# 双椭圆转移[编辑]

从星球低轨（蓝色）到高轨（红色）的双椭圆转移。在1处的切向加速会使航天器轨迹变为绿色的半椭圆。2 处的切向加速使轨迹变为橙色的半椭圆。3 处的切向减速使航天器到达目标轨道

在航天科学中，**双椭圆转移**是一种将航天器从一个轨道移动到另一个轨道的轨道机动，在某些情况下，消耗的ΔV（速度变化量，用以衡量一个航天器的机动能力）可能比霍曼转移更少。

双椭圆转移的轨迹由两个半椭圆组成。航天器在初始轨道的第一次加速会将航天器推进到第一个转移轨道，该轨道的远拱点（距离星球中心最远的点）为 WIKINIUM\_MATH\_PH\_0 。当航天器到达该点时，进行第二次加速，让轨道的近拱点抬升到目标轨道。航天器到达近拱点后，开始减速（大氣減速或點火），降低远拱点，最终到达目标轨道。

虽然这种转移方法和霍曼转移相比，需要更多的发动机点火次数，并且通常需要更长的时间，但是当最终轨道与初始轨道的半长轴长度之比大于等于 11.94 时，如果所选择的中间轨道的远点适当，则双椭圆转移需要的总ΔV比霍曼转移要低。

双椭圆转移轨道的思路由阿里·斯滕菲尔德于1934年提出。

## 计算

### ΔV

双椭圆转移的三次机动所需的速度变化量可以直接由活力公式得到：

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_2
其中

* WIKINIUM\_MATH\_PH\_4 为轨道物体（航天器）的速度，
* WIKINIUM\_MATH\_PH\_6 为星体的标准重力参数，
* WIKINIUM\_MATH\_PH\_8 为轨道物体与星体的距离，即轨道半径，
* WIKINIUM\_MATH\_PH\_10 为当前轨道的半长轴。

然后，定义

* WIKINIUM\_MATH\_PH\_12 为初始圆轨道的半径，
* WIKINIUM\_MATH\_PH\_14 为最终圆轨道的半径，
* WIKINIUM\_MATH\_PH\_16 为两个椭圆转移轨道的公共远拱点半径，是机动的自由参数，
* WIKINIUM\_MATH\_PH\_18 和 WIKINIUM\_MATH\_PH\_20 是两个椭圆转移轨道的半长轴，由下式计算得出： WIKINIUM\_MATH\_PH\_22 ， WIKINIUM\_MATH\_PH\_24 。

从半径为 WIKINIUM\_MATH\_PH\_26 的初始圆轨道开始（右图中深蓝色圆圈），切向加速（图中标记 1）使航天器进入第一个椭圆转移轨道（浅绿色半椭圆）。这次加速所需的ΔV的大小是

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_28 。
第一个转移轨道的远拱点抵达之后（此时据星球中心距离为 WIKINIUM\_MATH\_PH\_30 ），第二次切向加速（标记 2）提升轨道的近拱点，使其与目标轨道的半径相匹配，让航天器进入第二个椭圆轨道（橙色半椭圆）。第二次切向加速所需的ΔV的大小为

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_32 。
最后，航天器到达轨道近拱点（与星球中心距离为 WIKINIUM\_MATH\_PH\_34 ）后，切向减速（标记 3）圆化轨道，进入目标轨道（红色圆圈）。最后的切向减速需要的ΔV的大小为

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_36 。
如果 WIKINIUM\_MATH\_PH\_38 ，转移将退化为霍曼转移（在这种情况下 WIKINIUM\_MATH\_PH\_40 为零）。因此，双椭圆转移是一类更一般的轨道转移，霍曼转移是一种仅需两次机动的特殊情况。

从圆形低轨（深蓝色）到圆形高轨（红色）的双抛物线转移
可以通过假设 WIKINIUM\_MATH\_PH\_42 来计算最多能节省多少 WIKINIUM\_MATH\_PH\_44 ，此时总 WIKINIUM\_MATH\_PH\_46 为 WIKINIUM\_MATH\_PH\_48 。这种转移也被称为双抛物线转移，因为两个转移轨道不再是椭圆而是抛物线，转移时间也增加到无穷大。

