# 扁球面坐標系[编辑]

圖1）扁球面坐標系的幾個坐標曲面。紅色扁球面的 WIKINIUM\_MATH\_PH\_0 。藍色半雙曲面的 WIKINIUM\_MATH\_PH\_2 。黃色半平面的 WIKINIUM\_MATH\_PH\_4 （黃色半平面與xz-半平面之間的二面角角度是 WIKINIUM\_MATH\_PH\_6 ）。z-軸是垂直的，以白色表示。x-軸以綠色表示。三個坐標曲面相交於點P（以黑色的圓球表示），直角坐標大約為 WIKINIUM\_MATH\_PH\_8 。
圖2）橢圓坐標系繪圖。横軸是x-軸，豎軸是z-軸。紅色橢圓（ WIKINIUM\_MATH\_PH\_10 -等值線）變成上圖的紅色扁球面（ WIKINIUM\_MATH\_PH\_12 坐標曲面），而 WIKINIUM\_MATH\_PH\_14 青藍色雙曲線（ WIKINIUM\_MATH\_PH\_16 -等值線）則變成藍色半雙曲面（ WIKINIUM\_MATH\_PH\_18 坐標曲面）。
**扁球面坐標系**（英語：Oblate spheroidal coordinates）是一種三維正交坐標系。設定二維橢圓坐標系包含於xz-平面；兩個焦點 WIKINIUM\_MATH\_PH\_20 與 WIKINIUM\_MATH\_PH\_22 的直角坐標分別為 WIKINIUM\_MATH\_PH\_24 與 WIKINIUM\_MATH\_PH\_26 。將橢圓坐標系繞著z-軸旋轉，則可以得到扁球面坐標系。（假若，繞著y-軸旋轉，則可以得到長球面坐標系。）橢圓坐標系的兩個焦點，變為一個半徑為 WIKINIUM\_MATH\_PH\_28 的圓圈，包含於三維空間的xy-平面。稱這圓圈為**焦圓**，又稱為**參考圓**。扁球面坐標系可以被視為橢球坐標系的極限案例，其兩個最大的半軸的長度相同。

當邊界條件涉及扁球面或旋轉雙曲面時，扁球面坐標時常可以用來解析偏微分方程式。例如，關於佩蘭摩擦因子（Perrin friction factors）的計算，扁球面坐標扮演了極重要的角色。讓·佩蘭因此而榮獲1926年諾貝爾物理獎。佩蘭摩擦因子決定了分子的旋轉擴散（rotational diffusion）。這程序又影響了許多科技，像蛋白質核磁共振光譜學（protein NMR），的可行性。應用這程序，我們可以推論分子的流體動力體積與形狀。扁球面坐標也時常用來解析電磁學（例如，扁球形帶電的分子的電容率），聲學（例如，聲音通過圓孔時產生的散射），流體動力學（水通過消防水帶的噴口），擴散理論（紅熱的錢幣在水裏的冷卻），等等方面的問題。

## 第一種表述

在三維空間裏，一個點P的扁球面坐標 WIKINIUM\_MATH\_PH\_30 常見的定義是

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_32 、
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_34 、
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_36 。
其中， WIKINIUM\_MATH\_PH\_38 是個實數，角度 WIKINIUM\_MATH\_PH\_40 ，角度 WIKINIUM\_MATH\_PH\_42 。

學術界比較中意這一種扁球面坐標，因為沒有簡併；三維空間內每一點都擁有自己獨特的扁球面坐標。

### 坐標曲面

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_44 坐標曲面是扁球面 ：

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_46 。
它們是由橢圓繞著z-軸旋轉形成的。橢球面與xz-平面的相交，是一個的橢圓。沿著x-軸，長半軸長度為 WIKINIUM\_MATH\_PH\_48 ，沿著z-軸，短半軸長度為 WIKINIUM\_MATH\_PH\_50 。橢圓的焦點都包含於x-軸，x-坐標分別為 WIKINIUM\_MATH\_PH\_52 。

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_54 坐標曲面是半個單葉旋轉雙曲面 ：

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_56 。
假若 WIKINIUM\_MATH\_PH\_58 是正值， WIKINIUM\_MATH\_PH\_60 也是正值，這半個單葉旋轉雙曲面在xy-平面以上；假若是負值，則在xy-平面以下。 WIKINIUM\_MATH\_PH\_62 是雙曲線的漸近線的角度。所有雙曲線的焦點都在x-軸，x-坐標分別為 WIKINIUM\_MATH\_PH\_64 。

