Rikunarita-ORG/Wikinium huggingface dataset:
# 弓形[编辑]

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| 半徑
 |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_0
 |
| 圓心角
 |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_2
 |
| 矢長
 |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_4
 |
| 弦長
 |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_6
 |
| 弧長
 |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_8
 |
| 弓形面積
 |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_10
 |

弓形
圓上的一條直線把圓分割成兩部分，所得的兩部分都稱為**弓形**，因它們的形狀似弓而得名。其中面積比較大的部分稱為**優弓形**，而另一部分則稱為**劣弓形**。

弓形是一個非正式用語。如沒有特別指明，弓形通常指的是加上弦後面積不包含圓心的那一部分（即**劣弓形**）。

* 球台
* 圓錐曲線
* 截面 (幾何)

## 參考來源

* WIKINIUM\_MATH\_PH\_12

* Definition of a circular segment （页面存档备份，存于互联网档案馆） With interactive animation
* Formulae for area of a circular segment （页面存档备份，存于互联网档案馆） With interactive animation
# 多边形

多邊形的分類。由左至右分別為：三角形、矩形、凹多邊形和複雜多邊形。
**多邊形，**是平面上封閉的幾何圖形，或者说是由2条以上在同一平面的線段首尾相连組成的形状。

## 術語

頂点
指多邊形中任何兩邊相交所形成的交點或錐體的尖頂。

边
内角
頂點相鄰的兩邊所組成的角度。n邊形的內角和為 WIKINIUM\_MATH\_PH\_0
外角
對於某內角來說，其相應的外角角度為*180°减去內角角度*，多邊形的所有外角之和恆等於360°。
對角線
以不毗連頂點為端點的線段
## 分類

### 簡單多邊形

簡單多邊形是邊不相交的多邊形，又稱佐敦多邊形，因為佐敦曲線定理可以用來證明這樣的多邊形能將平面分成兩個區域，即區內和區外。

在拓扑学上，簡單多邊形和圆盘同胚。

在計算幾何學有幾個重要問題，其輸入都是簡單多邊形：

* 點在多邊形內：決定一點是否在多邊形內
* 求多邊形面積
* 將多邊型切割成三角形

按凸性区分，簡單多邊形分凸多邊形和凹多邊形，「凸」的表示它的內角都不大於180°，凹反之。

其他的特殊多边形还有：

**圆内接多边形**：顶点都在同一个圆上的多边形。
**圆外切多边形**：边都跟同一個圆相切的多边形。
**等边多边形**：各边之长都相等的多边形。
**等角多边形**：各内角都相等的多边形。
### 正多邊形

正多邊形是各邊都等長，各内角都相等的多邊形，可分为两种：**凸正多边形**与**凹正多边形**。谈及“正多邊形”时一般指前者，后者一般称作正多角星。对于指定的边数，它们都是唯一的，比如正五边形与正五角星。在邊數相同、周長相等的多邊形中，凸正多边形面積最大（参见等周问题 ）。

当且仅当边数是2的冪乘費馬質數時，正多邊形可以用尺規作出（參見可作圖多邊形）。

* 面積： WIKINIUM\_MATH\_PH\_2

* 內切圓半徑： WIKINIUM\_MATH\_PH\_4

* 外接圓半徑： WIKINIUM\_MATH\_PH\_6

## 公式

### 面积

对用 WIKINIUM\_MATH\_PH\_8 （按逆时针排列）描述的多边形，其面积为：

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_10

若按顺时针排列，取负数即可。

对用边长 WIKINIUM\_MATH\_PH\_12 和外角 WIKINIUM\_MATH\_PH\_14 描述的多边形，其面积为：

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_16

用边长和内角描述如下

N边形 WIKINIUM\_MATH\_PH\_18 这个代表N边形已知 WIKINIUM\_MATH\_PH\_20 个边的长度，而且知道其中任意两边的夹角，对于这两边 WIKINIUM\_MATH\_PH\_22 求和后的一半便是面积

注明： WIKINIUM\_MATH\_PH\_24 或1，目的是为了表明每个因式 WIKINIUM\_MATH\_PH\_26 的正负号与 WIKINIUM\_MATH\_PH\_28 ， WIKINIUM\_MATH\_PH\_30 的交点位置有关

* 多面體
* 退化多邊形

* WIKINIUM\_MATH\_PH\_32
* What Are Polyhedra?, with Greek Numerical Prefixes
* Polygons, types of polygons, and polygon properties（页面存档备份，存于互联网档案馆）, with interactive animation
* How to draw monochrome orthogonal polygons on screens, by Herbert Glarner
* comp.graphics.algorithms Frequently Asked Questions, solutions to mathematical problems computing 2D and 3D polygons
* Comparison of the different algorithms for Polygon Boolean operations, compares capabilities, speed and numerical robustness
* Interior angle sum of polygons: a general formula （页面存档备份，存于互联网档案馆）, Provides an interactive Java investigation that extends the interior angle sum formula for simple closed polygons to include crossed (complex) polygons
* [  （页面存档备份，存于互联网档案馆）], To predict and verify the area formula of planar convex polygon (I), by Hui-Pin Lee. Science Education Monthly No. 398, May 2017 , NTNU.
* [1] （页面存档备份，存于互联网档案馆）, To predict and verify the area formula of planar convex polygon (II), by Hui-Pin Lee. Science Education Monthly No. 399, June 2017 , NTNU.
# 卵形线

卵形线及其在直角坐标系中示意图
**卵形线**，是类似于椭圆，但是一头大，一头小，有一条对称轴且光滑封闭的平面曲线。卵形线的对称轴与大、小头的两个交点称为卵形线的大端点和小端点，记为 WIKINIUM\_MATH\_PH\_0 、 WIKINIUM\_MATH\_PH\_2 。卵形线上到其对称轴距离最大的两点称为卵形线的对称端点，记为 WIKINIUM\_MATH\_PH\_4 、 WIKINIUM\_MATH\_PH\_6 。线段 WIKINIUM\_MATH\_PH\_8 、 WIKINIUM\_MATH\_PH\_10 分别称为卵形线的直径和对称直径．卵形线的直径与对称直径的交点称为卵形线的卵心，记为 WIKINIUM\_MATH\_PH\_12 ，线段 WIKINIUM\_MATH\_PH\_14 、 WIKINIUM\_MATH\_PH\_16 、 WIKINIUM\_MATH\_PH\_18 （或 WIKINIUM\_MATH\_PH\_20 ）分别称为卵形线的长半径、短半径、对称半径，其长度分别记为 WIKINIUM\_MATH\_PH\_22 、 WIKINIUM\_MATH\_PH\_24 、 WIKINIUM\_MATH\_PH\_26 。长半径、短半径、对称半径称为卵形线的三个特征参数。

