Rikunarita-ORG/Wikinium huggingface dataset:
# 地球儀

展於自然生物多樣性中心的地球儀。
**地球儀，**一種用來模拟地球表面地理的球状比例模型。相較於平面的地圖，球形的地球儀可以將地區、方位、角度、距離、面積等以較精確的方式顯示，而不会出现平面地图因麦卡托投影法造成的面积扭曲。地球仪上通常会画有经纬线和同比例缩小的各个大陆和水体，并且会注明重要城市和用线标出国家与地区之间的边界以及较大的山脉、河流与湖泊等地貌景观。一些特制的地球仪还会特意做出表面凹凸来放大展示局部地区的地形变化。

目前已知的最早的地球儀是在公元前150年斯特拉波记录的克拉特斯地球仪，而現存最早的地球儀是1492年德國人马丁·倍海姆（Martin Behaim）制作的，當時屬於美洲的位置還被標示成一片海洋，現存於紐倫堡。

* 奧地利維也納的地球儀博物館是世界上唯一以地球儀為主要收藏品的博物館。
* 纽约法拉盛草原可乐娜公园中的大地球仪，直径达120英尺（37米），是世界上最大的地球仪。

## 歷史

公元前3世紀，希臘天文學確立了地圓說，最早的地球儀即出現於這段時期。已知最早的實例是西元前2世紀中葉由馬魯斯的克拉特斯在奇里乞亞（今為土耳其的庫克洛瓦，Çukurova）所造。

中世纪以前的地球儀並未保存到現在，但有個叫「法爾內塞的阿特拉斯石雕」的天球儀倖存了下來，這個希臘化風格的雕塑是西元2世紀羅馬時代的複製品，目前保存在義大利拿坡里國立考古博物館。

描繪舊大陸的早期地球儀是在伊斯蘭世界建造的。根據David Woodward的說法，波斯天文學家札馬剌丁於1267年曾將地球儀帶到元帝國的北京。《元史·天文志一》：「苦來亦阿兒子，漢言地理志也。其制以木為圓毬，七分為水，其色綠，三分為土地，其色白。畫江河湖海，脈絡貫串於其中。畫作小方井，以計幅圓之廣袤、道里之遠近。」，扎馬魯丁以中國傳統「記里畫方」的方法繪製，與後來依西方地理學製成的地球儀有本質上的不同。

現存最早的地球儀是1492年由馬丁 · 倍海姆（1459-1537）在畫家喬治 · 格洛肯頓的幫助下製作的。倍海姆是一位德國的地圖製作者、航海家和商人。在德國紐倫堡工作時，他將自己的地球儀稱為「紐倫堡地球儀」，今稱「 Erdapfel」。在此之前，倍海姆曾到過很多地方，他從1480年開始旅居於里斯本，進行商業活動，並與探險家和科學家往來，於1490年回到紐倫堡之後開始建造地球儀。

另一個早期的地球儀是大約在1510年的亨特-萊諾克斯地球儀（Hunt-Lenox Globe），它被認為是慣用語「此處有惡龍」的典故出處。2012年，人們發現了一個類似葡萄柚大小的鴕鳥蛋地球儀，由兩個半顆鴕鳥蛋製成，這個地球儀被認為可以追溯到1504年，它可能是最早展示新大陸的地球儀。斯特凡 · 米西納（Stefaan Missine）為華盛頓地圖學會（Washington Map Society）期刊《波特蘭》（Portolan）分析了這顆地球儀，他說道，這是「歐洲幾十年來的重要收藏品」，經過一年的研究，咨詢過許多專家，米西納得出結論，亨特-萊諾克斯地球儀是鴕鳥蛋地球儀的銅製壓鑄品。

1507年，馬丁 · 瓦爾德塞米勒製作了一個印有美洲的地球儀。1570年代，塔基丁（Taqi al-Din）在君士坦丁堡塔基丁天文台建造了另一個「非常現代」的地球儀。

蒙兀兒帝國的科學家在賈漢吉爾的贊助下建造了世界上第一個無縫隙的天球儀。

在中國，耶穌會教士利瑪竇在中國製作了第一架西洋地球儀直接宣傳地圓說 。《明史 · 天文志》 卷二十五記載 「 萬歷中 ，西洋人利瑪竇制渾儀 、天球 、地球等器 。」 耶穌會陽瑪諾和龍華民於1623年製造過地球儀，現藏於不列顛圖書館，這可能為中國製作西式地球儀的範本，在此基礎上完成於1630年的崇禎三年地球儀，為當時官方製造地球儀的最高水準。中國明清兩朝所造地球儀只剩3件保存下來，2件存於故宮博物院，1件存於英國倫敦博物館地理部。

埃默里·莫利纽克斯於1592年發行其地球儀和天球儀，被認為是英格蘭第一個地球儀和天球儀的製造者，也是第一個製造地球儀的英國人。

1606年日本的林羅山駁斥基督教徒主張的地圓說，他與不干齋巴鼻庵討論時所提到的「円模の地図」被認為是地球儀，之後澀川春海、司馬江漢紛紛仿效西方製作地球儀，現存最早的日本製地球儀即澀川春海於1695年製造。荷蘭人傑瑞德·法爾克（Gerard Valck）於1700年前後在阿姆斯特丹製作的地球儀被日本平戶藩主松浦靜山購入，至今仍保存在松浦史料博物館。

Globus IMP，包括5英吋地球儀在內的電子機械裝置，1961年到2002年間在蘇聯和俄羅斯的太空船中一直作為導航儀器使用。2001年，TMA 版本的聯盟號宇宙飛船以數位地圖取代了這個儀器。

在19世紀，小型的袖珍地球儀（不到3英吋）不但是紳士的身份象徵，也是富家子弟的益智玩具。

## 相關條目

* 天球儀
* 太陽系儀
# 平面 (数学)[编辑]

以人類的尺度而言，桌面可近似地看作一類平面。
数学上，一个**平面**（plane）就是基本的二维对象。直观的讲，它可以视为一个平坦的拥有无穷大面积的纸。多数几何、三角学和制图的基本工作都在二维进行，或者说，在平面上进行。

给定一个平面，可以引入一个直角坐标系以便在平面上用两个数字唯一的标示一个点，这两个数字也就是它的坐标。

在三维*x*-*y*-*z*坐标系中，可以将平面定义为一个方程的集：

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_0 ,
其中*a*, *b*, *c*和*d*是实数，使得*a*, *b*, *c*不全为0。或者，一个平面也可以参数化的表述，作为所有具有**u** + *s* **v** + *t* **w**形式的点的集合，其中*s*和*t*取遍所有实数，而**u**, **v** 和**w**是给定用于定义平面的向量。

