Rikunarita-ORG/Wikinium huggingface dataset:
# 鞍點[编辑]

WIKINIUM\_MATH\_PH\_0 的鞍點在 (0,0)
**鞍點**（英語：Saddle point）指一個非局部極值點的駐點。鞍點這詞語來自於不定二次型 WIKINIUM\_MATH\_PH\_2 的二維圖形，像個馬鞍：在x-軸方向往上曲，在y-軸方向往下曲。

## 数学描述

廣義而說，一個光滑函數（曲線、曲面或超曲面）的鞍點鄰域的曲線、曲面或超曲面，都位於马鞍点點的切線的不同邊。

## 检验

检验二元实函数*F*(*x*,*y*)的驻点是不是鞍点的一个简单的方法，是计算函数在这个点的黑塞矩阵：如果該矩陣行列式小于0，则该点就是鞍点。例如，函数 WIKINIUM\_MATH\_PH\_4 在驻点 WIKINIUM\_MATH\_PH\_6 的黑塞矩阵是：

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_8
此矩阵有两个特征值2，－2。它的行列式小於0，因此，这个点是鞍点。然而，这个条件只是充分条件，例如，对于函数 WIKINIUM\_MATH\_PH\_10 点 WIKINIUM\_MATH\_PH\_12 是一个鞍点，但函数在原点的黑塞矩阵是零矩阵，并不小於0。

对于一般的多元函数，点是鞍点的必要条件是该点的黑塞矩阵不定。

## 性质

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_14 的鞍點在 (0,0)，不过一維鞍點看起來並不像馬鞍
在一維空間裏，鞍點是駐點，也是反曲點。因為函數圖形在鞍點由凸轉凹，或由凹轉凸，鞍點不是區域性極點。

设一個只有一個變數的函數。這函數在鞍點的一次導數等於零，二次導數換正負符號·例如，函數
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_16 就有一個鞍點在原點。

兩座山中間的鞍點（雙紐線的交叉點）
设一個擁有兩個以上變數的函數。它的曲面在鞍點好像一個馬鞍，在某些方向往上曲，在其他方向往下曲。在一幅等高線圖裏，一般來說，當兩個等高線圈圈相交叉的地點，就是鞍點。例如，兩座山中間的山口就是一個鞍點。

* 驻点
* 拐点
* 极值
* 鞍部

* Gray,, Lawrence F.; Flanigan, Francis J.; Kazdan, Jerry L.; Frank, David H; Fristedt, Bert, Calculus two: linear and nonlinear functions, Berlin: Springer-Verlag: page 375, 1990, ISBN 0-387-97388-5  引文格式1维护：冗余文本 (link)
* Hilbert, David; Cohn-Vossen, Stephan, Geometry and the Imagination 2nd, New York: Chelsea, 1952, ISBN 978-0-8284-1087-8
* von Petersdorff, Tobias, Critical Points of Autonomous Systems, Differential Equations for Scientists and Engineers (Math 246 lecture notes), 2006, （原始内容存档于2007-01-03）
* Widder, D. V., Advanced calculus, New York: Dover Publications: page 128, 1989, ISBN 0-486-66103-2  引文格式1维护：冗余文本 (link)
# 曲线[编辑]

**曲（qū）线**（curve，curved line）指动点在空间中运动方向连续变化的轨迹。直线是特殊的曲线。在现代数学中，曲线的定义是连续函数在拓扑空间上区间的图像。

**弧**（arc），即**曲线段**（curve segment），是任何光滑连续曲线上的任意一段，包括不限制在平面上的空间弧。平面弧（plane arc）有：圆弧、椭圆弧、双曲弧等；立体弧（space arc）有：圆柱螺旋线弧、鞍面上的交线弧等。而圆弧則特指圆周上任意两点之间的一段曲线。當要表示平面上或空间内一條曲線上 WIKINIUM\_MATH\_PH\_0 與 WIKINIUM\_MATH\_PH\_2 兩點之間所形成的弧（不限定为圆弧）時，會寫成 WIKINIUM\_MATH\_PH\_4 ，此表示法具有高度的普适性，可以泛指任何平面弧或空间弧。

## 历史

* 若尔当曲线定理
* 变分法（最速降線問題、等時降線）
* 希爾伯特第十六問題
* 皮亚诺曲线和其他Space-filling curve
* 卷绕数

## 定义

在数学上，一条曲线的定义为：

设 WIKINIUM\_MATH\_PH\_6 为一实数区间，即实数集的非空子集，那么曲线 WIKINIUM\_MATH\_PH\_8 就是一个连续函数 WIKINIUM\_MATH\_PH\_10 的映射，其中 WIKINIUM\_MATH\_PH\_12 为一个拓扑空间。
我们常遇到的平面曲线的拓扑空间为 WIKINIUM\_MATH\_PH\_14 。

若f是单射的，则 c是**简单曲线（simple curve）**。

若 WIKINIUM\_MATH\_PH\_16 和 WIKINIUM\_MATH\_PH\_18 ，f是**闭曲线**（closed curve）或環圈。

## 曲线方程

一般来说，当在 WIKINIUM\_MATH\_PH\_20 下一些符合一条方程的点的集合组成一条曲线时，那方程就叫那曲线的**曲线方程**（curvilinear equation，curve equation）。

例如， WIKINIUM\_MATH\_PH\_22 是单位圆的曲线方程，因为有且仅有单位圆上的点符合这条方程；因这些点组成一个单位圆，故该方程正代表着平面上的单位圆。

## 曲线长度

若 WIKINIUM\_MATH\_PH\_24 ，则其长度是

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_26

### 平面曲线

例如，若一条平面曲线可表达成标准方程 WIKINIUM\_MATH\_PH\_28 ，那么它的长度就是：

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_30

其中 WIKINIUM\_MATH\_PH\_32 、 WIKINIUM\_MATH\_PH\_34 为 WIKINIUM\_MATH\_PH\_36 的上下限。

若平面曲线可表达成参数方程 WIKINIUM\_MATH\_PH\_38 ，那么它的长度就是：

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_40

其中 WIKINIUM\_MATH\_PH\_42 、 WIKINIUM\_MATH\_PH\_44 为 WIKINIUM\_MATH\_PH\_46 的上下限。

## 参考

* （英文）MacTutor著名曲線列圖 （页面存档备份，存于互联网档案馆）
# 线段[编辑]