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_66 坐標曲面是個半平面 ：

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_68 。
### 逆變換

用直角坐標 WIKINIUM\_MATH\_PH\_70 來計算扁球面坐標 WIKINIUM\_MATH\_PH\_72 ，方位角 WIKINIUM\_MATH\_PH\_74 的公式為

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_76 。
設定 WIKINIUM\_MATH\_PH\_78 與 WIKINIUM\_MATH\_PH\_80 分別為點P與焦圓的最遠距離與最近距離，以方程式表示為

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_82 、
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_84 。
坐標 WIKINIUM\_MATH\_PH\_86 和 WIKINIUM\_MATH\_PH\_88 的方程式分別為

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_90 、
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_92 。
### 標度因子

扁球面坐標 WIKINIUM\_MATH\_PH\_94 與 WIKINIUM\_MATH\_PH\_96 的標度因子相等：

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_98 。
方位角 WIKINIUM\_MATH\_PH\_100 的標度因子為

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_102 。
無窮小體積元素是

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_104 。
拉普拉斯算子是

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_106 。
其它微分算子，像 WIKINIUM\_MATH\_PH\_108 、 WIKINIUM\_MATH\_PH\_110 ，都可以用 WIKINIUM\_MATH\_PH\_112 坐標表示，只要將標度因子代入在正交坐標系條目內對應的一般公式。

## 第二種表述

另外有一組有時會用到的扁球面坐標 WIKINIUM\_MATH\_PH\_114 ；其中， WIKINIUM\_MATH\_PH\_116 ， WIKINIUM\_MATH\_PH\_118 。 WIKINIUM\_MATH\_PH\_120 坐標曲面是個扁球面， WIKINIUM\_MATH\_PH\_122 坐標曲面是個旋轉雙曲面。從直角坐標變換至扁球面坐標：

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_124 、
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_126 、
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_128 。
其中，實數 WIKINIUM\_MATH\_PH\_130 ，實數 WIKINIUM\_MATH\_PH\_132 ，角度 WIKINIUM\_MATH\_PH\_134 。

### 標度因子

扁球面坐標 WIKINIUM\_MATH\_PH\_136 的標度因子分別為：

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_138 、
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_140 、
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_142 。
無窮小體積元素是

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_144 。
拉普拉斯算子是

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_146 。
## 第三種表述

圖3）第三種扁球面坐標系 WIKINIUM\_MATH\_PH\_148 的三個坐標曲面。紅色扁球面是 WIKINIUM\_MATH\_PH\_150 坐標曲面。藍色單葉雙曲面是 WIKINIUM\_MATH\_PH\_152 坐標曲面。黃色半平面是 WIKINIUM\_MATH\_PH\_154 坐標曲面 （黃色半平面與xz-半平面之間的二面角角度是 WIKINIUM\_MATH\_PH\_156 ）。z-軸是垂直的，以白色表示。x-軸以綠色表示。第三種扁球面坐標系有雙重簡併。這可以從三個坐標曲面的兩個相交點P1，P2 （以黑色的圓球表示）觀察到。
另外，還有一種比較有幾何直覺性的扁球面坐標系 WIKINIUM\_MATH\_PH\_158 ：

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_160 、
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_162 、
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_164 。
坐標 WIKINIUM\_MATH\_PH\_166 必須大於或等於1。坐標 WIKINIUM\_MATH\_PH\_168 必須在正負1之間。 WIKINIUM\_MATH\_PH\_170 坐標曲面是扁球面。 WIKINIUM\_MATH\_PH\_172 坐標曲面是單葉雙曲面，包含了對應於正負 WIKINIUM\_MATH\_PH\_174 的半雙曲面。第三種坐標有雙重簡併：三維空間的兩點（直角坐標 WIKINIUM\_MATH\_PH\_176 映射至一組扁球面坐標系 WIKINIUM\_MATH\_PH\_178 ）。這雙重簡併可以從直角坐標變換至扁球面坐標的公式觀察到：

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_180 、
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_182 、
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_184 。
坐標 WIKINIUM\_MATH\_PH\_186 與 WIKINIUM\_MATH\_PH\_188 有一個簡單的公式來表達任何一點P與焦圓的最遠距離 WIKINIUM\_MATH\_PH\_190 ，最近距離 WIKINIUM\_MATH\_PH\_192 ：