已知卵形线的长、短、对称半径 WIKINIUM\_MATH\_PH\_28 、 WIKINIUM\_MATH\_PH\_30 、 WIKINIUM\_MATH\_PH\_32 这三个特征参数，在平面直角坐标系中，以卵形线的对称轴作为x轴，x轴正向与卵形线小头方向一致，卵形线的卵心作为坐标系原点。以正数 WIKINIUM\_MATH\_PH\_34 、 WIKINIUM\_MATH\_PH\_36 、 WIKINIUM\_MATH\_PH\_38 （ WIKINIUM\_MATH\_PH\_40 ）为长、短、对称半径的卵形线，在直角坐标系中示意图如图所示。

三次卵形线方程：

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_42
## 參考文獻

* 卡西尼卵形線
# 星形多邊形[编辑]

兩種星形多邊形
|  {5/2}
 |  |5/2|
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| 正五角星{5/2}是一種星形多邊形，有五個頂點和互相相交的邊，其可以對應到一個凹十邊形|5/2|。
 |
|  小星形十二面體
 |  鑲嵌
 |

在幾何學中，**星形多邊形**是一種外觀有數個向外凸起的非凸多邊形。目前幾何學上尚未有一個廣泛被接受的星形多邊形定義，目前較常見的定義為存在頂點不和相鄰頂點連接的多邊形，或者從一般多邊形透過截角或延長邊並使其相交所形成的形狀。目前有被從多個角度進行研究的星形多邊形只有星形正多邊形。數學家布蘭科·格倫鮑姆指出了兩種由克卜勒提出的定義：一種是具有自相交稜的星形正多邊形，且自相交的稜不產生新的頂點，另一種是等邊的簡單凹多邊形。

## 命名

星形多邊形一般有許多向外突出的角，一般依照其向外突出之角的數量命名，如五角星，部分文獻將之稱為一個芒，整體形狀以芒數命名，如**五芒星**與**六芒星**。

## 簡單等邊星形多邊形

若一星形多邊形是一個簡單多邊形或邊不相交的多邊形，則該星形多邊形不可能為星形正多邊形，因為若將星形正多邊形的相交邊移除，則其不再正多邊形，但可以形成等邊多邊形。這類等邊多邊形通常由2個落在半徑不同的圓上之頂點交錯連接構成。數學家布蘭科·格倫鮑姆在其著作《Tilings and Patterns》中將這類多邊形以符號 WIKINIUM\_MATH\_PH\_0 表示由星形多邊形 WIKINIUM\_MATH\_PH\_2 移除相交線段後構成的星形多邊形，例如星形多邊形 WIKINIUM\_MATH\_PH\_4 移除位於內部的線段後的結果計為 WIKINIUM\_MATH\_PH\_6 或 WIKINIUM\_MATH\_PH\_8 表達一個內角 WIKINIUM\_MATH\_PH\_10 度的n角星。

簡單等邊星形多邊形
| |n/d| {nα}
 |   {330°}
 |   {630°}
 | |5/2| {536°}
 |   {445°}
 | |8/3| {845°}
 | |6/2| {660°}
 |   {572°}
 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| α
 | 30°
 | 36°
 | 45°
 | 60°
 | 72°
 |
| β
 | 150°
 | 90°
 | 72°
 | 135°
 | 90°
 | 120°
 | 144°
 |
| 等邊星形多邊形
 |  |  |  |  |  |  |  |
| 對應的星形正多邊形
 |  {12/5}
 |  {5/2}
 |  {8/3}
 |  2{3} 星形圖 |  {10/3}
 |

## 星形正多邊形

|  |  |  |
| --- | --- | --- |
|  {5/2}
 |  {7/2}
 |  {7/3}...
 |

**星形正多邊形**包括五角星和八角星等等，n角星的施萊夫利符號為{n/m}，其中m是小於n/2且和n互質的正整數。托馬斯·布拉德華是最早系統性地對星形正多邊形的研究的學者，後來约翰内斯·开普勒也做了類似的研究。

* 星形多面體

## 參考文獻
# 圆台[编辑]

一个圆台（截頂圓錐）
一个圆台（截頂圓錐）
**圓台**，又稱**截頂圓錐**、**圓亭**，是几何学中研究的一类三维形体，指一个圆锥被平行于它的底面的一个平面所截後，截面与底面之间的几何形体。截面也称为圆台的上底面，原来圆锥的底面称为下底面。随着圆锥形状不同，圆台的称呼也不相同。一般说到圆台都是指正圆台，也就是指正圆锥截出的圆台。正圆台和圆形有相同的对称结构。以下除非另作注明，“圆台”都指正圆台。

## 性质

### 体积

圆台的体积取决于两底面之间的距离（圆台的高），以及原来圆锥的体积。设 WIKINIUM\_MATH\_PH\_0 為圆台的高， WIKINIUM\_MATH\_PH\_2 和 WIKINIUM\_MATH\_PH\_4 為棱台的上下底面半径， WIKINIUM\_MATH\_PH\_6 為圆台的体积。由于圆台是由一个平面截去圆锥的一部分（也就是和原来圆锥相似的一个小圆锥）得到，所以计算体积的时候，可以先算出原来圆锥的体积，再减去和它相似的小圆锥的体积。圆锥被平行于底面的平面所截时，截面圆的半径与底面半径的比，等于小圆锥和原圆锥的高的比。假设原圆锥的高是 WIKINIUM\_MATH\_PH\_8 ，那么小圆锥的高是 WIKINIUM\_MATH\_PH\_10 。也就是说：

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_12
所以：

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_14
圆台的体积等于原圆锥体积减去小圆锥的体积：

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_16
《九章算術》記載的圓台體積公式：「上下周相乘，又各自乘，并之，以高乘之，三十六而一。」这是将圆周率的值取为3得到的。

### 表面积

圆台的侧面展开图是一个“扇面形”，也就是两个同心扇形的差。展开图的面积，就是两个扇形的面积差，其中 WIKINIUM\_MATH\_PH\_18 是圆台的母线长度：

