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# 微分形式

**微分形式**（英語：Differential form）是多变量微积分，微分拓扑和张量分析领域的一个数学概念。现代意义上的微分形式，及其以楔积和外微分结构形成外代数的想法，都是由法国数学家埃里·嘉当引入的。

例如，一元微积分中的表达式 WIKINIUM\_MATH\_PH\_0 是1-形式的一个例子，并且可以在 WIKINIUM\_MATH\_PH\_2 定义域内的一个区间 WIKINIUM\_MATH\_PH\_4 上进行积分：

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_6
类似地，表达式 WIKINIUM\_MATH\_PH\_8 是2-形式的一种，它在可定向曲面 WIKINIUM\_MATH\_PH\_10 上有曲面积分:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_12
符号 WIKINIUM\_MATH\_PH\_14 表示两个微分形式的外积，有时候也称为*楔积*。类似地，3-形式 WIKINIUM\_MATH\_PH\_15 表示可以在空间的一个区域进行积分的体积元。一般地， WIKINIUM\_MATH\_PH\_17 -形式是一个可以在 WIKINIUM\_MATH\_PH\_19 -维集合上进行积分的对象，并且其坐标微分是 WIKINIUM\_MATH\_PH\_21 次齐次的。

## 简介

我们从**Rn*中的开集的情形开始。一个**0-形式**（0-form）定义为一个光滑函数 WIKINIUM\_MATH\_PH\_23 。
当我们在 WIKINIUM\_MATH\_PH\_25 的 WIKINIUM\_MATH\_PH\_27 -维子空间 WIKINIUM\_MATH\_PH\_29 上对函数 WIKINIUM\_MATH\_PH\_31 积分时，我们将积分写作：

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_33
把 WIKINIUM\_MATH\_PH\_35 当作形式化的对象，而非让积分看起来像个黎曼和的标记。我们把这些和他们的负 WIKINIUM\_MATH\_PH\_37 叫做基本1-形式。

我们再在其上定义一种乘法规则楔积，这种乘法只需满足反交换的条件：
对所有 WIKINIUM\_MATH\_PH\_39 , WIKINIUM\_MATH\_PH\_41

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_43
注意这意味着

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_45 .
我们把这些乘积的集合叫做*基本*2-*形式*，类似的我们定义乘积

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_47
的集合为*基本'**3-形式，这里假定*n*至少为3。现在定义一个*单项式'WIKINIUM\_MATH\_PH\_49 -形式为一个0-形式乘以一个基本的 WIKINIUM\_MATH\_PH\_51 -形式，定义 WIKINIUM\_MATH\_PH\_53 **-形式**为一些单项式 WIKINIUM\_MATH\_PH\_55 -形式的和。*

楔积可以推广到这些和上：

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_57
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_59
等等，这里 WIKINIUM\_MATH\_PH\_61 和类似的项表示 WIKINIUM\_MATH\_PH\_63 -形式。换句话说，和的积就是所有可能的积的和。

现在，我们来定义光滑流形上的 WIKINIUM\_MATH\_PH\_65 -形式。为此，我们假设有一个开坐标覆盖。我们可以在每个坐标邻域上定义一个 WIKINIUM\_MATH\_PH\_67 -形式；一个全局的 WIKINIUM\_MATH\_PH\_69 -形式就是一组坐标领域上的 WIKINIUM\_MATH\_PH\_71 -形式，他们在坐标邻域的交集上一致。这种*一致*的精确定义，见流形。

## 楔积的性質

若 WIKINIUM\_MATH\_PH\_73 , WIKINIUM\_MATH\_PH\_75 , WIKINIUM\_MATH\_PH\_77 为任意微分形式，则

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_79
若 WIKINIUM\_MATH\_PH\_81 为 WIKINIUM\_MATH\_PH\_83 -形式， *WIKINIUM\_MATH\_PH\_85*  为 WIKINIUM\_MATH\_PH\_87 -形式：

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_89
## 抽象（简明）定义及讨论

在微分几何中， *WIKINIUM\_MATH\_PH\_91*  阶**微分 WIKINIUM\_MATH\_PH\_93 -形式**是一个流形的余切丛的 WIKINIUM\_MATH\_PH\_95 阶外幂（exterior power）的光滑截面。在流形的每一点 WIKINIUM\_MATH\_PH\_97 ，一个  *WIKINIUM\_MATH\_PH\_99* -形式给出一个从切空间的 WIKINIUM\_MATH\_PH\_101 阶笛卡儿幂（cartesian power）到 WIKINIUM\_MATH\_PH\_103 的多线性映射。

例如，光滑函数（0-形式）的微分就是一个1-形式。

1-形式在张量的坐标无关表示中是一个很有用的基本概念。在这个上下文中，他们可以定义为向量的实值函数，并可以看成他们所对应的向量空间的对偶空间。1-形式的一个旧称就是"协变向量"。

## 微分形式的积分

*k*阶微分形式可以在  **WIKINIUM\_MATH\_PH\_105** 维链（chain）上积分。若 WIKINIUM\_MATH\_PH\_107 ，这就是函数在点上的取值。其他的 WIKINIUM\_MATH\_PH\_109 对应于线积分，曲面积分，体积分等等。

设

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_111
为一微分形式，设 WIKINIUM\_MATH\_PH\_113 为一个我们想在其上积分的集合，其中 WIKINIUM\_MATH\_PH\_115 有参数化形式

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_117
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_119 属于参数域 WIKINIUM\_MATH\_PH\_121 。则[Rudin, 1976]定义 WIKINIUM\_MATH\_PH\_123 上微分形式的积分为

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_125
其中

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_127
是雅可比矩阵的行列式。

参见斯托克斯定理（Stokes' Theorem）。

## 微分形式的操作

一个流形上所有*k*-形式的集合是一个向量空间。而且，其上有三类操作：楔积, 外微分（用*d*表示），和李导数。 WIKINIUM\_MATH\_PH\_129 ，细节请见德拉姆上同调。

外导数和积分的基本关系由推广的斯托克斯定理给出，它也同时给出了德拉姆上同调和链的同调的对偶性。

## 参考

* Walter Rudin. Principles of Mathematical Analysis. New York: McGraw-Hill, Inc. 1976. ISBN 0-07-054235.
* Michael Spivak. Calculus on Manifolds. W. A. Benjamin, Inc.; Menlo Park CA. 1965. ISBN 66-10910.
# 无穷远点

