# 几何数论[编辑]

在数论中，**几何数论**（英語：Geometry of numbers）研究凸体和在n维空间整数点向量问题。几何数论于1910由赫尔曼·闵可夫斯基创立。几何数论和数学其它领域有密切的关系，尤其研究在泛函分析和丢番图逼近中，对有理数向无理数逼近问题。

## 闵可夫斯基的结果

* 闵可夫斯基定理，有时也被称为闵可夫斯基第一定理：

假设Γ是在n维欧氏空间R*n*的格和*K*是中心对称凸体， WIKINIUM\_MATH\_PH\_0 ，则*K*包含Γ非零的向量。
* 闵可夫斯基第二定理，是他的第一定理加强。定义*K*数字λ最大下界，为 λ*k*，称为连续最低。

则λK在Γ中ķ线性无关，则有：

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_2
## 近现代几何数论研究

在1930年至1960年的很多数论学家取得了很多成果（包括路易·莫德尔，哈罗德·达文波特和卡尔·路德维希·西格尔）。近年来，Lenstra，奥比昂，巴尔维诺克对组合理论的扩展对一些凸体的格数量进行了列举。

* 施密特子空间定理
* 在几何数论的子空间定理，由沃尔夫冈·施密特在1972年证明
* 设*n*是正整数，如果*n*个*n*维线性型*L*1,...,*L**n*都具有代数系数，並且是线性无关的，那么对于任何给定的实数ε> 0，所有满足条件: WIKINIUM\_MATH\_PH\_4 的n维非零整数点x都在有限多个Q*n*的真子空间内。

## 对泛函分析的影响

始于闵可夫斯基的几何数论在泛函分析上产生深远的影响。闵可夫斯基证明，对称凸体诱导有限维向量空间的范数。闵可夫斯基定理由柯尔莫哥洛夫推广到拓扑向量空间。柯尔莫哥洛夫的定理证明有界闭对称凸集生成Banach空间的拓扑。当前Kalton et alia. Gardner对星形集和非凸集取得了一些成果。

## 延伸阅读

* Matthias Beck, Sinai Robins. *Computing the continuous discretely: Integer-point enumeration in polyhedra*, Undergraduate texts in mathematics, Springer, 2007.
* Enrico Bombieri; Vaaler, J. On Siegel's lemma. Inventiones Mathematicae. Feb 1983, **73** (1): 11–32. doi:10.1007/BF01393823.  引文使用过时参数`coauthors` (帮助)
* Enrico Bombieri and Walter Gubler. Heights in Diophantine Geometry. Cambridge U. P. 2006.
* J. W. S. Cassels. *An Introduction to the Geometry of Numbers*. Springer Classics in Mathematics, Springer-Verlag 1997 (reprint of 1959 and 1971 Springer-Verlag editions).
* John Horton Conway and N. J. A. Sloane, *Sphere Packings, Lattices and Groups*, Springer-Verlag, NY, 3rd ed., 1998.
* R. J. Gardner, *Geometric tomography,* Cambridge University Press, New York, 1995. Second edition: 2006.
* P. M. Gruber, *Convex and discrete geometry,* Springer-Verlag, New York, 2007.
* P. M. Gruber, J. M. Wills (editors), *Handbook of convex geometry. Vol. A. B,* North-Holland, Amsterdam, 1993.
* M. Grötschel, L. Lovász, A. Schrijver: *Geometric Algorithms and Combinatorial Optimization*, Springer, 1988
* Hancock, Harris. Development of the Minkowski Geometry of Numbers. Macmillan. 1939.  (Republished in 1964 by Dover.)
* Edmund Hlawka, Johannes Schoißengeier, Rudolf Taschner. *Geometric and Analytic Number Theory*. Universitext. Springer-Verlag, 1991.
* Kalton, Nigel J.; Peck, N. Tenney; Roberts, James W., An F-space sampler, London Mathematical Society Lecture Note Series, 89, Cambridge: Cambridge University Press: xii+240, 1984, ISBN 0-521-27585-7, MR 0808777
* C. G. Lekkerkererker. *Geometry of Numbers*. Wolters-Noordhoff, North Holland, Wiley. 1969.
* Lenstra, A. K.; Lenstra, H. W., Jr.; Lovász, L. Factoring polynomials with rational coefficients. Mathematische Annalen. 1982, **261** (4): 515–534. MR 0682664. doi:10.1007/BF01457454.
* L. Lovász: *An Algorithmic Theory of Numbers, Graphs, and Convexity*, CBMS-NSF Regional Conference Series in Applied Mathematics 50, SIAM, Philadelphia, Pennsylvania, 1986
* Malyshev, A.V., Geometry of numbers, 数学百科全书, EMS Press, 2001 （英语）
* Minkowski, Hermann, Geometrie der Zahlen, Leipzig and Berlin: R. G. Teubner, 1910, MR 0249269
* Wolfgang M. Schmidt. *Diophantine approximation*. Lecture Notes in Mathematics 785. Springer. (1980 [1996 with minor corrections])
* Wolfgang M. Schmidt.*Diophantine approximations and Diophantine equations*, Lecture Notes in Mathematics, Springer Verlag 2000.
* Siegel, Carl Ludwig. Lectures on the Geometry of Numbers. Springer-Verlag. 1989.
* Rolf Schneider, *Convex bodies: the Brunn-Minkowski theory,* Cambridge University Press, Cambridge, 1993.
* Anthony C. Thompson, *Minkowski geometry,* Cambridge University Press, Cambridge, 1996.