平面由如下组合的任何一个唯一确定

* 三个不共线的点（不位于同一直线上的）
* 一条直线和线外一点
* 一个点和一条垂直于平面的直线
* 两条相交的直线
* 两条平行的直线

在三维空间，两个不同平面或平行或交于一条直线。不和给定平面平行的直线交平面于一点。

## 由一点和一个法向量决定的平面

对于一点 WIKINIUM\_MATH\_PH\_2 和一个向量
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_4 ，平面方程为

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_6
这是穿过点 WIKINIUM\_MATH\_PH\_8 并垂直于向量 WIKINIUM\_MATH\_PH\_10 的平面。

## 通过三点的平面

穿过三点 WIKINIUM\_MATH\_PH\_12 , WIKINIUM\_MATH\_PH\_14 和 WIKINIUM\_MATH\_PH\_16 的平面的方程可以表述为如下行列式:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_18
## 一点到平面的距离

对于一点 WIKINIUM\_MATH\_PH\_20 和一个平面 WIKINIUM\_MATH\_PH\_22 ，从点 WIKINIUM\_MATH\_PH\_24 到平面的距离是：

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_26
## 两个平面的夹角

两个相交平面的夹角，称为二面角（dihedral angle），可以用平面方程 WIKINIUM\_MATH\_PH\_28 和 WIKINIUM\_MATH\_PH\_30 给出如下：

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_32 .

* 减少算术和平面几何的难点 （页面存档备份，存于互联网档案馆） 是一个阿拉伯语的手稿，从15世纪，作为一个教程平面的几何和算术
# 微分几何[编辑]

三角形沉浸在一个鞍形面（一个双曲抛物面）上，以及两条发散的超平行线。

**微分幾何**研究微分流形的幾何性質，是現代數學中的一主流研究方向，也是廣義相對論的基礎，與拓撲學、代數幾何及理論物理關係密切。

古典微分几何起源于微积分，主要内容为曲线论和曲面论。歐拉、蒙日和高斯被公认为古典微分几何的奠基人。近代微分几何的创始人是黎曼，他在1854年创立了黎曼几何（实际上黎曼提出的是芬斯勒几何），这成为了近代微分几何的主要内容，并在相对论有极为重要的作用。埃利·嘉当和陈省身等人曾在微分几何领域做出极为杰出的贡献。

## 內在對外在

從一開始到19世紀中葉，微分幾何是從外在觀點來進行研究的：曲線和曲面是被放在更高維度的歐幾里得空間中來考慮的（譬如曲面被放在三維的背景空間中）。其中的最簡單的成果就是曲線微分幾何中的結果。內在觀點開始於黎曼的工作，在那裡因為幾何對象被認為是獨立的給出的，所以不能說移到外面來考慮這個對象。

內在的觀點更加靈活，例如在相對論中時空不能很自然的用外在形式表示。但用內在的觀點，曲率和聯絡這樣的結構比較難定義一些，所以採用內在的觀點也不是沒有代價的。

這兩種觀點也是可以融通的，即外在幾何可以被看作是附加於內在幾何上的結構。（見納什嵌入定理）

## 技术要求

微分几何的工具也就是流形上的微积分：包括对于流形，切丛，余切丛，微分形式，外微分， WIKINIUM\_MATH\_PH\_0 -形式在 WIKINIUM\_MATH\_PH\_2 维子流形上的积分以及斯托克斯定理，楔积，和李导数的研究。这些都和多变量微积分相关；但对于几何上的应用来讲，必须发展一种在某种意义上和特定坐标系无关的方法。微分几何的特殊概念可以说是那些体现几何本质的二阶导数：曲率的很多表现方式。

可微流形是一个拓扑空间，它有一个开覆盖，其中的每个开集同胚于 WIKINIUM\_MATH\_PH\_4 中的一个开单位球。并且，如果 WIKINIUM\_MATH\_PH\_6 , WIKINIUM\_MATH\_PH\_8 是其中两个同胚映射，则函数 WIKINIUM\_MATH\_PH\_10 无限可微。我们称一个函数无限可微，如果它和每个同胚的复合是从开球到 WIKINIUM\_MATH\_PH\_12 的无限可微函数。

在流形的每一点，有一个该点的切空间，它由每个从该点离开进行运动的所有可能的速度（方向和大小）所组成。对一个n维流形，每点的切空间是一个n维向量空间，或者说是一个**R**n。切空间有多种定义。其中一个是作为所有在该点取值为0的函数组成的线性空间的对偶空间，除以
所有取值为0并且一阶导数为0的函数空间（所得到的余空间）。导数为0可以定义为“和任何可微的从实数到该流形的函数的复合的导数为0”，因而只需要用到可微性。

向量场是从流形到它的切空间的并集（切丛）的函数，在每一点所取的值是该点的切空间的一个元素。这样的映射称为纤维丛的截面。
向量场可微，如果该向量场应用到每个可微函数都得到一个可微函数。向量场可以看作是时不变的微分方程组。从实数到流形的可微函数是流形上的曲线。这给了一个从实数到切空间的函数：曲线上每点的速度。一条曲线称为一个向量场的一个解，如果曲线每点的速度和向量场在该点的值相等。

交错k维线性形式是向量空间V的对偶空间V\*的反对称k阶向量积的一个元素。k微分形式就是在流形的每一点选取一个这样的交错k形式--V在这里就是该点的切空间。如果它作用在k个可微向量场上的结果是流形上的一个可微函数，则称它可微。体积形式是维数和流形相同的微分形式。

## 分支

* 黎曼幾何

黎曼几何以黎曼流形为主要研究对象— 有额外结构的光滑流形，他们因此*无穷小*得看起来像欧几里得空间。这使得欧几里得几何的诸如函数的梯度，散度，曲线的长度等概念得到了推广；而无须假设空间*整体*上有这么对称。

* 复幾何

研究的对象是*复流形*。这是一类有着可积的近复结构的微分流形。因为非奇异的复代数簇自然的是复流形，因此与复代数几何有着紧密的联系。

* 辛幾何

这是研究*辛流形*的学科。一个辛流形是带有辛形式（也就是，一个闭的非退化2-形式）的微分流形。

* 切觸幾何

这是辛几何在奇数维上的对应物。大致来说，在(2*n*+1)微流形上的切触结构是一个1-形式 WIKINIUM\_MATH\_PH\_14 使得 WIKINIUM\_MATH\_PH\_16 处处非退化。

* 芬斯勒幾何

芬斯勒几何以芬斯勒流形为主要研究对象— 这是一个有芬斯勒度量的微分流形，也就是切空间被赋予了巴拿赫范数。芬斯勒度量是比黎曼度量一般得多的结构。

* A Modern Course on Curves and Surface, Richard S Palais, 2003
* Richard Palais's 3DXM Surfaces Gallery

