Rikunarita-ORG/Wikinium huggingface dataset:
# 地球重力场和海洋环流探测卫星[编辑]

**地球重力场和海洋环流探测卫星**（**G**ravity Field and Steady-State **O**cean **C**irculation **E**xplorer，簡稱**GOCE**）是欧洲空间局研制的一颗地球探测卫星。该卫星重约1吨，使用寿命为10年，在离地面约260公里的地球轨道运行，属于低轨道卫星。该卫星配备多套探测设备，其中一套高灵敏度重力梯度仪将对地球重力场每分钟的变化进行三维测量，這衛星至少連續兩年提供包括地球磁場、地表冰層厚度及海洋中的洋流等多方面的數據。原定於9月10日發射升空，但由於發射衛星的運載火箭第二級子系統的導航裝置存在異常情況，發射日期被推遲到10月5日，隨後日期又被延至10月27日，結果等到2009年3月16日，衛星再次被放上發射台，但在發射前7秒，欧洲空间局突然宣布推遲24小時發射，2009年3月17日，该卫星在俄罗斯普列谢茨克发射场由轰鸣号运载火箭搭载升空。

然而，北京时间2013年11月10日报道：欧洲空间局所属“重力场和稳态海洋环流探测”卫星（即GOCE）已经完成使命。欧洲空间局决定将其引导进入地球大气层焚毁。这颗卫星重约1吨，专家估计一旦进入地球大气层，这颗卫星将无法完全被烧毁，某些部分将坠落地面。研究人员估算认为有2/3的可能性这颗卫星的所有部件都将会坠落到大海之中。但即便最终真的有部分组件坠落在陆地上，那么有可能的坠落地区范围将包括加拿大，西伯利亚，撒哈拉，南极或是其它相对人烟稀少或无人居住的广袤地区。科学家们表示，大约仅有7%的可能性会有卫星碎片坠落到靠近有人居住地区的附近。。

2013年11月11日报道，欧洲航天局表示，欧洲GOCE卫星已重新进入地球大气层，并在降落过程中燃烧解体。据悉，GOCE卫星在进入大气层的过程中，大部分都将燃烧殆尽，剩下的一些碎片残骸预计会落到从东亚至西太平洋至南极洲这一地区。

* 重力量測及氣候監控衛星
* 重力回溯及內部結構實驗室

## 參考文獻
# 多普勒测量[编辑]

**多普勒测量**（英語：Doppler measurement）是通过观测无线电波的多普勒频移来确定两点间的相对速度或距离差的测量方式，后者又称**距离差测量**。多普勒测量可应用于多普勒雷达、激光多普勒测速仪等各种场合，亦可应用于卫星导航系统中测定卫星或测站的位置（即多普勒定位）和速度。

## 多普勒测速

### 多普勒效应

在相对论框架下，多普勒效应可表达成如下形式：

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_0
其中，各个量所代表的含义为

* WIKINIUM\_MATH\_PH\_2 是电磁波的接收频率
* WIKINIUM\_MATH\_PH\_4 是电磁波的发射频率
* WIKINIUM\_MATH\_PH\_6 是发射者 WIKINIUM\_MATH\_PH\_8 相对于接收者 WIKINIUM\_MATH\_PH\_10 的速度
* WIKINIUM\_MATH\_PH\_12 是该速度方向相对于 WIKINIUM\_MATH\_PH\_14 方向的夹角
* WIKINIUM\_MATH\_PH\_16 是光速

两者间距离 WIKINIUM\_MATH\_PH\_18 随时间 WIKINIUM\_MATH\_PH\_20 的变化率 WIKINIUM\_MATH\_PH\_22 与该相对速度之间的关系为：

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_24
因而，将多普勒效应的表达式进行级数展开：

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_26
### 多普勒频移

当接收者与发送者的相对速度远小于光速（即 WIKINIUM\_MATH\_PH\_28 ）时，仅保留级数的最大项，得到

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_30
得到的发射频率 WIKINIUM\_MATH\_PH\_32 与接收频率 WIKINIUM\_MATH\_PH\_34 之差被称为多普勒频移（英語：Doppler shift）：

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_36
### 横向多普勒效应

在除去多普勒频移后，级数中的剩余项被称为横向多普勒效应（英語：transversal Doppler effect）：

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_38
横向多普勒效应发生在与发射者与接收者的连线 WIKINIUM\_MATH\_PH\_40 相垂直的方向上，高精度的测量需要考虑对该效应进行改正。

## 多普勒测距

### 多普勒计数

在发射者与接收者之间设定一相同的基准频率 WIKINIUM\_MATH\_PH\_42 ，当两者间存在多普勒效应时，接收方可以通过混频的方式求得拍频信号 WIKINIUM\_MATH\_PH\_44 。将该差频信号在时域 WIKINIUM\_MATH\_PH\_46 上进行积分：

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_48
得到的 WIKINIUM\_MATH\_PH\_50 被称为积分多普勒计数（英語：integrated Doppler count）， WIKINIUM\_MATH\_PH\_52 和 WIKINIUM\_MATH\_PH\_54 分别表示积分开始和结束的时间。

### 距离差测量

将多普勒频移的公式代入多普勒计数的公式中，可以将多普勒计数转换为积分起始时刻两者的距离差 WIKINIUM\_MATH\_PH\_56 ，即

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_58
这一测量方式又被称为距离差测量。然而在实际应用中，计数器通常不能判别 WIKINIUM\_MATH\_PH\_60 的符号，距离差 WIKINIUM\_MATH\_PH\_62 的符号亦无法判别。因此，通常会人为地提高接收者所产生的信号频率至 WIKINIUM\_MATH\_PH\_64 ，以保证 WIKINIUM\_MATH\_PH\_66 恒成立，此时上式变为

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_68
积分起始时刻两者的距离差 WIKINIUM\_MATH\_PH\_70 则写作

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_72

* 子午仪卫星导航系统
* 多普勒无线电定轨定位系统
# 載波相位測量

**載波相位測量**（英語：Carrier phase measurement）
利用衛星與接收器之間相對運動的關係，先取得衛星發射訊號時所產生的相位與接收器接收時所產生的參考相位，並求出兩者之間的相位差值，即為載波觀測量。測量方法與虛擬距離相似，但虛擬距離是利用電碼觀測。

