# 子集[编辑]

A是B的子集，B是A的超集。
**子集**（英語：subset）亦称**部分集合**，为某集合中部分元素的集合；这时某集合则被称作这个子集的**超集**或**母集**。子集与超集的关系被称为“包含”。

如果集合 *WIKINIUM\_MATH\_PH\_0* 的任意一个元素都是集合 *WIKINIUM\_MATH\_PH\_2* 的元素（ WIKINIUM\_MATH\_PH\_4 ，亦可写作 WIKINIUM\_MATH\_PH\_6 ），则集合 *WIKINIUM\_MATH\_PH\_8* 称为集合 *WIKINIUM\_MATH\_PH\_10* 的子集，记为 WIKINIUM\_MATH\_PH\_12 或 WIKINIUM\_MATH\_PH\_14 ，读作“集合 *WIKINIUM\_MATH\_PH\_16* 包含于集合 *WIKINIUM\_MATH\_PH\_18* ”或“集合 *WIKINIUM\_MATH\_PH\_20* 包含集合 *WIKINIUM\_MATH\_PH\_22* ”。

即： WIKINIUM\_MATH\_PH\_24 ，有 WIKINIUM\_MATH\_PH\_26 ，则 WIKINIUM\_MATH\_PH\_28 。

若 WIKINIUM\_MATH\_PH\_30 和 WIKINIUM\_MATH\_PH\_32 为集合，且 *WIKINIUM\_MATH\_PH\_34* 的所有元素都是 WIKINIUM\_MATH\_PH\_36 的元素，则可表示為：

* WIKINIUM\_MATH\_PH\_38 是 WIKINIUM\_MATH\_PH\_40 的**子集**（或称 WIKINIUM\_MATH\_PH\_42 **包含于** WIKINIUM\_MATH\_PH\_44 ）； WIKINIUM\_MATH\_PH\_46
* WIKINIUM\_MATH\_PH\_48 是 WIKINIUM\_MATH\_PH\_50 的**超集**／**母集**（或称 WIKINIUM\_MATH\_PH\_52 **包含** WIKINIUM\_MATH\_PH\_54 ）； WIKINIUM\_MATH\_PH\_56

任何集合 WIKINIUM\_MATH\_PH\_58 皆是自身的子集（ WIKINIUM\_MATH\_PH\_60 ）。而 *WIKINIUM\_MATH\_PH\_62* 的子集中不等于 *WIKINIUM\_MATH\_PH\_64* 的集合，称为**真子集**，若 *WIKINIUM\_MATH\_PH\_66* 是 *WIKINIUM\_MATH\_PH\_68* 的真子集，写作 WIKINIUM\_MATH\_PH\_70 。

## 定义

假设有 *WIKINIUM\_MATH\_PH\_72* 和 *WIKINIUM\_MATH\_PH\_74* 两个集合，如果 *WIKINIUM\_MATH\_PH\_76* 中的每个元素都在 *WIKINIUM\_MATH\_PH\_78* 中，则：

* *WIKINIUM\_MATH\_PH\_80* 是 *WIKINIUM\_MATH\_PH\_82* 的**子集**，记作 WIKINIUM\_MATH\_PH\_84

也可以说
* WIKINIUM\_MATH\_PH\_86 是 *WIKINIUM\_MATH\_PH\_88* 的**超集**，记作 WIKINIUM\_MATH\_PH\_90

如果 *WIKINIUM\_MATH\_PH\_92* 是 WIKINIUM\_MATH\_PH\_94 的子集，但 WIKINIUM\_MATH\_PH\_96 不等于 WIKINIUM\_MATH\_PH\_98 （即 WIKINIUM\_MATH\_PH\_100 中至少存在一个元素不在 WIKINIUM\_MATH\_PH\_102 中），则：

