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# 角平分線定理[编辑]

内角平分線定理及逆定理： WIKINIUM\_MATH\_PH\_0
外角平分線定理及逆定理： WIKINIUM\_MATH\_PH\_2
**（内）角平分線定理**是一個平面幾何定理：三角形一角的内角平分線分割对边为两段，两段的长度之比等于两条邻边的长度之比。反过来，有**（内）角平分线逆定理**：把三角形一边分割为长度之比等于邻边长度之比的两段，则经过分割点与对角顶点的直线为对角的内角平分线。以上两条定理见于古希腊数学家欧几里得的《几何原本》，属于平面几何最基本的定理之列。

类似地，存在**外角平分線定理**和**外角平分线逆定理**。前者指的是：三角形一角的外角平分線与对边所在的直线相交，交点到对边上两顶点的距离之比等于两条邻边的长度之比。后者指的是：三角形一边的延长线上有一点到该边上两顶点的距离之比等于另外两边的长度之比，则经过该点与对角顶点的直线为对角的外角平分线。内、外角平分线定理（及逆定理），合称**角平分線定理**（及**角平分线逆定理**），又称**角平分線性质**。

## 历史

内角平分线定理及其逆定理出现在古希腊数学家欧几里得的《几何原本》的第六卷命题三。至于外角平分线定理及其逆定理，古希腊数学家帕普斯直接采纳了该命题的结论，但没有给出证明。近代苏格兰数学家罗伯特·西姆松将内、外角平分线定理视为两个命题，而英国数学家奥古斯塔斯·德摩根、苏联数学家德米特里·别列标尔金等则视二者为一统的角平分线定理。

## 證明

内、外角平分线定理及逆定理均有多种证明方法。以下列出欧几里得《几何原本》采用的思路，以及将该思路推广至外角平分线的证法。

### 内角平分線

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_4 WIKINIUM\_MATH\_PH\_6 WIKINIUM\_MATH\_PH\_8 WIKINIUM\_MATH\_PH\_10 WIKINIUM\_MATH\_PH\_12
在 WIKINIUM\_MATH\_PH\_14 中，在 WIKINIUM\_MATH\_PH\_16 边上任取一点 WIKINIUM\_MATH\_PH\_18 。过点 WIKINIUM\_MATH\_PH\_20 做 WIKINIUM\_MATH\_PH\_22 的平行线，与 WIKINIUM\_MATH\_PH\_24 的延长线相交于点 WIKINIUM\_MATH\_PH\_26 。

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_28
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_30
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_32 WIKINIUM\_MATH\_PH\_34 WIKINIUM\_MATH\_PH\_36 WIKINIUM\_MATH\_PH\_38 WIKINIUM\_MATH\_PH\_40
**證内角平分线定理**

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_42 WIKINIUM\_MATH\_PH\_44 WIKINIUM\_MATH\_PH\_46 WIKINIUM\_MATH\_PH\_48 WIKINIUM\_MATH\_PH\_50 为等腰三角形 WIKINIUM\_MATH\_PH\_52 WIKINIUM\_MATH\_PH\_54 WIKINIUM\_MATH\_PH\_56 WIKINIUM\_MATH\_PH\_58
**證内角平分线逆定理**

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_60 WIKINIUM\_MATH\_PH\_62 WIKINIUM\_MATH\_PH\_64 为等腰三角形 WIKINIUM\_MATH\_PH\_66 WIKINIUM\_MATH\_PH\_68 WIKINIUM\_MATH\_PH\_70 WIKINIUM\_MATH\_PH\_72
### 外角平分線

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_74 WIKINIUM\_MATH\_PH\_76 WIKINIUM\_MATH\_PH\_78 WIKINIUM\_MATH\_PH\_80 WIKINIUM\_MATH\_PH\_82
在 WIKINIUM\_MATH\_PH\_84 中，令 WIKINIUM\_MATH\_PH\_86 。在 WIKINIUM\_MATH\_PH\_88 的延长线上取一点 WIKINIUM\_MATH\_PH\_90 。过点 WIKINIUM\_MATH\_PH\_92 做 WIKINIUM\_MATH\_PH\_94 的平行线，与 WIKINIUM\_MATH\_PH\_96 边相交于点 WIKINIUM\_MATH\_PH\_98 。在 WIKINIUM\_MATH\_PH\_100 的延长线上任取一点 WIKINIUM\_MATH\_PH\_102 。

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_104
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_106
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_108 WIKINIUM\_MATH\_PH\_110 WIKINIUM\_MATH\_PH\_112
**證外角平分线定理**

易证得，三角形外角平分线与对边直线的交点，必定落在较短的邻边的一侧。

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_114 WIKINIUM\_MATH\_PH\_116 WIKINIUM\_MATH\_PH\_118 WIKINIUM\_MATH\_PH\_120 WIKINIUM\_MATH\_PH\_122 为等腰三角形 WIKINIUM\_MATH\_PH\_124 WIKINIUM\_MATH\_PH\_126 WIKINIUM\_MATH\_PH\_128 WIKINIUM\_MATH\_PH\_130
**證外角平分线逆定理**

易证得，三角形一边所在直线上符合要求的点，必定落在较短的邻边的一侧。

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_132 WIKINIUM\_MATH\_PH\_134 WIKINIUM\_MATH\_PH\_136 为等腰三角形 WIKINIUM\_MATH\_PH\_138 WIKINIUM\_MATH\_PH\_140 WIKINIUM\_MATH\_PH\_142 WIKINIUM\_MATH\_PH\_144
## 应用

