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# 正交[编辑]

線段AB與CD彼此正交
**正交**（英語：Orthogonality）是线性代数的概念，是垂直這一直觀概念的推廣。作為一個形容詞，只有在一個確定的內積空間中才有意義。若內積空間中兩向量的內積為0，則稱它們是**正交**的。如果能夠定義向量間的夾角，則正交可以直觀的理解為垂直。物理中：運動的獨立性，也可以用正交來解釋。

## 各种正交概念

### 正交子空间

若某空间（此空间为内积空间）中两向量的内积为0，则它们**正交**。类似地，若某空间（内积空间）中的向量*v*与子空间*A*中的每个向量都正交，那么这个向量和子空间*A*正交。若内积空间的子空间*A*和*B*满足一者中的每个向量都与另一者正交，那么它们互为正交子空间。

### 正交变换

正交变换 WIKINIUM\_MATH\_PH\_2 是保持内积的线性变换。即是说，对两个向量，它们的内积等于它们在函数T下的内积：

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_4
这也就是说，正交变换保持向量的长度不变，也保持两个向量之间的角度不变。

### 正交圓

對兩個相交的圓，如果其中一個交點到兩圓圓心的連線互相垂直，則稱兩圓分別**正交**，為彼此的**正交圓**。以任一圓圓心為反演中心，其半徑為反演半徑，另一圓反演變換後的圖像不變。

## 欧几里得空间的例子

在二维或三维的欧几里得空间中，两个向量正交当且仅当他们的点积为零，即它们成90°角。可以看出正交的概念正是在此基础上推广而来的。三维空间中，一条直线的正交子空间是一个平面，反之亦然。四维空间中，一条直线的正交子空间则是一个超平面。

## 正交函数集

对于两个函数*f* 和*g*，可以定义如下的内积：

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_6
这里引进一个非负的权函数 WIKINIUM\_MATH\_PH\_8 。这个内积叫做带权 WIKINIUM\_MATH\_PH\_10 的内积。

两个函数**带权 WIKINIUM\_MATH\_PH\_12 正交**，是指它们带权 WIKINIUM\_MATH\_PH\_14 的内积为零。

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_16
由此可以类似定义带权 WIKINIUM\_MATH\_PH\_18 的模。

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_20
一个函数列{ *f**i* : *i* = 1, 2, 3, ... }如果满足：

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_22
其中

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_24
为克罗内克函数，
那麼{ *f**i*}就称为**带权 WIKINIUM\_MATH\_PH\_26 的正交函数族**。

進一步地，如果{ *f**i*}满足：

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_28
就称{ *f**i*}为**带权 WIKINIUM\_MATH\_PH\_30 的标准正交函数族**。

参见正交多项式。

## 分子生物学中的概念

和线性代数中的概念类似，在分子生物学中也称互相独立的元件称为互相正交的。在设计各种分子生物学体系时，希望使用的元件之间的相互干扰尽可能的少，因为这有利于精确地调控细胞内各组分的活性。比如，在涉及到基因时，两个正交的转录因子的启动子应该都不被对方的表达影响。2017年Gita Naseri等将来自拟南芥的转录因子(TF)用于酵母系统中，并利用与宿主细胞正交的外源系统将元件的表达和降解从宿主细胞中隔离开来。
类似地，为了避免对宿主细胞产生毒性，Christopher Voigt等通过生物学信息挖掘的方式设计出了毒性更小的T7 RNAP，并衍生出四个具有互不干扰的 T7 RNAP 变体。

正交的概念不仅限于基因层次，也适合于翻译层次和蛋白质调控网络层次。2014年Alexander等从头设计了一类在原核生物中存在的核糖体开关，其可以用任意序列的RNA来激活触发目标mRNA的翻译。他们把这种开关称为Toehold开关，并且证明其不同序列之间互不触发，也即具有极高的正交性。他们能够利用这种正交性独立调节12个基因。2016年Wendell Lim等将Notch受体其胞外配体结合域和胞内转录调控因子域进行替换，理性设计出功能上互相正交的、在多种细胞系均可工作的人工合成的Notch受体，这是蛋白质调控层次的上正交性的一种体现。与上例相似，2018年Michael Elowitz等也利用正交的病毒蛋白酶来设计蛋白质调控网络，并实现了动态信号处理。

## 訊號處理中的正交轉換的例子及優點

正交轉換例子:

* Discrete Fourier transform
* Discrete cosine, sine, Hartley transforms
* Walsh Transform, Haar Transform
* discrete Legendre transform
* discrete orthogonal polynomial transforms
* Hahn, Meixner, Krawtchouk, Charlier

正交轉換最大好處:

1. 可以完整了解訊號的完整度
2. 訊號彼此不影響
3. 確保近似誤差最小化
4. 正轉換跟反轉換的架構是相似的

## 註釋

## 延伸閲讀

* Chapter 4 – Compactness and Orthogonality （页面存档备份，存于互联网档案馆） in *The Art of Unix Programming*

## 参閲

* 正交化
	+ Gram-Schmidt正交化
* 正交分解
* 正交矩阵
* 正交基
* 垂直
# 梨[编辑]

| 梨属 |
| --- |
|  |
| 两个西洋梨
 |
| 科学分类  |
| 界： | 植物界 Plantae |
| 演化支： | 维管植物 Tracheophyta |
| 演化支： | 被子植物 Angiosperms |
| 演化支： | 真双子叶植物 Eudicots |
| 演化支： | 蔷薇类植物 Rosids |
| 目： | 薔薇目 Rosales |
| 科： | 蔷薇科 Rosaceae |
| 亚科： | 桃亚科 Amygdaloideae |
| 族： | 苹果族 Maleae |
| 属： | **梨属 *Pyrus L., 1753 |
| 模式種
 |
| 西洋梨 *Pyrus communis* L., 1753
 |
| 组
 |
| * 川梨组 *P.* sect. *Pashia*
* 西洋梨组 *P.* sect. *Pyrus*
 |

**梨**是**梨属**（学名：*Pyrus*）植物的通称，通常是一种落叶乔木或灌木，极少数品种为常绿，属于蔷薇目蔷薇科苹果族。叶片多呈卵形，大小因品种不同而各异。花为白色，或略带黄色、粉红色，有五瓣。果实形状有圆形的，也有基部较细尾部较粗的，即俗称的“梨形”；不同品种的果皮颜色大相径庭，有黄色、绿色、黄中带绿、绿中带黄、黄褐色、绿褐色、红褐色、褐色，个别品种亦有紫红色；野生梨的果径较小，在1到4厘米之间，而人工培植的品种果径可达8厘米，长度可达18厘米。

