# 長球面坐標系[编辑]

圖 1 ）長球面坐標系的幾個坐標曲面。紅色長球面的 WIKINIUM\_MATH\_PH\_0 。藍色半個雙葉雙曲面的 WIKINIUM\_MATH\_PH\_2 。黃色半平面的 WIKINIUM\_MATH\_PH\_4 （黃色半平面與 xz-半平面之間的二面角角度是 WIKINIUM\_MATH\_PH\_6 ）。z-軸是垂直的，以白色表示。 x-軸以綠色表示。三個坐標曲面相交於點 P （以黑色的圓球表示），直角坐標大約為 WIKINIUM\_MATH\_PH\_8 。
圖 2 ）兩個焦點在 z-軸的橢圓坐標系繪圖。横軸是 x-軸，豎軸是 z-軸。紅色橢圓（ WIKINIUM\_MATH\_PH\_10 -等值線）變成上圖的紅色長球面（ WIKINIUM\_MATH\_PH\_12 坐標曲面），而 WIKINIUM\_MATH\_PH\_14 青藍色雙曲線（ WIKINIUM\_MATH\_PH\_16 -等值線）則變成藍色雙葉雙曲面（ WIKINIUM\_MATH\_PH\_18 坐標曲面）。

**長球面坐標系**（英語：Prolate spheroidal coordinates）是一種三維正交坐標系。設定二維橢圓坐標系包含於 xz-平面；兩個焦點 WIKINIUM\_MATH\_PH\_20 與 WIKINIUM\_MATH\_PH\_22 的直角坐標分別為 WIKINIUM\_MATH\_PH\_24 與 WIKINIUM\_MATH\_PH\_26 。將橢圓坐標系繞著 z-軸旋轉，則可以得到長球面坐標系。（假若，繞著 y-軸旋轉，則可以得到扁球面坐標系。）橢圓坐標系的兩個焦點，包含於 z-軸。長球面坐標系可以被視為橢球坐標系的極限案例，其兩個最短的半軸的長度相同。

## 基本定義

在三維空間裏，一個點 P 的長球面坐標 WIKINIUM\_MATH\_PH\_28 常見的定義是

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_30 、
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_32 、
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_34 ；
其中， WIKINIUM\_MATH\_PH\_36 是個實數，弧度 WIKINIUM\_MATH\_PH\_38 ，弧度 WIKINIUM\_MATH\_PH\_40 。

### 坐標曲面

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_42 坐標曲面是長球面：

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_44 。
每一個長球面都是由橢圓繞著 z-軸旋轉形成的。橢球面與 xz-平面的相交，是一個橢圓。沿著 x-軸，橢圓的短半軸長度為 WIKINIUM\_MATH\_PH\_46 ，沿著 z-軸，橢圓的長半軸長度為 WIKINIUM\_MATH\_PH\_48 。橢圓的焦點都包含於 z-軸，z-坐標分別為 WIKINIUM\_MATH\_PH\_50 。

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_52 坐標曲面是半個旋轉雙葉雙曲面：

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_54 。
當 WIKINIUM\_MATH\_PH\_56 時，坐標曲面在 xy-平面以上；當 WIKINIUM\_MATH\_PH\_58 時，坐標曲面在 xy-平面以下。

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_60 坐標曲面是個半平面 ：

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_62 。
### 標度因子

長球面坐標 WIKINIUM\_MATH\_PH\_64 與 WIKINIUM\_MATH\_PH\_66 的標度因子相等：

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_68 。
方位角 WIKINIUM\_MATH\_PH\_70 的標度因子為

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_72 。
無窮小體積元素是

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_74 。
拉普拉斯算子是

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_76 。
其它微分算子，像 WIKINIUM\_MATH\_PH\_78 ， WIKINIUM\_MATH\_PH\_80 ，都可以用 WIKINIUM\_MATH\_PH\_82 坐標表示，只要將標度因子代入在正交坐標系條目內對應的一般公式。

### 應用

當邊界條件涉及長球面時，長球面坐標時常可以用來解析偏微分方程式。例如，位置分別在 z-軸兩個焦點的電子，會產生怎樣的靜電場？一個關於氫離子 WIKINIUM\_MATH\_PH\_84 的問題是，當移動於兩個正價的原子核中間時，一個電子的波函數是什麼？另外一個很實際的問題是，兩個小電極尖端之間的電場是什麼？極限案例包括一根電線段 ( WIKINIUM\_MATH\_PH\_86 ) 產生的電場，缺了一線段的一根電線 ( WIKINIUM\_MATH\_PH\_88 ) 產生的電場。

## 第二種表述

圖 3 ）第二種長球面坐標系 WIKINIUM\_MATH\_PH\_90 的三個坐標曲面。紅色長球面的 WIKINIUM\_MATH\_PH\_92 坐標曲面。藍色半個旋轉雙曲面的 WIKINIUM\_MATH\_PH\_94 坐標曲面 。黃色半平面的 WIKINIUM\_MATH\_PH\_96 坐標曲面 （黃色半平面與 xz-半平面之間的二面角角度是 WIKINIUM\_MATH\_PH\_98 ）。z-軸是垂直的，以白色表示。 x-軸以綠色表示。三個坐標曲面相交於點 P （以黑色的圓球表示）。直角坐標大約為 WIKINIUM\_MATH\_PH\_100 。
另外，還有一種比較有幾何直覺性的扁球面坐標系 WIKINIUM\_MATH\_PH\_102 ：

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_104 、
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_106 、
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_108 。
其中， WIKINIUM\_MATH\_PH\_110 是個實數， WIKINIUM\_MATH\_PH\_112 是個實數，弧度 WIKINIUM\_MATH\_PH\_114 。