角平分线性质有广泛的应用。其中一个关系相当紧密的应用是，证明平面上到两定点的距离之比为定值（不等于1）的点的轨迹是一个圆。该圆即阿波罗尼奥斯圆。

* 角平分線長公式
* 三角形内心
* 分角定理
# 圆周角[编辑]

圓周角 WIKINIUM\_MATH\_PH\_0 與 WIKINIUM\_MATH\_PH\_2 相等， WIKINIUM\_MATH\_PH\_4 與 WIKINIUM\_MATH\_PH\_6 相等。同時 WIKINIUM\_MATH\_PH\_8 的大小為圓心角 WIKINIUM\_MATH\_PH\_10 的一半。
在幾何學中，當圓的兩條割線在圓上相遇時，就會形成**圓周角**。

一般來說，圓周角可被視為共用一個端點的兩條弦。

## 历史

圓周角的基本性質記載於《幾何原本》第三卷的第20至22號命題。几何原本中的命题为：

1. 圓周角大小為对同弧的圓心角一半
2. 对同弧的圓周角相等
3. 共用一弦的兩圓周角大小和為180°

## 定理

* 圓周角大小為對同圆弧的圓心角的 WIKINIUM\_MATH\_PH\_12
* 同弧的圓周角相等或互补
	+ 若两圆周角定点在弦所在直线的同一边，则两圆周角相等。
	+ 若两圆周角定点分别在弦所在直线的两边，则圆周角互补。
	+ 若两圆周角定点在一条直径上，则圆周角恒等于90°。

## 参考资料
# 截線定理[编辑]

**截線定理**（英語：**Intercept theorem**），是平面幾何中的基本定理之一。截線定理說明，平面上的一個三角形中，若在其中一條腰的中點作一條直線，與其底邊平行，則該線穿過另一條腰的中點。這定理可推廣到梯形上，以及一般化至任意分割比例的情況。截線定理與另外兩條幾何定理中點定理和等比定理有密切關係。

## 定理

截線定理的最基本形式是在三角形上的應用。

圖中有三角形 WIKINIUM\_MATH\_PH\_0 ，作一條直線 WIKINIUM\_MATH\_PH\_2 與底邊 WIKINIUM\_MATH\_PH\_4 平行。

截線定理說明，若 WIKINIUM\_MATH\_PH\_6 ，則 WIKINIUM\_MATH\_PH\_8 。

換句話說， WIKINIUM\_MATH\_PH\_10 是三角形 WIKINIUM\_MATH\_PH\_12 的中位線。

這定理能簡單推廣到梯形上應用。

圖中有梯形 WIKINIUM\_MATH\_PH\_14 ，其中 WIKINIUM\_MATH\_PH\_16 。作一條直線 WIKINIUM\_MATH\_PH\_18 與上底 WIKINIUM\_MATH\_PH\_20 和下底 WIKINIUM\_MATH\_PH\_22 平行。

截線定理說明，若 WIKINIUM\_MATH\_PH\_24 ，則 WIKINIUM\_MATH\_PH\_26 。

同樣地， WIKINIUM\_MATH\_PH\_28 是梯形 WIKINIUM\_MATH\_PH\_30 的中位線。

## 一般化定理

對於平行線將腰分割成任意比例的情形，一般化截線定理則給出，左右兩條腰的分割比例相等。

在上圖的三角形 WIKINIUM\_MATH\_PH\_32 中，若 WIKINIUM\_MATH\_PH\_34 ，則有 WIKINIUM\_MATH\_PH\_36 。

同樣地，在梯形 WIKINIUM\_MATH\_PH\_38 ，若 WIKINIUM\_MATH\_PH\_40 ，則有 WIKINIUM\_MATH\_PH\_42 。

## 證明

這定理能以相似三角形簡單證明。

考慮上圖的 WIKINIUM\_MATH\_PH\_44 和 WIKINIUM\_MATH\_PH\_46 。由於

* WIKINIUM\_MATH\_PH\_48 （公共角）
* WIKINIUM\_MATH\_PH\_50 （平行線的同位角）
* WIKINIUM\_MATH\_PH\_52 （平行線的同位角）

所以 WIKINIUM\_MATH\_PH\_54 。（等角）

由此可得 WIKINIUM\_MATH\_PH\_56 。（相似三角形的對應邊）

因此 WIKINIUM\_MATH\_PH\_58 。

證畢。

對於梯形的情況，考慮梯形 WIKINIUM\_MATH\_PH\_60 ，在 WIKINIUM\_MATH\_PH\_62 上作一直線，與 WIKINIUM\_MATH\_PH\_64 平行，並與 WIKINIUM\_MATH\_PH\_66 和 WIKINIUM\_MATH\_PH\_68 分別相交於 WIKINIUM\_MATH\_PH\_70 和 WIKINIUM\_MATH\_PH\_72 。

由定義可知， WIKINIUM\_MATH\_PH\_74 和 WIKINIUM\_MATH\_PH\_76 是平行四邊形。

因此 WIKINIUM\_MATH\_PH\_78 及 WIKINIUM\_MATH\_PH\_80 。（平行四邊形的對邊）

上面已證明，由 WIKINIUM\_MATH\_PH\_82 ，可知 WIKINIUM\_MATH\_PH\_84 。

代入可得 WIKINIUM\_MATH\_PH\_86 。

證畢。

* 平面幾何
* 三角形
* 梯形
* 中位線
* 相似三角形
* 中點定理
* 等比定理
* 宇恆定理

## 参考来源

* Schupp, H. Elementargeometrie. UTB Schöningh. 1977: 124–126. ISBN 3-506-99189-2 （德语）.
* Leppig, Manfred. Lernstufen Mathematik. Girardet. 1981: 157–170. ISBN 3-7736-2005-5 （德语）.
* Agricola, Ilka; Friedrich, Thomas. Elementary Geometry. AMS. 2008: 10–13, 16–18  [2018-04-14]. ISBN 0-8218-4347-8. （原始内容存档于2022-06-01） （英语）.
* Stillwell, John. The Four Pillars of Geometry. Springer. 2005: 34  [2018-04-14]. ISBN 978-0-387-25530-9. （原始内容存档于2022-06-01） （英语）.
* Ostermann, Alexander; Wanner, Gerhard. Geometry by Its History. Springer. 2012: 3–7  [2018-04-14]. ISBN 978-3-642-29163-0. （原始内容存档于2022-06-01） （英语）.