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_20
圆台的表面积 WIKINIUM\_MATH\_PH\_22 等于圆台的侧面积 WIKINIUM\_MATH\_PH\_23 加上两底的面积 WIKINIUM\_MATH\_PH\_24 、 WIKINIUM\_MATH\_PH\_25 。

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_26
## 参看

* 棱台：平行于棱锥底面的平面截棱锥，截面和底面之间的部分；
* 圆锥：圆的各个切线和圆外一点所成的平面包围得到的立体。
* 平截头体：平行于锥体底面的平面截去锥体顶部后得到的几何体，分为棱台和圆台。

## 参考资料
# 球缺

**球缺**是指球体被平面截去的一部分。截面称为球缺的底面，垂直于截面的直径被此截面截得的线段长称为球缺的高。

h为高，r为底面半径，R为球半径
球缺的表面积： WIKINIUM\_MATH\_PH\_0 (*R*是球体的半径，*h*是球缺的高，*r*是球缺的底面半径）

球缺的体积： WIKINIUM\_MATH\_PH\_2 或 WIKINIUM\_MATH\_PH\_4 (*R*是球体的半径，*h*是球缺的高，r是底面半径）

与球冠区别：球缺是体，而球冠是面，故球冠只能计算表面积。
# 球台

**球台**是指球体被两个平行平面所截而夹在两平面中间的部分。截得的两个圆面分别为上底和下底，垂直于圆面的直径被截得的部分是高。

球台的体积：

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_0 r1,r2为球台的上、下底半径，h为球台的高
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_2 S1,S2为球台的上、下底面积，h为球台的高
# 旋轉曲面[编辑]

曲线 WIKINIUM\_MATH\_PH\_0 的一部分绕着*z*轴旋转。
**旋转曲面**是一条平面曲线C绕它所在平面的一条直线L旋转一周所生产的曲面，其中曲线C称之为该旋转曲面的母线，直线L称为该旋转曲面的旋转轴。

例子包括球面，由圆绕着其直径旋转而成，以及环面，由圆绕着外面的一条直线旋转而成。

## 面积

如果曲线由参数方程 WIKINIUM\_MATH\_PH\_2 、 WIKINIUM\_MATH\_PH\_4 给出，其中 WIKINIUM\_MATH\_PH\_6 ，且旋转轴是 WIKINIUM\_MATH\_PH\_8 轴，则旋转曲面 WIKINIUM\_MATH\_PH\_10 的面积由以下的积分给出：

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_12
条件是 WIKINIUM\_MATH\_PH\_14 非负。这个公式与古尔丁定理是等价的。

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_16
来自勾股定理，表示曲线的一小段弧，像弧长的公式那样。 WIKINIUM\_MATH\_PH\_18 是这一小段的（重心的）路径。

如果曲线的方程是 WIKINIUM\_MATH\_PH\_20 ， WIKINIUM\_MATH\_PH\_22 ，则积分变为：

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_24 （绕着*x*轴旋转），
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_26 （绕着*y*轴旋转）。
这可以由以上的公式推出。

例如，单位半径的球面由曲线 WIKINIUM\_MATH\_PH\_28 ， WIKINIUM\_MATH\_PH\_30 旋转而得，其中 WIKINIUM\_MATH\_PH\_32 。所以，它的面积为：

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_34
对于半径为 WIKINIUM\_MATH\_PH\_36 的圆 WIKINIUM\_MATH\_PH\_38 绕着*x*轴旋转所得的曲面，

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_40
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_42
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_44
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_46

* 旋转体

* Arfken, G. Mathematical Methods for Physicists, 3rd ed. Orlando, FL: Academic Press, pp. 931-937, 1985.
* Goldstein, H. Classical Mechanics, 2nd ed. Reading, MA: Addison-Wesley, p. 42, 1980.
* Gray, A. "Surfaces of Revolution." Ch. 20 in Modern Differential Geometry of Curves and Surfaces with Mathematica, 2nd ed. Boca Raton, FL: CRC Press, pp. 457-480, 1997.
* Hilbert, D. and Cohn-Vossen, S. "The Cylinder, the Cone, the Conic Sections, and Their Surfaces of Revolution." §2 in Geometry and the Imagination. New York: Chelsea, pp. 7-11, 1999.
* Isenberg, C. The Science of Soap Films and Soap Bubbles. New York: Dover, pp. 79-80 and Appendix III, 1992.
# 維面[编辑]

在幾何學中，**維面**（**Facet**）又稱為**超面**（**hyperface**）是指幾何形狀的組成元素中，比該幾何形狀所在維度少一個維度的元素。也是任何多胞形的邊界。而若在維面前加一個整數則代表幾何形狀的組成元素中，維度為該數的元素，例如在立方體中2維面（2-Face）是指立方體的正方形面。一般來說，**維面**（**Facet**）不應與面（**Face**）混淆。一般的多胞形皆是以維面的數量命名，例如六邊形的維面是邊，其共有六條邊因此稱六邊形、八面體的維面是面，其共有八個面因此稱八面體。

## 維面

在幾何學中，**維面**是多面體、多胞形或相關幾何結構的特徵之一，其通常可以用來描述該幾何結構的主要屬性。

### 多面體的維面

在三維幾何中，多面體的維面是指所有頂點都是多面體頂點的多邊形面。在部分幾何結構中有可能存在不是維面的面。而維面重組，或稱刻面是指找到新的維面形成新的多面體的過程，這個過程有時可以稱作星形化，並可以套用到更高維度的幾何結構。

### 多胞形的維面

在多面體組合學和一般的多胞形理論中，n維多胞形中的*n* − 1維元素稱為維面。維面也稱為(*n* − 1)維面、(*n* − 1)面或(*n* − 1)-面。而在在三維幾何學通常稱為面而不是**維面**。

### 单纯复形的維面

在单纯复形中，单纯复形的維面是一個单纯复形中最大的单纯形，且這個单纯形不是面也不是其他单纯复形的单纯形。對於单纯多胞形的邊界複合體，此定義與多面體組合學一致。

## 多維面

在幾何學中，維面一詞前面若加一個整數，則代表一幾何結構中維度為該整數的元素，此概念不應與維面混淆。例如k維面代表幾何結構中維度為k的元素，又稱**k面**、**k-面**或**k維元素**而在更高維度中，有時會稱為**k維胞**，這一用法並未限定元素的所屬維度。例如立方體的多維面包括了空多胞形（負一維面）、頂點（零維面）、邊（一維面）、正方形（二維面，一般稱面）和其本身（三維面，一般稱體）。正式地，對於一個多胞形*P*，多維面的定義是與一個「不與P內部相交的封閉半空間」的相交幾何結構（如交點、交線或交面等）。多胞形中的多維面集合中同時也包含了多胞形本身和空多胞形。

