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# 含糊[编辑]

| 含糊 |
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| 哲学问题 |
| 研究学科 | 語義學、​邏輯學、​形而上学  |

**含糊**（英語：vagueness），又作**模糊**，是语义学、哲学用語。一个谓词如果存在边界情形（borderline case），即难以明确判断某些对象是否属于该谓词的外延，则称该谓词是模糊的。例如，「高个子」一词是模糊的，因为对于一个中等身高的人，我们无法明确判定他是否为高个子。相比之下，「素数」一词则不是模糊的，因为每个数要么是素数要么不是。模糊性通常通过一个谓词是否能引发堆垛悖论（又称连锁悖论）来诊断。模糊性与歧义不同：歧义指一个表达式具有多个涵义（如「bank」可指河岸或银行），但歧义表达通常不涉及边界情形。

模糊性是哲学逻辑中的一个重要研究课题，对经典逻辑构成了潜在挑战。形式语义学尝试为自然语言中的模糊表达提供组合语义，语言哲学探讨模糊性对意义理论的影响，而形而上学则追问实在世界本身是否可以是模糊的。

## 哲学重要性

模糊性具有重要的哲学意义。以道德概念「正当」为例：我们需要一个定义来覆盖明显正当的行为并排除明显不正当的行为，但如何处理边界情形？一些哲学家认为应尝试给出一个在这些边界情形下同样模糊的定义；另一些则认为应该追求比日常语言更精确的定义——即「精确化定义」。

### 法律中的模糊性

法律中模糊性同样是一个问题。法官有时需要裁决边界情形是否满足某个模糊概念。例如：视力损失到何种程度才算「法定盲人」？从受孕到出生的哪个时间点一个人成为受法律保护的人（如谋杀罪保护）？驾驶、饮酒、投票的「法定年龄」如何界定？具有混合种族背景的人如何分类？甚至如生理性别这样看似明确的概念也可能面临模糊性问题——不仅来自跨性别者的性别转换，也来自导致个体同时具有两性生物学特征的遗传疾病（如间性人）。

在普通法系中，模糊性是对行政法规的可能的法律抗辩。违例处罚或条例如果过于模糊，以致超出法律允许的范围进行规范，则可能因「模糊无效」（void for vagueness）原则而被法院推翻。

### 科学中的模糊性

许多科学概念在本质上具有模糊性。例如生物学中的物种概念难以精确界定，因为存在环物种等模糊情形。然而，物种概念在绝大多数情况下仍可清晰应用。这表明说一个定义「模糊」并不一定是批评——它可能反映了该概念所适用的现实世界本身的连续性质。

## 主要理论进路

关于如何从理论上处理模糊性的哲学争论，与堆垛悖论（连锁悖论）密切相关。以下是一些主要的理论进路。

### 模糊逻辑

由美国数学家洛特菲·扎德提出的模糊逻辑在「完全假」（如「比尔·克林顿是秃头」）和「完全真」（如「帕特里克·斯图尔特是秃头」）之间建立了渐进过渡。经典逻辑仅有「真」和「假」两个真值；模糊逻辑引入了从完美真理到完美虚假之间光谱上的**无限多个真值**。完美真表示为「1」，完美假表示为「0」，边界情形则具有0到1之间的某个真值（如0.6）。

### 超赋值论

超赋值论由基特·法恩和罗珊娜·基夫（Rosanna Keefe）等人辩护。法恩认为，模糊谓词的边界应用既非真也非假，而是属于「真值间隙」（truth-value gap）。他基于以下思路构建了一套模糊语义学系统：一个模糊谓词可以有多种不同的「精确化」（precisification）方式。当所有精确化方式下某个陈述都为真时，该陈述是「超真」（supertrue）的；当所有精确化下都为假时则是「超假」的；否则该陈述不具有真值。在这一框架下，排中律（「他是秃头或他不是秃头」）在所有精确化下均成立，从而得以保留。

### 次赋值论

次赋值论（subvaluationism）是超赋值论的对偶理论，由多米尼克·海德（Dominic Hyde）和巴勃罗·科布雷罗斯（Pablo Cobreros）等人辩护。超赋值论将真刻画为「超真」（在所有精确化下为真），次赋值论则将真刻画为「次真」（subtruth），即在至少一种精确化下为真。在边界情形下，一个模糊陈述既可以被视为真也可以被视为假——即「真值过满」（truth-value glut）。这使得次赋值论与双面真理论（dialetheism）相关联。

### 认知主义

「认知主义」（epistemicism）由蒂莫西·威廉姆森、罗伊·索伦森和尼古拉斯·雷舍尔等人辩护。他们认为模糊谓词实际上具有精确的边界，但人们无法知道这些边界在哪里。一个人对某个模糊词是否适用于边界情形的困惑，源于认知上的无知。例如，按照认知主义的观点，对于每一个人，他是否是老年人存在一个事实，只是某些人不知道这一事实。

### 形而上学模糊性

一个更深层的问题是：世界的对象本身是否可以是模糊的？彼得·昂格尔以「云」为例：云的边界在哪里并不清楚——对于任何给定的水蒸气分子，我们很难判断它是否属于这朵云的边界。因此，「云」这个词本身并非模糊，而是精确地指称一个模糊的**对象**。

加雷思·埃文斯在其1978年的短文《可能存在模糊对象吗？》中提出了一个论证，似乎表明模糊的同一性陈述是不可能的，即会导致逻辑不一致。但该论证假定模糊术语精确地指称模糊对象，而如果模糊性仅仅是语义上的不确定性，该论证则不能成立。一些哲学家仍然主张本体论模糊性（ontological vagueness）作为一种形而上学现象的存在，如彼得·范·因瓦根、特伦顿·梅里克斯和特伦斯·帕森斯。

## 内部与外部模糊性

伯特兰·罗素1923年的论文《论模糊性》将模糊性视为人类认知的基本过滤器。认识的任务是从认识论上不可估量的现实世界中获取有限的认知模型，这一过程必须通过选择与约简来实现，而模糊性正是执行这一约简的过滤器。

根据这一视角，模糊性可分为两个层次：**内部模糊性**（internal vagueness）指个人心智认知模型中的固有模糊性，属于内在心理层面；**外部模糊性**（external vagueness）则是语言表达中可形式化把握的模糊性。自然语言属于非正式语言，无法严格区分内部与外部模糊性；而形式语言（数学、形式逻辑、编程语言）原则上要求其语言构式的解释具有零内部模糊性，仅能通过模糊集合、模糊逻辑或随机量来建模外部模糊性。

## 应用

### 法律

在普通法系中，「模糊无效」原则是一项重要的法治原则。如果一项法规的措辞如此模糊，以至于普通人无法理解其含义，或执法者被赋予了过度自由的裁量权，该法规可能因违宪而被推翻。这一原则在美国宪法中体现为「模糊性原理」（vagueness doctrine），在欧洲则体现为「法律确定性原则」（principle of legal certainty）。

### 科学

精确科学的发展依赖于系统性地降低内部模糊性。艾萨克·牛顿的微积分创立了一个全新的方法：通过引入物理量（如速度、力、浓度）的概念，利用人为的离散过滤器（「牛顿过滤器」）来精确地认知现实世界的特定方面。这奠定了精确科学的基础——即通过数学语言构建关于现实世界的定量认知模型。精确科学与非精确科学（描述性科学）的根本区别在于：前者使用人工形式语言和量的概念，因而可实现形式推理；后者则依赖自然人的模糊认知和精炼自然语言。

