）
* WIKINIUM\_MATH\_PH\_118
# 旋转[编辑]

绕点 WIKINIUM\_MATH\_PH\_0 的二维旋转。
**旋转**在几何和线性代数中是描述刚体围绕一个固定点的运动的在平面或空间中的变换。旋转不同于没有固定点的平移，和翻转变换的形体的反射。旋转和上面提及的变换是等距的，它们保留在任何两点之间的距离在变换之后不变。

## 二维空间

在绕一个点旋转之后绕另一个不同的点的平面旋转导致要么是旋转（如本图）要么是平移的一个总和运动。
在针对一个轴的反射之后的针对不平行于前一个轴的反射导致是绕两个轴的交点的旋转的一个总和运动。
在讨论旋转的时候理解参照系是重要的。一种观点来看，你可以保持坐标轴固定旋转向量。而从另一观点出发，你可以保持向量固定旋转坐标系。

在第一种观点看来，**坐标**或**向量**关于原点的逆时针旋转；或者从第二种观点看来，**平面**或**轴**关于原点的顺时针旋转。这里的 WIKINIUM\_MATH\_PH\_2 被旋转了 WIKINIUM\_MATH\_PH\_4 并希望知道旋转后的坐标 WIKINIUM\_MATH\_PH\_6 :

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_8
或

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_10
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_12
**平面**或**轴**关于原点的逆时针旋转，在新平面中的坐标将顺时针旋转到旧坐标。在这种情况下，如果在旧平面中的坐标是 WIKINIUM\_MATH\_PH\_14 ，同一个向量在新平面中的坐标是 WIKINIUM\_MATH\_PH\_16 ，则：

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_18
或

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_20
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_22
向量 WIKINIUM\_MATH\_PH\_24 的大小同于向量 WIKINIUM\_MATH\_PH\_26 的大小（正交变换是保距映射）。

一个是点的旋转，坐标系没动，得到的是：动的点在原来坐标系下的表示。

另一个是坐标系的旋转，点是不动的，得到的是：不动的点在动了的坐标系下的表示。

**坐标**或**向量**关于原点的逆时针旋转 WIKINIUM\_MATH\_PH\_28 **平面**或**轴**关于原点的顺时针旋转。

**坐标**或**向量**关于原点的顺时针旋转 WIKINIUM\_MATH\_PH\_30 **平面**或**轴**关于原点的逆时针旋转。

顺时针（逆时针）旋转可以理解为逆时针（顺时针）旋转一个负角度，根据 WIKINIUM\_MATH\_PH\_32 ， WIKINIUM\_MATH\_PH\_34 的奇偶性，即 WIKINIUM\_MATH\_PH\_36 ， WIKINIUM\_MATH\_PH\_38 可在逆时针旋转和顺时针旋转的变换公式之间相互转换。

### 复平面

复数可以看作是在复平面中的二维向量，它的尾部在原点而头部由这个复数给出。设

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_40
是这样一个复数。它的实部是横坐标而虚部是纵坐标。

则*z*可逆时针旋转角度θ，通过乘以 WIKINIUM\_MATH\_PH\_42 （参见欧拉公式, §2）。

|  |  |
| --- | --- |
|           WIKINIUM\_MATH\_PH\_44  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_46
 |
|  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_48
 |
|  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_50
 |
|  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_52
 |

这可以被看作对应于在§ 1中描述的旋转。

因为复数的乘法是交换性的，不同于在更高维中的情况，二维旋转是可交换的。

## 三维空间

旋转描述刚体围绕一个点的运动。

在普通三维空间中，坐标旋转可以用欧拉角来定义，或关于要绕其旋转的向量和一个单一的旋转角度构成的轴角定义。

关于原点的旋转最容易使用叫做旋转矩阵的3×3 矩阵变换来计算。关于其他点的旋转可以使用表现齐次坐标的4×4矩阵来描述。

### 四元数

表现在三维空间中的旋转的一种可供选择的方式是四元数。

四元数提供了表示在三维中旋转和方向的另一种方式。它们应用与计算机图形学、控制理论、信号处理和轨道力学中。例如，在太空船的姿态控制系统中常用四元数来下达指令，还用于测距它们的当前姿态。基本原理是组合很多四元数变换比组合很多矩阵变换在数值上更加稳定。