一人正在试作线段，繪于1699年。
在數學上，**線段**是直線上两点间的一段，这两个点称为端点。參見區間。

當終點均在圓周上，該線段稱為弦。當它們都是多邊形的頂點，若它們是毗鄰的頂點該線段為邊，否則就是對角線。

在生活應用上，主要有三種——連結、隔開、刪除

1. 連結
將不同處的兩者做關連性的鍵結，其他如指示性補充亦同。
2. 隔開
將同一處的兩區域分離，其他如景深、等位線亦同。
3. 刪除
例：於撰寫文章時，為保留創作的過程而將不妥之文句以線劃除，其他如路線中的各站亦同。

* Broken line
* 區間
* 直线
* Line segment intersection
* Spirangle
* Segment addition postulate

## 参考来源

## 拓展阅读

* 大卫·希尔伯特 The Foundations of Geometry. The Open Court Publishing Company 1950, p. 4

* WIKINIUM\_MATH\_PH\_0
* Line Segment at PlanetMath
* 线段的定义 （页面存档备份，存于互联网档案馆） 通过互动动画演示
* 用尺规复制线段 （页面存档备份，存于互联网档案馆）
* 用尺规将线段划分为N个相等的部分 动画演示
# 射线[编辑]

**射線**，在光學中是光的理想化幾何模型，通過選擇與實際光的波前垂直並指向能量流的方向。能量流動之方向的曲線而獲得。射線用於類比通過光學系統的光的傳播，方法是將實際光場劃分為離散光線，這些光線可以通過線軌法的技術計算在系統中的傳播。這使得即使是非常複雜的光學系統也可以通過電腦進行數學分析或模擬（類比）。線軌法使用馬克士威方程組的近似解，只要光波在尺寸遠大於光的波長的物體中傳播，這些近似解就有效。“射線光學”或“幾何光學”不描述諸如繞射之類的現象，這需要波光學理論。一些波現象，如干涉，可以通過在光線模型中添加相位在有限的情況下進行建模。

## 定義

射線是與光的波前（直或曲）垂直的直線；它的切線是共線性與波矢量。均勻介質中的光線是直的。它們在兩個不同介質之間的介面處彎曲，並且可以在折射率變化的介質中彎曲。幾何光學描述了光線如何通過光學系統傳播。要成像的對象被視為獨立點源的集合，每個點源產生球面波前和相應的向外射線。來自每個物件點的光線可以通過數學方式傳播，以定位圖像上的相應點。

對射線的更嚴格的定義來自費馬原理，該原理指出，光線在兩點之間採取的路徑是可以在最短時間內穿越的路徑。

## 特殊射線

在光學建模中有許多特殊射線用於分析光學系統。它們在下面定義和描述，並按它們用於建模的系統類型分組。

### 與表面的相互作用

在表面的射線圖，此處 WIKINIUM\_MATH\_PH\_0 is the 入射角， WIKINIUM\_MATH\_PH\_2 是反射角，和 WIKINIUM\_MATH\_PH\_4 是折射角（司乃耳定律）。
* **入射線**是照射到表面的光線。該射線與垂直或正交到表面的角度是入射角。
* **反射線**是對應於給定的入射線，是表示表面反射光線的射線。表面法線與反射線之間的角度稱為反射角。反射定律說，對於鏡面反射（非散射）表面，反射角始終等於入射角。
* **折射線**或**透射線**是對應於給定的入射光線表示通過表面透射的光。這種射線與法線之間的角度被稱為折射角，它由司乃耳定律給出。能量守恆定律要求入射光線中的功率必須等於折射光線中的功率，反射光線中的功率以及在表面吸收的任何功率的總和。
* 如果材料是雙折射，折射光線可能會分裂成**普通射線**和**非常射線**，它們在通過雙折射材料時會經歷不同的折射率。

### 光學系統

## 幾何學

在歐幾里得幾何中，直线上的一点和它一旁的部分所组成的图形称为**射线**或**半直線**。

## 光學

在幾何光學中，射線是描述光線或其他電磁輻射傳播的方向的一條曲線。這種射線和物理光學的波前垂直。

在大部分的簡單情況，在給定的傳導體內的光射線是直線。光線經過一個傳導體到另一個傳導體，其路徑符合司乃耳定律的折射或全內部反射。

* Line (curve), 数学百科全书, EMS Press, 2001 （英语）
* WIKINIUM\_MATH\_PH\_6
* Equations of the Straight Line （页面存档备份，存于互联网档案馆） at Cut-the-Knot
# 帕斯卡蜗线

**帕斯卡蜗线**（法語：**Limaçon de Pascal**），或直接称作蜗线，是一种平面曲线，若平面上有一直径为 WIKINIUM\_MATH\_PH\_0 的圆，从圆周上任意一定点 WIKINIUM\_MATH\_PH\_2 引射线 WIKINIUM\_MATH\_PH\_4 ，交圆于点 WIKINIUM\_MATH\_PH\_6 。在 WIKINIUM\_MATH\_PH\_8 上，从点 WIKINIUM\_MATH\_PH\_10 分别向两侧截取长度为b的线段 WIKINIUM\_MATH\_PH\_12 和 WIKINIUM\_MATH\_PH\_14 ,当射线 WIKINIUM\_MATH\_PH\_16 绕定点O旋转时，点P1、P2所形成的轨迹就叫做帕斯卡蜗线。帕斯卡蜗线的形状随 WIKINIUM\_MATH\_PH\_18 的值而变化，有时候是心脏线，有时候有内外两支，类似蜗牛壳，故被称作“limaçon”，这个词的本义是“小蜗牛”，源于拉丁语的 “limax”。

## 历史

丢勒所画出的蜗线
数学家布莱兹·帕斯卡的父亲，艾蒂安·帕斯卡（Étienne Pascal）也是一位数学爱好者，他曾于1637年在一封信中提到了自己对蜗线的研究。吉尔·罗伯瓦（Gilles de Roberval）曾用蜗线求过曲线的切线，和三等分角，他将该曲线称之为帕斯卡蜗线。科学史研究者认为艾蒂安·帕斯卡之前一百余年的德国画家阿尔布雷希特·丢勒就曾对这一曲线进行过研究，在他1525年出版的《量度艺术教程》一书中，丢勒给出了蜗线的画法。

## 方程

以定点O为极点，则帕斯卡蜗线的极坐标方程如下：

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_20
其中 WIKINIUM\_MATH\_PH\_22 为给定圆的直径， WIKINIUM\_MATH\_PH\_24 为Q点向两侧所截取的定长。

