# 超橢圓[编辑]

WIKINIUM\_MATH\_PH\_0 ， WIKINIUM\_MATH\_PH\_2 的超橢圓
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_4 ， WIKINIUM\_MATH\_PH\_6 的超橢圓
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_8 ， WIKINIUM\_MATH\_PH\_10 的超橢圓，也稱為方圓形（Squircle）
**超橢圓**（英語：superellipse）也稱為**拉梅曲線**（Lamé curve），是在笛卡儿坐标系下滿足以下方程式的點的集合：

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_12
其中 WIKINIUM\_MATH\_PH\_14 、 WIKINIUM\_MATH\_PH\_16 及 WIKINIUM\_MATH\_PH\_18 為正數。

上述方程式的解會是一個在 WIKINIUM\_MATH\_PH\_20 及 WIKINIUM\_MATH\_PH\_22 長方形內的封閉曲線，參數 WIKINIUM\_MATH\_PH\_24 及 WIKINIUM\_MATH\_PH\_26 稱為曲線的**半直徑**（semi-diameters）。

 *WIKINIUM\_MATH\_PH\_28* 在0和1之間時，超橢圓的圖形類似一個曲線的四角星，四邊的曲線往內凹。

 *WIKINIUM\_MATH\_PH\_30* 為1時，超橢圓的圖形為一菱形，四個頂點為 WIKINIUM\_MATH\_PH\_32 及 WIKINIUM\_MATH\_PH\_34 。 *WIKINIUM\_MATH\_PH\_36* 在1和2之間時，超橢圓的圖形類似菱形，四個頂點位置相同，但四邊是往外凸的曲線，越接近頂點，曲線的曲率越大，頂點的曲率趨近無限大。

 *WIKINIUM\_MATH\_PH\_38* 為2時，超橢圓的圖形即為橢圓（若 WIKINIUM\_MATH\_PH\_40 時則為一個圓形）。當 *WIKINIUM\_MATH\_PH\_42* 大於2時，超橢圓的圖形看似四角有圓角的長方形，曲線的曲率在 WIKINIUM\_MATH\_PH\_44 及 WIKINIUM\_MATH\_PH\_46 四點為0。 *WIKINIUM\_MATH\_PH\_48* 為4的超橢圓也稱為方圓形。

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_50 的超橢圓也稱為**次椭圆**（hypoellipse）， WIKINIUM\_MATH\_PH\_52 的超橢圓則稱為**過椭圆**（hyperellipse）。

當 WIKINIUM\_MATH\_PH\_54 ，且 WIKINIUM\_MATH\_PH\_56 時的超橢圓是二維Lp空间下的單位圓， *WIKINIUM\_MATH\_PH\_58* 即為其p-範數。

超橢圓的極點為 WIKINIUM\_MATH\_PH\_60 及 WIKINIUM\_MATH\_PH\_62 ，而其四個「角」為 WIKINIUM\_MATH\_PH\_64 ，其中 WIKINIUM\_MATH\_PH\_66 。

## 數學性質

當 *WIKINIUM\_MATH\_PH\_68* 為一個非零的有理數 WIKINIUM\_MATH\_PH\_70 （最簡分數形式），則超橢圓為一平面代數曲線。若 *WIKINIUM\_MATH\_PH\_72* 為正數，其曲線次數為 WIKINIUM\_MATH\_PH\_74 ，若 *WIKINIUM\_MATH\_PH\_76* 為負數，其曲線次數為 WIKINIUM\_MATH\_PH\_78 。若 WIKINIUM\_MATH\_PH\_80 和 WIKINIUM\_MATH\_PH\_82 均為1且 *WIKINIUM\_MATH\_PH\_84* 為偶數，則此超橢圓為一 *WIKINIUM\_MATH\_PH\_86* 次的費馬曲線，此時超橢圓沒有奇點，但一般而言超橢圓中會有有奇點。