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_194 、
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_196 。
所以，點P與焦圓的最遠距離是 WIKINIUM\_MATH\_PH\_198 ，點P與焦圓的最近距離是 WIKINIUM\_MATH\_PH\_200 。

### 坐標曲面

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_202 坐標曲面是扁球面 ：

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_204 。
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_206 坐標曲面是單葉旋轉雙曲面 ：

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_208 。
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_210 坐標曲面是半個平面 ：

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_212 。
### 標度因子

扁球面坐標 WIKINIUM\_MATH\_PH\_214 的標度因子分別為：

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_216 、
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_218 、
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_220 。
無窮小體積元素是

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_222 。
拉普拉斯算子是

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_224 。
其它微分算子，像 WIKINIUM\_MATH\_PH\_226 、 WIKINIUM\_MATH\_PH\_228 ，都可以用 WIKINIUM\_MATH\_PH\_230 坐標表示，只要將標度因子代入在正交坐標系條目內對應的一般公式。

如同球坐標解答的形式為球諧函數，拉普拉斯方程可以用分離變數法來求解，得到形式為扁球**諧函數**的答案。假若，邊界條件涉及扁球面，我們可以優先選擇這方法來解析。

## 參閱

## 參考文獻

## 參考目錄

### 不按照命名常規

* Morse PM, Feshbach H. Methods of Theoretical Physics, Part I. New York: McGraw-Hill. 1953: p. 662.  引文格式1维护：冗余文本 (link) 採用 WIKINIUM\_MATH\_PH\_232 、 WIKINIUM\_MATH\_PH\_234 、 WIKINIUM\_MATH\_PH\_236 。
* Zwillinger D. Handbook of Integration. Boston, MA: Jones and Bartlett. 1992: p. 115. ISBN 0-86720-293-9.  引文格式1维护：冗余文本 (link) 如同Morse & Feshbach (1953)，採用 WIKINIUM\_MATH\_PH\_238 來替代 WIKINIUM\_MATH\_PH\_240 。
* Smythe, WR. Static and Dynamic Electricity 3rd ed. New York: McGraw-Hill. 1968.  引文格式1维护：冗余文本 (link)
* Sauer R, Szabó I. Mathematische Hilfsmittel des Ingenieurs. New York: Springer Verlag. 1967: p. 98.  引文格式1维护：冗余文本 (link) 採用混合坐標 WIKINIUM\_MATH\_PH\_242 、 WIKINIUM\_MATH\_PH\_244 、 WIKINIUM\_MATH\_PH\_246 。

### 按照命名常規

* Korn GA, Korn TM. Mathematical Handbook for Scientists and Engineers. New York: McGraw-Hill. 1961: p. 177.  引文格式1维护：冗余文本 (link)採用第一種表述 WIKINIUM\_MATH\_PH\_248 ，又加介紹了簡併的第三種表述 WIKINIUM\_MATH\_PH\_250 。
* Margenau H, Murphy GM. The Mathematics of Physics and Chemistry. New York: D. van Nostrand. 1956: p. 182.  引文格式1维护：冗余文本 (link) 如同Korn and Korn (1961)，但採用**餘緯度** WIKINIUM\_MATH\_PH\_252 來替代緯度 WIKINIUM\_MATH\_PH\_254 。
* Moon PH, Spencer DE. Oblate spheroidal coordinates (η, θ, ψ). Field Theory Handbook, Including Coordinate Systems, Differential Equations, and Their Solutions corrected 2nd ed., 3rd print ed. New York: Springer Verlag. 1988: pp. 31–34 (Table 1.07). ISBN 0-387-02732-7.  引文格式1维护：冗余文本 (link) Moon and Spencer採用餘緯度常規 WIKINIUM\_MATH\_PH\_256 ，又改名 WIKINIUM\_MATH\_PH\_258 為 WIKINIUM\_MATH\_PH\_260 。

### 特異命名常規

* Landau LD, Lifshitz EM, Pitaevskii LP. Electrodynamics of Continuous Media (Volume 8 of the Course of Theoretical Physics) 2nd edition. New York: Pergamon Press. 1984: pp. 19–29. ISBN 978-0750626347.  引文格式1维护：冗余文本 (link)視扁球面坐標系為橢球坐標系的極限。採用第二種表述。