# 模糊集[编辑]

**模糊集**是模糊数学上的一个基本概念，是数学上普通集合的扩展。

## 定义

给定一个论域 WIKINIUM\_MATH\_PH\_0 ，那么从 WIKINIUM\_MATH\_PH\_2 到单位区间 WIKINIUM\_MATH\_PH\_4 的一个映射 WIKINIUM\_MATH\_PH\_6 称为 WIKINIUM\_MATH\_PH\_8 上的一个**模糊集**，或 WIKINIUM\_MATH\_PH\_10 的一个**模糊子集**。

## 表示

模糊集可以记为 WIKINIUM\_MATH\_PH\_12 。映射（函数） WIKINIUM\_MATH\_PH\_14 或简记为 WIKINIUM\_MATH\_PH\_16 叫做模糊集 WIKINIUM\_MATH\_PH\_18 的隶属函数。对于每个 WIKINIUM\_MATH\_PH\_20 ， WIKINIUM\_MATH\_PH\_22 叫做元素 WIKINIUM\_MATH\_PH\_24 对模糊集 WIKINIUM\_MATH\_PH\_26 的**隶属度**。

模糊集的常用表示法有下述几种：

1. 解析法，也即给出隶属函数的具体表达式。
2. Zadeh记法，例如 WIKINIUM\_MATH\_PH\_28 。分母是论域中的元素，分子是该元素对应的隶属度。有时候，若隶属度为0，该项可以忽略不写。
3. 序偶法，例如 WIKINIUM\_MATH\_PH\_30 ，序偶对的前者是论域中的元素，后者是该元素对应的隶属度。
4. 向量法，在有限论域的场合，给论域中元素规定一个表达的顺序，那么可以将上述序偶法简写为隶属度的向量式，如 WIKINIUM\_MATH\_PH\_32 。

## 和传统集合的关系

和傳統的集合一樣，**模糊集**也有它的元素，但可以談論每個元素屬於該模糊集的**程度**，其從低至高一般用 0 到 1 之間的數來表示。模糊集理論是由盧菲特·澤德（1965）所引進的，是經典集合論的一種推廣。在經典的集合論中，所謂的二分條件規定每個元素只能**屬於**或**不屬於**某個集合（因此模糊集不是集合）；可以說，每個元素對每個集合的**歸屬性**（membership）都只能是 0 或 1。而每模糊集則擁有一個歸屬函數（membership function），其值允許取閉區間 WIKINIUM\_MATH\_PH\_34 （單位區間）中的任何實數，用來表示元素對該集的歸屬程度。比如設某模糊集 WIKINIUM\_MATH\_PH\_36 的歸屬函數為 WIKINIUM\_MATH\_PH\_38 ，而 WIKINIUM\_MATH\_PH\_40 、 WIKINIUM\_MATH\_PH\_42 、 WIKINIUM\_MATH\_PH\_44 為三個元素；如果 WIKINIUM\_MATH\_PH\_46 ， WIKINIUM\_MATH\_PH\_48 ， WIKINIUM\_MATH\_PH\_50 ，則可以說 「 WIKINIUM\_MATH\_PH\_52 完全屬於 WIKINIUM\_MATH\_PH\_54 」，「 WIKINIUM\_MATH\_PH\_56 完全不屬於 WIKINIUM\_MATH\_PH\_58 」，「 WIKINIUM\_MATH\_PH\_60 對 WIKINIUM\_MATH\_PH\_62 的歸屬度為 WIKINIUM\_MATH\_PH\_64 」（注意没有說「 *WIKINIUM\_MATH\_PH\_66* 有一半屬於 *WIKINIUM\_MATH\_PH\_68* 」，因為尚未規定 WIKINIUM\_MATH\_PH\_70 的歸屬度具有甚麼特殊含義）。作為特例，當歸屬函數的值只能取 0 或 1 時，就得到了傳統集合論常用的指示函数（indicator function）。傳統集合在模糊集理論中通常稱作「明確集」（crisp set）。

### 截集与截积

设 WIKINIUM\_MATH\_PH\_72 为 WIKINIUM\_MATH\_PH\_74 上的模糊集（记作 WIKINIUM\_MATH\_PH\_76 ），任取 WIKINIUM\_MATH\_PH\_78 ，则

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_80 ，
称 WIKINIUM\_MATH\_PH\_82 为 WIKINIUM\_MATH\_PH\_84 的 WIKINIUM\_MATH\_PH\_86 **截集**，而 WIKINIUM\_MATH\_PH\_88 称为阈值或置信水平。将上式中的 WIKINIUM\_MATH\_PH\_90 替换为 WIKINIUM\_MATH\_PH\_92 ，记为 WIKINIUM\_MATH\_PH\_94 ，称为**强截集**。