**无穷远点**，又称为**理想点**，是一个加在实数轴上后得到实射影直线 WIKINIUM\_MATH\_PH\_0 的点。实射影直线与扩展的实数轴不是一样的，扩展的实数轴有两个不同的无穷远点。

无穷远点也可以加在复平面 WIKINIUM\_MATH\_PH\_2 上，于是把它变成一个闭曲面，称为黎曼球面 WIKINIUM\_MATH\_PH\_4 。（把球面穿一个孔，并把所得到的边拉开来，便得到一个平面；相反的过程便把复平面变为 WIKINIUM\_MATH\_PH\_6 ：在平面外加上一个点，并把平面向这个点包起来，便得到球面。）

这个结构可以推广到任何拓扑空间。所得到的空间称为原空间的单点紧化。因此，圆形是直线的单点紧化，而球面则是平面的单点紧化。

现在考虑实射影平面 WIKINIUM\_MATH\_PH\_8 上的一对平行直线。由于这对直线是平行的，因此它们相交于无穷远点，这个点位于 WIKINIUM\_MATH\_PH\_10 的无穷远直线上。更进一步，这两条直线都 WIKINIUM\_MATH\_PH\_12 上的射影直线：每一条都有自己的无穷远点。当一对射影直线平行时，它们相交于它们公共的无穷远点。

* 无穷远直线
* 无穷远平面
# 祖暅原理

**祖暅（gèng）原理**，又名**等幂等积定理**，是指所有等高处横截面积相等的两个同高立体，其体积也必然相等的定理。祖暅之《綴術》有云：「緣冪勢既同，則積不容異。」

動畫示範了祖暅原理的應用：如果一組橫截面相同，只是水平方向有所不同，那麼它們的體積將相同。
该原理最早由中国古代数学家刘徽提出。南北朝时祖冲之儿子祖暅再次提出，兩父子用这原理求出牟合方盖体积，进而算出球体积。17世纪欧洲意大利数学家卡瓦列里亦發現相同定理，所以西方文献一般称该原理为**卡瓦列里原理**。

在現代的解析幾何和測度應用中，祖暅原理是富比尼定理的一個特例。卡瓦列里沒有對這條的嚴謹證明，只發表在1635年的*Geometria indivisibilibus*以及1647年的*Exercitationes Geometricae*，用以證明自己的*Methode der Indivisibilien*。以此方式可以計算某些立體的體積，甚至超越了阿基米德和克卜勒的成績。這定理引發了以面積計算體積的方法並成了積分發展的重要一步。

## 簡單應用

### 圓柱體

圓柱體
如果垂直轉軸切開圓柱體，設r為半徑，可得到橫切面積為 WIKINIUM\_MATH\_PH\_0 的圓。根據祖暅原理，圓柱體積相等於底面積相等於圓面積 WIKINIUM\_MATH\_PH\_2 、高h的長方體，所以半徑r和高h的圓柱體積是 WIKINIUM\_MATH\_PH\_4 。

### 半球體

垂直（上）以及水平（下）切開半球體和對照立體
從其中一層以垂直表面的高h橫切半徑為r的半球體，根據勾股定理，半徑為

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_6
所以橫切面積是

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_8
對照立體是個有與半球體相同橫切面積和高的立體，中間有一圓錐體。高h的對照立體環形切面有內圓周h及外圓周r，其面積為

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_10
因此兩個立體都滿足祖暅原理並有相同體積。對照立體的體積就是圓柱體和圓錐體體積之差，所以

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_12
成功利用這條有名的方程計出半球體積，從而導出球體積公式。

## 微積分

兩條方程積分後的差與兩條方程式之差的積分
祖暅原理背後概念常在微積分出現。作為維度的一個例子，因此兩條方程在兩交點間的面積可用以下方程獲得：

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_14
實質上表示了函數f和g間的 WIKINIUM\_MATH\_PH\_16 面積與函數圖形 WIKINIUM\_MATH\_PH\_18 下的 WIKINIUM\_MATH\_PH\_20 相同，而後者的交點距離與前者相等。由於現代數學的積分和面積的互相關係，而體積可以微分計算，使祖暅原理變得更少用。

## 參考文獻

* （英文） 伽利略計劃：卡瓦列里 （页面存档备份，存于互联网档案馆）
* （英文） Cavalieri's Principle -- from Wolfram MathWorld （页面存档备份，存于互联网档案馆）
# 束 (幾何學)[编辑]

通過點A的直線束
几何学裡的**束**是指一群有共同性質的同類幾何物件。例如在平面上通過某一點直线的集合，或是在平面上通過某二點圆的集合。

雖然束的定義比較含糊，但共同特點是束是由某一個參數所定義，而根據其中任兩個參數，就可以確定此參數。若要強調這類的束所具有的二維特性，有時也會稱為**平面束**。

束裡面可以包括任何幾何物件。常見的有直線、平面、圓、圓錐、球、以及一般曲線。甚至也可以是點。**點束**就是某一直線上的所有點。

## 相關條目

* 纤维化 (数学)
* 轨迹

## 腳註

## 參考資料

* Albert, Abraham Adrian, Solid Analytic Geometry, Dover, 2016 [1949], ISBN 978-0-486-81026-3
* Artin, E., Geometric Algebra, Interscience Publishers, 1957
* Faulkner, T. E., Projective Geometry 2nd, Edinburgh: Oliver and Boyd, 1952, ISBN 9780486154893
* Halsted, George Bruce, Synthetic Projective Geometry, New York Wiley, 1906
* Johnson, Roger A., Advanced Euclidean Geometry, Dover, 2007 [1929], ISBN 978-0-486-46237-0
* Pedoe, Dan, Geometry /A Comprehensive Course, Dover, 1988 [1970], ISBN 0-486-65812-0
* Pfeifer, Richard E.; Van Hook, Cathleen, Circles, Vectors, and Linear Algebra, Mathematics Magazine, 1993, **66** (2): 75–86, JSTOR 2691113, doi:10.2307/2691113
* Samuel, Pierre, Projective Geometry, Undergraduate Texts in Mathematics (Readings in Mathematics), New York: Springer-Verlag, 1988, ISBN 0-387-96752-4  含有內容需登入查看的頁面 (link)
* Schwerdtfeger, Hans, Geometry of Complex Numbers: Circle Geometry, Moebius Transformation, Non-Euclidean Geometry, Dover: 8–10, 1979 [1962] .
* Young, John Wesley, Projective Geometry, Carus Monograph #4, Mathematical Association of America, 1971 [1930]
* Woods, Frederick S., Higher Geometry / An introduction to advanced methods in analytic geometry, Dover, 1961 [1922]

* WIKINIUM\_MATH\_PH\_0
# 实射影平面[编辑]

