# 黎曼曲面[编辑]

函数 WIKINIUM\_MATH\_PH\_0 的黎曼曲面
数学上，特别是在复分析中，一个**黎曼曲面**是一个一维复流形。黎曼曲面可以被視为是一个复平面的变形版本：在每一点局部看来，他们就像一片复平面，但整体的拓扑可能极为不同。例如，他们可以看起来像球或是环，或者两个页面粘在一起。

黎曼曲面的精髓在于在曲面之间可以定义全纯函数。黎曼曲面现在被认为是研究这些函数的整体行为的自然选择，特别是像平方根和自然对数这样的多值函數。

每个黎曼曲面都是二维实解析流形（也就是曲面），但它有更多的结构（特别是一个複結構），因为全純函数的无歧义的定义需要用到这些结构。一个实二维流形可以变成为一个黎曼曲面（通常有几种不同的方式）当且仅当它是可定向的。所以球和环有複結構，但是莫比乌斯带，克莱因瓶和射影平面没有。

黎曼曲面的几何性质是最妙的，它们也给與其它曲线，流形或簇上的推广提供了直观的理解和动力。黎曼-罗赫定理就是这种影响的最佳例子。

## 形式化定义

令 WIKINIUM\_MATH\_PH\_2 为一个豪斯多夫空间。一个从开子集 WIKINIUM\_MATH\_PH\_4 到 WIKINIUM\_MATH\_PH\_6 的子集的同胚称为坐标卡。两个有重叠区域的坐标卡 WIKINIUM\_MATH\_PH\_8 和 WIKINIUM\_MATH\_PH\_10 称为相容的，如果映射 WIKINIUM\_MATH\_PH\_12 和 WIKINIUM\_MATH\_PH\_14 是在定义域上全纯的。若 WIKINIUM\_MATH\_PH\_16 一组相容的图，并且每个 WIKINIUM\_MATH\_PH\_18 中的 WIKINIUM\_MATH\_PH\_20 都在某个 WIKINIUM\_MATH\_PH\_22 的定义域中，则称 WIKINIUM\_MATH\_PH\_24 为一个图册。当我们赋予 WIKINIUM\_MATH\_PH\_26 一个图册  *WIKINIUM\_MATH\_PH\_28* ，我们称 WIKINIUM\_MATH\_PH\_30 为一个黎曼曲面。如果知道有图册，我们简称 WIKINIUM\_MATH\_PH\_32 为黎曼曲面。

不同的图册可以在 WIKINIUM\_MATH\_PH\_34 上给出本质上相同的黎曼曲面结构；为避免这种模糊性，我们有时候要求 WIKINIUM\_MATH\_PH\_36 为*极大*的，也就是它不是任何一个更大的图集的子集。根据佐恩引理每个图集 *WIKINIUM\_MATH\_PH\_38*  包含于一个唯一的最大图集中。

## 例子

* 复平面 WIKINIUM\_MATH\_PH\_40 可能是最平凡的黎曼曲面了。映射 WIKINIUM\_MATH\_PH\_42 （恒等映射）定义了 WIKINIUM\_MATH\_PH\_44 的一个图，而 WIKINIUM\_MATH\_PH\_46 是 WIKINIUM\_MATH\_PH\_48 的一个图集。映射 WIKINIUM\_MATH\_PH\_50 （共轭）映射也定义了 WIKINIUM\_MATH\_PH\_52 的一个图而 WIKINIUM\_MATH\_PH\_54 也是 WIKINIUM\_MATH\_PH\_56 的一个图集。图 WIKINIUM\_MATH\_PH\_58 和 WIKINIUM\_MATH\_PH\_60 不相容，所以他们各自给了 WIKINIUM\_MATH\_PH\_62 一个黎曼曲面结构。事实上，给定黎曼曲面 WIKINIUM\_MATH\_PH\_64 及其图集  *WIKINIUM\_MATH\_PH\_66* ，共轭图集 WIKINIUM\_MATH\_PH\_68 总是不和 WIKINIUM\_MATH\_PH\_70 相容，因此赋予 WIKINIUM\_MATH\_PH\_72 一个不同的黎曼曲面结构。

* 类似的，每个复平面的开子集可以自然的视为黎曼曲面。更一般的，每个黎曼曲面的开子集是一个黎曼曲面。

* 令 WIKINIUM\_MATH\_PH\_74 并令 WIKINIUM\_MATH\_PH\_76 其中 WIKINIUM\_MATH\_PH\_78 属于 WIKINIUM\_MATH\_PH\_80 并且令 WIKINIUM\_MATH\_PH\_82 其中 WIKINIUM\_MATH\_PH\_84 属于 WIKINIUM\_MATH\_PH\_86 以及定义 WIKINIUM\_MATH\_PH\_88 为0。则 WIKINIUM\_MATH\_PH\_90 和 WIKINIUM\_MATH\_PH\_92 为图，它们相容，而 WIKINIUM\_MATH\_PH\_94 是 WIKINIUM\_MATH\_PH\_96 图集，使 WIKINIUM\_MATH\_PH\_98 成为黎曼曲面。这个特殊的曲面称为**黎曼球**因为它可以解释为把复平面裹在一个球上。不像复平面，它是一个紧空间。