截集和强截集都是经典集合。此外，显然 WIKINIUM\_MATH\_PH\_96 为 WIKINIUM\_MATH\_PH\_98 的**核**，即 WIKINIUM\_MATH\_PH\_100 ；如果 WIKINIUM\_MATH\_PH\_102 ，则称 WIKINIUM\_MATH\_PH\_104 为正规模糊集，否则称为非正规模糊集。

截积是数与模糊集的积：

设 WIKINIUM\_MATH\_PH\_106 ， WIKINIUM\_MATH\_PH\_108 ，则 WIKINIUM\_MATH\_PH\_110 ， WIKINIUM\_MATH\_PH\_112 与 WIKINIUM\_MATH\_PH\_114 的**截积**（或称为 WIKINIUM\_MATH\_PH\_116 截集的**数乘**，记为 WIKINIUM\_MATH\_PH\_118 ）定义为：

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_120
根据定义，截积仍是 WIKINIUM\_MATH\_PH\_122 上的模糊集合。

### 分解定理与表现定理

**分解定理**：

设 WIKINIUM\_MATH\_PH\_124 ，则

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_126

即任一模糊集 WIKINIUM\_MATH\_PH\_128 都可以表达为一族简单模糊集 WIKINIUM\_MATH\_PH\_130 的并。也即，一个模糊集可以由其自身分解出的集合套而“拼成”。

**表现定理**：

设 WIKINIUM\_MATH\_PH\_132 为 WIKINIUM\_MATH\_PH\_134 上的任何一个集合套，则

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_136

是 WIKINIUM\_MATH\_PH\_138 上的一个模糊集，且 WIKINIUM\_MATH\_PH\_140 ，有

（1） WIKINIUM\_MATH\_PH\_142

（2） WIKINIUM\_MATH\_PH\_144

即任一集合套都能拼成一个模糊集。

## 模糊度

一个模糊集 WIKINIUM\_MATH\_PH\_146 的模糊度衡量、反映了 *A* 的模糊程度，一个直观的定义是这样的：

设映射 WIKINIUM\_MATH\_PH\_148 满足下述5条性质：

1. 清晰性： WIKINIUM\_MATH\_PH\_150 当且仅当 WIKINIUM\_MATH\_PH\_152 。（经典集的模糊度恒为0。）
2. 模糊性： WIKINIUM\_MATH\_PH\_154 当且仅当 WIKINIUM\_MATH\_PH\_156 有 WIKINIUM\_MATH\_PH\_158 。（隶属度都为0.5的模糊集最模糊。）
3. 单调性： WIKINIUM\_MATH\_PH\_160 ，若 WIKINIUM\_MATH\_PH\_162 ，或者 WIKINIUM\_MATH\_PH\_164 ，则 WIKINIUM\_MATH\_PH\_166 。
4. 对称性： WIKINIUM\_MATH\_PH\_168 ，有 WIKINIUM\_MATH\_PH\_170 。（补集的模糊度相等。）
5. 可加性： WIKINIUM\_MATH\_PH\_172 。

则称 WIKINIUM\_MATH\_PH\_174 是定义在 WIKINIUM\_MATH\_PH\_176 上的**模糊度函数**，而 WIKINIUM\_MATH\_PH\_178 为模糊集 WIKINIUM\_MATH\_PH\_180 的**模糊度**。

可以证明符合上述定义的模糊度是存在的，一个常用的公式（分别针对有限和无限论域）就是
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_182
其中 WIKINIUM\_MATH\_PH\_184 是参数，称为 Minkowski 模糊度。特别地，当 WIKINIUM\_MATH\_PH\_186 的时候称为 Hamming 模糊度或 Kaufmann 模糊指标，当 WIKINIUM\_MATH\_PH\_188 的时候称为 Euclid 模糊度。

### 模糊測度(Fuzzy measures)

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_190 是輿集 WIKINIUM\_MATH\_PH\_192 的一種。

用 WIKINIUM\_MATH\_PH\_194 函數定義 WIKINIUM\_MATH\_PH\_196 ，包含下列3項特性稱為模糊測度:

① WIKINIUM\_MATH\_PH\_198

--- WIKINIUM\_MATH\_PH\_200 函數代0值，表示沒有值為空值，用數學0來表示。 WIKINIUM\_MATH\_PH\_202 函數代 WIKINIUM\_MATH\_PH\_204 表示輿集全部帶進去了塞滿了，用1表示塞滿。

②若 WIKINIUM\_MATH\_PH\_206 和 WIKINIUM\_MATH\_PH\_208 , 則 WIKINIUM\_MATH\_PH\_210 .