* 截线定理（PlanetMath） （页面存档备份，存于互联网档案馆）
* Alexander Bogomolny: *Thales' Theorems* （页面存档备份，存于互联网档案馆） and in particular *Thales' Theorem* （页面存档备份，存于互联网档案馆） at Cut-the-Knot
# 圆幂定理

**圓冪定理**（英語：circle power theorem），是平面幾何中的一個定理。這定理指出，給定一個圓  WIKINIUM\_MATH\_PH\_0  以及一點  WIKINIUM\_MATH\_PH\_1 ，從該點引出兩條割線，分別與  WIKINIUM\_MATH\_PH\_2  相交於  WIKINIUM\_MATH\_PH\_3 、 WIKINIUM\_MATH\_PH\_4  以及  WIKINIUM\_MATH\_PH\_5 、 WIKINIUM\_MATH\_PH\_6 ，則有

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_7
這個乘積，是  WIKINIUM\_MATH\_PH\_9  對於  WIKINIUM\_MATH\_PH\_10  的**圓冪**（英語：circle power），故定理以此為名。

## 圓冪定義

在圖中， WIKINIUM\_MATH\_PH\_11  是圓心， WIKINIUM\_MATH\_PH\_12  是半徑  WIKINIUM\_MATH\_PH\_13 （藍色）， WIKINIUM\_MATH\_PH\_14  是點到圓心的距離  WIKINIUM\_MATH\_PH\_15 （橙色）， WIKINIUM\_MATH\_PH\_16  是切線（紅色）， WIKINIUM\_MATH\_PH\_17  是割線（黑色）。
平面上任意一點  WIKINIUM\_MATH\_PH\_18  ，以及半徑為  WIKINIUM\_MATH\_PH\_19  、圓心為  WIKINIUM\_MATH\_PH\_20  的圓，則定義**圓冪**  WIKINIUM\_MATH\_PH\_21  為：

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_22 。
從這個定義可知，若  WIKINIUM\_MATH\_PH\_24  在圓內，則圓冪為負數；若  WIKINIUM\_MATH\_PH\_25  在圓外，則圓冪為正數；若  WIKINIUM\_MATH\_PH\_26  在圓周上，則圓冪等於零。

圓冪又可等價地定義為：從該點穿過圓心的割線，與圓的兩個交點，與該點距離的乘積。也就是說：

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_27 。
理由如下：

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_29 。
## 變體

圓冪定理有三個變體，分別是「相交弦定理」、「割線定理」及「切割線定理」。

### 相交弦定理

在圖中，圓心為  WIKINIUM\_MATH\_PH\_31 ，圓上有兩弦  WIKINIUM\_MATH\_PH\_32  及  WIKINIUM\_MATH\_PH\_33 ，相交於  WIKINIUM\_MATH\_PH\_34
設有一圓，圓上有兩條弦  WIKINIUM\_MATH\_PH\_35  及  WIKINIUM\_MATH\_PH\_36 ，它們相交於  WIKINIUM\_MATH\_PH\_37 ，則有

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_38
這個乘積，是  WIKINIUM\_MATH\_PH\_40  的圓冪的相反數  WIKINIUM\_MATH\_PH\_41 。這是因為圓冪為非正數，而線段的乘積為正數。

### 割線定理

設有一圓，圓外有一點  WIKINIUM\_MATH\_PH\_42 ，引出兩條割線，分別與圓相交於  WIKINIUM\_MATH\_PH\_43 、 WIKINIUM\_MATH\_PH\_44  以及  WIKINIUM\_MATH\_PH\_45 、 WIKINIUM\_MATH\_PH\_46 ，則有

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_47
這個乘積，是  WIKINIUM\_MATH\_PH\_49  的圓冪  WIKINIUM\_MATH\_PH\_50 。

### 切割線定理

設有一圓，圓外有一點  WIKINIUM\_MATH\_PH\_51 ，引出一條割線，與圓相交於  WIKINIUM\_MATH\_PH\_52 、 WIKINIUM\_MATH\_PH\_53  ，又引出一條切線，與圓相切於  WIKINIUM\_MATH\_PH\_54 ，則有

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_55
這個乘積，同樣是  WIKINIUM\_MATH\_PH\_57  的圓冪  WIKINIUM\_MATH\_PH\_58 。

## 證明

### 相交弦定理

從同弓形內圓周角的性質可知， WIKINIUM\_MATH\_PH\_59  與  WIKINIUM\_MATH\_PH\_60  是相似三角形，因此

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_61
整理可得

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_63
證畢。

### 割線定理

從同弓形內圓周角的性質可知， WIKINIUM\_MATH\_PH\_65  與  WIKINIUM\_MATH\_PH\_66  是相似三角形，因此

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_67
整理可得

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_69
證明完畢。

### 切割線定理

從內錯弓形圓周角的性質可知， WIKINIUM\_MATH\_PH\_71  與  WIKINIUM\_MATH\_PH\_72  是相似三角形，因此

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_73
整理可得

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_75
證明完畢。

* 根軸——到兩圓圓冪相等的點的軌跡

## 參考資料
# 驴桥定理[编辑]

Byrne版幾何原本中，驢橋定理的內容，有列出部份欧几里得的證明
**驢橋定理**（拉丁語：**Pons asinorum**），也稱為**等腰三角形定理**，是在欧几里得几何中的一個數學定理，是指等腰三角形二腰對應的二底角相等。此定理出現在欧几里得的幾何原本第一卷命題五。