載波相位測量由於載波的波長比C/A電碼(初略擷取碼)與P電碼(精確碼)都短，所以載波相位觀測的解析度相較於虛擬距離來的高，精度通常在公分等級，會比虛擬距離觀測量的公尺等級更加精確。但相較於電碼有0，1的變化，載波的每個波都相同，故難以計算載波有多少個完整週期。因為無法直接得知整數週波數，必須解算週波未定值，計算完即可算出比電碼更精確的距離，這樣的過程使載波相位測量相對於虛擬距離是相當複雜的。
因為可以產出精度公分等級的精度，所需的設備與解算程序較複雜，成本較高，載波相位測量可以應用在控制測量、工程測量等

## 參考資料
# DORIS (卫星定位系统)

|  |
| --- |
| The DORIS antenna and receiver installed onboard OSTM/Jason-2 satellite  |
| 国家或地区 | France |
| 运行组织 | CNES |
| 类型 | Civilian |
| 状态 | Operational |
| 星座规模 |
| 首次发射 | 1990年 (1990) |

The UHF transmitting antenna of DORIS\_(geodesy) DNO ground station (beacon) at Dionysos, Greece.
**DORIS系统**（法語：**D**étermination d'**O**rbite et **R**adiopositionnement **I**ntégré par **S**atellite，缩写：**DORIS**），亦称**多普勒无线电定轨定位系统**、**卫星多普勒定轨定位系统**和**多普勒雷达和无线电定位组合系统**，是利用多普勒测量方式进行卫星定轨，并利用空间无线电定位的组合系统，由法國國家太空研究中心研制和运营。

## 原理

基于地面无线电信标发送信号，接收卫星接收信号。这与其他全球导航卫星系统将发射端放在在太空传播而在大多数情况将接收端设在地球表面附近的配置相反。由于卫星的移动造成的多普勒效应下，信号频率会发生变化。卫星在轨道上测量，可以得到地面位置以及其他的参数。

## 组织

DORIS系统由法国国家太空研究中心发射并维护。相关人员在法国图卢兹对其进行操作。

## 地面部分

## 太空部分

## 参閲

* 全球定位系統(GPS)
* 格洛纳斯系统(GLONASS)
* 北斗卫星导航系统(BDS)
* 伽利略定位系統(Galileo)
* 印度區域導航衛星系統(IRNSS)
* 准天顶卫星系统(QZSS)
* 辅助全球卫星定位系统(AGPS)
* 北斗卫星导航试验系统
* GPS誤差分析(Error analysis for the GPS)

## 参考资料

## 參考文獻

* G. Seeber: *Satellite Geodesy*. De Gruyter-Verlag, 2. Auflage (590p.), Berlin 2003

* AVISO, website which distributes satellite altimeter data
* IDS（页面存档备份，存于互联网档案馆）, International DORIS Service
# 国际GNSS服务[编辑]

**国际GNSS服务**（**I**nternational **G**NSS **S**ervice，简称**IGS**）前身为**国际GPS服务**（International GPS Service）,是一家由国际大地测量协会（IAG）组建的国际协作组织，其主要作用及时提供GPS数据和高精度的卫星星历，为大地测量学和地球动力学研究提供服务。

## 历史

由国际大地测量协会组建于于1993年，当时全名为International GPS service for Geodynamics（国际地球动力学服务机构）。1994年1月1日正式开始运作。随着IGS的发展，其服务领域不断扩大，故于1999年1月1日改名为International GPS Service（国际GPS服务）。随着俄罗斯的导航系统格洛纳斯系统的逐步建成，IGS也开始提供格洛纳斯系统卫星星历。所以经IGS管理委员会投票决定将名称更改为**国际GNSS服务**。GNSS 是英文 Global Navigation Satellite System （全球卫星导航系统）的缩写。

* 国家测绘局：国际GPS服务的现状与最新进展
* IGS官网上的介绍

* IGS官方网站
# 正高[编辑]

地球表面某一点的**正高**是指该点沿铅垂方向至大地水准面的距离。某点的正高与过该点的水准面和起始大地水准面之间的位能差有关，不因水准路线而异，可以唯一确定，所以可以表示某一点的高程。又因为地球内部的质量和密度不均匀，导致正高不能精确测得，故又引入正常高系统。

* 高程系统
* 正常高

## 参考资料

* 孔祥元 郭际明 刘宗泉. 大地测量学基础 (M)使用`|format=`需要含有`|url=` (帮助) 1. 武汉: 武汉大学出版社. 2005: 75. ISBN 978-7-307-04837-9.
# 似大地水准面[编辑]

**似大地水准面**也称**准大地水准面**，是苏联科学家莫洛坚斯基研究地球形状时引入的一个虚拟的辅助面，似大地水准面是正常高的基准面，它与大地水准面之差等于正高与正常高之差。似大地水准面是由地面点沿正常重力线向下量取该点的正常高，其端点所构成的曲面。

## 参看

* 大地水准面
* 正高
* 正常高

* 测绘词典[M].第一版.上海：上海辞书出版社，1981：261
# 正常高[编辑]

**正常高** 是 參考橢球 沿法線方向到 似地表面 的距離，是为了解决正高系统中重力 g 不能精确测定而使用平均正常重力代替而得到的一种系统的高程。1954年由苏联地理学家莫洛坚斯基提出。与正高相比，正常高可以精确求得，数值不随水准路线不同而不同。中国国家的高程系统使用的就是正常高系统。

* 高程系统
* 正高
# 大圆[编辑]

**大圆**（英語：**great circle**），也稱為**正交場**，是球體的表面和穿過球體中心點（球心）之平面的交集。大圆线是连接球面上两点最短的路径所在的曲线。大圆线是球面上半径最大的圆弧。

圖上的兩個圓就是大圓。
## 地球上重要的大圆线

若假设地球为球体（如普通的地球仪），所有的經線都是大圆线，緯線則只有赤道一条大圆线。

* 赤道
* 本初子午線
* 晨昏圈
* 黄道

* 大圆距离

* Great Circle Mapper（页面存档备份，存于互联网档案馆） - 大圓航線
* Detailed Great Circle Calculation (English) （页面存档备份，存于互联网档案馆）繪圖網站
# 度规

**度规**是用以测量、测度的尺规；现今以公制作为度量的标准尺规。**度規**亦可能指：

* 度規張量（英語：metric tensor），黎曼流形上，定義距離、面積、角度等概念的張量。
* 距离函数（英語：metric function），度量空間上，定義任兩點間距離的函數。
* 度規函數（英語：gauge function），線性空間上，利用一個凸集來定義距離的函數。
# 主曲率[编辑]

鞍面中在主曲率方向的法平面
在微分几何中，在曲面给定点的两个**主曲率**（principal curvatures）衡量了在给定点一个曲面在这一点的不同方向怎样不同弯曲的程度。

