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# 仿射几何学

在仿射幾何中，可以用普莱费尔公理來找出過C1並平行B1B2之直線，再找出過B2並平行B1C1之直線，這兩條線的交點C2就是對應的平移。

在几何上，**仿射几何**是不涉及任何原点、长度或者角度概念的几何，但是有两点相减得到一个向量的概念。

它位于欧氏几何和射影几何之间。它是在域*K*上任意维仿射空间的几何。*K*为实数域的情况所包含的内容足够使人了解其大部分思想。

## 抽象定义

有一个更精练而且最终更为成功的定义（其代价是更为费解）。对于任意群G存在一个G的主齐性空间概念：它是一个集合S，G在其上作用，作用方式和G在自身通过乘法产生一个枚举是同构的。对于一个向量空间V的仿射空间也就是这样的一个主齐次空间；然后必须在A上恢复数乘这个操作。

## 参看

* 仿射
# 黎曼几何[编辑]

微分幾何中，**黎曼幾何**（英語：Riemannian geometry）研究具有黎曼度量的光滑流形，即流形切空間上二次形式的選擇。它特別關注于角度、弧線長度及體積。把每个微小部分加起來而得出整體的數量。

19世紀，波恩哈德·黎曼把這個概念加以推广。

任意平滑流形容許黎曼度量及這個額外結構幫助解決微分拓扑問題。它成為伪黎曼流形複雜結構的入門。其中大部分都是廣義相對論的四維研究对象。

## 黎曼几何古典理論

伯恩哈德·黎曼
### 一般理論

1. **高斯-博内定理**：紧致二維黎曼流形上高斯曲率的积分等於 WIKINIUM\_MATH\_PH\_0 ，這裡的 WIKINIUM\_MATH\_PH\_2 記作*M*的欧拉示性数。
2. **纳什嵌入定理**：（两个）被稱為黎曼幾何的基礎理論。他們表明每個黎曼流形可以是嵌入歐幾里得空間**Rn*。

### 理論

所有给出的定理中，都将用空间的局部行为（通常用曲率假设表述）来推出空间的整体结构的一些信息，包括流形的拓扑类型和"足够大"距离的点间的关系。

#### 受限截面曲率

1. **1/4-受限 球定理**：若*M*是完备*n*-维黎曼流形，其截面曲率严格限制于1和4之间，则*M*同胚于*n*-球。

1. **Cheeger's有限定理**：给定常数*C*和*D*，只有有限个（微分同胚的流形算作一个）紧*n*-维黎曼流形，其截面曲率 WIKINIUM\_MATH\_PH\_4 并且直径 WIKINIUM\_MATH\_PH\_6 。

1. **Gromov的几乎平坦流形**：存在一个 WIKINIUM\_MATH\_PH\_8 使得如果一个*n*-维黎曼流形其度量的截面曲率 WIKINIUM\_MATH\_PH\_10 且直径 WIKINIUM\_MATH\_PH\_12 ，则其有限覆盖微分同胚于一个零流形.

#### 正曲率

##### 正截面曲率

1. **灵魂定理**：若*M*是一个不紧的完备正曲率*n*-维黎曼流形，则它微分同胚于**R**n.
2. **Gromov的贝蒂数定理**：有一个常数*C=C(n)*使得若*M*是一个由正截面曲率的紧连通*n*-维黎曼流形，则它的贝蒂数之和不超过*C*.

##### 正里奇曲率

1. **Myers定理**：若一个紧黎曼流形有正Ricci曲率则它的基本群有限。

1. **分裂定理**：若一个完备的*n*-维黎曼流形有非负Ricci曲率和一条直线（在任何区间上的距离都极小的测地线）则它等度同胚于一条实直线和一个有非负Ricci曲率的完备(*n*-1)-维黎曼流形的直积。

1. **Bishop's不等式**：半径为*r*的球在一个有正Ricci曲率的完备*n*-维黎曼流形中的体积不超过欧几里得空间中同样半径的球的体积。

1. **Gromov's紧致性定理**：所有正Ricci曲率且直径不超过*D*的黎曼流形在Gromov-Hausdorff度量下是仿紧的。

##### 数量曲率

1. *n*-维环不存在有正数量曲率的度量。

1. 若一个紧*n*-维黎曼流形的单射半径 WIKINIUM\_MATH\_PH\_14 ，则数量曲率的平均值不超过*n*（*n*-1）。

#### 負曲率

##### 負截面曲率

1. 任何有非正截面曲率的单连通黎曼流形的两点有唯一的测地线连接。

1. 若*M*是一个有负截面曲率的完备黎曼流形，则基本群的任何可交换子群同构于整数群**Z**。

1. 设V\*是一 WIKINIUM\_MATH\_PH\_16 -rank WIKINIUM\_MATH\_PH\_18 2的紧致不可约局部对称空间，设V是一截面曲率 WIKINIUM\_MATH\_PH\_20 的紧致 WIKINIUM\_MATH\_PH\_22 黎曼流形，若 WIKINIUM\_MATH\_PH\_24 ，且 WIKINIUM\_MATH\_PH\_26 ，则 WIKINIUM\_MATH\_PH\_28 与 WIKINIUM\_MATH\_PH\_30 等距。

##### 負里奇曲率

1. 任何有负里奇曲率的紧黎曼流形有一个离散的等距同胚群。
2. 任何光滑流形可以加入有负里奇曲率的黎曼度量。

* 度量張量
* 黎曼流形
* 列维-奇维塔联络
* 曲率
* 曲率張量
* 微分幾何主題列表
* 黎曼及度量幾何詞表

## 參考文献

* Marcel Berger, *Riemannian Geometry During the Second Half of the Twentieth Century*, (2000) University Lecture Series vol. 17, American Mathematical Society, Rhode Island, ISBN 0-8218-2052-4. *(Provides a historical review and survey, including hundreds of references.)*
* Jurgen Jost, *Riemannian Geometry and Geometric Analysis*, (2002) Springer-Verlag, Berlin ISBN 3-540-4267-2 *(Provides a formal introduction, written at the grad-student level.)*
* Peter Peterson, *Riemannian Geometry*, (1998) Springer-Verlag, Berlin ISBN 0-387-98212-4. *(Provides an introduction, presented at an undergrad level.)*
# 综合几何学[编辑]

**综合几何学**（有时亦称为**公理几何**或**纯几何**）是指不借助坐标体系进行研究的几何学。它以公理化方法为基础，从少数基本性质出发（早期称为假设，现称为公理），通过逻辑推演来证明一切几何结论。

17世纪，勒内·笛卡尔引入了坐标方法，即所谓的解析几何。自此，“综合几何”（synthetic geometry）一词被创造出来，用以指代笛卡尔之前沿用的几何研究方法——当时，人们所知的几何学皆属此类。