## 相關條目

* 歧義
* 歧義句構
* 一詞多義

## 参考资料
# 双面真理说

**双面真理说**（Dialetheism）（也称为**双面真理论**）是指存在双面真理（dialetheia），即命题P和~P同为真的命题。 也就是说，在同一时间和同一意义上同时是“真”和“假”的悖论被称为双面真理。 这一学说反对基于亚里士多德的无矛盾律（有时又称为矛盾律），即P∧~P必然为假的传统逻辑观。

根据Graham Priest的说法，双面真理说在历史上并不乏主张者。像赫拉克利特关于一个人不能两次走进同一条河流的说法，黑格尔的辩证法，当代的说谎者悖论都承认存在着真的矛盾命题。

例如，约翰正走在门中间的时候，对于“约翰已经进来了”这个命题，可以既是肯定的或也是否定的； 因为，这时“约翰已经进来了”既是模棱两可的也是程度的问题, 是一个双面真理。但是， 同时“肯定”和“否定”同一命题也是自相矛盾的悖论。

最后需要澄清一些相关概念间的区别。首先，不可把双面真理说与次协调逻辑相混淆。次协调逻辑否定爆炸原理，而双面真理说却不必然主张这点。当然，主张次协调逻辑者都会在某种程度上接受双面真理说。

最后，双面真理说也不等同于瑣碎論。后者认为所有矛盾都是真的，但前者仅认为有些矛盾为真。

* 次协调逻辑
* 爆炸原理
* 悖论
* 非经典逻辑
* 经典逻辑
* 謬誤

## 参考资料

## 网上参考资源

* 斯坦福哲学百科全书（页面存档备份，存于互联网档案馆）的双面真理说（页面存档备份，存于互联网档案馆）条目。
# 邏輯主義

**邏輯主義**（英語：Logicism）是數學哲學中的一門學派，其理論推測數學是邏輯的延伸，甚至認為一切的數學皆可視為邏輯的原型。

創始者為戈特洛布·弗雷格。伯特蘭·羅素和阿弗烈·諾夫·懷海德在理論提出後擁戴此論。戈特洛布·弗雷格在伯特蘭·羅素提出羅素悖論後放棄了產生矛盾的樸素集合論。羅素和懷海德將此有關概念著於《数学原理》一書。哥德爾不完全定理有時被聲稱妨礙了此計劃的目的。它亦為二十世紀分析哲學的重要指標。
# 柏拉圖實在論

**柏拉圖實在論**（英語：Platonic realism），哲學術語，用來稱呼由希臘哲學家柏拉圖建立的實在論觀點。柏拉圖認為，共相是存在的，但是不是以一般物理性的方式存在，而是以理型（ideal forms）的方式存在。柏拉圖因此將世界切割為兩個不同的區塊：「形式的」智慧世界、以及我們所感覺到的世界。我們所感覺到的世界是從有智慧的形式或理想裡所複製的，但這些複製版本並不完美。那些真正的形式是完美的而且無法改變的，而且只有使用智力加以理解才能實現之，這也表示了人的智力並不包含知觉能力或想像力。
# 邏輯語義學[编辑]

我们在论证中可能遇到的各种句子/判决的有效性条件依赖于它们的意义，所以负责任的逻辑学家不能完全避免提供某种处理这些句子的意义的需求。**逻辑的语义**指称逻辑学家已经介入来理解和确定他们感兴趣的意义部分的方式；逻辑学家在传统上只对是命题的句子感兴趣，它是适合逻辑操纵的理想的句子。

直到现代逻辑出现之前，亚里士多德的工具论特别是解释篇，提供了理解逻辑意义的基础。量化的介入需要解决多重普遍性问题，表现出了亚里士多德的逻辑所支配的主词-谓词分析不能处理的那些种类，尽管对词项逻辑的兴趣正在复兴，尝试找到符合亚里士多德三段论精神并且使用基于量词的现代逻辑一般性的演算。

## 分支

形式语言的主要现代方式如下:

* **模型论语义**是 Alfred Tarski 的真理的语义理论的原型，基于了他的 T-模式，并且是模型论的基本概念之一。这是最普遍的方式，它基于的想法是，命题各个部分的意义由从它们到预先设定的数学域的递归规定的释义函数群组给出: 一阶谓词逻辑的释义由从项到个体的全集的映射，和从命题到真值"真"和"假"的映射给出。模型论语义是叫做真理条件语义的方式的基础，它是 Donald Davidson 所创始的。Kripke语义介入了革新，但受到了 Tarski 主义的铸造。

* **证明论语义**把命题的意义关联到它们在推论中可以扮演的角色。Gerhard Gentzen、Dag Prawitz 和 Michael Dummett 一般被看作这种方式的缔造者；它受到维特根斯坦的后期哲学的严重影响，特别是他的格言"意义是使用"。

* **真值语义** (也称为“代换量化”)是 Ruth Barcan Marcus 在1960年代早期为模态逻辑提倡的，后来 Dunn、Belnap 和 Leblanc 把它拥戴到标准一阶逻辑。James Garson 已经给出这个领域的某些结果，足够让内涵逻辑装备这种语义。量化公式的真理条件纯粹以不诉诸任何域的真理的方式给出(因此叫做“真值语义”)。

* **博弈论语义**近来已经复苏，主要由于 Jaakko Hintikka 的(有限)偏序量化的逻辑，这最初是 Leon Henkin 在他的“Henkin 量词”中研究的。

* **或然性语义** 创立自 H. Field，并被证明等价于和自然一般化了真值语义。像真值语义一样，它也是在自然中没有参照的。

* 模型论
* 证明论
* 博弈论
# 计算机逻辑[编辑]

**计算机逻辑**描述应用于计算机科学和人工智能的逻辑。它包括：

* 以在计算机科学中的应用为导向的逻辑学研究。例如：组合子逻辑和抽象释义；
* 以逻辑形式自然表达的计算机科学基本概念。例如：编程语言的形式语义，霍尔逻辑和逻辑编程；
* 计算理论的关注形式逻辑的基本问题的方面。例如：Curry-Howard对应和博弈语义；
* 被当作应用计算机科学的逻辑工具。例如：自动定理证明和模型效验。
* 软件（和硬件）开发的形式方法，比如在Z符号中使用谓词逻辑。

基本数理逻辑比如命题逻辑和谓词逻辑（通常联合上集合论）的研究被认为是对任何大学计算机科学课程都非常重要的理论基础。高阶逻辑通常不教，但在定理证明工具如HOL中是很重要的。

有相关的一个年刊*IEEE Symposium on Logic in Computer Science*（LICS）。

## 书籍

* *Mathematical Logic for Computer Science*by Mordechai Ben-Ari. Springer-Verlag, 2nd edition, 2003. ISBN 1852333197.
* *Logic in Computer Science: Modelling and Reasoning about Systems（页面存档备份，存于互联网档案馆）* by Michael Huth, Mark Ryan. Cambridge University Press, 2nd edition, 2004. ISBN 052154310X.
* *Logic for Mathematics and Computer Science* by Stanley N. Burris. Prentice Hall, 1997. ISBN 0132859742.