在曲面上取一点 WIKINIUM\_MATH\_PH\_0 ，曲面在 WIKINIUM\_MATH\_PH\_2 点的法线为z轴，过z轴可以有无限多个剖切平面，每个剖切平面与曲面相交，其交线为一条平面曲线，每条平面曲线在 WIKINIUM\_MATH\_PH\_4 点有一个曲率半径。不同的剖切平面上的平面曲线在 WIKINIUM\_MATH\_PH\_6 点的曲率半径一般是不相等的。这些曲率半径中，有一个最大和最小的曲率半径，称之为主曲率半径，记作 WIKINIUM\_MATH\_PH\_8 与 WIKINIUM\_MATH\_PH\_10 ，这两个曲率半径所在的方向，数学上可以证明是相互垂直的。

这里一条曲线的曲率由定义是密切圆半径的倒数。当曲线转向与平面给定法向量相同方向时，曲率取正值，否则取负值。当曲率取最大与最小值的两个法平面方向总是垂直的，这是欧拉在1760年的一个结论，称之为**主方向**。从现代的观点来看，这个定理来自谱定理因为它们可以作为对应于高斯映射微分的一个对称矩阵的本征向量。对主曲率和主方向的系统研究由达布使用达布标架完成。

两个主曲率的乘积 WIKINIUM\_MATH\_PH\_12 是高斯曲率 WIKINIUM\_MATH\_PH\_14 ，而平均值 WIKINIUM\_MATH\_PH\_16 是平均曲率 WIKINIUM\_MATH\_PH\_18 。

如果在每一点至少有一个主曲率是零，则高斯曲率是零，这种曲面是可展曲面。对极小曲面，平均曲率在每一点是零。

## 正式定义

设 WIKINIUM\_MATH\_PH\_20 是欧几里得空间中一个曲面，第二基本形式为 WIKINIUM\_MATH\_PH\_22 。固定一点 WIKINIUM\_MATH\_PH\_24 ，以及在 WIKINIUM\_MATH\_PH\_26 点切空间的一个标准正交基 WIKINIUM\_MATH\_PH\_28 、 WIKINIUM\_MATH\_PH\_30 。则主曲率是如下对称矩阵的本征值

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_32
如果选取 WIKINIUM\_MATH\_PH\_34 与 WIKINIUM\_MATH\_PH\_36 使得矩阵 WIKINIUM\_MATH\_PH\_38 是一个对角矩阵，则它们称为主方向。如果曲面已定向，则通常要求 WIKINIUM\_MATH\_PH\_40 与给定的定向相同。

若没有一个特定的标准正交基，主曲率是形算子的本征值，而主方向是本征向量。

### 推广

对高维欧几里得空间中超曲面，主曲率可类似地定义。主曲率是第二基本形式在一个标准正交基下矩阵 WIKINIUM\_MATH\_PH\_42 的本征值，主方向是对应的本征向量。

类似地，如果 WIKINIUM\_MATH\_PH\_44 是黎曼流形 WIKINIUM\_MATH\_PH\_46 中一个超曲面，则主曲率是其第二基本形式的本征值。如果 WIKINIUM\_MATH\_PH\_48 是点 WIKINIUM\_MATH\_PH\_50 的 WIKINIUM\_MATH\_PH\_52 个主曲率而 WIKINIUM\_MATH\_PH\_54 是对应的标准正交本征向量（主方向），则 WIKINIUM\_MATH\_PH\_56 在 WIKINIUM\_MATH\_PH\_58 的截面曲率为

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_60
## 曲面上点的分类

* 在**椭圆型**（elliptical）点，两个主曲率有同样的符号，而曲面是局部凸的。
	+ 在**脐点**（umbilic point），两个主曲率相等而任意切向量可作为主方向。这通常出现于离散点。
* 在**双曲型**（hyperbolic）点，主曲率的符号相反，曲面局部是鞍形。
* 在**抛物型**（parabolic）点，一个主曲率是零。抛物型点通常位于分离椭圆型点与双曲型点的一条曲线上。
	+ 在**平脐点**（flat umbilic point）两个主曲率都是零。一般曲面没有平脐点，猴鞍面具有离散平脐点。

## 曲率线

**曲率线**（lines of curvature 或 curvature lines）是总与一个主方向相切的曲线，它们是主方向场的积分曲线。过每个非脐点有两条曲率线，它们相交成直角。

在一个脐点附近曲率线有三类布局：星形（star）、柠檬形（lemon）以及檬星形（monstar，源于 *lemon-star*）。为了纪念达布，这些点也称为达布脐点，他最先在他1896年的课程（Vol. 4, p455）中做了系统性研究。

* 脐点附近的曲率线布局
* 柠檬形
* 檬星形
* 星形

在这些布局中，红色曲线是一类主方向的曲率线，而蓝色曲线是另一类的。

当一条曲率线对同一个主曲率有一个局部极值，则此曲线有一个脊点（ridge point）。曲面上曲线的脊点称为**脊**。脊曲线经过脐点。对星形布局有 3 条或 1 条脊线经过脐点，对 monstar 与 lemon 只有一条脊线经过。

* Darboux, Gaston. Leçons sur la théorie génerale des surfaces: Volume I, Volume II, Volume III, Volume IV. Gauthier-Villars. 1887,1889,1896.  请检查`|date=`中的日期值 (帮助); 外部链接存在于`|title=` (帮助)
* Guggenheimer, Heinrich. Chapter 10. Surfaces. Differential Geometry. Dover. 1977. ISBN 0-486-63433-7.
* Kobayashi, Shoshichi and Nomizu, Katsumi. Foundations of Differential Geometry, Vol. 2. Wiley-Interscience. 1996 (New edition). ISBN 0471157325.  请检查`|date=`中的日期值 (帮助)
* Spivak, Michael. A Comprehensive introduction to differential geometry (Volume 3). Publish or Perish. 1999. ISBN 0-914098-72-1.