正如数学家费利克斯·克莱因所言：

>
> “综合几何研究形狀本身的性质，而不诉诸任何公式；而解析几何则依赖于公式的表达，这些公式可在采用适当坐标系后写出。”
>
>
>
>

综合几何最早的系统化论著是欧几里得的《几何原本》。然而，到了19世纪末，人们发现欧几里得的公理体系并不足以完整刻画几何学。直到19世纪末，大卫·希尔伯特才提出了第一个完备的几何公理体系。与此同时，人们也认识到，综合方法与解析方法皆可用于建立几何理论。两者在本质上的等价性后来由埃米尔·阿廷在其著作《几何代数》中予以严格证明。

正因为这种等价关系，综合几何与解析几何之间的区分在现代数学中已不再使用，除非是在初等教学阶段，或是在研究某些与数系无关的几何体系时，例如有限几何与非德萨格几何（Non-Desarguesian plane）。

* 重合幾何

## 注脚

* Greenberg, Marvin Jay, Euclidean and Non-Euclidean Geometries/Development and History, San Francisco: W.H. Freeman, 1974, ISBN 0-7167-0454-4
* Klein, Felix, Elementary Mathematics from an Advanced Standpoint/Geometry, New York: Dover, 1948
* Mlodinow, Leonard, Euclid's Window/The Story of Geometry from Parallel Lines to Hyperspace, New York: The Free Press, 2001, ISBN 0-684-86523-8  含有內容需登入查看的頁面 (link)
# 對角線[编辑]

**對角線**（英語：diagonal）在幾何學中是連接多邊形或多面體中兩個不在同一邊上之頂點的線段。在一些非正式的用法中，也可能將任何傾斜的線稱為對角線。

立方體對角線
線分對角線
## 多邊形

在多邊形上，對角線是連結兩個不毗鄰頂點的線段。若且唯若多邊形的對角線在多邊形之內，該多邊形是凸多边形。

對角線數目的求法：當n是多邊形的頂點的數目，每個頂點除了它本身和毗鄰的兩邊之外，都有對角線連接到其他頂點。這樣乘以頂點的數目就是 WIKINIUM\_MATH\_PH\_0 。因為每個頂點計算了兩次，所以再除以2就得出對角線的數目為

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_2
## 矩陣

在正方形矩陣中，有些對角線有特殊的稱呼。

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_4

| 名稱
 | 定義
 | 在上面的矩陣，該對角線上的元素
 |
| --- | --- | --- |
| 主對角線
 | 由左上至右下的對角線
 |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_6
 |
| 次對角線
 | 右上至左下的對角線
 |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_8
 |
| 超對角線
 | 剛好在主對角線上面一格或右邊的元素。
 |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_10
 |

* 單位矩陣可以說是有元素1在主對角線，而其他元素皆是0的矩陣。
* 對角線矩陣是主對角線以外的元素均為0的矩陣。

## 幾何
# 斜邊

一個直角三角形和它的斜邊*h*、直角邊*c1* 和 *c2*。
**斜邊**（希臘語：ὑποτείνουσα），亦稱作**弦**，是直角三角形中最長的一條邊，位於直角（90°角）對面。斜邊的長度通常使用勾股定理計算。

## 弦一詞來源

|  |  |  |
| --- | --- | --- |
| “
 | 故折矩，以为句，广三，股修四，径隅五。
 | ”
 |
| ——《周髀算经》卷上之一 |

即“勾三股四弦五”，是勾股定理的一種特例，其中的弦指直角三角形的斜边。勾股形一詞源於古代中國人測量天文時會豎起一根稱為「表」（圭表）的木竿，以陽光令「表」產生陰影，「表」與日影構成直角三角形兩條直角邊。此後，古代中國人便稱「表」為股，陰影稱為勾，兩者間的斜邊稱為弦，只要測量勾、股長度便能粗略估計太陽高度。

## 斜邊一詞來源

斜邊（*hypotenuse*）一詞出自古希臘語 ὑποτείνουσα（hypoteinousa），是底部和斜邊的意思。另一個古希臘語的解釋是意思是由斜邊和其底部結合成。

## 計算勾股定理

斜邊長度通常是用平方根計算出來。舉例說，如果x長3米，平方後就等於9平方米，y長4米的話，平方後則等於16平方米，兩數相加後等於25平方米，將25平方米開方便能得出斜邊長5米，數學標示為 WIKINIUM\_MATH\_PH\_0 。

有些科學計數機提供笛卡兒坐標系至極坐標系的轉換功能：當給予*x* 和*y*的值後，這功能給出斜邊的長度和斜邊與底線（即*c1*）相交的角。

* 三角形
* 曼哈頓距離
* 三角學
* 直角三角形
* 勾股定理（畢氏定理）
* 費馬大定理

## 註釋

## 參考文獻

* WIKINIUM\_MATH\_PH\_2

* 三角學的應用—簡報
* Ratio.ppt 三角比的關係—簡報
# 直径[编辑]

红线所指的线段是圆的直径
**直径**在几何学中，是指穿过圆心且其兩端點皆在圓周上的线段，或圓上最長的弦，一般用符号d或者 WIKINIUM\_MATH\_PH\_0 表示。

在一般的度量空间（也就是定义了距离的空间，比如说常见的二维平面）上，也可以定义一个集合的直径。在这里直径是这个集合之中两点之间的距离的最小上界：

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_2

## 性质

一个圆可以有无数条直径（指线段本身时），但过平面上除去圆心外的任意一点，只有一条直径。直径的一个端点叫做另一个端点的**对径点**。圆周上的每一个点都有且仅有一个对径点。

直径将圆分为面积相等的两部分（每一个部分成为一个半圆），将圆周分成长度相等的两部分。直径的中点是圆心，直徑也是圓上最長的弦。换句话说，圆的直径是圆周上任意两点之间的距离所能够达到的最大值。在同一个圆裡面，直径等于半径（r）的二倍。圆的周长与直径的比值即为圆周率。

给定一个圆和圆上的一条直径**AB**（**A**、**B**为圆上的点），则对圆上任意另外一点**C**，角**ACB**是直角。如果点**C**在圆外，那么角**ACB**是锐角，如果点**C**在圆内，那么角**ACB**是钝角。

### 尺规作图

在尺规作图中，已知一个圆及其圆心的话，只需要过圆心画直线，则直线与圆的两个交点之间的线段就是圆的直径。如果圆心未知的话，则可以用作弦的中垂线的方法作直径。具体方法是：任意作圆的一条弦，作这条弦的中垂线，则中垂线与圆的两个交点之间的线段就是圆的直径。如果在圆心未知的情况下要作过圆上一个定点的直径，则可以利用圆上一点对直径的张角成九十度的特性：首先过给定的点任作一条弦，交圆于另一点。然后过另一点作垂直于弦的直线，交圆于第三点，连接原来的给定点和第三点，就是所求的直径。