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|  射影平面的基本多边形。
 |  莫比乌斯带只有一条边，将相对开边反向黏合起来便成为闭合的射影平面。
 |  对照克莱因瓶，是莫比乌斯带相对开边同向黏合。
 |

在数学中，**实射影平面**（英語：Real projective plane）是**R**3中所有过原点直线组成的空间，通常记作 WIKINIUM\_MATH\_PH\_0 ，无歧义时也记为 WIKINIUM\_MATH\_PH\_2 。这是一个不可定向、紧致、无边界二维流形（即一个曲面），它在几何中有基本的应用，但不能无自交地嵌入我们通常的三维欧几里得空间。它的亏格是1，故欧拉示性数也为1。

实射影平面有时描述为基于莫比乌斯带的构造：如果能把莫比乌斯带的（一条）边以恰当的方向黏合，将得到射影平面。等价地，沿着莫比乌斯带的边界黏合一个圆盘给出射影平面。

由于莫比乌斯带可构造为将正方形的一组对边反向黏合，从而实射影平面可以表示为单位正方形（[0,1] × [0,1]）将它的边界通过如下等价关系等同：

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_4  对 WIKINIUM\_MATH\_PH\_6 ,
以及

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_8  对 WIKINIUM\_MATH\_PH\_10 ,
即如右图所示。因为正方形同构于圆盘，故这也等价于将圆盘边界的对径点黏合。

## 构造

考虑一个球面，设球面的大圆（假设地球是一个球形，那么赤道就是大圆）是“直线”，对径点对是“点”（一对对径点是通过大圆圆心的直线与大圆相交的两个点）。容易验证它们满足射影平面所需的公理：

* 任何两个不同的大圆交于一对对径点；
* 任何两个不同的对径点对位于惟一一个大圆上。

这就是**实射影平面**。

如果我们将球面上每个点与其对径点等同，则我们得到了实射影平面的一个表示，其中射影空间的“点”确实是点。

射影平面是球面在等价关系~下的商空间，这个等价关系~就是对径关系，即 WIKINIUM\_MATH\_PH\_12 当且仅当 WIKINIUM\_MATH\_PH\_14 。这个球面的商空间同构于**R**3中所有通过原点的直线的集合。

所得的曲面是一个2维紧不可定向流形，有一点难以想象，因为它不能无自交地嵌入三维欧几里得空间中。

从球面到实射影平面的商映射事实上是一个（2对1）覆盖映射。从而实射影平面的基本群是二阶循环群，即整数模2群。可以取上图中的环路*AB*作为生成元。

## 实射影平面浸入三维空间

罗马曲面动画示意图
射影平面不能嵌入（这要求没有自交）三维空间，不过可以浸入（局部邻域没有自交点）。伯伊曲面是浸入的一个实例。

罗马曲面是从射影平面到三维空间一个更加退化的映射，包含一个交叉帽。同样对具有一个交叉套的球面也成立。

射影平面不能嵌入三维欧几里得空间，可作如下证明：假设可以嵌入，由广义若尔当曲线定理它将在三维欧几里得空间中围出一个紧区域。向外的单位法向量场将给出边界流形的一个定向，但边界流形就是射影平面，它是不可定向的。这是一个矛盾，从而我们所假设的嵌入必定是错误的。

实射影平面的一个多面體半形表示是四面半六面體。

从相反的方向来看，立方體半形、十二面體半形以及二十面體半形、抽象正则多面體，都可以构造成射影平面中的正则图形。

## 齐次坐标

平面中的直线集合可以用齐次坐标表示。直线 WIKINIUM\_MATH\_PH\_16 可以表示为 WIKINIUM\_MATH\_PH\_18 。这些坐标有等价关系，对所有非零 WIKINIUM\_MATH\_PH\_20 ， WIKINIUM\_MATH\_PH\_22 。从而相同直线的不同表示 WIKINIUM\_MATH\_PH\_24 有同样的坐标。坐标集合 WIKINIUM\_MATH\_PH\_26 给出了通常实平面，而坐标集合 WIKINIUM\_MATH\_PH\_28 定义了一个无穷远直线。

## 嵌入4维空间

射影平面可嵌入一个4维欧几里得空间。考虑 WIKINIUM\_MATH\_PH\_30 是2维球面 WIKINIUM\_MATH\_PH\_32 由对径关系 WIKINIUM\_MATH\_PH\_34 得到的商。考虑由 WIKINIUM\_MATH\_PH\_36 给出的函数 WIKINIUM\_MATH\_PH\_38 。将这个映射限制在区域 WIKINIUM\_MATH\_PH\_40 上，因为它是一个二次多项式，故可分解，给出一个映射 WIKINIUM\_MATH\_PH\_42 ，并且这个映射是嵌入。注意到这个嵌入有一个到 WIKINIUM\_MATH\_PH\_44 的投影，即罗马曲面。

## 高阶亏格

基本多边形一文提供了高阶亏格实射影平面的一个描述。

## 又见

* 射影空间
* 实射影平面的蒲不等式（蒲保明）

* WIKINIUM\_MATH\_PH\_46
* 尤承业, 基础拓扑学讲义, 北京大学出版社, 2004年, ISBN 7-301-03103-3
# 三維球面[编辑]

超球面（hypersphere）的平行線（parallels）（紅色）、 子午線（meridians）（藍色）以及超子午線（hypermeridians）（綠色）的立體投影法（Stereographic projection）。 因為立體投影法的共形特性，這些曲線彼此在交點上彼此正交（圖中黃色點），如同在四維空間中一樣。所有曲線都是圓；交會在<0,0,0,1>的曲線具有無限大的半徑（亦即：直線）。
數學中，**三維球面**（英文常寫作**3-sphere**）是球面在高維空間中的類比客體。它由四維歐幾里得空間中與一固定中心點等距離的所有點所組成。尋常的球面（或者說二維球面）是一個二維表面，而三維球面是一個具有三個維度的幾何客體，這樣的幾何客體都可以歸類為三維流形（3-manifold）。

三維球面也稱作超球面（hypersphere），雖然這個辭彙可以更廣義地代表任何*n*維球面，而*n* ≥ 3。

## 定義

以座標表示，三維球面具有中心（*C*0, *C*1, *C*2, *C*3）及半徑*r* 乃在**R**4符合條件

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_0
的所有點的集合：
（*x*0, *x*1, *x*2, *x*3）。

三維球面球心在原點，而半徑是1的稱為**單位三維球面**(unit 3-sphere)，常寫作*S*3：

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_2 。
方便性上，常將**R**4另外以複數**C**2或四元數(quaternions)**H**等價表示。單位三維球面則可寫為

