# 雙球坐標系[编辑]

圖 1 ）雙球坐標系的幾個坐標曲面。紅色環面的 WIKINIUM\_MATH\_PH\_0 。藍色圓球面的 WIKINIUM\_MATH\_PH\_2 。黃色半平面的 WIKINIUM\_MATH\_PH\_4 。z-軸是垂直的，以白色表示。 x-軸以綠色表示。三個坐標曲面相交於點 P （以黑色的圓球表示），直角坐標大約為 WIKINIUM\_MATH\_PH\_6 。
圖 2 ）雙極坐標系繪圖。紅色圓圈變成上圖的紅色環面（ WIKINIUM\_MATH\_PH\_8 -坐標曲面），而藍色圓圈則變成藍色圓球面（ WIKINIUM\_MATH\_PH\_10 -坐標曲面）。
**雙球坐標系**（英語：Bispherical coordinates）是一種三維正交坐標系。設定二維雙極坐標系包含於 xz-平面。設定這雙極坐標系的兩個焦點 WIKINIUM\_MATH\_PH\_12 與 WIKINIUM\_MATH\_PH\_14 包含於 z-軸。將雙極坐標系繞著 z-軸旋轉，則可以得到雙球坐標系。在這二維雙極坐標系裏，坐標 WIKINIUM\_MATH\_PH\_16 的等值曲線是圓圈。 經過旋轉後，圓圈變成一個環面，而圓圈的圓心變成一個包含於 xy-平面的圓圈，稱為**環心圓**。稱環心圓至環面的距離為**環小半徑**。

## 基本定義

在三維空間裏，一個點 P 的雙球坐標 WIKINIUM\_MATH\_PH\_18 最常見的定義是

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_20 、
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_22 、
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_24 ；
其中， WIKINIUM\_MATH\_PH\_26 是直角坐標， WIKINIUM\_MATH\_PH\_28 坐標是 WIKINIUM\_MATH\_PH\_30 的弧度， WIKINIUM\_MATH\_PH\_32 坐標是點 P 離兩個焦點的距離 WIKINIUM\_MATH\_PH\_34 與 WIKINIUM\_MATH\_PH\_36 的比例的自然對數：

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_38 。
### 坐標曲面

每一個紅色的 WIKINIUM\_MATH\_PH\_40 -坐標曲面都是包含了兩個焦點 WIKINIUM\_MATH\_PH\_42 與 WIKINIUM\_MATH\_PH\_44 環面。，每一個環面的環心圓都不相同。這些環心圓都包含於 xy-平面。環小半徑為

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_46 。
當絕對值 WIKINIUM\_MATH\_PH\_48 增加時，環小半徑會減小，環心圓會靠近原點。當環心圓與原點同點時， WIKINIUM\_MATH\_PH\_50 達到最大值 WIKINIUM\_MATH\_PH\_52 。

每一個藍色的 WIKINIUM\_MATH\_PH\_54 -坐標曲面都是不相交的圓球面。每一個圓球面都包圍著一個焦點；圓球心都包含於 z-軸。圓球半徑為

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_56 。
它們的圓球心都包含於 z-軸。正值 WIKINIUM\_MATH\_PH\_58 的圓球面在 WIKINIUM\_MATH\_PH\_60 半空間；而負值 WIKINIUM\_MATH\_PH\_62 的圓球面在 WIKINIUM\_MATH\_PH\_64 半空間。 WIKINIUM\_MATH\_PH\_66 曲線則與 xy-平面同平面。當 WIKINIUM\_MATH\_PH\_68 值增加時，圓球面的半徑會減少，圓球心會靠近焦點。

### 逆變換

圖 3 ）點 P 的坐標 WIKINIUM\_MATH\_PH\_70 與 WIKINIUM\_MATH\_PH\_72 的幾何意義。在一個方位角 WIKINIUM\_MATH\_PH\_74 為常數的平面裏，雙球坐標系變成雙極坐標系。 WIKINIUM\_MATH\_PH\_76 是角 WIKINIUM\_MATH\_PH\_78 的弧度。 WIKINIUM\_MATH\_PH\_80 是點 P 離兩個焦點的距離 WIKINIUM\_MATH\_PH\_82 與 WIKINIUM\_MATH\_PH\_84 的比例的自然對數。 WIKINIUM\_MATH\_PH\_86 與 WIKINIUM\_MATH\_PH\_88 的等值曲線都是圓圈，分別以紅色與藍色表示。兩條等值曲線以直角相交（表示在洋紅色的方盒裏）。
雙球坐標 WIKINIUM\_MATH\_PH\_90 可以用直角坐標 WIKINIUM\_MATH\_PH\_92 來表示。方位角 WIKINIUM\_MATH\_PH\_94 的公式為

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_96 。
點 P 與兩個焦點之間的距離是

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_98 、
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_100 。
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_102 是 WIKINIUM\_MATH\_PH\_104 與 WIKINIUM\_MATH\_PH\_106 的比例的自然對數：

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_108 。
如圖 3 ， WIKINIUM\_MATH\_PH\_110 是兩條從點 P 到兩個焦點的線段 之間的夾角。這夾角的弧度是 WIKINIUM\_MATH\_PH\_112 。用餘弦定理來計算：

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_114 。
### 標度因子

雙球坐標 WIKINIUM\_MATH\_PH\_116 與 WIKINIUM\_MATH\_PH\_118 的標度因子相等：

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_120 。
方位角的標度因子為

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_122 。
無窮小體積元素是

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_124 。
拉普拉斯算子是

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_126 。
其它微分算子，像 WIKINIUM\_MATH\_PH\_128 ， WIKINIUM\_MATH\_PH\_130 ，都可以用 WIKINIUM\_MATH\_PH\_132 坐標表示，只要將標度因子代入在正交坐標系條目內對應的一般公式。

## 應用

雙球坐標有一個經典的應用，這是在解析像拉普拉斯方程或亥姆霍茲方程這類的偏微分方程式。在這些方程式裏，雙球坐標允許分離變數法的使用。一個典型的例題是，有兩個不同半徑的圓球導體，請問其周圍的電位與電場為什麼？應用雙球坐標，我們可以精緻地分析這个问題。

## 參閱

## 參考目錄

* Morse PM, Feshbach H. Methods of Theoretical Physics, Part I. New York: McGraw-Hill. 1953: p. 665–666.  引文格式1维护：冗余文本 (link)
* Korn GA, Korn TM. Mathematical Handbook for Scientists and Engineers. New York: McGraw-Hill. 1961: p. 182.  引文格式1维护：冗余文本 (link)
* Zwillinger D. Handbook of Integration. Boston, MA: Jones and Bartlett. 1992: p. 113. ISBN 0-86720-293-9.  引文格式1维护：冗余文本 (link)
* Moon PH, Spencer DE. Toroidal Coordinates (η, θ, ψ). Field Theory Handbook, Including Coordinate Systems, Differential Equations, and Their Solutions 2nd ed., 3rd revised printing. New York: Springer Verlag. 1988: pp. 110–112 (Section IV, E4Ry). ISBN 0-387-02732-7.  引文格式1维护：冗余文本 (link)