有關其名稱驢橋定理的由來有二種：一種是幾何原本中的示意圖即為一座橋；另外一種較為大家接受的說法，則是指這是幾何原本中第一個對於讀者智力的測試，並且做為後續更困難命題的橋樑。幾何學是列在中世紀的四術之中，驢橋定理是在幾何原本的前面出現的較困難命題，是數學能力的一個門檻，也稱之為「笨蛋的難關」，無法理解此一命題的人可能也無法處理後面更難的命題。

無論其名稱的由來為何，驢橋定理一詞已變成了一種隱喻，暗示對能力或了解程度的關鍵測試，可以區分了解及不了解的人。

## 證明

### 欧几里得的證明

欧几里得幾何原本第一卷的命題五
欧几里得的證明包括第二個結論，就是若三角形的二腰延伸超過底邊，則二腰延長線和底邊的夾角也會相等。欧几里得的證明中包括了繪製二腰延長線的輔助線，但當時的數學家普罗克鲁斯指出他沒有用到第二個結論，而且若在三角形內部繪輔助線，會使證明比較簡單。欧几里得的證明用到稱為SAS的三角形全等，是幾何原本中的上一個命題。

### 其他證明方式

人教版數學教科書證明
在教科書（例如人教版數學教科書在八年級“軸對稱”一章）上常見的作法是作頂角A的角平分線。此證明方式比歐幾里德的簡單，但在幾何原本中命題9才是作角平分線，因此若幾何原本中在命題5就使用角平分線，會有循環論證的問題。

其證明如下：

1. 令三角形為ABC，其中線段AB = 線段AC。
2. 作角BAC的角平分線，和線BC交與X點。
3. 線段AB = 線段AC，線段AX和自身等長，而且角BAX = 角CAX，因此依照SAS全等，三角形BAX和CAX全等，因此可得角B和角C相等。

勒讓德在《几何原理》用了一個類似的方式證明，不過令X是線段BC的中點。其證明方式類似，但是會用到SSS全等，而在歐幾里德的幾何原本未提到SSS全等。

帕普斯在约公元300年用了一个非常简短的方法证明: 等腰三角形ABC中, AB=AC, BC=CB, CA=BA, 则三角形ABC与ACB全等(SSS), 故三角形ABC 两底角相等 Q.E.D. 在约1960年，赫伯特·吉伦特编写的程序也得到了相同的证明。

## 用作隱喻的驢橋定理

* 十四世紀作家理查德·昂格維爾在《書之愛》中將驴桥定理比擬為沒有梯子輔助的陡峭山坡，感歎多少可能成為幾何學家的人因此而回頭。
* 在直言三段论中，「驢橋」作為尋找三段論中項的一個隱喻，同時有橋樑及考驗的含意在內。
* 經濟學家約翰·斯圖爾特·密爾認為David Ricardo的地租理論是經濟學中的驢橋定理。
* 驢橋也是魔術方塊中的一個特殊組態。

## 參考資料
# 泰勒斯定理[编辑]

泰勒斯定理：如果 WIKINIUM\_MATH\_PH\_0 是直径，那么 WIKINIUM\_MATH\_PH\_2 是直角。
**泰勒斯定理**（英語：Thales' theorem）以古希腊思想家、科学家、哲学家泰勒斯的名字命名，其内容为：若 WIKINIUM\_MATH\_PH\_4 , WIKINIUM\_MATH\_PH\_6 , WIKINIUM\_MATH\_PH\_8 是圆周上的三點，且 WIKINIUM\_MATH\_PH\_10 是该圆的直徑，那么 WIKINIUM\_MATH\_PH\_12 必然為直角。或者说，直径所对的圆周角是直角。该定理在欧几里得《几何原本》第三卷中被提到并证明。

泰勒斯定理的逆定理同样成立，即：直角三角形中，直角的顶点在以斜边为直径的圆上。

## 證明

### 证法一

以下證明主要使用兩個定理：

* 三角形的內角和等於180°
* 等腰三角形的兩個底角相等

* 泰勒斯定理的动态演示图。
* 证明图。

設 WIKINIUM\_MATH\_PH\_14 為圓心，因為 WIKINIUM\_MATH\_PH\_16 ，所以 WIKINIUM\_MATH\_PH\_18 和 WIKINIUM\_MATH\_PH\_20 都是等腰三角形。因為等腰三角形底角相等，故有 WIKINIUM\_MATH\_PH\_22 ，且 WIKINIUM\_MATH\_PH\_24 。設 WIKINIUM\_MATH\_PH\_26 ， WIKINIUM\_MATH\_PH\_28 。在 WIKINIUM\_MATH\_PH\_30 中，因为三角形的内角和等于180°，所以有

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_32
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_34
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_36
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_38
### 证法二

泰勒斯定理也可以用三角学方法证明，证明如下：

令 WIKINIUM\_MATH\_PH\_40 , WIKINIUM\_MATH\_PH\_42 , WIKINIUM\_MATH\_PH\_44 。此时， WIKINIUM\_MATH\_PH\_46 就是单位圆 WIKINIUM\_MATH\_PH\_48 上的一点。我们将通过证明 WIKINIUM\_MATH\_PH\_50 与 WIKINIUM\_MATH\_PH\_52 垂直，即它们的斜率之积等于–1，来证明这个定理。计算 *WIKINIUM\_MATH\_PH\_54* 和 *WIKINIUM\_MATH\_PH\_56* 的斜率：

