# 等周定理[编辑]

**等周定理**，又稱**等周不等式**（英語：Isoperimetric inequality），是一个几何中的不等式定理，说明了欧几里得平面上的封闭图形的周长以及其面积之间的关系。其中的“等周”指的是周界的长度相等。等周定理說明在周界长度相等的封闭几何形狀之中，以圓形的面積最大；另一個說法是面積相等的几何形狀之中，以圓形的周界长度最小。這兩種說法是等價的。它可以以不等式表達：若 WIKINIUM\_MATH\_PH\_0 為封闭曲線的周界长， WIKINIUM\_MATH\_PH\_2 為曲線所包圍的區域面積， WIKINIUM\_MATH\_PH\_4 。

虽然等周定理的结论早已为人所知，但要严格的证明这一点并不容易。首个严谨的数学证明直到19世纪才出现。之后，数学家们陆续给出了不同的证明，其中有不少是非常简单的。等周问题有许多不同的推广，例如在各种曲面而不是平面上的等周问题，以及在高维的空间中给定的“表面”或区域的最大“边界长度”问题等。

在物理中，等周问题和跟所谓的最小作用量原理有關。一个直观的表现就是水珠的形状。在没有外力的情况下（例如失重的太空舱里），水珠的形状是完全对称的球体。这是因为当水珠体积一定时，表面张力会迫使水珠的表面积达到最小值。根据等周定理，最小值是在水珠形状为球状时达到。

## 歷史

不完全凸的封閉曲線的話，能以「翻折」凹的部分以成為凸的圖形，以增加面積，而周长不变
一个狭长的图形可以通过“压扁”来变得“更圆”，从而使得面积更大而周长不变。
平面上的等周问题是等周问题最经典的形式，它的出现可以追溯到很早以前。这个问题可以被表述为：在平面上所有周长一定的封闭曲线中，是否有一个围成的面积最大？如果有的话，是什么形状？另一种等价的表述是：当平面上的封闭曲线围成的面积一定时，怎样的曲线周长最小？

雖然圓看似是問題的表面答案，但證明此事實其實不易。首個接近答案的步驟出現在1838年——雅各·史坦納以幾何方法證明若答案存在，答案必然是圓形。不久之后他的证明被其他数学家完善。

其方法包括證明了不完全凸的封閉曲線的話，能以「翻折」凹的部分以成為凸的圖形，以增加面積；不完全對稱的封閉曲線能以傾斜來取得更多的面積。圓，是完全凸和對稱的形狀。可是這些並不足以作為等周定理的*嚴格*證明。

1901年，阿道夫·赫維茲憑傅里叶级数和格林定理給出一個純解析的證明。

## 證明

### 初等证明

以下給出一個較初等的證明，分5步。

設一條長度為P的封閉曲綫圍成的區域的最大面積為 WIKINIUM\_MATH\_PH\_6 ，亦以 WIKINIUM\_MATH\_PH\_8 、 WIKINIUM\_MATH\_PH\_10 來標記該區域及其邊界；那麼該圖形應當滿足如下性質：

1、 WIKINIUM\_MATH\_PH\_12 是一個凸區域。

* 假使不然， WIKINIUM\_MATH\_PH\_14 是一個凹區域。那麼根據定義，可以在 WIKINIUM\_MATH\_PH\_16 內找到兩個點 WIKINIUM\_MATH\_PH\_18 和 WIKINIUM\_MATH\_PH\_20 ，使其連線 WIKINIUM\_MATH\_PH\_22 有一部份 WIKINIUM\_MATH\_PH\_24 不包含于 WIKINIUM\_MATH\_PH\_26 的內部。然而如以 WIKINIUM\_MATH\_PH\_28 替換掉原來的那段弧，則周長將減少，面積將增加，從而將新圖形擴大若干倍后得到一個同樣周長，面積比 WIKINIUM\_MATH\_PH\_30 大的區域。矛盾。

2、凡平分周長 WIKINIUM\_MATH\_PH\_32 的弦必平分面積 WIKINIUM\_MATH\_PH\_34 。

* 如果一弦 WIKINIUM\_MATH\_PH\_36 平分 WIKINIUM\_MATH\_PH\_38 而將 WIKINIUM\_MATH\_PH\_40 分為大小不同的兩部份 WIKINIUM\_MATH\_PH\_42 ，那麼去掉 WIKINIUM\_MATH\_PH\_44 而將 WIKINIUM\_MATH\_PH\_46 對 WIKINIUM\_MATH\_PH\_48 做對稱，則可得到一個周長仍然等於 WIKINIUM\_MATH\_PH\_50 而面積等於 WIKINIUM\_MATH\_PH\_52 的區域，矛盾。