梨的果实通常用来食用，不仅味美汁多，甜中带酸，而且营养丰富，含有多种维生素和纤维素，不同種類的梨味道和質感都完全不同。梨既可生食，也可蒸煮后食用。在医疗功效上，梨可以通便秘，利消化，对心血管也有好处。除了作为水果食用以外，梨还可以作观赏之用。

## 用途

### 水果

* 东亚梨
	+ 沙梨：原產地為中國大陸。
	+ 白梨：原產地為中國大陸。
	+ 秋子梨：原產地為中國大陸。
	+ 日本梨：多種原產地中國大陸的梨種人工品種改良結果。
	+ 高接梨：地處亞熱帶的台灣地區，將溫帶梨梨穗接在平地梨樹上、以生產高品質溫帶梨的台灣特殊技術。
* 西洋梨：除作為水果生食外，亦作烹飪使用。

### 藥用

（本草綱目）梨果、皮均入藥。實解熱、止咳。性味：果：甘、微酸、涼；梨皮：甘、澀、涼；根：甘、淡、平。效用：果：生津潤燥，清熱化痰。治熱病，津傷煩渴，痰熱，便秘；葉：治小兒疝氣；梨皮：清心潤肺，降火生津。治暑熱煩渴，咳嗽，吐血，疔瘡；根：治疝氣，咳嗽。

## 關於梨的文化

### 典故

* 孔融讓梨
* 禍棗災梨：古人刻書多用棗木、梨木做材料，因此稱濫刻沒有價值的書籍，徒使梨、棗受到災禍為「禍棗災梨」。清．紀昀．閱微草堂筆記．卷六．灤陽消夏錄六：「至於交通聲氣，號召生徒，禍棗災梨，遞相神聖。」亦作「災梨禍棗」。

### 对联

* 「莲子心中苦，梨儿腹内酸」。（「蓮」諧音「憐」，“梨”諧音“离”）

### 民俗

* 一些地方在宴席的最后上一道糖水梨，意思是“吉利（梨）”。
* 古代某些地方有禁忌，通常不贈送梨子，也不會把梨子切片喫，因為“分梨”與“分離”音同。遇此情況可象徵性收一兩角錢，以示交易而非贈送。但探病者可送，解曰「離病」。近年工商社會，遵循者已少。

## 部分物種

鴨梨的花
* 杏葉梨（*Pyrus armeniacifolia*）
* 杜梨（*Pyrus betulifolia* Bunge）
* 白梨（*P. bretschneideri*　Rehder）
* 豆梨（*Pyrus calleryana* Decne.）
	+ 豆梨（原变种）*Pyrus calleryana* Decne. var. *calleryana*
	+ 豆梨全缘叶变种 *Pyrus calleryana* Decne. var. *integrifolia* T. T. Yu
	+ 豆梨楔叶变种 *Pyrus calleryana* Decne. var. *koehnei* (C. K. Schneid.) T. T. Yu：現時視為獨立物種，作*Pyrus koehnei*，見於華南及台灣；
	+ 豆梨柳叶变种 *Pyrus calleryana* Decne. var. *lanceata* (Rehder
	+ 豆梨绒毛变型 *Pyrus calleryana* Decne. form. *tomentella* (Rehder
* 西洋梨（*P. communis*）：又音譯為啤梨
* 海棠叶梨 *Pyrus malifolioides* Z.H. Chen，W.Y. Xie et Zi.L. Chen
* 雪熟梨（*P. nivalis*）：产于欧洲，切勿与中国的雪梨（沙梨品种）、雪花梨（白梨品种）混淆。
* 川梨 *Pyrus pashia* Buch.-Ham. ex D. Don
	+ 川梨大花变种Pyrus pashia Buch.-Ham. ex D. Don var. grandiflora Cardot
	+ 川梨无毛变种Pyrus pashia Buch.-Ham. ex D. Don var. kumaoni Stapf
	+ 川梨钝叶变种Pyrus pashia Buch.-Ham. ex D. Don var. obtusata Cardot
	+ 川梨（原变种）Pyrus pashia Buch.-Ham. ex D. Don var. pashia
* 褐梨（*Pyrus phaeocarpa* Rehder）
* 沙梨（*P. pyrifolia* (Burm.f.) Nakai）：又稱日本梨
* 秋子梨（*P. ussuriensis*）：又称花盖梨、山梨、青梨、野梨、沙果梨、酸梨

## 參考

## 延伸阅读

 《欽定古今圖書集成·博物彙編·草木典·梨部》，出自陈梦雷《古今圖書集成》
 《植物名實圖考·梨》，出自吳其濬《植物名實圖考》

* Flora of China：梨屬 （页面存档备份，存于互联网档案馆）
* [1] （页面存档备份，存于互联网档案馆）
# 基底 (地质)

在地質學中，**基底**（**Basement**）和**結晶基底**（**Crystalline basement**）是代表在沉積地台以下，或者更廣泛地指沉積岩或沉積盆地下方被覆蓋的火成岩或變質岩基岩。同樣地，在基底上方的沉積物或沉積岩則被稱為「沉積蓋層」。

## 用法

歐洲地質學界討論的結果，基底這個術語一般用於年代早於华力西造山运动之前的岩石。基底以上是二疊紀蒸發岩和中生代石灰岩沉積。蒸發岩形成了一個強度較弱的區域，因此讓覆蓋在蒸發岩上方強度較高的石灰岩可以在堅硬的基底岩盤上移動，使基底和其上方的沉積岩差異更加明顯。