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_58
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_60
并证明它们的积等于–1:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_62
注意以上证明过程中运用了毕达哥拉斯三角恒等式 WIKINIUM\_MATH\_PH\_64 。

### 逆定理的證明

此證明使用兩線的向量形成直角三角形，若且唯若其內積為零。設有直角三角形 WIKINIUM\_MATH\_PH\_66 ，和以 WIKINIUM\_MATH\_PH\_68 為直徑的圓 WIKINIUM\_MATH\_PH\_70 。設 WIKINIUM\_MATH\_PH\_72 在原點，以方便計算。则 WIKINIUM\_MATH\_PH\_74 和 WIKINIUM\_MATH\_PH\_76 的內積為：

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_78
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_80
故 WIKINIUM\_MATH\_PH\_82 和 WIKINIUM\_MATH\_PH\_84 與圓心等距，即 WIKINIUM\_MATH\_PH\_86 在圆上。

## 一般化以及有关定理

泰勒斯定理是「同弧所对的圓周角是圓心角的一半」的一個特殊情況。

以下是泰勒斯定理的一个相关定理：

如果 WIKINIUM\_MATH\_PH\_88 是一个圆的直径，则：
* 若 *WIKINIUM\_MATH\_PH\_90* 在圆内，则 WIKINIUM\_MATH\_PH\_92
* 若 *WIKINIUM\_MATH\_PH\_94* 在圆上，则 WIKINIUM\_MATH\_PH\_96
* 若 *WIKINIUM\_MATH\_PH\_98* 在圆外，则 WIKINIUM\_MATH\_PH\_100

## 歷史

泰勒斯並非此定理的首名發現者，古埃及人和巴比倫人一定已知這特性，可是他們沒有給出證明。
# 中線定理[编辑]

**中線定理**，又稱**阿波羅尼奧斯定理**，是歐氏幾何的定理，表述三角形兩邊和中線長度關係。它等價於平行四邊形恆等式。

## 中線定理

對任意三角形 WIKINIUM\_MATH\_PH\_0 ，設 WIKINIUM\_MATH\_PH\_2 是線段 WIKINIUM\_MATH\_PH\_4 的中點， WIKINIUM\_MATH\_PH\_6 為中線，則有如下關係：

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_8

### 證明

用萊布尼茨標量函數約簡，可以容易導出這性質：只需要在兩個平方中引入 WIKINIUM\_MATH\_PH\_10 ：

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_12
得出

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_14
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_16 是 WIKINIUM\_MATH\_PH\_18 的中點，因此 WIKINIUM\_MATH\_PH\_20 和 WIKINIUM\_MATH\_PH\_22 相反，可知式中兩個標積抵消。又因 WIKINIUM\_MATH\_PH\_24 ，得出

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_26
### 另一個證法

這可能是阿波罗尼奥斯的證明方法，因為他不知道萊布尼茨函數。證明如下：
設 WIKINIUM\_MATH\_PH\_28 是從 WIKINIUM\_MATH\_PH\_30 到 WIKINIUM\_MATH\_PH\_32 的垂足，則 WIKINIUM\_MATH\_PH\_34 和 WIKINIUM\_MATH\_PH\_36 是直角三角形。用勾股定理可得

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_38
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_40
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_42
所以

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_44
把 WIKINIUM\_MATH\_PH\_46 和 WIKINIUM\_MATH\_PH\_48 用 WIKINIUM\_MATH\_PH\_50 和 WIKINIUM\_MATH\_PH\_52 表達出來（記得 WIKINIUM\_MATH\_PH\_54 是 WIKINIUM\_MATH\_PH\_56 的中點，因此 WIKINIUM\_MATH\_PH\_58 ）。注意到雖然現在的情形假設 WIKINIUM\_MATH\_PH\_60 在線段 WIKINIUM\_MATH\_PH\_62 上，但其
他情形也可以用這個方法。

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_64
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_66
代入前式：

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_68
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_70
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_72
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_74 是直角三角形(H為 WIKINIUM\_MATH\_PH\_76 於 WIKINIUM\_MATH\_PH\_78 之垂足)
，因此

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_80
代入前式得出

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_82
## 中線的向量表達式

設 WIKINIUM\_MATH\_PH\_84 是線段 WIKINIUM\_MATH\_PH\_86 的中點，則有 WIKINIUM\_MATH\_PH\_88

## 中線的另一條定理

用標積表示 WIKINIUM\_MATH\_PH\_90 ，其中 WIKINIUM\_MATH\_PH\_92 是 WIKINIUM\_MATH\_PH\_94 到線 WIKINIUM\_MATH\_PH\_96 的垂足。

從上得到中線的另一條定理 WIKINIUM\_MATH\_PH\_98 。

實際上

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_100
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_102 投影在 WIKINIUM\_MATH\_PH\_104 上是 WIKINIUM\_MATH\_PH\_106 ，因而有 WIKINIUM\_MATH\_PH\_108 .