## 球的直径

对于三维空间中的球体，也可以定义直径和半径。一个圆球的直径是它的任意一个**大圆**（过球心的平面截球体得到的圆）的直径。和圆的直径一样，球的直径也是球上两点之间的距离的最大值，过球上每一点只能作一条直径。

## 相关公式

* 圆的直径 WIKINIUM\_MATH\_PH\_4 与面积 WIKINIUM\_MATH\_PH\_6 的关系为： WIKINIUM\_MATH\_PH\_8 。

* 球的直径 WIKINIUM\_MATH\_PH\_10 与体积 WIKINIUM\_MATH\_PH\_12 的关系为： WIKINIUM\_MATH\_PH\_14 。

* 外接圆
* 外心
* 凸包
* 闭集套定理
* 勒洛三角形

## 参考来源

* （中文）R.A.约翰逊，单墫 译. 《近代欧氏几何学》. 上海教育出版社. 2003. ISBN 7-5320-6392-5.
* （中文）贺才兴，陆少华 主编. 《大学数学手册(第二版)》. 上海交通大学出版社. 2006. ISBN 7-313-02176-3.
# 幾何圖形

二維的幾何圖形
在幾何學中，**幾何圖形**或**幾何形狀**（英語：Geometric Shape）是指能利用幾何學表達出來的形狀，或移除了位置、大小、定向（如整體旋轉角度）、手性（如鏡像與否）特性的數學物件，因此，不會受到平移、縮放、旋轉和鏡像影響，換句話說即一種幾何圖形即使經過了移動、縮放，旋轉或將其反射成鏡像等變換之後結果仍然是同一種幾何圖形，不會因此變成另外一種幾何圖形。例如正方形是一種幾何圖形、梯形是另一種幾何圖形，而正方形不會因為經過了平移、縮放、旋轉和鏡像就變成了梯形或其他幾何圖形，而梯形亦然。

幾何圖形是一個幾何學概念，其定義最早在古希臘數學家歐幾里得的著作《幾何原本》中給出了定義。

## 特性

著上相同顏色的幾何物件可視為相同的幾何形狀，可視為其彼此相似。
幾何形狀除了不受平移、縮放、旋轉和鏡像影響之外，亦有其他特性，例如當兩個物件形狀相同時則稱為相似，若其大小相同則稱全等。

幾何圖形可利用點集定義，例如多胞形。而邊界平滑幾何圖形可以視作每個胞佔有的空間趨近於零的多胞形。若一個可利用點集定義的幾何圖形，其任何兩個點之間的線段上的所有點都是該幾何圖形的一部分，則稱其為**凸形**，否則為**凹形**；而若兩個點之間的線段與另外一組點連成的線段相交，則稱複雜圖形或星形。

## 分類

幾何圖形可以根據其幾何性質分成多種類別，例如其可以根據對稱性的高低分成正幾何圖形、半正幾何圖形、不規則幾何圖形等類別。

### 正幾何圖形

正幾何圖形又稱正圖形是指有高度對稱性的幾何形狀，且對於該幾何圖形內所有同維度的元素（如：點、線、面），同維度元素間都具有完全相同的性質。常見的正幾何圖形有正多邊形，如正三角形，和正多面體，如立方體、正四面體等。

### 維度

#### 二維

二維中的幾何圖形又稱為**平面圖形**。許多平面圖形可以透過一個點集或一系列頂點和一系列與那些頂點相連的且封閉的邊來定義，而使用點和邊定義的幾何圖形稱為多邊形，例如三角形、正方形等。而其他圖形可被封閉的曲線，諸如圓形、橢圓形來訂出。

#### 三維

立體圖形（幾何體）

三維中的幾何圖形又稱為**立體圖形**或**幾何體**。許多幾何體可以透過一系列頂點、連接頂點的線以及線包圍出的平面圖形作為面來定義，這種幾何體稱為多面體，例如立方體、四面體等。 其他三維形狀可以由諸如橢圓體和球體之類的曲面界定。

#### 四維

四維幾何圖形有四維柱體柱和四維正多胞體。

## 用途

幾何形狀通常具有特殊性和規律性，因此心理學家認為人在心裡會將影像分解為一些簡單的幾何形狀。由於許多複雜的形狀可以藉由數種幾何圖形互相組合而構成，因此許多繪圖軟體會直接提供幾合圖形繪製的功能。由於幾何形狀容易以數學表達式來表示，因此部分程式繪圖也會以幾何形狀為基礎，以利其演算法的設計。

* 形狀

## 註釋

## 參考文獻
# 四维凸正多胞体[编辑]

超立方体是6个四维凸正多胞体之一
在数学中，**四维凸正多胞体**（英語：convex regular polychoron）是指一类既是凸的又是正的的四维多胞体（4-多胞形）。它们是正多面体（三維）和正多边形（二维）的四维类比。它们最先在19世纪被数学家路德维希·施莱夫利所发现，其中五个与五个柏拉图立体一一对应，另外一个（正二十四胞体）没有好的三维类比。

每个四维凸正多胞体必须有同种的同样大小的凸正多面体胞面面相接构成，并且每个顶点周围必须有相同数量的胞。

## 特性

下面的表格描述了六个四维凸正多胞体的基本特性，表格的最后一列给出了它们所属的考克斯特群，形象化描述了它们在一系列镜面反射中的抽象群；及这个群的阶。

| 名称 | 家族 | 施莱夫利 符号 | 顶点 | 边 | 面 | 胞 | 顶点图 | 对偶
 | 对称群
 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 正五胞体 超棱锥 超正四面体 四维单纯形 | 单纯形 （n-单纯形） | {3,3,3} | 5 | 10 | 10 正三角形 | 5 正四面体 | 正四面体 | （自身对偶） | *A*4 | 120
 |
| 正八胞体 超正方体 超立方体 四维立方体 | 立方形 （n-立方形） | {4,3,3} | 16 | 32 | 24 正四边形 | 8 正六面体 | 正四面体 | 正十六胞体 | *B*4 | 384
 |
| 正十六胞体 超正八面体 四维正轴形 | 正轴形 （n-正轴形） | {3,3,4} | 8 | 24 | 32 正三角形 | 16 正四面体 | 正八面体 | 正八胞体 | *B*4 | 384
 |
| 正二十四胞体 截半正十六胞体 重正八面体 | （沒有好的其他維度類比） | {3,4,3} | 24 | 96 | 96 正三角形 | 24 正八面体 | 正六面体 | （自身对偶） | *F*4 | 1152
 |
| 正一百二十胞体 超正十二面体 重正十二面体  | 正十二面体形 类五边形形 （n-类五边形形） | {5,3,3} | 600 | 1200 | 720 正五边形 | 120 正十二面体 | 正四面体 | 正六百胞体 | *H*4 | 14400
 |
| 正六百胞体 重正四面体 超正二十面体  | 正二十面体形 类二十面体形 （n-类二十面体形） | {3,3,5} | 120 | 720 | 1200 正三角形 | 600 正四面体 | 正二十面体 | 正一百二十胞体 | *H*4 | 14400
 |