與扁球面坐標系不同，長球面坐標系並沒有簡併。在三維空間裏，長球面坐標系與直角坐標有一一對應關係:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_116 、
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_118 、
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_120 。
### 坐標曲面

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_122 坐標曲面是長球面：

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_124 。
每一個長球面都是由橢圓繞著 z-軸旋轉形成的。橢球面與 xz-平面的相交，是一個橢圓。沿著 x-軸，橢圓的短半軸長度為 WIKINIUM\_MATH\_PH\_126 ，沿著 z-軸，橢圓的長半軸長度為 WIKINIUM\_MATH\_PH\_128 。橢圓的焦點都包含於 z-軸，z-坐標分別為 WIKINIUM\_MATH\_PH\_130 。

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_132 坐標曲面是半個旋轉雙曲面：

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_134 。
當 WIKINIUM\_MATH\_PH\_136 時，坐標曲面在 xy-平面以上；當 WIKINIUM\_MATH\_PH\_138 時，坐標曲面在 xy-平面以下。

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_140 坐標曲面是個半平面 ：

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_142 。
任何一點 P 與焦點 WIKINIUM\_MATH\_PH\_144 ， WIKINIUM\_MATH\_PH\_146 的距離 WIKINIUM\_MATH\_PH\_148 ， WIKINIUM\_MATH\_PH\_150 ，可以一個很簡單的公式表示：

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_152 、
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_154 。
所以，點 P 與焦點 WIKINIUM\_MATH\_PH\_156 的距離 WIKINIUM\_MATH\_PH\_158 是 WIKINIUM\_MATH\_PH\_160 ，點 P 與焦點 WIKINIUM\_MATH\_PH\_162 的距離 WIKINIUM\_MATH\_PH\_164 是 WIKINIUM\_MATH\_PH\_166 。（回想 WIKINIUM\_MATH\_PH\_168 ， WIKINIUM\_MATH\_PH\_170 都是在 z-軸，分別位於 WIKINIUM\_MATH\_PH\_172 ， WIKINIUM\_MATH\_PH\_174 。）

### 標度因子

第二種長球面坐標 WIKINIUM\_MATH\_PH\_176 的標度因子分別為:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_178 、
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_180 、
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_182 。
無窮小體積元素是

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_184 。
拉普拉斯算子是

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_186 。
其它微分算子，像 WIKINIUM\_MATH\_PH\_188 ， WIKINIUM\_MATH\_PH\_190 ，都可以用 WIKINIUM\_MATH\_PH\_192 坐標表示，只要將標度因子代入在正交坐標系條目內對應的一般公式。

### 應用

如同球坐標解答的形式為球諧函數，拉普拉斯方程可以用分離變數法來求解，得到形式為**長扁球諧函數**的答案。假若，邊界條件涉及長球面，我們可以優先選擇這方法來解析。

## 參閱

## 參考目錄

### 不按照命名常規

* Morse PM, Feshbach H. Methods of Theoretical Physics, Part I. New York: McGraw-Hill. 1953: p. 661.  引文格式1维护：冗余文本 (link) 採用 WIKINIUM\_MATH\_PH\_194 、 WIKINIUM\_MATH\_PH\_196 、 WIKINIUM\_MATH\_PH\_198 。

* Zwillinger D. Handbook of Integration. Boston, MA: Jones and Bartlett. 1992: p. 114. ISBN 0-86720-293-9.  引文格式1维护：冗余文本 (link) 如同 Morse & Feshbach (1953) ，採用 WIKINIUM\_MATH\_PH\_200 來替代 WIKINIUM\_MATH\_PH\_202 。

* Smythe, WR. Static and Dynamic Electricity 3rd ed. New York: McGraw-Hill. 1968.  引文格式1维护：冗余文本 (link)

* Sauer R, Szabó I. Mathematische Hilfsmittel des Ingenieurs. New York: Springer Verlag. 1967: p. 97.  引文格式1维护：冗余文本 (link) 採用混合坐標 WIKINIUM\_MATH\_PH\_204 、 WIKINIUM\_MATH\_PH\_206 、 WIKINIUM\_MATH\_PH\_208 。

### 按照命名常規

* Korn GA, Korn TM. Mathematical Handbook for Scientists and Engineers. New York: McGraw-Hill. 1961: p. 177.  引文格式1维护：冗余文本 (link) 採用第一種表述 WIKINIUM\_MATH\_PH\_210 ，又加介紹了簡併的第三種表述 WIKINIUM\_MATH\_PH\_212 。

* Margenau H, Murphy GM. The Mathematics of Physics and Chemistry. New York: D. van Nostrand. 1956: p. 180–182.  引文格式1维护：冗余文本 (link) 如同 Korn and Korn (1961) ，但採用**餘緯度** WIKINIUM\_MATH\_PH\_214 來替代緯度 WIKINIUM\_MATH\_PH\_216 。

* Moon PH, Spencer DE. Oblate spheroidal coordinates (η, θ, ψ). Field Theory Handbook, Including Coordinate Systems, Differential Equations, and Their Solutions corrected 2nd ed., 3rd print ed. New York: Springer Verlag. 1988: pp. 28–30 (Table 1.06). ISBN 0-387-02732-7.  引文格式1维护：冗余文本 (link) Moon and Spencer 採用餘緯度常規 WIKINIUM\_MATH\_PH\_218 ，又改名 WIKINIUM\_MATH\_PH\_220 為 WIKINIUM\_MATH\_PH\_222 。

### 特異命名常規

* Landau LD, Lifshitz EM, Pitaevskii LP. Electrodynamics of Continuous Media (Volume 8 of the Course of Theoretical Physics) 2nd edition. New York: Pergamon Press. 1984: pp. 19–29. ISBN 978-0750626347.  引文格式1维护：冗余文本 (link) 視長球面坐標系為橢球坐標系的極限。