在安地斯山脈地區，基底岩盤是指元古宙、古生代和早中生代（三疊紀到侏儸紀）的岩石，以及沿著南美洲板塊西緣隱沒帶開始處發展的一系列晚中生代和新生代岩石。

在墨西哥的跨墨西哥火山帶，基底岩盤包含了元古宙、古生代和中生代岩石。而這三段不同年代的地体分別被稱為 Oaxaquia、Mixteco 和 Guerrero。

基底這個術語大多用於地質學分支中的盆地地質學、沉積學和石油地質學。而大多形成於前寒武紀的結晶基底因為石油和天然氣蘊藏量少，大多數地質學家對這類岩石較不感興趣。

* 克拉通
* 地台
* 地盾

## 參考資料

## 延伸閱讀

* Parker, Sybil P. (Ed.). 1997. McGraw-Hill Dictionary of Geology and Mineralogy. New York: McGraw-Hill.
* Bates, Robert L. and Julia A. Jackson (Eds.) 1994. Dictionary of Geological Terms. American Geological Institute. New York: Anchor Books, Doubleday Dell Publishing.
* Ben A. Van Der Pluijm (Editor), 1996, *Basement and Basins of Eastern North America,* Special Paper Geological Society of America ISBN 978-0-8137-2308-2
# 隱沒帶[编辑]

| 隱沒帶 |
| --- |
|  |
| 上级分类 | 板塊邊緣、​断裂带  |
| 话题方面 | 板塊構造論  |
| 原因 | 隱沒作用  |

**隱沒帶**（英語：subduction zone），也称**俯冲帶**、**消减带**，指地球的岩石圈中對流的沉降流（downwelling）所在的地區(岩石圈為固體，基本沒對流存在。若有則需加注明文獻）

隱沒帶存在於聚合板塊邊緣（convergent plate boundary）。海洋板塊擴張到大陸板塊邊緣，因為海洋板塊較重，會沉入大陸板塊之下，形成聚合板塊邊緣。地球的岩石圈、海洋板塊、沉積層以及被困住的水份就是經由隱沒帶回收到地函深處的。目前地球是唯一已知有隱沒帶的行星，金星與火星都沒有隱沒帶。但是根據1999年火星全球探勘者號（Mars Global Surveyor）對火星磁場的觀察發現，火星早期可能有板塊活動，但尚未得到確認。沒有隱沒作用（subduction），地球也不會是現在的樣子。沒有隱沒帶，地殼不會分化出大陸與海洋，所有的固體地球也都會被一個全球性的大海洋所覆蓋。

岩石圈（地殼加上上部地函的堅硬部份）與軟流圈的密度差造成隱沒作用。岩石圈比地函的軟流圈部份的密度要高的時候，岩石圈容易沉入地函裡，形成隱沒帶；而隱沒作用在岩石圈密度比軟流圈小的地方會遭到抵抗。岩石圈的密度比其下的軟流圈的密度大或是小取決於相關地殼的性質。地殼的密度總是比軟流圈或是地函的岩石圈部份的密度來得小。然而因為大陸地殼總是比海洋地殼厚，密度也總是比海洋地殼小，大陸岩石圈的密度也總是比海洋岩石圈的密度小。海洋岩石圈的密度通常比軟流圈大。例外的情況發生在大片的洪流玄武岩（flood basalt），又稱為“大型火成岩區（large igneous provinces（簡稱LIPs））”。

一個大型火成岩區的例子是凱爾蓋朗高原：一個位於印度洋洋面下的火山洋脊。為法國所管的凱爾蓋朗群島（或譯克革倫群島）（法語：Îles Kerguelen）（英語：Kerguelen Islands）是凱爾蓋朗高原露出海面的部分之一。圖為凱爾蓋朗群島。
這類例外的情況會造成海洋地殼極度增厚，浮力太大而無法隱沒。當在下沉板塊之上的岩石圈浮力太大無法隱沒時會產生碰撞，因此有這句常說的話：隱沒作用引起造山運動。

## 一般描述

隱沒帶與地球最深的地震有關。地震通常發生在地殼較淺、較容易碎的部份，深度通常淺於20公里。然而在隱沒帶發生的地震深度可達到700公里。這些地震的震源勾勒出了一塊
向內陸傾斜的地震活動地區，稱為Wadati-Benioff帶（英語：Wadati-Benioff zone）（中文或稱“瓦班氏帶”、“班氏帶”或“班尼奧夫帶”）。Wadati-Benioff帶勾勒出了下沉的岩石圈。地震斷層掃描也幫助人們勾勒出沒有地震的地區的下沉的岩石圈。一些隱沒的板塊似乎沒有辦法穿透到地函主要的位於深約670公里的不連續面，而其他一些隱沒的海洋板塊可以一直穿透到地核與地函的交界處。位於地函中深度410公里與670公里的地震不連續面被隱沒帶深處較冷的下沉板塊所擾亂。

隱沒作用會形成海溝，例如馬里亞納海溝。海溝處在一個板塊開始沉降到另一個板塊的地方。隱沒帶上方的火山通常位在一個弧狀鏈中，如聖赫倫那山及富士山，因此有“火山弧”、“ 島弧”這些名詞。不是所有的“火山弧”都是弧狀的，海溝與“弧”也可以是直線狀的。

隱沒帶的圖示
## 參考資料

* Stern, R.J., 2002, Subduction zones: Reviews of Geophysics, v. 40, 1012, doi: 10.1029/2001RG000108.
* Stern, R.J., 1998. A Subduction Primer for Instructors of Introductory Geology Courses and Authors of Introductory Geology Textbooks: J. Geoscience Education, 46, 221-228.

* （英文）Animation of a subduction zone. （页面存档备份，存于互联网档案馆）
* （英文）From the Seafloor to the Volcano's Top （页面存档备份，存于互联网档案馆） Video about the work of the Collaborative Research Center (SFB) 574 Volatiles and Fluids in Subduction Zones in Chile by GEOMAR I Helmholtz Centre for Ocean Research Kiel.
* （英文）[1] （页面存档备份，存于互联网档案馆） Realistic animation of plate forming processes beneath divergent plate margins and destruction of lithosphere beneath convergent plate margins (~ 9 minutes long).
# 重力异常[编辑]

EGM2008模型中，全球自由空间重力异常的分布图（以毫伽为单位）
**重力异常**（英語：Gravity anomaly）在大地测量学中用于描述真实重力与正常重力之间的差异。在大地水准面上，某点处的真实重力矢量与该点沿法线到参考椭球面上投影处的正常重力矢量之差，被称为该点处的**重力异常矢量**，该点处的**重力异常**则是这一重力异常矢量的大小。有时也称这一重力异常为**混合重力异常**，而将大地水准面上同一点处的真实重力矢量与正常重力矢量之差（即重力扰动）称为**纯重力异常**。重力异常矢量的方向被称为垂线偏差。

## 数学表达

设大地水准面上有某一点 WIKINIUM\_MATH\_PH\_0 ，其沿参考椭球面的法线 WIKINIUM\_MATH\_PH\_2 至椭球面上的投影 为 WIKINIUM\_MATH\_PH\_4 。 WIKINIUM\_MATH\_PH\_6 点处测量得到的真实重力矢量为 WIKINIUM\_MATH\_PH\_8 ，而 WIKINIUM\_MATH\_PH\_10 点处计算得到的正常重力矢量为 WIKINIUM\_MATH\_PH\_12 ，则 WIKINIUM\_MATH\_PH\_14 点处的重力异常矢量为：