这6个四维凸正多胞体都是表面与三维球面（**S3**）同胚的单连通多胞体，所以它们的欧拉示性数都为0，因此我们有以下欧拉公式的四维类比：

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_0
其中 WIKINIUM\_MATH\_PH\_2 代表零维顶点数， WIKINIUM\_MATH\_PH\_4 代表一维棱数， WIKINIUM\_MATH\_PH\_6 代表二维面数， WIKINIUM\_MATH\_PH\_8 代表三维胞数。

## 可视化

以下的表格展示了6个四维凸正多胞体的多种二维投影（更多图像可以在各自的页面里找到）。表头给出了多胞体的施莱夫利符号和考克斯特符號。

| 正五胞体 | 正八胞体 | 正十六胞体 | 正二十四胞体 | 正一百二十胞体 | 正六百胞体
 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| {3,3,3} | {4,3,3} | {3,3,4} | {3,4,3} | {5,3,3} | {3,3,5}
 |
|  |  |  |  |  |  |
| 皮特里多边形正对的正交线架投影.
 |
|  |  |  |  |  |  |
| 三维固体填充正交投影
 |
|  正四面体 凸包 （胞在前／顶点在前）
 |  立方体凸包 （胞在前）
 |  立方体凸包 （胞在前）
 |  截半立方体 凸包 （胞在前）
 |  截角菱形 三十面体 凸包 （胞在前）
 |  五角化截半 十二面体 凸包 （顶点在前）
 |
| 线架施莱格尔投影（透视投影）
 |
|  （胞在前）
 |  （胞在前）
 |  （胞在前）
 |  （胞在前）
 |  （胞在前）
 |  （顶点在前）
 |
| 线架球极投影（四维超球球极投影）
 |
|  |  |  |  |  |  |

## 参考

* H. S. M. Coxeter, *Introduction to Geometry, 2nd ed.*, John Wiley & Sons Inc., 1969. ISBN 0-471-50458-0.
* H. S. M. Coxeter, *Regular Polytopes*, 3rd. ed., Dover Publications, 1973. ISBN 0-486-61480-8.
* D. M. Y. Sommerville, *An Introduction to the Geometry of **n** Dimensions.* New York, E. P. Dutton, 1930. 196 pp. (Dover Publications edition, 1958) Chapter X: The Regular Polytopes

* WIKINIUM\_MATH\_PH\_10

| **四维正多胞体** |
| --- |
| 正五胞体 | 超立方体 | 正十六胞体 | 正二十四胞体 | 正一百二十胞体 | 正六百胞体
 |
| {3,3,3} | {4,3,3} | {3,3,4} | {3,4,3} | {5,3,3} | {3,3,5}
 |
# 会田安明[编辑]

| 会田安明 |
| --- |
| 会田安明像 |
| 出生 | 1747年3月20日 出羽國山形（現山形縣） |
| 逝世 | 1817年12月4日(1817-12-04)（70歲） 江戶淺草（現東京都台東區） |
| 知名于 | 创造日本数学中首个表示相等符号 |
| **科学生涯** |
| 研究领域 | 數學 |
|  |

**会田安明**，（1747年3月20日—1817年12月4日），日本江户时代的数学家。为“最上流”的创始人，这一派重点为研究系统代数学。他最重要成就为创造日本数学中首个表示相等符号。

## 参考

## 扩展阅读

* Endō Toshisada (1896). *History of mathematics in Japan*（日本數學史史，Dai Nihon sūgakush）. Tōkyō: \_\_\_\_\_. OCLC 122770600 （页面存档备份，存于互联网档案馆）
* Restivo, Sal P. (1992). *Mathematics in Society and History: Sociological Inquiries.* （页面存档备份，存于互联网档案馆） Dordrecht: Kluwer Academic Publishers. ISBN 0-7923-1765-3/ISBN 978-0-7923-1765-4; OCLC 25709270 （页面存档备份，存于互联网档案馆）
* Selin, Helaine. (1997). *Encyclopaedia of the History of Science, Technology, and Medicine in Non-Western Cultures.* （页面存档备份，存于互联网档案馆） Dordrecht: Kluwer/Springer. ISBN 0-7923-4066-3/ISBN 978-0-7923-4066-9; OCLC 186451909 （页面存档备份，存于互联网档案馆）
* Shimodaira, Kazuo. (1970). "Aida Yasuaki", *Dictionary of Scientific Biography.* New York: Charles Scribner's Sons. ISBN 0-684-10114-9
* David Eugene Smith and Yoshio Mikami. (1914). *A History of Japanese Mathematics.* （页面存档备份，存于互联网档案馆） Chicago: Open Court Publishing. OCLC 1515528 （页面存档备份，存于互联网档案馆） – note alternate online, full-text copy at archive.org

* 約翰·J·奧康納; 埃德蒙·F·羅伯遜, Aida, MacTutor数学史档案 （英语）
# 鲍耶·亚诺什

| 鲍耶·亚诺什 |
| --- |
| 非本人画像，学术界多认为其真实相貌已不可考 |
| 出生 | 1802年12月15日 特兰西瓦尼亚科洛兹堡（今罗马尼亚克卢日-纳波卡） |
| 逝世 | 1860年1月27日 特兰西瓦尼亚毛罗什瓦沙尔海伊（今特尔古穆列什） |
| 墓地 | 毛罗什瓦沙尔海伊加尔文宗公墓 |
| 国籍 | 匈牙利王国 |
| 母校 | 维也纳皇家工程学院 |
| 知名于 | 非欧几何 |
| **科学生涯** |
| 研究领域 | 几何学 |
|  |

