# 勒文海姆–斯科伦定理[编辑]

在数理逻辑中，经典**勒文海姆–斯科伦定理**（英語：Löwenheim–Skolem theorem）声称对于标识（signature）为 WIKINIUM\_MATH\_PH\_0 的任何可数一阶逻辑语言 *L* 和 *L*-结构 M，存在一个可数无限基本子结构 *N* WIKINIUM\_MATH\_PH\_2 *M*。
这个定理的自然和有用的推论是所有一致的 *L*-理论都有可数的模型。

这里的标识由常量集合 WIKINIUM\_MATH\_PH\_4 、函数集合 WIKINIUM\_MATH\_PH\_6 、关系符号集合 WIKINIUM\_MATH\_PH\_8 、和表示函数和关系符号的元数的函数 WIKINIUM\_MATH\_PH\_10 组成。在这个上下文中 *L*-结构，由底层集合(经常指示为“*M*”)和 *L* 的函数和关系符号的释义组成。*L* 的常量在 *M* 中的释义就是 *M* 的成員。类似的， WIKINIUM\_MATH\_PH\_12 -元函数 WIKINIUM\_MATH\_PH\_14 被指派为 *M* 中的 WIKINIUM\_MATH\_PH\_16 -元函数 WIKINIUM\_MATH\_PH\_18 的图，而 WIKINIUM\_MATH\_PH\_20 -元关系 WIKINIUM\_MATH\_PH\_22 的释义被指派为 *M* 中的 WIKINIUM\_MATH\_PH\_24 -元关系。语言 *L* 是可数的，如果在 *L* 中的常量、函数和关系符号是可数的。

## 例子

一个周知的不可数模型是所有实数的集合，带有次序关系 "<" 作为唯一的关系，和加法与乘法作为函数。有序域的公理是一阶句子；最小上界公理不是一阶的而是二阶的。这个定理蕴涵了实数域的某个可数无限的子域，因此不同于实数域，但满足了实数域所满足的**所有**一阶句子。(作为可数的有序域，它不能满足最小上界公理)。例如，特定多项式方程有解(在这个模型中)的断言是一阶句子，因此在断言了其存在的可数子模型中是真的，当且仅当它在实数域中是真的。

数学家考虑的多数数学结构，特别是多数范畴的多数成员，是这里定义意义上的模型。勒文海姆–斯科伦定理告诉我们如果它们是不可数的，它们不能被任何一阶句子的集合唯一性的选取出来。

## 证明梗概

对于在模型 *M* 中为真的如下形式的一阶句子

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_26
或

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_28
有一个**Skolem 函数f*，就是说映射 *x* 到断言了其存在的 *y* 的函数，使得

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_30
在 *M* 中为真。因为有很多这样的 *y* 的值，必须启用选择公理来推出 Skolem 函数的存在。

这个模型的某些成员可以直接用一阶公式来定义，就是说，它们的存在被如下形式的句子所断言

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_32
并且因为只有可数多个一阶公式，只有可数多个成员可以用这种方式直接定义。

证明的想法是: 开始于这个模型的所有一阶可定义成员的集合，并接着在所有 Skolem 函数下闭合它。这个闭包必定最多是可数无限的。这个模型的子集是这个定理断言了其存在的子模型。

## 更一般的 "勒文海姆–斯科伦定理"

上述定理假定了有限或可数无限的语言。更一般的勒文海姆–斯科伦定理做其他有关基数的假定。类似于这个经典定理的某些定理，断言更小的子模型的存在(“向下”勒文海姆–斯科伦定理)；其他一些断言更大基数的模型的存在(“向上”勒文海姆–斯科伦定理)。

## 勒文海姆-斯科伦定理在一阶逻辑中的定义和证明

勒文海姆-斯科伦**定理**: 如果 WIKINIUM\_MATH\_PH\_34 是一个含有**有限可数个数的**命题组成的集合，并且集合 WIKINIUM\_MATH\_PH\_36 是**可以满足的**( WIKINIUM\_MATH\_PH\_38 SAT),那么至少存在一个模型(或叫作指派，或叫作解释 (Interpretation)) 用符号记作 **I**, WIKINIUM\_MATH\_PH\_40 ,且这个模型 I 指派解释也是可数的

**证明:**

前提:在语言集合L中如果我们有一个可满足式的有限可数命题公式的集合 WIKINIUM\_MATH\_PH\_42 ，且 WIKINIUM\_MATH\_PH\_44 , WIKINIUM\_MATH\_PH\_46 是 WIKINIUM\_MATH\_PH\_48 中的命题公式
如果我们有一个集合，用字母记作 S ,并且 WIKINIUM\_MATH\_PH\_50 ，其中集合 WIKINIUM\_MATH\_PH\_52 是由命题公式 WIKINIUM\_MATH\_PH\_54 转换成子句结构(Clause)所组成的集合，我们有一个定理(记作Th): 如果 WIKINIUM\_MATH\_PH\_56 是可满足式的(Satisfaisable)公式，当且仅当Clause( WIKINIUM\_MATH\_PH\_58 )也是可满足式的，通过这个定理，我们确保S是可满足的，并且也是可数的
如果我们有一个基于语言集合L的等价公理集合，记作 WIKINIUM\_MATH\_PH\_60 (该集合是为了用于Skolemisation方法中,也就是 WIKINIUM\_MATH\_PH\_62 在转化成Clause( WIKINIUM\_MATH\_PH\_64 )过程中，去除有限量词 WIKINIUM\_MATH\_PH\_66 的方法Skolemisation,化为Skolem范式)
那么很显然 WIKINIUM\_MATH\_PH\_68 也是可满式的集合，那么 WIKINIUM\_MATH\_PH\_70 同样是可满足的
由于语言集合L中的元素是可数的 所以 WIKINIUM\_MATH\_PH\_72 是也是有限可数的集合
如果我们有一个模型，记作 I 且 WIKINIUM\_MATH\_PH\_74 ,赫尔不兰特定理(Theoreme de Herbrand)告诉我们如果我们要构造一个模型M,并且 WIKINIUM\_MATH\_PH\_76 ，那么模型M的模型解释指派域(记作)D是一个以I(t)为元素的指派域(其中t是在S中的所有的项)，那么模型M是通过Congurence关系来解释指派等价性关系(Egalite)
由于我们说语言理合L是可数的，那么指派解释域D也是可数的
那么我们可以构造另一个模型M'，并且基于解释域 WIKINIUM\_MATH\_PH\_78 (我们通过等价关系来指派解释等价性)且 WIKINIUM\_MATH\_PH\_80 ,那么M'必然也是可数的，那么根据Th定理， WIKINIUM\_MATH\_PH\_82 ,那么我们就可以说 WIKINIUM\_MATH\_PH\_84
所以我们证明了勒文海姆-斯科伦定理

* Skolem悖论
* 模型论

## 引用

* Wilfrid Hodges (1997), "A Shorter Model Theory", Cambridge University Press, ISBN 0521587131
* María Manzano (1999), "Model Theory", Oxford University Press, ISBN 0198538510
* Rothmaler, Philipp (2000), "Introduction To Model Theory", CRC