這兩個共線向量的標積可等於 WIKINIUM\_MATH\_PH\_110 或其負數，因此取絕對值。

* 閉凸集投影定理，中線定理是這定理的證明關鍵。
* 平行四邊形恆等式
* 斯圖爾特定理
# 正弦定理[编辑]

**正弦定理**是三角学中的一个定理。它指出：对于任意 WIKINIUM\_MATH\_PH\_0 ， WIKINIUM\_MATH\_PH\_2 、 WIKINIUM\_MATH\_PH\_4 、 WIKINIUM\_MATH\_PH\_6 分别为 WIKINIUM\_MATH\_PH\_8 、 WIKINIUM\_MATH\_PH\_10 、 WIKINIUM\_MATH\_PH\_12 的对边， WIKINIUM\_MATH\_PH\_14 为 WIKINIUM\_MATH\_PH\_16 的外接圆半径，则有

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_18

## 證明

### 法一

做一个边长为 *WIKINIUM\_MATH\_PH\_20* ， *WIKINIUM\_MATH\_PH\_22* ， *WIKINIUM\_MATH\_PH\_24* 的三角形，对应角分别是 WIKINIUM\_MATH\_PH\_26 ， WIKINIUM\_MATH\_PH\_28 ， WIKINIUM\_MATH\_PH\_30 。从角 *WIKINIUM\_MATH\_PH\_32* 向 WIKINIUM\_MATH\_PH\_34 边做垂线，得到一个长度为*h*的垂线和两个直角三角形。

显然：

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_36
且:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_38
故：

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_40
故:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_42
同理可證：

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_44
### 法二

作 WIKINIUM\_MATH\_PH\_46 的外接圆，设半径为 WIKINIUM\_MATH\_PH\_48 ， WIKINIUM\_MATH\_PH\_50

#### 角A为锐角时

由于 WIKINIUM\_MATH\_PH\_52 与 WIKINIUM\_MATH\_PH\_54 所对的弧都为 WIKINIUM\_MATH\_PH\_56 ，根据圆周角定理可瞭解到

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_58
由于 WIKINIUM\_MATH\_PH\_60 为外接圆直径，

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_62
所以

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_64
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_66
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_68
#### 角A为直角时

因为 WIKINIUM\_MATH\_PH\_70 ，可以得到

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_72
所以可以证明

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_74
#### 角A为钝角时

线段 WIKINIUM\_MATH\_PH\_76 是圆的直径
根据圆内接四边形对角互补的性质

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_78
所以

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_80
因为 WIKINIUM\_MATH\_PH\_82 为外接圆的直径 WIKINIUM\_MATH\_PH\_84 。根据正弦定义

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_86
变形可得

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_88
根据以上的证明方法可以证明得到得到三角形的一条边与其对角的正弦值的比等于外接圆的直径，即

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_90
## 运用

### 三面角正弦定理

若三面角的三个面角分别为 WIKINIUM\_MATH\_PH\_92 、 WIKINIUM\_MATH\_PH\_94 、 WIKINIUM\_MATH\_PH\_96 ，它们所对的二面角分别为 WIKINIUM\_MATH\_PH\_98 、 WIKINIUM\_MATH\_PH\_100 、 WIKINIUM\_MATH\_PH\_102 ，则

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_104
### 多边形的正弦关系

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_106

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_108

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_110

* 关于K级顶点角的正弦定理及应用 （页面存档备份，存于互联网档案馆）
* 关于正弦定理在四面体中的类比定理 （页面存档备份，存于互联网档案馆）
* 正弦定理证明 （页面存档备份，存于互联网档案馆）

## 參阅

* 余弦定理
* 正切定理
* 角平分線長公式
* 中線長公式
# 逻辑史[编辑]

| 逻辑史 |
| --- |
| 特定歷史 |
| 话题方面 | 邏輯學  |

**逻辑史**，又称**理则史**，指逻辑学的发展史。逻辑学的萌芽出现在古埃及和巴比伦，但现代逻辑的直接源头是古希腊时期亚里士多德所建立的形式逻辑体系。与此同时，印度和中国也独立地发展了各具特色的逻辑传统。

在西方，逻辑学经历了古希腊的创立、中世纪的发展、近代的转型和现代的数理革命。20世纪初，数理逻辑（符号逻辑）彻底改变了逻辑学的面貌，产生了模型论、证明论、递归论和公理化集合论等分支，并使逻辑学与数学基础、计算机科学和语言学紧密交织。

## 西方传统逻辑

### 古希腊

逻辑学作为一门独立学科始于亚里士多德（前384–前322）。他在《前分析篇》中系统阐述了三段论理论——这是历史上第一个形式化的推理系统。亚里士多德将直言命题分为全称肯定（A）、全称否定（E）、特称肯定（I）和特称否定（O）四种类型，并在此基础上建立了三段论的格与式，识别出有效的推理形式。

斯多葛学派（特别是克吕西波，约前279–前206）发展了一种以条件语句为核心的命题逻辑，与亚里士多德的词项逻辑形成互补。斯多葛学派对蕴涵、合取和析取等联结词的研究，为后世的命题演算奠定了基础。

### 中世纪

波埃修斯（约475–526）将亚里士多德的逻辑著作翻译为拉丁文，使古希腊逻辑学得以在欧洲传承。12世纪的彼得·阿伯拉尔对模态逻辑中「de dicto」与「de re」的区分作出了重要贡献。13至14世纪，托马斯·阿奎那、邓斯·司各脱和奥卡姆的威廉等经院哲学家发展了词项属性（supposition）理论和推论（consequence）学说。让·布里丹（约1300–1361）在《推论论》中系统探讨了条件推论与直言推论，其成果代表了中世纪逻辑的最高水平。

### 近代传统逻辑

17世纪，安托万·阿尔诺和皮埃尔·尼科尔出版了《波尔-罗亚尔逻辑》（1662），该书以笛卡尔理性主义精神系统化整理了亚里士多德逻辑，成为此后两百年间最广泛使用的逻辑教科书。伊曼努尔·康德在其《纯粹理性批判》（1781）中声称「逻辑学自亚里士多德以来已是一完成科学」，这一观点在整个19世纪初仍具有广泛影响。