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_16
## 大地测量与地球物理学

新泽西州的布格重力异常分布图（USGS）在大地测量和地球物理学中，最常见的理论模型是椭球表面重力。

为理解源于地下的重力异常，应做一些必要的还原以测量重力值：

1. 除去理论重力只留下当地影响值。
2. 每个重力测量点的海拔值要还原至相关基准以便进行整体数据比对，这是地表修正（Free-air Correction），加上已除去理论值的重力观测值便是地表异常（free-air anomaly）。
3. 正常的重力梯度（重力海拔变化率），如地表通常为0.3086伽/米（mGal/m），或考虑该点下面岩石平均密度（2.67 g/cm³）的布格梯度（Bouguer gradient）为0.1967伽/米（mGal/m, 19.67 µm/(s²·m)），该数值源于重力减布格板块密度0.1119 伽/米（mGal/m, 11.19 µm/(s²·m)) 。简言之，要做重力测量与大地水准面之间实质影响的修正。接著构建这两个值的模型以形成无限多板块的厚度，这些板块没有横向密度变化，但是每个板块与其上下的板块的密度不同，这个就是布格修正（Bouguer Correction）。
4. 特殊情况下的数字地形模型（DTM）。一种由模型结构计算来的地形修正，计算陡侧密度改变影响，如：高原、悬崖、陡岭等。

因如上还原，使用不同方法：

* 自由空间重力异常：应用正常梯度0.3086，但是没有地形模型。该异常表示该点向下移动，随同整个地形形状。这个简易方法适用于很多大地测量应用。
* 简单布格异常：按布格梯度（Bouguer gradient）向下还原0.1967。这种异常解决貌似在平原上的异常点。
* 完全布格异常（refined or complete Bouguer anomaly，通常缩写为ΔgB）：使用标准密度2.67g/cm³（花岗岩，石灰石）尽可能准确地考虑数字地形模型（DTM）。布格异常可以表示地下岩石的不同密度影响，是理想的地球物理学方法。
	+ 两个不平衡地形的微分引力影响差值是地形影响，通常为负（达到100毫伽）。
	+ 法耶重力异常（Faye's anomaly）与ΔgB的差值是布格归算（Bouguer reduction），即地形引力。
* 特殊方法如Poincare-Prey，使用0.009毫伽每米（90 nm/(s²·m)）的内部重力梯度。该方法应用于钻孔内部重力或特殊大地水准面的计算。

由于地壳均衡布格异常在山体中通常为负值：根部岩石密度比周围地幔低。典型异常如阿尔卑斯山 （页面存档备份，存于互联网档案馆）中央值为负150毫伽（−1.5 mm/s²）。比较局部的异常应用于地球物理学：如果为正值，可能预示金属矿石。在衡量整个山脉和矿体后，布格异常可以预测矿石种类。例如，横跨新泽西中部的东北—西南走向山脉（见上图）

表示出一处由致密玄武岩填充的三叠纪地堑。盐丘在重力地图中通常表现为低点，因为盐的密度比石丘的密度低。异常可以帮助区分沉积盆地中填充的与周围区域密度不同区——如英國與愛爾蘭的重力異常分布。

## 卫星测量

在太空中可以大规模地探测出重力异常。 美國德克薩斯大學太空研究中心及美國航空暨太空總署的重力復原及氣候實驗项目（Gravity Recovery and Climate Experiment, GRACE），使用两颗精密測定其間距離的卫星，来全天候監测整个地球的重力改变。

## 天文学

空间中比预期质量密度高的区域会产生重力异常。观测银河系与其他星系间的重力异常引出暗物质假设。

## 另见

* 重力扰动
* 垂线偏差
* 重力测量
* 物理大地测量学

* Bouguer anomaly theory
* Bouguer anomalies of Belgium. The blue regions are related to deficit masses in the subsurface - e.g. lower rock density beneath the mountains
# 伴随勒让德多项式

**伴随勒让德多项式**（**Associated Legendre polynomials**，又译**缔合勒让德多项式**、**连带勒让德多项式**、**关联勒让德多项式**）是数学上对如下形式常微分方程解函数序列的称呼：

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_0
该方程是在球坐标系下求解拉普拉斯方程时得到的，在数学和理论物理学中有重要的意义。

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_2 =5时连带勒让德多项式的图像
因上述方程仅当 WIKINIUM\_MATH\_PH\_3 和 WIKINIUM\_MATH\_PH\_5 均为整数且满足 WIKINIUM\_MATH\_PH\_7 时，才在区间 [−1, 1] 上有非奇异解，所以通常把 WIKINIUM\_MATH\_PH\_9 和 WIKINIUM\_MATH\_PH\_11 均为整数时方程的解称为**伴随勒让德多项式**；把 WIKINIUM\_MATH\_PH\_13 和/或 WIKINIUM\_MATH\_PH\_15 为一般实数或复数时方程的解称为**广义勒让德函数**（**generalized Legendre functions**）。

当 WIKINIUM\_MATH\_PH\_17 、 WIKINIUM\_MATH\_PH\_19 为整数时，方程的解即为一般的勒让德多项式。

注意当  WIKINIUM\_MATH\_PH\_21  为奇数时，连带勒让德多项式并不是多项式。

## 正交性

与勒让德多项式一样，连带勒让德多项式在区间 [-1,1] 上也满足正交性。

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_22
这是因为，与勒让德方程一样，连带勒让德方程也是施图姆-刘维尔型的：

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_24
正交性的另一种表述如下，它与下面提到的球谐函数有关。

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_26
## 与勒让德多项式的关系

连带勒让德多项式可以由勒让德多项式求  WIKINIUM\_MATH\_PH\_28  次导得到：

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_29
等号右边的上标 ( WIKINIUM\_MATH\_PH\_31 ) 表示求  WIKINIUM\_MATH\_PH\_32  次导。

## 与超几何函数的关系

连带勒让德函数（即  WIKINIUM\_MATH\_PH\_33 ,  WIKINIUM\_MATH\_PH\_34  不一定要是整数）可以用高斯超几何函数表达为：