* Historical Comments on Monge's Ellipsoid and the Configuration of Lines of Curvature on Surfaces Immersed in **R**3Archive.today的存檔，存档日期2012-12-15
# 黎曼流形

**黎曼流形**（Riemannian manifold）是一個微分流形，其中每點*p*的切空間都定義了點積，而且其數值隨*p*平滑地改變。它容許我們定義弧線長度、角度、面積、體積、曲率、函數梯度及向量域的散度。

每個**Rn*的平滑子流形可以导出黎曼度量：把**Rn*的點積都限制於切空間內。實際上，根据纳什嵌入定理，所有黎曼流形都可以這樣产生。

我們可以*定義*黎曼流形為和**Rn*的平滑子流形是等距同构的度量空間，**等距**是指其内蕴度量（intrinsic metric）和上述从**Rn*导出的度量是相同的。这對建立黎曼幾何是很有用的。

黎曼流形可以定义为平滑流形，其中给出了一个切丛的正定二次形的光滑截面。它可產生度量空間：

如果γ : [*a*, *b*] → *M*是黎曼流形*M*中一段連續可微分的弧線，我們可以定義它的長度*L*（γ）為

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_0
（注意：γ'（*t*）是切空間*M*在γ（*t*）點的元素；||·||是切空間的內積所得出的範數。）

使用这个长度的定义，每个连通的黎曼流形*M*很自然的成为一个度量空間（甚至是長度度量空間）：在*x*與*y*兩點之間的距離*d*（*x*, *y*）定義為：

*d*(*x*,*y*) = inf{ L(γ) : γ是连接*x*和*y*的一条光滑曲线}。
虽然黎曼流形通常是弯曲的，“直線”的概念依然存在：那就是測地線。

在黎曼流形中，測地線完备的概念，和拓撲完备及度量完备是等价的：每个完备性都可以推出其他的完备性，这就是Hopf-Rinow定理的内容。

## 參看

* 黎曼幾何
* 芬斯勒流形
* 黎曼子流形
* 假黎曼流形

## 參考

* Jurgen Jost, *Riemannian Geometry and Geometric Analysis*, (2002) Springer-Verlag, Berlin ISBN 3-540-4267-2
# 柯西-利普希茨定理

在数学中，**柯西-利普希茨定理**（Cauchy-Lipschitz Theorem），又称**皮卡-林德勒夫定理**（Picard-Lindelöf Theorem），保证了一階常微分方程的局部解以至最大解的存在性和唯一性。此定理最早由奧古斯丁·路易·柯西于1820年发表，但直到1868年，才由鲁道夫·利普希茨给出确定的形式。另一个很常见的叫法是**皮卡-林德勒夫定理**，得名于数学家埃米尔·皮卡和恩斯特·列奧納德·林德勒夫。

## 局部定理

设 WIKINIUM\_MATH\_PH\_0 为一个完备的有限维賦範向量空間（即一个巴拿赫空间）， WIKINIUM\_MATH\_PH\_1 为一个取值在 WIKINIUM\_MATH\_PH\_2 上的函数：

|  |
| --- |
|  WIKINIUM\_MATH\_PH\_3
 |

其中 WIKINIUM\_MATH\_PH\_5 为 WIKINIUM\_MATH\_PH\_6 中的一个开集， WIKINIUM\_MATH\_PH\_7 是 WIKINIUM\_MATH\_PH\_8 中的一个区间。考虑以下的一阶非线性微分方程：

|  |
| --- |
|  WIKINIUM\_MATH\_PH\_10
 |

如果 WIKINIUM\_MATH\_PH\_12 关于 WIKINIUM\_MATH\_PH\_13 连续，并在 WIKINIUM\_MATH\_PH\_14 中满足利普希茨条件，也就是说，

|  |
| --- |
|  WIKINIUM\_MATH\_PH\_15
 |

那么对于任一给定的初始条件： WIKINIUM\_MATH\_PH\_17 ，其中 WIKINIUM\_MATH\_PH\_19 、 WIKINIUM\_MATH\_PH\_21 ，微分方程（1）存在一个解 WIKINIUM\_MATH\_PH\_23 ，其中 WIKINIUM\_MATH\_PH\_25 是一个包含 WIKINIUM\_MATH\_PH\_27 的区间， WIKINIUM\_MATH\_PH\_29 是一个从 WIKINIUM\_MATH\_PH\_31 射到 WIKINIUM\_MATH\_PH\_33 的函数，满足初始条件和微分方程（1）。

局部唯一性：在包含点 WIKINIUM\_MATH\_PH\_35 的足够小的 WIKINIUM\_MATH\_PH\_37 区间上，微分方程（1）的解是唯一的（或者说，方程所有的解在足够小的区间上都是重叠的）。

这个定理有点像物理学中的决定论思想：当我们知道了一个系统的特性（微分方程）和在某一时刻系统的情况（ WIKINIUM\_MATH\_PH\_39 ）时，下一刻的情况是唯一确定的。

## 局部定理的证明

一个简洁的证明思路为构造一个总是满足初始条件的函数递归序列 WIKINIUM\_MATH\_PH\_41 ，使得 WIKINIUM\_MATH\_PH\_43 ，这样，如果这个序列有一个收敛点 WIKINIUM\_MATH\_PH\_45 ，那么 WIKINIUM\_MATH\_PH\_47 为函数 WIKINIUM\_MATH\_PH\_49 的不动点，这时就有 WIKINIUM\_MATH\_PH\_51 ，于是我们构造出了一个解 WIKINIUM\_MATH\_PH\_53 。为此，我们从常数函数

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_55 开始。令
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_57
这样构造出来的函数列 WIKINIUM\_MATH\_PH\_59 中的每个函数都满足初始条件。并且由于 WIKINIUM\_MATH\_PH\_61 在 WIKINIUM\_MATH\_PH\_63 中满足利普希茨条件，当区间足够小的时候， WIKINIUM\_MATH\_PH\_65 成为一个收缩映射。根据完备空间的不动点存在定理，存在关于 WIKINIUM\_MATH\_PH\_67 的稳定不动点，于是可知微分方程（1）的解存在。

由于收缩映射的局部稳定不动点只有一个，因此在足够小的区间内解是唯一的。

## 最大解定理

局部的柯西-利普希茨定理并没有说明在较大区域上解的情况。事实上，对于微分方程（1）的任意解 WIKINIUM\_MATH\_PH\_69 、 WIKINIUM\_MATH\_PH\_71 ，定义一个序关系： WIKINIUM\_MATH\_PH\_73 小于 WIKINIUM\_MATH\_PH\_75 当且仅当 WIKINIUM\_MATH\_PH\_77 ，并且 WIKINIUM\_MATH\_PH\_79 在 WIKINIUM\_MATH\_PH\_81 上的值与 WIKINIUM\_MATH\_PH\_83 一样。在这个定义之下，柯西-利普希茨定理断言，**微分方程的最大解是唯一存在的**。

### 证明思路

解的唯一性：假设有两个不同的最大解，那么由局部柯西-利普希茨定理可以证明其重叠部分的值相同，将两者不同的部分分别延伸在重叠部分上，则会得到一个更“大”的解（只需验证它满足微分方程），矛盾。因此解唯一。