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_4
或

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_6 。
最後一個表示法常是最有用的。其將三維球面描述為所有**單位四元數**（絕對值為1的四元數）的集合。正如同所有單位複數的集合在複數幾何是重要的，所有單位四元數的集合在四元數幾何中也是重要的。

* （英文） WIKINIUM\_MATH\_PH\_8

注意：此篇文章使用了*n*維空間的球面，稱作*n*維球面（*n*-sphere）。
# 拓扑流形[编辑]

在數學中，**拓撲流形**（ topological manifold ）是一個「局部上看起來像是 WIKINIUM\_MATH\_PH\_0 」的拓樸空間，是微分幾何的主要研究對象。所有其他類型的*流形*（ manifolds ）都是帶有額結構的拓撲流形。例如可微流形是一個帶有額外的「微分結構」的拓撲流形；而光滑流形則要求這個「微分結構」要是無窮可微的。

## 形式定義

一個 WIKINIUM\_MATH\_PH\_2 維**拓撲流形**（或簡稱**流形**）是一個拓撲空間 WIKINIUM\_MATH\_PH\_4 ，滿足以下性質：

1. WIKINIUM\_MATH\_PH\_6 是豪斯多夫空间。
2. WIKINIUM\_MATH\_PH\_8 是第二可數空間。
3. 對於每個 WIKINIUM\_MATH\_PH\_10 中的點，找的到一個該點的鄰域 WIKINIUM\_MATH\_PH\_12 ，使得 WIKINIUM\_MATH\_PH\_14 和 WIKINIUM\_MATH\_PH\_16 同胚。

## 範例

* 連續函數的圖形。
* WIKINIUM\_MATH\_PH\_18 維的球體。
* WIKINIUM\_MATH\_PH\_20 維射影空間。
* 環面

## 範例

### WIKINIUM\_MATH\_PH\_22 維流形

* WIKINIUM\_MATH\_PH\_24 維歐幾里得空間 WIKINIUM\_MATH\_PH\_26 是一個 WIKINIUM\_MATH\_PH\_28 維拓撲流形。
* 離散空間是一個 WIKINIUM\_MATH\_PH\_30 維拓撲流形。
* 圓形是一個緊緻的 WIKINIUM\_MATH\_PH\_32 維拓撲流形。
* 環面和克萊因瓶是緊緻的 WIKINIUM\_MATH\_PH\_34 維拓撲流形。
* WIKINIUM\_MATH\_PH\_36 維的球面是一個緊緻的 WIKINIUM\_MATH\_PH\_38 維流形。
* WIKINIUM\_MATH\_PH\_40 維的環面是一個緊緻的 WIKINIUM\_MATH\_PH\_42 維流形。

## 參考文獻

**引用書籍 （英文）Lee, John M. Introduction to Smooth Manifolds. Springer New York. 2012.
# 偽球面[编辑]

**偽球面**（英語：pseudosphere，又譯**擬球面**）是幾何學中高斯曲率恆為負的平面。一半徑 WIKINIUM\_MATH\_PH\_0 的偽球面，是 WIKINIUM\_MATH\_PH\_2 中每點高斯曲率均為 WIKINIUM\_MATH\_PH\_4 的平面。偽球面這個名稱是類比半徑 WIKINIUM\_MATH\_PH\_6 的球面（曲率 WIKINIUM\_MATH\_PH\_8 的平面），由贝尔特拉米於1868年雙曲幾何模型的論文提出。
其為曳物線繞其漸近線的旋轉曲面。

旋轉跟蹤曲面（Tractricoid）
## 定义

对于 WIKINIUM\_MATH\_PH\_10 平面上的曳物线，其参数方程为 WIKINIUM\_MATH\_PH\_12 .

当其绕z轴旋转一圈时，根据旋转曲面的一般参数方程，可得到曲面标准参数方程：

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_14 其中 WIKINIUM\_MATH\_PH\_16 .

该方程即为曳物面方程，又称伪球面方程。

## 性质

伪球面是一个奇异空间 (赤道上的点为奇点) 。但在奇点外，它具有恒定的负高斯曲率，因此局部等距于双曲面。

“伪球”这个名字的产生是因为它是一个有恒定负高斯曲率的二维曲面，和一个球有恒定正高斯曲率恰恰相反。就像球体在每一点上都有一个正曲率的球面几何一样，伪球在除奇点每一点上都有一个负曲率的双曲几何。

早在1693年，克里斯蒂安·惠更斯就发现尽管其旋转后的范围是无限的, 但伪球的体积和表面积是有限的。对于给定的伪半径 R，伪球的表面积是 WIKINIUM\_MATH\_PH\_18 ，和同半径·球面相同。

## 參考資料
# 同調球面

數學的代數拓撲學中，**同調球面**是*n*維流形*X*，具有*n*-球面的同調群。在此*n* ≥ 1是整數。換言之，

*H*0(*X*,**Z**) = **Z** = *H**n*(*X*,**Z**)
對所有其他*i*，*H**i*(*X*,**Z**) = {0} .
因此*X*是一個連通空間，僅有一個非零的高階貝蒂數*b**n*（除了 *b*0=1 外）。

由於*H**n*(*X*,**Z**)非零，故*X*是緊緻及可定向的。

當*n* > 1時，雖然*H*1(*X*,**Z**) = {0}，不過並不表示*X*是單連通的，即*X*的基本群未必是平凡的，只表示其基本群是完滿群。（參看Hurewicz定理）

**有理同調球面**的定義與上述類似，不過用有理係數的同調群代替。

## 龐加萊同調球面

龐加萊同調球面（又稱為龐加萊十二面體空間）是同調球面的一個例子。龐加萊同調球面是球面3-流形，因此基本群是有限的。同調3-球面中，除了3-球面之外，就只有龐加萊同調球面有有限基本群。它的基本群稱為binary icosahedral group，這個群的目是120。

龐加萊在1900年猜想使用同調群就可以分辨3-流形是否3-球面，1904年他提出了這個反例，並引入了基本群概念證明他的反例不是球面，又將原來的猜想修改為龐加萊猜想。

### 構造法

龐加萊同調球面的一個簡單構造法是使用正十二面體。將正十二面體的每個面與相對的另一面等同，將兩個面用順時針方向的最小「扭轉」重合。這樣黏合後得出的是閉3-流形。（參看用相似構造法及較大的「扭轉」而成的Seifert–Weber space，得出的是一個雙曲3-流形。）

