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# 獨立性 (數理邏輯)[编辑]

在數理邏輯上，**獨立性**指的是一個句子相對於其他句子的不可證明性。

若一個句子 WIKINIUM\_MATH\_PH\_0 獨立於一個一階理論 WIKINIUM\_MATH\_PH\_2 ，那就表示說 WIKINIUM\_MATH\_PH\_4 在 WIKINIUM\_MATH\_PH\_6 中是不能證明也不能否證的，也就是說不能由 WIKINIUM\_MATH\_PH\_8 證明 WIKINIUM\_MATH\_PH\_10 ，也不能由 WIKINIUM\_MATH\_PH\_12 證明 WIKINIUM\_MATH\_PH\_14 為偽。對於這樣的 WIKINIUM\_MATH\_PH\_16 ，有時會說 WIKINIUM\_MATH\_PH\_18 在 WIKINIUM\_MATH\_PH\_20 中是不可判定的，而這裡的「不可判定」跟決定性問題中的「不可判定」是不同的。

若理論 WIKINIUM\_MATH\_PH\_22 中的每項公設都不能由 WIKINIUM\_MATH\_PH\_24 中的其他公設證明，則說 WIKINIUM\_MATH\_PH\_26 是**獨立的**，一個有著獨立公設集合的理論又稱**可獨立公設化**的。

## 用法注意

在一些作者的用法下，「 WIKINIUM\_MATH\_PH\_28 獨立於 WIKINIUM\_MATH\_PH\_30 」只表示「 WIKINIUM\_MATH\_PH\_32 在 WIKINIUM\_MATH\_PH\_34 中是不能證明的」，但不表示 WIKINIUM\_MATH\_PH\_36 是不能否證的，而這些作者在講說「 WIKINIUM\_MATH\_PH\_38 在 WIKINIUM\_MATH\_PH\_40 中是不能證明也不能否證的」時候，常會說「 WIKINIUM\_MATH\_PH\_42 是獨立且自洽於 WIKINIUM\_MATH\_PH\_44 的。」

## 集合論中的獨立結果

* 選擇公理
* 連續統假設
* 蘇斯林問題

在假定ZFC（帶有選擇公理的策梅洛-弗兰克尔集合论）本身自洽的狀況下，下述的問題是獨立於ZFC的：

* 強不可達基數的存在性
* 大基數的存在性
* 庫瑞巴樹的存在性

下述的問題不相容於選擇公理，故不與ZFC相容；然而這些問題很可能獨立於ZF；換句話說下述的問題不能在ZF中證明，且只有少數的集合論專家期望在ZF中找到這些問題的否證；然而即使ZF是自洽的，也無法以ZF證明下述的問題獨立於ZF：

* 決定公理
* 實決定公理
* AD+

## 在物理理論上的應用

自2000年起，學界開始認為邏輯獨立性在物理基礎上扮演著關鍵角色。

* ZFC系統無法確定的命題列表
* 幾何等領域的平行公設

## 註解

## 參考資料

* Mendelson, Elliott, An Introduction to Mathematical Logic 4th, London: Chapman & Hall, 1997, ISBN 978-0-412-80830-2
* Monk, J. Donald, Mathematical Logic, Graduate Texts in Mathematics, Berlin, New York: Springer-Verlag, 1976, ISBN 978-0-387-90170-1  含有內容需登入查看的頁面 (link)
* Stabler, Edward Russell, An introduction to mathematical thought, Reading, Massachusetts: Addison-Wesley, 1948
# 道义逻辑

**道义逻辑**(英文：Deontic logic)是一种非标准的模态逻辑， 属于哲学逻辑的领域, 涉及“应该”、“可以”或 “许可”、“禁止” 这样一些道义概念。

## 符号化

应该（obligate）p：Op

允许（permit）p：Pp

禁止（forbid）p：Fp

应该...不...（obligate...not...）非p：O¬p

允许...不...（permit...not...）非p：P¬p

禁止...不...（forbid...not...）非p：F¬p

## 基本公式

“不应当不A”等值于“许可A”； ¬O¬A↔PA

“不许可不A”等值于“应当A”； ¬P¬A↔OA

“应当A”等值于“禁止不A”；OA↔F¬A

“禁止A”等值于“应当不A”。 FA↔O¬A

## 资料参考

《逻辑学》（第二版）人民大学出版社
# 认识逻辑[编辑]

**认识逻辑**是关心与知识有关的推理的模态逻辑子领域。(认识这个词的希腊语是 Episteme)。它应用于哲学、计算机科学、人工智能和其他领域。

认识逻辑的基本模态算子通常写为 **K**，它可以读做“有人知道...”，“...在认识上是必然的”，或“不...与已知相矛盾”。如果有多于一个的其知识要被表现的代理者(agent)，可以向这个算子附加下标(*Ka*, *Kb*, etc.)来指示谈论的是哪个代理者。

认识逻辑与真势模态逻辑共享某些特征。例如模式 **T**，

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_0 ,
陈述*必然*的事物是真的，这好像是正确的。它的认识版本是

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_2 ,
陈述某知识为“已知”是真，这好像同样是正确的。在另一方面，很多在真势模态逻辑中似是而非的公式在按知识来解释的时候就更加可疑了。例如模式 **4**，

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_4 ,
当把方框解释为“...(在形而上学上)是必然的”的时候好像是似是而非的。它的知识版本

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_6 ,
陈述如果一个代理者知道某事，则他知道他知道这个事情，这不是个很明显的一个原理。

认识逻辑的早期提议者包括E. J. Lemmon和雅各·辛提卡。

* 自动认识逻辑
* 计算机逻辑

* 斯坦福哲学百科全书条目（页面存档备份，存于互联网档案馆）
# 结构分析[编辑]

**结构分析**是用来确定作用在物理结构和其组件上的荷载所引起的荷载效应。
这种分析包含了多种结构存在形式，比如建筑、桥梁、车辆、机械、家具、生活用品、岩層、義肢和生物组织等。结构分析综合了应用力学、材料科学和用数学计算出结构的形变、內力、应力、支座反力，加速度和结构稳定性。结构分析的结果可以被用来确定结构健全与否，校验其可使用性，通常可以省去物理实验。结构分析因此成为结构工程设计的关键部分。

## 结构和荷载

用来承受荷载的单个实体或系统被称为结构。在土木工程范围内，重要的的结构包含建筑，桥梁和塔；在其他工程分支中，结构可以包含但不仅限于，船舶和飞机的框架，蓄水池，压力容器，机械系统，和电力系统支架。工程师在进行结构设计时，必须在满足其相应的功能性的条件下，考虑它的安全性，美观性和服务功能，并且考虑到经济因素和环境限制。在其它的工程分支中的结构被称为非建筑结构。