### 負一維面

正方形中的負一維面、零維面、一維面和二維面。

在抽象幾何學中，負一維面是多胞形中的元素集合中，不存在任何元素的子集，對應到集合論中即為空集且所有多胞形都含有空多胞形。這種面通常稱為多胞形的**極小面**（least face）、核維面或零化度（nullity）。

### 零維面

零維面為幾何結構中的零維元素，即頂點，通常由幾何結構的元素相交於點上形成。

### 一維面

一維面為幾何結構中的一維元素，即邊或稜，通常由二個或多個幾何結構的元素交於一線而形成。

### 二維面

二維面為幾何結構中的二維元素，通常會省略前面的維度直接稱**面**。

### 三維或更高維度的面

三維或更高維度的面通常稱為胞，更高維度的胞通常會以其維度稱呼，例如四維胞、五維胞等。

### n維面

若一個多胞形其維度就是n維，則n維面為該多胞形本身，通常稱為**體**，而在抽象幾何學中，也稱為**極大面**（Greatest Face），並且與極小面合稱**非法面**（Improper Face）。

### (n-1)維面

若一個多胞形其維度就是n維，則其(n-1)維的元素稱為**維面**（Facet）。

### (n-2)維面

若一個多胞形其維度就是n維，則其(n-2)維的元素稱為**維脊**（Ridge）。

### (n-3)維面

若一個多胞形其維度就是n維，則其(n-3)維的元素稱為**維峰**（Peak）。

* 面 (幾何)

## 參考文獻

* WIKINIUM\_MATH\_PH\_0
* WIKINIUM\_MATH\_PH\_1
# 超曲面[编辑]

**超曲面**（英語：hypersurface）是几何中超平面概念的一种推广。假设存在一个*n*维流形*M*，则*M*的任一(*n*-1)维子流形即是一个超曲面。或者可以说，超曲面的餘維數为1。

在代数几何中，超曲面是指*n*维射影空间上的一个(*n*-1)维的代数集。它可由方程 WIKINIUM\_MATH\_PH\_0 来定义，其中*F*是齐次坐标下的一个齐次多项式。由于可能存在奇点，严格地说这并不是一个子流形。

* 超平面
* 超球体
* 超空间
* 仿射球体

## 参考资料

* Hypersurface, 数学百科全书, EMS Press, 2001 （英语）
* Kobayashi and Nomizu (1969), Foundations of Differential Geometry Vol II ,John Wiley & Sons
# 多胞形[编辑]

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| 多面體是三維的多胞形
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**多胞形**（英語：Polytope）是一类由平的面构成的几何結構。多胞形可以存在於任意维中。多边形为二维的多胞形，多面体为三维的多胞形，也可以延伸到三維以上的空間，如多胞體即為四维的多胞形。

當提到*n*度空間下的多胞形時，常會用*n*-多胞形的名稱來表示，因此多边形可稱為2-多胞形，多面体可稱為3-多胞形，多胞體即為4-多胞形。

多胞體的英文「polytope」是由數學家萊因霍爾德·霍普創造，其原文為德文，後來才由艾麗西亞·布爾·斯托特翻譯為英文。

## 多胞形的種類

### 簡單多胞形

簡單多胞形在不同的情況下有不同的定義，例如在討論二維多邊形時，簡單多邊形是指自身元素中沒有互相相交情況的多邊形。而在討論其他維度的立體時，簡單多胞形代表與每個頂點相鄰之邊或面數不會超過其維數的多胞形。

### 複雜多胞形

複雜多胞形在不同的情況下有不同的定義，例如在討論二維多邊形時（尤其是四邊形），複雜多邊形（討論四邊形時稱複雜四邊形）是指自身元素中有互相相交情況的多邊形，同時也可以推廣到多胞形的情況，即指自身元素中有互相相交情況的多胞形。在電腦圖學中，也可以用來指非簡單的幾何形狀。此外，複雜多胞形在英語中稱為Complex Polytope，其亦可以代表位於複數（Complex Number）空間的複多胞形。

### 凸多胞形

凸多胞形是最簡單的多胞形，並且存在有幾種不同的概念性定義。例如凸多胞形有時被定義為一組半空間的交集，這個個定義下並不強制多胞形是有界的也不強制多胞形是有限的，其中有界的多胞形意味著存在一個能涵蓋整個多胞形且半徑是有限的球體或超球體。若其為凸集且符合有界和有限的特性則可以稱為嚴格凸多胞形。在線性規劃中通常會利用這種方式來定義多胞形

### 正多胞形

正多胞形是對稱性最高的一種多胞形，在這種多胞形中，各種同維元素或同結構元素組皆可在其對稱性上傳遞，甚至其對稱性也能在標記（包含所有維度元素組）上傳遞，因此正多胞形的對偶多胞形也是一種正多胞形。

### 星形多胞形

星形多胞形通常是指一系列的非凸多胞形，其中包括了一些正多胞形。

## 廣義的多胞形

### 無窮多胞形

由於並非所有流形都是有限的，因此若將多胞體理解為在一個流形中由胞結構組成的空間填充，則可以將之擴展到無窮流形中。平面密鋪、空間堆砌和雙曲鑲嵌多可以算是這類多胞形。這種解合結構因為有無限多個維面，因此有時會被稱為無限胞體。

### 實多胞形

實多胞形是指所有頂點皆位於 WIKINIUM\_MATH\_PH\_0 空間的多胞形，通常會和複多胞形進行比較，例如實多胞形可以定義內部而複多胞形無法。另外，在抽象幾何學中，實多胞形也可以表達與抽象多胞形相對的概念。

### 複多胞形

實多胞形是指所有頂點皆位於 WIKINIUM\_MATH\_PH\_2 複希爾伯特空間的多胞形，可以視為實數空間中的多胞形在複數空間的推廣。而複正多胞形更適合被視為一種排佈結構。