解的存在性：证明需要用到佐恩引理，构造所有解的并集。

## 扩展至高阶常微分方程

对于一元的高阶常微分方程

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_85 ，
只需构造向量 WIKINIUM\_MATH\_PH\_87 和相应的映射 WIKINIUM\_MATH\_PH\_89 ，就可以使得（2）变为 WIKINIUM\_MATH\_PH\_91 。这时的初始条件为 WIKINIUM\_MATH\_PH\_93 ，即

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_95

## 扩展至偏微分方程

对于偏微分方程，有柯西-利普希茨定理的扩展形式：柯西-克瓦列夫斯基定理，保证了偏微分方程的解的存在性和唯一性。

* 常微分方程
* 柯西-克瓦列夫斯基定理
* 动力系统
* 初值問題
* 利普希茨条件
* 弗罗贝尼乌斯定理
* 皮亚诺存在性定理

## 参考资料

* 常微分方程（组）基本理论
* M. E. Lindelöf, *Sur l'application de la méthode des approximations successives aux équations différentielles ordinaires du premier ordre*; Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des sciences. Vol. 114, 1894, pp. 454-457. 网上版本可在  （页面存档备份，存于互联网档案馆） 找到（文中林德勒夫讨论扩展了皮卡的一个早期证明）

## 相关链接

* 局部柯西-利普希茨定理的另一个证明，英文 （页面存档备份，存于互联网档案馆）
* 湖北师范学院数学与统计学院，比较严格的讨论，中文
# 初值問題[编辑]

在數學裏，**初值問題**（英語：Initial value problem，**IVP**）是一個涉及微分方程式與一些初始條件的問題；這初始條件是微分方程式的未知函數在某些點的設定值，最常見的是常微分方程的初值问题 。

以下是一些初值問題的例子：

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_0
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_2

## 定義

一個初值問題涉及微分方程式

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_4 ，
與在 WIKINIUM\_MATH\_PH\_6 的定義域內的一點

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_8 。
這在 WIKINIUM\_MATH\_PH\_10 的定義域內的點 WIKINIUM\_MATH\_PH\_12 稱為初始條件。

* 假若初值問題的一個解是函數 WIKINIUM\_MATH\_PH\_14 ，則 WIKINIUM\_MATH\_PH\_16 是微分方程式 WIKINIUM\_MATH\_PH\_18 的解，滿足 WIKINIUM\_MATH\_PH\_20 。
* 對於更高階的問題，可視 WIKINIUM\_MATH\_PH\_22 為向量。每加高一個階，就増添一個分量給 WIKINIUM\_MATH\_PH\_24 。

## 解的存在性及唯一性

對於許多的初值問題，解的存在性及唯一性可以用計算機來描述。

若ƒ在一個包括*t*0及*y*0的區間內連續，且對變數*y*滿足利普希茨連續的條件．則皮卡-林德勒夫定理可保證在一個包括*t*0的區間有唯一解。

此定理的證明需將問題變成等價的積分方程，積分可視為將一個函數映射為另一個函數的運算子，因此其解為運算子的不動點，再利用巴拿赫不动点定理證明有一個唯一的不動點．即為初值問題的解。

較早期證明皮卡-林德勒夫定理的方式是建構一個函數的數列，最終會收斂到積分方程的解，也就是初值問題的解。這種建構法稱為「皮卡法」或是「連續近似法」，是巴拿赫不动点定理的一個特例。

日本數學家岡村博找到一個初值問題有唯一解的充分必要條件，其條件是要證實系統的李亞普諾夫函數存在。

有些情形，函數ƒ不是光滑函数，甚至不是利普希茨連續，因此一般可確認局部唯一解的方式無法適用。皮亚诺存在性定理可以在函數ƒ僅僅為連續函數的情形，證明存在局部解。不過此時無法證明解的唯一性。卡拉特歐多存在性定理可適用的範圍更廣，可以在ƒ是一些特定不連續函數的情形下證明局部解是否存在。

## 範例

例一
一個簡單的範例是求解 WIKINIUM\_MATH\_PH\_26 及 WIKINIUM\_MATH\_PH\_28 ，要求出一個 WIKINIUM\_MATH\_PH\_30 滿足上述二式。

由於 WIKINIUM\_MATH\_PH\_32 ，因此

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_34
接下來重新整理方程式，使 WIKINIUM\_MATH\_PH\_36 在等式左邊， WIKINIUM\_MATH\_PH\_38 在等式右邊

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_40
再將等式二邊積分，會引入未知常數 WIKINIUM\_MATH\_PH\_42

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_44
消去 WIKINIUM\_MATH\_PH\_46

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_48
令 WIKINIUM\_MATH\_PH\_50 為一個新的未知常數， WIKINIUM\_MATH\_PH\_52 ，因此

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_54
現在需要找出 WIKINIUM\_MATH\_PH\_56 的數值。利用 WIKINIUM\_MATH\_PH\_58 的啟始條件，將 WIKINIUM\_MATH\_PH\_60 代入0， WIKINIUM\_MATH\_PH\_62 代入19

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_64
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_66
因此可得其解為 WIKINIUM\_MATH\_PH\_68 .

例二
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_70
利用拉普拉斯变换

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_72
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_74
利用部分分式分解

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_76
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_78
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_80
拉普拉斯逆變換

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_82
## 參閱

* 邊值問題
* 柯西问题
* 積分常數
* 諾頓穹頂

## 參考資料
# 霍普夫-里诺定理

数学中，**霍普夫-里诺定理**（Hopf–Rinow theorem）是关于黎曼流形的测地完备性的一套等价命题，以海因茨·霍普夫和他的学生维利·里诺命名。定理如下：

设*M*是黎曼流形，则下列命题等价：

1. WIKINIUM\_MATH\_PH\_0 的有界闭子集是紧的。
2. WIKINIUM\_MATH\_PH\_2 是完备度量空间。
3. WIKINIUM\_MATH\_PH\_4 是测地完备：对 WIKINIUM\_MATH\_PH\_6 中任意点 WIKINIUM\_MATH\_PH\_8 ，指數映射 WIKINIUM\_MATH\_PH\_10 可定义在整个切空间 WIKINIUM\_MATH\_PH\_12 。

而且，以上任一条均可导出对于 WIKINIUM\_MATH\_PH\_14 中任何两点 WIKINIUM\_MATH\_PH\_16 和 WIKINIUM\_MATH\_PH\_18 ，存在连起两点的测地线使长度最短（测地线一般是极值，不一定是最小值）。