## 非西方逻辑传统

### 印度逻辑

印度逻辑传统源远流长，可追溯至正理派（Nyāya）的经典《正理经》（约前2世纪）。正理派提出了五支推论式（宗、因、喻、合、结），开创了印度逻辑的系统研究。5世纪佛教逻辑学家陈那（Dignāga）创立了「因明」体系，提出了因三相（遍是宗法性、同品定有性、异品遍无性）和因轮（hetu-cakra）方法，将印度逻辑推向新的高度。11世纪甘吉沙（Gaṅgeśa）创立的新正理派（Navya-Nyāya）进一步精细化了对定义和推理的分析。

### 伊斯兰逻辑

伊斯兰黄金时代的哲学家对亚里士多德逻辑进行了深入的注释和发展。伊本·西那（阿维森纳，980–1037）对模态逻辑和假言三段论作出了原创性贡献，并对亚里士多德的《前分析篇》进行了批判性评论。伊本·鲁世德（阿威罗伊，1126–1198）的评注为中世纪欧洲重新认识亚里士多德逻辑提供了桥梁。苏赫拉瓦迪（1154–1191）在其照明主义哲学中发展了一套独特的逻辑理论，将逻辑研究置于知识论的框架中。

### 中国逻辑

中国古代逻辑学的代表是墨家逻辑。墨子（约前468–前376）及其后学在《墨经》中系统讨论了名（概念）、辞（命题）和说（推理）等逻辑问题，提出了「以名举实、以辞抒意、以说出故」的逻辑原则。后期墨家区分了达名、类名和私名，并归纳了多种推理方式，包括辟（比喻）、侔（类推）、援（援引）和推（推论）。荀子（约前313–前238）的正名学说也涉及逻辑分类和概念界定。然而，汉代「罢黜百家、独尊儒术」以后，中国逻辑学的发展基本停滞，直到近代西方逻辑传入后才重新引起重视。

## 现代逻辑的兴起

17世纪的戈特弗里德·莱布尼茨（1646–1716）提出了建立普遍语言（characteristica universalis）和推理演算（calculus ratiocinator）的构想，被誉为数理逻辑的先驱。

19世纪中叶，乔治·布尔（1815–1864）在《思维规律的研究》（1854）中建立了逻辑代数（布尔代数），将逻辑推理转化为代数方程运算，开创了代数逻辑传统。布尔的体系是亚里士多德之后逻辑学的第一次重大突破。

1879年，戈特洛布·弗雷格（1848–1925）发表了《概念文字》，引入了命题演算和谓词演算，率先建立了包含量词和变元的完整形式系统，标志着现代数理逻辑的诞生。弗雷格的工作从根本上超越了亚里士多德的词项逻辑。

20世纪初，伯特兰·罗素和阿尔弗雷德·诺思·怀特海在《数学原理》（1910–1913）中试图将全部数学还原为逻辑，建立了类型论以避免罗素悖论。大卫·希尔伯特（1862–1943）提出了元数学（metamathematics）纲领和形式主义数学哲学，系统阐述了判定问题（Entscheidungsproblem）。库尔特·哥德尔（1906–1978）在1931年发表了不完备定理，证明了任何足够强大的形式系统都无法同时满足一致性和完备性，对希尔伯特纲领造成了根本性的冲击。阿尔弗雷德·塔斯基（1901–1983）建立了模型论的语义基础并给出了真理的语义定义。

## 当代逻辑

第二次世界大战后，数理逻辑的各个分支迅速发展。模型论研究形式语言与数学结构之间的关系；证明论研究形式证明的结构和一致性证明；递归论研究可计算性的理论限度；公理化集合论为数学提供了严格的基础框架。此外，还产生了多种非经典逻辑，包括模态逻辑、直觉主义逻辑、模糊逻辑、相干逻辑和悖论逻辑（paraconsistent logic）等，大大扩展了逻辑学的研究范围和应用领域。

* 传统逻辑
* 工具论
* 正理经
* 因明學
* 《墨经》
* 概念文字
* 逻辑哲学论
* 数学史
* 哲学史
# 巴比伦数学[编辑]

**巴比伦数学**指西亚两河流域从公元前3000年到公元前4世纪的数学。

## 巴比伦数字

巴比伦数字1-59
巴比伦采用六十進制。1-59的59个数字由两个符号( 表示一 ， 表示十)构成。

(參見巴比倫數字)

## 算术

巴比伦泥板 YBC 7289。对角线表示2的平方根，以四个六十进数字表示：
1 + 24/60 + 51/602 + 10/603 = 1.41421296...
* 乘法

1854年考古学家在幼发拉底河流域发现两块巴比伦算术泥板，一块是1-59的平方表，另一块是1-59的立方表。
巴比伦人没有乘法表，因此，如求两个数的乘积 15 \* 22，他们用平方表间接计算：
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_0
* 除法

巴比伦人没有直除法，他们利用倒数表间接求两个数的商：
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_2
* 2 的平方根

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_4 .
## 代数

巴比伦人知道解下列形式的代数方程：

* 一次方程

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_6
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_8
* 二次方程

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_10
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_12
* 三次方程

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_14
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_16
* 二元方程组

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_18
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_20
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_22
* 三元二次方程

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_24
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_26
例子：BM 85200 泥板，求解

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_28
解法：两边乘 WIKINIUM\_MATH\_PH\_30 可得

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_32
查 WIKINIUM\_MATH\_PH\_34 表，得

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_36
因此 WIKINIUM\_MATH\_PH\_38 ，從而 WIKINIUM\_MATH\_PH\_40 。