通过极坐标系和直角坐标系的转换关系，可得到平面直角坐标系下的方程：

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_26
需注意此时的方程是以定点O为原点的，若以给定圆的圆心为原点，则方程不同。

如果使用参数方程表示：

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_28
可以转换为在复平面里的表达式：

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_30
## 帕斯卡蜗线的不同形态

三种帕斯卡蜗线
* WIKINIUM\_MATH\_PH\_32 ：蜗线没有绕扣和尖点。
* WIKINIUM\_MATH\_PH\_34 ：蜗线带有尖点，此时方程变为：
	+ WIKINIUM\_MATH\_PH\_36 or WIKINIUM\_MATH\_PH\_38 ，即心脏线。
* WIKINIUM\_MATH\_PH\_40 ：蜗线带有绕扣，形成内外两圈。
* WIKINIUM\_MATH\_PH\_42 ：此时方程变为：
	+ WIKINIUM\_MATH\_PH\_44 , 通过适当的平移之后可以得到
	+ WIKINIUM\_MATH\_PH\_46

这属于玫瑰线一类，被称为帕斯卡三等分角线（Limaçon trisectrix）。

* WIKINIUM\_MATH\_PH\_48 : 随着 WIKINIUM\_MATH\_PH\_50 的值的进一步增大，帕斯卡蜗线的内圈和外圈逐渐接近，趋向于同一个圆。

## 所围面积

帕斯卡蜗线所围的面积为 WIKINIUM\_MATH\_PH\_52 ，但要注意当 WIKINIUM\_MATH\_PH\_54 此处的面积为外圈所围的面积 WIKINIUM\_MATH\_PH\_56 +内圈所围的面积 WIKINIUM\_MATH\_PH\_58 ，或者可以认为是两圈之间的面积 WIKINIUM\_MATH\_PH\_60 +两倍的内圈面积所得。

## 和其他曲线的关系

帕斯卡蜗线是圆的垂足曲线的演示
* 若平面上有两个点O和P，则以O为圆心，且过P点的所有圆的包络线是帕斯卡蜗线。

* 若给定一个圆和一点P，则从P点向圆的任何一条切线所作垂线的垂足形成的垂足曲线是帕斯卡蜗线。

* 圆锥曲线的反演变换结果是帕斯卡蜗线，三种不同的圆锥曲线正好对应帕斯卡蜗线的三种情况：
	+ 抛物线反演后为具有绕扣的蜗线
	+ 双曲线反演后为心脏线
	+ 椭圆反演后为没有尖点和绕扣的蜗线。

* 帕斯卡蜗线可以看作是笛卡尔卵形线的特例。
* 一个内壁是球面的反射体的回光线（光线照在内壁上反射线的包络线）是帕斯卡蜗线。

## 参考阅读

* Jane Grossman and Michael Grossman. "Dimple or no dimple" （页面存档备份，存于互联网档案馆）, *The Two-Year College Mathematics Journal*, January 1982, pages 52–55.
* Howard Anton. *Calculus*, 2nd edition, page 708, John Wiley & Sons, 1984.
* Howard Anton. [1] （页面存档备份，存于互联网档案馆） pp. 725 – 726.
* Howard Eves. *A Survey of Geometry*, Volume 2 (pages 51,56,273), Allyn and Bacon, 1965.

## 外在链接

* WIKINIUM\_MATH\_PH\_62 （页面存档备份，存于互联网档案馆）
* "Limacon of Pascal" at The MacTutor History of Mathematics archive （页面存档备份，存于互联网档案馆）
* "Limaçon" at www.2dcurves.com （页面存档备份，存于互联网档案馆）
* "Limaçons de Pascal" at Encyclopédie des Formes Mathématiques Remarquables （页面存档备份，存于互联网档案馆） (in French)
* "Limacon of Pascal" at Visual Dictionary of Special Plane Curves （页面存档备份，存于互联网档案馆）
* "Limacon of Pascal" on PlanetPTC (Mathcad)
# 阿基米德螺线[编辑]

**阿基米德螺旋線**（Archimedean spiral），亦称“等速螺线”。当一点P沿动射线OP以等速率运动的同时，这射线又以等角速度绕点O旋转，点P的轨迹称为“阿基米德螺线”。它的极坐标方程为： WIKINIUM\_MATH\_PH\_0 。这种螺线的每条臂的间距永远相等于 WIKINIUM\_MATH\_PH\_2 。

* 阿基米德螺線360度
* 極坐標圖

## 应用

渦捲式壓縮機運轉原理
準確地利用阿基米德螺線，可以三等分任意角。但是因為阿基米德螺線無法利用尺規作出，故幾何三大難題中的三等份任意角仍然穩坐其寶座。

## 阿基米德螺線的畫法

* 一、以適當長度（OA）為半徑，畫一圓O。
* 二、作一射線OA。
* 三、作一點P於射線OA上。
* 四、模擬點A沿圓O移動，點P沿射線OA移動。
* 五、畫出點P的軌跡。
* 六、結果。（隱藏圓O、射線OA &點P）

* 双曲螺线
* 圆内螺线
* 柯奴螺线
* 等角螺线
* 费马螺线
* 连锁螺线
# 摆线[编辑]

一条由滚动的圆所生成的摆线
在数学中，**摆线**（Cycloid）的定义为圆在一条直线上滚动时，圆边界上一定点所形成的轨迹。它是一般旋轮线的一种，亦称**圆滚线**。

摆线也是最速降线问题和等时降落问题的解。

## 历史

摆线的研究最初开始于库萨的尼古拉，之后马兰·梅森也有针对摆线的研究。1599年伽利略为摆线命名。1634年吉勒斯·德·罗贝瓦勒指出摆线一拱的區域面积是滾動圆的面积的三倍。1658年克里斯多佛·雷恩也向人们指出摆线的长度是滾動圆的直径的四倍。在这一时期，伴随着许多发现，也出现了众多有关发现权的争议，甚至抹杀他人工作的现象，而因此摆线也被人们称作“几何学中的海伦”（The Helen of Geometers）。

## 方程式

由半径为2的圆所生成的摆线
过原点半径为r的摆线参数方程为

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_0
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_2
在这里实参数t是在弧度制下，圆滚动的角度；摆线的第一道拱由参数t在(0, 2π)区间内的点组成。对每一个给出的t，圆心的坐标为(rt, r)。

通过替换解出t可以求的笛卡尔坐标方程为

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_4
也可寫成

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_6
摆线也满足下面的微分方程。

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_8
## 面积

一条由半径为r的圆所生成的拱形面积可以由下面的参数方程界定：

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_10
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_12
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_14
微分，

