# 蚌线[编辑]

绿色为直线，黑色为直线外一点，所有红色线段和蓝色线段的长度均相等。紫色和橙色曲线是绿色直线关于黑色点的蚌线，紫色为内支，橙色为外支
极点和原直线不变、迹距不同的一系列蚌线
在平面几何中，**蚌线**是一类曲线，可以由一条给定的曲线、一个定点和一个给定的长度来确定。更具体地说，过定点 WIKINIUM\_MATH\_PH\_0 的动直线与给定曲线 WIKINIUM\_MATH\_PH\_2 相交，动直线上满足“与交点距离为定长 WIKINIUM\_MATH\_PH\_4 ”的点的轨迹定出的新曲线，就是原曲线 WIKINIUM\_MATH\_PH\_6 关于极点 WIKINIUM\_MATH\_PH\_8 和迹距 WIKINIUM\_MATH\_PH\_10 的蚌线。

用解析几何的方式来表述：平面曲线 WIKINIUM\_MATH\_PH\_12 的极坐标方程为 WIKINIUM\_MATH\_PH\_14 ，则以 WIKINIUM\_MATH\_PH\_16 为方程的曲线是 WIKINIUM\_MATH\_PH\_18 关于原点的蚌线。

“蚌线”也常特指原曲线为直线的蚌线，即**尼科美迪斯蚌线**。尼科美迪斯是古希腊数学家，他利用这种蚌线来解决古希腊数学三大难题中的两个——三等分角和倍立方体。

## 尼科美迪斯蚌线

灰色为直线，黑色为蚌线的极点
   迹距小于极点与直线的距离，极点与内支分离   迹距等于极点与直线的距离，极点是内支的尖点   迹距大于极点与直线的距离，极点是内支的结点
### 性质

有定直线 WIKINIUM\_MATH\_PH\_20 和直线外一固定点 WIKINIUM\_MATH\_PH\_22 ，过点 WIKINIUM\_MATH\_PH\_24 的动直线与 WIKINIUM\_MATH\_PH\_26 相交，动直线上满足“与交点距离为定长”的点的轨迹，就是直线 WIKINIUM\_MATH\_PH\_28 关于极点 WIKINIUM\_MATH\_PH\_30 的蚌线 WIKINIUM\_MATH\_PH\_32 ，即尼科美迪斯蚌线。一条尼科美迪斯蚌线有内外两支，两支的渐近线都为 WIKINIUM\_MATH\_PH\_34 。

通常记 WIKINIUM\_MATH\_PH\_36 与点 WIKINIUM\_MATH\_PH\_38 的距离为 WIKINIUM\_MATH\_PH\_40 ，迹距为 WIKINIUM\_MATH\_PH\_42 。根据 WIKINIUM\_MATH\_PH\_44 和 WIKINIUM\_MATH\_PH\_46 的关系，内支有三种不同形态：

* 当 WIKINIUM\_MATH\_PH\_48 时，蚌线内支没有尖点或结点，极点与内支不相交。
* 当 WIKINIUM\_MATH\_PH\_50 时，蚌线内支有一个尖点，尖点与极点重合。
* 当 WIKINIUM\_MATH\_PH\_52 时，蚌线内支有一个结点，结点与极点重合。

尼科美迪斯蚌线是轴对称图形，对称轴与 WIKINIUM\_MATH\_PH\_54 垂直并通过极点 WIKINIUM\_MATH\_PH\_56 。

### 历史和应用

尼科米迪斯发明的工具，用来绘制直线蚌线的外支
古希腊数学家尼科美迪斯是最早研究蚌线的人。他发明了绘制直线之蚌线的工具，这是人们第一次用仪器绘制出直线和圆之外的几何曲线。他关于蚌线的论著已经失传，只有一部分通过帕普斯的《数学汇编》得以保存下来。帕普斯指出，存在“四种”蚌线，但只记录了“第一种”蚌线，也就是直线蚌线的外支，用来解决尺规作图三大难题中的两个：三等分角和倍立方体。剩下的“三种”蚌线，很可能指的是直线蚌线内支的三种形态。