### 结构的分类

结构组件和它们的材料被称为 *结构系统* 。 结构工程师通过结构的形式或功能，以及种组成结构的组件来对结构进行分类。结构组件引导系统作用力，通过诸如连杆，桁架，梁，柱，甚至是缆件，拱，腔或隧道，一个角件，膜结构或架，使作用力以一定形式分布于材料中。

### 荷载

在结构所需要的尺寸被确定以后，需要确定结构所承受的荷载。为了设计一个结构，确定施加的结构荷载相当重要。建筑结构的设计荷载往往由建筑规范所规定。

在遵循建筑规范的结构设计中，一般有两种荷载种类。第一种为静荷载，包含各种结构组件的重量和永久附属件的重量。柱，梁，结构支架，板，屋顶，墙，床，水管，电气组件以及其他附属件的重量都属于静荷载。第二种荷载为动荷载，考虑了各种情况下不同空间和不同大小的荷载。动荷载的种类很多，包含建筑动荷载，桥梁动荷载，铁路动荷载，瞬时冲击荷载，风荷载载，雪荷载,地震荷载以及其它自然荷载。

## 分析方法

截面法(Method of Sections)
# 模糊规则

**模糊规则**的形式为：if x is A then y is B，其中A和B为由论域X和Y上的模糊集合定义的语言值。“x is A”称为前提，“y is B”称为结论。

以上模糊规则可以简写为A → B。本质上模糊规则是定义在X × Y上的二元模糊关系R。

A → B有两种解释，一种是A耦合（coupled with）B：

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_0

另一种是A导致（entails）B：

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_2

基于以上两种解释和不同的t-norm、t-conorm算子，模糊规则可以有多种合法的计算公式。

## 参考资料
# 亚结构逻辑

在数理逻辑中，特别是联合上证明论的时候，一些**亚结构逻辑**已经作为比常规系统弱的命题演算系统被介入了。同常规系统的不同之处在于它们有更少的**结构规则**可用：结构规则的概念是基于相继式（sequent）表达，而不是自然演绎的公式化表达。两个重要的亚结构逻辑是相干逻辑和线性逻辑。

在相继式演算中，你可以把证明的每一行写为

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_0 。
这里的结构规则是重写相继式左手端的Γ的规则，Γ是最初被构想为命题的字符串。这个字符串的标准解释是合取式：我们希望把相继式符号

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_2
读做

(*A* **与B*)**蕴涵C*。
这里我们把右手端的Σ采纳为一个单一的命题*C*（这是直觉主义风格的相继式）;但是所有的东西都同样的适用于一般情况，因为所有的操作都发生在十字转门（turnstile）符号的左边。

因为合取是交换性和结合性的操作，相继式理论的形式架设通常包括相应的**结构规则**来重写相继式的Γ - 例如

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_4
演绎自

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_6 。
还有对应于合取特性的*幂等性*和*单调性*的进一步的结构规则：从

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_8
我们可以演绎出

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_10 。
还有从

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_12
我们可以演绎出，对于任何*B*，

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_14 。
在线性逻辑中有重复的假设（hypothese）'被认为'不同于单一的出现，它排除了这两个规则。而相干逻辑只排除后者的规则，因为*B*明显的与结论无关。

这些是结构规则的基本例子。在应用到常规命题演算的时候，这些规则是没有任何争议的。它们自然的出现于证明理论中，并在那里被首次注意到（在获得一个名字之前）。

* Article on *Substructural logics*（页面存档备份，存于互联网档案馆） at the Stanford Encyclopedia of Philosophy
# 结构规则

在证明论中，**结构规则**是不提及任何逻辑连结词的推理规则，它直接操作于判断或相继式。结构规则通常模仿逻辑的元理论性质。拒绝一个或多个结构规则的逻辑被归类为亚结构逻辑。

## 常见结构规则

* **弱化**，这里的相继式的假设或结论可以扩展到额外的数目。在符号形式中弱化规则可以写为

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_0 在十字转门的左侧，和
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_2 在右侧。
* **紧缩**，这里的在相继式同一侧两个相等的(或可合一的)成员可以替代为单一的一个成员(或公共实例)。符号化为:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_4 和
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_6 。在使用归结原理的自动定理证明中也叫做**因子化**。在经典逻辑中称为蕴含的幂等性。
* **交换**，这里的在相继式同一侧的两个成员可以对换。符号化为:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_8 和
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_10 。(这也叫做*排列规则*)。
没有任何上述结构规则的逻辑将把相继式解释为纯粹的序列；带有交换规则它们就是多重集；带有紧缩和交换规则二者它们就是集合。

最著名的结构规则叫做**切**。证明论理论家花了相当的努力来证实切规则在各种逻辑中是多余的。更严格的说，证实了切只是(某种意义上)简化证明的工具，不能增加可以证明的定理。成功消除了切规则叫做**切消定理**，直接有关于规范化计算(参见lambda 演算)的哲学；它经常对给定逻辑的判定的复杂性给出好的指示。

* 相继式演算
* 亚结构逻辑
* 线性逻辑
* 仿射逻辑
* 严格逻辑
* 有序逻辑
# 线性逻辑

在数理逻辑中，**线性逻辑**是拒绝“弱化”和“收缩”的结构规则的一种亚结构逻辑。对此解释是“假设是资源”:在证明中所有假设必须被消费“精确一次”。这区别于平常的逻辑比如经典逻辑或直觉逻辑，那里统治判断是“真理”，它可以按需要被自由的使用多次。例如，从命题*A*和*A* ⇒ *B*能按如下步骤得出结果*A* ∧ *B*:

1. （1）在假定*A*和*A* ⇒ *B*上应用肯定前件（或蕴涵除去）得到结论*B*。
2. （2）*A*和（1）的合取的得到结论*A* ∧ *B*。

这经常被符号化表示为相继式：*A*, *A* ⇒ *B* WIKINIUM\_MATH\_PH\_0 *B*。在上述证明中"消费"了*A*为真的事实；这种真理的"自由"通常是在形式化数学中所需要的。

但是，真理经常在应用于关于这个世界的陈述的时候太抽象或不实用。比如，假设我有一夸脱的牛奶，我能用它制作一磅奶酪。如果我决定把我的所有牛奶都制成奶酪，我就不能下结论说我有牛奶和奶酪二者! 上面的逻辑模式让我们得到结论：牛奶, 牛奶⇒奶酪 WIKINIUM\_MATH\_PH\_2 牛奶∧奶酪（这里的牛奶表示命题"我有一夸脱牛奶"，等等）。普通逻辑建模这个活动失败是由于牛奶、奶酪一般是资源：资源的数量不像真理是可以随意使用和支配的自由事实，而是必须在所有"状态变更"中仔细计量的。关于牛奶制奶酪活动的准确陈述是：

