# 餘弦

|  |
| --- |
| **余弦** |
|  |
| *性質* |
|  奇偶性  |  偶  |
|  定義域  |  (-∞,∞)  |
|  到達域  |  [-1,1]  |
|  周期  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_0 （360°）  |
| *特定值* |
|  當x=0 |  1  |
|  當x=+∞  |  N/A  |
|  當x=-∞  |  N/A  |
|  最大值  |  (2 WIKINIUM\_MATH\_PH\_2 , 1)  WIKINIUM\_MATH\_PH\_4  |
|  最小值  |  ( WIKINIUM\_MATH\_PH\_5 , -1)  WIKINIUM\_MATH\_PH\_7  |
| *其他性質* |
|  渐近线  |  N/A  |
|  根  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_8 （ WIKINIUM\_MATH\_PH\_10 ）  |
|  臨界點 |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_12 （ WIKINIUM\_MATH\_PH\_14 ）  |
| 拐點 |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_16 （ WIKINIUM\_MATH\_PH\_18 ）  |
|  不動點 |  x軸為弧度時：
0.7390851332152... （42.3464588340929...°）

x軸為角度時： 0.999847741531088...° （0.0174506351083467...）  |
| k是一個整數。 |

**余弦**（cosine）是三角函数的一种。它的定义域是整个实数集，值域是 WIKINIUM\_MATH\_PH\_20 。它是周期函数，其最小正周期为 WIKINIUM\_MATH\_PH\_22 （360°）。在自变量为 WIKINIUM\_MATH\_PH\_24 （或 WIKINIUM\_MATH\_PH\_26 ，其中 WIKINIUM\_MATH\_PH\_28 为整数）时，该函数有极大值1；在自变量为 WIKINIUM\_MATH\_PH\_30 （ WIKINIUM\_MATH\_PH\_32 ）时，该函数有极小值-1。余弦函数是偶函数，其图像关于y轴对称。

## 符号说明

余弦的符号为 WIKINIUM\_MATH\_PH\_34 ，取自拉丁文cosinus。该符号最早由瑞士数学家莱昂哈德·欧拉所采用。

## 定义

### 直角三角形中

直角三角形，∠C為直角，∠A 的角度為 WIKINIUM\_MATH\_PH\_36 ， 對於 ∠A 而言，a為對邊、b為鄰邊、c為斜邊
在直角三角形中，一个锐角 WIKINIUM\_MATH\_PH\_38 的**余弦**定义为它的邻边与斜边的比值，也就是：

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_40
可以發現其定義和正割函數互為倒數。

### 直角坐标系中

设 WIKINIUM\_MATH\_PH\_42 是平面直角坐标系xOy中的一个象限角， WIKINIUM\_MATH\_PH\_44 是角的终边上一点， WIKINIUM\_MATH\_PH\_46 是P到原点O的距离，则 WIKINIUM\_MATH\_PH\_48 的余弦定义为：

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_50
### 单位圆定义

单位圆
图像中给出了用弧度度量的某个公共角。逆时针方向的度量是正角，而顺时针的度量是负角。设一个过原点的线，同*x*轴正半部分得到一个角 WIKINIUM\_MATH\_PH\_52 ，并与单位圆相交。这个交点的*y*坐标等于 WIKINIUM\_MATH\_PH\_54 。

在这个图形中的三角形确保了这个公式；半径等于斜边并有长度1，所以有了 WIKINIUM\_MATH\_PH\_56 。单位圆可以被认为是通过改变邻边和对边的长度并保持斜边等于1查看无限数目的三角形的一种方式。

对于大于 WIKINIUM\_MATH\_PH\_58 （360°）或小于 WIKINIUM\_MATH\_PH\_60 （-360°）的角度，简单的继续绕单位圆旋转。在这种方式下，余弦变成了周期为 WIKINIUM\_MATH\_PH\_62 （360°）的周期函数：

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_64
对于任何角度 WIKINIUM\_MATH\_PH\_66 和任何整数 WIKINIUM\_MATH\_PH\_68 。

### 级数定义

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_70
### 微分方程定义

由于余弦的导数是负的正弦，正弦的导数是余弦，因此余弦函数满足初值問題

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_72
这就是余弦的微分方程定义。

### 指数定义

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_74
## 恒等式

### 用其它三角函数来表示余弦

| 函数
 | sin
 | cos
 | tan
 | csc
 | sec
 | cot
 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
|  WIKINIUM\_MATH\_PH\_76
 |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_78
 |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_80
 |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_82
 |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_84
 |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_86
 |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_88
 |

### 两角和差公式

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_90
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_92
### 二倍角公式

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_94
### 三倍角公式

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_96
### 半角公式

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_98
### 幂简约公式

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_100
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_102
### 和差化积公式

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_104
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_106
### 万能公式

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_108
## 含有余弦的积分

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_110
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_112
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_114
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_116
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_118
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_120
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_122
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_124
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_126
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_128
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_130
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_132
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_134
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_136
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_138
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_140
## 特殊值

| 弳度
 |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_142
 |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_144
 |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_146
 |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_148
 |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_150
 |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_152
 |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_154
 |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_156
 |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_158
 |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_160
 |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_162
 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 角度
 |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_164
 |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_166
 |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_168
 |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_170
 |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_172
 |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_174
 |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_176
 |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_178
 |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_180
 |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_182
 |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_184
 |
| cos
 |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_186
 |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_188
 |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_190
 |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_192
 |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_194
 |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_196
 |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_198
 |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_200
 |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_202
 |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_204
 |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_206
 |

| 角度
 |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_208
 |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_210
 |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_212
 |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_214
 |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_216
 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| cos
 |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_218
 |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_220
 |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_222
 |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_224
 |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_226
 |

## 余弦定理

**余弦定理**（也叫做余弦公式）是勾股定理的扩展：

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_228
也表示为：

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_230
这个定理也可以通过把三角形分为两个直角三角形来证明。余弦定律用于在一个三角形的两个边和一个角已知时确定未知的数据。

如果这个角不包含在这两个边之间，三角形可能不是唯一的（边-边-角全等歧义）。小心余弦定律的这种歧义情况。

* 正弦
* 正切
* 餘切
* 正割
* 餘割
* 三角学
* 三角函数
* 函數
* 正弦波