帕普斯将该曲线称为“螺线”（κοχλοειδὴς γραμμή），这很可能是尼科美迪斯最初的叫法。后来的普罗克洛等人才改称该曲线为“蚌线”（κογχοειδὴς γραμμή）。

17世纪的大数学家艾萨克·牛顿认为蚌线是仅次于直线和圆的、定义第三简洁的曲线，并利用蚌线构造出多种三次平面曲线。但及至当代，蚌线变得很少被数学家研究和关注。

#### 倍立方体

借助蚌线作出长度为 WIKINIUM\_MATH\_PH\_58 的线段
作线段 WIKINIUM\_MATH\_PH\_60 。以点 WIKINIUM\_MATH\_PH\_62 为圆心、 WIKINIUM\_MATH\_PH\_64 为半径作圆，以点 WIKINIUM\_MATH\_PH\_66 为圆心、 WIKINIUM\_MATH\_PH\_68 为半径作圆，交于点 WIKINIUM\_MATH\_PH\_70 。

过点 WIKINIUM\_MATH\_PH\_72 作线段 WIKINIUM\_MATH\_PH\_74 的垂线 WIKINIUM\_MATH\_PH\_76 。以点 WIKINIUM\_MATH\_PH\_78 为极点、 WIKINIUM\_MATH\_PH\_80 为迹距作直线 WIKINIUM\_MATH\_PH\_82 的蚌线外支。

延长 WIKINIUM\_MATH\_PH\_84 交蚌线于点 WIKINIUM\_MATH\_PH\_86 。延长 WIKINIUM\_MATH\_PH\_88 交圆 WIKINIUM\_MATH\_PH\_90 于点 WIKINIUM\_MATH\_PH\_92 。连接 WIKINIUM\_MATH\_PH\_94 交 WIKINIUM\_MATH\_PH\_96 于点 WIKINIUM\_MATH\_PH\_98 。线段 WIKINIUM\_MATH\_PH\_100 的长度即为 WIKINIUM\_MATH\_PH\_102 。

| 展开代数证明
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设 WIKINIUM\_MATH\_PH\_104 。显然 WIKINIUM\_MATH\_PH\_106 是正实数。
因为 WIKINIUM\_MATH\_PH\_108 为直角三角形，所以 WIKINIUM\_MATH\_PH\_110 。
又因为 WIKINIUM\_MATH\_PH\_112 ，所以 WIKINIUM\_MATH\_PH\_114 。

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_116
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_118
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_120
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_122
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_124
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_126  |

| 展开尼科美迪斯的几何证明
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| 作长方形 WIKINIUM\_MATH\_PH\_128 ， WIKINIUM\_MATH\_PH\_130 。
延长 WIKINIUM\_MATH\_PH\_132 ，延长 WIKINIUM\_MATH\_PH\_134 ，交于点 WIKINIUM\_MATH\_PH\_136 。
连接 WIKINIUM\_MATH\_PH\_138 ，交 WIKINIUM\_MATH\_PH\_140 于点 WIKINIUM\_MATH\_PH\_142 ，点 WIKINIUM\_MATH\_PH\_144 是 WIKINIUM\_MATH\_PH\_146 中点。
取 WIKINIUM\_MATH\_PH\_148 中点 WIKINIUM\_MATH\_PH\_150 ，连接 WIKINIUM\_MATH\_PH\_152 。 |  |
|  WIKINIUM\_MATH\_PH\_154
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_156
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_158
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_160  |
|  WIKINIUM\_MATH\_PH\_162
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_164
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_166
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_168
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_170
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_172
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_174
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_176  |
|  WIKINIUM\_MATH\_PH\_178
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_180
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_182
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_184
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_186
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_188  |
|  WIKINIUM\_MATH\_PH\_190
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_192
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_194  |