**鲍耶·亚诺什**（匈牙利語：Bolyai János，姓氏又译“**波尔约**”，1802年10月15日—1860年1月27日），匈牙利数学家，和罗巴切夫斯基同为非欧几何中双曲几何的创始人。

## 早年

克卢日-纳波卡鲍耶·亚诺什的出生地
鲍耶生于匈牙利王国特兰西瓦尼亚地区的克卢日-纳波卡（现为罗马尼亚克卢日县首府），其出生的房屋一直保存到现在。亚诺什的父亲是著名数学家鲍耶·法尔科斯。1804年4月鲍耶·法尔科斯到特尔古穆列什（现属罗马尼亚）担任当地学院数学教授，全家随之也迁往该地。鲍耶·法尔科斯受到卢梭的《爱弥尔》一书的影响，很注意遵照亚诺什的天性和兴趣来教育他。在父亲的教育下，鲍耶在十二岁时已经学完了《几何原本》的前六卷和欧拉的《代数原理》。1818年到1823年他到维也纳的皇家工程学院学习，这是一座为军队培养工程师的学校，所以亚诺什毕业之后就作了十年的军队工程师，直到1833年因健康和厌倦了军队生活而退役。

## 非欧几何的研究

1820年起鲍耶就开始沉迷于对欧几里得的平行公设的研究中，平行公设是欧几里得在几何原本中提出的第五条公设。即“如果一条线段与两条直线相交，在某一侧的内角和小于两直角，那么这两条直线在不断延伸后，会在内角和小于两直角的一侧相交。”由于其形式比其他公设和公理都复杂，一直以来有很多数学家试图证明平行共设可以从前四条公设推出。亚诺什的证明遭到了失败，于是他开始怀疑平行公设的正确性，希望建立一种独立于平行公设之外的几何。同样曾试图证明平行公设的鲍耶·法尔科斯得知自己的儿子在作这一研究时，写信给他希望他放弃努力，因为自己当年也曾希望把几何学中的这个白璧微瑕消除干净，但发现最后只是赔上了自己的时间、健康和生活的快乐。

然而鲍耶坚持了自己的研究，他最终得出结论，如果把欧氏几何的其他公理和公设（即现在所称的绝对几何部分），加上平行公设，即成为欧氏几何，而如果加上“过某一直线外一点可以引最少兩条平行线”的新公设，就可以创立出一种新几何学，即现在所称的双曲几何，而前者可以看作后者的特殊情况。从1823年亚诺什给父亲的信中，可以推断此时他已经有了基本的思路，他写道：“我已经决定对现在的研究写一篇论文，但我还在准备之中……我从虚无中创立了一个新的世界，但现在寄给你的部分比起我心中的钟楼而言，只不过的是个纸牌搭的房子。”

在双曲抛物面上的一个三角形，内角和小于180度
1832年亚诺什的论文作为他父亲用拉丁文所写的数学书的附录发表。法尔科斯把书寄给了自己的朋友卡尔·弗里德里希·高斯，高斯读到这篇附录后，回信说：“如果我一上来就说我不能赞赏这项工作，你一定会大吃一惊，但我不得不这么说，因为赞赏这篇附录就等于赞赏我自己。实际上这篇附录的方法和结果，都和我三十年来的某些工作极其类似……我认为这位你的儿子有着第一流的天赋。”这封信让法尔科斯很是满意，却激怒了亚诺什，他怀疑高斯是在争夺对非欧几何发现的优先权。1848年鲍耶惊奇地读到了罗巴切夫斯基著作的德文译本，发现对方在1829年已然出版了和自己类似的工作。他最先怀疑罗巴切夫斯基是否有剽窃嫌疑，但很快就转为赞扬对方了。

科学史家认为，非欧几何的创立者中，罗巴切夫斯基处于科学研究中心以外的俄国，鲍耶处于匈牙利，发表的附录也失之简略，而最有影响力的高斯又一直对自己的研究保持着“宁要少些，但要好些”的原则，所以从未发表过非欧几何方面的论文，使得非欧几何为人接受的过程大大的延迟了。直到1868年，意大利数学家贝尔特拉米发表了论文《非欧几何的解释》中指出罗巴切夫斯基和鲍耶创立的双曲几何可以在伪球面上实现，非欧几何才逐渐被关注起来。

## 数论方面的研究

1837年莱比锡科学会组织了一场虚数理论的竞赛，鲍耶父子都参加了，其中亚诺什使用的是自己在1831年发现的对于虚数的理论，这一理论和哈密顿后来提出的四元数理论极为相似,但最终两人都未获奖。鲍耶一生除了关于非欧几何的那24页的附录以外再未发表过其他学术论文，但留下了两万页的数学手稿，现存于罗马尼亚特尔古穆列什的泰勒克伊-鲍耶图书馆（Teleki-Bolyai Library）。其中包括对于费马数和伪素数的研究，研究者发现鲍耶·亚诺什已经找出了很多组伪素数。

## 參見條目

* 羅巴切夫斯基
* 雙曲幾何

* Andras Prekopa and Emil Molnar, Non-Euclidean Geometries, 2005, ISBN 0-387-29554-2
* Jeremy.J.Gray Janos Bolyai, Non-euclidean Geometry, and the nature of space, 2004, ISBN 0-262-57174-9
# 埃利·嘉当

| 埃利·嘉當 Élie Cartan |
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| 出生 | (1869-04-09)1869年4月9日 法國伊泽尔省多洛米约 |
| 逝世 | 1951年5月6日(1951-05-06)（82歲） 法國巴黎 |
| 居住地 | 法國 |
| 母校 | 巴黎大学 |
| 知名于 | 李群 (Cartan's theorem) 向量空间与外代数 微分几何 狭义与廣義相對論 微分形式 量子力学 (spinor, rotating vectors) |
| 配偶 | 玛丽-露易丝·比安科尼(Marie-Louise Bianconi) |
| 儿女 | 亨利·嘉當 让·嘉当(Jean Cartan) 路易·嘉当(Louis Cartan) |
| 奖项 | Leconte Prize (1930) Lobachevsky Prize (1937) President of the French Academy of Sciences (1946) 皇家学会院士 (1947) |
| **科学生涯** |
| 研究领域 | 数学、物理 |
| 机构 | 巴黎大学 巴黎高等师范学校 |
| 论文 | Sur la structure des groupes de transformations finis et continus（1894） |
| 博士導師 | 让·加斯东·达布 马里乌斯·索菲斯·李 |
| 博士生 | 夏尔·埃雷斯曼 Mohsen Hashtroodi 矢野健太郎 |
| 其他著名學生 | 陈省身 |
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**埃利·约瑟夫·嘉当**（法語：Élie Joseph Cartan，1869年4月9日—1951年5月6日），法国数学家，**嘉當**又譯**卡當**、**卡坦**。他在李群理论及其幾何应用方面奠定基础。他也对数学物理、微分几何、群论做出了重大贡献，埃利·嘉当也被认为是20世纪最伟大的数学家之一。

## 生平

嘉当生于薩瓦的多洛姆厄，在1888年成为巴黎的巴黎高師的一名学生。在1894年取得博士学位后，他在蒙皮立和里昂任教，并于1903年在南錫當上教授。他在1909年到巴黎任教，并于1912年成为教授，而在1942年退休。他卒于巴黎。数学家亨利·嘉当是他的儿子。華裔數學家陈省身是嘉当的學生，嘉當每兩星期約陳省身去他家裡談一次，每次一小時。