## 參考書目

1. Michael Spivak (1999)， *A Comprehensive Introduction to Differential Geometry*，(5 Volumes),3rd Edition.
2. Manfredo Do Carmo (1976), *Differential Geometry of Curves and Surfaces.* Prentice Hall.
3. Manfredo Perdigao do Carmo, Francis Flaherty (1994), *Riemannian Geometry.*
4. John McCleary (1994), *Geometry from a Differentiable Viewpoint*
5. Ethan D. Bloch (1996), *A First Course in Geometric Topology and Differential Geometry*
6. Alfred Gray (1998), *Modern Differential Geometry of Curves and Surfaces with Mathematica*, 2nd ed.
# 亚尔勃斯投影

亚尔勃斯投影法
用亚尔勃斯投影法绘制的世界地图
**亚尔勃斯投影**，又称**等积圆锥投影**，由德国人亚尔勃斯（Heinrich C. Albers）于1805年提出的一种保持面积不变的正轴等面积割圆锥投影。

在投影时为了保持投影後面积不变，将投影经纬长度相应的比例变化，是目前应用较广的投影方式，其适合东西间距较大的中纬度国家，例如美国、中国。两国都广泛使用此种投影方式。

## 投影参数

* 第一标准纬线：25°00ˊ
* 第二标准纬线：47°00ˊ
* 中央经线： 110°00ˊ
* 坐标起始纬度：0°
# 形狀[编辑]

四個三角形，左邊的二個三角形全等，第三個三角形和前二個相似，第四個不全等也不相似，不過是同胚
**形狀**是一物體或其外部邊界、輪廓及其表面所組成的，和物體的其他特性（如顏色、紋理、材料組成等）無關。形狀也可以是由邊或曲線或以上兩種東西的結合來形成的封閉空間，

心理學家認為人在心裡會將影像分解為一些簡單的幾何形狀，稱為幾何子。像圓錐及球就是幾何子的例子。

物件的形狀可以以基本的幾何物件如點、直線、曲線、平面等等描述。對於二維以上的物件，可以透過切面或投影的形狀來減少形狀的維數。

形狀不受視角和方向的改變影響。可是，鏡象可以稱為不同的形狀。若物件的尺度，形狀有可能不同。例如當在橫軸和縱軸中的尺度不同，球會變成扁球體。即是說，保存對稱軸在保存形狀方面頗重要。

若兩個圖形的形狀相同，即是說它們相似。

放大縮小會改變大小而非形狀；旋轉和平移會保留大小和形狀。

## 簡單形狀的分類

許多的多边形
許多簡單的形狀可以加以分類，例如多边形可以依其邊的個數分為三角形、四邊形、五边形等。每一種分類也可以再細分，例如三角形可以分為正三角形、等腰三角形、銳角三角形、鈍角三角形、直角三角形等，而四邊形也可以分為矩形、菱形、梯形、正方形等。

其他常見的形狀有点、直线、平面，以及像椭圆、圆、抛物线等圓錐曲線。

常見的三維形狀有由許多平面組成的多面體、蛋形或是球形的椭球、圓柱及圆锥等。

若一個物體外形屬於某一分類或是接近某一分類，就可以用那種分類來形容其形狀。例如窨井盖的形狀為圆盘，因為它外形近似一個真實的圓盤。

## 幾何中的形狀

有幾種方式可以比較兩個物體的形狀：

* 全等：若兩個物體可以透過一連串的旋轉、平移及鏡射，讓一個物體變成另一個物體，這兩個物體稱為全等。
* 相似：若兩個物體可以透過一連串的旋轉、平移及鏡射，再加上長寬等比例的放大縮小，讓一個物體變成另一個物體，這兩個物體稱為相似。
* 同痕：若一個物體可以透過一連串變換（但不包括穿洞，也不能「撕破物體」）變為另一個物體，這兩個物體稱為同痕。

兩個相似或是全等的物體若需要透過鏡射才能讓一個物體變為另外一個，有些定義下也會將他們視為是不同的形狀。例如字母b和d是彼此的鏡射，因此它們全等也相近，但在有些定義下這二個會視為是不同的形狀。有時只有物體的輪廓及外部邊界會用來確認其形狀。例如空心的圓球可能會和實心的圓球視為是相同的形狀。許多科學領域會用Procrustes分析來確認二個物體是否有相同的形狀，或是量測二個形狀之間的差異。在高等數學中，擬等距同構也是判斷二個形狀是否近似相等的準則之一。

簡單的形狀多半可以分為簡單的幾何物件，例如點、線、曲線、平面或是幾何圖形（如正方形或是圓）或是立體圖形（例如立方體或是球）。但是許多真正世界的圖形複雜的多，像是樹木的結構或是海岸線不一定可以用傳統的數學來描述，可能需要透過微分幾何或是碎形來分析。

## 形狀分析

上述有關形狀的數學定義已用在統計形狀分析的領域中。Procrustes分析是比較類似物體（例如不同動物的骨骼）形狀，或是量測可變形物體的變形時都會用到。也有其他方式可用在非剛性的物體上，例如位置无关的形状检索（例如頻谱形状分析）。

## 參考資料

## 相關條目

* 形狀因子
* 立体几何
# 等距同构

壁纸群中具有平行轴的滑移反映（glide reflection）。
\* 两个反向等距映射（滑移等距映射）的复合，是一种直接等距映射（或称保向等距变换）。
\* 关于直线的轴反射，是一种反向等距映射。例如图像中关于主对角线的轴反射  WIKINIUM\_MATH\_PH\_0  或关于副对角线的轴反射  WIKINIUM\_MATH\_PH\_1 。
\* 平移  WIKINIUM\_MATH\_PH\_2  是一种直接等距映射，即一种刚体运动。
在数学中，**等距映射**（isometric mapping，isometry）简称**等距**、**保距**，简言之，是满足距离恒等式的映射；属于一个绝对刚性的搬运过程，也是保持间距不变的变换，映射后空间被完全保真地复制了过去，没有被挤压或拉伸，完全没有畸变。

**等距同构**（isometric isomorphism）在意义上是指两个空间“结构一模一样，且尺寸完全对等”。在线性空间中，等距映射必定是等距同构；在度量空间中，等距映射不一定是等距同构。

等距映射与等距同构的区别在于：等距映射侧重“距离保持”，在某些空间中，一个等距映射未必是满射。而等距同构侧重“结构等价”，不仅要求是等距映射，还必须是代数结构上的同构（通常指线性空间的同构），在定义上必须是双射（一一对应且满射）。

在几何学中，等距映射相当于：**等距变换**（distance-preserving transformation）、**全等变换**（congruent transformation）、**相合变换**、**保距映射**。此外，在几何学中，不论是否等距，**同构（关系）**（isomorphism）亦即**全等（关系）**（congruence）。

术语 isometry 词根 iso- 和 -metry，原义是“相同度量”的意思；其衍生语义可为：等度规、等量、等距、等长、等高、等容、等长、等轴，甚至有等速、等拍之义。