从一夸脱牛奶和从一夸脱牛奶转换出一磅奶酪的过程，我们获得一磅奶酪。
在线性逻辑中我们写为：牛奶，牛奶⊸奶酪 WIKINIUM\_MATH\_PH\_4 奶酪，使用了不同的连结词（ WIKINIUM\_MATH\_PH\_6 替代了⇒）和不同的逻辑蕴涵符号。

线性逻辑由法国数学家让·伊夫·吉拉德（Jean-Yves Girard）在1987年提出。

* 证明网络
* 博弈语义
* 直觉逻辑
* 可计算性逻辑
* 直觉主义
* BHK释义
* 直觉类型论
* 经典逻辑
* 中间逻辑
* 构造性证明
* Curry-Howard对应
* 可计算性逻辑

* Patrick Lincoln （页面存档备份，存于互联网档案馆）'s excellent Introduction to Linear Logic（Postscript）
# 哈斯凯尔·柯里[编辑]

| Haskell Brooks Curry |
| --- |
| 出生 | 1900年9月12日 (1900-09-12) 马萨诸塞州的米利斯 |
| 逝世 | 1982年9月1日(1982-09-01)（81歲） 宾西法尼亚州的州学院 |
| 国籍 |  美国 |
| 母校 | 哈佛大学 |
| 知名于 | 组合子逻辑 柯里-霍华德同构 柯里悖论 |
| **科学生涯** |
| 研究领域 | 数理逻辑 |
| 机构 | 宾夕法尼亚州立大学 阿姆斯特丹大学 |
| 博士導師 | 大卫·希尔伯特 |
| 受影响自 | 阿尔弗雷德·诺思·怀特黑德 伯特兰·罗素 Moses Schönfinkel |
|  |

**哈斯凱爾·布魯克·柯里**（英語：Haskell Brooks Curry /ˈhæskəl ˈkɜːri/，1900年9月12日—1982年9月1日），生于美國麻薩諸塞州米里鎮，數理邏輯學家，專長於组合子逻辑理論。尽管组合子逻辑的概念始于Moses Schönfinkel的一纸论文，其大部分发展工作是由柯里完成的。柯里也因为他的柯里悖论和柯里-霍华德同构而闻名。

三个程式語言Haskell、Brook、Curry，以及柯里化的概念都是以他的名字來命名的。

## 生平

哈斯凱爾·柯里的父母萨麦尔·S·柯里和安娜·B·柯里经营一家教授修辞术的学院。

1916年他進入哈佛大學，原先預備攻讀醫學，但很快就轉換到數學領域。1920年畢業後，他在麻省理工學院工作兩年，之後又回到哈佛大學繼續學業，1924年得到物理學碩士學位，之後取得數學博士學位。在这段时期里，当他接触到阿尔弗雷德·诺思·怀特黑德和伯特兰·罗素在数学符号逻辑领域的尝试性著作《数学原理》后，柯里燃起了对数理逻辑的兴趣。在哈佛学习期间，柯里得到了数学博士学位。在他受乔治·戴维·伯克霍夫指引而研究微分方程的那段时间里，柯里的兴趣持续转向逻辑学。1927年柯里在普林斯顿大学时，他发现了Moses Schönfinkel关于组合子逻辑的成果。Moses Schönfinkel的成果预言了柯里自己的大部分研究,于是柯里去了哥廷根大学与熟悉Moses Schönfinkel工作的Heinrich Behmann、Paul Bernays两人一起工作。

哈斯凱爾·柯里，1982年9月1日卒于宾夕法尼亚州立学院，享年82岁。

## 工作成果

柯里的工作重點試圖表明組合邏輯可以為數學提供一個基礎。 到了1933年底，他從與John Rosser的通信中了解到了Kleene-Rosser悖論。 由Rosser和Stephen Kleene開發的這個悖論證明了一些相關的形式系統的不一致性，包括由Alonzo Church（一個有lambda演算作為一致子系統的系統）和柯里自己的系統提出的系統。 然而與邱奇，Kleene和Rosser不同的是，柯里並沒有放棄基礎的方法，他說他不想“逃離這個悖論”。

在研究組合邏輯的生涯中，柯里基本上成了這個領域的創始人。 組合邏輯是一種函數式編程範式的基礎，能力和範圍與邱奇的lambda演算非常相似，而後者近幾十年來由其對可計算性質的形式化，居於計算机科學的主導地位。1947年柯里描述了第一個高級編程語言之一，並提供了將一般算術表達式轉換為單地址計算機代碼的過程的第一個描述。他在哈佛，普林斯頓，並於1929年至1966年，在賓夕法尼亞州立大學任教。1942年發表了柯里悖論。1966年成為阿姆斯特丹大學的邏輯學及其精確科學哲學教授，Evert Willem Beth的繼任者。

柯里也撰寫和教授數理邏輯；他的教學成果在1963年的《數學邏輯的基礎》一書中到達巔峰。追隨他的導師希爾伯特，他自認偏好的數學哲學是形式主義（參見他 1951 年的著作）。

## 主要著作

* Grundlagen der Kombinatorischen Logik [Foundations of combinatorial logic]. American Journal of Mathematics (The Johns Hopkins University Press). 1930, **52** (3): 509–536. JSTOR 2370619. doi:10.2307/2370619 （德语）.
* A theory of formal deducibility. University of Notre Dame Press. 1950.
	+ A theory of formal deducibility 2nd. University of Notre Dame Press. 1957.
* Outlines of a formalist philosophy of mathematics. Amsterdam: Elsevier Science. 1951  [23 July 2012]. ISBN 0444533680. （原始内容存档于2016-11-19）.
* Leçons de logique algébrique. Paris: Gauthier-Villars. 1952 （法语）.
* Curry, Haskell; Feys, Robert. Combinatory Logic **I**. Amsterdam: North-Holland Publishing Company. 1958.
* Foundations of Mathematical Logic. Mcgraw Hill. 1963.
	+ Foundations of mathematical logic Unabridged and corrected Dover. New York: Dover Publications. 1977  [23 July 2012]. ISBN 0-486-63462-0. （原始内容存档于2018-01-20）.
* Combinatory Logic **II**. Amsterdam: North-Holland Publishing Company. 1972. ISBN 0720422086.
# 阿隆佐·邱奇[编辑]

| 阿隆佐·邱奇 |
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| 出生 | 1903年6月14日 美国华盛顿哥伦比亚特区 |
| 逝世 | 1995年8月11日(1995-08-11)（92歲） 美國俄亥俄州哈德遜 |
| 国籍 |  美国 |
| 母校 | 普林斯顿大学 |
| 知名于 | λ演算 简单类型λ演算 邱奇数 Church's theorem Church–Kleene ordinal 邱奇-图灵论题 Frege–Church ontology Church–Rosser theorem Intensional logic |
| **科学生涯** |
| 研究领域 | 数学 |
| 机构 | 普林斯顿大学 |
| 论文 | Alternatives to Zermelo's Assumption（1927） |
| 博士導師 | 奧斯瓦爾德·維布倫（Oswald Veblen） |
| 博士生 | 斯蒂芬·科尔·克莱尼（1934） 艾伦·图灵（1938） 约翰·凯梅尼（1949） 马丁·戴维·戴维斯（1950） 迈克尔·拉宾（1957） 达纳·斯科特（1958） 雷蒙德·斯穆里安（1959） |
|  |