* Article on *Logic and Artificial Intelligence*（页面存档备份，存于互联网档案馆） at the Stanford Encyclopedia of Philosophy.
* IEEE Symposium on Logic in Computer Science（LICS）
# 元逻辑[编辑]

| 元逻辑 |
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| 專業領域 |
| 研究對象 | 邏輯系統  |

**元逻辑**（英語：metalogic）是逻辑的元理论。逻辑研究如何使用逻辑系统构建有效且可靠的论证，而元逻辑研究逻辑系统本身的属性。逻辑关注可以由逻辑系统推导出的真理；元逻辑关注关于用于表达真理的形式语言和系统所能推导出的真理。

元逻辑的基本研究对象是形式语言、形式系统及其解释。对形式系统解释的研究是数理逻辑中被称为模型论的分支，而对演绎系统的研究是被称为证明论的分支。

## 基本概念

### 形式语言

**形式语言**是由精确定义的符号组成的集合，其符号通过形状和位置精确界定。这种语言可以在不涉及表达式意义的情况下定义。一阶逻辑即用某种形式语言来表达。形式文法确定哪些符号和符号串构成公式。

### 形成规则

**形成规则**（也称形式文法）是对形式语言的合式公式的精确描述。它们与构成合式公式的字母表上的字符串集合是同义的，但不描述其语义。

### 形式系统

**形式系统**（也称逻辑演算）由形式语言和演绎装置（也称演绎系统）组成。演绎装置可以包含一组推理规则或一组公理，或两者兼有。形式系统用于从一个或多个表达式推导出另一个表达式。

### 形式证明

**形式证明**是形式语言中合式公式的一个序列，其中最后一个公式是形式系统的定理。定理是证明系统中所有在其之前的合式公式的语法后承。

### 解释

**解释**是将含义和真值赋予形式系统的符号和语句。对解释的研究称为形式语义学。给出一个解释等同于构建一个模型。

## 重要区分

### 元语言与对象语言

在元逻辑中，形式语言有时被称为**对象语言**，用于陈述关于对象语言的陈述的语言称为**元语言**。这一区分是逻辑与元逻辑之间的关键差异。逻辑处理**在**形式系统内的证明，用形式语言表达；元逻辑处理**关于**形式系统的证明，用元语言表达。

### 语法与语义

在元逻辑中，「语法」涉及不考虑任何解释的形式语言或系统；「语义」涉及对形式语言的解释。「语法」的适用范围略广于「证明论」，因为它可应用于没有演绎系统的形式语言的属性。「语义」与「模型论」同义。

### 使用与提及

在元逻辑中，「使用」和「提及」具有技术性含义。当一个词或短语被**使用**时，它被用作正常的语言表达；当它被**提及**时，它自身被作为讨论对象。通常，提及一个表达式时用引号括起。例如在「"元逻辑"是一个名词」中，「元逻辑」一词被**提及**，而在「元逻辑很有趣」中，它被**使用**。

### 类型与个例

**类型-个例区分**将抽象概念与该概念的具体实例区分开来。例如，特定的自行车是「自行车」类型的个例。这种区分用于澄清形式语言中符号的含义。

## 历史

元逻辑的问题自亚里士多德时代就已被提出。然而，直到19世纪末20世纪初形式语言的兴起，关于逻辑基础的研究才开始繁荣。1904年，大卫·希尔伯特指出，在数学基础的研究中已经预设了逻辑概念，因此需要同时发展元逻辑和元数学的原则。今天，元逻辑和元数学在很大程度上是同义的，两者在学术界基本上已被数理逻辑所涵盖。另一种可能较不依赖数学的模式见于查尔斯·桑德斯·皮尔士和其他符号学家的著作。

## 主要成果

元逻辑的主要成果涉及证明特定形式系统的属性，包括一致性、完备性和可判定性。

### 完备性与不完备性

* **命题逻辑的完备性**：真理函项命题逻辑的完备性（保罗·贝尔奈斯1918年，埃米尔·波斯特1920年）
* **一元谓词逻辑的完备性**：一阶一元谓词逻辑的完备性（利奥波德·勒文海姆1915年）
* **一阶谓词逻辑的完备性**：哥德尔完备性定理（库尔特·哥德尔1930年）
* **哥德尔第一不完备定理**（1931年）：任何包含算术的一致形式系统都是不完备的
* **哥德尔第二不完备定理**（1931年）：这样一个系统无法证明自身的一致性

### 一致性

* 命题逻辑的一致性（埃米尔·波斯特1920年）
* 一元谓词逻辑的一致性（利奥波德·勒文海姆1915年）
* 一阶谓词逻辑的一致性（大卫·希尔伯特和威廉·阿克曼1928年）

### 可判定性

* 命题逻辑的可判定性（埃米尔·波斯特1920年）
* 一元谓词逻辑的可判定性（利奥波德·勒文海姆1915年）
* **一阶谓词逻辑的不可判定性**：邱奇定理（阿隆佐·邱奇1936年）

### 其他重要成果

* **勒文海姆-斯科伦定理**（勒文海姆1915年，托拉尔夫·斯科伦1919年）：可数一阶理论若有无穷模型，则存在任意无穷基数的模型
* **切消定理**（格哈德·根岑1934年）：相继式演算中的切割规则可以消除
* **塔斯基不可定义定理**（哥德尔和阿尔弗雷德·塔斯基1930年代）：一个形式系统的真理概念无法在该系统内部定义

* 元数学
* 元定理
* 模型论
* 证明论
* 数理逻辑
# 元数学[编辑]

**元数学**（英語：Metamathematics），又译为超数学，使用数学技术来研究数学本身的一门学科。一般来说，元数学是一种将数学作为人类意识和文化客体的科学思维或知识。更进一步来说，元数学是一种用来研究数学和数学哲学的数学。“数学的数学”是于19世纪初由通常的数学分离出来的，它最初研究的对象是在所谓的数学危机。将二者混为一谈会导致一些矛盾，典型例子有理查德悖论。

比如说，元数学的主题之一就是：分析某些数学要素是否在任意的数学系统中都是可证实或者证伪的。

许多关于数学基础与数学哲学的论说都涉及元数学的概念，它们往往不能被当作我们通常所说的“问题”来处理。元数学的基本假设是：数学的内容可以由一个形式系统获得，比如一个序理论或一个公理化集合论。

元数学与数理逻辑休戚相关，因而这两者的发展也大同小异。元数学的发端大概要追溯到弗雷格的工作：《概念文字》。大卫·希尔伯特首先引进了带有正则性的“元数学”（metamathematics with regularity）这一说法（见希尔伯特计划）。这也就是现在所说的证明论。另一个重要的现代分支是模型论。这一领域的其他重要人物有：伯特兰·罗素，斯科尔姆（Thoralf Skolem），普斯特（Emil Post），邱奇，克莱尼，蒯因，贝纳瑟拉夫（Paul Benacerraf），普特南，柴汀（Gregory Chaitin），以及最著名的塔斯基和哥德尔。特别地，哥德尔证明了：给定任意有限多条皮亚诺算术的公理，都存在一些正确的命题，无法用所给公理来证明，即所谓的哥德尔不完备定理。某种意义上来说，这一结果是迄今为止元数学与数学哲学的最高成就。