## 一般化

### 正交矩阵

描述旋转的所有矩阵的集合*M(**v**,θ)*加上矩阵乘法运算叫做旋转群：SO(3)。

## 注解

## 引用

* Hestenes, David. New Foundations for Classical Mechanics. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers. 1999. ISBN 0-7923-5514-8.
* Lounesto, Pertti. Clifford algebras and spinors. Cambridge: Cambridge University Press. 2001. ISBN 978-0-521-00551-7.

* 旋转表示
* 自旋
* 欧拉角
* 旋涡
* 旋转群
* 坐标旋转和反射
* Rodrigues旋转公式
* 旋转矩阵
* 方向 (几何)
# 交集[编辑]

在集合论和数学中，两个集合 WIKINIUM\_MATH\_PH\_0 和 WIKINIUM\_MATH\_PH\_2 的**交集**（Intersection）是含有所有既属于 *WIKINIUM\_MATH\_PH\_4* 又属于 *WIKINIUM\_MATH\_PH\_6* 的元素，而没有其他元素的集合。

## 有限交集

A和 WIKINIUM\_MATH\_PH\_8 的交集
交集是由公理化集合论的分類公理來確保其唯一存在的特定集合 WIKINIUM\_MATH\_PH\_10 ：

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_12
也就是直觀上：

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_14 和 WIKINIUM\_MATH\_PH\_16 的交集写作「 WIKINIUM\_MATH\_PH\_18 」，「對所有 WIKINIUM\_MATH\_PH\_20 ， WIKINIUM\_MATH\_PH\_22 等價於 WIKINIUM\_MATH\_PH\_24 且 WIKINIUM\_MATH\_PH\_26 」

例如：集合 WIKINIUM\_MATH\_PH\_28 和 WIKINIUM\_MATH\_PH\_30 的交集为 WIKINIUM\_MATH\_PH\_32 。数字 WIKINIUM\_MATH\_PH\_34 **不属于**素数集合 WIKINIUM\_MATH\_PH\_36 和奇数集合 WIKINIUM\_MATH\_PH\_38 的交集。

若两个集合 WIKINIUM\_MATH\_PH\_40 和 WIKINIUM\_MATH\_PH\_42 的交集为空，就是说它们彼此没有公共元素，则他们**不相交**，写作： WIKINIUM\_MATH\_PH\_44 。例如集合 WIKINIUM\_MATH\_PH\_46 和 WIKINIUM\_MATH\_PH\_48 不相交，写作 WIKINIUM\_MATH\_PH\_50 。

更一般的，交集运算可以对多个集合同时进行。例如，集合 WIKINIUM\_MATH\_PH\_52 ， WIKINIUM\_MATH\_PH\_54 和 WIKINIUM\_MATH\_PH\_56 的**交集**为 WIKINIUM\_MATH\_PH\_58 。交集运算满足结合律。即：

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_60
## 任意交集

以上定義可根據无限并集和补集來推廣到任意集合的交集。

取一个集合 WIKINIUM\_MATH\_PH\_62 ，則根據分類公理可以取以下唯一存在的集合：

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_64 。
也就是直觀上蒐集所有 WIKINIUM\_MATH\_PH\_66 的集合， 這樣的話有：