超橢圓的動畫
超橢圓的參數方程如下：

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_88
或

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_90
超橢圓內的面積可以用Γ函数 WIKINIUM\_MATH\_PH\_92 來表示：

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_94 = WIKINIUM\_MATH\_PH\_96
其垂足曲線較容易計算，而以下曲線的垂足曲線

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_98
可以用極坐標方式來表示：

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_100

## 延伸

廣義的超橢圓， WIKINIUM\_MATH\_PH\_102 .
超橢圓可以延伸為以下的形式：

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_104
或

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_106
其中的 WIKINIUM\_MATH\_PH\_108 **不是**表示角度，只是方程式的一個參數。

## 歷史

超橢圓在笛卡兒坐標系下的表示式是由1795年出生的法國數學家加布里埃爾·拉梅，由椭圓的方程式擴展而得。

Zapf's Melior字體的'o'及'O'的輪廓可以用 WIKINIUM\_MATH\_PH\_110 的超橢圓來表示
字體設計師赫爾曼·察普夫在1952年設計的Melior字體，利用超橢圓作為字母*o*的外形。三十年後高德納設法選擇了介於橢圓及超橢圓之間的曲線（兩者都用样条函数近似），作為他的Computer Modern字體。

1959年時瑞典斯德哥尔摩提出了其市中心賽格爾廣場圓環的設計競賽。丹麥詩人皮亞特·海恩(1905–1996)的設計以是一個*n* = 2.5，*a*/*b* = 6/5的超橢圓為基礎。他的說明如下：

人是唯一一種會畫線然後將自己絆倒的動物。整個文明的推進有二個不同的取向：一種以直線及長方形為主，另一種則圓弧線為主。二種取向都有其機構上及心理上的原因。直線的事物可以放在一起，節省空間。而圓的東西很簡單，容易移動。但我們常常會陷入要在二者中選擇一個的困境，此時往往是介於二者中間的事物會更合適。隨意繪製的作品－例如以往在斯德哥尔摩出現過的圓環－無法達到這一點。它不是一個固定的形狀，也不像圓或方形有明確的定義，在美感上有所不足。超橢圓解決了這一個問題，它介於圓和長方形之間，既不是圓也不是長方形。它是一個有固定形狀、有明確定義的一個整體。
賽格爾廣場在1967年完成，而皮亞特·海恩繼續在其他的藝術品中使用超橢圓，包括牀、碟子、桌子等。皮亞特·海恩將超橢圓以長軸為軸心旋轉，形成了一個立體的超級蛋，其特點是可以平面上直立，不會倒下，因此變成一個特別的玩具。

1968年在巴黎在為越戰談判時，談判者不滿意談判桌的外形，Balinski、Kieron Underwood及Holt在一封寄給紐約時報的信件中建議以超橢圓作為談判桌的外形。1968年由墨西哥城主辦奧運時，也以超橢圓為阿茲特克體育場的外形。

沃尔多·托布勒在1973年提出了托布勒超橢圓投影，其中的經線就是用超橢圓來表示。

美式足球球隊匹兹堡钢人的標誌是三個相連的超橢圓。

## 相關條目

* 星形线， WIKINIUM\_MATH\_PH\_112 ，且 WIKINIUM\_MATH\_PH\_114 的超橢圓，是四尖瓣的內擺線。
	+ 三尖瓣線，是三尖瓣的內擺線。
* 方圓形， WIKINIUM\_MATH\_PH\_116 ，且 *WIKINIUM\_MATH\_PH\_118* 的超橢圓，看起來像是「正方形的輪子」。
	+ 勒洛三角形，看起來像是「三角形的輪子」。
* 超公式，超橢圓的延伸。
* 超二次曲面体，三維下的超橢圓。
* 超橢圓曲線（Superelliptic curve），方程為 WIKINIUM\_MATH\_PH\_120 的曲線。

## 參考資料