### 四元多胞形

在幾何中，四元多胞形是指位於四元數空間的多胞形。其可以視為是實數空間中的多胞形在四元數空間的推廣。其與複數空間類似，點不具有序性，因此沒有「位於...之間」的相互關係，因此一個四元數空間多胞形可以被理解為一組點、線和面等的排佈關係，其中，點維多條線的連接點、線連接了多個面。由於四元數的乘法不具有交換率，因此必須透過純量與向量相乘來構建乘法系統，通常會使用左乘法。

### 其他空間的多胞形

多胞形通常可以定義於希爾伯特空間中，如複多胞形（Complex polytope）、四元多胞形（Quaternionic polytope）或八元多胞形（Octonionic Polytope）等，不過在一些複雜的空間結構的多胞形，如八元多胞形的理論尚未被有系統的探討及解決。

### 抽象多胞形

抽象多胞形是一種純粹只考慮多胞形各元素間的組合特性，將多胞形從其包含的空間幾何關係分離出來的一類多胞形。這允許將多胞形各元素的定義擴展到包括一些位於難以在直觀下定義之空間的物件，例如四維正十一胞體。

抽象多胞形是遵守某些規則之元素的偏序集合，並且是一個純粹的代數結構，其發展的目的是為了避免或解決一些不同類型的幾何結構難以在一致的數學框架下協調的問題。

### 拓樸多胞形

拓樸多胞形是一個可以分解為與凸多胞形拓樸等價的形狀、且可以規則方式分解為相互連接的形狀的拓樸空間

* 多面體

## 參考文獻

* WIKINIUM\_MATH\_PH\_4
* "Math will rock your world"（页面存档备份，存于互联网档案馆） – application of polytopes to a database of articles used to support custom news feeds via the Internet – (*Business Week Online*)
* Regular and semi-regular convex polytopes a short historical overview:
# 超球面

在高维几何中，**超球面**（英語：Hypersphere）是指高維空間中，和一定点（称为中心）距離（称为半徑）為定值的點組成的集合。超球面是餘維數為1的流形，其維數比其空間維數少一。超球面的半徑越大，其曲率越小。若曲率趨近於0，稱為超平面。超球面和超平面都屬於超曲面。

超球面（hypersphere）一詞是由Duncan Sommerville在討論非歐氏幾何學的模型時出現的，第一個提的是四維空間中的三維球面。

有些球面不是超球面，若 WIKINIUM\_MATH\_PH\_0 是E*m*的球體，而所在空間為 WIKINIUM\_MATH\_PH\_2 ， WIKINIUM\_MATH\_PH\_4 ，則 WIKINIUM\_MATH\_PH\_6 不是超球面。同樣的，任何空間內flat內的N维球面也不會是超球面，例如在三維空間中，圓不是超球面，但在二維空間中就是超球面。

## 延伸阅读

* Kazuyuki Enomoto (2013) Review of an article in *International Electronic Journal of Geometry*.MR3125833
* Jemal Guven (2013) "Confining spheres in hyperspheres", Journal of Physics A 46:135201, doi:10.1088/1751-8113/46/13/135201
# 克莱因瓶[编辑]

浸入三维空间中的克莱因瓶
在数学领域中，**克莱因瓶**（德語：**Kleinsche Flasche**）是指一种无定向性的平面，比如二维平面，就没有“内部”和“外部”之分。克莱因瓶最初的概念提出是由德国数学家费利克斯·克莱因提出的。克莱因瓶和莫比烏斯環非常相像。

要想像克萊因瓶的結構，可先試想一個底部鏤空的紅酒瓶。現在延長其頸部，向外扭曲後伸進瓶子的內部，再與底部的洞相連接。

和我们平时用来喝水的杯子不一样，这个物体没有“边”，它的表面不会终结。它也不类似于气球，一只苍蝇可以从瓶子的内部直接飞到外部而不用穿过表面（所以说它没有内外部之分）。

其名稱可能源自德語中的「Kleinsche Fläche」（克萊因平面），後來被誤解為「Kleinsche Flasche」（克萊因瓶）。德語最終也沿用了「克萊因瓶」這種稱呼。

## 性质

从拓扑学角度上看，克莱因瓶可以定义为[0,1] × [0,1]的矩阵，边定义为(0,*y*) ~ (1,*y*)，其中0 ≤ *y* ≤ 1；和(*x*,0) ~ (1-*x*,1)，其中0 ≤ *x* ≤ 1。

可以用图表示为

就像莫比乌斯带一样，克莱因瓶是不可定向的。但是与之不同的是，克莱因瓶是一个闭合的曲面，也就是说它没有边界。莫比乌斯带可以嵌入到三维或更高维的欧几里得空间，克莱因瓶只能嵌入到于四维或更高维空间。

## 参数方程模型

克莱因瓶的参数十分复杂：

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_0
还有一个较简单的

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_2

* 莫比乌斯带
* 三叶结
* 銜尾蛇

## 参考资料
# 四維柱體柱

此维基百科条目的本来名称是“**Duoprism**”，因其為四維空間中以三維「柱體」為底的四維空間柱狀體，故暂时译为「柱體柱」。汉字圈暂未见广受认可的翻译。
**四維柱體柱**（英語：Duoprism）是三維柱體在四維的類比。圓柱體柱的結構與克里福德環相似。四維柱體柱由凸多面體組成，如三角三角柱體柱由6個三角柱組成。在三維空間可以把圓形向第三維度拉伸形成圓柱體。而在四維空間，還可以取兩個球體的笛卡兒積得到一個圓柱體柱。

## 名稱

四維柱體柱的命名方法：

*n*角*n*角柱體柱：由*n* + *n*個*n*角柱組成。
*m*角*n*角柱體柱：由*m*個*n*角柱，*n*個*m*角柱組成，其中*m*角柱是它的側胞（三維空间中的側面在四維空间中的類比），*n*角柱則是它的「蓋」。
### 例子

| 三角三角柱體柱 | 三角四角柱體柱 |
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## 圖片

### 施萊格爾投影

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### 展開圖

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圓柱體柱往w軸和x軸旋轉的投影
二十三角二十九角柱體柱的內部透視圖---當柱體柱的胞越多，便會越像圓柱體柱，就和柱體一樣。
克里福德環

* 超立方體
* 棱柱
* 四維空間

## 參考文獻

*
*
*
# 全等[编辑]