## 推广

霍普夫—里诺定理推广至长度度量空间如下：

若一长度度量空间 WIKINIUM\_MATH\_PH\_20 是完备和局部紧，那么 WIKINIUM\_MATH\_PH\_22 中任意两点可以用长度最短的测地线连起， WIKINIUM\_MATH\_PH\_24 的任意有界闭子集是紧的。
## 参考书目

* Jurgen Jost, *Riemannian Geometry and Geometric Analysis*, (2002) Springer-Verlag, Berlin. ISBN 3-540-4267-2 *See section 1.4*.
# 最大下界

在数学中，某个集合 *X* 的子集 *E* 的**下确界**(英語：infimum 或 infima，记为 inf *E* )是小于或等于的 *E* 所有其他元素的最大元素，其不一定在 *E* 內。所以还常用术语**最大下界**（简写为 **glb** 或 **GLB**）。在数学分析中，实数的下确界是非常重要的常见特殊情况。但這個定义，在更加抽象的序理论的任意偏序集合中，仍是有效的。

下确界是上确界概念的对偶。

## 实数集合的下确界

在数学分析中，实数的子集 *S* 的**下确界**或**最大下界**記为 inf(*S*)，定义为小于等于在 *S* 中的所有数的最大实数。如果没有这样的数存在（因为 *S* 没有下界），则我们定义 inf(*S*) = −∞。如果 *S* 是空集，我们定义 inf(*S*) = ∞（参见扩展的实数轴）。

实数的一个重要性质是，任何實數集都有下确界（实数的任何有界非空子集都在非扩展的实数轴中有下确界）。

例子：

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_0
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_2
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_4
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_6
如果一个集合有最小元素，如同第一个例子，则这个最小元素就是这个集合的下确界。如后三个例子展示的，一个集合的下确界不一定属于这个集合。

下确界的概念和上确界在下列意义下是对偶的

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_8 ，
这里 WIKINIUM\_MATH\_PH\_10 。

一般的说，为了证明 inf(*S*) ≥ *A*，只需要证明对于所有 *S* 中的 *x* 有 *x* ≥ *A*。证明 inf(*S*) ≤ *A* ，則需：对于任何 ε > 0，都存在 *S* 中的一个元素 *x* 使得 *x* ≤ *A* + ε（当然，如果 *S* 有一个元素 *x* 使 *x* ≤ *A*，命題立即成立）。

参见：下极限。

## 在偏序集合内的下确界

下确界的定义容易推广到任何偏序集合的子集上，并在序理论中有重要意義。在序理论，特别是格理论中，最大下界也叫做**交**（英語：meet)。

形式的说，偏序集合（*P*，≤）的子集 *S* 的下确界是 *P* 的一个元素 *l* 使得

1. 对于所有 *S* 中的 *x* 有 *l* ≤ *x*，
2. 对于任何 *P* 中的 *p*，如果对于所有 *S* 中的 *x* 都有 *p* ≤ *x,* 则 *p* ≤ *l*。

如果這樣的元素存在，則其必然唯一，但是它不一定存在。因此已知特定下确界存在的序就特别有价值。详情请参见完備性。

* infimum （页面存档备份，存于互联网档案馆） (*PlanetMath*)

* 偏序集
* 下界
* 最大元
* 完全格
* 最小上界
* 本性下确界
# 单位球面[编辑]

一些单位球
数学上，**单位球面**是到固定中心点距离为1的点的集合，其中距离可以是任何推广了的距离概念。**单位球**是单位球面所包围的区域。通常一个特定的点被表示为所研究的空间的原点，并且单位球面或单位球通常以该点为中心。因此通常单位球或者单位球面就是指以原点为中心的单位球或球面。

单位球面就是半径1的球面。单位球的重要之处是任何球面可以通过平移和缩放的组合来变换为单位圆。这样一般情况的球的属性可以归约到对于单位球的研究。

## 欧氏空间的单位球

*n*维欧氏空间中，单位球面是所有满足如下方程的点 WIKINIUM\_MATH\_PH\_0 的集合

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_2
而闭单位球是所有满足如下不等式的点的集合

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_4
### 一般的面积和体积公式

*n*-维欧氏空间的单位球体积，和单位球面的面积，出现在很多数学分析的公式中。*n*维空间中的单位球面的表面积，经常记为 WIKINIUM\_MATH\_PH\_6 ，可以用Γ函数表示。它是

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_8 .
单位球的体积则是 WIKINIUM\_MATH\_PH\_10 .

## 赋范向量空间中的单位球

精确一点的说，赋范向量空间 WIKINIUM\_MATH\_PH\_12 中的**开单位球**，设范数为 WIKINIUM\_MATH\_PH\_14 ，由下式表示

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_16 .
它位于 WIKINIUM\_MATH\_PH\_18 中的**闭单位球**的内部，

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_20 .
后者是前者和它们的公共边界 WIKINIUM\_MATH\_PH\_22 的**单位球面**的不交并集，

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_24 .
### 讨论

单位球的*形状*完全取决于所选的范数；它可能有*角*，例如它可以看起来象 WIKINIUM\_MATH\_PH\_26 ，也就是在选取 WIKINIUM\_MATH\_PH\_28 中的范数 WIKINIUM\_MATH\_PH\_30 的情况。*圆球*可以理解为一般的希尔伯特空间范数的情况，在有限维的情况中依赖于欧氏距离；它的边界就是通常所指的单位球面。

## 推广

### 度量空间

上面的三个定义都可以直接推广到度量空间中相对于某个原点的相应概念。但是，拓扑上的考虑（内部，闭包，边界）不一定可以同样的推广（例如，在超度量空间，所有三者同时是即开且闭集合），而单位球在某些度量空间甚至可能是空集。

### 二次型

若 WIKINIUM\_MATH\_PH\_32 是有实二次型 WIKINIUM\_MATH\_PH\_34 的线性空间，则 WIKINIUM\_MATH\_PH\_36 有时称为 WIKINIUM\_MATH\_PH\_38 的**单位球面**。二维的例子有双曲复数和对偶数。当 WIKINIUM\_MATH\_PH\_40 可以取负值时，则 WIKINIUM\_MATH\_PH\_42 称为**反球面**。

## 参看

* 单位圆
* 单位正方形
* 单位圆盘
* 球面
* 球 (数学)
* 数学符号表
# 映射[编辑]

映射就是一种函数，如圖所示将X中的四个彩色形状中的任何一个与其在Y中的颜色关联起来
**映射**（英語：map，mapping）或称**射影**、**写像**，在数学及相关的领域经常等同于函数。基于此，部分映射就相当于部分函数，而完全映射相当于完全函数。在很多特定的数学领域中，这个术语用来描述具有与该领域相关联的特定性质函数，例如，在拓扑学中的连续函数，线性代数中的线性变换等等。映射這個概念可能源于绘制地图的过程：例如将地球表面畫（映射）在一张纸上。