**阿隆佐·邱奇**（Alonzo Church，1903年6月14日—1995年8月11日）是美国数学家，1936年发表可计算函数的第一份精确定义，对算法理论的系统发展做出巨大贡献。邱奇在普林斯顿大学受教并工作四十年，曾任数学与哲学教授。1967年迁往加利福尼亚大学洛杉矶分校。

解决算法问题包括构造一个能解决某一指定集及其他相关集的算法，如果该算法无法构建，则表明该问题是不可解的。证明此种问题不可解性的定理是算法理论中的一大突破，邱奇的算法即为该类算法的首例。邱奇证明了基本几何问题的算法不可解性。同时证明了一阶逻辑中真命题全集的解法问题是不可解的。

## 著作

《数理逻辑介绍》，*Introduction to Mathematical Logic* (ISBN 0-691-02906-7)

* 邱奇-图灵论题
* 一阶逻辑
* 高阶逻辑
* λ演算

* An unsolvable problem of elementary number theory 中譯本| （页面存档备份，存于互联网档案馆）
*
* 約翰·J·奧康納; 埃德蒙·F·羅伯遜, Church, MacTutor数学史档案 （英语）
* 阿隆佐·邱奇在数学家族谱网站上的条目(2007年6月提取) （页面存档备份，存于互联网档案馆）
* H B Enderton, In memoriam: Alonzo Church （页面存档备份，存于互联网档案馆）
# 格哈德·根岑[编辑]

格哈德·根岑
**格哈德·根岑**（**Gerhard Karl Erich Gentzen**，1909年11月24日—1945年8月4日）是德国的数学家和逻辑学家。

## 生平

他生于德国的格赖夫斯瓦尔德，在1929年到1933年期间是赫尔曼·外尔在哥廷根大学的学生之一。在1934年到1943年間他是大卫·希尔伯特在哥廷根大学的助手。從1943年起他是布拉格大學的教授。他的主要工作是数学基础中的证明论，特别是自然演绎和相继式演算。他的切消定理是证明论语义的基石，《逻辑演绎研究》中的某些哲学评论和维特根斯坦的格言"意义是使用"一起建立了推论角色语义的基础。

他是納粹黨和沖鋒隊的成員，在1945年5月7日隨所有在布拉格的德國人一起被逮捕之后，饿死于布拉格附近的战俘营中。

## 引用

* Eckart Menzler-Trott. *Gentzens Problem: Mathematische Logik im nationalsozialistischen Deutschland.* Birkhäuser Verlag, 2001. ISBN 3-7643-6574-9. An English translation is planned.

* M. E. Szabo. *Collected Papers of Gerhard Gentzen.* North-Holland, 1969.

* 約翰·J·奧康納; 埃德蒙·F·羅伯遜, Gentzen, MacTutor数学史档案 （英语）
# 奧古斯塔斯·德摩根[编辑]

| 奥古斯塔斯·德摩根 Augustus De Morgan |
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| 奥古斯塔斯·德摩根像 |
| 出生 | (1806-06-27)1806年6月27日  不列颠帝国馬德拉斯省马杜赖 (今属印度) |
| 逝世 | 1871年3月18日(1871-03-18)（64歲）  英国伦敦 |
| 居住地 | 印度、英格兰 |
| 国籍 |  英国 |
| 母校 | 剑桥大学三一学院 |
| 知名于 | 德摩根定律 德摩根代数 关系代数 泛代数 |
| 信仰 | 英國國教會 (Non-conformist) |
| **科学生涯** |
| 研究领域 | 数学，逻辑学 |
| 机构 | 伦敦大学学院 University College School |
| 学术指导者 | John Philips Higman 乔治·皮科克 威廉·休厄尔 |
| 著名學生 | 爱德瓦·劳斯 詹姆斯·西尔维斯特 Frederick Guthrie 威廉·杰文斯 爱达·勒芙蕾丝 Francis Guthrie Stephen Joseph Perry |
| 受影响自 | 乔治·布尔 |
| 施影响于 | 托马斯·寇文·门登哈尔 艾萨克·托德夯特 |
|  |
| 备注 |
|
他是陶匠兼任瓦片图案设计师威廉 (William De Morgan) 的父亲。 |

**奥古斯塔斯·德摩根**（Augustus De Morgan，1806年6月27日—1871年3月18日，英语发音[ɔːˈgʌstəs də ˈmɔːgən]），英国数学家及逻辑学家。他明确陈述了德摩根定律，将数学归纳法的概念严格化。他生前多以报刊评论员的身份而知名。

## 生平

### 童年

他生於印度馬德拉斯省。其父在東印度公司工作，母親是詹姆斯·多德森（曾編製反對數表）的後代。

其姓氏中的“de”可作介词用，相当于英文的“of”；而“Morgan”本意为“早晨”。

在他7個月大時，全家遷回英國。10歲時，父親去世，她母親帶他搬到英國西部。其數學才華一直未被發現，直至十四歲時，一位家庭的朋友意外發現他精心繪製的尺規作圖。

他有一目失明。於是他求學時期沒有參與任何體育活動，因此被同學取笑。

他的母親是英國教會的活躍分子，寄望兒子成為牧師。而他的中學老師，畢業於牛津大學奧里爾學院的帕森斯，是個擅長古典文學多於數學的人。可是他都不受這些長輩的影響。

### 大學教育

1823年，16歲的他進入劍橋大學三一學院，與喬治·皮庫克和威廉·修艾爾成為終身的好朋友。他受皮庫克影響，引起了對代數和邏輯的興趣。

他主要的娛樂是笛。

### 倫敦大學

### 退休至逝世

## 數學成就

## 思想

18世纪时仍有数学家怀疑负数的合法性，德摩根是其中的代表。德摩根自己在解代数方程时也会算出负数，但他认为当算出的答案为负数时，必需作特殊的说明，以回避负数本身的数学实在性。德摩根使用负数和虚数，但他仍怀疑它们的数学意义。他认为如果一个问题的最终答案算出来是负数，那说明原问题的提法不对。当算出最终答案为负数后，把原问题反过来提就可以保证答案为正数，困难就解决了。因此，他不认为负数一无是处，计算结果出现负数可以告诉解题者其问题的陈述方式搞反了。