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_16
于是可以求得

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_18
## 弧长

弧形的长度可以由下面的式子计算出：

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_20
## 其它相关联的曲线

一些曲线同摆线紧密相关。当我们弱化定点只能固定在圆边界上时，我们得到了短擺線（curtate cycloid）和長擺線（prolate cycloid），兩者合稱為次擺線（trochoid），前面的情形是定点在圆的内部，后者则是在圆外。次摆线则是上述三种曲线的统称。更进一步，如果我们让圆也沿着一个圆滚动而不是直线的话，我们会得到外摆线（epicycloid，沿着圆的外部运动，定点在圆的边缘），内摆线（hypocycloid，沿着圆内部滚动，定点在圆的边缘）以及外旋轮线（epitrochoid）和内旋轮线（hypotrochoid，定点可以在圆内的任一点包括边界。）

## 应用

Cycloidal arches at the Kimbell Art Museum
在建筑物的设计方面，摆线曾被路易·卡恩用来设计德克萨斯州沃思堡的建筑金贝尔艺术博物馆。
它也曾被用于设计新罕布什尔州汉诺威的霍普金斯中心。

## 参考

* **An application from physics**: Ghatak, A. & Mahadevan, L. Crack street: the cycloidal wake of a cylinder tearing through a sheet. Physical Review Letters, 91, (2003).  （页面存档备份，存于互联网档案馆）

* Wells D. The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Geometry. New York: Penguin Books. 1991: 445–47. ISBN 0-14-011813-6.

* WIKINIUM\_MATH\_PH\_22
* Cycloids （页面存档备份，存于互联网档案馆） at cut-the-knot
* A Treatise on The Cycloid and all forms of Cycloidal Curves （页面存档备份，存于互联网档案馆）, monograph by Richard A. Proctor, B.A. posted by Cornell University Library （页面存档备份，存于互联网档案馆）.
* Cicloides y trocoides
* *Cycloid Curves （页面存档备份，存于互联网档案馆）* by Sean Madsen with contributions by David von Seggern, Wolfram Demonstrations Project.
# 悬链线

不同的悬链线
鐵鏈形式的悬链线。
蜘蛛絲形成多個（近似的）悬链线。
**悬链线**（英語：catenary）是一种常用曲线，物理上用于描绘質量均勻分佈而不可延伸的長鏈悬掛在两支点间，因均勻引力作用下而形成向下彎曲之曲線，因此而得名。

雖然彎曲的形狀看似二次方的拋物線，但是1638年在伽利略的《Two New Sciences》中證明因為繩子的張力會隨著吊掛重量的不同，在底端為最小、愈高的地方愈大，如此一來，它所形成的形狀就不是拋物線。

隨後在1670年胡克根據力學推導出懸鏈線的數學特性。1691年萊布尼茲、惠更斯、約翰·白努利近一步推导出數學模型。

它的公式为：

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_0 或者简单地表示为 WIKINIUM\_MATH\_PH\_2
其中cosh是雙曲余弦函数， WIKINIUM\_MATH\_PH\_4 是一个由绳子本身性质和悬挂方式决定的常数， WIKINIUM\_MATH\_PH\_6 軸為其準線。具体来说， WIKINIUM\_MATH\_PH\_8 ，其中 WIKINIUM\_MATH\_PH\_10 是重力加速度， WIKINIUM\_MATH\_PH\_12 是线密度（假设绳子密度均匀），而 WIKINIUM\_MATH\_PH\_14 是绳子上每一点处张力的水平分量，它取决于绳子的悬挂方式；若绳子两端在同一水平面上，则下面的方程决定了 WIKINIUM\_MATH\_PH\_16

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_18
其中L是绳子总长的一半，d是端点距离的一半。

## 方程的推导

表达式的证明

如右图，设最低点 WIKINIUM\_MATH\_PH\_20 处受水平向左的拉力 WIKINIUM\_MATH\_PH\_22 ，右悬挂点处表示为 WIKINIUM\_MATH\_PH\_24 点，在 WIKINIUM\_MATH\_PH\_26 弧线区段任意取一段设为 WIKINIUM\_MATH\_PH\_28 点，则 WIKINIUM\_MATH\_PH\_30 受一个斜向上的拉力 WIKINIUM\_MATH\_PH\_32 ，设 WIKINIUM\_MATH\_PH\_34 和水平方向夹角为 WIKINIUM\_MATH\_PH\_36 ，绳子的质量为 WIKINIUM\_MATH\_PH\_38 ,受力分析有：

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_40 ；

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_42 ，

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_44 ，

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_46 ，　其中 WIKINIUM\_MATH\_PH\_48 是右段 WIKINIUM\_MATH\_PH\_50 绳子的长度， WIKINIUM\_MATH\_PH\_52 是绳子线重量密度， WIKINIUM\_MATH\_PH\_54 为切线方向，记 WIKINIUM\_MATH\_PH\_56 , 代入得微分方程 WIKINIUM\_MATH\_PH\_58 ;

利用弧长公式 WIKINIUM\_MATH\_PH\_60 ;

所以 WIKINIUM\_MATH\_PH\_62 ;

再把 WIKINIUM\_MATH\_PH\_64 代入微分方程得 WIKINIUM\_MATH\_PH\_66

对于 WIKINIUM\_MATH\_PH\_68 设 WIKINIUM\_MATH\_PH\_70 微分处理

得 WIKINIUM\_MATH\_PH\_72

其中 WIKINIUM\_MATH\_PH\_74 ;

对(2)分离常量求积分

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_76

得 WIKINIUM\_MATH\_PH\_78 ，即 WIKINIUM\_MATH\_PH\_80

其中 WIKINIUM\_MATH\_PH\_82 为反双曲函数;

当 WIKINIUM\_MATH\_PH\_84 时， WIKINIUM\_MATH\_PH\_86 ；

带入得 WIKINIUM\_MATH\_PH\_88 ；

整理得 WIKINIUM\_MATH\_PH\_90

## 工程中的应用

悬索桥、双曲拱桥、架空电缆都用到悬链线的原理。
在工程中有一种应用， WIKINIUM\_MATH\_PH\_92 称作悬链系数。如果我们改变公式的写法，会给工程应用带来很大帮助，公式及图像如下：