## 符号

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_0 ：是**收敛箭号**、**射向符号**、**映射符号**，俗称“右向箭号”，用于定义函数架构，连接定义域至陪域；作用对象是集合与集合之间，不涉及具体的数字计算。读作“(从)...到...”（(from) ... to ...），数学语义是“映射”。

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_2 ：是**映射值箭号**、**元素映射号**，俗称“带杠箭号”，强调有一起线，用于定义元素关系，指明自变量到因变量；作用对象是元素与元素之间，涉及运算结果或表达式。读作“...映射到...”（... maps to ...），数学语义是“赋值”。

注：无起线象征流动的，表示一个过程或一个趋势；有起线象征确定的，指定“输入这一个特定的点，产出那一个特定的值”。

## 定义

### 在形式逻辑中

这个术语有时用来表示函数谓词（Functional predicate），在那里函数是集合论中谓词的模型。

### 在集合论中

设 WIKINIUM\_MATH\_PH\_4 是两个非空集合，若对 WIKINIUM\_MATH\_PH\_6 中的任一元素 WIKINIUM\_MATH\_PH\_8 ，依照某种规律或法则 WIKINIUM\_MATH\_PH\_10 ，恒有 WIKINIUM\_MATH\_PH\_12 中唯一确定的元素 WIKINIUM\_MATH\_PH\_14 与之对应，则称此对应规律或法则 WIKINIUM\_MATH\_PH\_16 为一个从 WIKINIUM\_MATH\_PH\_18 到 WIKINIUM\_MATH\_PH\_20 的**映射**。

>
> 记作 WIKINIUM\_MATH\_PH\_22 或 WIKINIUM\_MATH\_PH\_24
>
>
>
>

並且，称集合 WIKINIUM\_MATH\_PH\_26 为映射 WIKINIUM\_MATH\_PH\_28 的**定义域**，集合 WIKINIUM\_MATH\_PH\_30 为映射 WIKINIUM\_MATH\_PH\_32 的**到达域**；称 WIKINIUM\_MATH\_PH\_34 为 WIKINIUM\_MATH\_PH\_36 的**像**， WIKINIUM\_MATH\_PH\_38 为 WIKINIUM\_MATH\_PH\_40 的**原像**。

>
> 记作 WIKINIUM\_MATH\_PH\_42
>
>
>
>

此外，称集合 WIKINIUM\_MATH\_PH\_44 为映射 WIKINIUM\_MATH\_PH\_46 的**值域**，

>
> 记作 WIKINIUM\_MATH\_PH\_48 或 WIKINIUM\_MATH\_PH\_50
>
>
>
>

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_52 称为 WIKINIUM\_MATH\_PH\_54 在 WIKINIUM\_MATH\_PH\_56 作用下的**像**。

* 同态
* 态射
* 单射
* 满射
* 单射、双射与满射

## 參考資料
# 曼哈頓距離[编辑]

曼哈頓與歐幾里得距離： 紅、藍與黃線分別表示所有曼哈頓距離都擁有一樣長度（12），而綠線表示歐幾里得距離有6×√2 ≈ 8.48的長度。
**計程車幾何**（Taxicab geometry）或**曼哈頓距離**（英語：Manhattan distance/Manhattan length）或**方格線距離**是由十九世紀的赫尔曼·闵可夫斯基所創辭彙，為歐幾里得幾何度量空間的幾何學之用語，用以標明兩個點上在標準坐標系上的絕對軸距之總和。

## 曼哈頓距離

我們可以定義**曼哈頓距離**的正式意義為**L1-距離**或**城市區塊距離**，也就是在欧几里得空间的固定直角坐标系上兩點所形成的线段對軸產生的投影的距離總和。

例如在平面上，坐標（*x*1, *y*1）的點*P*1與坐標（*x*2, *y*2）的點*P*2的曼哈頓距離為：

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_0
要注意的是，曼哈頓距離依賴坐標系統的旋轉，而非系統在座標軸上的平移或映射。

曼哈頓距離的命名原因是從規劃為方型建築區塊的城市（如曼哈頓）間，最短的行車路徑而來（忽略曼哈頓的單向車道以及只存在於3、14大道的斜向車道）。任何往東三區塊、往北六區塊的的路徑一定最少要走九區塊，沒有其他捷徑。

計程車幾何學滿足除了SAS全等定理之外的希尔伯特几何公理。

在計程車幾何學中，一個圓是由從圓心向各個**固定曼哈頓距離**標示出來的點圍成的區域，因此這種圓其實就是旋轉了45度的正方形。如果有一群圓，且任兩圓皆相交，則整群圓必在某點相交；因此曼哈頓距離會形成一個超凸度量空間。對一個半徑為*r* 的**圓**來說，這個正方形的圓每邊長√2*r*。此'"圓"的半徑r對切比雪夫距離（L∞空間）的二維平面來說，也是一個對座標軸來說邊長為2r的正方形，因此二維切比雪夫距離可視為等同於旋轉且放大過的二維曼哈頓距離。然而這種介於L1與L∞的相等關係並不能延伸到更高的維度。

## 在棋盤上的距離計量

在西洋棋裡，車（城堡）是以曼哈頓距離來計算棋盤格上的距離；而王（國王）與后（皇后）使用切比雪夫距離，象（主教）則是用轉了45度的曼哈頓距離來算（在同色的格子上），也就是說它以斜線為行走路徑。只有國王需要一步一步走的方式移動，皇后、主教與城堡可以在一或兩次移動走到任何一格（在沒有阻礙物的情況下，且主教忽略它不能走到的另一類顏色）。

* 距離
* 切比雪夫距离
* 赋范向量空间
* 度量
* 正交凸包
* 汉明距离

## 參考資料

* Eugene F. Krause. Taxicab Geometry. Dover. 1987. ISBN 978-0-486-25202-5.