## 紀念

* 月球上的德摩根环形山

## 参考资料
# 斯蒂芬·科尔·克莱尼[编辑]

| 斯蒂芬·科尔·克莱尼 Stephen Kleene |
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| 出生 | (1909-01-05)1909年1月5日  美国康涅狄克州哈特福德 |
| 逝世 | 1994年1月25日(1994-01-25)（85歲）  美国威斯康辛州麦迪逊 |
| 母校 | 阿默斯特學院 普林斯顿大学 |
| 知名于 |  * + 对直觉主义的贡献
	+ 克莱尼-莫斯托夫斯基阶层
	+ 克莱尼-罗瑟尔悖论
	+ 克莱尼星号
	+ 克莱尼算法
	+ 克莱尼定理
	+ 正则表达式
	+ 可实现性
	+ 克莱尼*s**mn*定理
 |
| 奖项 | 勒罗伊·斯蒂勒奖 (1983) 美国国家科学奖章 (1990) |
| **科学生涯** |
| 研究领域 | 数理逻辑 |
| 机构 | 威斯康辛大學麥迪遜分校 |
| 博士導師 | 阿隆佐·邱奇 |
| 博士生 | Robert Lee Constable Joan Moschovakis Yiannis Moschovakis Nels David Nelson Dick de Jongh |
|  |

**斯蒂芬·科尔·克莱尼**（英語：Stephen Cole Kleene，1909年1月5日—1994年1月25日）是一名美國數學家、逻辑學家，主要从事對可計算函數的研究，而他的遞歸理論研究有助於奠定理論電腦科學的基礎。他為數學直覺主義的基礎做出了重要貢獻，克莱尼層次結構、克莱尼代数、克莱尼星号（克莱尼閉包）、克莱尼遞歸定理和克莱尼不動點定理數學概念以他的名字命名。他也是正規表示法的發明者。

## 生平

斯蒂芬·科尔·克莱尼出生於美國康涅狄克州的哈特福德。他的父親古斯塔夫·克莱尼（Gustav Adolph Kleene）是一位經濟學教授，母親艾麗絲·科爾（Alice Lena Cole）是一位詩人。

克莱尼於1930年在阿默斯特學院獲得學士學位，於1934年在普林斯頓大學獲得數學博士學位。他的導師阿隆佐·邱奇是著名的邏輯學家。丘奇在1936年使用lambda演算來證明了判定問題是沒有答案的；克莱尼的博士論文題目為“形式邏輯中的正整數理論”。

在20世紀30年代，他在丘奇的lambda演算上做了重要的工作。 1935年，他加入了威斯康辛大學麥迪遜分校數學系，在那裡度過了他幾乎所有的職業生涯。在擔任導師兩年後，他於1937年被任命為助理教授。1939年至1940年間，他是普林斯頓高等研究所的訪問學者。他為遞歸理論奠定了基礎，這個研究領域將是他一生的研究興趣。1941年，他回到了阿默斯特學院並在那任職了一年的數學副教授。

克莱尼在二戰期間是美國海軍少校，他是紐約美國海軍預備役軍艦學校的導航教官，之後是華盛頓海軍研究實驗室的專案主任。克莱尼1946年回到威斯康辛州，1948年成為正教授，1964年成為“Cyrus C. MacDuffee”數學教授。他于1962年到1963年担任數學與計算機科學系主任，1969年到1974年担任文學院與科學院院長。儘管當時的越南戰爭引起了學生們的不安，但他還是接受了後者的任命。他於1979年從威斯康辛大學退休。1999年，威斯康辛大學的數學圖書館以他的榮譽而更名。

克莱尼在威斯康辛州的教學產生了3篇关于數學邏輯的文章，一篇发表于1952年，一篇发布于1967年，还有一篇和Vesley合作的发布于1965年。前2個經常被引用，仍然在印刷中。克莱尼1952年的论文給哥德爾不完備定理提供了另外的證明，這些定理增強了其規範地位，使其更容易教導和理解。克莱尼和Vesley合写于1965年的论文是美國人對直覺主義邏輯和數學的經典介紹。克莱尼曾于1956年至1988年擔任符號邏輯協會（Association for Symbolic Logic）主席，1961年擔任國際科學史與科學哲學聯盟（International Union of History and Philosophy of Science）主席。1990年，他被授予國家科學獎章。克莱尼工作的重要性導致了“克莱尼性就在哥德爾性之左右”（Kleeneness is next to Gödelness）的說法。

## 作品

* **Stephen Kleene**. General recursive functions of natural numbers [自然数的一般递归函数]. *Math. Ann.*. 1936, (**112**): 727–742 （英语）.
* **Stephen Kleene**. *Introduction to Metamathematics* [数学导论]. New York: Van Nostrand: Ishi Press. 2009 [1952]  [2018-05-18]. （原始内容存档于2017-10-02） （英语）.
* **Stephen Kleene**. Claude Shannon; John McCarthy , 编. Representation of Events in Nerve Nets and Finite Automata [神经网络和有限自动机中的事件表示]. *Automata Studies*. 1956  [2018-05-18]. （原始内容存档于2009-09-18） （英语）.

## 个人生活

克莱尼和妻子Nancy Elliott有4個孩子。他畢生熱愛緬因州的家庭農場。他是一名熱心的登山者，對自然和環境有濃厚的興趣，並積極參與許多环境保護事業。

## 参考资料
# 利奥波德·勒文海姆[编辑]

**利奧波德·勒文海姆**（德語：Leopold Löwenheim，1878年6月26日—1957年5月5日），生于德國克雷費爾德，是一位德國數學家，主要成就在數理邏輯方面。納粹政權強迫勒文海姆退休，因為在紐倫堡法案，他被認為只有四分之三的雅利安人血統。1943年，勒文海姆的大部份作品都在一次柏林的空襲下被摧毀了。不過，他在第二次世界大戰後存活了下來，並且恢復教導數學的工作。

勒文海姆於1915年給出了現在稱之為勒文海姆–斯科倫定理的第一個證明，此一定理通常被認為是模型論的起點。

## 另見

* 托拉爾夫·斯科倫

* 約翰·J·奧康納; 埃德蒙·F·羅伯遜, Lowenheim, MacTutor数学史档案 （英语）
# 托拉尔夫·斯科伦

| 托拉尔夫·斯科伦 |
| --- |
|  |
| 出生 | (1887-05-23)1887年5月23日 Sandsvær, 挪威 |
| 逝世 | 1963年3月23日(1963-03-23)（75歲） 奥斯陆, 挪威 |
| 国籍 | 挪威 |
| 母校 | 奥斯陆大学 |
| 知名于 | * 斯科伦–諾特定理
* 勒文海姆–斯科伦定理
* 斯科伦悖论
* 斯科伦范式
 |
| **科学生涯** |
| 研究领域 | 数学家 |
| 机构 | 奥斯陆大学 Chr. Michelsen 研究所 |
| 博士導師 | 阿克塞尔·图厄 |
| 博士生 | 奥斯丁·欧尔 |
|  |