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_94

还有以下几个公式，可能也有用：

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_96
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_98
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_100
其中 WIKINIUM\_MATH\_PH\_102 是曲线中某点到0点的链索长度， WIKINIUM\_MATH\_PH\_104 是该点的正切角， WIKINIUM\_MATH\_PH\_106 是0点处的水平张力， WIKINIUM\_MATH\_PH\_108 是链索的单位重量。利用上述公式即能计算出任意点的张力。

## 參考資料
# 漸伸線[编辑]

**漸伸線**（involute）(或稱**漸開線**(evolvent))和**漸屈線**（evolute）是曲線的微分幾何上互為表裡的概念。若曲線A是曲線B的漸伸線，曲線B是曲線A的漸屈線。

在曲線上選一定點*S*。有一動點*P*由*S*出發沿曲線移動，選在*P*的切線上的*Q*，使得曲線長*SP* 和直線段長*PQ* 相同。漸伸線就是Q的軌跡。

若曲線B有參數方程 WIKINIUM\_MATH\_PH\_0 ，其中 WIKINIUM\_MATH\_PH\_2 ，曲線A的方程為 WIKINIUM\_MATH\_PH\_4 。

曲線的漸屈線是該曲線每點的曲率中心的集。

若該曲線有參數方程 WIKINIUM\_MATH\_PH\_6 （ WIKINIUM\_MATH\_PH\_8 ），則其漸屈線為

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_10 。
每條曲線可有無窮多條漸伸線，但只有一條漸屈線。

| 漸屈線
 | 漸伸線
 |
| --- | --- |
| 懸鏈線
 | 曳物線
 |
| 圓內螺線／外擺線
 | 相似的圓內螺線／外擺線
 |
| 擺線
 | 相同的擺線
 |
| 半立方拋物線
 | 拋物線
 |

## 參數化曲線

漸開線方程曲線的參數化定義的函數**( x(t) , y(t) )** 是:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_12

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_14

## 範例

|  |  |  |
| --- | --- | --- |
|  | 圓的漸伸線 (反向, by unwinding) | 懸鏈線的漸開線是一個 曳物線。 |

### 圓的漸伸線

圓的漸伸線會形成一個類似阿基米德螺線的圖形。

* 在笛卡兒坐標系中，一個圓的漸開線的參數方程可以寫成：

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_16
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_18
其中 WIKINIUM\_MATH\_PH\_20 是圓的半徑， WIKINIUM\_MATH\_PH\_22 為參數

* 在 極坐標系中， WIKINIUM\_MATH\_PH\_24 一個圓的漸開線的參數方程可以寫成：

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_26
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_28
其中 WIKINIUM\_MATH\_PH\_30 是圓的半徑 WIKINIUM\_MATH\_PH\_32 為參數

通常，一個圓的漸開線常被寫成寫成：

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_34
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_36 .
歐拉建議使用圓的漸開線作為齒輪的形狀, 這個設計普遍存在於目前使用，稱為漸開線齒輪。

### 懸鏈線的漸開線

一個懸鏈線的漸開線 會通過此懸鏈線的頂點 ，形成曳物線。 在笛卡兒坐標系中，一個懸鏈線的漸開線的參數方程可以寫成：

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_38

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_40

其中*t* 是參數，而sech是雙曲正割函數(1/cosh(x))

衍生

用 WIKINIUM\_MATH\_PH\_42

我們得到 WIKINIUM\_MATH\_PH\_44

且 WIKINIUM\_MATH\_PH\_46 。

替代成 WIKINIUM\_MATH\_PH\_48

可得到 WIKINIUM\_MATH\_PH\_50 。

### 擺線的漸開線

*一個* 擺線的漸開線是另一個與它 全等的擺線 在笛卡兒坐標系中，一個擺線的漸開線的參數方程可以寫成：

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_52
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_54
其中*t*是角度，*r*是半徑

* 漸屈線
* 渦旋壓縮機
* 漸開線齒輪

* Xah: Special Plane Curves: Involute （页面存档备份，存于互联网档案馆）, Evolute （页面存档备份，存于互联网档案馆）
* Mathworld （页面存档备份，存于互联网档案馆）
# 渐近线[编辑]

在解析几何和微分学中，曲线的**渐近线**（英語：asymptote）是一条使得当 WIKINIUM\_MATH\_PH\_0 或 WIKINIUM\_MATH\_PH\_2 坐标之一或两者趋于无穷大时，曲线与该线之间的距离接近零的线。在射影几何和相关上下文中，曲线的渐近线是在无穷大点处与曲线相切的线。

渐近线分为三种类型：水平、垂直和倾斜。对于由函数 WIKINIUM\_MATH\_PH\_4 的图给出的曲线，水平渐近线是水平线，函数的图随着 WIKINIUM\_MATH\_PH\_6 趋于 WIKINIUM\_MATH\_PH\_8 或 WIKINIUM\_MATH\_PH\_10 趋近于水平线。垂直渐近线是垂直线，函数在该垂直线附近无限增长。斜渐近线的斜率非零但有限，因此当 WIKINIUM\_MATH\_PH\_12 趋于 WIKINIUM\_MATH\_PH\_14 或 WIKINIUM\_MATH\_PH\_16 时，函数的图接近该斜率。

更一般地说，如果两条曲线之间的距离趋于无穷大，则两条曲线之间的距离趋向于零，则一条曲线是另一条曲线的曲线渐近线，尽管术语“渐近线”本身通常是为线性渐近线保留的。

渐近线传达有关大曲线特性的信息，确定函数的渐近线是绘制函数图的重要步骤。从广义上讲，对功能渐近线的研究是渐近分析主题的一部分。当任意曲线上一点 WIKINIUM\_MATH\_PH\_18 沿曲线无限远离原点时，如果 WIKINIUM\_MATH\_PH\_20 到一条直线（或另外一条曲线）的距离无限趋近于零，那么这条直线（曲线）称为这条曲线的**渐近线**。數學上的定義則是：若函數 WIKINIUM\_MATH\_PH\_22 的圖形收斂，則漸近線為 WIKINIUM\_MATH\_PH\_24 。

## 例解

例如，直线 WIKINIUM\_MATH\_PH\_26 是双曲线 WIKINIUM\_MATH\_PH\_28 的渐近线，因为双曲线上的点 WIKINIUM\_MATH\_PH\_30 到直线 WIKINIUM\_MATH\_PH\_32 的距离 WIKINIUM\_MATH\_PH\_34 ；当 WIKINIUM\_MATH\_PH\_36 无限趋近于0时， WIKINIUM\_MATH\_PH\_38 也无限趋近于0。所以按照定义，直线 WIKINIUM\_MATH\_PH\_40 是该双曲线的渐近线。同理，直线 WIKINIUM\_MATH\_PH\_42 也是该双曲线的渐近线。