--- WIKINIUM\_MATH\_PH\_212 是屬於 WIKINIUM\_MATH\_PH\_214 的一部分， WIKINIUM\_MATH\_PH\_216 在 WIKINIUM\_MATH\_PH\_218 裡面也可能跟 WIKINIUM\_MATH\_PH\_220 一樣大，則 WIKINIUM\_MATH\_PH\_222

③If WIKINIUM\_MATH\_PH\_224 ∈ WIKINIUM\_MATH\_PH\_226 , WIKINIUM\_MATH\_PH\_228 ⊆ WIKINIUM\_MATH\_PH\_230 ⊆…,then WIKINIUM\_MATH\_PH\_232

---當 WIKINIUM\_MATH\_PH\_234 屬於 WIKINIUM\_MATH\_PH\_236 同時 WIKINIUM\_MATH\_PH\_238 包含於 WIKINIUM\_MATH\_PH\_240 ，則將 WIKINIUM\_MATH\_PH\_242 代入 WIKINIUM\_MATH\_PH\_244 函數趨小所得的值等同於先趨小 WIKINIUM\_MATH\_PH\_246 再代入 WIKINIUM\_MATH\_PH\_248 函數所求得的值。

### 模糊量測(measures of fuzziness)

## 模糊集的运算

### 各种算子

* Zadeh 算子， WIKINIUM\_MATH\_PH\_250 即为并， WIKINIUM\_MATH\_PH\_252 即为交

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_254

* 代数算子（概率和、代数积）

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_256

* 有界算子

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_258

* Einstein 算子

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_260

* Hamacher 算子，其中 WIKINIUM\_MATH\_PH\_262 是参数，等于1时转化为代数算子，等于2时转化为 Einstein 算子

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_264

* Yager 算子，其中 WIKINIUM\_MATH\_PH\_266 是参数，等于1时转化为有界算子，趋于无穷时转化为 Zadeh 算子

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_268

* WIKINIUM\_MATH\_PH\_270 算子，其中 WIKINIUM\_MATH\_PH\_272 是参数

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_274

* Dobois-Prade 算子，其中 WIKINIUM\_MATH\_PH\_276 是参数

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_278

### 算子的性质

参见集合代数和布尔代数。

主要算子的性质对比表如下（`.`表示不满足，`-`表示未验证）：

| 算子 | 结合律 | 交换律 | 分配律 | 互补律 | 同一律 | 幂等律 | 支配律 | 吸收律 | 双重否定律 | 德·摩根律
 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| Zedah
 | √ | √ | √ | . | √ | √ | √ | √ | √ | √
 |
| 代数
 | √ | √ | . | . | √ | . | √ | . | - | √
 |
| 有界
 | √ | √ | . | √ | √ | . | √ | √ | - | √
 |

线性补偿是指： WIKINIUM\_MATH\_PH\_280

| 算子的并运算 | 幂等律 | 排中律 | 分配律 | 结合律 | 线性补偿
 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| Zadeh
 | √ | . | √ | √ | .
 |
| 代数
 | . | . | . | √ | .
 |
| 有界
 | . | √ | . | . | √
 |
| Hamacher *r* = 0
 | . | . | . | √ | .
 |
| Yager
 | . | . | . | √ | .
 |
| Hamacher
 | . | . | . | √ | .
 |
| Dobois-Prade
 | . | . | . | √ | .
 |

## 模糊集之间的距离

### 使用度量理论

可以使用一般的度量理论来描述模糊集之间的距离。在这个意义上，我们需要在模糊幂集 WIKINIUM\_MATH\_PH\_282 上建立一个度量，此外，我们还可能需要将此度量标准化，也即映射到 WIKINIUM\_MATH\_PH\_284 区间上。例如可以这样来标准化 Minkowski 距离：

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_286
### 贴近度

另一种是使用贴近度概念。在某种意义上，贴近度就是 1 - *距离*（这里的距离是上述标准化意义上的距离）。而之所以应用这个变换，是考虑到“度”的概念的直觉反映——距离越近，贴近的程度显然越“高”，因此它恰为距离的反数。

除了距离外，还有一些与模糊集的特殊操作有关系的贴近度定义。

* 最大最小贴近度

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_288
* 算术平均最小贴近度

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_290
* 几何平均最小贴近度

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_292
* 指数贴近度

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_294

* 粗集合
* 解模糊

## 參考文獻