## 通论

等距同构经常用于将一个空间嵌入到另一空间的构造中。例如，测度空间 WIKINIUM\_MATH\_PH\_3 的完备化即涉及从 WIKINIUM\_MATH\_PH\_5 到  *WIKINIUM\_MATH\_PH\_7*  的等距同构，这里  *WIKINIUM\_MATH\_PH\_9*  是 WIKINIUM\_MATH\_PH\_11 上柯西序列所构成的空间关于“距离为零”的等价关系的商集。这样，原空间 WIKINIUM\_MATH\_PH\_13 就等距同构到完备的度量空间的一个稠密子空间并且通常用这一空间来指代原空间  *WIKINIUM\_MATH\_PH\_15* 。 其它的嵌入构造表明每一度量空间都等距同构到某一賦範向量空間的一个闭子集以及每一完备度量空间都等距同构到某一巴拿赫空间的一个闭子集。

一个希尔伯特空间上的等距、满射的线性算子被称为酉算子。

## 定义

设 WIKINIUM\_MATH\_PH\_17 , WIKINIUM\_MATH\_PH\_19 是两个度量空间，其中的距离分别是 WIKINIUM\_MATH\_PH\_21 和 WIKINIUM\_MATH\_PH\_23 。一个映射 WIKINIUM\_MATH\_PH\_25 被称为“**保距映射**”，如果对任意的 WIKINIUM\_MATH\_PH\_27 ，都有

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_29
保距映射一定是单射。任意两个度量空间之间的等距同构都必然是一个拓扑嵌入。

等距同构是一一对应的保距映射，有时也被称为全局等距同构。还有一种定义是路径等距同构，指保持所有曲线长度的映射（不一定是一一对应的）。

如果两个度量空间之间存在一个等距同构，就称它们两个为等距同构的。所有从一个度量空间到另一个的等距同构关于映射的复合运算组成一个群，称为**等距同构群**。

## 例子

* 所有度量空间到自身的恒等映射都是等距同构。
* 在欧几里得空间中，平移变换、旋转变换、反射变换以及它们的复合都是等距同构。
* 内积空间 WIKINIUM\_MATH\_PH\_31 上的线性等距同构是所有的酉变换。

## 线性等距同构

在賦範向量空間之间可以定义线性等距同构：所有保持范数的线性映射：

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_33
线性等距同构一定是保距映射，因此如果是满射，就是（全局）等距同构。

系数域为实数的賦範向量空間上的等距同构一定是仿射变换。

* 對合
* 同胚

## 参考来源

* 张贤科. 《高等代数学》第二版. 清华大学出版社. 2002. ISBN 978-7-302-11088-0.
# 比例尺 (地圖)[编辑]

**比例尺**（英語：Scale）是指地圖上距離和實際距離之間的比例。例如當實際距離為1,000公尺，而在地圖上的距離為1公分時，則稱這一地區的比例尺是1:100,000。一般將比例尺為1:1至1:600,000的地圖稱為大比例尺地圖，1:600,000至1:2,000,000的地圖稱為中比例尺地圖，1:2,000,000至1:∞的地圖稱為小比例尺地圖。

* 尺度 (地理学)
# 絕妙定理

絕妙定理的一個結果，就是地球在地圖上展示時不可能無扭曲。這幅地圖用的麥卡托投影法，保持角度但不能保持面積。
**絕妙定理**（拉丁語：Theorema Egregium）是微分幾何中關於曲面的曲率的重要定理，由高斯發現。這定理說曲面的高斯曲率可以從曲面上的長度和角度的測量完全決定，無需理會曲面如何嵌入三維空間內。換言之，高斯曲率是曲面的內蘊不變量。用現代術語可表述為：

高斯曲率在局部等距變換下不變。
用现代几何语言来说：高斯曲率是规范不变量。

## 定理敍述

考慮在歐氏空間 WIKINIUM\_MATH\_PH\_0 中的曲面。兩點間的**內蘊距離**定義為在曲面上且連接兩點的曲線的長度的最大下界。（例如一個單位球上兩個對徑點的內蘊距離是π，而在歐氏空間內的距離是2。）連接兩點的長度最短的曲線稱為測地線。

兩個空間若彼此間有保持距離相同的雙射，則這兩個空間等距。若在空間中每一點都有鄰域，可在其上定義如此的雙射，則這兩個空間是局部等距。

曲面上的一點的高斯曲率有幾種定義：

* 穿過這點的測地線中最大和最小曲率的積，
* 在這點的無限小的鄰域，經高斯映射在單位球面上的像，和在曲面上的這鄰域的面積比。

在這些定義中，要算出高斯曲率，先要知道曲率如何嵌入到空間中。而一個曲面的不同嵌入，可得出局部等距的不同曲面。最簡單的例子是平面和圓柱體的側面：將一張攤成平面的紙捲起來包著圓柱體，就得出從平面到圓柱體側面的局部等距變換，因為這個變形不會改變紙上相近兩點的距離。

這條定理稱為絕妙定理，是因為高斯曲率的定義需靠曲面到空間的嵌入，而最終結果卻不依賴於嵌入。

* 陈-高斯-博内定理

## 參考

* Karl Friedrich Gauss, *General Investigations of Curved Surfaces of 1827 and 1825 （页面存档备份，存于互联网档案馆）*, (1902) The Princeton University Library. *(A translation of Gauss's original paper.)* (Currently does not display the translated text)

* Karl Friedrich Gauss, *General Investigations of Curved Surfaces of 1827 and 1825 （页面存档备份，存于互联网档案馆）*, The Project Gutenberg EBook of General Investigations of Curved Surfaces of 1827 and 1825, by Karl Friedrich Gauss

* Carl Friedrich Gauss (Author), Adam Hiltebeitel (Translator), James Morehead (Translator), *General Investigations Of Curved Surfaces* Unabridged (Paperback), Wexford College Press, 2007, ISBN 978-1-929148-77-6.

* Carl Friedrich Gauss (Author), Peter Pesic (Editor), *General Investigations of Curved Surfaces* (Paperback), Dover Publications, 2005, ISBN 978-0-486-44645-5.