对于 WIKINIUM\_MATH\_PH\_44 来说，如果当 WIKINIUM\_MATH\_PH\_46 时，有 WIKINIUM\_MATH\_PH\_48 （左右極限不一定相等），就把 WIKINIUM\_MATH\_PH\_50 叫做 WIKINIUM\_MATH\_PH\_52 的垂直渐近线；如果当 WIKINIUM\_MATH\_PH\_54 时，有 WIKINIUM\_MATH\_PH\_56 ，就把 WIKINIUM\_MATH\_PH\_58 叫做 WIKINIUM\_MATH\_PH\_60 的水平渐近线。例如， WIKINIUM\_MATH\_PH\_62 是曲线 WIKINIUM\_MATH\_PH\_64 的水平渐近线。

## 求法

### 依据

求渐近线，可以依据以下结论：

若极限 WIKINIUM\_MATH\_PH\_66 存在，且极限 WIKINIUM\_MATH\_PH\_68 也存在，那么曲线 WIKINIUM\_MATH\_PH\_70 具有渐近线 WIKINIUM\_MATH\_PH\_72 。

### 例子

例：求 WIKINIUM\_MATH\_PH\_74 的渐近线。

解：(1) WIKINIUM\_MATH\_PH\_76 为其垂直渐近线。

(2) WIKINIUM\_MATH\_PH\_78 ，即 WIKINIUM\_MATH\_PH\_80 ；

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_82 ，即 WIKINIUM\_MATH\_PH\_84 ；

所以 WIKINIUM\_MATH\_PH\_86 也是其渐近线。
# 弦 (幾何)

**弦**是一個几何术语，也是一個圖論概念。

## 幾何術語

### 曲線

在几何学中，若一线段的两个端点都在曲線上，则该线段称作该曲線的**弦**。圓的任何弦的垂直平分線都會通過圓心。

### 三角形

**弦**可以指直角三角形上的斜边。

## 圖論概念

**弦**在圖論裡代表連接一個環上不相鄰的兩個點的一條邊。

## 三角函數

最早的三角函數表是以圓型的弦之長度來建表的。例如喜帕恰斯列出了每7+1/2度的弦函數表。在公元二世紀，亞歷山大的托勒密在他的天文學書《天文學大成》建了更詳盡的弦長表——托勒密全弦表，表中以直徑120的圓為基礎，列出了從1/2度到180度每1/2度的弦長表，被視為是最早的三角函數表。計算弦長的函數可以表示為 WIKINIUM\_MATH\_PH\_0 ，其代表了特定角度的角在單位圓上的弦長，與其他三角函數的關聯為：

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_2

* 弦函數

## 參考文獻
# 矢 (幾何)

圓弧的矢、弦和半徑
圓弧的**矢**（sagitta，有時縮寫成**sag**）或**弓形高**是指該圓弧對應的弦之中點到弧之中點的距離。
在建築學中，矢廣泛用於計算跨越一定高度和距離所需的弧度，並且在光學中用於評估球面鏡或透鏡的厚度。矢的英文sagitta來自拉丁文sagitta意思是「箭」。

三角函數的正矢函數正是得名於**矢**，在割圓八線中，矢對應到正矢。

矢與弓形高是相似的概念，差別僅在矢專指一個弧中點到弧兩端連線之中點的那條線，而弓形高是弓形的高。矢與弧相關，而弓形高與弓形相關。

## 公式

在下列等式中， WIKINIUM\_MATH\_PH\_0 代表矢（弓形高）， WIKINIUM\_MATH\_PH\_2 為圓的半徑， WIKINIUM\_MATH\_PH\_4 為圓弧兩端點的距離，也就是弦長。其中半弦 WIKINIUM\_MATH\_PH\_6 和弓心距 WIKINIUM\_MATH\_PH\_8 正好是直角三角形的兩條邊，半徑 WIKINIUM\_MATH\_PH\_10 剛好是其斜邊，根據勾股定理則有：

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_12
由此可以推導出矢 WIKINIUM\_MATH\_PH\_14 、弦 WIKINIUM\_MATH\_PH\_16 和半徑 WIKINIUM\_MATH\_PH\_18 的關係式：

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_20
矢也可以透過正矢函數來計算出來。若圓弧對應的圓心角為 WIKINIUM\_MATH\_PH\_22 ，令 WIKINIUM\_MATH\_PH\_23 ，則矢為：

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_24
## 近似值

當矢相對於半徑很小時，可以使用以下公式來近似計算：

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_26
或者，如果矢長（弓形高）很小，且已知矢長、半徑和弦長，則可以透過以下公式來估計計弧長：

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_28
其中， WIKINIUM\_MATH\_PH\_30 是弧長。這個公式為中國數學家沈括所知，兩個世紀後，郭守敬提出了一個更準確的公式。

* 弦 (幾何)
* 弧
* 弓形

## 參考文獻
# 垂直平分線

垂直平分線的尺規作圖。
**垂直平分線**，或稱**中垂線**，指一垂直於某個線段且經過該線段中點之直線。两个成轴对称的点连成的线段被其对称轴垂直平分。中垂線亦可成為平角的角平分線。

## 尺規作圖

分別以該線段兩端點為圓心，大於線段一半之等長長度為半徑畫弧，兩弧相交之兩點連接成的直線即為該線段的垂直平分線。

## 垂直平分線性質

垂直平分線上任一點到線段兩端點等距。
若直線 WIKINIUM\_MATH\_PH\_0 為 WIKINIUM\_MATH\_PH\_2 之垂直平分線，則直線 WIKINIUM\_MATH\_PH\_4 上任意一點 WIKINIUM\_MATH\_PH\_6 可以使線段 WIKINIUM\_MATH\_PH\_8

垂直平分线上任一点与线段两端点相连构成的角被垂直平分线所平分。
直线 WIKINIUM\_MATH\_PH\_10 平分 WIKINIUM\_MATH\_PH\_12 。

### 證明

在 WIKINIUM\_MATH\_PH\_14 和 WIKINIUM\_MATH\_PH\_16 中：

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_18 (定義),

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_20 (定義),

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_22 (公共邊)

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_24

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_26 , 且 WIKINIUM\_MATH\_PH\_28

(Q.E.D.)