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_68
根據一阶逻辑的定理(Ce)，也就是：

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_70
但根據一阶逻辑的等式相關定理，下式：

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_72
顯然是個定理（也就是直觀上為真），故：

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_74
換句話說：

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_76
那可以做如下的符號定義：

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_78
稱為 WIKINIUM\_MATH\_PH\_80 的**任意交集**或**无限交集**。也就是直觀上「對所有 WIKINIUM\_MATH\_PH\_82 ， WIKINIUM\_MATH\_PH\_84 等價於對任何 WIKINIUM\_MATH\_PH\_86 的下屬集合 WIKINIUM\_MATH\_PH\_88 ，都有 WIKINIUM\_MATH\_PH\_90 」

例如：

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_92
類似於无限并集，无限交集的表示符號也有多種

可模仿求和符号記為

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_94 。
但大多數人會假設指标集 WIKINIUM\_MATH\_PH\_96 的存在，換句話說

若 WIKINIUM\_MATH\_PH\_98 則 WIKINIUM\_MATH\_PH\_100
在指标集 WIKINIUM\_MATH\_PH\_102 是自然数系 WIKINIUM\_MATH\_PH\_104 的情况下，更可以仿无穷级数來表示，也就是說：

若 WIKINIUM\_MATH\_PH\_106 則 WIKINIUM\_MATH\_PH\_108
也可以更**粗略直觀**的將 WIKINIUM\_MATH\_PH\_110 写作 WIKINIUM\_MATH\_PH\_112 。

* 朴素集合论
* 并集
* 补集
* 对称差
# 雞蛋[编辑]

雞蛋
**雞蛋**，是雞所生、帶有硬殼的卵。受精的雞蛋可孵出小雞。雞蛋由蛋殼保護，而當中的蛋白和蛋黃被各種薄膜包裹，并且是人类重要的食物。

新鮮雞蛋密度較水更大些，會沉入水底。隨著呼吸和釋放二氧化碳，密度會漸漸下降到與水相當，因此放久的雞蛋會自水中浮出水面。

蛋白富含半胱胺酸，其中的硫磺鍵結遇熱會斷裂、蛋白質變質而無法透光，凝固成白色固體。放太久的蛋會產生硫化氫，致腐敗的味道（臭味）。

## 形成和構造

鸡蛋的形成
母鸡的卵巢里有大约4000个初级卵母细胞，起先卵黄物质沉积在卵母细胞周围，然后卵母细胞进入输卵管。卵黄在输卵管的漏斗部与精子结合，形成受精卵。受精卵继续下行，在输卵管的膨大部被蛋白包裹，形成蛋清。接着形成蛋壳膜，然后进入子宫，最后钙质被沉积到蛋壳膜上，形成蛋壳以及蛋壳外面薄薄的角质层保护膜。

公鸡一次能射出的精子数量一般在15-80亿之间。交配一次，可以下十几只受精卵。有实验表明，母鸡在交配后第16天仍有5~6%的受精率。但为保证良好的受精率，最好一周交配一次。受精蛋在37.8摄氏度左右，经过21天左右可以孵化出小鸡。

雞蛋剖面圖
|  | 1.蛋殼 2.外殼膜 3.內殼膜 4.上繫帶 5.稀蛋白 6.濃蛋白 7.卵黃膜 8.核筋膜 9.胚盤 10.深色蛋黃 11.淺色蛋黃 12.內部蛋白 13.下繫帶 14.氣室 15.蛋殼緣 |  |

## 產量統計

2012年排名 (單位：吨)
|  中國
 | 24,500,000
 |
|  美国
 | 5,435,168
 |
|  印度
 | 3,600,000
 |
|  日本
 | 2,506,768
 |
|  俄羅斯
 | 2,333,600
 |
|  世界总量
 | 38,375,536
 |
| 来源：
 |