* Carl Friedrich Gauss, *Disquisitiones generales circa superficies curvas 1827 Oct. 8* (in Latin),
# 共形映射

直角網格(頂部)和它在共形映射 *f* 下的像(底部)。可看出 *f* 把以 90°相交的成對的線映射成仍以 90°相交的成對曲線。
数学上，**共形变换**（英語：Conformal map）或稱**保角变换**，來自於流体力学和几何学的概念，是一个保持角度不变的映射。

更正式的说，一个映射

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_0
称为在 WIKINIUM\_MATH\_PH\_2 **共形**(或者**保角**)，如果它保持穿过 WIKINIUM\_MATH\_PH\_4 的曲线间的定向角度，以及它们的取向也就是说方向。共形变换保持了角度以及无穷小物体的形状，但是不一定保持它们的尺寸。

共形的性质可以用坐标变换的导数矩阵雅可比矩阵的术语来表述。如果变换的雅可比矩阵处处都是一个标量乘以一个旋转矩阵，则变换是共形的。

## 制图

在测绘学中，一个**共形变换投影**是一个保持除有限点外所有点的角度不变的地图投影。尺寸依赖于地点，但不依赖于方向。

其例子有麥卡托投影和极射投影。

## 复分析

共形映射很重要的一组例子来自复分析。若*U*是一个复平面**C**的开集，则一个函数

*f* : *U* → **C**
是共形的，当且仅当它在U上是一个全纯函数，而且它的导数处处非零。若*f*是一个反全纯函数（也就是全纯函数的复共轭），它也保持角度，但是它会将定向反转。

黎曼映射定理是复分析最深刻的定理之一，它表明任何**C**的单连通非空开子集上有一个到**C**中的开单位圆盘的双射。

## 参看

* 共形反常
* 共形場論
# 角直徑[编辑]

**角直徑**是以角度做測量單位時，從一個特定的位置上觀察一個物體所得到的「視直徑」。視直徑只是被觀測的物體在垂直觀測者視線方向中心的平面上產生的透視投影的直徑。由於它是在觀測者的角度下按比例的縮影，因此與物體真實的直徑會有所不同。但對一個在遙遠距離上的盤狀天體，視直徑和實直徑是相同的。

## 形式

角直徑的公式
一個物體的角直徑可以利用下面的公式計算

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_0
此處的 WIKINIUM\_MATH\_PH\_2 是角直徑， WIKINIUM\_MATH\_PH\_4 和 WIKINIUM\_MATH\_PH\_6 分別是以相同單位顯示的視直徑和物體的距離。當 WIKINIUM\_MATH\_PH\_8 遠較 WIKINIUM\_MATH\_PH\_10 大許多時， WIKINIUM\_MATH\_PH\_12 可以簡化成 WIKINIUM\_MATH\_PH\_14 的形式，此處的結果是以徑度量為單位。

對一個球形的物體，它在各方向的直徑 WIKINIUM\_MATH\_PH\_16 都一樣，角直徑可以利用下式來發現：

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_18
在實務應用上， WIKINIUM\_MATH\_PH\_20 和 WIKINIUM\_MATH\_PH\_22 的分別只是這個球形天體和地球在相對距離上的不同。

## 在天文學上的應用

在天文學上，天空中物體的大小通常都是根據從地球上觀測所見到的角直徑來描述，而很少用到真實的直徑。

在1秒差距的距離上，地球環繞太陽公轉軌道的視直徑是2″（2弧秒）。

在1光年的距離上，太陽的視直徑是0.03″，而地球的視直徑是0.0003″。

太陽的0.03″相當於在地球直徑的距離上看到的一個人的大小[1] （页面存档备份，存于互联网档案馆）。

這個表顯示從地球上看見的一些天體的角直徑：

角直徑：從地球看太陽的視大小相當於一個足球，但從冥王星（矮行星）它的大小將如同一個網球。.

|  |  |
| --- | --- |
| 太陽
 | 31.6′ – 32.7′
 |
| 月球
 | 29.3′ – 34.1′
 |
| 金星
 | 10″ – 66″
 |
| 木星
 | 30″ – 49″
 |
| 土星
 | 15″ – 20″
 |
| 火星
 | 4″ – 25″
 |
| 水星
 | 5″ – 13″
 |
| 天王星
 | 3″ – 4″
 |
| 海王星
 | 2″
 |
| 穀神星（矮行星）
 | 0.8″
 |
| 冥王星（矮行星）
 | 0.1″
 |
| 鬩神星（矮行星）
 | 40 mas
 |

* 參宿四: 0.049″ – 0.060″
* 南門二 A: ca. 0.007″
* 天狼星: ca. 0.007″

從上面的表可以很清楚的看出太陽的視直徑，從地球看大約是32′，也就是1920″，或簡單說是0.53度。這兒的圖片給了最好的解釋。

這意味著太陽的角直徑是天狼星的250,000倍（天狼星的實直徑是太陽的兩倍，但距離是太陽的500,000倍；太陽的視亮度是天狼星的10,000,000,000倍，相當於角直徑的比值是100,000倍，所以天狼星每單位立體角的亮度大約是太陽的6倍）。

太陽的視直徑是南門二A的250,000倍（南門二A的實直徑與太陽相同，但距離是太陽的250,000倍。太陽的視亮度是南門二A的40,000,000,000倍，相當於角直徑的比值是200,000倍，因此南門二A的立體角亮度比太陽稍亮些）。

太陽的視直徑與月球相近（太陽的實直徑和距離都約是月球的400倍；太陽的亮度是滿月的200,000-500,000倍，相當於角直徑的比值在450-700倍，因此一個與太陽有相同立體角亮度的天體，角直徑在2.5-4″就有著與滿月相同的亮度）。

即使冥王星實際的大小比榖神星大，但從地球上觀察，實際上是使用哈伯太空望遠鏡，榖神星的視直徑明顯的比冥王星大。

當測量天空中大片的區域時，使用度為單位顯然極為實用（以獵戶座為例，腰帶上三顆星涵蓋的角度是3度）。當談論到星系、星雲或夜空中其它的天體時，我們需要一些更細小的單位。

因此度可以細分如下：

* 一個圓周是360 度 (°)
* 每度可以分為60弧分 (′)
* 每弧分可以分為60弧秒 (″)

使用這樣的觀點，從地球觀看的滿月大約是0.5度，相當於30弧分，或是1,800弧秒。月球在天空中的運動也可以用角度來表示，大約是每小時15度，或是每秒鐘15弧秒；在月球表面上1英里長的直線看起大約是1弧秒長。

## 非圓物體

許多深空天體，像是星系和星雲都不是圓形的，因此在測量上會有兩個直徑：**長徑**和**短徑**。例如，小麥哲倫雲的視直徑是5° 20′ 0″×3° 5′ 0″。

## 相關條目

* 角解析力
* 視角
* 視角錯覺
* 視覺敏銳

* Small-Angle Formula
* Visual Aid to the Apparent Size of the Planets （页面存档备份，存于互联网档案馆）
# 可展曲面

**可展曲面**是在其上每一点处高斯曲率为零的曲面。有一个一般性的定理表明：一片具有常数高斯曲率的曲面能够经弯曲（非拉伸、收缩、皱褶或撕裂）而变为任何一片具有相同常数高斯曲率的曲面。因为平面就是在每一点处高斯曲率为常数零的特殊曲面，所以每一点处曲率为零的任何一片曲面，能够经弯曲而展开成一片平面。这就是可展曲面这个术语所要表达的。另外，三维空间中可展曲面都是直纹曲面（反之不成立，三维空间中的双曲面是非可展的直纹曲面的例子），但是在高维空间中可以举出非直纹曲面的可展曲面的例子。