* WIKINIUM\_MATH\_PH\_104 是 WIKINIUM\_MATH\_PH\_106 的**真子集**，记作 WIKINIUM\_MATH\_PH\_108

也可以说
* WIKINIUM\_MATH\_PH\_110 是 *WIKINIUM\_MATH\_PH\_112* 的**真超集**，记作 WIKINIUM\_MATH\_PH\_114

## 符号

ISO 80000-2标准中定义了两种符号搭配：

* 如果用 WIKINIUM\_MATH\_PH\_116 表示子集关系（包含关系），那么用 WIKINIUM\_MATH\_PH\_118 表示真子集关系（真包含关系）。
* 如果用 WIKINIUM\_MATH\_PH\_120 表示子集关系（包含关系），那么用 WIKINIUM\_MATH\_PH\_122 表示真子集关系（真包含关系）。

## 举例

* 集合 WIKINIUM\_MATH\_PH\_124 是集合 WIKINIUM\_MATH\_PH\_126 的真子集。
* 自然数集合是有理数集合的真子集。
* 集合 WIKINIUM\_MATH\_PH\_128 是大于2000的素数 WIKINIUM\_MATH\_PH\_130 是集合 WIKINIUM\_MATH\_PH\_132 是大于1000的奇数 WIKINIUM\_MATH\_PH\_134 的真子集。
* 任意集合是其自身的子集，但不是真子集。
* 空集，写作 WIKINIUM\_MATH\_PH\_136 ，是任意集合 WIKINIUM\_MATH\_PH\_138 的子集。空集总是其他集合的真子集，除了其自身。

## 性质

A是B的子集。
**命题1**：空集是任意集合的子集。

这个命题说明：**包含**是一种偏序关系。

**命题2**：若 WIKINIUM\_MATH\_PH\_140 是集合，则：

自反性：
* WIKINIUM\_MATH\_PH\_142

反对称性：
* 若 WIKINIUM\_MATH\_PH\_144 且 WIKINIUM\_MATH\_PH\_146 ，则 WIKINIUM\_MATH\_PH\_148

传递性：
* 若 WIKINIUM\_MATH\_PH\_150 且 WIKINIUM\_MATH\_PH\_152 ，则 WIKINIUM\_MATH\_PH\_154

这个命题说明：对任意集合 WIKINIUM\_MATH\_PH\_156 ， *WIKINIUM\_MATH\_PH\_158* 的幂集按包含排序是一个有界格，与上述命题相结合，则它是一个布尔代数。

**命题3**：若 WIKINIUM\_MATH\_PH\_160 是集合 *WIKINIUM\_MATH\_PH\_162* 的子集，则：

存在一个最小元和一个最大元：
* WIKINIUM\_MATH\_PH\_164 （ WIKINIUM\_MATH\_PH\_166 由命題1給出）

存在并运算：
* WIKINIUM\_MATH\_PH\_168
* 若 WIKINIUM\_MATH\_PH\_170 且 WIKINIUM\_MATH\_PH\_172 ，则 WIKINIUM\_MATH\_PH\_174

存在交运算：
* WIKINIUM\_MATH\_PH\_176
* 若 WIKINIUM\_MATH\_PH\_178 且 WIKINIUM\_MATH\_PH\_180 ，则 WIKINIUM\_MATH\_PH\_182

**命题4**：对任意两个集合 WIKINIUM\_MATH\_PH\_184 和 WIKINIUM\_MATH\_PH\_186 ，下列表述等价：

* WIKINIUM\_MATH\_PH\_188
* WIKINIUM\_MATH\_PH\_190
* WIKINIUM\_MATH\_PH\_192
* WIKINIUM\_MATH\_PH\_194
* WIKINIUM\_MATH\_PH\_196

这个命题说明：表述" WIKINIUM\_MATH\_PH\_198 "，和其他使用并集，交集和补集的表述是等价的，即包含关系在公理体系中是多余的。

## 參考文獻

* 冪集：某集合的全部子集组成的集合。