**托拉尔夫·阿尔伯特·斯科伦**（挪威語：Thoralf Albert Skolem，1887年5月23日—1963年3月23日），又译**司寇仑**。是一位挪威数学家。主要研究领域为集合论和数理逻辑，在丟番圖方程和群论方面也有贡献。

## 生平

斯科伦父亲是小学教师，但家中大部分人务农为生。斯科伦在克里斯蒂安尼亞（今奥斯陆）上中学，1905年参加大学入学考试，进入奥斯陆大学学习数学。
1909年斯科伦成为物理学家克里斯蒂安·伯克兰的助手。1913年，斯科伦通过国家考试及题为《逻辑代数探索》的答辩。1915年冬季学期前往当时的数学中心哥廷根大学。1918年被聘为奥斯陆大学数学系讲师。1926年他提交了题为《
关于某些代数方程和不等式的积分解的一些定理》的博士论文，导师为阿克塞尔·图厄。1927年同 Edith Wilhelmine Hasvold成婚。1930年到卑尔根Chr. Michelsen 研究所任研究助理，1938年回到奥斯陆大学任教授，讲授研究生的数论和代数课程。斯科伦指导的研究生有奥斯丁·欧尔。

## 数学成就

斯科伦共发表过180多篇论文 ，涉及丢番图方程、群论、集合论和数理逻辑等领域。因为论文多数在挪威期刊上发表，国际影响有限，有时有成果几年后被其他学者再次发现的情况，一个例子是斯科伦-诺特定理，诺特在斯科伦于1927年发表后几年独立的再次发现。

斯科伦是模型论的先驱，1920年他简化了勒文海姆1915年的证明：如果一阶可数理论有一个无穷模型，则它必有一可数模型，这个命题后被称为勒文海姆–斯科伦定理。当时他使用了选择公理，但1922和1928年他用柯尼格引理代替了选择公理。值得注意的是他和勒文海姆在这些证明中都用的是皮尔斯和施罗德的符号，而不是皮亚诺及数学原理中用的后来更为通用的记号。

* 勒文海姆–斯科伦定理
* 斯科伦悖论
* 斯科伦范式

## 參考資料

* 約翰·J·奧康納; 埃德蒙·F·羅伯遜, Skolem, MacTutor数学史档案 （英语）
* 托拉尔夫·斯科伦在數學譜系計畫的資料。
* Fenstad, Jens Erik, 1996, "Thoralf Albert Skolem 1887-1963: A Biographical Sketch （页面存档备份，存于互联网档案馆）," *Nordic Journal of Philosophical Logic 1*: 99-106.
# 恩斯特·策梅洛[编辑]

| 恩斯特·策梅洛 Ernst Zermelo |
| --- |
| 攝於1900年代 |
| 出生 | (1871-07-27)1871年7月27日  德意志帝國柏林 |
| 逝世 | 1953年5月21日(1953-05-21)（81歲）  西德弗萊堡 |
| 国籍 | 德國 |
| 母校 | 柏林大學 |
| 知名于 | 策梅洛集合論 策梅洛-弗蘭克爾集合論 策梅洛導航問題 策梅洛序數 策梅洛定理 策梅洛定理 (賽局理論) |
| 配偶 | Gertrud Seekamp（1944—逝世） |
| 奖项 | 阿克曼-特伊布納紀念獎（1916） |
| **科学生涯** |
| 研究领域 | 數學 |
| 机构 | 蘇黎世大學 |
| 博士導師 | 拉扎魯斯·富克斯 赫爾曼·施瓦茨 |
| 博士生 | Stefan Straszewicz |
|  |

**恩斯特·弗里德里希·费迪南德·策梅洛**（德語：Ernst Friedrich Ferdinand Zermelo，德語發音：[tsɛɐ̯ˈmeːlo]，1871年7月27日—1953年5月21日）是一名德國邏輯學家和數學家，他的工作對數學基礎產生了重大影響。他因在發展策梅洛-弗蘭克爾公理集合論和證明良序定理方面所起的作用而知名。此外，他在1929年發表的關於棋手排名的著作首次描述成對比較的模型，對使用這種方法的各個應用領域產生深遠的影響。

## 生平

恩斯特·策梅洛（1953年）
1889年，他毕业于柏林*Luisenstädtisches Gymnasium*。他然后在柏林大学、哈雷-維滕貝格大學和弗莱堡大學研究数学、物理和哲学。他于1894年在柏林大学完成博士学位，其博士论文是关于变分法的（*Untersuchungen zur Variationsrechnung*）。策梅洛留在柏林大学，他被聘为普朗克的助手，在其指导下，他开始研究流体力学。在1897年，策梅洛去了哥廷根，那裡當时是整个世界的数学研究的中心，在那里他于1899年完成了教员资格论文。

策海洛于1953年5月21日在弗赖堡逝世。

* 策梅洛-弗倫克爾公理系統（ZFC）
* 策梅洛定理 (博弈論)
* 选择公理
* 巴拿赫-塔斯基定理

英语译本主要文献：

* Jean van Heijenoort, 1967. *From Frege to Godel: A Source Book in Mathematical Logic, 1879-1931*. Harvard Univ. Press.
	+ 1904. "Proof that every set can be well-ordered," 139-41.
	+ 1908. "A new proof of the possibility of well-ordering," 183-98.
	+ 1908. "Investigations in the foundations of set theory I," 199-215.
* 1930. "On boundary numbers and domains of sets: new investigations in the foundations of set theory" in Ewald, William B., ed., 1996. *From Kant to Hilbert: A Source Book in the Foundations of Mathematics*, 2 vols. Oxford Uni. Press: 1219-33.

次要文献:

* Ivor Grattan-Guinness, 2000. *The Search for Mathematical Roots 1870-1940*. Princeton Uni. Press.