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_35
注意  WIKINIUM\_MATH\_PH\_37  为正整数  WIKINIUM\_MATH\_PH\_38  时 1- WIKINIUM\_MATH\_PH\_39  是伽玛函数的奇点，此时等号右边的式子应该理解为当  WIKINIUM\_MATH\_PH\_40  趋于  WIKINIUM\_MATH\_PH\_41  时的极限。

## 负数阶连带勒让德多项式

显然连带勒让德方程在变换  WIKINIUM\_MATH\_PH\_42 →- WIKINIUM\_MATH\_PH\_43  下保持不变，传统上习惯定义负数阶连带勒让德多项式为：

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_44
容易验证，这样定义的连带勒让德多项式能够使得上面的正交关系可以推广到  WIKINIUM\_MATH\_PH\_46  为负数的情况。

注意在个别文献（如上面的图，以及球谐函数一文）中会直接取

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_47
本文不采用这种定义。

## 与球谐函数的关系

球谐函数是球坐标下三维空间拉普拉斯方程的角度部分的解，构成一组完备的基组，有着重要的意义。

采用本文中定义的连带勒让德多项式的表达式，球谐函数可以表达为：

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_49
由连带勒让德多项式的正交关系可以直接得到球谐函数的正交关系：

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_51
式中 d WIKINIUM\_MATH\_PH\_53  是立体角元。

* Dunster, T. M., Legendre and Related Functions, Olver, Frank W. J.; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (编), NIST Handbook of Mathematical Functions, Cambridge University Press, 2010, ISBN 978-0521192255, MR2723248
# 橢球坐標系

椭球坐标系: a=1,b=0.8,c=0.6,
 λ=-0.1 红色椭球, μ=-0.5 蓝色单叶双曲面, ν=-0.8 品红色双叶双曲面.
**橢球坐標系**（英語：Ellipsoidal coordinates）是一種三維正交坐標系，是橢圓坐標系的推廣。與大多數的三維正交坐標系的生成方法不同，橢球坐標系不是由任何二維正交坐標系延伸或旋轉生成的。

## 基本公式

橢球坐標 WIKINIUM\_MATH\_PH\_0 以直角坐標 WIKINIUM\_MATH\_PH\_2 定義為：

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_4 、
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_6 、
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_8 ；
其中，橢球坐標遵守以下限制：

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_10 。
## 坐標曲面

椭球上的与双曲面相交的曲线，a=1, b=0.8, c=0.6.
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_12 -坐標曲面是橢球面 ：

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_14 。
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_16 -坐標曲面是單葉雙曲面 (hyperboloid of one sheet) ：

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_18 。
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_20 -坐標曲面是双葉雙曲面 (hyperboloid of two sheet) ：

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_22 。
## 標度因子

為了簡化標度因子的計算，設定函數

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_24 ；
其中，參數 WIKINIUM\_MATH\_PH\_26 可以代表任何一個橢球坐標 WIKINIUM\_MATH\_PH\_28 。

橢球坐標的標度因子分別為

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_30 、
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_32 、
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_34 。
無窮小體積元素等於

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_36 。
拉普拉斯算子是

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_38
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_40 。
其它微分算子，例如 WIKINIUM\_MATH\_PH\_42 與 WIKINIUM\_MATH\_PH\_44 ，都可以用橢球坐標表達，只需要將標度因子代入正交坐標條目內對應的一般公式。

## 參閱

* 橢球
* 類球面

## 參考目錄

* Morse PM, Feshbach H. Methods of Theoretical Physics, Part I. New York: McGraw-Hill. 1953: p. 663.  引文格式1维护：冗余文本 (link)
* Zwillinger D. Handbook of Integration. Boston, MA: Jones and Bartlett. 1992: p. 114. ISBN 0-86720-293-9.  引文格式1维护：冗余文本 (link)
* Sauer R, Szabó I. Mathematische Hilfsmittel des Ingenieurs. New York: Springer Verlag. 1967: pp. 101–102.  引文格式1维护：冗余文本 (link)
* Korn GA, Korn TM. Mathematical Handbook for Scientists and Engineers. New York: McGraw-Hill. 1961: p. 176.  引文格式1维护：冗余文本 (link)
* Margenau H, Murphy GM. The Mathematics of Physics and Chemistry. New York: D. van Nostrand. 1956: pp. 178–180.  引文格式1维护：冗余文本 (link)
* Moon PH, Spencer DE. Ellipsoidal Coordinates (η, θ, λ). Field Theory Handbook, Including Coordinate Systems, Differential Equations, and Their Solutions corrected 2nd ed., 3rd print ed. New York: Springer Verlag. 1988: pp. 40–44 (Table 1.10). ISBN 0-387-02732-7.  引文格式1维护：冗余文本 (link)
# 扰动位[编辑]

**扰动位**（英語：Disturbing potential），也称**异常位**（英語：Anomalous potential），指地球的真实重力位与正常重力位之间的差异。

扰动位是建立地球重力场模型过程中的关键变量，与大地水准面高和高程异常有着紧密的关系。在求解地球形状和地球重力位的问题的过程中，可以先定义一个简单的、能够直接计算得到的正常重力位和正常椭球体，再通过求解扰动位得到大地水准面或似大地水准面与正常椭球体之间的差距（如大地水准面高和垂线偏差），从而得到地球的近似形状和真实重力位。在选取正常椭球体时，通常定义其与大地水准面密合，扰动位的量级很小（仅占真实重力位的百万分之五），对真实重力位起到改正项的作用，通常可以用线性近似和球面近似的方法进行求解。

## 数学表达

从数学上的定义来看，扰动位 WIKINIUM\_MATH\_PH\_0 通常表达成真实重力位 WIKINIUM\_MATH\_PH\_2 与正常重力位 WIKINIUM\_MATH\_PH\_4 之间的差距：

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_6
其中，两个重力位都由引力位部分和离心力位的部分组成，且两者的离心力位部分可以视作是相同的，因此扰动位表现的是两者的引力位差，具有引力位满足拉普拉斯方程的性质：

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_8
### 球谐函数

因此，扰动位 WIKINIUM\_MATH\_PH\_10 在边界面的外部（ WIKINIUM\_MATH\_PH\_12 ）展开为球谐函数：

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_14
其中球坐标 WIKINIUM\_MATH\_PH\_16 表示外部空间某一点的径向距离、极角和经度。 WIKINIUM\_MATH\_PH\_18 则表示 WIKINIUM\_MATH\_PH\_20 阶面谐函数，且有完全形式：

