# 李雅普诺夫稳定性[编辑]

當啟始點在區域V內，而軌跡均維持在區域U內（在 WIKINIUM\_MATH\_PH\_0 附近），則系統在 WIKINIUM\_MATH\_PH\_2 處為李雅普诺夫稳定
在数学和自动控制领域中，**李雅普诺夫稳定性**（英語：**Lyapunov stability**，或**李亞普诺夫稳定性**）可用來描述一個动力系统的穩定性。如果此动力系统任何初始條件在 WIKINIUM\_MATH\_PH\_4 附近的軌跡均能維持在 WIKINIUM\_MATH\_PH\_6 附近，那么该系统可以称为在 WIKINIUM\_MATH\_PH\_8 處**李雅普诺夫稳定**。

若任何初始條件在 WIKINIUM\_MATH\_PH\_10 附近的軌跡最後都趨近 WIKINIUM\_MATH\_PH\_12 ，那么该系统可以称为在 WIKINIUM\_MATH\_PH\_14 處**漸近稳定**。指數穩定可用來保證系統最小的衰減速率，也可以估計軌跡收斂的快慢。

李雅普诺夫稳定性可用在線性及非線性的系統中。不過線性系統的穩定性可由其他方式求得，因此李雅普诺夫稳定性多半用來分析非線性系統的穩定性。李亞普诺夫稳定性的概念可以延伸到無限維的流形，即為結構穩定性，是考慮微分方程中一群不同但「接近」的解的行為。輸入-狀態穩定性（ISS）則是將李雅普诺夫稳定性應用在有輸入的系統。

## 历史

这一稳定性以俄国数学家亚历山大·李亚普诺夫命名，他在1892年发表了他的博士论文《运动稳定性的一般问题》，文中给出了稳定性的科学概念、研究方法和相关理论。李雅普诺夫考慮到針對非线性系统修改稳定理论，修正為以一個稳定点线性化的系統為基礎的线性稳定理论。他的作品最初以俄文发行，后翻译为法文，但多年来默默无闻。人们对它的兴趣突然在冷战初期（1953至1962年）开始，因当所谓的“李雅普诺夫第二方法”被认为适用于航空航天制导系统的稳定性，而这系统通常包含很强的非线性，其他方法并不适用。大量的相关出版物自那时起开始出现，并进入控制系统文献中。最近李雅普诺夫指数的概念（与李雅普诺夫稳定性第一种方法）引起了广泛兴趣，并与混沌理论结合了起来。

## 連續時間系統下的定義

给定一个完备的賦範向量空間 WIKINIUM\_MATH\_PH\_16 （例如 WIKINIUM\_MATH\_PH\_17 ），设 WIKINIUM\_MATH\_PH\_19 是 WIKINIUM\_MATH\_PH\_20 的開子集。考慮一個自治的非线性动力系统：

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_21 ,
其中 WIKINIUM\_MATH\_PH\_23 是系統的狀態向量， WIKINIUM\_MATH\_PH\_25 是 WIKINIUM\_MATH\_PH\_27 上的连续函数。

假设函数 WIKINIUM\_MATH\_PH\_28 有一个零点： WIKINIUM\_MATH\_PH\_29 0，则常数函数： WIKINIUM\_MATH\_PH\_30 是动力系统的**驻定解**（或称**平衡解**）。称 WIKINIUM\_MATH\_PH\_31 是动力系统的平衡點。

1. 称點 WIKINIUM\_MATH\_PH\_32 **李雅普诺夫稳定**（简称**稳定**），如果對每個 WIKINIUM\_MATH\_PH\_33 ，均存在 WIKINIUM\_MATH\_PH\_35 ，使得对所有满足 WIKINIUM\_MATH\_PH\_37 的 WIKINIUM\_MATH\_PH\_39 ，只要 WIKINIUM\_MATH\_PH\_41 ，就有 WIKINIUM\_MATH\_PH\_43 。
2. 称點 WIKINIUM\_MATH\_PH\_45 **漸近稳定**，如果點 WIKINIUM\_MATH\_PH\_46 李雅普诺夫稳定，且存在 WIKINIUM\_MATH\_PH\_47 ，使得对所有满足 WIKINIUM\_MATH\_PH\_49 的 WIKINIUM\_MATH\_PH\_51 ， WIKINIUM\_MATH\_PH\_53 。
3. 称點 WIKINIUM\_MATH\_PH\_55 **指數稳定**，如果點 WIKINIUM\_MATH\_PH\_56 漸近稳定，且存在 WIKINIUM\_MATH\_PH\_57 使得对所有满足 WIKINIUM\_MATH\_PH\_59 的 WIKINIUM\_MATH\_PH\_61 ，只要 WIKINIUM\_MATH\_PH\_63 ，就有 WIKINIUM\_MATH\_PH\_65 。

它们的直观几何意义是：

1. 平衡點為李雅普诺夫稳定的，表示若动力系统状态函数（微分方程的解函数）的初值「足夠接近」平衡點，則它會永遠維持在平衡點附近任意小的范围里（距平衡點的距離不超過任意选择的正实数 WIKINIUM\_MATH\_PH\_67 ）。
2. 漸近稳定的意思是，初值足夠接近平衡點的状态函数，不但維持在平衡點附近，而且最後會收敛到平衡點。
3. 指數稳定的意思是，状态函数不但最後會收敛到平衡點，且收敛速度不慢於某种指数递减的速度。