* 約翰·J·奧康納; 埃德蒙·F·羅伯遜, Zermelo, MacTutor数学史档案 （英语）
* 恩斯特·策梅洛在數學譜系計畫的資料。
* 策梅洛的科学传记（1871－1953）。
# 悖论列表

大多數的邏輯悖論是由正確的命題與前提，以及一系列正確的推理，得出的與假設相矛盾之結果。悖論常使人類發現追求真理的過程或是語言、知識中存在的盲點，進而使人類省思、修改。例如：羅素悖論，以簡明的形式撼動了數學與邏輯的大廈。也例如連鎖悖論，讓人類發現語言中的含糊性質。本條目是一個關於悖論的列表：

邏輯與悖論

## 語意邏輯悖論

* 說謊者悖论
* 鱷魚悖論
* 苏格拉底悖论
* 唐·吉诃德悖论
* 皮諾丘悖論
* 連鎖悖論（堆垛悖論）
* 道家悖論
* 全能悖論
* 四句 (佛教)
* 一切法不受悖論
* 柯里悖論
* 佩里悖論

## 古希腊悖论

* 芝诺悖论：
	+ 飞矢不动
	+ 游行队伍悖论
	+ 阿基里斯悖論
	+ 两分法悖论
	+ 湯姆生的燈悖論
* 說謊者悖論

## 數理悖論

* 集合论悖论
	+ 罗素悖论（书目悖论）
	+ 理发师悖论
	+ 柯里悖论
	+ 希爾伯特旅館悖論
	+ 康托爾悖論
	+ 布拉利-福爾蒂悖論
	+ 斯科倫悖論
* 数理逻辑悖论
	+ 停机问题
	+ 哥德尔不完备定理
	+ 飲者悖論
	+ 理查茲悖論
* 概率學悖论
	+ 生日悖論
	+ 意外絞刑悖論（老虎悖論）
	+ 聖彼得堡悖論
	+ 阿萊悖論
	+ 艾爾斯伯格悖論
	+ 伯特蘭悖論
	+ 錢包悖論
	+ 彩票悖論
	+ 紐康伯悖論
	+ 睡美人問題
	+ 蒙提霍爾問題
	+ 辛普森悖論
* 統計學悖論
	+ 辛普森悖論
	+ 阿拉巴馬悖論
* 幾何學悖論
	+ 潘洛斯階梯
	+ 失蹤的正方形
	+ 斯梅爾悖論
	+ 海岸線悖論

## 物理學悖論

* 命定悖論
* 祖父悖論
* 薛定谔猫
* 爱因斯坦-波多尔斯基-罗森悖論
* 法拉第弔詭
* 孿生子悖論
* 莫特問題
* 馬克士威妖
* 黑洞資訊悖論
* 貝爾太空船悖論
* 達朗貝爾佯謬
* 波茲曼大腦
* 費米悖論
* 達朗貝爾佯謬
* 弓箭手悖論
* 諾頓穹頂悖論

## 經濟學悖論

* 鑽石與水悖論
* 節儉矛盾
* 索洛悖論
* Jevons悖論

## 天文學悖論

* 奧伯斯悖論
* 年輕太陽黯淡佯謬

## 醫學與生物學悖論

* 法國悖論
* 佩托悖論
* 利文索爾佯謬

## 決策論與博弈論悖論

* 阿萊悖論
* 布里丹之驢
* 投票悖论
* 發明者悖論
* 蒙提霍爾問題
* 阿罗悖论
* 紐康伯悖論
* 全知者悖論
* 彩票悖論
* 錢包悖論
* 艾爾斯伯格悖論
* 聖彼得堡悖論
* 意外絞刑悖論（老虎悖論）

## 其他悖论

* 相對與絕對
* 有趣数字悖论
* 雙面真理說
* 先有雞還是先有蛋
* 奶油貓悖論
* 布雷斯悖論
* 忒修斯之船
* 烏鴉悖論
* 穩定-不穩定悖論
* 伊比鳩魯悖論
* 坑人二十二
* 半費之訟
* 李佳琦悖論
* 綠藍悖論

## 相關條目

* 悖論
* 謬論
* 謬論列表
* 邏輯
* 哲學
# 逻辑符号表[编辑]

在逻辑中，经常使用一组符号来表达逻辑结构。因为逻辑学家非常熟悉这些符号，他们在使用的时候没有解释它们。所以，给学逻辑的人的下列表格，列出了最常用的符号、它们的名字、读法和有关的数学领域。此外，第三列包含非正式定义，第四列给出简短的例子。

要注意，在一些情况下，不同的符号有相同的意义，而同一个符号，依赖于上下文，有不同的意义。

|  |
| --- |
| 逻辑符号表 |
| * 查
* 论
* 编
 |

## 基本逻辑符号

| 符号
 | 名字
 | 解说
 | 例子
 |
| --- | --- | --- | --- |
| 读作
 |
| 范畴
 |
| ⇒ → ⊃
 | 实质蕴涵
 |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_0 意味着如果 WIKINIUM\_MATH\_PH\_2 为真，则 WIKINIUM\_MATH\_PH\_4 也为真；如果 WIKINIUM\_MATH\_PH\_6 为假，则对 WIKINIUM\_MATH\_PH\_8 没有任何影响。 WIKINIUM\_MATH\_PH\_10 可能意味着同 WIKINIUM\_MATH\_PH\_12 一样的意思（这个符号也可以指示函数的域和陪域；参见数学符号表）。 WIKINIUM\_MATH\_PH\_14 可能意味着同 WIKINIUM\_MATH\_PH\_16 一样的意思（这个符号也可以指示超集）。
 |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_18 为真，但 WIKINIUM\_MATH\_PH\_20 不保证成立(因为 WIKINIUM\_MATH\_PH\_22 可以是 WIKINIUM\_MATH\_PH\_24 )。
 |
| 蕴涵；如果.. 那么
 |
| 命题逻辑
 |
| ⇔ ↔
 | 实质等价
 |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_26 意味着如果 WIKINIUM\_MATH\_PH\_28 为真则 WIKINIUM\_MATH\_PH\_30 为真，和如果 WIKINIUM\_MATH\_PH\_32 为假则 WIKINIUM\_MATH\_PH\_34 为假。
 |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_36
 |
| 当且仅当
 |
| 命题逻辑
 |
| ¬ ˜
 | 逻辑否定
 | 陈述 WIKINIUM\_MATH\_PH\_38 为真，当且仅当 WIKINIUM\_MATH\_PH\_40 为假。 穿过其他算符的斜线同于在它前面放置的 " WIKINIUM\_MATH\_PH\_42 "。
 |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_44
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_46