## 工作

据他自己在「科研簡介」(*Notice sur les travaux scientifiques*)所作的描述，他的工作(总数达186，发表于1893-1947年间)的主题是李群的理论。他从在复的简单李代数上的基础材料上的工作开始，把恩格尔(Christian Engel)和基灵(Wilhelm Killing)先前的工作整理起来。这被证明是有决定性意义的，至少对于分类来讲，他鉴定出4个主要的族和5个特殊情况。他也引入了代数群的概念，它在1950年之前并没有被认真的发展过。

他也定义了反对称微分形式的一般概念，以我们现在所使用的风格；他通过马尤厄－嘉当方程处理李群的方式要用到2-形式来表达。那时，称为Pfaffian系统（也就是用1-形式表达的1阶微分方程组）的概念很常用；通过引入表示导数的新变量，和额外的微分形式，他们可以表述很一般的偏微分方程(PDE)系统。嘉当加入了外导数，作为一个完全几何式的坐标无关的操作。这很自然导致了对于一般的*p*讨论*p*-形式的需要。嘉当描述了Riquier的一般PDE理论对他的影响。

基于这些基础，即李群和微分形式，他继续深入完成了大量工作，以及一些通用的技术，例如移动标架法，这些逐渐融入到数学的主流中。

在「科研簡介」中,他把自己的工作分成15个领域。用现代术语来描述，他们是：

1. 李群
2. 李群表示
3. 超复数(Hypercomplex number), 除法代数(division algebra)
4. PDE系统, Cartan-Kähler定理
5. 等价性理论
6. 可积系统，延长理论(theory of prolongation)和对合系统(systems in involution)。
7. 无穷维群和伪群
8. 微分几何和活动标架法
9. 一般化空间及其上的结构群和联络，嘉当联络，和樂(holonomy)，外尔张量
10. 李群的几何和拓扑
11. 黎曼几何
12. 对称空间
13. 紧群的拓扑和它们的齐性空间
14. 积分不变量和经典力学
15. 相对论, 旋量

这些课题的大部分被后来的数学家完整的研究了。但不是全部：嘉当自己的方法惊人的统一，但大部分的后续工作可以说失去了他的特色。也就是说，变得更代数化。

看看这些不太主流的领域：

* PDE理论必须包含奇异解(也就是包络),例如在Clairaut方程中所见到的那样;
* 延长方法应该在*回旋*系统中中止(这是解析理论，而不是光滑理论，并导向形式化可积性理论和Spencer上同调)；
* 等效性问题，如他所说，是通过把结构的图像变成微分系统的积分流形来建立它们的微分同胚(并由此发现不变量)；
* 活动标架法，不但和主丛和它们的联络有关，也需要使用和几何相适应的标架；
* 现在，埃雷斯曼的jet丛方法被用于把切触作为系统化的等价关系。

所以，从某种意义上来说，嘉当的工作的独特的一面仍然正在被数学家们所消化。这可以在诸如变分法，Bäcklund变换和微分系统的一般理论之类的领域中不断的见到；大致来讲，这些是微分代数的那些感到现存的伽罗瓦理论所导出的对称性模型过于狭窄并需要使用和关系的范畴更类似的东西的部分领域。

## 参看

* 嘉当联络、嘉当联络的应用
* 嘉当矩阵
* 嘉当定理
* 嘉当子代数
* 嘉当等效性方法
* 爱因斯坦-嘉当理论
* 微分系统的可积性条件

## 参考资料
# 米哈伊尔·格罗莫夫[编辑]

| 米哈伊尔·格罗莫夫 Mikhaïl Leonidovitch Gromov Михаил Леонидович Громов |
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| 米哈伊尔·格罗莫夫, 2014年 |
| 出生 |  (1943-12-23) 1943年12月23日 蘇聯俄罗斯博克西托戈爾斯克 |
| 居住地 | 法國 |
| 国籍 | 俄羅斯 法國 |
| 母校 | 列宁格勒国立大学 (PhD) |
| 知名于 | 几何学 格羅莫夫雙曲空間 |
| 奖项 | 奥斯瓦尔德·维布伦几何奖 (1981) 沃尔夫数学奖 (1993) 京都獎 (2002) 内默斯数学奖 (2004) 波利亚奖 (2005) 阿贝尔奖 (2009) |
| **科学生涯** |
| 研究领域 | 数学 |
| 机构 | 法國高等科學研究所 纽约大学 |
| 博士導師 | Vladimir Rokhlin |
| 博士生 | Denis Auroux Christophe Bavard François Labourie Yashar Memarian Pierre Pansu Abdelghani Zeghib |
|  |

**米哈伊尔·列昂尼多維奇·格罗莫夫**（俄語：Михаил Леонидович Громов，法語：Mikhaïl Leonidovitch Gromov，1943年12月23日—），生於博克西托戈爾斯克的俄罗斯数学家，1992年加入法国国籍。他以极富原创性的观点在“在整体黎曼几何、辛几何、代数拓扑学、几何群论和偏微分方程理论等领域作出了革命性的贡献”（1993年沃尔夫数学奖授奖词）。他是法國法國高等科學研究所(IHÉS)的永久教授成員，也是紐約大學的數學教授。

格羅莫夫贏得了多個獎項，包括2009年的阿貝爾獎，“表彰他對幾何學的革命性貢獻。”。

## 傳記

米哈伊爾·格羅莫夫在1943年12月23日出生於蘇聯博克西托戈爾斯克。 他的俄羅斯父親列昂尼德·格羅莫夫（Leonid Gromov）和他的猶太母親莉亞·拉比諾維茨(Lea Rabinovitz)都是病理學家 。

格羅莫夫在列寧格勒國立大學學習數學，1965年獲得碩士學位，1969年獲得博士學位，並於1973年通過博士後論文答辯。他的論文導師是蘇聯數學家Vladimir Rokhlin 。

## 成果

格罗莫夫最具影响力的工作包括：黎曼几何方面，系统地考察了黎曼流形的收敛性，他在这方面的一系列结果奠定了现代整体黎曼几何研究的基础；几何群论方面，描述了多项式增长群和双曲群，为离散群的研究带来全新的观点；辛几何方面，引入伪全纯曲线的概念，由此形成了格罗莫夫-威滕不变量理论；偏微分方程方面，他提出的同伦原理构成偏微分方程几何理论的基础。