## 參考資料

* Douglas Hofstadter, 1980. 《哥德尔、埃舍尔、巴赫》. Vintage Books. Aimed at laypeople.
* Stephen Cole Kleene, 1952. 《Introduction to Metamathematics》. North Holland. Aimed at mathematicians.
# 模型论

**模型论**（英語：Model theory）一般是指数学中集合论的论述角度对数学概念表现（representation）的研究，或者说是对于作为数学形式系统基础的“模型”的研究。粗略地说，该学科假定有一些既存的数学抽象对象(abstract objects)，然后研究：当这些对象之间的一些运算或者一些关系乃至一组公理被给定时，可以相应证明出什么，以及如何证明。

比如实数理论中一个模型论概念的例子是：我们从一个任意集合开始，作为集合元素的每个个体都是一个实数，其间有一些关系和（或）函数，例如{ ×, +, −, ., 0, 1 }。若我们在该语言中问"∃ *y* (*y* × *y* = 1 + 1)"这样一个问题，显然该陈述对实数而言成立 - 确实存在这样的一个实数*y*,即所谓2的平方根；对于有理数，该陈述却并不成立。一个类似的命题，"∃ *y* (*y* × *y* = 0 − 1)",在实数中不成立，却在复数中成立，因为*i* × *i* = 0 − 1。

模型论研究什么是在给定的数学系统中可证的，以及这些系统相互间的关系。它特别注重研究当我们试图通过加入新公理和新语言构造时会发生什么。

现在模型论（及其方法）已经广泛地应用于其它数学分支甚至理论计算机与工程计算中。例如艾胡德·赫鲁绍夫斯基用模型论方法证明了代数几何中的Mordell-Lang猜想(Mordell–Lang conjecture)。

## 定义

**结构**被形式的定义于某个语言*L*的上下文中，它由常量符号的集合，关系符号的集合，和函数符号的集合组成。在语言*L*上的**结构**，或L*-结构**，由如下东西组成：

1. 一个**全集**或**底层集合A*，它包含所有感兴趣的对象（"论域"），
2. 给*L*的每个常量符号一个在*A*中元素，
3. 给*L*的每个*n*价函数符号一个从*A**n*到*A*的函数，和
4. 给*L*的每个*n*价关系符号一个在*A*上的*n*-元关系（换句话说，*A**n*的一个子集）。

函数或关系的价有时也叫做元数（术语"一元"、"二元"和"n-元"中的那个元）。

在语言*L*中的**理论**，或L*-理论**，被定义为*L*中的句子的集合。如果句子的集合闭合于通常的推理规则之下，则被称为**闭合理论**。例如，在某个特定*L*-结构下为真的所有句子的集合是一个闭合*L*-理论。

*L*-理论*T*的**模型**由在其中*T*的所有句子都为真的一个*L*-结构组出，它通常用T-模式的方式定义。

理论被称为**可满足的**，如果它有模型。

例如，偏序的**语言**有一个二元关系≥。因而偏序的*语言*的**结构**就是带有≥所指示的二元关系的一个集合；如果此外它还满足偏序的公理，則它是偏序的*理论*的**模型**。

## 定理

哥德爾完備性定理表明理论有一个模型当且仅当它是一致的，也就是说没有矛盾可以被该理论所证明。这是模型论的中心，因为它使得我们能够通过检视模型回答关于理论的问题，反之亦然。不要把完全性定理和完备理论的概念混淆。一个完备的理论是包含每个句子或其否命题的理论。重要的是，一个完备的协调理论可以通过扩展一个协调的理论得到。

紧致性定理说一组语句S是可满足的（即有一个模型）当且仅当S的每一个有限子集可满足。在证明理论的范围内类似的定义是下显而易见的，因为每个证明都只能有有限量的证明前提。在模型论的范畴内这个证明就更困难了。目前已知的有两个证明方法，一个是库尔特·哥德尔提出的（通过证明论），另一个是阿纳托利·伊万诺维奇·马尔采夫提出的（这个更直接，并允许我们限制最后模型的基数）。

模型论一般与一阶逻辑有关。许多模型论的重要结果（例如哥德爾完備性定理和紧致性定理）在二阶逻辑或其它可选的理论中不成立。在一阶逻辑中对于一个可数的语言，任何理论都有可数的模型。这在勒文海姆-斯科伦定理中有表达，它说对于任何可数的语言中的任何有一个无限模型都有一个可数的初等子模型。

莫雷（Morley）证明了著名的范畴定理。即对于可数语言的任何可数完备理论，如果它在某个不可数基数上是范畴的，则它在所有不可基数上都是范畴的。这个定理极大的刺激了模型论的发展，产生了后来對稳定理论的研究。

近来模型论更加着重于对于其它数学分支，尤其是代数和代数几何的应用。

* Wilfrid Hodges, *A shorter model theory* (1997) Cambridge University Press ISBN 0-521-58713-1

* 证明论
* 递归论
* 一阶谓词逻辑
* Tarski语义
* 紧致性定理
* 可靠性定理
* 哥德尔完全性定理
* Craig插入定理
* Beth可定义性定理
* 高阶逻辑
* 类论
* 哥德尔不完全性定理
* 可公理化类
* 超实数
* 基本嵌入
* 饱和模型
* 力迫 (数学)
* 有限模型论
* 描述复杂度
* Kripke语义
# 定义[编辑]

**定義**（英語：definition）指对某个概念（词语、短语或一组符号）进行的简要并完整的陈述，透過列出一個事件或者一個物件的基本屬性，來描述、解釋、說明、規範一個词语、一個概念、一个事物的意義；被定義的事物或物件叫做**被定義項**，其定義叫做**定義項。**

定义是人为订定的，是用以规范词语或概念的陈述，属于一种规定，并非推理的结论。定义必须具备明确性和完整性，以防止误解；定义应避免循环性、笼统性、情绪性，且最好不用相反词语来界定。