* City Block Distance （页面存档备份，存于互联网档案馆），by Kardi Teknomo
* city-block metric （页面存档备份，存于互联网档案馆） on PlanetMath
* WIKINIUM\_MATH\_PH\_2
* Manhattan distance （页面存档备份，存于互联网档案馆）。Paul E. Black, Dictionary of Algorithms and Data Structures （页面存档备份，存于互联网档案馆），NIST
# 地表[编辑]

**地表**或**地面**指地球表面，总面积约为5.1亿平方千米。其中海洋覆蓋了地球約71%－72%的表面積（~3.6×108平方公里），陆地则是地球表面未淹沒在海洋下的區域，总面积约为1.49亿平方千米。

引发地形变化的力称为地质作用。

## 特征

### 地形

地形是对地表形态的笼统表述。

* “陸地地形”通常劃分爲平原、高原、山地、丘陵、台地和盆地及峽谷
* “海底地形”通常劃分爲大陸架、大陸坡、海溝、海盆（海洋盆地）和大洋中脊等類型。

### 地貌

地貌是对地表形态的具体表述。常见的地貌类型有喀斯特地貌、黄土地貌、雅丹地貌、丹霞地貌和峡湾地貌等等。根据地表形态规模的大小，有全球地貌，有巨地貌，有大地貌、中地貌、小地貌和微地貌之分。

## 划分

### 陆地

岩石及其风化物（包括土壤）的表层，不包括冰面和水面。

按表层物质分：

* 岩石地表

如石漠、戈壁

* 沙质地表

如沙漠、沙滩

* 泥质地表

如泥漠

* 土壤地表

如森林土地表，草原土地表

* 水体底土表面

如湖底土、河底土、海底土

### 海洋
# 靜力平衡

不穩定平衡（unstable equilibrium）
穩定平衡（stable equilibrium）
中性平衡（neutral equilibrium）
一個物體或系統，若受到多力作用，若這些力的合力為零，對任一點之合力矩也為零，該物體或系統速度亦為零，則該物體或系統即稱為**靜力平衡**或**靜態平衡**（Static equilibrium）。換句話說，若一物體處於靜力平衡，則物體靜止不動。

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_0
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_2

## 例子

### 二力平衡

若兩力互相平行且方向不同也作用於同一直線上時，若该两力的大小相等，二力會達到靜力平衡。

### 三力平衡

若三共面且不平行的力延長線交於一點，且可構成一封閉三角形，則三力達靜力平衡。

* 力學
* 牛頓運動定律
* 靜力學
* 三力平衡

## 參考文獻

* 《圖解物理辭典》天下遠見出版 ISBN 986-417-550-5
# 米哈伊尔·莫洛坚斯基[编辑]

**米哈伊尔·谢尔盖耶维奇·莫洛坚斯基**（俄語：**Михаил Сергеевич Молоденский**，1909年—1991年）是一位著名的苏联物理大地测量学家。1936年毕业于莫斯科国立大学，1946年起一直在地球物理研究所(Институт Физики Земли АН СССР)工作。他依据地球表面的测量数据创造了确定地球形状及其引力场的基本理论，研制了苏联第一台重力仪，发展了地球章动的理论，提出了正常高和似大地水准面的概念。
# 鐘[编辑]

**鐘**（简化字：**钟**）可以指：

* 鐘 (敲擊器)，扁圆形敲击式金属乐器，從外部敲擊
* 时钟，计时装置
* 門鐘，門外用於提醒屋主開門的信號裝置
* 鐘姓，罕见中文姓氏
* 第2號小提琴協奏曲 (帕格尼尼)，別名「鐘」，是意大利作曲家兼小提琴家帕格尼尼的音樂作品
* 鐘 (李斯特)，弗朗茨·李斯特根據帕格尼尼上述樂曲改編而成的鋼琴超技練習曲《帕格尼尼大練習曲》中的第3首
* 鐘 (拉赫曼尼諾夫)，拉赫曼尼諾夫作品35的合唱作品

关于形近字、同样在简化字中作「钟」的「鍾」字，请查阅鍾。

* 标题以「鐘」開頭的所有条目
* 标题以「钟」開頭的所有条目
# 铅垂线

橘红色的横向虚线为各重力等位面，其中加粗的为大地水准面（Geoid）；阳橙色的纵向虚线为铅垂线（true vertical），其与重力等位面正交。
**铅垂线**（英語：Plumb line），又称**垂线**或**力线**，在大地测量学中指重力作用的方向线。铅垂线与与重力矢量的方向处处相切，该方向又被称为**铅垂方向**，有时也直接以铅垂线代称。在重力场中，铅垂线通常是曲线而非直线，彼此互不平行，与其经过的重力等位面正交。铅垂线与参考椭球面的法线之间的方向偏差被称为**垂线偏差**。

在测量学中，铅垂线是测量外业的基准线。

## 曲率

由于在重力场中，除轴线外，同一直线上各点的重力矢量方向通常各不相同。因此，铅垂线通常是一条具有曲率的曲线。通过计算铅垂线的曲率，可以将地形表面上进行的天文测量数据归算到大地水准面上。铅垂线在某点处的曲率 WIKINIUM\_MATH\_PH\_0 可以通过该点处的重力矢量的大小 WIKINIUM\_MATH\_PH\_2 及其一阶微分 WIKINIUM\_MATH\_PH\_4 、 WIKINIUM\_MATH\_PH\_6 得到：

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_8
### 推导过程

设铅垂线的线元矢量为 WIKINIUM\_MATH\_PH\_10 ，重力矢量为 WIKINIUM\_MATH\_PH\_12 ，两者间仅相差一个比例因子：

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_14
根据微分几何中曲率的计算公式，铅垂线投影在 WIKINIUM\_MATH\_PH\_16 平面上的曲率 WIKINIUM\_MATH\_PH\_18 为

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_20
上式的二阶微分可由重力位 WIKINIUM\_MATH\_PH\_22 的偏微分得到：

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_24
取沿向上的铅垂方向为 WIKINIUM\_MATH\_PH\_26 轴正向，建立局部坐标框架。此时重力位 WIKINIUM\_MATH\_PH\_28 在 WIKINIUM\_MATH\_PH\_30 平面的微分为零，即

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_32
将上式代入曲率 WIKINIUM\_MATH\_PH\_34 的计算公式，得：

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_36
其中，重力位沿 WIKINIUM\_MATH\_PH\_38 轴方向的微分 WIKINIUM\_MATH\_PH\_40 . 其中 WIKINIUM\_MATH\_PH\_42 为重力矢量的大小，即 WIKINIUM\_MATH\_PH\_44 . 则重力位的微分可替换为重力矢量大小的微分：

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_46
同理可证，铅垂线投影在 WIKINIUM\_MATH\_PH\_48 平面上的曲率 WIKINIUM\_MATH\_PH\_50 为

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_52
由于铅垂线与 WIKINIUM\_MATH\_PH\_54 轴在上述定义的局部坐标框架中相切，即铅垂线投影在 WIKINIUM\_MATH\_PH\_56 平面上的曲率为零，再由总曲率的计算公式可以得到：

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_58