### 转移时间

与霍曼转移相同，双椭圆转移中使用的两个转移轨道恰好都是半椭圆。这意味着两次转移的所需时间都是整个椭圆转移轨道周期的一半。

使用轨道周期方程和上面的符号定义，

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_50 ，
总转移时间 WIKINIUM\_MATH\_PH\_52 是两个半椭圆轨道所需时间的总和，所以：

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_54 ， WIKINIUM\_MATH\_PH\_56 ， WIKINIUM\_MATH\_PH\_58 。
## 与霍曼转移的比较

### ΔV方面

 霍曼转移（粗黑色曲线）双椭圆转移（彩色曲线）所需的ΔV，横轴为目标轨道和初始轨道半径之比
图中显示了两种转移方法从半径为 WIKINIUM\_MATH\_PH\_60 的圆形轨道转移到另一个半径为 WIKINIUM\_MATH\_PH\_62 的圆形轨道所需的总 WIKINIUM\_MATH\_PH\_64 。纵轴为 WIKINIUM\_MATH\_PH\_66 ，即用 WIKINIUM\_MATH\_PH\_68 归一化 WIKINIUM\_MATH\_PH\_70 ；横轴为为最终轨道和初始轨道的半径之比， WIKINIUM\_MATH\_PH\_72 。这样处理的目的是使各种转移方式比较具有一般性（即不依赖于具体的 WIKINIUM\_MATH\_PH\_74 、 WIKINIUM\_MATH\_PH\_76 、 WIKINIUM\_MATH\_PH\_78 和 WIKINIUM\_MATH\_PH\_80 ，仅与它们的比率有关）。

粗黑曲线表示霍曼转移的所需 WIKINIUM\_MATH\_PH\_82 ，而较细的彩色曲线对应于具有不同参数 WIKINIUM\_MATH\_PH\_84 的双椭圆转移，其中 WIKINIUM\_MATH\_PH\_86 ，为中间轨道远点半径 WIKINIUM\_MATH\_PH\_88 和初始轨道的半径之比，并在曲线旁边标出。图中突出了双椭圆转移的曲线第一次与霍曼转移的曲线相交的区域。

可以看到，如果半径之比 WIKINIUM\_MATH\_PH\_90 小于 11.94，霍曼转移更加有效率。另一方面，如果最终轨道的半径比初始轨道的半径大 15.58 倍以上，那么任何双椭圆转移，无论其远点半径是多少，只要它大于最终轨道的半径，就比霍曼转移需要更少的 WIKINIUM\_MATH\_PH\_92 。比值在 11.94 和 15.58 之间时，哪个转移方式更好取决于远点距离 WIKINIUM\_MATH\_PH\_94 。对于在这个范围内的 WIKINIUM\_MATH\_PH\_96 ，存在一个值， WIKINIUM\_MATH\_PH\_98 高于它时双椭圆转移更加优越，低于它时霍曼转移是更好的。下表列出每個情況下，有哪些 WIKINIUM\_MATH\_PH\_100 ，使双椭圆转移優於霍曼转移。

使双椭圆转移需要更少 WIKINIUM\_MATH\_PH\_102 的 WIKINIUM\_MATH\_PH\_104 的下限
| 半径比 WIKINIUM\_MATH\_PH\_106
 | 最小的 WIKINIUM\_MATH\_PH\_108
 | 注释
 |
| --- | --- | --- |
| <11.94 | 不適用
 | 霍曼转移更加有效
 |
| 11.94
 |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_110
 | 相当于双抛物线转移
 |
| 12
 | 815.81
 |  |
| 13
 | 48.90
 |  |
| 14
 | 26.10
 |  |
| 15
 | 18.19
 |  |
| 15.58
 | 15.58
 |  |
| >15.58
 |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_112
 | 任何双椭圆转移都更有效
 |