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_22
上式中各项的含义如下：

* WIKINIUM\_MATH\_PH\_24 地心引力常数
* WIKINIUM\_MATH\_PH\_26 为面谐函数的阶数

* WIKINIUM\_MATH\_PH\_28 为用以近似的地球半径
* WIKINIUM\_MATH\_PH\_30 是 WIKINIUM\_MATH\_PH\_32 阶 WIKINIUM\_MATH\_PH\_34 次的缔合勒让德多项式
* WIKINIUM\_MATH\_PH\_36 和 WIKINIUM\_MATH\_PH\_38 是真实重力位与正常重力位所采用的球谐系数的差值

又根据正常椭球体的定义，其产生的正常重力位应当与真实重力位在球谐展开式的最大项上相同，且具有一阶系数为零的性质，所以扰动位也常写为：

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_40
## 径向导数

由扰动位的球谐表达式，可以求出其一阶和二阶径向导数的相应表达式：

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_42
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_44
利用缩写 WIKINIUM\_MATH\_PH\_46 ，可以得到调和函数 WIKINIUM\_MATH\_PH\_48 的球谐展开式：

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_50
## 球面近似

在球近似的条件下，以下三个偏微分被视作相同：

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_52
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_54 、 WIKINIUM\_MATH\_PH\_56 和 WIKINIUM\_MATH\_PH\_58 分别表示重力矢量的方向、高程方向和地心方向。

### 大地水准面上的扰动位及其径向导数

以球面对大地水准面进行近似（即假设 WIKINIUM\_MATH\_PH\_60 ），不考虑球谐函数是否收敛的问题，则大地水准面上的扰动位可以表达为：

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_62
## 与其他物理量的关系

### 重力扰动

重力扰动是指大地水准面上的一点 WIKINIUM\_MATH\_PH\_64 处，真实重力 WIKINIUM\_MATH\_PH\_66 与同一位置上的正常重力 WIKINIUM\_MATH\_PH\_68 的差异，即

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_70
利用球面近似，重力扰动可以通过扰动位的一阶径向导数来表述：

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_72
其中 WIKINIUM\_MATH\_PH\_74 和 WIKINIUM\_MATH\_PH\_76 分别表示真实重力与正常重力方向，即铅垂线方向和椭球的法线方向。

将其展开作级数，得：

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_78
### 重力异常

重力异常与重力扰动的区别在于，重力异常比较的重力是点 WIKINIUM\_MATH\_PH\_80 处的真实重力 WIKINIUM\_MATH\_PH\_82 和其在椭球面上的投影 WIKINIUM\_MATH\_PH\_84 处的正常重力 WIKINIUM\_MATH\_PH\_86 ，即

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_88
其与重力扰动和扰动位的一阶径向导数的关系由重力测量基本微分方程给出，这一方程的球面近似形式为：

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_90
将其展开作级数，得：

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_92
### 斯托克斯公式

通过泊松积分公式，可以在表达出大地水准面上的重力异常 WIKINIUM\_MATH\_PH\_94 和扰动位 WIKINIUM\_MATH\_PH\_96 之间的关系，即：

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_98
这一公式由爱尔兰数学物理学家斯托克斯在1849年给出，又称为斯托克斯公式。其中的 WIKINIUM\_MATH\_PH\_100 被称为斯托克斯函数，该项由单位球面上的被计算点与重力异常观测值所在的角元素之间的夹角 WIKINIUM\_MATH\_PH\_102 决定：

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_104

* 重力测量

* 重力归算
* 大地测量边值问题
# 宁津生

**宁津生**（1932年10月22日—2020年3月15日）是一位中国大地测量学家，武汉大学教授，因在大地测量领域的贡献而被誉为“大地之星”。

## 生平

1932年10月22日出生于天津。祖籍安徽桐城，1956年毕业于同济大学。1983年12月加入中国共产党。1984年至1988年任武汉测绘科技大学副校长，1988年至1997年任校长。1995年当选为中国工程院院士。

2020年3月15日于武汉逝世。

## 社会兼职

曾任教育部高等学校测绘学科教学指导委员会主任，中国测绘学会测绘教育工作委员会主任，国家测绘局科技委员会委员，《中国大百科全书》总编委会委员和第二版《测绘学科》主编、《大辞海》分科主编等。

## 参考资料
# 布隆斯公式[编辑]

**布隆斯公式**（英語：Bruns formula），也称布隆斯方程，是大地测量学中用于描述大地水准面高、扰动位和正常重力的关系式，由德国大地测量学家海因里希·布隆斯于1878年提出。

## 数学表达

设大地水准面有一点 WIKINIUM\_MATH\_PH\_0 ，其沿法线投影到参考椭球面上的点为 WIKINIUM\_MATH\_PH\_2 ，则 WIKINIUM\_MATH\_PH\_4 点处的大地水准面高 WIKINIUM\_MATH\_PH\_6 即为两点之间的距离 。又设 WIKINIUM\_MATH\_PH\_8 点处的扰动位为 WIKINIUM\_MATH\_PH\_10 ，计算得的 WIKINIUM\_MATH\_PH\_12 点处的正常重力为 WIKINIUM\_MATH\_PH\_14 ，则布隆斯公式可表达为：

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_16
在实际使用过程中，为简化计算，在不影响精度的情况下上式的 WIKINIUM\_MATH\_PH\_18 可以用正常重力的平均值 WIKINIUM\_MATH\_PH\_20 代替。

## 推导过程

由于参考椭球面的正常重力位 WIKINIUM\_MATH\_PH\_22 被定义成与其所对应的大地水准面的重力位 WIKINIUM\_MATH\_PH\_24 相等，大地水准面上的点 WIKINIUM\_MATH\_PH\_26 及其在参考椭球面上的投影 WIKINIUM\_MATH\_PH\_28 的重力位存在如下关系：

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_30
重力位 WIKINIUM\_MATH\_PH\_32 又可被分作正常重力位 WIKINIUM\_MATH\_PH\_34 和扰动位 WIKINIUM\_MATH\_PH\_36 两部分，即：

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_38
则扰动位 WIKINIUM\_MATH\_PH\_40 可表示成点 WIKINIUM\_MATH\_PH\_42 和点 WIKINIUM\_MATH\_PH\_44 的正常重力位之差，并进一步表示为点 WIKINIUM\_MATH\_PH\_46 处正常重力的偏导数：

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_48
上式中 WIKINIUM\_MATH\_PH\_50 为参考椭球面的法线方向（也即大地水准面高 WIKINIUM\_MATH\_PH\_52 的方向）。正常重力 WIKINIUM\_MATH\_PH\_54 的正向向下，因此符号为负。将上式变形即得：

