# 圓環坐標系[编辑]

圖 1 ）圓環坐標系的幾個坐標曲面。紅色圓球面的 WIKINIUM\_MATH\_PH\_0 。藍色環面的 WIKINIUM\_MATH\_PH\_2 。黃色半平面的 WIKINIUM\_MATH\_PH\_4 。z-軸是垂直的，以白色表示。 x-軸以綠色表示。三個坐標曲面相交於點 P （以黑色的圓球表示），直角坐標大約為 WIKINIUM\_MATH\_PH\_6 。
圖 2 ）雙極坐標系繪圖。紅色圓圈變成上圖的紅色圓球面（ WIKINIUM\_MATH\_PH\_8 -坐標曲面），而藍色圓圈則變成藍色環面（ WIKINIUM\_MATH\_PH\_10 -坐標曲面）。
**圓環坐標系**（英語：Toroidal coordinates）是一種三維正交坐標系。設定二維橢圓坐標系包含於 xz-平面；兩個焦點 WIKINIUM\_MATH\_PH\_12 與 WIKINIUM\_MATH\_PH\_14 的直角坐標分別為 WIKINIUM\_MATH\_PH\_16 與 WIKINIUM\_MATH\_PH\_18 。將雙極坐標系繞著 z-軸旋轉，則可以得到圓環坐標系。雙極坐標系的兩個焦點，變為一個半徑為 WIKINIUM\_MATH\_PH\_20 的圓圈，包含於圓環坐標系的 xy-平面。稱這圓圈為**焦圓**，又稱為**參考圓**。

## 數學定義

在三維空間裏，一個點 P 的圓環坐標 WIKINIUM\_MATH\_PH\_22 最常見的定義是

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_24 、
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_26 、
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_28 ；
其中， WIKINIUM\_MATH\_PH\_30 是直角坐標， WIKINIUM\_MATH\_PH\_32 坐標是 WIKINIUM\_MATH\_PH\_34 的弧度， WIKINIUM\_MATH\_PH\_36 坐標是點 P 離兩個焦點的距離 WIKINIUM\_MATH\_PH\_38 與 WIKINIUM\_MATH\_PH\_40 的比例的自然對數：

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_42 。
圓環坐標的值域為 WIKINIUM\_MATH\_PH\_44 ， WIKINIUM\_MATH\_PH\_46 ， WIKINIUM\_MATH\_PH\_48 。

### 坐標曲面

每一個 WIKINIUM\_MATH\_PH\_50 -坐標曲面都是包含了焦圓，而不同心的圓球面。圓球半徑為

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_52 。
正值 WIKINIUM\_MATH\_PH\_54 的圓球面的圓心都在正 z-軸；而負值 WIKINIUM\_MATH\_PH\_56 的圓球面的圓心則在負 z-軸。當絕對值 WIKINIUM\_MATH\_PH\_58 增加時，圓球半徑會減小，圓心會靠近原點。當圓心與原點同點時， WIKINIUM\_MATH\_PH\_60 達到最大值 WIKINIUM\_MATH\_PH\_62 。

每一個 WIKINIUM\_MATH\_PH\_64 -坐標曲面都是不相交的環面。每一個環面都包圍著焦圓。環面半徑為

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_66 。
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_68 曲線與 z-軸同軸。當 WIKINIUM\_MATH\_PH\_70 值增加時，圓球面的半徑會減少，圓球心會靠近焦點。

### 逆變換

圖 3 ）點 P 的坐標 WIKINIUM\_MATH\_PH\_72 與 WIKINIUM\_MATH\_PH\_74 的幾何詮釋。在一個方位角 WIKINIUM\_MATH\_PH\_76 為常數的平面裏，圓環坐標系變成雙極坐標系。 WIKINIUM\_MATH\_PH\_78 與 WIKINIUM\_MATH\_PH\_80 的夾角 WIKINIUM\_MATH\_PH\_82 的弧度是 WIKINIUM\_MATH\_PH\_84 。 WIKINIUM\_MATH\_PH\_86 與 WIKINIUM\_MATH\_PH\_88 的比例的自然對數是 WIKINIUM\_MATH\_PH\_90 。 WIKINIUM\_MATH\_PH\_92 與 WIKINIUM\_MATH\_PH\_94 的等值曲線都是圓圈，分別以紅色與藍色表示。兩條等值曲線以直角相交（以洋紅色表示）。
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_96 是 WIKINIUM\_MATH\_PH\_98 與 WIKINIUM\_MATH\_PH\_100 的比例的自然對數：

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_102 。
圓環坐標 WIKINIUM\_MATH\_PH\_104 可以用直角坐標 WIKINIUM\_MATH\_PH\_106 來表達。方位角 WIKINIUM\_MATH\_PH\_108 的公式為

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_110 。
點 P 與兩個焦點之間的距離是

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_112 、
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_114 。
如圖 3 ， WIKINIUM\_MATH\_PH\_116 是兩條從點 P 到兩個焦點的線段 WIKINIUM\_MATH\_PH\_118 與 WIKINIUM\_MATH\_PH\_120 的夾角。這夾角的弧度是 WIKINIUM\_MATH\_PH\_122 。用餘弦定理來計算：

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_124 。
### 標度因子

圓環坐標 WIKINIUM\_MATH\_PH\_126 與 WIKINIUM\_MATH\_PH\_128 的標度因子相等：

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_130 。
方位角的標度因子為

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_132 。
無窮小體積元素是

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_134 。
拉普拉斯算子是

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_136 。
其它微分算子，像 WIKINIUM\_MATH\_PH\_138 、 WIKINIUM\_MATH\_PH\_140 ，都可以用 WIKINIUM\_MATH\_PH\_142 坐標表示，只要將標度因子代入在正交坐標系條目內對應的一般公式。

## 應用

圓環坐標有一個經典的應用，這是在解析像拉普拉斯方程這類的偏微分方程式。在這些方程式裏，圓環坐標允許分離變數法的使用。個典型的例題是，有一個圓環導體，請問其周圍的電位與電場為什麼？應用圓環坐標，我們可以精緻地分析這例題。

由於托卡馬克的圓環形狀，圓環坐標時常用在托卡馬克的核融合理論研究。

## 參閱

* 國際熱核聚變實驗反應堆

## 參考文獻

* Arfken G. Mathematical Methods for Physicists 2nd ed. Orlando, FL: Academic Press. 1970: pp. 112–115.  引文格式1维护：冗余文本 (link)
* Andrews, Mark. Alternative separation of Laplace’s equation in toroidal coordinates and its application to electrostatics. Journal of Electrostatics. 2006, **64**: 664–672.

## 參考目錄

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* Korn GA, Korn TM. Mathematical Handbook for Scientists and Engineers. New York: McGraw-Hill. 1961: p. 182.  引文格式1维护：冗余文本 (link)
* Margenau H, Murphy GM. The Mathematics of Physics and Chemistry. New York: D. van Nostrand. 1956: pp. 190–192.  引文格式1维护：冗余文本 (link)
* Moon PH, Spencer DE. Toroidal Coordinates (η, θ, ψ). Field Theory Handbook, Including Coordinate Systems, Differential Equations, and Their Solutions 2nd ed., 3rd revised printing. New York: Springer Verlag. 1988: pp. 112–115 (Section IV, E4Ry). ISBN 0-387-02732-7.  引文格式1维护：冗余文本 (link)