## 營養成份

水煮蛋的營養成份（不含蛋殼）

| 營養成份
 | 單位
 | 每100克含量
 |
| --- | --- | --- |
| 水
 | 克
 | 74.6
 |
| 能量
 | 千卡
 | 155
 |
| 蛋白質
 | 克
 | 12.6
 |
| 脂肪
 | 克
 | 10.6
 |
| 碳水化合物
 | 克
 | 1.1
 |
| 胆固醇
 | 毫克
 | 373.0
 |
| 膳食纖維
 | 克
 | 0.0
 |
| 鈣
 | 毫克
 | 50
 |
| 鐵
 | 毫克
 | 1.2
 |
| 鎂
 | 毫克
 | 10
 |
| 磷
 | 毫克
 | 172
 |
| 鉀
 | 毫克
 | 126
 |
| 鈉
 | 毫克
 | 124
 |
| 鋅
 | 毫克
 | 1.1
 |
| 銅
 | 毫克
 | 0.01
 |
| 錳
 | 毫克
 | 0.03
 |
| 氟
 | 微克
 | 4.8
 |
| 硒
 | 微克
 | 30.8
 |
| 維生素A
 | IU
 | 520
 |
| 維生素B1 | 毫克
 | 0.07
 |
| 維生素B2 | 毫克
 | 0.5
 |
| 維生素B3 | 毫克
 | 0.06
 |
| 維生素B5 | 毫克
 | 1.4
 |
| 維生素B6 | 毫克
 | 0.1
 |
| 維生素C
 | 毫克
 | 0
 |
| 維生素D
 | IU
 | 87
 |
| 維生素E
 | 毫克
 | 1.0
 |
| 維生素K
 | 微克
 | 0.4
 |

## 健康問題

烤鸡內未成熟的鸡蛋
雞蛋是烹飪的常見原料。在菜肴中，亦被稱為芙蓉、木須、木樨。吃雞蛋的方法有很多種，水煮蛋、煎蛋、炒蛋、蒸蛋等。

雞蛋烹飪涉及的營養學問題主要在於雞蛋中脂肪、膽固醇和蛋白質的氧化。總體來說，氧化程度越嚴重，越不利於健康，越不利於吸收，營養損失越大。 未熟的鸡蛋也可用于烹调，通常从屠宰母鸡收获。生吃雞蛋的需注意的是，食用雞蛋雖然會經過殺菌，但還是有殘留大腸桿菌、沙門氏菌的可能。記得將鍋碗瓢盆洗淨、避免食用有裂痕的雞蛋。另外，摸過雞蛋的手不要再摸其他生鮮食物，並把手徹底洗淨。生吃蛋白會造成消化吸收不良。

血斑是有时在蛋黄表面发现的血滴。 虽然有人认为它们是缺陷的，但在一些母鸡的产卵周期中，血斑会正常地自然形成。所以鸡蛋中的血斑是食用安全的。

另外，市面上销售的鸡蛋有“土鸡蛋”和普通鸡蛋之分。但除脂肪含量略高外，土鸡蛋和普通鸡蛋的营养价值相差无几。一些不良商家会将普通鸡蛋冒充土鸡蛋销售，借此发不义之财。

### 营养误解

醫學界曾經一度認為，由於雞蛋當中的膽固醇含量太高，或會引起人們心血管疾病等問題。然而，這一說法在近年已得以改變。多份研究報告指出，人身體內80%的膽固醇是由身體自己合成，與食用膽固醇無關，會刺激膽固醇含量上升的是飽和脂肪及非常不健康的人造反式脂肪。2015年美國《美國臨床營養學雜誌》發表一項研究，研究人員追蹤兩萬名測試者達20年，證實每周食用多少隻連蛋黃的雞蛋，亦不會增加我們患上心肌梗塞或中風等心血管病的機會。2016年4月初美國膳食諮詢委員會，亦頒佈了最新的膳食指南，剔除每日不應攝取多於300毫克膽固醇限制，消取了長久以來食用雞蛋會引至高膽固醇、心血管疾病等說法。

補充葉黃素的食物來源，以蛋黃的生物可利用率最高，相較於蛋黃，深綠色植物雖有豐富葉黃素，玉米黃素卻較低，且生物可利用率也較低。由於蛋黃中同時含有豐富的葉黃素及玉米黃素，且其生物可利用率是綠色蔬菜的三到四倍，所以蛋黃的護眼效率是極佳的。