设有状态函数 WIKINIUM\_MATH\_PH\_69 ，其初始取值为 WIKINIUM\_MATH\_PH\_70 。称 WIKINIUM\_MATH\_PH\_72 为 WIKINIUM\_MATH\_PH\_74 的轨迹。如果對所有初始值与 WIKINIUM\_MATH\_PH\_75 足够接近的状态函数 WIKINIUM\_MATH\_PH\_76 ，两者的轨迹会趋于相同：

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_77
则称 WIKINIUM\_MATH\_PH\_79 的轨迹有（局部）吸引性（attractive）。若上述條件對所有 WIKINIUM\_MATH\_PH\_80 均成立，則称 WIKINIUM\_MATH\_PH\_81 有全局吸引性（globally attractive）。

如果 WIKINIUM\_MATH\_PH\_82 的轨迹有吸引性，并且穩定，则 WIKINIUM\_MATH\_PH\_83 漸近稳定。不過， WIKINIUM\_MATH\_PH\_84 有吸引性不表示它的轨迹漸近稳定。

## 迭代系統下的定義

離散時間系統下穩定性的定義和連續時間系統下的定義幾乎相同。以下為其定義，不過使用的是較多數學書籍上使用的定義。

给定度量空間 WIKINIUM\_MATH\_PH\_85 。设 WIKINIUM\_MATH\_PH\_87 為一連續函數。稱點 WIKINIUM\_MATH\_PH\_89 為**李雅普诺夫稳定**，如果對任意 WIKINIUM\_MATH\_PH\_91 ，都存在 WIKINIUM\_MATH\_PH\_93 ，使得只要 WIKINIUM\_MATH\_PH\_95 满足 WIKINIUM\_MATH\_PH\_97 ，就有

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_99
稱點 WIKINIUM\_MATH\_PH\_101 **漸近穩定**，如果 WIKINIUM\_MATH\_PH\_102 是李雅普诺夫稳定的点，而且在稳定点集合的内部，即存在 WIKINIUM\_MATH\_PH\_103 ，使得只要 WIKINIUM\_MATH\_PH\_105 满足 WIKINIUM\_MATH\_PH\_107 ，就有

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_109
## 李雅普诺夫穩定性理論

對於微分方程解之穩定性的研究稱為穩定性理論。而李雅普诺夫穩定性定理只提供了穩定性的充份條件。

### 李雅普诺夫穩定性第二定理

考慮一個函數 *V(x)* : *Rn* → *R* 使得

* WIKINIUM\_MATH\_PH\_111 只有在 WIKINIUM\_MATH\_PH\_113 處等號成立（正定函數）
* WIKINIUM\_MATH\_PH\_115 （負定）

則*V(x)*稱為李雅普诺夫候選函數（Lyapunov function candidate），且系統（依李雅普诺夫的觀點）為**漸近穩定**。

上式中 WIKINIUM\_MATH\_PH\_117 是必要的條件。否則， WIKINIUM\_MATH\_PH\_119 可以用來「證明」 WIKINIUM\_MATH\_PH\_121 有區域性穩定。另一個稱為徑向無界性（radial unboundedness）的條件則是用來得到全域漸近穩定的結果。

此種分析方式可類比為考慮一物理系統（如彈簧及質量的系統）及其中的能量。若系統能量隨時間遞減，且減少的能量不會恢復，而此系統最後一定會靜止於某個特定的狀態。最後的狀態稱為吸引子。不過針對一個物理系統，找到表達其精確能量的函數不一定容易，而且針對抽象數學系統、經濟系統或生物系統，上述能量的概念又不一定適用。

利用李雅普诺夫的分析方式，可在不知道系統實際能量的情形下，證明系統的穩定性。不過前提是可以找到滿足上述限制的李雅普诺夫函數。

例如考慮以下的系統

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_123
希望用李雅普诺夫函數來確認 WIKINIUM\_MATH\_PH\_125 附近的穩定性。令

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_127
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_129 本身為正定函數．而V(x)的導函數如下

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_131
為負定函數，因此上述系統在 WIKINIUM\_MATH\_PH\_133 附近為漸近穩定。

## 線性系統狀態空間模型的穩定性

一個線性的狀態空間模型

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_135
為漸近穩定（其實是指數穩定），若

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_137
的解存在。

其中 WIKINIUM\_MATH\_PH\_139 且 WIKINIUM\_MATH\_PH\_141 （正定矩陣）。（對應的李雅普诺夫函數為 WIKINIUM\_MATH\_PH\_143 ）

## 有輸入值系統的穩定性

一個有輸入（或受控制）的系統可以下式表示

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_145
其中輸入 u(t) 可視為*控制*、*外部輸入*、*擾動*、*刺激*或*外力*。這種系統的研究是控制理論研究的主題之一，也應用在控制工程中。

對於有輸入的系統，需量化輸入對系統穩定性的影響。在線性系統中會用BIBO穩定性來作分析的工具，在非線性系統中則會使用輸入-狀態穩定性。

## 相關條目

* 李亞普諾夫函數
* 摄动理论
* 拉薩爾不變集原理

## 參考資料

* 本條目含有来自PlanetMath《asymptotically stable》的內容，版权遵守知识共享协议：署名-相同方式共享协议。

* Lyapunov A.M. *Stability of motion*, Academic Press, New-York and London,1966
* Zakhama, R.; Hadj Brahim, A.B.B.; Braiek, N.B. Generalization of a stability domain estimation method for nonlinear discrete systems. Computational and Applied Mathematics. October 2016, **37**: 1130–1141. doi:10.1007/s40314-016-0388-7.
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