# 几何中心

三角形的中心
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_0 维空间中一个对象 WIKINIUM\_MATH\_PH\_2 的**几何中心**或**形心**是将 WIKINIUM\_MATH\_PH\_4 分成矩相等的两部分的所有超平面的交点。非正式地说，它是 WIKINIUM\_MATH\_PH\_6 中所有点的平均。如果一個物件質量分佈平均，形心便是**重心**。

如果一个对象具有一致的密度，或者其形状和密度具有某种对称性足以确定几何中心，那么它的几何中心和质量中心重合，该条件是充分但不是必要的。

有限个点总存在几何中心，可以通过计算这些点的每个坐标分量的算术平均值得到。这个中心是空间中一点到这有限个点距离的平方和的唯一最小值点。点集的几何中心在仿射变换下保持不变。

## 性質

一个凸对象的几何中心总在其内部。一个非凸对象的几何中心可能在外部，比如一个环或碗的几何中心不在内部。

## 三角形的中心

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**形心**是三角形的幾何中心，是指三角形的三條中线（頂點和對邊的中點的連線）交點。

### 三條中線共點證明

三條中線共點證明
用塞瓦定理逆定理可以直接證出：

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_8
因此三線共點。

中心分每条中线比为2:1，这就是说距一边的距离是该边相对顶点距该边的 WIKINIUM\_MATH\_PH\_10 。如右图所示：

如果三角形是由均匀材料做成的薄片，那么几何中心也就是质量中心。它的笛卡尔坐标是三个顶点的坐标算术平均值。也就是说，如果三顶点位于 WIKINIUM\_MATH\_PH\_12 ， WIKINIUM\_MATH\_PH\_14 ，和 WIKINIUM\_MATH\_PH\_16 ，那么几何中心位于：

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_18

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### 中心分中线为2:1的证明

设三角形*ABC*的中线 WIKINIUM\_MATH\_PH\_20 ，*BE*和*CF*交于三角形的中心*G*，延长*AD*至点*O*使得

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_22
那么三角形*AGE*和*AOC* 相似（公共角*A*，*AO* = 2 *AG*，*AC* = 2 *AE*），所以*OC*平行于*GE*。但是*GE*是*BG*的延长，所以*OC*平行于*BG*。同样的，*OB*平行于*CG*。

从而图形*GBOC*是一个平行四边形。因为平行四边形对角线互相平分，对角线*GO*和*BC*的交点使得*GD* = *DO*，这样

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_24
所以， WIKINIUM\_MATH\_PH\_26 ，或 WIKINIUM\_MATH\_PH\_28 ，这对任何中线都成立。

### 性質

* 三角形的重心與三頂點連線，所形成的三個三角形面積相等。
* 頂點到重心的距離是中線的 WIKINIUM\_MATH\_PH\_30 。
* 外心 WIKINIUM\_MATH\_PH\_32 、重心 WIKINIUM\_MATH\_PH\_34 、九點圓圓心 WIKINIUM\_MATH\_PH\_36 、垂心 WIKINIUM\_MATH\_PH\_38 四點依次序共線，其中 WIKINIUM\_MATH\_PH\_40 ，此線稱為歐拉線。
* 內心 WIKINIUM\_MATH\_PH\_42 、重心 WIKINIUM\_MATH\_PH\_44 、斯俾克心 WIKINIUM\_MATH\_PH\_46 、奈格爾點 WIKINIUM\_MATH\_PH\_48 四點依次序共線，其中 WIKINIUM\_MATH\_PH\_50 ，此線稱為奈格爾線。
* 三角形的重心同時也是中點三角形的重心。
* 在直角座標系中，若頂點的座標分別為 WIKINIUM\_MATH\_PH\_52 、 WIKINIUM\_MATH\_PH\_54 、 WIKINIUM\_MATH\_PH\_56 ，則重心的座標為：

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_58
* 三線坐標中、重心的座標為：

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_60
* 重心坐標中、重心的座標為：

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_62
* 三角形的重心的等截共轭点也是三角形重心自己。
* 三角形的重心的等角共轭点称为类似重心。

## 四面体的中心

类似三角形的中心的结论对四面体也成立，四面体的几何中心是所有顶点和相对平面中心的连线的交点。这些线段被中心分成3:1。这个结论能自然推广到任何 WIKINIUM\_MATH\_PH\_64 -维单形。如果单形的顶点集是 WIKINIUM\_MATH\_PH\_66 ，将这些顶点看成向量，几何中心位于：