另一個得出龐加萊同調球面的方法，是用商空間SO(3)/I，此處 I 是二十面體群，就是正二十面體和正十二面體的旋轉對稱群，同構於交錯群*A*5。更直觀地說，龐加萊同調球面就是正二十面體在三維歐幾里得空間中，所有可從幾何區別的位置所組成的空間。

## 性質

二重懸垂定理指一個同調球面的二重懸垂是一個拓撲球面。

## 應用

若*A*是一個不同胚於3-球面的同調3-球面，則*A*的懸垂是一個4維同調流形，卻不是拓撲流形。*A*的二重懸垂同胚於5-球面，但是從*A*的三角剖分誘導出來的三角剖分不是分片線性流形。換言之，這給出了一個有限單純複形例子，是拓撲流形，但不是分片線性流形，

Galewski－Stern證明了任何至少5維的（無邊）緊流形都同胚於某單純複形，若且唯若存在一個同調3-流形Σ，其Rokhlin不變量是1，使得它與自身的連通和Σ#Σ包圍了一個光滑零調（acyclic）4-流形。2013年，Ciprian Manolescu證明了不存在這樣的同調3-流形Σ。因此存在5-流形不同胚於單純複形。特別地，Galewski－Stern原來給出的例子是不可三角剖分的。

## 參考

## 參看

* Emmanuel Dror, *Homology spheres*, Israel Journal of Mathematics 15 (1973), 115–129. MR0328926
* David Galewski, Ronald Stern *Classification of simplicial triangulations of topological manifolds*, Annals of Mathematics 111 (1980), no. 1, pp. 1–34.
* Robion Kirby, Martin Scharlemann, *Eight faces of the Poincaré homology 3-sphere*. Geometric topology (Proc. Georgia Topology Conf., Athens, Ga., 1977), pp. 113–146, Academic Press, New York-London, 1979.
* Michel Kervaire, *Smooth homology spheres and their fundamental groups*, Transactions of the American Mathematical Society 144 (1969) 67–72. MR0253347
* Nikolai Saveliev, *Invariants of Homology 3-Spheres*, Encyclopaedia of Mathematical Sciences, vol 140. Low-Dimensional Topology, I. Springer-Verlag, Berlin, 2002. MR1941324 ISBN 3-540-43796-7

* A 16-Vertex Triangulation of the Poincaré Homology 3-Sphere and Non-PL Spheres with Few Vertices （页面存档备份，存于互联网档案馆） by Anders Björner and Frank H. Lutz
* Lecture by David Gillman on The best picture of Poincare's homology sphere （页面存档备份，存于互联网档案馆）
* A cosmic hall of mirrors （页面存档备份，存于互联网档案馆） - physicsworld (26 Sep 2005)
# 立體角[编辑]

球面度
**立体角**，常用字母*Ω*表示，是一个物体对特定点的三维空间的角度，是平面角在三维空间中的类比。它描述的是站在某一点的观察者测量到的物体大小的尺度。例如，对于一个特定的观察点，一个在该观察点附近的小物体有可能和一个远处的大物体有着相同的立体角。

锥体的立体角大小定义为，以锥体的顶点为球心作球面，该锥体在球表面截取的面积与球半径平方之比，单位为球面度（sr）。一個球體即是4π，半球即是2π。

## 立体角的定義

立體角 WIKINIUM\_MATH\_PH\_0
以觀測點為球心，構造一個單位球面；任意物體投影到該單位球面上的投影面積，即為該物體相對於該觀測點的立體角。

因此，立體角是單位球面上的一塊面積，這和“平面角是單位圆上的一段弧长”類似。

### 立體角公式

在球坐标系中，任意球面的極小面積為：

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_2
因此，極小立體角（單位球面上的極小面積）為：

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_4
所以，立體角是投影面积与球半径平方值的比，这和“平面角是圆的弧长与半径的比”类似。
對極小立體角做曲面积分即可得立體角：

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_6
### 任意定向曲面的立體角

任意定向曲面 WIKINIUM\_MATH\_PH\_8 相對於某一個點 WIKINIUM\_MATH\_PH\_10 的立體角，即為該曲面投影到以 WIKINIUM\_MATH\_PH\_12 為球心的單位球面上的面積。

令 WIKINIUM\_MATH\_PH\_14 為該單位球面上以 WIKINIUM\_MATH\_PH\_16 為原點的極小面積的位置向量，可以得到以下公式：

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_18
### 立体角的单位

立体角的国际制单位是球面度（steradian，sr）。立体角有一个非国际制单位平方度，1 *sr* = (180/π)2 *square degree*。

### 封閉曲面的立體角

一个完整的球面对于球内任意一点的立体角为4π *sr*（对于球外任意一点的立体角为0 *sr*）：

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_20 WIKINIUM\_MATH\_PH\_23  WIKINIUM\_MATH\_PH\_24  WIKINIUM\_MATH\_PH\_26  WIKINIUM\_MATH\_PH\_28
這個定理對所有封閉曲面皆成立，它也是高斯定律的主要依據。

## 立體角的應用

立體角在物理上有相當多的應用：

* 計算电通量與磁通量，是高斯常用的數學方法。在高斯的环绕数中，也使用了立體角來推導出環繞數的公式。
* 計算发光强度。

## 常见几何体的立体角

### 圆锥，球冠

球體中圓錐（1）與球冠（2）的切面。圖中 *θ* = *A*/2，*r* = 1。
顶角为2 WIKINIUM\_MATH\_PH\_30 的圆锥的立体角为一个单位球的球冠。

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_32
（上面结果由下式得到）

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_34
应该注意阿基米德在2200年前不用微积分证明了球冠的表面积与半径为球冠边沿到球冠最低点的距离的圆的面积相等。球冠边沿到球冠最低点的距离为

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_36
显然，在单位圆中球冠立体角为

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_38
当 *θ* = π/2，球冠变为有着立体角 2π的半球。

当 *θ* = π，立體角涵蓋整個球體，球冠变为有着立体角 4π的球，我們將4π稱為全方位立體角。

### 任意四面体的立体角

对于任意一个四面体OABC,其中O,A,B,C分别为四面体的四个顶点。下面给出一个公式，计算从O点观察三角形ABC的立体角Ω的方便简单的公式。令α=∠BOC，β=∠AOC，γ=∠AOB(均为各自平面内两条直线的夹角，可以采用平面三角形的余弦公式计算求得)， WIKINIUM\_MATH\_PH\_40 有(参见L' Huilier')