2025年研究发现适量食用全蛋可能与健康成年人认知的改善相关，包括降低痴呆风险和提高记忆力，而高摄入量可能会增加风险。

## 爭議

* 先有鸡还是先有蛋，这个问题被哲学家们讨论千年，到了近代也被不同的科学家从不同的角度作了解读。
* 不人道的格子籠飼養方式，在約A4紙張大小的籠子裡關2到4隻雞。歐盟，澳洲、美國加州、密西根州等地，已立法禁止格子籠飼養。另見平飼。
* 宰殺雛鳥：因為公雞不會下蛋，在飼養蛋雞時，剛出生的小公雞會被大量宰殺。

* 人造蛋
* 立蛋

## 參考文獻

* YouTube上的《你所不知道的畜產-雞蛋（上）》
* YouTube上的《你所不知道的畜產 雞蛋（下）》
# 镜面反射 (数学)

鏡面反射的簡單示例
设α为n维欧氏空间*V*上的单位向量，称线性变换Sα=ξ-2(ξ,α)α（∀ξ∈*V*）为n维欧氏空间*V*的一个**镜面反射**。

## 基本性质

1. 镜面反射是正交变换。
2. 镜面反射的逆变换为镜面反射。
3. 任意一个正交变换都可以表示成若干个镜面反射的乘积。

## 主要定理

1. 设S为n维欧氏空间*V*上的正交变换。则S为镜面反射的充要条件：S以1为特征值，且S 属于1的特征子空间*V*1为n-1维
	* 此定理说明n维欧氏空间*V*上的镜面反射Sα是向量对以α为法向量的n-1维子空间的反射。
2. 矩阵A=En-2*uu*′，其中*u*为n 维列向量，且*u*′*u*=1。
	1. Sα为n维欧氏空间*V*的镜面反射，则Sα在*V*的任一标准正交基础下的矩阵为A；
	2. n维欧氏空间*V*的正交变换S在*V*的某一标准正交基下的矩阵为A，则S为*V*的镜面反射。
	3. 设σ为n维欧氏空间*V*的任一正交变换，则σ可表成一些镜面反射的乘积。

## 资料来源

1. 北京大学数学系几何与代数教研室代数小组.高等代数(第二版)[M].北京:高等教育出版社,1988.
2. 张禾瑞、郝炳新.高等代数(第四版)[M].北京:高等教育出版社,1997.1998
# 鵝蛋形[编辑]

鵝蛋形
**鵝蛋形**，又簡單稱作**鵝卵形**或者就**蛋形**或**卵形**，是一種近似橢圓形的形像，其外貌就像是拉長了的圓形，但又沒有雞蛋那種一邊較尖但另一邊較圓的外貌。

「鵝蛋形」這個描述其實在三維立體方面的描述比較多，用以描述一些蛋殼形構造的縱切面形狀。由於其曲率跟一般橢圓形或長圓形的曲率有所不同，才會有這樣的區分。

卵形线，又称蛋形线，是鸟类和爬行动物的卵的纵截面形状．

**卵形线描述性定义**  卵形线是类似于椭圆，但是一头大，一头小，有一条对称轴且光滑封闭的平面曲线．卵形线的对称轴与大、小头的两个交点称为卵形线的大端点和小端点，记为Q,P．卵形线上到其对称轴距离最大的两点称为卵形线的对称端点，记为S,T．线段QP,ST,分别称为卵形线的直径和对称直径．卵形线的直径与对称直径的交点称为卵形线的卵心，记为O，线段OP,OQ,OS（或OT）分别称为卵形线的长半径、短半径、对称半径，其长度分别记为a,b,c．长半径、短半径、对称半径称为卵形线的三个特征参数．