## 定义

定义有不同的方式和技术：

* 詞法定義描述一个词或者一个表达的意义，一般一个词法定义提供一个与原词相当的表达。比如将“单身汉”定义为“未婚男子”，或者将“煎”定义为在“热油中烧”。有些词如“如果”无法有效地使用其它词来同义描写，词典对这些词一般通过描写其特性的方法来给予一个定义，而不是通过提供一个相当的表达的方式。
* 情境定義也称上下文定义，與托馬斯定理相關。有些词无法清晰地定义，但可以通过为所有这个词出现的句子提供一个解释来为这个词做一个定义。也就是说通过使用一个不出现这个词的句子来解释这个词在这个句子里的意义。
* 内涵定义是将一个物件与其它物件之间不同的所有特征列举出来。比如“所有小于20的质数的集合”是一个特定的集合的内涵定义。
* 外延定义是描述一个概念或者词的外延，即所有这个概念或者词所包含的事物。
* 列举定义是一个特别的外延定义，它列出一个概念或者词所描写的所有的物件。列举定义只适用于有限集合，而且只有在这个集合比较小的情况下才有意义。
* 实物定义又称直观释义或实指定义。实物定义是指，指定一个词所代表的物件来表达这个词的意思，或者指定数个代表性的物件来表达这个词的意思。一个例子是给某人看吉米·威尔士的图像来表示“吉米·威尔士”这个词的意思，或者给某人看数个典型的狗来说明“狗”的概念。
* 一个量的操作定义是这个量的测量过程。
* 理论性定义是使用一个学科的理论对一个词作一个定义，比如“米是光在真空中在1/299,792,458秒所传播的距离”。这个定义是基于狭义相对论的理论做出的定义。
* 從屬差異定义（definition by genus and difference）首先列出一个狭义词的广义词，然后说明这个狭义词与这个广义词中不属于这个狭义词的物件之间的区别。
* 递归定义又称归纳定义，它是使用有意义的方式用一个词来定义这个词本身。一般来说这样的定义包括两个步骤：首先一个或数个特定的物件属于被定义项的集合X；其次所有与X中的元素有一定关系的物件，而且只有与X中的元素有这个关系的物件也属于X。比如以下为自然数的递归定义：首先1是一个自然数，其次比自然数大1的数也是自然数，所有其它数都不是自然数。在做递归定义时要小心避免循环定义。
* 循环定义是假设别人已经对被定义项有一定的了解。比如“蛋是鸡生的卵，鸡是从蛋里孵出来的”就是这样一个循环定义。假如别人即不知道鸡是什么，又不知道蛋是什么的话这个定义毫无用处。（参见重言式）
* 规定性定義又称规创定义或约定定义，是指将一个定义或者讨论的内容规定在一个范围内。比如有人想要解释啤酒是怎样酿的但不知道清酒是不是啤酒的一种。他可以开篇说：“我所说的啤酒仅包括用小麦酿的啤酒。”
* 釐定性定义是对词法定义添加附加的条件来延伸词法定义中的定义，更加缩小定义的规范。
* 說服性定义又名勸導性定义，是指将一个词定义为一个特别观点的理由，但却保持了词法定义的形式。

值得注意的是定义在不同时期有着不同的价值取向

## 外延、内涵、歧义和含糊

要分析一个定义的好坏要注意定义的特性，其中最重要的是其外延、内涵、歧义和含糊度。

* 列举定义指出一定的例子来让对方认识到一个词的意义。
* 外延定义列举出一个词的所有元素。
* 内涵定义列出一个词的特征，这个定义往往比外延定义更紧凑。

比如“单身汉”这个词假如要使用外延定义来定义它的话必须将世界上上亿单身汉都列举出来，但是假如用内涵定义的话则一个单身汉首先是一名男子，其次他未婚，因此所有的单身汉是未婚男子，而且只有单身汉才是未婚男子。

对于哲学家来说一个定义的内涵比起外延要重要得多。比如我们既无法列出世界上所有的单身汉，对这样一个列表也没有兴趣。我们关心的是单身汉与非单身汉之间的区别。一个单身汉的列表无法表示一个新的人是否為单身汉。

假如一个定义不明确的话有两种原因。一个定义可能模棱两可，或者含糊不清，或者两者均有。事实上大多数词既模棱两可又不明确。这并不表示这些词没有意义，即使不明确和含有多种意义的词也有其意义。

## 定义的定义

假如我们决定定义一个词或者这个词所描写的概念。假如我们确定了我们对这个词所感兴趣的方面，我们确定了一些属于这个词的物件，一些不太清楚的物件和一些边缘物件。问题在于如何定义这个词。我们希望的是定义这个词的内涵，即列出可以确定这个词的所有的和仅有的元素的特征。以下是一个有用的定义的定义：

对一个概念或者词或者词组的定义是描写其内涵，即描写其所有和仅有的元素的共有特征。其外延是所有这个概念、词或者词组包含的事物。
一些哲学家不同意这个定义的定义，他们认为，出于不同的理由，大多数概念、词汇和词组无法精确地被定义。路德维希·维特根斯坦和威拉德·冯·奥曼·蒯因是这个意见最著名的代表人。但大多数哲学家认为定义重要的哲学概念是必要的。

## 参看

* 一把和三把椅子
* 術語學

## 參考文獻
# 描述逻辑[编辑]

**描述逻辑**（**description logic**）是一種用于知识表示的逻辑语言和以其为对象的推理方法，主要用于描述概念分类及其概念之间的关系。描述逻辑方法多数被用到涉及知识分类的应用领域，如数字图书馆和面向万维网的信息处理。描述逻辑是当前语义网发展中本体的理论基础。例如，OWL因特网本体语言就是一种描述逻辑SHIOQ (D)的语法形式。

描述逻辑根据其表达能力的程度不同，形成不同的逻辑子语言。绝大多数的描述逻辑类型都可以被看成对应着一阶逻辑的一个可判定性的片段（fragment），即每个描述逻辑中的命题都可以在有限时间内完成证明或证否。只有极少数的描述逻辑类型被认为是不可判定的。

一个描述逻辑系统中的名字可分为概念（concept），属性（role）和个体（individual）。例如，一个用描述逻辑描述的知识库如下：

* 男人 WIKINIUM\_MATH\_PH\_0 人 （男人 是 人）
* 丈夫 WIKINIUM\_MATH\_PH\_2 男人 WIKINIUM\_MATH\_PH\_4 WIKINIUM\_MATH\_PH\_6 婚配于.人 （丈夫是 婚配于 至少一个 人 的 男人）
* 男人(张三) （张三是一个男人）

其中，“男人”、“人”、“丈夫”是概念，“婚配于”是属性，“张三”是个体。

* kr.org的描述逻辑页面 （页面存档备份，存于互联网档案馆）
* Navigator on Description Logic Complexity （页面存档备份，存于互联网档案馆）
* [1] （页面存档备份，存于互联网档案馆）

* ALC
* SHIOQ (D)
* Pellet
* FaCT
* OWL
* Racer
# 邏輯真理[编辑]

**邏輯真理**是逻辑学的一个基础概念，它指的是无须借助于感性经验，仅依靠一定的逻辑推理即可判定其必然为真的真理。逻辑真理虽不直接与经验相联系，但这并不意味着它与经验徹底无关。 所有的哲学逻辑 以及逻辑推论都可以被看作是对逻辑真理的阐述。

逻辑真理通常被认为是必然的真理。这意味着它们在任何情境下都不可能不是真的。认为逻辑陈述是必然真实的观点有时被看作等同于说逻辑真理在所有可能的世界中都是真实的。 理性主义哲学家曾提出，逻辑真理的存在无法用经验主义来解释，因为他们认为在经验主义的基础上无法解释我们对逻辑真理的知识。经验主义者通常对这一反对意见作出回应，他们认为逻辑真理（通常被视为纯粹的同义反复）是分析的，因此并不打算描述世界。

* 矛盾
* 假 (邏輯)
* 真值表：邏輯學中使用的數理表
* 恆真式：符號化的邏輯真理
* 定理
* 有效性
* 分析-综合区别

* 扎尔塔, 爱德华·N (编). Logical Truth. 《斯坦福哲学百科全书》.
* 邏輯真理，Indiana Philosophy Ontology Project
* PhilPapers上的邏輯真理
# 严格条件[编辑]