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_42
附上相应的Fortran 程序：

```
program solid\_angle
REAL X(4),Y(4),Z(4) !存放四个顶点的三维坐标，依次为A,B,C,O（程序中以P点代替，为观测点）

X(1)=1
X(2)=0
X(3)=0
X(4)=0
Y(1)=0
Y(2)=1
Y(3)=0
Y(4)=0
Z(1)=0
Z(2)=0
Z(3)=1
Z(4)=0
!以单位1球体，在第一象限的八分之一球所含的四面体为例。程序可适用于任意四面体。

!分别计算6条棱的长度的平方
PA=(X(4)-X(1))\*\*2+(Y(4)-Y(1))\*\*2+(Z(4)-Z(1))\*\*2
PB=(X(4)-X(2))\*\*2+(Y(4)-Y(2))\*\*2+(Z(4)-Z(2))\*\*2
PC=(X(4)-X(3))\*\*2+(Y(4)-Y(3))\*\*2+(Z(4)-Z(3))\*\*2

AB=(X(1)-X(2))\*\*2+(Y(1)-Y(2))\*\*2+(Z(1)-Z(2))\*\*2
BC=(X(3)-X(2))\*\*2+(Y(3)-Y(2))\*\*2+(Z(3)-Z(2))\*\*2
AC=(X(1)-X(3))\*\*2+(Y(1)-Y(3))\*\*2+(Z(1)-Z(3))\*\*2

!应用余弦公式计算三个夹角

COSALPHA=(PB+PC-BC)/2.0/SQRT(PB\*PC)
COSBETA=(PA+PC-AC)/2.0/SQRT(PA\*PC)
COSGAMA=(PB+PA-AB)/2.0/SQRT(PB\*PA)

ALPHA=acos((PB+PC-BC)/2.0/SQRT(PB\*PC))
BETA=acos((PA+PC-AC)/2.0/SQRT(PA\*PC))
GAMA=acos((PB+PA-AB)/2.0/SQRT(PB\*PA))

s=(alpha+beta+gama)/2.

omiga=atan(sqrt(tan(s/2.)\*tan(s/2.-alpha/2.)\*tan(s/2.-beta/2.)\*tan(s/2.-gama/2.)))\*4.

write(\*,\*) omiga\*180./3.14159
end

```

## 參考資料

## 外部鏈接

* YouTube: Chapter 23 02 Solid Angle （页面存档备份，存于互联网档案馆）
# 措爾曲面

數學上，**措爾曲面**（英語：Zoll surface）是一種有類似球面的性質的曲面。若一個曲面同胚於2-球面，並有黎曼度量，使得所有測地線都是閉合及等長的，就稱為**措爾曲面**。2-球面上的單位球面度量顯然有此性質，且有無窮維族幾何相異的形變，也都是措爾曲面。特別是措爾曲面大多數都沒有常曲率。

措爾曲面以奧托·措爾（Otto Zoll）命名。他是希爾伯特的學生，最先發現措爾曲面的非平凡例子。

## 參考

* Besse, A.: "Manifolds all of whose geodesics are closed", *Ergebisse Grenzgeb. Math.*, no. 93, Springer, Berlin, 1978.
* Funk, P.: "Über Flächen mit lauter geschlossenen geodätischen Linien". *Mathematische Annalen* 74 (1913), 278–300.
* Guillemin, V.: "The Radon transform on Zoll surfaces". *Advances in Mathematics* 22 (1976), 85–119.
* LeBrun, C.; Mason, L.: "Zoll manifolds and complex surfaces". *Journal of Differential Geometry* 61 (2002), no. 3, 453–535.
* Zoll, Otto; Ueber Flächen mit Scharen geschlossener geodätischer Linien. (German) Math. Ann. 57 (1903), no. 1, 108–133.
# 2000国家大地坐标系

**2000国家大地坐标系**（英語：China Geodetic Coordinate System 2000，缩写**CGCS2000**），是中華人民共和國推出的一個国家大地坐标系，是製作国家基本比例尺地图的基础。該坐標系原点为地球的质量中心。虽然名称中提到“2000”，但此系统实际上是在2008年发布。

CGCS2000设计时以国际地球参考系统1997（ITRF97）历元2000.0为参考，和WGS84的偏差不超过1米。目前和其他坐标系统转换是使用CH/T 2014-2016《大地测量控制点坐标转换技术规范》定义的CPM-CGCS2000板块运动参数配合ITRF97的框架点坐标运算。

* 经纬度
* 地理座標系統
* 大地测量系统
* 大地坐标系

## 拓展阅读

* 关于印发《2000国家大地坐标系推广使用技术指南》和《大地测量控制点坐标转换技术规程》的函 （页面存档备份，存于互联网档案馆）
* 《2000国家大地坐标系转换成果质量检查与验收》行业标准 报批稿
# 原點

笛卡儿坐标平面的原点
在數學上，座標系統的**原點**是指座標軸的交點。

在常用的二維（或三維）直角座標系中，分別有二個（或三個）互相垂直的座標軸。原點為各座標軸的交點，並且將各座標軸分為二段，在原點一側的座標為正值，另一側則為负值。

在二維直角座標系中，原點的座標為(0,0)。而在三維直角座標系中，原點的座標為(0,0,0)。

## 參考文獻
# 尼科爾·奧雷姆[编辑]

| 尼科爾·奧雷姆 Nicole Oresme |
| --- |
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| 出生 | (1325-01-01)1325年1月1日 法蘭西王國奧恩河畔弗勒里 |
| 逝世 | 1382年7月11日(1382-07-11)（57歲） 法蘭西王國利雪 |
| 母校 | 納瓦拉學院（巴黎大學） |
| 机构 | 納瓦拉學院（巴黎大學） |
|  |
| 时代 | 中世紀哲學 |
| 地区 | 西方哲學 |
| 学派 | 唯名論 |
| 主要领域 | 自然哲學、天文學、神學、數學 |
| 著名思想 | 矩形座標、調和級數發散的首次證明、平均速度定理 |
|  |
| 受影响于* 亞里士多德、奧坎的威廉、尚·布里丹
 |
| 影响于* 伽利略·伽利萊（有爭議）、朗根施泰因的亨利
 |

**尼科爾·奧雷姆**（法語：Nicole Oresme，1325年1月1日—1382年7月11日）是中古晚期最知名、最具影響力法國哲學家之一。本身是經濟學家、數學家、物理學家、天文學家、哲學家、音樂學家、神學家、里修主教、稱職譯者、法王查理五世顧問，亦為近代科學主要奠基者之一。