## 奖项和荣誉

### 奖项

* 奥斯瓦尔德·维布伦几何奖(1981)
* 沃尔夫数学奖(1993)
* 勒羅伊·斯蒂爾獎研究貢獻獎 (美國數學學會AMS) (1997)
* 巴尔赞奖数学奖(1999)
* 京都獎（2002）
* 弗雷德里克·埃瑟·内默斯数学奖（2004）
* 波利亚奖(2005)
* 阿贝尔奖(2009)

### 荣誉

* 格罗莫夫是法国科学院院士(1997)。
* 美國國家科學院（1989）、美國藝術與科學院（1989）、挪威科學與文學院、英國皇家學會（2011）的外籍院士

* 曲面的systole

## 参考资料

* 格罗莫夫在法国高等科学研居所的个人主页 （页面存档备份，存于互联网档案馆）
* 格罗莫夫在纽约大学的个人主页
# 尼古拉·罗巴切夫斯基

| 尼古拉·伊万诺维奇·罗巴切夫斯基 Николай Иванович Лобачевский |
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| 尼古拉·罗巴切夫斯基 |
| 出生 | (1792-12-01)1792年12月1日  俄罗斯帝国下诺夫哥罗德 |
| 逝世 | 1856年2月24日(1856-02-24)（63歲）  俄罗斯帝国喀山 |
| 国籍 | 俄罗斯 |
| 母校 | 喀山大学 |
| 知名于 | 罗巴切夫斯基几何 |
| **科学生涯** |
| 研究领域 | 几何 |
| 博士導師 | 马丁·巴特尔斯 |
| 博士生 | 尼古拉·布拉什曼 |
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| 签名 |
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**尼古拉·伊万诺维奇·罗巴切夫斯基**（俄語：Никола́й Ива́нович Лобаче́вский，1792年12月1日—1856年2月24日），俄羅斯數學家，非歐幾何的早期發現人之一。

## 生平

他父親是文員，在羅氏七歲時便逝去。他們一家遷到东部的喀山。羅氏有兩個兄弟，三人都在政府的獎學金下升讀中學。1807年羅氏進入成立了不足三年的喀山大學攻讀數學和物理。有傳記作者寫：「當時學系的氣氛十分好。學生充滿熱誠，夜以繼日地尋求知識。從德國來的優秀學者都是好老師。羅氏在他的每一科都做得很好。」這些老師之中包括高斯的好友马丁·巴特尔斯。

自1811年，他便在喀山大学任教，並曾任校長。他教授了許多數學、物理和天文的課程，還以講解清晰詳細著稱。

在數學上，他獨立發展非歐幾何、当德兰-格拉夫方法和實數上的函數定義。

威廉·金頓·克利福德由於他的工作成果的革命性特徵，把羅巴切夫斯基稱為“幾何學的哥白尼”。

## 荣誉

* 1972年发现的洛巴切夫斯基小行星（1858 Lobachevskij）是为了纪念他而命名的。
* 月球的罗巴切夫斯基隕石坑被以他的名字命名。
* 喀山联邦大学数学奖罗巴切夫斯基奖。

## 參考

* Nikolai Ivanovich Lobachevsky - Biography. Maths History.  [2021-10-04]. （原始内容存档于2022-03-02） （英语）.
# 明安圖

明安图
《割圜密率捷法》卷一书影
明安图《割圜密率捷法》卷三 “卡塔兰数”书影
**明安圖**（蒙古语：ᠮᠢᠩᠭᠠᠲᠦ，鲍培转写：minggatu，西里尔字母：Мянгат；滿語：ᠮᡳᠩᡤᠠᠨ᠋ᡨᡠ᠋，穆麟德轉寫：minggantu；1692年—1763年），字**靜庵**，亦那木都魯氏，蒙古正白旗人。清朝天文學家、數學家。家乡在今内蒙古自治区锡林郭勒盟正镶白旗明安图镇。

青年時期的明安圖被選入欽天監為官學生，學習天文、曆法和數學，他跟随康熙帝在皇宫听西方传教士讲授测量、天文、数学。又從法國人杜德美學習艾薩克·牛頓的三個無窮級數展開式。康熙五十一年（1712年），隨康熙皇帝往承德避暑山莊，回答科學問題。乾隆二十一年（1756年）、二十四年（1759年），兩次赴新疆測繪地圖，完成天山北路、南路的测绘。他以科学方法进行地理测绘，获得大量有关山川、道里、气候等地理资料，成为绘制《乾隆内府舆图》新疆部分、《皇舆西域图志》的重要依据。

康熙六十年，任欽天監时宪科五官正。他对天文、历法、气象进行也讲求实地观测，每年将汉文本的《时宪书》译成蒙古文，清廷颁行，供蒙古使用。又參加了《律曆淵源》的編撰工作，将积累的考测资料编入该书《历象考成》部分。雍正八年（1730年），修订编出《日躔月离表》。乾隆二年（1737年）參加編修《曆象考成後編》十卷。至乾隆七年（1742年），完成，反映了中西天文历象科学的新成果，成为清代编制历法的依据，从乾隆九年至十七年，参加《仪象考成》一书的推算工作。乾隆二十四年（1759年），升任欽天監監正，掌管钦天监工作。卒於乾隆二十八年（1763年，一说乾隆三十年）。在数学方面，以中国传统的数学，结合西方数学的成果，他有一本數學名著《割圜密率捷法》四卷，是研究三角函數的重要書籍。明安图在书中最早发现卡塔兰数。他论证了三角函数级数展开式和圆周率的无穷级数表示式等九个公式，成功地解析了九个求圆周率的公式。明安图因病书未成即去世。后由其子明新、学生陈际新续成，1774年出版。此书在清代数学界被誉为“明氏新法”。

2002年5月26日，在明安图的家乡明安图镇举办“明安图的科学贡献”研讨会，有五百多位学者和二万当地居民参加，会上宣布将第28242号小行星命名为明安图 。

## 延伸阅读

 《清史稿·卷506》，出自趙爾巽《清史稿》

* 卡塔兰数
# 奈绥尔丁

奈绥尔丁
**奈绥尔丁·图西**（波斯語：نصیر الدین طوسی *Naṣīr al-Dīn al-Ṭūsī*，1201年2月18日—1274年6月26日），原名**穆罕默德·伊本·穆罕默德·伊本·哈桑·图西**（محمد بن محمد بن حسن طوسی），波斯博学家、建筑学家、哲学家、物理学家、科学家、伊斯兰神学家。

生于图斯（今伊朗东部），早年在图斯和尼沙普尔学习，后来到伊斯梅利供职，曾受到蒙古统治者的重用。他是中世纪著名的百科全书式的学者之一。在数学方面，曾注释过欧几里得、阿基米德、阿波罗尼奥斯、托勒密等许多古希腊学者的著作。他撰写的著作《论完全四边形》对三角学作出了重大贡献，还著有哲学和逻辑学方面的书，以《纳西尔伦理学》最为著名。