已知卵形线的长、短、对称半径a,b,c这三个特征参数，在平面直角坐标系中，以卵形线的对称轴作为x轴，*x*轴正向与卵形线小头方向一致，卵形线的卵心作为坐标系原点．以正数a,b,c(a>b)为长、短、对称半径的卵形线在直角坐标系中示意图如图所示．

* 卵形线及其在直角坐标系中示意图

三次卵形线方程： WIKINIUM\_MATH\_PH\_0

## 参考
# 抛物面[编辑]

双曲抛物面
旋转抛物面
**抛物面**(英文：Paraboloid)是二次曲面的一种。抛物面有两种：**椭圆抛物面**和**双曲抛物面**。椭圆抛物面在笛卡儿坐标系中的方程为：

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_0
双曲抛物面在笛卡儿坐标系中的方程为：

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_2

## 性质

当*a = b*时，曲面称为**旋转抛物面**，它可以由抛物线绕着它的轴旋转而成。它是抛物面反射器的形状，把光源放在焦点上，经镜面反射后，会形成一束平行的光线。反过来也成立，一束平行的光线照向镜面后，会聚集在焦点上。

## 曲率

椭圆抛物面的参数方程为：

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_4
高斯曲率为：

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_6
平均曲率为：

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_8
它们都是正数，在顶点处最大，越远离顶点曲率越小，并趋近于零。

双曲抛物面的参数方程为：

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_10
高斯曲率为：

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_12
平均曲率为：

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_14
## 乘法表

如果把双曲抛物面

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_16
顺着+*z*的方向旋转π/4的角度，则方程为：

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_18
如果 WIKINIUM\_MATH\_PH\_20 ，则简化为：

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_22 .
最后，设 WIKINIUM\_MATH\_PH\_24 ，我们可以看到双曲抛物面

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_26 .
与以下的曲面是全等的：

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_28
因此它可以视为乘法表的几何表示。

两个 WIKINIUM\_MATH\_PH\_30 函数

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_32
和

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_34
是调和共轭，它们在一起形成解析函数

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_36
它是 WIKINIUM\_MATH\_PH\_38 函数 WIKINIUM\_MATH\_PH\_40 的解析延拓。

* 椭球
* 双曲面
* 类球面
* 二次曲面
* 抛物面反射器

* Beyer, W. H. (Ed.). CRC Standard Mathematical Tables, 28th ed. Boca Raton, FL: CRC Press, p. 133, 1987.
* Gray, A. "The Paraboloid." §13.5 in Modern Differential Geometry of Curves and Surfaces with Mathematica, 2nd ed. Boca Raton, FL: CRC Press, pp. 307-308, 1997.
* Harris, J. W. and Stocker, H. "Paraboloid of Revolution." §4.10.2 in Handbook of Mathematics and Computational Science. New York: Springer-Verlag, p. 112, 1998.
* Hilbert, D. and Cohn-Vossen, S. Geometry and the Imagination. New York: Chelsea, pp. 10-11, 1999.
* Steinhaus, H. Mathematical Snapshots, 3rd ed. New York: Dover, 1999.
# 雙曲面

|  |  |
| --- | --- |
|  |  |
| *單葉雙曲面* | *雙葉雙曲面* |

在數學裏，**雙曲面**是一種二次曲面。採用直角坐標 WIKINIUM\_MATH\_PH\_0 ，雙曲面可以用公式表達為

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_2  （**單葉雙曲面**），
或

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_4  （**雙葉雙曲面**）。
假若， WIKINIUM\_MATH\_PH\_6 ，則稱為**旋轉雙曲面**。

試想一個雙曲線。它的**實軸**包含了雙曲線的兩個焦點，而**虛軸**則是兩個焦點的中分線。繞著實軸，旋轉此雙曲線，可以得到**旋轉雙葉雙曲面**。繞著虛軸，旋轉此雙曲線，可以得到**旋轉單葉雙曲面**。