## 物理學貢獻

奧雷姆用幾何方法證明了平均速度定理。奧雷姆於1377年發表的著作《天地通論》提出，當自由落體在加速時，其重量並沒有增加，而是衝力增加。假設，挖掘一條直線隧道，從地球表面的A點，穿過地心，挖掘到地球表面的B點，然後將一個重物落入這隧道，則它會從A點，經過地心，移動到B點，就好像單擺從一邊搖擺到另外一邊。但是，從地心到B點的路途中，它是呈升起狀態，而重量只能造成物體掉落，因此衝力與重量不同。

## 參考文獻
# 相对方位[编辑]

图示使用右手定则笛卡尔坐标系，说明人体坐标的相对方位    *x*（左-右）    *y*（后-前）    *z*（下-上）
**相對方向**會隨面對的方向變化而變化，例如：**前、後、左、右、上、下**。由各人的視角決定。

在不同的文化裡，「上、下、左、右」亦有其它含義。

## 上下

上下通常會使用地球的引力或人體作為參考系，如「向上」被定義為從腳向頭部的方向。少量人定義為人體或前進方向的前後。

“上”与“下”在文化含義上也含有褒貶意味。如「上級、下級」從屬關係的上司和下屬。

## 左右

在政治中，由於18世紀末法国大革命尤其是1791年的法國國民議會上，保守或溫和派保王黨人都坐在議場右邊，而激進自由民主派都坐在左邊，從此便產生了左右派兩種稱呼。被賦予了左派和右派的意味。

### 中國

汉字中的左与右最初出现在何时与何因暂时不能考证。

* 中國古人以北為「背」，慣稱東為「左」，比如「江左」為江東地區。左與右有時也指地位的卑與尊，比如成語「無出其右」，就是無人能勝過的意思。被降職或貶官稱為「左遷」。

* 「左右」合起來用有附近之意味。比如「下午三點鐘左右」指大約下午三點，「常在你左右」即常在你身旁，「不為偏見所左右」指想法不會被偏見動搖。

### 臺灣

* 在臺語及潮州話中，「左邊」讀做「倒手朋/倒朋」、「右邊」讀做「正手朋/正朋」，亦反映了東亞地區語言常見的對左右兩側地位的尊卑分別。這也可能是因為多數人慣用手為右手所導致。

## 書寫

* 在漢語裡左和右都從「一」（橫）寫起，但日語裡有一種說法，說書寫「左」時應先寫「一」（橫），而「右」卻先寫「丿」（撇），其理據之一是金文中左與右的寫法不同。

### 英語

英语中的「left」一词相传是来源于古英语「lyft」一词，这个词语的意义是“虚弱”，普遍认为这是因为大部分人不是左撇子，通常用右手做事情，因而左手相对右手要力量弱一些。同样，这也是英语中用「right」这个带有“正确、公正、权利”意项的词语来表示右手的方向的原因。

大多数人的心脏在人体中轴线的左侧，而肝脏在右边，大脑的左右半球也担负着不同的功能。

## 日常生活

### 鏡子

镜子“被认为可以颠倒左右”。雖然在我們看來，鏡子裏右手的像是在右侧的。但把鏡子裏人的像视作真人的話，他的右手是我們左手的像，所以和真实中我們的右手不再是一个方向。實際上，镜子可以颠倒“前后”。如果有人手持一个每一面分别写有“左、右、上、下、前、后”字样的立方体，並把上面的左右上下前後保持跟自己的一致，不移动身体、立方体和鏡子，可以发现“前后”交换了，而其他方位没有变化（针对照镜子的人的视角）。

### 航海

在航海时，一艘船的两半被规定为左舷和右舷，这是按照面朝船头的人的视角的相对方位规定的。

### 道路交通

上图中展示的是一条在道路交通法管理下的公路。所有车都在地面上，地面则在车轮下。红车在蓝车的左侧，相对的，蓝车在红车的右侧。蓝车若要往后退，则意味着它将到达黄车的位置。红车往前走代表它将位于绿车的位置。

红车、绿车所在的车道是左车道，而黄车、蓝车在右车道上。

### 河流

左右岸以面對下游區分。

## 相關參見

* 左派和右派
* 道路通行方向

## 參考
# 鏡[编辑]

由平面鏡所得的成像與實物相同
**鏡子**，也稱**鑒**，是一種表面光滑，具反射光線能力的物品，最常見的鏡子是平面鏡，常被人們利用來整理儀容。在科學方面，鏡子也常被使用在和望遠鏡、雷射、工業器械等儀器上。

## 历史

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| 公元前6500－5700年
 | 小亞細亞人的黑曜岩石片是距今已知最早的镜子。
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| 公元前2920－2770年 | 埃及人在第一王朝时首先使用金属铜制作镜子，而居住在今墨西哥东南部的奥尔梅克人则使用磁铁、赤铁和黄铜。
 |
| 公元前2500-1500年 | 中國齊家文化考古發現已使用銅鏡，據傳說中國銅鏡最早起源於黃帝時代。
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| 中世纪 | 玻璃镜子首先由罗马人发明，其背面是铅制成的，照出来灰蒙蒙的，因此此时的骑士所使用的镜子都还是青铜的。
 |
| 1460年
 | 现代镜子的发明者是威尼斯人，確切時間不明，此為約略年代。
 |
| 1507年 | 安德里亚和盖罗首次将锡和水银的合金用于镜子背面，从而制造出了第一面精致复杂的镜子，此后镜子制造工艺成为威尼斯最重要的机密。
 |
| 1664年 | 法国财政大臣柯尔贝尔设法将这一工艺秘密引入法国，威尼斯对镜子工业维持了150多年之久的垄断局面才告结束。路易十四为了展示这一新兴工业，还特意在凡尔赛宫兴建了一座名為「镜厅」的长廊。
 |

## 成像原理

平面鏡成像原理。3是鏡面，1是物體，5是物體在鏡中成的像。
不論是平面鏡或者是非平面鏡（凹面鏡或凸面鏡），光線都會遵守反射定律而被面鏡反射，反射光線進入眼中後即可在視網膜中形成視覺。

在平面鏡上，當一束平行光束碰到鏡子，光束會被平行地反射出去，此時的成像和眼睛所看到的像相同。平面鏡成的像所在位置並無實際物體或光線，所以形成的是虛像。

## 鏡子的運用

認人室的單面反光鏡
一個小型的道路安全凸面鏡
* 梳妝鏡：被用來協助化妝、刮鬍子及梳髮等整理儀容的工具。
* 儀器：許多光學儀器、例如望遠鏡及顯微鏡的光路中，會利用鏡子來進行反射。
* 安全：例如交通工具的後視鏡和照後鏡。有些道路的轉角會擺置凸面鏡，提醒往來行人注意安全。
* 單面反光鏡：例如證人在警局認人手續中，用作辨認疑犯用的單面鏡。 [1]