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_56

* 广义布隆斯方程
* 重力测量基本微分方程
# 重力扰动[编辑]

**重力扰动**（英語：Gravity disturbance）是指地球的外部空间中，某一点上真实重力与正常重力之间的差异。该点处的真实重力矢量和正常重力矢量之差被称为重力扰动矢量，而该点处的重力扰动则是这一重力扰动矢量的大小。有时也称这一重力扰动为纯重力异常，而将同一点处的真实重力矢量与其对应在正常重力等位面处的正常重力矢量之差（即重力扰动）称为纯重力异常。重力扰动矢量的方向与重力异常矢量相同，被称为垂线偏差。

## 数学表达

在空间中的某一点 WIKINIUM\_MATH\_PH\_0 ，测量得其真实重力矢量为 WIKINIUM\_MATH\_PH\_2 ，计算得同一位置上的正常重力矢量为 WIKINIUM\_MATH\_PH\_4 ，则 WIKINIUM\_MATH\_PH\_6 点处的重力扰动矢量为：

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_8
又真实重力矢量和正常重力矢量分别为真实重力位 WIKINIUM\_MATH\_PH\_10 和正常重力位 WIKINIUM\_MATH\_PH\_12 的梯度，因此重力扰动矢量亦可表达成扰动位的梯度：

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_14
又因扰动位和垂线偏差都是微小量，重力扰动亦可表达成扰动位沿下面几个方向的一阶导数：

* WIKINIUM\_MATH\_PH\_16 ， WIKINIUM\_MATH\_PH\_18 表示沿铅锤方向
* WIKINIUM\_MATH\_PH\_20 ， WIKINIUM\_MATH\_PH\_22 表示沿正常高方向，即正常椭球的法线方向
* WIKINIUM\_MATH\_PH\_24 ， WIKINIUM\_MATH\_PH\_26 表示沿径向，即该点与地心的连线方向

* 重力测量基本微分方程
# 海面地形[编辑]

TOPEX/Poseidon是第一个用于探测海面地形的卫星任务，该任务使得科学家能够绘制出精度足够高的海面地形分布图，并将其用于对大尺度洋流系统的研究。这幅图像仅使用了10天（1992年10月3日至12日）的任务数据，就揭示出了大部分在过去百余年间通过船舶探测发现的洋流系统。
**海面地形**（英語：ocean surface topography），又称**海洋动力地形**（ocean dynamic topography），是指海平面相对于大地水准面的高度。其起伏的程度在±1米之间，大致仅相当于大地水准面起伏的百分之一。产生海面地形的原因则有海浪、潮汐、洋流以及大气载荷等等。除海浪和潮汐作用外，其他影响海面地形的还有现象大多是在较大的空间和时间尺度上变化，如大型的洋流系统及其带来的涡流和环状结构、厄尔尼诺现象、风暴响应等等。

## 数学表达

海面地形 WIKINIUM\_MATH\_PH\_0 可视作由两部分组成，其中一部分是接近于完全静止的部分 WIKINIUM\_MATH\_PH\_2 ，另一部分则是随时间变化的部分 WIKINIUM\_MATH\_PH\_4 ：

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_6
## 研究组织

对海面地形进行研究的主要组织有美国国家航空航天局（NASA）、法国国家空间研究中心（CNES）、美国国家海洋和大气管理局（NOAA）和歐洲氣象衛星開發組織（EUMETSAT）等。

* 平均海水面
* 大地水准面
* 大地水准面高
# 水准测量[编辑]

**水准测量**是一种使用水准仪和水准尺测量地面点高程的方法，因其操作方法简单、易于操作，且精度可靠，所以是目前测定地面点高程的主要方法之一。

## 原理

水准测量的基本原理是测定两点间的高差，从而根据已知点高程而推算出未知点的高程。求两点高差的方法如下图所示：

后尺读数 WIKINIUM\_MATH\_PH\_0 m，前尺读数 WIKINIUM\_MATH\_PH\_2 m
高差 D = WIKINIUM\_MATH\_PH\_4 - WIKINIUM\_MATH\_PH\_6 = 0.819 m
如果知道后视点的高程 WIKINIUM\_MATH\_PH\_8 ，则前视点的高程即为 WIKINIUM\_MATH\_PH\_10 = WIKINIUM\_MATH\_PH\_12 + D 。这种计算高程的方法称为高差法。如果已知仪器高程（视线高程） WIKINIUM\_MATH\_PH\_14 ，可直接求得要求的前视点高程 WIKINIUM\_MATH\_PH\_16 = WIKINIUM\_MATH\_PH\_18 ± WIKINIUM\_MATH\_PH\_20 ，此法称为视线高法，常用于建筑工程施工中。

## 方法

P1与P2点之间的高差即为3个测站所测得的高差之和。
如果已知点与未知点的距离较远或高差较大时，仅安置一次仪器便不能测得它们的高差，这时需要加设若干个临时的立尺点，作为传递高程的过渡点，称为**转点**。每安置一次仪器，称为一个**测站**，每个测站所测的高差之和，即为待测两点的高差。

## 仪器

水准测量的仪器主要是水准仪和水准尺，根据水准测量精度的要求需选择相应精度的水准仪和相应的水准尺。

* 微倾式光学水准仪
* 带光学测微器水准仪
* 自动安平水准仪
* 电子水准仪
* 电子水准仪使用的铟瓦水准尺
* 尺垫与水准尺

## 误差

水准测量的误差主要来自以下三种：

* 仪器误差：视準轴与水准器轴不平行的误差、水准标尺每米真长误差和两根水准标尺零点差等；
* 外界因素：温度变化对i角（视準轴与水准器轴在竖直面上投影的夹角）、大气垂直折光影响、仪器脚架和尺台（桩）升降的影响等；
* 观测误差：测量员整平误差、照準误差和读数误差，数字水准仪的调焦误差。

水准测量的误差无法完全避免，但是可以在测量作业时采取一定措施来减少误差的影响。比如观测时用伞遮挡仪器，尽量使前、后视的距离相等或视距累计差规定一个限值，可以降低i角误差和调焦误差；在一测段中使测站数为偶数可以消除水准尺零点差；采用“后-前-前-后”的观测顺序可以减少仪器下沉的影响；进行往返观测，取高差平均值可以减少水准尺下沉的影响等。