* 紧黎曼曲面可以视为和定义在复数上的非奇异代数曲线等效。非紧黎曼曲面的重要例子由解析连续给出（见下面）

## 属性和更多的定义

两个黎曼曲面 WIKINIUM\_MATH\_PH\_100 和 WIKINIUM\_MATH\_PH\_102 之间的函数 WIKINIUM\_MATH\_PH\_104 称为全纯，如果对于 WIKINIUM\_MATH\_PH\_106 的图集中的每个图 WIKINIUM\_MATH\_PH\_108 和 WIKINIUM\_MATH\_PH\_110 的图集中的每个图 WIKINIUM\_MATH\_PH\_112 ，映射 WIKINIUM\_MATH\_PH\_114 在所有有定义的地方是全纯的（作为从 WIKINIUM\_MATH\_PH\_116 到 WIKINIUM\_MATH\_PH\_118 的函数）。两个全纯函数的複合是全纯的。两个黎曼曲面  *WIKINIUM\_MATH\_PH\_120*  和 WIKINIUM\_MATH\_PH\_122 称为**保角等价**（或**共形等价**），如果存在一个双射的从  *WIKINIUM\_MATH\_PH\_124*  到  *WIKINIUM\_MATH\_PH\_126*  的全纯函数并且其逆也是全纯的（最后一个条件是自动满足的所以可以略去）。两个保角等价的黎曼曲面对于所有的实际应用来讲是完全相同的。

每个单连通的黎曼曲面和 WIKINIUM\_MATH\_PH\_128 或黎曼球 WIKINIUM\_MATH\_PH\_130 或开圆盘 WIKINIUM\_MATH\_PH\_132 保角等价。这个命题称为单值化定理。

每个连通黎曼曲面可以转成有常数曲率-1，0或1的完备实黎曼流形。这个黎曼结构除了度量的缩放外是唯一。有曲率-1的黎曼曲面称为**双曲**的;开圆盘是个经典的例子。有曲率0的黎曼曲面称为**抛物**的； **WIKINIUM\_MATH\_PH\_134**  是典型的抛物黎曼曲面。最后，有曲率+1的黎曼曲面称为**椭圆**的；黎曼球 WIKINIUM\_MATH\_PH\_136 是这样的一个例子。

对于每个闭抛物黎曼曲面，基本群同构于2阶格群，因而曲面可以构造为 WIKINIUM\_MATH\_PH\_138 ，其中  **WIKINIUM\_MATH\_PH\_140**  是複平面而 WIKINIUM\_MATH\_PH\_142 是格群。陪集的代表的集合叫做基本域。

类似的，对每个双曲黎曼曲面，基本群同构于富克斯群，因而曲面可以由富克斯模型 WIKINIUM\_MATH\_PH\_144 构造，其中  **WIKINIUM\_MATH\_PH\_146**  是上半平面而 WIKINIUM\_MATH\_PH\_148 是富克斯群。 WIKINIUM\_MATH\_PH\_150 陪集的代表是自由正则集，可以作为度量基本多边形。

当一个双曲曲面是紧的，则曲面的总面积是 WIKINIUM\_MATH\_PH\_152 ，其中 WIKINIUM\_MATH\_PH\_154 是曲面的亏格；面积可由把高斯-博内定理应用到基本多边形的面积上来算出。

前面我们提到黎曼曲面，象所有複流形，象实流形一样可定向。因为複图 WIKINIUM\_MATH\_PH\_156 和  *WIKINIUM\_MATH\_PH\_158*  有变换函数 WIKINIUM\_MATH\_PH\_160 ，我们可以认为 WIKINIUM\_MATH\_PH\_162 是从  **WIKINIUM\_MATH\_PH\_164**  开集到  **WIKINIUM\_MATH\_PH\_166**  的映射，在点 WIKINIUM\_MATH\_PH\_168 的雅可比矩阵也就是由乘以複數 WIKINIUM\_MATH\_PH\_170 的运算给出的实线性变换。但是，乘以複數 WIKINIUM\_MATH\_PH\_172 的行列式等于 WIKINIUM\_MATH\_PH\_174 ，所以 WIKINIUM\_MATH\_PH\_176 的雅可比阵有正的行列式值。所以，複图集是可定向图集。

## 历史

黎曼最早开始研究黎曼曲面。黎曼曲面以他命名。

## 相关主题

* 代数几何
* 共形几何
* 黎曼曲率張量
* 黎曼球面
* 凯勒流形
* 泰希米勒空间
* 兒童畫（Dessin d'enfant）
* 和黎曼曲面有关的定理
	+ 黎曼-罗赫定理
	+ 黎曼-赫尔维茨公式
	+ 黎曼映射定理
	+ 单值化定理
	+ 赫尔维茨自同构定理

## 参考

* Hershel M. Farkas and Irwin Kra, *Riemann Surfaces* (1980), Springer-Verlag, New York. ISBN 0-387-90465-4
* Jurgen Jost, *Compact Riemann Surfaces* (2002), Springer-Verlag, New York. ISBN 3-540-43299-X
* Riemann Surface（页面存档备份，存于互联网档案馆） on Planet Math