## 几何学

巴比伦人知道测量体积和面积的共同规则。他们测量的圆的周长是直径的三倍，面积是圆周平方的十二分之一，如果π估计为3，则这是正确的。圆柱体积取作基底和高度的乘积，然而，锥体或正方形金字塔的锥体的体积被错误地视为高度和基底总和的一半的乘积。毕达哥拉斯定理(Pythagorean theorem)的例子也是巴比伦人所知道的。没有资料表明巴比伦人知道毕达哥拉斯定理，这是一个普遍的说法。

* 吴文俊主编 《中国数学史大系》副卷第一卷 第二编 《巴比伦数学》北京师范大学出版社 2004 ISBN 7-303-05292-5
* Victor J.Katz, Editor, The Mathematics of Egypt, Mesopotamia,China, India,and Islam A source book Princeton University Press 2007 ISBN 978-0-691-11485-9
# 古埃及数学[编辑]

**古埃及数学**是古埃及人发明和使用的数学，使用时间范围在西元前3000年到前300年间，大致从古王國時期一直到托勒密王國开始。古埃及人使用古埃及数字计数，并解决一些数学问题，通常包括乘法和分数问题。关于古埃及数学的佐证都是从稀有的古代纸草书上而来。根据这些纸草书的记载，古埃及人已经有了几何的知识，例如计算表面積和体积，用于建筑计算，以及代数的知识，例如盈不足术和一元二次方程。

## 来源

* 莱因德数学纸草书（RMP），为最大的数学文字来源。大约作于第二中间时期（虽然它是已经失传的中王国时期的纸草的一份复本）。
* 莫斯科数学纸草书
* Egyptian Mathematical Leather Roll
* 拉罕数学纸草书
* 柏林纸草书6619
* Akhmim Wooden Tablet
* 赖斯纳纸草书

## 数字

埃及数字采用10进制。

**埃及数字的圣书体**
| 1 | 10 | 100 | 1000 | 10,000 | 100,000 | 1,000,000
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Slab stela of Old Kingdom Egyptian princess Neferetiabet (dated 2590-2565 BC) from her tomb at Giza, painting on limestone, now in Louvre, France.

一些分数的圣书体
|  WIKINIUM\_MATH\_PH\_0  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_2  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_4  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_6  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_8
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## 参看

* 巴比伦古代数学
* 古希腊数学
* 古罗马数学

* [1] （页面存档备份，存于互联网档案馆）
* [2]

## 参考

* Chace, Arnold Buffum. 1927–1929. *The Rhind Mathematical Papyrus: Free Translation and Commentary with Selected Photographs, Translations, Transliterations and Literal Translations*. 2 vols. Classics in Mathematics Education 8. Oberlin: Mathematical Association of America. (Reprinted Reston: National Council of Teachers of Mathematics, 1979). ISBN 0873531337
* Clagett, Marshall. 1999. *Ancient Egyptian Science: A Source Book*. Volume 3: *Ancient Egyptian Mathematics*. Memoirs of the American Philosophical Society 232. Philadelphia: American Philosophical Society. ISBN 0871692325
* Couchoud, Sylvia. 1993. *Mathématiques égyptiennes: Recherches sur les connaissances mathématiques de l'Égypte pharaonique*. Paris: Éditions Le Léopard d'Or
* Peet, Thomas Eric. 1923. *The Rhind Mathematical Papyrus, British Museum 10057 and 10058*. London: The University Press of Liverpool limited and Hodder & Stoughton limited
* Robins, R. Gay. 1995. "Mathematics, Astronomy, and Calendars in Pharaonic Egypt". In *Civilizations of the Ancient Near East*, edited by Jack M. Sasson, John R. Baines, Gary Beckman, and Karen S. Rubinson. Vol. 3 of 4 vols. New York: Charles Schribner's Sons. (Reprinted Peabody: Hendrickson Publishers, 2000). 1799–1813
* Robins, R. Gay, and Charles C. D. Shute. 1987. *The Rhind Mathematical Papyrus: An Ancient Egyptian Text*. London: British Museum Publications Limited. ISBN 0714109444
* Struve, Vasilij Vasil'evič, and Boris Aleksandrovič Turaev. 1930. *Mathematischer Papyrus des Staatlichen Museums der Schönen Künste in Moskau*. Quellen und Studien zur Geschichte der Mathematik; Abteilung A: Quellen 1. Berlin: J. Springer

## 參考文獻
# 和算[编辑]

| 日語寫法 |
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| 日語原文 | 和算 |
| 假名 | わさん |
| 平文式罗马字 | Wasan |

**和算**是日本的傳統數學（算學），廣義的和算指西方數學傳入之前日本發展的數學，狹義則專指江户时代由數學家關孝和发展起来的一种数学。其深受中國算學影響，成就包括一些很优秀的行列式和微积分的成果。

日本在飛鳥時代受中國唐朝影響，頒佈《大寶律令》後實行律令制，設大學寮，算學為科目之一，稱為算道。後來算道衰落，和算不再是顯學，變成家傳學問。至江戶時代吉田光由參照中國明代算學典籍《算法統宗》編寫《塵劫記》，令算學在日本重新得到重視。後期的關孝和更將算學發揚光大。至明治時代，西方數學體系取代了和算，現在和算主要作為傳統藝能保留、傳承，當中使用算盤的珠算更發展成珠算式心算。

## 工具

和算的傳統工具是算木和算盤，使用算木和算盤的計算方法分別是籌算和珠算。

## 文化

古代日本人解決了數學問題後，會去神社或佛寺參拜酬謝神恩，並奉上寫上問題解法的的繪馬作為祭品，稱為算額。

* 日本數學史
* 中國算學
* 韓算

三上义夫 Yoshio Mikami, Development of Mathematics in Japan and China