## 外心

任意三角形 WIKINIUM\_MATH\_PH\_30 中， WIKINIUM\_MATH\_PH\_32 、 WIKINIUM\_MATH\_PH\_34 、 WIKINIUM\_MATH\_PH\_36 中垂線交於一點 WIKINIUM\_MATH\_PH\_38 ，則我們稱此點 WIKINIUM\_MATH\_PH\_40 為三角形 WIKINIUM\_MATH\_PH\_42 的外心。

鈍角三角形的外心恆在圖形外部，直角三角形的外心恆在斜邊中點，銳角三角形的外心恆在圖形內部。

* 平分線
* 角平分線
* 幾何學
* 直線
* 外心

* The Angle Bisector（页面存档备份，存于互联网档案馆） at cut-the-knot
* Angle Bisector definition. Math Open Reference（页面存档备份，存于互联网档案馆） With interactive applet
* Line Bisector definition. Math Open Reference（页面存档备份，存于互联网档案馆） With interactive applet
* Perpendicular Line Bisector.（页面存档备份，存于互联网档案馆） With interactive applet
* Animated instructions for bisecting an angle（页面存档备份，存于互联网档案馆） and bisecting a line（页面存档备份，存于互联网档案馆） Using a compass and straightedge
* WIKINIUM\_MATH\_PH\_44
# 星形线[编辑]

星形线
繪製星形线
**星形线**（**astroid**）或稱為**四尖瓣線**（**tetracuspid**），是一個有四個尖點的內擺線，也屬於超橢圓的一種。所有星形线皆可以依以下的方程式比例縮放而得：

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_0
其英文名稱得名自希臘文的「星星」，星形线幾乎和橢圓的渐屈线相同。

若讓一個半徑為 WIKINIUM\_MATH\_PH\_2 的圓在一個半徑為1的圓內部，延著圓的圓周旋轉，小圓圓周上的任一點形成的軌跡即為星形线。星形线的參數方程為：

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_4
星形线是一個幾何虧格為0代數曲線的實數軌跡，其方程式如下：

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_6
因此星形线為六次曲線，在實數平面上有四個尖瓣的奇点，分別是星形线的四個頂點，在無限遠處還有二個複數的尖瓣的奇點，四個重根的複數奇點，因此星形线共有十個奇点。

星形线的對偶曲線是十字架形曲線，其方程式為 WIKINIUM\_MATH\_PH\_8 。星形線的渐屈线為另一個二倍大的渐屈线。

一個半徑為 WIKINIUM\_MATH\_PH\_10 之圓的內擺線構成的星形线，其面積為 WIKINIUM\_MATH\_PH\_12 ，周長為 WIKINIUM\_MATH\_PH\_14 。

## 相關條目

* 三尖瓣線：一個有三個尖瓣的內擺線
* Stoner–Wohlfarth星形线：星形线在磁學中的應用。

## 參考資料

* J. Dennis Lawrence. A catalog of special plane curves. Dover Publications. 1972: 4–5,34–35,173–174. ISBN 0-486-60288-5.
* Wells D. The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Geometry. New York: Penguin Books. 1991: 10–11. ISBN 0-14-011813-6.
* R.C. Yates. Astroid. A Handbook on Curves and Their Properties. Ann Arbor, MI: J. W. Edwards. 1952: 1 ff.

* WIKINIUM\_MATH\_PH\_16
* "Astroid" at The MacTutor History of Mathematics archive （页面存档备份，存于互联网档案馆）
* "Astroïde" at Encyclopédie des Formes Mathématiques Remarquables （页面存档备份，存于互联网档案馆） (in French)
* Article on 2dcurves.com
* Visual Dictionary Of Special Plane Curves, Xah Lee （页面存档备份，存于互联网档案馆）
* Bars of an Astroid （页面存档备份，存于互联网档案馆） by Sándor Kabai, The Wolfram Demonstrations Project.
# 三尖瓣线

紅色的即為三尖瓣线
**三尖瓣线**（tricuspoid）也稱為**施泰纳曲線**（Steiner curve），是有三個尖點的圆内螺线，是一個圓繞著直徑為其三倍的圓內側無滑動滾動時，圓上一點產生的一般旋轮线

三尖瓣线也可以指有三個頂點，之間用向內彎曲的曲線相連的封閉空間，因此三尖瓣线內的空間是非凸集合。

## 方程式

三尖瓣线可以用以下的參數方程表示：

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_0
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_2
其中 WIKINIUM\_MATH\_PH\_4 是小圓的半徑， WIKINIUM\_MATH\_PH\_6 是大圓（也就是小圓在其內側無滑動滾動）的半徑（此處 WIKINIUM\_MATH\_PH\_8 ）。

在複變座標下可得

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_10 .
上述的*t*可以消去，得到以下的笛卡爾座標下的方程

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_12
因此三尖瓣线是四階的代數曲線，在極坐標下為

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_14
曲線有三個奇點，是對應 WIKINIUM\_MATH\_PH\_16 的尖點。上述的參數式意味者曲線為有理曲線，也就表示其幾何虧格為零。

三尖瓣线的對偶曲線為

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_18
在原點有一個二重點，若進行一個虛軸上的旋轉 WIKINIUM\_MATH\_PH\_20 ，曲線會變為下式，就可以看到其二重點

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_22
在實平面的原點上有二重點。

## 面積及周長

三尖瓣线的面積為 WIKINIUM\_MATH\_PH\_24 ，其中 WIKINIUM\_MATH\_PH\_26 為小圓的半徑，其面積是小圓面積的兩倍。

其周長為 WIKINIUM\_MATH\_PH\_28 。

## 歷史

早在1599年時，伽利略·伽利莱及马兰·梅森就已開始研究常見的摆线，而奧勒·羅默在1674年研究齒輪的最佳外形時，也有用到摆线。李昂哈德·歐拉認為他是最早（1745年）將三尖瓣线應用在實際光學問題的人。

## 應用

三尖瓣线有應用在許多的數學領域中，舉例如下：

* 三維unistochastic矩陣複數特徵值的集合即為三尖瓣线。
* SU(3)群裡所有酉矩阵的可能跡的集合會組成三尖瓣线。
* 二個三尖瓣线的交集會形成一群6階的複數Hadamard矩陣。
* 三角形的所有西姆松線的集合，其包絡線會是三尖瓣线。因為雅各布·施泰纳在1856年描述過此曲線的形狀及對稱性，因此此曲線稱為這稱為施泰纳三尖瓣线，。
* 三角形面積平分線的包絡線會是三尖瓣线，三個頂點是中線的中點。三尖瓣线的三邊是双曲线的弧。
* 三尖瓣线屬於掛谷集中的掛谷針集合（Kakeya needle set，長度為1的針可以在其中旋轉360度），有科學家認為三尖瓣线是掛谷針問題（Kakeya needle problem，面積最小小的掛谷針集合）的解，後來發現不是。