### 转移时间

双椭圆转移所需要的更长转移时间
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_114
是这种转移方式的主要缺点。对于双抛物线转移的极限情况，所需时间甚至变为无穷大。

霍曼转移花费的时间不到一半，因为它的转移轨道只有一个半椭圆，更准确的计算为
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_116 。

### 组合机动的多功能性

虽然双椭圆转移在半径之比有限制的情况下，比霍曼转移更加节省ΔV，但节省的幅度相当小，双椭圆转移与一些其他的机动组合起来更加有优势。

在远点时，航天器的轨道速度较低，并可以以较小的ΔV成本实现近点的显著变化。同时，也可以以较小的ΔV变化轨道倾角。在远点将两种操作组合起来，比先改变半径再改变倾角的方式，显著地节省ΔV。

同样地，若想将轨道近点降入行星的大气层，以进行大气制动，减小速度，在远点也只需很小的ΔV，但之後可以用大气的“免费”阻力来降低远点；尽管事後要增加一次额外的机动，将近点重新抬离大气层，但在某些条件下，这樣的开销可能遠低於简单地用類似霍曼转移的方式降低轨道半径。

## 样例

从半径为*r*0 = 6700 km的圆形近地轨道转移到半径为*r*1 = 93 800 km的轨道，使用霍曼转移需要的Δv为2825.02 + 1308.70 = 4133.72 m/s。然而，因为*r*1 = 14*r*0 > 11.94*r*0，所以使用双椭圆转移可以做得更好。如果航天器先在近地轨道将速度增加3061.04 m/s，让远地点变为*r*2 = 40*r*0 = 268 000 km，然后在远地点将速度增加608.825 m/s，使近地点半径变为*r*1 = 93 800 km ，最后第二个转移轨道的近地点将速度降低447.662 m/s以圆化轨道，那么总的Δv将只有 4117.53 m/s，比霍曼转移方案小了16.19 m/s (0.4%)。

可以通过增加中间轨道的远地点来进一步增加Δv的节省量，但代价是转移时间的进一步延长。当远地点为75.8*r*0 = 507 688 km （地月距离的 1.3 倍）时，双椭圆转移将比霍曼转移节省 1%Δv，但需要 17 天的时间。当远地点为1757*r*0 = 11 770 000 km （到月球距离的 30 倍）时，双椭圆转移将比霍曼转移节省2%的Δv，但转移将需要 4.5 年（并且在转移过程中会受到其他太阳系天体的引力影响，相当不切实际）。相比之下，霍曼转移只需要 15 小时 34 分钟。

多种轨道转移方式的Δv
| 类型
 | 霍曼转移
 | 双椭圆转移
 |
| --- | --- | --- |
| 远地点 (km)
 | 93 800
 | 268 000
 | 507 688
 | 11 770 000
 | ∞
 |
| 速度改变量 (m/s)
 | 1
 | ▲ 2825.02
 | ▲ 3061.04
 | ▲ 3123.62
 | ▲ 3191.79
 | ▲ 3194.89
 |
| 2
 | ▲ 1308.70
 | ▲ 608.825
 | ▲ 351.836
 | ▲ 16.9336
 |  ━  0
 |
| 3
 |  ━  0
 | ▼ 447.662
 | ▼ 616.926
 | ▼ 842.322
 | ▼ 853.870
 |
| 总和(m/s)
 | 4133.72
 | 4117.53
 | 4092.38
 | 4051.04
 | 4048.76
 |
| 与霍曼转移比较
 | 100%
 | 99.6%
 | 99.0%
 | 98.0%
 | 97.94%
 |

* ▲ Δv 表示切向加速
* ▼ Δv 表示切向减速
显然，双椭圆轨道在第一次加速中花费了更多的Δv。这对轨道能量产生了更高的影响，即奥伯特效应，导致了所需Δv的减少。

* 霍曼转移
* 奥伯特效应