在逻辑中，**严格条件**是遵照来自模态逻辑的必然性算子行事的实质条件。对于任何两个命题 WIKINIUM\_MATH\_PH\_0 和 WIKINIUM\_MATH\_PH\_2 ，公式 WIKINIUM\_MATH\_PH\_4 说 WIKINIUM\_MATH\_PH\_6 实质上蕴涵 WIKINIUM\_MATH\_PH\_8 ，而 WIKINIUM\_MATH\_PH\_10 说 WIKINIUM\_MATH\_PH\_12 严格蕴涵 WIKINIUM\_MATH\_PH\_14 。严格条件是 Clarence Irving Lewis 尝试为充分的表达直陈条件而找出的条件。比如这种条件一般的要避免实质蕴涵悖论。比如下列陈述，没有被实质蕴涵正确的形式化。

如果 Bill Gates 是医科毕业生，则 Elvis 就不会死。
这个条件明显是假的：Bill Gates 的受教育程度和 Elvis 是否健在没有任何关系。但是，在经典逻辑中使用实质蕴涵的这个公式的直接的编码为：

Bill Gates 是医科毕业生 WIKINIUM\_MATH\_PH\_16 Elvis 不会死。
这个公式是真的，因为公式 WIKINIUM\_MATH\_PH\_18 只要前件 WIKINIUM\_MATH\_PH\_20 为假就是真的。所以，这个公式不是原始句子的完全的翻译。严格条件是在模态逻辑中尝试不同编码的蕴涵编码：

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_22 （Bill Gates 是医科毕业生 WIKINIUM\_MATH\_PH\_24 Elvis 不会死）
在模态逻辑中，这个公式（粗略的）意味着，“在 Bill Gates 是医科毕业生的所有可能的世界中，Elvis 都不会死”。因为你可以轻易的设想 Bill Gates 是医科毕业生而 Elvis 死了的一个世界，在其中这个公式是假的。所以，这个公式好像是原始句子的正确翻译。

尽管严格条件比实质条件更加接近于能够表达自然语言的条件，它也有自己的问题。下列句子不能正确的使用严格条件形式化：

如果 Bill Gates 是医科毕业生，则 2 + 2 = 4。
使用严格条件，这个句子被表达为：

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_26 （Bill Gates 是医科毕业生 WIKINIUM\_MATH\_PH\_28 2 + 2 = 4）在模态逻辑中，这个公式意味着，“在 Bill Gates 是医科毕业生的所有可能世界中，2 + 2 = 4 都是成立”。因为在所有的可能世界中 2 + 2 都等于 4，这个公式是真的。但这很明显的不是“2 + 2 = 4 ，如果 Bill Gates 是医科毕业生，相应的严格实质陈述是真”的情况。
为了避免严格蕴涵的悖论，一些逻辑学家建立了反事实条件。有人比如 Paul Grice，使用会话蕴涵来做争辩说，尽管看起来困难，实质蕴涵正好适合用做自然语言的 '如果...则...' 的翻译。其他人转变到相干逻辑上来提供在可证明条件的在前件和后件之间的连接。

## 引用

尝试找到条件的更好翻译的非经典逻辑的介绍请参见：

* *An Introduction to Non-Classical Logics*, by Graham Priest, 2001, Cambridge

本文涉及到一些问题所延伸的哲学讨论请参见下列二者：

* *Logical Forms*, by Mark Sainsbury，2001, Blackwell Publishers
* *A Philosophical Guide to Conditionals*, by Jonathan Bennett，2003, Oxford

* 反事实条件
* 直陈条件
* 蕴涵
* 实质条件

## 參考資料
# 歧義

愛麗絲夢遊仙境的插圖。在毛蟲頭上的是他的口與鼻？還是他的足？
**歧義**（英語：**ambiguity**，又有譯為「含混」）是指未定義或定義不清楚而沒有明確涵義的單詞、術語（term）、注釋或觀念。

在華人社會，認為此言詞源於唐朝蘇味道：「處事不欲決斷明白，若有錯誤，必貽咎譴，常模稜以持兩端可矣。」(模棱兩可）

如果一個單詞、片語、句子或其他的表達方式擁有一個以上的解釋，就是歧義的。

歧義有別於模糊，模糊是指某個概念難以清楚界定；歧義則可透過定義化解，定義通常取自標準定義、詞典或普遍知識。

* 含糊
* 歧義句構
* 一词多义

## 參考資料
# 證據[编辑]

美国联邦调查局正在采集指纹以收集证据
**证据**（英語：evidence）是指支持某个命题的材料，旨在证明该命题为真理。在知识论中，证据是證成信念或使某种信念态度具有合理性的东西；在科学哲学中，证据是确认或反驳科学假说的观察依据；在法律中，证据是用于确定案件事实的信息。20世纪的哲学家开始研究「证据关系」——即证据与其所支持的命题之间的关系。

证据与所支持陈述之间的关联强度各不相同，从弱相关到不容置疑的证明。关于证据关系的理论试图阐明这一联系的本质。概率论路径认为，某物成为证据的条件是它提高了被支持陈述的概率；假说-演绎模型认为，证据由假说的可观察推论构成；正实例路径则认为，观察语句如果是全称陈述的一个正面实例，即为该陈述的证据。

## 哲学中的证据

### 基本特征

在最宽泛的意义上，证据是支持命题的东西。但在哲学史上，「证据」有时也在较窄的意义上使用：指被视为不容置疑的事实的直观知识。这一含义多见于现象学中，在那里证据被提升为哲学的基本原则之一。

在当代知识论中，证据的核心角色是证成信念。例如，菲比的听觉经验证成了她对「音响已打开」的信念。证据必须为相信者所拥有才能发挥这一作用。大多数哲学家认为，各种心理状态——包括当前有意识的经验和当前无意识的存储信念——都可以作为证据。蒂莫西·威廉姆森提出了「E=K」论题，认为一切证据都是知识，且只有知识才能构成证据。而Conee和Feldman则主张，只有当前的心理状态可以成为证据。

关于证据关系的主要理论有三种。**概率论路径**（贝叶斯确认理论）认为，证据E确认假说H的条件是E的出现提高了H为真的概率。例如，烟雾是起火的证据，因为两者通常同时出现。**假说-演绎模型**则认为，证据是假说的真实可观察推论。但假说本身通常不直接蕴含观察结果，需要辅助假设的参与，因此证据关系实际上是一种三元关系（证据、假说与辅助假设）。**正实例路径**主张，一个观察语句是全称假说的证据，如果该语句描述了这一假说的一个正面实例，例如「这只天鹅是白色的」支持「所有天鹅都是白色的」。

### 现象学中的证据

在现象学中，证据有其专门的含义。埃德蒙德·胡塞尔将证据定义为「自身给予」（Selbstgegebenheit）的直观知识。这与「空意向」相对——后者指我们通过某种意见指涉事态，但没有直观的呈现。因此，证据在现象学中常与一个有争议的论题相联系：它提供了通往真理的直接通道，因而是不容置疑的。胡塞尔因此将证据视为一切哲学的基本原则，期望以此使哲学成为一门严格的科学。

### 科学哲学中的证据

在科学中，证据被理解为确认或反驳科学假说的东西。水星轨道的异常测量值被看作确认爱因斯坦广义相对论的证据。在此，证据扮演着「中立仲裁者」的角色。这意味着科学证据必须是公开的、无争议的，以便竞争理论的拥护者可以就可获得哪些证据达成一致。