## 例子

三维的Oloid曲面
二维展开的Oloid曲面
* 平面是最简单的可展曲面。
* 柱面是可展曲面。
* 锥面是可展曲面。
* Oloid是可展曲面。

## 形成可展曲面的方式

* 弯曲一个已知的可展曲面，可以形成一个新的可展曲面。
* 任何一个单参数平面族所包络的曲面是可展曲面。并且命题的逆也成立：任意可展曲面都是某个单参数平面族所包络的曲面。（但是要注意，单参数直线族才描述所有的直纹曲面，而它们并不都是是可展曲面。）
* （一般情况下）空间曲线的切线族所描述的曲面是以这个空间曲线为边界的可展曲面。并且，不能以这样的方式获得的可展曲面仅仅还剩下锥面和柱面（平面可以视为特殊的柱面）。因此，这构成了可展曲面的一种分类（分为三类）。

## 参考

* Hilbert, David; Cohn-Vossen, Stephan (1952), Geometry and the Imagination (2nd ed.), New York: Chelsea, pp. 341–342, ISBN 978-0-8284-1087-8
# 正割[编辑]

|  |
| --- |
| **正割** |
|  |
| *性質* |
|  奇偶性  |  偶  |
|  定義域  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_0 WIKINIUM\_MATH\_PH\_2  |
|  到達域  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_4  |
|  周期  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_6 （360°）  |
| *特定值* |
|  當x=0 |  1  |
|  當x=+∞  |  N/A  |
|  當x=-∞  |  N/A  |
|  最大值  |  +∞  |
|  最小值  |  -∞  |
| *其他性質* |
|  渐近线  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_8 （ WIKINIUM\_MATH\_PH\_10 ）  |
|  根  |  無實根  |
|  臨界點 |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_11 （ WIKINIUM\_MATH\_PH\_13 ）  |
|  不動點 |  當x軸為弧度時： -2.07393280909121... （-118.827596954637699...°） -4.487669603341... （-257.12452812059255...°） 4.9171859252871... （281.734000600083215...°） 7.72415319239641... （442.5613782368157...°） ...
當x軸為角度時： -90.6321919494646472...° -269.787625875998245...° 89.358798727133722...° 270.212040552238203...°  |
| k是一個整數。 |

**正割**（secant， WIKINIUM\_MATH\_PH\_14 ）是三角函数的一种。它的定义域是不含 WIKINIUM\_MATH\_PH\_16 （或 WIKINIUM\_MATH\_PH\_18 ，其中 WIKINIUM\_MATH\_PH\_19 為整數）的整个实数集，值域是絕對值大於等于一的实数。它是周期函数，其最小正周期为 WIKINIUM\_MATH\_PH\_21 （360°）。

**正割**是三角函数的正函數（正弦、正切、**正割**、正矢）之一，所以在 WIKINIUM\_MATH\_PH\_23 （ WIKINIUM\_MATH\_PH\_25 ）到 WIKINIUM\_MATH\_PH\_26 （ WIKINIUM\_MATH\_PH\_28 ）的區間之間，函數是遞增的，另外**正割**函数和餘弦函数互為倒數。

在單位圓上，正割函数位於割線上，因此將此函數命名為正割函数。

和其他三角函數一樣，正割函数一樣可以擴展到複數。

## 符号史

正割的数学符号为 WIKINIUM\_MATH\_PH\_29 ，出自英文secant。该符号最早由数学家吉拉德·笛沙格在他的著作《三角学》中所用。

## 定义

### 直角三角形中

直角三角形， WIKINIUM\_MATH\_PH\_31 為直角， WIKINIUM\_MATH\_PH\_33 的角度為 WIKINIUM\_MATH\_PH\_35 ， 對於 WIKINIUM\_MATH\_PH\_37 而言，a為對邊、b為鄰邊、c為斜邊
在直角三角形中，一个锐角 WIKINIUM\_MATH\_PH\_39 的**正割**定义为它的斜邊与鄰邊的比值，也就是：

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_41
可以發現其定義和餘弦函數互為倒數。

### 直角坐标系中

设 WIKINIUM\_MATH\_PH\_43 是平面直角坐标系xOy中的一个象限角， WIKINIUM\_MATH\_PH\_45 是角的终边上一点， WIKINIUM\_MATH\_PH\_47 是P到原点O的距离，则 WIKINIUM\_MATH\_PH\_49 的正割定义为：

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_51

### 单位圆定义

单位圆
图像中给出了用弧度度量的某个公共角。逆时针方向的度量是正角而顺时针的度量是负角。设一个过原点的线，同*x*轴正半部分得到一个角 WIKINIUM\_MATH\_PH\_53 ，并与单位圆相交。这个交点的*y*坐标等于 WIKINIUM\_MATH\_PH\_55 。在这个图形中的三角形确保了这个公式；半径等于斜边并有长度1，所以有了 WIKINIUM\_MATH\_PH\_57 。单位圆可以被认为是通过改变邻边和对边的长度并保持斜边等于1查看无限数目的三角形的一种方式。

对于大于 WIKINIUM\_MATH\_PH\_59 （360°）或小于 WIKINIUM\_MATH\_PH\_61 （-360°）的角度，简单的继续绕单位圆旋转。在这种方式下，正割变成了周期为 WIKINIUM\_MATH\_PH\_63 （360°）的周期函数：

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_65
对于任何角度 WIKINIUM\_MATH\_PH\_67 和任何整数 WIKINIUM\_MATH\_PH\_69 。

### 與其他函數定義

正割函數和餘弦函數互為倒數

即：

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_71
### 級數定義

正割也能使用泰勒級數來定義：

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_73
其中 WIKINIUM\_MATH\_PH\_75 为欧拉数。

另外，我们也有

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_77
### 微分方程定義

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_79
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_81
### 指數定義

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_83

## 恆等式

### 用其它三角函数来表示正割

| 函數
 |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_85
 |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_87
 |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_89
 |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_91
 |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_93
 |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_95
 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
|  WIKINIUM\_MATH\_PH\_97
 |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_99
 |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_101
 |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_103
 |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_105
 |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_107
 |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_109
 |

### 和差角公式

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_111
## 巴罗的正割積分

艾萨克·巴罗在1670年提出正割的積分

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_113
## 註釋

## 參考文獻

* 正弦
* 餘弦
* 正切
* 餘切
* 餘割
* 三角学
* 三角函数
* 函數
* 正弦波
# 橫軸麥卡托投影[编辑]