雙曲線
換另一種方法描述。參閱圖右．在三維空間裏，滿足 WIKINIUM\_MATH\_PH\_8 為常數的所有的點的集合，是一個旋轉雙葉雙曲面。稱點 WIKINIUM\_MATH\_PH\_10 與 WIKINIUM\_MATH\_PH\_12 為雙曲面的焦點。

**簡併雙曲面**的公式可以表達為

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_14 。
假若， WIKINIUM\_MATH\_PH\_16 ，則這雙曲面是一個圓錐面；否則，是一個**橢圓錐面**。

許多發電廠的冷卻塔結構是單葉雙曲面形狀。由於單葉雙曲面是一種雙重直紋曲面 (Ruled surface) ，它可以用直的鋼樑建造。這樣，會減少風的阻力．同時，也可以用最少的材料來維持結構的完整。

## 圖片

* 單葉雙曲面。每一根絲線都是直線。曲面的每一點，都有兩根包含於曲面的直線經過。所以表示出單葉雙曲面是個雙重直紋曲面
* 廣州新電視塔
* 英格蘭劍橋郡的冷卻塔

## 參閱

* 橢球面
* 拋物面
* 卵形體
* 直紋曲面
# 中點[编辑]

中點座標
**中點**是線段上與兩端點距離相等的一點。
在直角座標系中，若兩端點的座標分別為 WIKINIUM\_MATH\_PH\_0 、 WIKINIUM\_MATH\_PH\_2 ，則中點的座標為：

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_4
在n度空間中，若兩點的座標分別為 WIKINIUM\_MATH\_PH\_6 、 WIKINIUM\_MATH\_PH\_8 ，則中點的座標為 ：

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_10
## 中点尺规作圖

利用直尺和圆规，可以画出一个线段的中点。步骤如下：

中點作圖
1. 以线段的一个端點為圓心、線段的長為半徑畫圓。
2. 以另一端點為圓心、線段的長為半徑畫圓。
3. 將兩圓的兩个交點連線，这条直线與原来線段的交點即為线段的中點。

事实上只需要两个圆的半径相等，并且都大于线段长度的一半就可以了。

* 線段
* 端點
* 几何中心
* 形心
* 中垂線
# 极值点[编辑]

举例来说，上述未归一化和归一化的sinc函数的 WIKINIUM\_MATH\_PH\_0 都是{0}，因为两者都在 WIKINIUM\_MATH\_PH\_2 时取得全局最大值1.

未归一化sinc函数（红）的*arg min* 约为{-4.49, 4.49}，因为在 WIKINIUM\_MATH\_PH\_4 处有两个全局最小值，约为-0.217。归一化sinc函数（蓝）的*arg min*约为{−1.43, 1.43}，因为它们的全局最小值在 WIKINIUM\_MATH\_PH\_6 处，尽管最小值相同。
数学中，**极值点**（**arguments of the maxima/minima**，分别缩写为**arg max/arg min**或**argmax/argmin**）是使函数输出值取得极值的输入点。函数的自变量在定义域上，因变量则在到达域上。

## 定义

给定任意集合*X*、全序集*Y*与函数 WIKINIUM\_MATH\_PH\_8 ，则某子集 WIKINIUM\_MATH\_PH\_10 上的 WIKINIUM\_MATH\_PH\_12 定义为

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_14
若 WIKINIUM\_MATH\_PH\_16 或*S*在语境中明确，则通常省略*S*，如 WIKINIUM\_MATH\_PH\_18 也就是说， WIKINIUM\_MATH\_PH\_20 是点*x*的集合，使 WIKINIUM\_MATH\_PH\_22 到达函数最大值（若存在）。 WIKINIUM\_MATH\_PH\_24 可以是空集、单元集，或包含多个元素。

在凸分析与变分分析中， WIKINIUM\_MATH\_PH\_26 （是广义实数）的情形时的定义略有不同。这时，若*f*等同于*S*上的 WIKINIUM\_MATH\_PH\_28 ，则 WIKINIUM\_MATH\_PH\_30 （即 WIKINIUM\_MATH\_PH\_32 ），否则 WIKINIUM\_MATH\_PH\_34 定义如上，这时 WIKINIUM\_MATH\_PH\_36 也可以写成