在幾何中，**全等**是幾何圖形之間的一種合同，亦即幾何圖形之間的一種等價關係。若两个几何图形的形状、大小完全相同，则称这两个图形是**全等**的图形。全等是相似的一种特例，当相似比为1时，两图形全等。
全等的数学符号是： WIKINIUM\_MATH\_PH\_0

## 全等变换

不改变图形形状、大小的几何变换为全等变换，包括平移、旋转、轴对称。

### 平移

将一个图形按一定的方向移动一定的距离，称为平移。

### 旋转

将一个图形绕一个顶点转动一定的角度，称为旋转。

### 轴对称

如图，如果连接P和P'的线段PP'被直线 WIKINIUM\_MATH\_PH\_2 垂直平分，则点P和P'关于直线 WIKINIUM\_MATH\_PH\_4 轴对称。图形上的所有点关于一直线的对称点所组成的图形是这个图形的**轴对称**图形。

* 合同 (數學)
* 等價關係
* 等距同构
# 相交[编辑]

在数学中，**相交**是两个几何图形之间关系的一种。两个图形相交是指它们有公共的部分，或者说同时属于两者的点的集合不是空集。若两个几何图形在某个地方有且只有一个交点，则可以称为相切而不是相交。如果两个图形完全重合，则一般不称为相交。

## 直线的相交

在欧几里得平面上，两条直线要么平行，要么相交，要么重合。这时欧几里得第五公设的推论。相交的两条直线恰好有一个交点。在非欧几何中，按几何特性（曲率），可以分为两类。罗巴切夫斯基几何中两条直线要么平行，要么相交，但平行线不止一条。黎曼几何中两条直线总是相交。

三维空间或更高维空间中，两条直线相交则必定共面。

## 圆的相交

歐幾里得幾何中，同一平面上的两个圆之间的关系有四种：相离、相切、相容和相交。相离指两圆没有交点而且没有一个圆在另一个圆内部。相切是指两圆只有一个交点。相交是指两圆有多于一个交点。相容是指两圆没有交点且一个圆在另一个内部。

两个圆相交当且仅当两个圆心之间的距离严格小于两圆的半径之和，并严格大于两圆的半径之差。

## 解析几何中的判别方法

在平面解析几何中，设两条直线的方程为：

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_0
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_2
那么 WIKINIUM\_MATH\_PH\_4 与 WIKINIUM\_MATH\_PH\_6 相交当且仅当行列式：

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_8 不等于零。
对于两圆相交，设两个圆的方程是：

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_10
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_12
那么 WIKINIUM\_MATH\_PH\_14 与 WIKINIUM\_MATH\_PH\_16 相交当且仅当：

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_18
## 例子

### 直线

* 设两条直线的方程是：

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_20
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_22
由于行列式： WIKINIUM\_MATH\_PH\_24 ，两直线相交。交点为 WIKINIUM\_MATH\_PH\_26 。

* 设两条直线的方程是：

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_28
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_30
由于行列式： WIKINIUM\_MATH\_PH\_32 ，两直线不相交（实际上平行）。

### 圆

* 设两个圆的方程是：

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_34
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_36
这时两个圆心的距离是： WIKINIUM\_MATH\_PH\_38 ， WIKINIUM\_MATH\_PH\_40 ，因此两圆相交。

* 拓撲學
* 几何学
* 交集

## 参考来源

* R.A.约翰逊 著，单壿 译. 近代欧氏几何学. 上海教育出版社. 1999. ISBN 7-532-06392-0 请检查`|isbn=`值 (帮助).
* 盛为民. 解析几何学. 浙江大学出版社. 2008. ISBN 7-308-06149-0 请检查`|isbn=`值 (帮助).
# 镜像 (几何)[编辑]

在几何学中，**镜像**，顾名思义，就是物体相对于某镜面所成的像。

## 二维空间

在二维空间里，一个物体（或二维图形）的**镜像**就是该物体在某平面镜中反射出来的虚像。这时镜像与原物有同样大小，但不尽相同，除非原物本来就是反射对称的。

## 三维空间

镜像的概念也可以扩展到三维空间的物体，包括其内部，尽管这些物体并不一定透明。

## 镜像的镜像

镜像的镜像就是一个正常像。

## 镜像文字

有些文字故意以其镜像的方式写成，以便通过镜面查看。例如救护车和消防车等应急车辆为方便司机从后视镜查看，使用了镜像文字。

## 多镜系统

## 镜像与艺术
# 反演[编辑]

一點的反演
過O圓的反演
圓的反演
**反演**是種幾何變換。給定點 WIKINIUM\_MATH\_PH\_0 、常數 WIKINIUM\_MATH\_PH\_2 ，點 WIKINIUM\_MATH\_PH\_4 的變換對應點就是在以 WIKINIUM\_MATH\_PH\_6 開始的射線 WIKINIUM\_MATH\_PH\_8 上的一點 WIKINIUM\_MATH\_PH\_10 使得 WIKINIUM\_MATH\_PH\_12 。

反演的結果：

* 過 WIKINIUM\_MATH\_PH\_14 的直線：直線
* 過 WIKINIUM\_MATH\_PH\_16 的圓：不過 WIKINIUM\_MATH\_PH\_18 的直線
* 不過 WIKINIUM\_MATH\_PH\_20 的圓：圓
* 過 WIKINIUM\_MATH\_PH\_22 的球：不過 WIKINIUM\_MATH\_PH\_24 的平面

對於點 WIKINIUM\_MATH\_PH\_26 ，以原點為中心，在直角坐標系的反演變換可寫成

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_28
以下都可視為反演：

* 立體投影法：可以取球面上任意一點為中心，球的直徑為 WIKINIUM\_MATH\_PH\_30 。
* 共軸圓：在平面取一系列共心圓，取一系列經過共心圓圓心的線，任意取一點為中心進行反演。

## 阿波羅尼奧斯問題

阿波罗尼奥斯圆是其中一個可用反演變換輕易解決的問題。在平面給定三個圓，求作出與三圓相切的第四個圓。

* 反射
* 旋转
* 平移
* 点反演
* 缩放
# 截面 (幾何)[编辑]

幾何學和科學中的**截面**（英語：Cross section），是指一三維空間下的物體和一平面相交所產生的交集。截面的面積稱為截面積。將一個物體切成許多片，就會產生多個平行的截面。三維空間中，若截面平行定義此座標的截面，該截面的輪廓稱為等高線，例如地勢圖中的山和與地面平行的平面產生截面，其等高線則表示一群有相冋相对高度地點的集合。