## 参考

* 潘正风 杨正尧 程效军 成枢 王腾军. 数字测图原理与方法 1. 武汉: 武汉大学出版社. 2004: 62. ISBN 978-7-307-04311-4.
* 水准测量原理，测量员网，2009年11月30日，2009年12月16日查阅，（中文）
# 重力测量

基于卫星重力测量数据制作的大地水准面。
**重力测量**是测定重力加速度的技术和方法，其成果在大地测量学、地球物理学和地球动力学中有着重要应用。

## 历史

重力测量的发展是伴随着测量仪器的发展而发展的。最早测量出重力加速度g值的是意大利科学家伽利略，1590年他在比萨斜塔的掷铅球试验和在斜面上的球体滚落试验，初步测定 g≈9.8 m/s2，精度在±0.1 m/s2左右。1673年，荷兰科学家惠更斯提出了单摆摆动的周期公式： WIKINIUM\_MATH\_PH\_0 （l为摆长），为重力测量奠定了理论基础。1733年前后，法国科学家夏尔·马里·拉孔达米纳首次用物理摆测出的g值的精度达到±0.01 m/s2。1818年，英国物理学家亨利·卡特发明第一台可供野外观测的可倒摆仪器，被称为卡特垂摆，测量误差精度约为±3.5×10-4 m/s2。1828年，德国科学家贝塞尔在研究可倒理论和误差源后，研制出的摆线将测量精度提高到约±1×10-4 m/s2。在早起，主要进行的是测量某一地点绝对重力的绝对重力测量。最早进行相对重力测量（测定两点间重力加速度差值）的是奥地利科学家罗伯特·多布雷斯基·冯·施特内克于1887年采用动力法的摆仪进行的。此法是用长度不变的摆在两个待测点上观测摆动周期，根据两点的周期差求重力差，精度可达到±5×10-5 m/s2。德国大地测量学家弗里德里希·罗伯特·黑尔默特使用奥地利基准台的重力值，建立了“维也纳重力系统（基准）”，并于1900年在巴黎举行的国际大地测量协会会议上通过成为世界上第一个国际重力基准。1898～1904年，黑尔默特与弗里德里希·屈嫩、菲利普·富特文勒在德国波茨坦大地测量研究所完成了新的绝对重力测量，以重力值g = 981.274  +/-0.003 cm/s²为基准，建立了“波茨坦重力系统（基准）”，并在1909年在伦敦举行的国际大地测量学协会会议上通过。这一基准一直到1971年在莫斯科举行的国际大地测量学和地球物理学联合会第15届大会上决定由1971年国际重力基准网 (ISGN-71)所取代。

## 方法

重力测量的方法主要可分为三种：

* 绝对重力测量，利用振摆或自由落体等物理手段直接测定地面观测点的重力加速度值；
* 相对重力测量，利用重力仪测定地面两点间的重力差，并与已知重力点联测以推算未知点重力值；
* 重复重力测量，按一定时间间隔对地面两点间的重力差进行重复测量。
# 高程

**高程**是指某一点相对于基准面的高度，目前常用的高程系统共有正高、正常高、力高和大地高程4种，而高程基准各国均有不同定义。**高程系统**则是定义某点沿特定的路径到一个参考面上距离的一维坐标系统。

高程系统的建立必须基于重力水准测量的原理。传统的几何水准测量中，两点间的高差是基于两点所在的水准面相互平行的假设测得的。当水準管内的气泡居中时，水準儀的竖轴与铅垂线重合，其视线方向相切于其所在的水准面。若水准面相互平行，则在两点间进行对向观测，得到的两点间的高差应当相等；在环线上进行闭合观测，其闭合差应当为零。但事实上，水准面之间是并不相互平行，由此造成的在环线观测中留下的差值被称为水准环闭合差。传统的几何测量手段不能解决水准环闭合差不为零的问题。但在重力水准测量中，高程值与重力位相联系，因此可以确保两点间的高差沿水准面传递，使环线闭合差为零。

## 高程系统

### 正高

沿地面点B的垂线方向到大地基准面的距离Hg称为**正高**，其计算公式为：

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_0

由于该公式中的gm较难通过测量确定，因此一般通过过去的近似值来确定。

### 正常高

正常高系统是为解决正高系统中ggm较难测量确定的问题而在1954年由苏联地理学家莫洛坚斯基提出的一种系统，该系统将正高系统中的gm换成容易精确计算的Ym，其计算公式为：

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_2

### 力高

由于同一水准点的正高和正常高系统测量值往往会有差别，为了在水利建设中避免出现问题，出现了力高的定义，力高的定义是指通过该点的水准面在纬度45°处的正常高。

### 大地高程

大地高程以椭球面为基准面，是由地面点沿其法线到椭球面的距离。可以采用卫星大地测量法或几何物理结合大地测量法获得。

## 高程基准

### 台湾

台湾高程基准以基隆港平均海水面為高程基準面。

### 中国大陆

#### 国家标准（黄海高程）

目前被定为中华人民共和国国家标准的高程基准是1985年黄海高程基准，其正式名称为**1985年国家高程基准**，又称**1985年黄海高程**，系以设在青岛的大港验潮站1952—1979年间的验潮资料求得设于青岛的国家水准原点的高程为72.260米，从而确定了国家高程基准。

此前，在1956年同样是通过青岛在1950-1956年的验潮资料确定青岛的国家水准原点高程为72.289米，该高程系称为“1956年黄海高程系”。

#### 吴淞高程

吴淞高程系是以吴淞口的验潮站所测为基准的高程系，目前华东地区仍在广泛应用。在上海地区，吴淞高程系=1956年黄海高程-1.6297米=1985年黄海高程-1.6007米，远离上海的地区，此值又有不同。

#### 坎门高程

坎门高程系是以浙江省玉环县内的坎门验潮站为基准的高程系，曾在浙江、江苏、安徽等地使用，坎门高程系=1985年黄海高程+0.2566

#### 珠基高程

珠基高程是以珠江基面为基准的高程系，在广东地区应用较为广泛。

#### 废黄河高程系

废黄河高程系是江淮水利测量局以民国元年11月11日下午5时废黄河口的潮水位为零起算的高程。

#### 大连零点

大连零点是日本入侵中国东北期间，在大连港码头仓库区内设立验潮站，并以多年验潮资料求得的平均海面为零起算的高程。

#### 安庆高程系

安庆高程系是假定高程的高程系，由安徽省陆军测量局确定。

### 香港

香港目前采取的高程基准为1980年确定的HKPD，为“平均海面”之下约1.23米。

* 水准测量
* 数字地面模型