然而，科学证据面临两个重要困难。**不确定性问题**指同样的证据可能同等地支持竞争理论。牛顿和爱因斯坦的引力理论在很长一段时间内都得到了来自日常经验的同等的证据支持，直到更多证据的积累才使共识逐渐形成。**理论负载**则指科学家所视为证据的东西本身可能已经包含各种理论假设——不同理论框架下的研究者可能对「什么是证据」本身都无法达成一致。

## 法律中的证据

在法律中，证据的提出与采信首先取决于举证责任的分配。在刑事审判中，控方承担举证责任，证明标准为「超越合理怀疑」；在民事诉讼中，通常由原告承担举证责任，采用「优势证据」标准。证据包括证言、书证、物证等类型。法庭仅采信可采的证据，证据从现场到法庭的路径构成「证据链」。

## 证据的评价

里奥弗里奥（Riofrio 2019）提出了证据的六项**内在特征**：真理（凡明显的即是真实的）、融贯（明显的真理与其他已知真理一致）、必然性（基于必要推理）、简单性（最明显的真理最为简单、自明）、不可怀疑性（明显的真理无需进一步的辩护）、清晰性（明显的真理清楚明白）。另外还有四项**外在特征**：确定性（赋予认知者主观安全感）、自然性（明显的真理被视为自然而然的）、共通性（广泛共享、与常识紧密相连）、丰产性（为其他科学知识提供基础）。

* 科学证据
* 证据 (法律)
* 證成
* 知识论
* 科学哲学

* 扎尔塔, 爱德华·N (编). Evidence. 《斯坦福哲学百科全书》.
# 相關性

**相关性**（relevance）又称**相关度**、**關聯性**、**關聯**，是指一个主题与另一个主题存在某种形式的聯繫，讓人們在考虑第一个主题时會同時聯想到第二个相關的主题。在图书馆学中，特别指被检出的信息与信息用户的需求之间的相关度；在管理科学中，指系统内部各组成部分之间、系统与环境之间所具有的相互依赖、相互作用和相互制约的特性。

相关性的概念在许多不同的领域都有研究，例如認識論、逻辑学以及图书馆信息学。

## 定義

「某事物如果能夠提高完成（任務所暗示）目標的可能性，那麼它就與該任務有相關性。」

不只某件事可能有相關性，一份文件或一則訊息也可能有相關性。所以不論「事物」還是「資訊」都可能有相關性。

* 分心
* 資訊超載
* 直覺主義邏輯
* 關係語義
* 來源批判學
# 可判定性問題[编辑]

**可判定性問題**（德語：Entscheidungsproblem，意為「決策問題」）是數學和計算機科學中的一個基本問題，由德國數學家大衛·希爾伯特和威廉·阿克曼於1928年提出。此問題為是否存在一個通用的方法，能在有限步驟內，判定一個數學命題的真假。

## 语言的可判定性

一个语言 WIKINIUM\_MATH\_PH\_0 ，是一个集合，且其补集为 WIKINIUM\_MATH\_PH\_2 。

当 WIKINIUM\_MATH\_PH\_4 是图灵机可识别时，语言 WIKINIUM\_MATH\_PH\_6 则称为半可判定。

当语言 WIKINIUM\_MATH\_PH\_8 不是图灵机可识别，则为不可判定语言。

**当且仅当 WIKINIUM\_MATH\_PH\_10 和 WIKINIUM\_MATH\_PH\_12 都是图灵机可识别的时候，L才能称为可判定语言。**

## 一般意义上的可判定性

指一个询问真 / 假的问题是否可被回答。若不论一个问题答案为真或为假时均能得出该答案，则称这个问题、或解决该问题时所用的算法为可判定的；若只能在答案为真时得出、但在答案为假时不能做出判断，那么称为半可判定的；若根本不能得出为真或为假的结论，那么称为不可判定的。

## 參考

* 递归集合
* 假死機

## 參考文獻
# 哥德尔完备性定理[编辑]

**哥德尔完备性定理**是数理逻辑中重要的定理，在1929年由库尔特·哥德尔首先证明。它的最熟知的形式声称在一阶谓词演算中所有逻辑上有效的公式都是可以证明的。

上述词语“可证明的”意味着有着这个公式的形式演绎。这种形式演绎是步骤的有限列表，其中每个步骤要么涉及公理要么通过基本推理规则从前面的步骤获得。给定这样一种演绎，它的每个步骤的正确性可以在算法上检验（比如通过计算机或手工）。

如果一个公式在这个公式的语言的所有模型中都为真，它就被称为“逻辑上有效”的。为了形式的陈述哥德尔完备性定理，你必须定义这个上下文中词语“模型”的意义。这是模型论的基本定义。

在另一个方向上，哥德尔完备性定理声称一阶谓词演算的推理规则是“完备的”，在不需要额外的推理规则来证明所有逻辑上有效的公式的意义上。完备性的逆命题是“可靠性”。一阶谓词演算的实情是可靠的，就是说，**只有**逻辑上有效的陈述可以在一阶逻辑中证明，这是可靠性定理断言的。

处理在不同的模型中什么为真的数理逻辑分支叫做模型论。研究在特定形式系统中什么为可以形式证明的分支叫做证明论。完备性定理建立了在这两个分支之间的基本联系。给出了在语义和语形之间的连接。但完备性定理不应当被误解为消除了在这两个概念之间的区别；事实上另一个著名的结果哥德尔不完备定理，证实了对“在数学中什么是形式证明可以完成的”有着固有的限制。不完备定理的名声与另一种意义的“完备”有关，参见模型论。

更一般版本的哥德尔完备性定理成立。它声称对于任何一阶理论*T*和在这个理论中的任何句子*S*，有一个*S*的自*T*的形式演绎，当且仅当*S*被*T*的所有模型满足。这个更一般的定理被隐含使用，例如，在一个句子被证实可以用群论的公理证明的时候，通过考虑一个任意的群并证实这个句子被这个群所满足。完备性定理是一阶逻辑的中心性质，不在所有逻辑中成立。比如二阶逻辑就没有完备性定理。

完备性定理等价于超滤子引理，它是弱形式的选择公理，在不带有选择公理的策梅洛-弗兰克尔集合论中有着等价的可证明性。

## 证明

对定理的最初证明的解释请参见哥德尔完备性定理的最初证明。

在现代逻辑课本中，哥德尔完备性定理通常使用Leon Henkin的证明而不是哥德尔最初的证明。

* 紧致性定理
* 可靠性定理
* 哥德尔定理
* 哥德尔不完备性定理
* 模型论

## 延伸阅读

* Kurt Gödel, "Über die Vollständigkeit des Logikkalküls", doctoral dissertation, University Of Vienna, 1929. This dissertation is the original source of the proof of the completeness theorem.
* Kurt Gödel, "Die Vollständigkeit der Axiome des logischen Funktionen-kalküls", Monatshefte für Mathematik und Physik 37 (1930), 349-360. This article contains the same material as the doctoral dissertation, in a rewritten and shortened form. The proofs are more brief, the explanations more succinct, and the lengthy introduction has been omitted.