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_38
这里要强调的是，这个涉及 WIKINIUM\_MATH\_PH\_40 的等式只有当*f*在*S*上不等同于 WIKINIUM\_MATH\_PH\_42 时才成立。

### Arg min

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_44 （或 WIKINIUM\_MATH\_PH\_46 ）表示**极小值点**，定义与之类似。例如

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_48
是使函数值 WIKINIUM\_MATH\_PH\_50 取得极小值的点*x*。它是 WIKINIUM\_MATH\_PH\_52 的补算子。

在 WIKINIUM\_MATH\_PH\_54 （是广义实数）的情形时，若*f*在*S*上等同于 WIKINIUM\_MATH\_PH\_56 ，则 WIKINIUM\_MATH\_PH\_58 （即 WIKINIUM\_MATH\_PH\_60 ），否则 WIKINIUM\_MATH\_PH\_62 定义如上，这时它也满足

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_64
## 例子与性质

例如，若 WIKINIUM\_MATH\_PH\_66 ，则*f*只有在 WIKINIUM\_MATH\_PH\_68 这一点上取最大值1。因此

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_70
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_72 算子与 WIKINIUM\_MATH\_PH\_74 不同，给定相同的函数时，后者返回函数极大值，而不是使函数取得极大值的点。也就是说

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_76 is the element in WIKINIUM\_MATH\_PH\_78
max可以是空集（这时极大值未定义），这与 WIKINIUM\_MATH\_PH\_80 相同；不同的是 WIKINIUM\_MATH\_PH\_82 可能不含多个元素。例如，取 WIKINIUM\_MATH\_PH\_84 则 WIKINIUM\_MATH\_PH\_86 但 WIKINIUM\_MATH\_PH\_88 因为函数在 WIKINIUM\_MATH\_PH\_90 的每个元素上都取相同的值。

等价地，若*M*是*f*的极大值，则 WIKINIUM\_MATH\_PH\_92 是极大值的水平集：

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_94
可以将其重排，得到简单的等式

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_96
若极大值点只有一个，那么 WIKINIUM\_MATH\_PH\_98 应被视为一个点，而非点集。例如

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_100
（而非单元集 WIKINIUM\_MATH\_PH\_102 ），因为 WIKINIUM\_MATH\_PH\_104 的极大值25仅在 WIKINIUM\_MATH\_PH\_106 时取到。而若在多个点上都取得极大值， WIKINIUM\_MATH\_PH\_108 就应被视为点集。例如

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_110
因为maximum value of WIKINIUM\_MATH\_PH\_112 的极大值1在 WIKINIUM\_MATH\_PH\_114 时取到。在整条实数线上

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_116 因此是无限集。
函数不必达到极大值，因此 WIKINIUM\_MATH\_PH\_118 有时是空集。例如 WIKINIUM\_MATH\_PH\_120 ，因为 WIKINIUM\_MATH\_PH\_122 在实数线上无界。再举个例子， WIKINIUM\_MATH\_PH\_124 ，虽然 WIKINIUM\_MATH\_PH\_126 有界（ WIKINIUM\_MATH\_PH\_128 ），但由极值定理，闭区间上的连续实值函数必有极大值，因此有非空的 WIKINIUM\_MATH\_PH\_130 。

## 另见

* 函数的自变量
* 极值
* 众数 (数学)
* 最优化
* 核 (线性算子)

* Rockafellar, R. Tyrrell; Wets, Roger J.-B. Variational Analysis. Grundlehren der mathematischen Wissenschaften **317**. Berlin New York: Springer Science & Business Media. 26 June 2009. ISBN 9783642024313. OCLC 883392544.

* *arg min and arg max* at PlanetMath.