## 定義

若平面和三維立體相交，則其交集即為截面。

立體截面的形狀和截面所在平面和立體的關係而定。例如，球的所有截面都是圓盤，立方體的截面則視平面相對立體的位置而定；若截面平面和立方體的平面平行，其截面形狀會是方形，若截面和穿過立方體對角的對角線垂直，截面也可能是一點、三角形或是六邊形。

## 面積

祖暅原理說明若兩個固體對應的截面積相等，則其體積相等。

一物體以特定角度觀看時的截面積（ WIKINIUM\_MATH\_PH\_0 ）是該物體在此角度下正交投影的總面積。例如一高為*h*，半徑為*r*的圓柱，若沿著其中心軸，其截面積 WIKINIUM\_MATH\_PH\_2 ，若沿著任一個和中心軸垂直的線，其截面積 WIKINIUM\_MATH\_PH\_4 。一個半徑為*r*的球體，在任意角度下的截面積均為 WIKINIUM\_MATH\_PH\_6 。一物體的截面積可由下式的曲面積分求得：

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_8
其中

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_10 為沿著指定方向的單位向量
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_12 是單位表面積向量，向量方向為往外的法向量。
而且上述積分只針對物體最上方的表面，也就是以觀者角度可見的那一面。對於一個凸体的物體，從觀者角度到物體的射線都會和物體的表面交會二次。因此上述積分可以以取絕對值的方式，針對整個表面計算，再除以2得到截面積如下：

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_14
## 相關條目

* 工程圖
* 分解圖
* 画法几何
* 三维投影
* 輪廓量規
* 割面

## 腳註

## 參考資料

* Swokowski, Earl W., Calculus with analytic geometry Alternate, Prindle, Weber & Schmidt, 1983, ISBN 0-87150-341-7  含有內容需登入查看的頁面 (link)
# 缩放[编辑]

在欧几里得几何中，**均匀缩放**是放大或缩小物体的线性变换；缩放因子在所有方向上都是一样的；它也叫做位似变换。均匀缩放的结果相似（在几何意义上）于原始的物体。

更一般的是在每个坐标轴方向上的有单独缩放因子的**缩放**；特殊情况是**方向缩放**（在一个方向上）。形状可能变化，比如矩形可能变成不同形状的矩形，还可能变成平行四边形（保持在平行于轴的线之间的角度，但不保持所有的角度）。

## 矩阵表示

缩放可以表示为缩放矩阵。要用一个向量*v* = (*vx, vy, vz*)缩放一个物体，每个点*p* = (*px, py, pz*)都需要乘以缩放矩阵：

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_0
如下所示，这个乘法将给出预期的结果：

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_2
这种缩放按在缩放因子中间的一个因子改变物体的直径，那在在两个缩放因子的最小和最大乘积之间的一个因子改变它的面积，按所有三个缩放因子的乘积改变它的体积。

在最一般意义上的缩放是使用可对角化矩阵的任何仿射变换。它包括缩放的三个方向不垂直的情况。它还包括一个或多个缩放因子等于零的情况（投影），和一个或多个负缩放因子的情况。

## 齐次坐标

使用齐次坐标经常是更加有用的，因为3次元的平移（仿射变换）不能用3×3矩阵完成。要按一个向量*v* = (*vx, vy, vz*)缩放一个物体，所有的齐次向量*p* = (*px, py, pz*, 1)都需要乘以缩放矩阵：

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_4
如下所示，这个乘法给出预期的结果：

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_6
缩放是均匀的，当且仅当缩放因子是相等的。如果除了一个因子之外所有缩放因子都是1我们得到方向缩放。

因为齐次坐标的最后成员可以看作其他三个成员的分母，使用公共因子*s*的缩放可以使用如下缩放矩阵完成：

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_8
对于每个齐次向量*p* =（*px, py, pz*, 1），我们有

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_10
它将均质于

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_12

* 比例尺
* 反射
* 旋转
* 反演
* 平移
* 点反演
# 直紋曲面

單葉雙曲面的任意一點上均有**兩條**直線經過。這類曲面被稱為**雙重直紋曲面**。
在幾何學中，如果一個曲面上的任意一點上均有至少一條直線經過，則稱該曲面為**直紋曲面**（英語：Ruled Surface）。另一種常見的說法是，如果一個曲面可以由一條直線通過連續運動構成，則可稱其為直紋曲面。以三維歐幾里德空間為例，最常見的直紋曲面是平面、柱面、錐面和马鞍面。著名的莫比乌斯环也是直纹曲面。

假如一个曲面上的任意一点均有**两条**不同的直线经过，那么称该曲面为**双重直纹曲面**（英語：Doubly Ruled Surface）。双曲抛物面和单叶双曲面（右图）即为双重直纹曲面的典型例子。对于曲面上每个点均有三条或更多的直线经过的曲面，可称为三重和多重直纹曲面。不过在三維欧几里得空间中，除了平面以外，不存在这样的直纹曲面。

## 微分幾何中的直紋曲面

### 參數表示

一個直紋螺旋曲面
如果將直紋曲面看作一條連續運動的直線所經過的點, 那麼可將曲面表達為一個如下述形式的參數方程:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_0
其中 WIKINIUM\_MATH\_PH\_2 為面上的任意點， WIKINIUM\_MATH\_PH\_4 為沿著面上一曲線移動之點， WIKINIUM\_MATH\_PH\_6 為隨 WIKINIUM\_MATH\_PH\_8 變動之單位向量。舉例來說，如果我們用下列式子

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_10
則可得莫比乌斯带。另一種參數表示法為：

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_12
其中 WIKINIUM\_MATH\_PH\_14 及 WIKINIUM\_MATH\_PH\_16 為兩條處於面上之不相交曲線。當 WIKINIUM\_MATH\_PH\_18 及 WIKINIUM\_MATH\_PH\_20 以定速沿著二歪斜線移動時， WIKINIUM\_MATH\_PH\_22 為一雙曲拋物面或是單葉雙曲面。

### 可展曲面

可展曲面即為高斯曲率處處为零的曲面。另一種常見的表述方法是，一個可展曲面的每一部分都可以不經壓縮或者拉伸而展開成為一個平面。三維歐氏空間中的完備可展曲面一定是直紋曲面。然而，相同前提下的直紋曲面不一定是可展曲面，單葉雙曲面便是一例。四維歐氏空間存在不是直紋曲面的可展曲面。