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_68
## 多边形的中心

一个由 WIKINIUM\_MATH\_PH\_70 个顶点 WIKINIUM\_MATH\_PH\_72 确定的不自交闭多边形的中心能如下计算：

记号 WIKINIUM\_MATH\_PH\_74 与顶点 WIKINIUM\_MATH\_PH\_76 相同。多边形的面积为：

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_78
多边形的中心由下式给出：

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_80
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_82
## 有限点集的中心

给定有限点集 WIKINIUM\_MATH\_PH\_84 属于 WIKINIUM\_MATH\_PH\_86 ，它们的中心定义 WIKINIUM\_MATH\_PH\_88 为

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_90 。
## 面积中心

面积中心和质量中心非常类似，面积中心只取决于图形的几何形状。如果物体是均匀的，质量中心将位于面积中心。

对于两部分组成的图形，将有如下等式：

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_92
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_94 是特定部分的面积中心到所选参考系的距离。 WIKINIUM\_MATH\_PH\_96 是特定部分的面积。

当一个复杂几何图形可以分成一些已知的简单几何图形时，先计算各部分的面积中心，然后通过下面一般的公式计算整个图形的面积中心：

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_98
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_100
这里从*y*-轴到中心的距离是 WIKINIUM\_MATH\_PH\_102 ，从*x*-轴到中心的距离是 WIKINIUM\_MATH\_PH\_104 ，中心的坐标是 WIKINIUM\_MATH\_PH\_106 。

## 积分公式

一个平面图形的中心的横坐标（*x*轴）由积分

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_108 给出。
这里 WIKINIUM\_MATH\_PH\_110 是对象位于在横坐标*x*点*y*轴上的长度，是在*x*图形的测度。这个公式能由区域关于*y*-轴的第一矩得出。

这个过程等价于取加权平均。假设*y*-轴表示频率，*x*-轴表示欲求平均值的变量，那么沿着*x*-轴的中心即 WIKINIUM\_MATH\_PH\_112 。从而中心可以想象成表示特定形状的许多无限小元的加权平均。

对任意维数 WIKINIUM\_MATH\_PH\_114 ，由相同的公式得出 WIKINIUM\_MATH\_PH\_116 中一个对象的中心第一个坐标，假设 WIKINIUM\_MATH\_PH\_118 是对象在坐标*x*的截面（也就是说，对象中第一个坐标为*x*的所有点的集合）的 WIKINIUM\_MATH\_PH\_120 -维测度。

注意到分母恰是对象的*n*- 维测度。特别的，在 WIKINIUM\_MATH\_PH\_122 为正规时，即分母为1，中心也称为 WIKINIUM\_MATH\_PH\_124 的平均。

当对象的测度为0或者积分发散，这个公式无效。

## 圆锥和棱锥的中心

圆锥或棱锥的中心位于连接顶点和底的中心的线段上，分比为3:1。

## 对称中心

如果中心确定了，那么中心是所有它对称群的不动点。从而对称能全部或部分确定中心，取决于对称的种类。另外可以知道，如果一个对象具有传递对称性，那么它的中心是不确定的或不在内部，因为一个传递变换群没有不动点。

## 地理中心

地理学中，地球表面一个区域的几何中心也称为地理中心。

* 重心列表
* 帕普斯中心定理
* K-平均算法
* 中點
* 外心
* 內心
* 垂心
* 奈格爾點
* 类似中线
* 歐拉線
* 西瓦定理

* *Encyclopedia of Triangle Centers* by Clark Kimberling. The centroid is indexed as X (2).
* Triangle centers（页面存档备份，存于互联网档案馆） by Antonio Gutierrez from Geometry Step by Step from the Land of the Incas.
* Characteristic Property of Centroid（页面存档备份，存于互联网档案馆） at cut-the-knot
* Barycentric Coordinates（页面存档备份，存于互联网档案馆） at cut-the-knot
* Online Tool to Compute Center of Mass bounded by f (x) and g (x) （页面存档备份，存于互联网档案馆）
* Interactive animations showing Centroid of a triangle（页面存档备份，存于互联网档案馆） and Centroid construction with compass and straightedge（页面存档备份，存于互联网档案馆）