高斯投影的简单说明
橫軸麥卡托
**横轴墨卡托投影**（transverse Mercator projection），又称**高斯-克吕格投影**（Gauss–Krüger projection），简称高斯投影，是一种地图投影法，它由德国数学家高斯于1820年代创立，1912年经德国大地测量学家克吕格完善。它是一种横轴等角切椭圆柱投影：假想一个平面卷成圆筒套在球体外面，圆柱的中心轴线通过地球的中心且与赤道面夹角为零，球面上一根子午线与圆柱面相切。这样，该子午线在圆柱面上的投影为一直线，赤道面与圆柱面的交线是一条与该子午线投影垂直的直线。将圆柱面展开成平面，由这两条正交直线就构成高斯-克吕格平面直角坐标系。为减少投影变形，高斯-克吕格投影分为3°带和6°带投影。

* 麦卡托投影
* 地图投影
* 斜轴墨卡托投影
# HEALPix

HEALPix 生成的世界地图投影（H=4, K=3）。
**HEALPix** 是 **H**ierarchical **E**qual **A**rea iso**L**atitude **Pix**elisation of a 2-sphere 的縮寫，是一種用於解決二維球面像素分割問題（如地圖投影）的算法。

* 官方頁面（页面存档备份，存于互联网档案馆） 支持許多語言（C、C++、Fortran90、IDL、Java、Python）
* Java移植（页面存档备份，存于互联网档案馆）
# 彭纳投影

彭纳投影,以北纬四十五度纬线为标准纬线，能看到欧亚大陆变形较小，而远离该纬线的非洲、南美洲、大洋洲变形较大
**彭纳投影**，又称**等积准圆锥投影**，有时也被称为“战争档案投影”（Dépôt de la Guerre projection）或“西尔维纳斯投影”（Sylvanus projection）。该投影法的命名来自常常使用该方法的法国水利工程师里戈贝勒特·彭纳(Rigobert Bonne)。

该投影法的纬线为同心圆弧，圆心位于中央经线上，同一圆弧上两点的距离经比例尺换算后与实际距离相等；中心经线以及一根特殊的标准纬线保持为直线，其余经线为对称于中央经线的曲线。通过变更中心经线，可以绘制不同的映射地图。

彭纳投影中的面积与实际面积相等，没有面积变形；中央经线及标准纬线没有变形，离这两条线越远，变形越大，故全尺寸的彭纳投影地图是一个复杂的心形图案，适用于"T"形区域。所以现在彭纳投影多用于编制小比例尺的大洲图，比如欧亚大陆。

## 换算

1511年西尔维纳斯绘制的地图
彭纳投影定义为：

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_0
其中

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_2
此处*φ*为纬度，*λ*为经度，*λ*0是所选取的中央经线的经度，而*φ*1是所选取的标准纬线的纬度

反投影关系为：

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_4
其中

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_6
taking the sign of *φ*1.

特殊的彭纳投影包括正弦投影（*φ*1=0，即赤道）和维尔纳投影（*φ*1=90°即南极或北极)。所以彭纳投影可以看作是维尔纳投影向正弦投影展开中的一系列中间投影

* Cybergeo文章（英文）
* 彭纳地图投影（英文）
# 正投影[编辑]

通过正投影绘制的地球东半球
**正投影**，又称**正射投影**、**正视图投影**等，是地图学中的一种地图投影方式。与球极平面投影和心射切面投影相似，正投影是一种透视投影，即将球面射向切空间或切断平面。本投影绘制成一个球体的半球面，类似在外层空间的角度，外层是个大圆。正投影呈现的外形和范围是变形了的，在球体边缘尤为严重。

## 历史

根据已确认的史料记载，正投影在古代就已经出现并使用。前2世纪左右，古希腊的希巴克斯就通过这种方法确定星星升起和落下的位置。约前14年，维特鲁威制作日晷，并通过投影确定太阳的位置。

## 参考资料
# 联合国旗帜[编辑]

聯合國旗幟|  |
|  |
| 比例 | 2:3 或 3:5 |
| 啟用日期 | 1946年12月7日啟用 |
| 形式 | 白色聯合國徽章，置於淺藍色底旗之正中。 |
| 設計者 | 唐納·麥勞克林（僅設計徽章） |
|  |

**聯合國的旗幟和徽章**（聯合國旗幟圖案的一部分）已成為聯合國開展工作期間的組織象徵。聯合國徽章由一幅世界地圖和兩條橄欖枝組成，徽章圖案置於聯合國旗幟之上。旗幟和徽章也是希望的象徵，代表着世界各國人民對和平與團結的夢想與渴望。在動亂和衝突地區，聯合國徽章和旗幟已經成為有關各方辨認聯合國的標識。

## 徽章

會議發給的徽章別針
《聯合國憲章》封面上的徽章
聯合國徽章（或徽記）是在1945年洛杉磯聯合國國際組織會議期間設計完成的。彼時會議組織者計畫設計一個徽章，以製成徽章別針來識別各與會代表。時任美國國務卿小愛德華·斯特蒂紐斯作為美國代表團團長，意識到該臨時設計可能成為聯合國的永久象徵。於是他組織起一個由建築設計師奧利弗·倫德奎斯特帶領的委員會，後從九件作品中選擇了由設計師唐納·麥勞克林設計的一個世界地圖被橄欖枝圓環圍繞着的圖案。麥克勞林任職於美國國務院戰略情報局（OSS）視覺設計分支，其採用的世界地圖設計深受製圖師理查德·哈里森於二戰中所創製作品的影響。

徽章別針呈圓形，霧藍色底，上加有會議名稱以及舉辦地點、時間的金色字樣。中間圖案為金色橄欖枝花環托著的世界地圖，地圖以北極點為中心、方位角等距離的平面投影呈現。起初，其以會議舉辦國美國所在西經100度經線為投影圓形的垂直二分線，並截去阿根廷及以南區域。此版本的徽章設計亦使用於1945年6月簽署的《聯合國憲章》封面及各類通行證、信件抬頭等處。徽章設計以文字形式描述在1946年10月15日秘書長提交給聯合國大會的第A/107號報告書中。

> 「一幅以北極點為中心、方位角等距離的平面投影世界地圖。圖案由交叉的金色橄欖枝組成的花環相托，與白色水域交相映襯在霧藍色背景上。」地圖的投影範圍延伸至南緯40度，緯線由四個同心圓組成。
>  — 第A/107號報告書

同年因應阿根廷決定加入聯合國等情況，徽章中世界地圖隨之更換以呈現更多區域（擴至南緯60度緯線），緯線圈數固定為五圈。同時將本初子午線和日期變更線設置為投影圖的垂直二分線，以改變美國處於投影圖中心的情況，使地圖不再凸顯出任何特定國家。此版本的徽章設計以文字形式描述在1946年12月2日大會第六委員會提交給全體會議的第A/204號報告書中，並以草圖稿形式出現其附件中。

> 「一幅以北極點為中心、方位角等距離的平面投影世界地圖。圖案由交叉的金色橄欖枝組成的花環相托，與白色水域交相映襯在霧藍色背景上。」地圖的投影範圍延伸至南緯60度，緯線由五個同心圓組成。
>  — 第A/204號報告書