## 相關條目

* 星形线：有三個尖點的圆内螺线
* 伪三角形
* 勒洛三角形
* 超橢圓

## 参考资料

* E. H. Lockwood. Chapter 8: The Deltoid. A Book of Curves. Cambridge University Press. 1961.
* J. Dennis Lawrence. A catalog of special plane curves. Dover Publications. 1972: 131–134. ISBN 0-486-60288-5.
* Wells D. The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Geometry. New York: Penguin Books. 1991: 52. ISBN 0-14-011813-6.
* "Tricuspoid" at MacTutor's Famous Curves Index（页面存档备份，存于互联网档案馆）
* "Deltoid" at MathCurve（页面存档备份，存于互联网档案馆）
* Sokolov, D.D., Steiner curve, 数学百科全书, EMS Press, 2001 （英语）
# 方圓形[编辑]

一個方圓形
在幾何學中，**方圓形**是一種性質界於圓形和正方形之間的幾何形狀。是超橢圓的一個特例，是一種 WIKINIUM\_MATH\_PH\_0 為4的超橢圓，亦可以視為曲邊四邊形的一種。

## 命名

方圓形在英文中稱為Squircle是由「square」（正方形） and 「circle」（圓形）的組合字，中文同樣也是方形和圓形的組合詞。

## 方程式

在直角坐標系中，若一方圓形的幾何中心位於 WIKINIUM\_MATH\_PH\_2 且半直徑（semi-diameters）為 WIKINIUM\_MATH\_PH\_4 時，則該圖形的方程式表示為：

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_6
## 參考文獻

* Online Calculator for supercircle and super-ellipse （页面存档备份，存于互联网档案馆）
* Web based supercircle generator
# 勒洛三角形[编辑]

勒洛三角形是一个固定宽度的曲线图，以一个等边三角形为基础。边上的每个点到对应顶点的距离都是相等的。
**勒洛三角形**（英語：Reuleaux triangle），也译作**莱洛三角形**或**弧三角形**，又被稱為**劃粉形**或**曲邊三角形**，是除了圆形以外，最简单易懂的勒洛多边形，一个定宽曲线。将一个曲线图放在两条平行线中间，使之与这两平行线相切，则可以做到：无论这个曲线图如何运动，只要它还是在这两条平行线内，就始终与这两条平行线相切。这个定义由十九世纪的德国工程师弗蘭茨·勒洛命名。

## 绘制

如何绘制一个勒洛三角形
在正方形中滚动的勒洛三角形
使用一个圆规，画一个大小合适的圆弧。

以同样的半径，以第一个圆弧上的一点画第二个圆弧。

以2个圆的一个交点为圆心，半径不变，做第三个圆弧。

通过勒贝格积分可以算出，勒洛三角是定宽曲线所能构成的面积最小的图形，其面积为 WIKINIUM\_MATH\_PH\_0 ， WIKINIUM\_MATH\_PH\_2 为定宽宽度。

勒洛三角也是“除了圆形以外，还有什么形状的下水道盖不会掉入下水道？”这个问题的一个答案。

## 其他形狀

### 三維空間

四個相交的球體，其中心為一個勒洛四面體

* 三尖瓣线
* 超橢圓
* 椭圆形光轮
* 汪克爾引擎（Wankel engine）
* 勒洛多邊形

## 备注

* Heinrich Guggenheimer (1977) *Applicable Geometry*, page 58, Krieger, Huntington ISBN 0-88275-368-1 .

## 相关资料

* How Round is Your Circle? - book about various geometric properties, including curves and solids of constant width
* Shapes of constant width（页面存档备份，存于互联网档案馆） at cut-the-knot
* Russian-language site with downloadable films about the Reuleaux triangle, also showing the Wankel engine and the mechanics of a famous Soviet film projector
# 广义圆[编辑]

**广义圆**是近代几何中的一个概念，表示直线和圆的集合。广义圆的概念主要出现在反演几何里。圆和直线的反演有着相似的性质，因此在反演几何里可以将两者合并为一类，以方便研究。

平面上的反演几何假设平面是由普通的欧几里得平面和一个无穷远点组成。在反演几何中，直线的定义是欧几里得直线加上无穷远点，成为一个经过无穷远点，半径为无穷大的圆。

## 参考来源

* R. A. 约翰逊，《近代欧氏几何学》，单墫 译.
* Hans Schwerdtfeger, *Geometry of Complex Numbers*, Courier Dover Publications, 1979
* Michael Henle, "Modern Geometry: Non-Euclidean, Projective, and Discrete", 2nd edition, Prentice Hall, 2001
# 扇形

绿色所示的区域便是一个扇形。
**扇形**（Circular sector）指圓上被兩條半徑和半徑所截之一段弧所圍成的圖形。因形狀如一把扇子而得名。圓形不是一種扇形。

## 弧长

扇形的弧长∝圆心角。

* WIKINIUM\_MATH\_PH\_0 （弧度制）
* WIKINIUM\_MATH\_PH\_2 （角度制）

## 面积

扇形的面积∝圆心角：

* WIKINIUM\_MATH\_PH\_4 （弧度制）
* WIKINIUM\_MATH\_PH\_6 （角度制）

扇形的面积∝弧长：

* WIKINIUM\_MATH\_PH\_8

扇形面积的积分形式：

* WIKINIUM\_MATH\_PH\_10 （弧度制）

## 周长

扇形的周长由弧长和两个半径组成：

* WIKINIUM\_MATH\_PH\_12 （弧度制）

## 弦长

* WIKINIUM\_MATH\_PH\_14 （弧度制）

## 附加性質

* 圓锥的側面展開圖是扇形。
* 弓形指扇形割去或補上由弦和兩條半徑所組成的三角形的部分。

* 弓形
* 圆锥曲线
* 弧度制

## 参考来源

* Gerard, L. J. V. *The Elements of Geometry, in Eight Books; or, First Step in Applied Logic*, London, Longman's Green, Reader & Dyer, 1874. p. 285

* Definition and properties of a circle sector with interactive animation
* WIKINIUM\_MATH\_PH\_16