奈绥尔丁于1248年根据当时流行的各种版本，重新修订了《几何原本》，分大版、小版两种。小版流传很广，至今在欧洲一些地方的图书馆里还能见到。1258年蒙古军占领巴格达，建立伊尔汗国，成吉思汗的孙子旭烈兀任命奈绥尔丁为首相。

## 参考
# 奧斯瓦爾德·維布倫[编辑]

| 奧斯瓦爾德·維布倫 Oswald Veblen |
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| 奧斯瓦爾德·維布倫 (1915年照片) |
| 出生 | (1880-06-24)1880年6月24日 美國，艾奥瓦州，迪科拉 |
| 逝世 | 1960年8月10日(1960-08-10)（80歲） 美國，缅因州，Brooklin |
| 母校 | 愛荷華大學 哈佛大學 芝加哥大学 |
| **科学生涯** |
| 机构 | 普林斯頓大學 普林斯顿高等研究院 |
| 论文 | A System of Axioms for Geometry（1903） |
| 博士導師 | E·H·摩爾 |
| 博士生 | 詹姆斯·韋德爾·亞歷山大 H. Roy Brahana 阿隆佐·邱奇 Philip Franklin 哈羅德·霍特林 Howard H. Mitchell Robert Lee Moore Tracy Thomas J·H·C·怀特海德 |
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**奧斯瓦爾德·維布倫**（英語：**Oswald Veblen**，1880年6月24日—1960年8月10日），美國數學家、幾何學家暨拓撲學家，他的研究應用在原子物理學和相對論。他在1905年證明了若爾當曲線定理。

## 參考

* 奧斯瓦爾德·維布倫在數學譜系計畫的資料。
* 約翰·J·奧康納; 埃德蒙·F·羅伯遜, Veblen, MacTutor数学史档案 （英语）
* Obituary and Bibliography of Oswald Veblen (also available here （页面存档备份，存于互联网档案馆）)
* Oswald Veblen的作品 - 古騰堡計劃
* Steve Batterson, The Vision, Insight, and Influence of Oswald Veblen （页面存档备份，存于互联网档案馆）, *Notices of the American Mathematical Society*, vol. 54, no. 5 (May 2007)
* "Projective relativity theory," transl. by D. H. Delphenich （页面存档备份，存于互联网档案馆）
# 杨辉[编辑]

杨辉八阵图
杨辉纵横图构造法
杨辉递增三乘开四次方术
**楊輝**（約1238年—約1298年），字**謙光**，錢塘（今浙江杭州）人，南宋数学家。

## 生平

楊輝生於約宋理宗嘉熙二年（1238年），終於約元成宗大德二年（1298年）。

## 著作

杨辉著有《詳解九章算法》12卷、《日用算法》192卷、《乘除通變算寶》3卷、《田畝比類乘除捷法》2卷、《續古摘奇算法》2卷及《九章算法篡類》、《杨辉算法》等多本算法的著作。另一方面，他在宋度宗咸淳年间的兩本著作裡，亦有提及當時南宋的土地價格。這些資料亦對後世史學家瞭解南宋經濟發展有很重要的幫助。

## 成就

楊輝在著作中收錄了不少現已失傳的、古代各類數學著作中很有價值的算題和算法，保存了許多十分寶貴的宋代數學史料。他對任意高次冪的開方計算、二項展開式、高次方程的求解、高階等差級數、縱橫圖等問題，都有精到的研究。楊輝十分留心數學教育，並在自己的實踐中貫徹其教育思想。楊輝更對於垛積問題（高階等差級數）及幻方、幻圆作過詳細的研究。

由於他在他的著作裡提及過賈憲對二項展開式的研究，所以“賈憲三角”又名“楊輝三角”。這比歐洲於17世紀的同類型的研究“帕斯卡三角形”早了差不多五百年。在《乘除通變算寶》中，楊輝創立了“九歸”口訣，介紹了籌算乘除的各種速算法等等。這些在中國數學史上，都佔有重要的地位。

在《續古摘奇算法》中，楊輝列出了各式各樣的縱橫圖（幻方），它是宋代研究幻方和幻圆的最重要的著述。楊輝對中國古代的幻方，不僅有深刻的研究，而且還創造了一个名为**攒九图**的四阶同心幻圆和多个连环幻圆。

* 杨辉算法
* 楊輝三角形
* 幻方
* 幻圆
# 圆盘[编辑]

圆盘是由一个圆周界定的区域。开圆盘是不包含边界圆周的圆盘的内部，而闭圆盘是开圆盘加上边界圆周。
在几何中，一个**圆盘**（disk 或 disc）是由平面中一个圆（circle）围成的区域。一個圓只包含邊界，而一個圓盤包含内部區域。

在度量幾何與凸分析中，圓盤是凸集，因為每兩點之間的直线點都落在該點集合中；但是圓不是凸集，因為它是中空的。

## 開圓盤與閉圓盤

不含邊界的圓盤稱為**開圓盤**，包含邊界的圓盤稱為**閉圓盤**。

開圓盤與閉圓盤是開區間與閉區間在二維上的推廣（參見區間）。就点集拓扑学來說，它們都是开集或闭集，開／閉區間是一維的開／閉集，而開／閉圓盤是二維的開／閉集。因此，在数学分析中，如同區間被使用在實數線上，圓盤被使用在複數平面上用來表示邻域。

要注意的是，因為一個集合可能是一個聯集，所以一個開集不一定是開區間或開圓盤，例如， WIKINIUM\_MATH\_PH\_0 是一個開集，但是它不是一個開區間，因為它不連續。

## 圓盤的度量空間定義

在笛卡儿坐标中，以 WIKINIUM\_MATH\_PH\_2 为中心半径为 WIKINIUM\_MATH\_PH\_4 的开圆盘由公式

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_6
给出，而同样中心与半径的闭圆盘为

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_8
一个半径为 WIKINIUM\_MATH\_PH\_10 的开圆盘或闭圆盘的面积是 WIKINIUM\_MATH\_PH\_12 （见 圆周率 WIKINIUM\_MATH\_PH\_14 ）。

## 圓盤與球

球是圆盘在度量空间中的推广。不过，**球**被用來當作一個一般性的概念，以推廣到多維空間，在這概念下，圓盤是二維空間（歐幾里得平面）中的球。因此，開圓盤是二維的開球，閉圓盤是二維的閉球。

## 物理學中的圓盤

在理论物理学中，圆盘也被用來當作二维气体的氣體分子模型，通常它被视为刚体，所以它們的碰撞是弹性的。

* 单位圆盘，半径为 1 的圆盘
* 环形
* 圆盘代数
* 均匀圆盘的惯性矩