 |
| 非
 |
| 命题逻辑
 |
| ∧ • &
 | 逻辑合取
 | 如果 WIKINIUM\_MATH\_PH\_48 与 WIKINIUM\_MATH\_PH\_50 二者都为真，则陈述 WIKINIUM\_MATH\_PH\_52 为真；否则为假。
 |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_54 当 WIKINIUM\_MATH\_PH\_56 是自然数的时候。
 |
| 与;且
 |
| 命题逻辑
 |
| ∨ + ǀ
 | 逻辑析取
 | 如果 WIKINIUM\_MATH\_PH\_58 或 WIKINIUM\_MATH\_PH\_60 之一为真陈述或 WIKINIUM\_MATH\_PH\_62 两者都为真陈述，则 WIKINIUM\_MATH\_PH\_64 为真；如果二者都为假，则陈述为假。
 |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_66 当 WIKINIUM\_MATH\_PH\_68 是自然数的时候。
 |
| 或
 |
| 命题逻辑
 |
|  ⊕ ⊻ | 异或
 | 陈述 WIKINIUM\_MATH\_PH\_70 为真，在要么 WIKINIUM\_MATH\_PH\_72 要么 WIKINIUM\_MATH\_PH\_74 但不是二者为真的时候为真。 WIKINIUM\_MATH\_PH\_76 意思相同。
 |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_78 总是真， WIKINIUM\_MATH\_PH\_80 总是假。
 |
| xor
 |
| 命题逻辑, 布尔代数
 |
| ∀
 | 全称量词
 |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_82 意味着所有的 WIKINIUM\_MATH\_PH\_84 都使 WIKINIUM\_MATH\_PH\_86 都为真。
 |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_88
 |
| 对于所有；对于任何；对于每个
 |
| 谓词逻辑
 |
| ∃
 | 存在量词
 |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_90 意味着有至少一个 WIKINIUM\_MATH\_PH\_92 使 WIKINIUM\_MATH\_PH\_94 为真。
 |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_96 是偶数。
 |
| 存在着
 |
| 谓词逻辑
 |
| ∃!
 | 唯一量词
 |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_98 意味着精确的有一个 WIKINIUM\_MATH\_PH\_100 使 WIKINIUM\_MATH\_PH\_102 为真。
 |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_104
 |
| 精确的存在一个
 |
| 谓词逻辑
 |
| := ≡ :⇔
 | 定义
 |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_106 或 WIKINIUM\_MATH\_PH\_108 意味着 WIKINIUM\_MATH\_PH\_110 被定义为 WIKINIUM\_MATH\_PH\_112 的另一个名字（但要注意 WIKINIUM\_MATH\_PH\_114 也可以意味着其他东西，比如恆
等）。 WIKINIUM\_MATH\_PH\_116 意味着 WIKINIUM\_MATH\_PH\_118 被定义为逻辑等价于 WIKINIUM\_MATH\_PH\_120 。

 |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_122 WIKINIUM\_MATH\_PH\_124
 |
| 被定义为
 |
| 所有地方
 |
| ( )
 | 优先组合
 | 优先进行括号内的运算。
 |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_126 , 而 WIKINIUM\_MATH\_PH\_128
 |
|  |
| 所有地方
 |
| ├
 | 推论
 |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_130 意味着 WIKINIUM\_MATH\_PH\_132 推导自 WIKINIUM\_MATH\_PH\_134 。
 |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_136
 |
| 推论或推导
 |
| 命题逻辑, 谓词逻辑
 |
|  WIKINIUM\_MATH\_PH\_138 L
 | 必然性
 |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_140 意味着如果 WIKINIUM\_MATH\_PH\_142 不可能，为假。
 |  |
| 必然的
 |
| 模态逻辑
 |
|  WIKINIUM\_MATH\_PH\_144 M
 | 可能性
 |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_146 意味着如果 WIKINIUM\_MATH\_PH\_148 可能，为真，不管实际上是真是假。
 |  |
| 可能的
 |
| 模态逻辑
 |

* 数学符号表
* Help:数学公式
# 逻辑或[编辑]

文氏图 WIKINIUM\_MATH\_PH\_0
**逻辑或**（logical or）又称**逻辑析取**（logical disjunction）、**邏輯選言**，是逻辑和数学概念中的一个二元逻辑运算符。其运算方法是：如果其两个变量中有一个真值为“真”，其结果为“真”，两个变量同时为假，其结果为“假”。

## 定义

逻辑或是两个逻辑变量的一种运算，经常是两个命题的运算。它满足：当且仅当其两个变量的真值都为假时，其结果为假。

## 真值表

**A或B**的真值表，也写作**A** WIKINIUM\_MATH\_PH\_28 **B**（逻辑学），**A | B**（计算机科学，（C语言为`A || B`）），或**A + B**（电子学）。

|  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
|

| A
 | B
 | ∨
 |
| --- | --- | --- |
| 真 | 真 | 真
 |
| 真 | 假 | 真
 |
| 假 | 真 | 真
 |
| 假 | 假 | 假
 |

 |  |

| ∨ | F
 | T
 |
| --- | --- | --- |
| F
 | F
 | T
 |
| T
 | T
 | T
 |

 |

## 性质

逻辑或满足以下性质：

* 结合律: WIKINIUM\_MATH\_PH\_30

* 交换律: WIKINIUM\_MATH\_PH\_32

* 分配律: WIKINIUM\_MATH\_PH\_34

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_36
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_38
* 幂等律: WIKINIUM\_MATH\_PH\_40

* 单调性: WIKINIUM\_MATH\_PH\_42

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_44
* **保真性**: 所有变量的真值皆为“真”的命题在**逻辑或**运算后的结果为真。

* **保假性**: 所有变量的真值皆为“假”的命题在**逻辑或**运算后的结果为假。

## 计算机科学中的运用

### 位运算

**逻辑或**常在位运算中使用，比如：

* 0 or 0 = 0
* 0 or 1 = 1
* 1 or 0 = 1
* 1 or 1 = 1

* 1100 or 1010 = 1110

`or`运算符可以用来将比特域中的位设定为1，方法是把此域和一个各位均为1的常量域取逻辑或运算。

### 编程中的使用

### 逻辑运算

### 并集运算

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_46 （ 当且仅当） WIKINIUM\_MATH\_PH\_48 .

## 自然語言

就如其他在數理邏輯中形式化的概念一般，自然語言中的「或」和邏輯的「或」高度相關，但有差異。像例如在「你給我打電話，或者寄信給我」這例子中，其真實的意思往往是「你要不就給我打電話，要不就給我寄信，但不要同時寄信和打電話。」，也就是會排除掉兩者皆成立的狀況；在另一方面，在「小橘子姐姐開賽車的駕駛技術神乎其技，因此她很努力，或者她很有天分」這例子中，兩者皆成立的狀況通常並未排除。也就是說，在自然語言中，「或」可以指「邏輯或」，或者是「邏輯異或」。

|  |  |  |
| --- | --- | --- |
| * 逻辑异或
* 选言肯定
* 位或
* 逻辑代数
* 布尔代数主题列表
* 布尔域
 | * 布尔函数
* 布尔值函数
* 选言三段论
* 析取消去
* 析取引入
* 一阶逻辑
 | * 逻辑图
* 逻辑值
* 运算
* 运算符
* 或门
* 命题逻辑
 |

## 相关网页

* Wolfram Mathematics Disjunction （页面存档备份，存于互联网档案馆）
* All Math Words Encyclopedia Disjunction （页面存档备份，存于互联网档案馆）