## 玻璃镀银制镜技术

### 原料及要求

1. 玻璃应是平整无缺，中间无气泡的透明玻璃；
2. 硝酸银，含量在99.5%以上；
3. 氨水，浓度为25—28%；
4. 酒石酸钾钠，要化学纯物質。

### 制作方法

1. 清洗玻璃：按规格裁好玻璃后，先用自来水冲洗正反两面，然后将铁红粉带水涂在要镀的一面，待干后擦去铁红粉，水洗干净。再用微量的氯化亞锡溶液擦洗玻璃要镀的面。洗后用水冲净残余的氯化亚锡。最后用干净的水（最好用蒸馏水）冲一下玻璃。
2. 镀银：将洗干净的玻璃平放在水平的木架或木条上，取银液一份和还原液一份搅拌匀倒上。药液以不流掉为度。约每平方米2分升左右。待其渐渐在玻璃上反应出银镜，将多余的药液倒掉，用水冲洗，倒上百分之一的明胶晾干。干后再在上面涂一层铁红底漆或其它防锈漆液便成了镜子。

### 药液配方

1. 银液：蒸馏水（冷开水也可）2500毫升，硝酸银25克，氨水18.5毫升（经化学反应澄清为止）。
2. 还原液：蒸馏水（冷开水也可）2500毫升，酒石酸钾钠25克，上液加热澄清后再放入硝酸银0.5%，药液守滤后备用。
3. 明胶液：水1000毫升，明胶10克，隔水蒸化。
4. 铁红底漆加适量香蕉水溶液。

## 相關

* 後照鏡
* 哈哈鏡
* 曲面鏡
* 无限反射镜
* 鏡子測試

## 参考

## 延伸阅读

 《欽定古今圖書集成·經濟彙編·考工典·鏡部》，出自陈梦雷《古今圖書集成》
# 欧几里得距离

利用勾股定理计算二维欧几里得距离
在数学中，欧几里得空间中两点之间的**欧几里得距离**（英語：Euclidean distance）是指连接这两点的线段的长度。通过使用勾股定理，可以根据点的笛卡尔坐标计算这个距离，因此有时也被称为勾股距离。这些名称来源于古希腊数学家欧几里得和毕达哥拉斯，尽管欧几里得并没有用数字表示距离，而且直到18世纪才将勾股定理与距离计算联系起来。

通常将两个非点状物体之间的距离定义为它们之间点对之间的最短距离。已知可以计算不同类型物体之间的距离的公式，例如点到直线的距离。在高级数学中，距离的概念已经推广到抽象度量空间，而且还研究了除欧几里得距离以外的其他距离。在统计学和优化的某些应用中，有时会使用欧几里得距离的平方而不是距离本身。

使用这个距离，欧氏空间成为度量空间。相关联的范数称为欧几里得范数。较早的文献称之为**毕达哥拉斯度量**。

## 定义

在欧几里得空间中，点 WIKINIUM\_MATH\_PH\_0 和 WIKINIUM\_MATH\_PH\_2 之间的欧氏距离为

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_4
向量 WIKINIUM\_MATH\_PH\_6 的自然长度，即该点到原点的距离为

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_8
它是一个纯数值。在欧几里得度量下，两点之间线段最短。

## 平方欧几里得距离

在许多应用中，特别是在比较距离时，在计算欧几里得距离时省略最后的平方根可能更方便，因为平方根不会改变顺序（当且仅当 WIKINIUM\_MATH\_PH\_10 时 WIKINIUM\_MATH\_PH\_12 ）。省略后得到的值是欧几里得距离的平方，称为**平方欧几里得距离**。例如，欧几里得最小生成树可以仅使用距离之间的顺序来确定，而不需要它们的数值。比较平方距离会产生相同的结果，但避免了不必要的平方根计算，并回避了数值精度问题。作为一个方程，平方距离可以表示为平方和：
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_14

除了应用于距离比较之外，平方欧氏距离在统计学中也具有重要意义，它可用于最小二乘法，这是一种通过最小化观测值和估计值之间的平方距离的平均值来曲线拟合数据统计估计值的标准方法，也是比较概率分布的最简单散度形式。

## 延伸阅读

* Deza, Elena; Deza, Michel Marie. Encyclopedia of Distances. Springer. 2009: 94.
* Cluster analysis. March 2, 2011  [2015-04-29]. （原始内容存档于2015-05-01）.
# 平移

平移將物件的每一點向同一方向移動相同距離。
在针对一个轴的反射之后的针对另一个平行于前一个轴的轴的反射导致是平移的总和运动。
在仿射幾何，**平移**（translation）是將物件的每點向同一方向移動相同距離。

它是等距同構，是仿射空間中仿射變換的一種。它可以視為將同一個向量加到每點上，或將坐標系統的中心移動所得的結果。即是說，若 WIKINIUM\_MATH\_PH\_0 是一個已知的向量， WIKINIUM\_MATH\_PH\_2 是空間中一點，平移 WIKINIUM\_MATH\_PH\_4 。

將同一點平移兩次，結果可用一次平移表示，即 WIKINIUM\_MATH\_PH\_6 ，因此所有平移的集是一個群，稱為**平移群**。這個群和空間同構，又是歐幾里德群E(n)的正规子群。

T對E的商群與正交群O(n)同構：E(n) / T = O(n)。

## 矩陣表示

例如在三維空間，使用齐次坐标， WIKINIUM\_MATH\_PH\_8 可用矩陣表示為

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_10 。
平移的結果 WIKINIUM\_MATH\_PH\_12 就是

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_14 。

平移的逆矩陣： WIKINIUM\_MATH\_PH\_16 。兩個平移矩陣的積就是兩次平移的結果： WIKINIUM\_MATH\_PH\_18 。因為向量加法符合交換律，所以平移群不像一般矩陣乘法，平移矩陣乘法是可交換的。

* 平移運動
* 平移對稱
* 變換矩陣
* 反射
* 旋转
* 反演
* 点反演
* 缩放

* Translation Transform （页面存档备份，存于互联网档案馆） at cut-the-knot
* Geometric Translation (Interactive Animation) （页面存档备份，存于互联网档案馆） at Math Is Fun
* Understanding 2D Translation （页面存档备份，存于互联网档案馆） and Understanding 3D Translation （页面存档备份，存于互联网档案馆） by Roger Germundsson, The Wolfram Demonstrations Project.