* Vilnis Detlovs and Karlis Podnieks, "Introduction to mathematical logic",
# 可靠性定理[编辑]

**可靠性定理**是数理逻辑的最基本结果。它们有关于某个形式逻辑语言与这个语言的形式演绎系统的特定语义理论。可靠性定理有两种主要变体：弱可靠性的和强可靠性的。“强”与“弱”的意义在于，强可靠性考虑句子的任意集合，而与弱可靠性有关的句子的空集是这种集合之一。大多数的演绎系统，强可靠性和弱可靠性都成立，但並非全部的演繹系統都如此。

## 論證可靠性

邏輯論證可靠若且唯若

* 論證有效。
* 所有前提皆已被證實為真。

## 弱可靠性定理

演绎系统的弱可靠性定理声称，在这个演绎系统中任何可证明的句子，在所有释义或这个理论所基于的语言的语义理论的模型上为真。用符号表示，这里的S是演绎系统，而L是语言和一起的它的语义理论，而P是L的句子：若 WIKINIUM\_MATH\_PH\_0 ，则 WIKINIUM\_MATH\_PH\_2 。

## 强可靠性定理

演绎系统的强可靠性定理声称，演绎系统所基于的语言的任何句子P，可以从这个语言的一个句子集合Γ推导出来，则它也是这个集合Γ的语义推论，在使Γ的所有成员为真的任何模型也使P为真的意义上。用符号表示，这里的Γ是L句子的一个集合：若 WIKINIUM\_MATH\_PH\_4 ,则 WIKINIUM\_MATH\_PH\_6 。

## 与完备性定理的联系

可靠性定理的逆命题是语义完备性定理。在强形式下，它声称对于一个演绎系统和语义理论，是一个句子集合的语义推论的任何句子可以在这个演绎系统中从这个集合推导出来。（在一阶完备性定理的情况下常叫做哥德尔完备性定理。）用符号表示：若 WIKINIUM\_MATH\_PH\_8 ，则 WIKINIUM\_MATH\_PH\_10 。

非形式的，演绎系统的可靠性定理告诉我们用这个演绎系统可以推导或证明的任何东西都是你希望能够推导或证明的东西。因此，没有你不想推导出的东西可以被推导出来。所以，推导关于语义可以被信任。完备性告诉我们你希望能被推导或证明的所有东西都可以被推导出来。

哥德尔第一不完备定理保证对于有充分表达力的语言，可能没有演绎系统关于经典语义是完备的，在其中所有句子是要么为真要么为假。因此，不是所有可靠的演绎系统都是完备的。

而可靠性一般被认为是对有价值的演绎系统根本上的最小要求。这是因为如果演绎系统是不可靠的，在这个系统中可以被推导或证明的一个句子不告诉我们关于这个句子的语义性质的任何事情。

* 蕴涵
* 哥德尔完备性定理
* 模型论

## 引用

* Hinman, P. Fundamentals of Mathematical Logic. A K Peters. 2005. ISBN 978-1-56881-262-5.
# 元定理

在邏輯上，**元定理**是一個以元語言的對於形式系統的陳述。和在一個形式系統內證明的定理不同，元定理是在元理論中證明的，且可能涉及元理論中存在、但在對象理論中不存在的概念。

一個形式系統是由元語言和演繹系統（公理及推理規則）所決定的，這形式系統可用於證明系統中以形式語言表達的特定陳述；然而，元定理要以元定理系統以外的事物進行證明，而常見的元定理包括了集合論（尤其在模型論中）及原始歸納算術（尤其在證明論中）等等；此外，比起顯示特定的陳述可證明，元定理更常顯示說一大類的陳述是可證明的，或特定陳述是不可證明的。

## 例子

以下是元定理的一些例子：

* 一階邏輯的演繹定理說一個有著 WIKINIUM\_MATH\_PH\_0 這形式的句子在公理系統 WIKINIUM\_MATH\_PH\_2 中是可證明的，當且僅當句子 WIKINIUM\_MATH\_PH\_4 是可從包含 WIKINIUM\_MATH\_PH\_6 及所有的 WIKINIUM\_MATH\_PH\_8 的公理的公理系統中證明的。
* 馮·諾伊曼-博內斯-哥德爾集合論的類存在性定理（class existence theorem）說對於任意量詞僅及於集合的公式，總存在一個包含集合的類滿足這公式。
* 皮亞諾公理之類的系統的一致性證明。

* 元數學
* 使用-提及區別

## 參考資料

* Geoffrey Hunter (1969), *Metalogic*.
* Alasdair Urquhart (2002), "Metatheory", *A companion to philosophical logic*, Dale Jacquette (ed.), p. 307

* *Meta-theorem* at Encyclopaedia of Mathematics
* WIKINIUM\_MATH\_PH\_10
# 类型和个例的区别

尽管这群鸟是一个“类型”，但每一只鸟都是一个“个例”。（50 MB视频，鸟群在罗马）
**类型与个例的区别**（英語：type-token difference）是指，物体的一个“类”（class）和类中个体的诸多“个例”（instances）之间的差别。一个类型可以对应很多个例，所以整体上个例比类型要多。例如“花是花是花”这句话（如果算一句话的话），有两个类型“花”和“是”，却有五个个例“花”“是”“花”“是”“花”。 这一区分十分重要，涉及逻辑，语言学，元逻辑学，字体排印学和程序设计。

## 概述

“他们开同样的车”这句话是模糊的：他们开的是同“类型”的车（同一品牌），还是同“个例”的车（仅仅一辆车）？清晰性要求我们区分这两者，表示抽象类型和表示实例的个例。而正是类型与个例的区别，使我们能够区分。

例如，“自行车”是一个类型：自行车的概念；“我的自行车”就是这个类型的一个个例。“自行车越来越流行了”这句话中，自行车是类型；“自行车在车库里”，自行车就又变成了个例，变成了特殊的对象。

程序设计中，类和对象是相关的，虽然就语境来说，“类”有时也能指一组对象（带有类级别的属性），而不是单单对这组对象中的一个对象的描述。

像“类型”、“概念”、“性质”、“特征”、“属性”这类词，在描述事物时，通常和不同的动词组成句子。例如，假设一朵花时“美的”、“带刺的”、“香的”。您可能会说，花**例示**了这三个性质，或者**具象化**了这三个概念，或者**拥有**这三个特性、特征或属性。

性质类型（例如，带刺的）通常被本体论理解为概念。性质的实例（例如，刺=3cm）有是被理解为经测量的值，或者是对现实的感觉和观察。

有些“类型”只存在于对于对象的描述中，而不是有形物体中。一个人可以展示一辆特定的车，却不能展示“车”的类型（即“车很流行”中的车）。

* 类 (哲学)
* 形式主义
* Is-a
* 地图非疆域
* 心智模型
* 普遍性问题
* 类型论
* 类型物理主义

## 参考资料

### 来源

* Baggin J., and Fosl, P. (2003) *The Philosopher's Toolkit*. Blackwell: 171-73. ISBN 978-0-631-22874-5.
* Peper F., Lee J., Adachi S., Isokawa T. (2004) *Token-Based Computing on Nanometer Scales*, Proceedings of the ToBaCo 2004 Workshop on Token Based Computing, Vol.1 pp. 1–18.

* 史丹佛哲學百科全書: "Types and Tokens （页面存档备份，存于互联网档案馆）" by Linda Wetzel.