3、凡平分 WIKINIUM\_MATH\_PH\_54 的弦，無論方向，長度相等。

* 如果不然，不妨設兩弦 WIKINIUM\_MATH\_PH\_56 和 WIKINIUM\_MATH\_PH\_58 均平分面積 WIKINIUM\_MATH\_PH\_60 而 WIKINIUM\_MATH\_PH\_62 。那麼分別選取 WIKINIUM\_MATH\_PH\_64 及其任一側的曲綫（半個 WIKINIUM\_MATH\_PH\_66 ，不妨記為 WIKINIUM\_MATH\_PH\_68 ），以及 WIKINIUM\_MATH\_PH\_70 及其任一側的區域（另行劃分的半個 WIKINIUM\_MATH\_PH\_72 ，記為 WIKINIUM\_MATH\_PH\_74 ），并粘合在一起使得 WIKINIUM\_MATH\_PH\_76 落在 WIKINIUM\_MATH\_PH\_78 上， WIKINIUM\_MATH\_PH\_80 與 WIKINIUM\_MATH\_PH\_82 重合。
	+ 此時，新的圖形仍然滿足周長為 WIKINIUM\_MATH\_PH\_84 ，面積為 WIKINIUM\_MATH\_PH\_86 的性質，且由於 WIKINIUM\_MATH\_PH\_88 ，N'應落於 WIKINIUM\_MATH\_PH\_90 之間。
* 以M為中心，分別對 WIKINIUM\_MATH\_PH\_92 和 WIKINIUM\_MATH\_PH\_94 做 WIKINIUM\_MATH\_PH\_96 和 WIKINIUM\_MATH\_PH\_98 倍的放縮，使兩曲綫的終端吻合（即N和N'經過變換之後重合，記為 WIKINIUM\_MATH\_PH\_100 ），得到兩個分別與原區域相似的區域 WIKINIUM\_MATH\_PH\_102 和 WIKINIUM\_MATH\_PH\_104 。適當調整 WIKINIUM\_MATH\_PH\_106 和 WIKINIUM\_MATH\_PH\_108 的值，使曲綫 WIKINIUM\_MATH\_PH\_110 的周長仍為P。
	+ 此時 WIKINIUM\_MATH\_PH\_112 和 WIKINIUM\_MATH\_PH\_114 的長度分別等於 WIKINIUM\_MATH\_PH\_116 和 WIKINIUM\_MATH\_PH\_118 ，所圍的面積分別等於 WIKINIUM\_MATH\_PH\_120 和 WIKINIUM\_MATH\_PH\_122 ；並且由於 WIKINIUM\_MATH\_PH\_124 和 WIKINIUM\_MATH\_PH\_126 經過放縮后重合，有 WIKINIUM\_MATH\_PH\_128 。
* 由於曲綫 WIKINIUM\_MATH\_PH\_130 的周長仍為P，故 WIKINIUM\_MATH\_PH\_132 ，從而 WIKINIUM\_MATH\_PH\_134 ；而由 WIKINIUM\_MATH\_PH\_136 知 WIKINIUM\_MATH\_PH\_138 。
* 所以， WIKINIUM\_MATH\_PH\_140 的面積為 WIKINIUM\_MATH\_PH\_142 ，與 WIKINIUM\_MATH\_PH\_144 最大矛盾。

4、若 WIKINIUM\_MATH\_PH\_146 平分 WIKINIUM\_MATH\_PH\_148 ， WIKINIUM\_MATH\_PH\_150 為 WIKINIUM\_MATH\_PH\_152 中點，那麼對 WIKINIUM\_MATH\_PH\_154 上任意一點 WIKINIUM\_MATH\_PH\_156 ，都有 WIKINIUM\_MATH\_PH\_158 。

* 以 WIKINIUM\_MATH\_PH\_160 為中心，做 WIKINIUM\_MATH\_PH\_162 的中心對稱圖形， WIKINIUM\_MATH\_PH\_164 對稱到 WIKINIUM\_MATH\_PH\_166 ；那麼圖形 WIKINIUM\_MATH\_PH\_168 的周長為 WIKINIUM\_MATH\_PH\_170 ，面積為 WIKINIUM\_MATH\_PH\_172 。由第3步知 WIKINIUM\_MATH\_PH\_174 和 WIKINIUM\_MATH\_PH\_176 的長度應該相等，而 WIKINIUM\_MATH\_PH\_178 也是 WIKINIUM\_MATH\_PH\_180 的中點，故得結論。

5、由於 WIKINIUM\_MATH\_PH\_182 到 WIKINIUM\_MATH\_PH\_184 上任意一點的距離都相等，所以 WIKINIUM\_MATH\_PH\_186 是圓。

### 傅里叶级数证明

不妨将封闭图形周长定为 WIKINIUM\_MATH\_PH\_188 ，选取弧长参数 WIKINIUM\_MATH\_PH\_190 其取值为从0到 WIKINIUM\_MATH\_PH\_192 ，有参数方程 WIKINIUM\_MATH\_PH\_194 ，并且根据封闭图形有 WIKINIUM\_MATH\_PH\_196 。现展开为傅里叶级数：

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_198
以及相应导数：

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_200
考虑帕塞瓦尔恒等式（注意这里是实数情形），可以得到：

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_202
其中第二个等号是因为弧长参数表示的微分满足 WIKINIUM\_MATH\_PH\_204 的关系。

根据格林公式，得到封闭图形面积为 WIKINIUM\_MATH\_PH\_206 ，因此：

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_208
整理与联系上述等式(1)与(2)，得：

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_210
此时可以证明 WIKINIUM\_MATH\_PH\_212 存在最大值（初等证明里没有证明解的存在性），即该不等式取等号时的情况，当且仅当满足以下条件：

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_214
最终可以得到参数方程即为圆：

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_216
证毕。

* 变分法
* 普拉托问题
* 挂谷集合
* 移动沙发问题

## 参考来源