直到1946年12月7日聯合國大會通過通過第92/1決議，聯合國徽章方正式確定，此版本的徽章貫用至今。

> **爰決議**以下列樣式為聯合國徽記及特殊圖號，並應用之為本組織之正式鈐印。
>  — 第92/1號決議

* A107報告書描述之徽章設計
* A204報告書描述之徽章設計
* A/RES/92/1決議中正式之徽章設計

## 旗幟

聯合國旗幟早期手繪稿
聯合國的徽章正式確定後，1947年8月21日，聯合國秘書長向大會提交了一份備忘錄，指出：迫切需要一聯合國專用旗幟，用以在世界各地聯合國的派出機構，以及聯合國總部、各辦公地點和信息中心代表聯合國；並提到，為標識和保護於希臘前線的聯合國軍事觀察團人員，秘書處已指定了一面非正式的聯合國旗幟於工作中使用。旗幟設計以白色聯合國徽章，置於淺藍色底旗之正中，四周環繞英文及法文的「聯合國」字樣。另，美國方面於1943年至1948年期間，曾某種程度使用一面「榮譽旗」以代表聯合國。

不久後，1947年10月20日，聯合國大會通過了第167/2號決議，承認通過了聯合國的旗幟。

> **爰決議**聯合國旗幟應以大會一九四六年十二月七日決議案第九十二（一）所通過之正式徽記，置於淺藍色底旗之正中。
>  — 第167/2號決議

* 聯合國榮譽旗
* 聯合國旗幟 2:3比例
* 聯合國旗幟 3:5比例

## 使用

### 法規

按照大會的指令和授權，秘書長擬定了關於旗幟面積及徽章與旗底比例的條例，並採定了旗典以規定旗幟的使用，准許那些願意表示支持聯合國的組織和人民懸掛聯合國的旗幟。

* 1947年12月19日，秘書長首次頒佈《聯合國旗典》（以下簡稱「舊旗典」）。

* 1949年7月23日，首次頒佈《聯合國旗幟統一條例》（以下簡稱「條例」）。

* 1950年8月1日，對舊旗典進行了第一次修訂。

* 1952年11月11日，對舊旗典和條例一同進行了修訂。隨後於1967年1月1日，《條例》再作修正，並公告，將兩部規範全文發行於《聯合國旗典和條例》小冊子中。

* 2020年11月20日，將前期單獨的兩部規範《旗典》與《條例》合併為一新版本的《聯合國旗典》重新頒佈。

### 一般規定

* 聯合國旗幟格式為白色聯合國徽章置於淺藍色底旗之正中，且徽章與旗底（高）比例應為一比二。
* 旗幟正背面圖樣應始終同一。
* 旗幟比例應為2:3或3:5，亦或與懸掛聯合國旗幟的國家國旗比例相同，且保持聯合國徽章與旗底（高）比例不變。
* 區別不同場合懸掛之用，旗幟尺度可依其比例為：室外使用4英尺x6英尺（122公分x183公分）、室內使用3英尺x5英尺（91公分x152公分）、桌旗使用4吋x5吋（10公分x15公分）以及車輛使用8吋x12吋（20公分x30公分）。
* 旗幟製造質地應為尼龍或其他不吸水的材料。

### 旗色

與象徵着戰爭的紅色相對立，聯合國的藍色象徵和平，並已然成為其組織的重要視覺識別元素。

在聯合國旗幟獲得大會承認通過前，通常使用一種霧藍色（Smoke-blue）作為底色。而在關於旗幟的提議和決議案以及舊旗典的規範中，皆使用淺藍色（Light blue）或聯合國藍（United Nations' blue）來描述底色。於此，為便於使用，又另作規範指定底色使用淺藍色（PMS 279）。2020年11月20日頒布的《聯合國旗典》中，則直接規定了底色為淺藍色（PMS 2925）。

霧藍色
淺藍色
淺藍色

### 旗幟尊嚴

對待聯合國旗幟應保護其尊嚴為念。懸掛旗幟的禮節和場合，適當時應考慮懸掛旗幟所在國家關於懸掛其國旗所適用的法律和習俗。當旗幟因日常升掛而破損至一定程度，而無法保有其代表之尊嚴時，應以妥善方式回收避免任何誤用或褻瀆。

### 懸掛場合

* 任何聯合國領有之建築、辦公室和其他處所和房產，以及任何正式指定之官邸，應懸掛聯合國旗幟。
* 聯合國正式行程雇用之船隻和車輛，可以懸掛旗幟。（當秘書長進行正式或國事訪問時，於安保考量，車隊中僅秘書長座駕可懸掛旗幟。）
* 任何聯合國參與的會面或會議中，可以懸掛旗幟。

## 附属机构旗帜

* 联合国教科文组织旗帜
* 国际原子能机构旗帜
* 国际民航组织旗帜
* 国际劳工组织旗帜
* 國際海事組織旗帜
* 国际电信联盟旗帜
* 万国邮政联盟旗帜
* 世界粮食计划署旗帜
* 世界卫生组织旗帜
* 世界气象组织旗帜
* 联合国议会大会旗帜（提議）

## 衍生旗帜

* 波斯尼亚和黑塞哥维那国旗
* 索马里国旗，纪念联合国协助索马里托管结束与正式独立
* 联合国柬埔寨过渡时期权力机构旗帜，曾代用為柬埔寨國旗
* 南极洲与南极领地旗帜
* 美國太平洋島嶼託管地旗
* 密克罗尼西亚联邦国旗

* 國際組織會旗列表
# 等距長方投影

等距長方投影的世界地图；标准纬线为赤道。
**等距長方投影**，又称**等距圆柱投影**、**等长圆柱投影**或**平行四边形图投影**，它包括了**平面方格投影**（又称**地理投影**、**经纬度投影**或**平面海图**）这一特例。该简易地图投影法一般归功于泰尔的马里努斯（Marinus of Tyre），托勒密声称其于公元100年左右发明了此种投影方法。

这种投影将经线映射为间距恒定的垂直直线（对应于经度间隔恒定），并将纬线映射为间距恒定的水平直线（对应于纬度间隔恒定）。此投影既非等积投影，亦非等角投影。

鉴于此投影所产生的形变，它在导航或地籍制图中的应用价值有限，主要用于专题制图。尤为值得一提的是，平面方格投影已成为全球栅格数据集的标准格式，例如在Celestia、NASA World Wind、美国地质调查局太空地质学研究计划以及Natural Earth等应用中，都采用了此标准。这得益于地图上图像像素位置与其在地球或其他球形太阳系天体上对应地理位置之间特别简易的对应关系。它也常用于全景摄影（panoramic photography），以表示球形全景图像。

* 高尔-彼得斯投影
* 地图投影列表
* 麥卡托投影法