#### 三等分角

借助蚌线三等分任意锐角
作任意直角三角形 WIKINIUM\_MATH\_PH\_196 ，点 WIKINIUM\_MATH\_PH\_198 为垂足。以点 WIKINIUM\_MATH\_PH\_200 为极点、 WIKINIUM\_MATH\_PH\_202 为迹距作直线 WIKINIUM\_MATH\_PH\_204 的蚌线外支。

过点 WIKINIUM\_MATH\_PH\_206 作直线 WIKINIUM\_MATH\_PH\_208 的垂线，交蚌线于点 WIKINIUM\_MATH\_PH\_210 。 WIKINIUM\_MATH\_PH\_212 就是 WIKINIUM\_MATH\_PH\_214 的三等分线。

| 展开证明
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作 WIKINIUM\_MATH\_PH\_216 与 WIKINIUM\_MATH\_PH\_218 的交点 WIKINIUM\_MATH\_PH\_220 。取 WIKINIUM\_MATH\_PH\_222 的中点 WIKINIUM\_MATH\_PH\_224 ，连接 WIKINIUM\_MATH\_PH\_226 。
根据蚌线和直角三角形的性质，可知 WIKINIUM\_MATH\_PH\_228 。
易证得 WIKINIUM\_MATH\_PH\_230 。
故 WIKINIUM\_MATH\_PH\_232 。

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### 解析几何

在极坐标系中，设点 WIKINIUM\_MATH\_PH\_234 为坐标原点，则直线 WIKINIUM\_MATH\_PH\_236 和蚌线 WIKINIUM\_MATH\_PH\_238 的方程可以表示为：

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_240
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_242
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_244
在直角坐标系中，设点 WIKINIUM\_MATH\_PH\_246 为坐标原点，则直线 WIKINIUM\_MATH\_PH\_248 和蚌线 WIKINIUM\_MATH\_PH\_250 的方程可以表示为：

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_252
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_254
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_256
或用参数方程表示为：

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_258
（上下正负号同号， WIKINIUM\_MATH\_PH\_260 ）
尼科美迪斯蚌线是四次平面曲线。

## 帕斯卡蜗线

帕斯卡蜗线是一类外旋轮线，同时也是一类特殊的蚌线，是圆关于圆上一个定点的蚌线。由于极点在原曲线上，所以蚌线的内支和外支光滑相连为一条曲线。当迹距等于圆的直径时，就是心脏线。

作圆 WIKINIUM\_MATH\_PH\_262 关于圆上一个定点 WIKINIUM\_MATH\_PH\_264 、迹距等于圆的半径的蚌线。对于圆上任意一点 WIKINIUM\_MATH\_PH\_266 ，延长 WIKINIUM\_MATH\_PH\_268 至圆外，与所作蚌线交于点 WIKINIUM\_MATH\_PH\_270 。根据蚌线的性质，易知 WIKINIUM\_MATH\_PH\_272 。这条特殊的蚌线被称为三等分角蜗线。

* 圆关于圆上一点、迹距小于圆径的蚌线
* 圆关于圆上一点、迹距等于圆径的蚌线，即心脏线
* 三等分角蜗线

## 其他蚌线

* 圆对圆外一点的蚌线，迹距大于极点与圆的最大距离。极点与蚌线内支分离
* 圆对圆外一点的蚌线，迹距等于极点与圆的最大距离。极点为蚌线内支的尖点
* 圆对圆外一点的蚌线，迹距小于极点与圆的最大距离，大于极点与圆的最小距离。极点为蚌线内支的结点
* 圆对圆外一点的蚌线，迹距等于极点与圆的最小距离。极点为蚌线内支的尖点
* 圆对圆外一点的蚌线，迹距小于极点与圆的最小距离。极点与蚌线内支分离

* 圆对圆内一点的一条蚌线
* 抛物线对线外一点的一条蚌线
* 正弦曲线对线外一点的一条蚌线
* 立方曲线对线外一点的一条蚌线
* 双曲线一支对线上一点的蚌线
* 椭圆对于中心、迹距等于半短轴的蚌线，内支有两个重合的尖点

## 参考来源