## 代數幾何中的直紋曲面

方程*z*=*xy*表示一个双重直纹曲面:双曲抛物面
## 建築領域中的應用

日本兵庫縣神戶市的地標建築——神戶港塔
大多數熱力發電廠的冷卻塔結構都是單葉雙曲面形狀。由於單葉雙曲面是一種雙重直紋曲面（Ruled surface），它可以用直的鋼樑建造。這樣既可減少風的阻力，又可以用最少的材料來維持結構的完整。

## 引用

* Barth, Wolf P.; Hulek, Klaus; Peters, Chris A.M.; Van de Ven, Antonius, Compact Complex Surfaces, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge. **4**, Springer-Verlag, Berlin, 2004, ISBN 978-3-540-00832-3, MR 2030225
* Beauville, Arnaud, Complex algebraic surfaces, London Mathematical Society Student Texts **34** 2nd, Cambridge University Press, 1996, ISBN 978-0-521-49510-3, MR 1406314
* Sharp, John, D-Forms, Tarquin, 2008 . Models exploring rules surfaces Review: Jrnl of Mathematics and the Arts 3 (2009), 229-230 ISBN 978-1-899618-87-3
* Edge, W. L., The Theory of Ruled Surfaces, Cambridge, University Press, 1931 . Review: Bull. Amer. Math. Soc. 37 (1931), 791-793, doi:10.1090/S0002-9904-1931-05248-4
* Hilbert, David; Cohn-Vossen, Stephan, Geometry and the Imagination 2nd, New York: Chelsea, 1952, ISBN 978-0-8284-1087-8 .
* Iskovskikh, V.A., Ruled surface, 数学百科全书, EMS Press, 2001 （英语）

* WIKINIUM\_MATH\_PH\_24
* Ruled surface pictures from the University of Arizona （页面存档备份，存于互联网档案馆）
* Examples of developable surfaces on the Rhino3DE website （页面存档备份，存于互联网档案馆）
# 直尺[编辑]

各種不同直尺
**直尺**，亦稱為**間尺**，是一種用於量度長度的儀器或文具，通常用於量度較短的距離或畫出直線。現代的直尺則多與三角尺、量角器、圓規等製成套裝出售。「直尺」在尺規作圖中只能畫出無窮長的直線，是不能有刻度的。但現今的直尺通常泛指刻度尺。

## 歷史

直尺的發明者无人知晓 ，坊間流傳直尺和圓規是由伏羲及女媧發明的。山東東漢武梁祠石室留有「*伏羲氏手執矩，女媧氏手執規*」的塑像，其中的「矩」所指的便是「直尺」了。

數學王子高斯曾於19歲時只用圓規和直尺畫出正十七邊形，解決了兩千年來懸而未決的難題。

## 外觀

* **質料**各不同，有鐵、木、塑膠......有一定硬度，否則為軟尺。
* **最少刻度**，一般都是1毫米。
* **標度單位**常為厘米。
* **長度**，常見的是1米的米尺和15厘米的短尺，但沒有實際規限，所以長度由一厘米到四五米的都有。
* **刻度線**有兩種：頂端（直尺一開始就是）和非頂端（刻度線前方尚有一段空白，約1厘米）。
* **最大誤差**，通常不多於0.2毫米。
	+ 合規格的最大誤差：
		- 長度小於30厘米的最大誤差為±0.1毫米
		- 長度30厘米到50厘米的最大誤差為±0.15毫米
		- 長度50厘米到1米的最大誤差為±0.2毫米

## 使用技巧

* 垂視直尺，減低視差。
* 儘量把測物貼至最近刻度線。
* 不要以端點作測量點，端點易磨損而有較大誤差。
* 以不同起點測量多次，取其平均數，結果會較為準確，可有效減低因刻度不平均而引起的誤差。

## 用處

* 量度距離。
* 畫直線。

## 參考文獻

* 數學與彩陶 （页面存档备份，存于互联网档案馆）
* 直尺
* 鋼直尺 （页面存档备份，存于互联网档案馆）
* 幾何作圖---『規矩』vs.『規』『矩』 （页面存档备份，存于互联网档案馆）
# 三角尺

塑料三角尺
**三角尺**是繪圖工具之一，外觀上呈直角三角形，與直尺共用可用于繪畫直角、平行線及垂直線。

傳統的三角尺以木製居多，現代的三角尺則多以透明塑料製成，中心處開孔，亦多與圓規、量角器、直尺等成套裝出售。

三角尺通常包括兩種直角三角形：45°-45°-90°和30°-60°-90°。

## 相關條目

* 量角器
* 直尺
* 圓規

## 参考
# 圆规[编辑]

圓規
利用圓規畫圓
**圓規**在數學和製圖裏，是用來繪製圓或弧的工具，常用於尺规作图。

圓規通常是由金屬製成，包括兩部分，由一個鉸鏈連接着，其中可作調整，其中一邊尖銳是用作圓心，另一邊通常可裝上筆、铅笔芯。

圓規分普通圓規、彈簧圓規、點圓規、樑規等。現代的圓規則多與三角尺、量角器、直尺等成套裝出售。

## 歷史

圆规的發明最早可追溯至中國夏朝，《史記·夏本記》載大禹治水“左凖繩，右規距”，公元前15世紀的甲骨文中，已有規、矩二字，當時稱為「規」，即今日的圓規，《周禮·考工記·匠人》記載：“匠人建國，平地以懸，置槷以懸，眡以景。爲規，識日出之景與日入之景。晝參諸日中之景，夜考之極星，以正朝夕。”。

山東嘉祥武梁祠內有「東漢伏羲女媧磚刻像」，其中女媧執規，伏羲執矩，這裡的規是古式梁規，形狀與甲骨文「癸」的字形相似。

## 變型

一个橫桿圓規和一个普通圓規
* 橫桿圓規（**Beam-compass**）是一種圓規夾有木製或黃銅製的橫桿。
* 椭圆规是一種能夠繪畫椭圆的工具， yummy bishes

## 文化

* 新疆出土的人首蛇身女媧伏羲圖。其中女娲持规，伏羲持矩
* 东德国徽上的圆规

* 规矩
* 尺规作图