Rikunarita-ORG/Wikinium huggingface dataset:
# 几何原本[编辑]

《几何原本》对勾股定理的证明图
摘抄自徐光啟手書《刻〈幾何原本〉序》
《**幾何原本**》（古希臘語：Στοιχεῖα，*Stoicheia*）是古希臘數學家歐几里得所著的一部几何学著作，共13卷，成书于约公元前300年。《几何原本》常被称为有史以来最成功的教材，至今仍被用作几何入门。该书在中世纪被翻译成阿拉伯语和拉丁语，对中世纪伊斯兰世界和西欧的数学产生了巨大影响，并推动了逻辑学和现代科学的发展。。

## 目录

歐几里得所著的《**幾何原本**》共分13卷。

《几何原本》章节目录 (Heath edition)
| Book
 | I
 | II
 | III
 | IV
 | V
 | VI
 | VII
 | VIII
 | IX
 | X
 | XI
 | XII
 | XIII
 | 总和
 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 定义
 | 23 | 2 | 11 | 7 | 18 | 4 | 22 | – | – | 16 | 28 | – | – | 131
 |
| 公理
 | 5 | – | – | – | – | – | – | – | – | – | – | – | – | 5
 |
| 公设
 | 5 | – | – | – | – | – | – | – | – | – | – | – | – | 5
 |
| 命题
 | 48 | 14 | 37 | 16 | 25 | 33 | 39 | 27 | 36 | 115 | 39 | 18 | 18 | 465
 |

《元素》并不像有时认为的那样只讨论几何。 传统上分为三个主题：平面几何（第一至六卷）、基础数论（第七至十卷）和立体几何（第十一至十三卷）。

### 公理系统

《几何原本》的理论是一个公理系统，通过有限的公理来证明所有的**真命题**。

欧几里得平面几何的五条公理（公设）是：

1. 从一點向另一點可以引一条直线。
2. 任意线段能无限延伸成一条直线。
3. 给定任意线段，可以以其一个端点作为圆心，该线段作为半径作一个圆。
4. 所有直角都相等。
5. 若两条直线都与第三条直线相交，并且在同一边的内角之和小于两个直角，则这两条直线在这一边必定相交。

第五条公理称为平行公理（平行公设），可以导出下述命题：

|  |  |  |
| --- | --- | --- |
| “
 | 通过一个不在直线上的点，有且仅有一条不与该直线相交的直线。
 | ”
 |

欧几里得还提出了五个**一般概念**，也可以作为公理使用。

1. 与同一事物相等的事物相等。
2. 相等的事物加上相等的事物仍然相等。
3. 相等的事物减去相等的事物仍然相等。
4. 一个事物与另一事物重合，则它们相等。
5. 整体大于局部。

现代学者一致认为，欧几里得的假设并未提供完整逻辑基础。现代的处理则采用更完整的公理集。

### 第一卷至第六卷：平面幾何

* 第一卷：幾何基礎。本卷確立了基本定義、公設和公理，還包括一些關於全等形、平行線和直線形的熟知的定理。

* 第二卷：幾何與代數。該卷主要討論的是畢達哥拉斯學派的幾何代數學，主要包括大量代數定理的幾何證明。

* 第三卷：圓與角。本卷闡述了圓、弦、割線、切線、圓心角、圓周角的一些定理。

* 第四卷：圓與正多邊形。本卷討論了已知圓的某些内接和外切正多邊形的尺規作圖問题。

* 第五卷：比例。本卷對歐多克索斯的比例理論進行闡述，

* 第六卷：相似。本卷闡述了比例的屬性，以及相似形的概念，包括了泰勒斯定理。

### 第七卷至第九卷：數論

* 第七卷：數論（一）。本卷内容包括整除性、質數、最大公約數、最小公倍數等初等數論内容。

* 第八卷：數論（二）。本卷繼續討論初等數論，包括歐几里得輾轉相除法、各種數的關係（如質數、合數、平方數、立方數等）。

* 第九卷：數論（三）。本卷設計了比例、幾何級數，給出了許多重要的初等數論定理。

* 第十卷：無理數。本卷定義了無理量（即不可公約量），並蘊含了極限思想（如窮竭法）。本卷篇幅最大，也較不易理解。

### 第11卷至第13卷：立體幾何

* 第11卷：立體幾何。本卷論述立體幾何；將第一卷至第六卷的主要内容推廣至立體，如平行、垂直以及立體圖形的體積。

* 第12卷：立體的測量。本卷重在討論立體圖形的體積，例如棱柱、棱錐、圓柱、圓錐以至球體的體積。

* 第13卷：建正多面體。本卷重點研究正多面體的作圖。包含了五種正多面體的作圖，並證明了不存在更多的正多面體。

## 传入中国的历史

包含歐幾里德《**幾何原本**》1747年拉丁文版中平行公設的頁面，原為歐幾里德第五條公設（Postulata），此處由編輯重新分類並作為第十二條公理（Axiomata）呈現。
《幾何原本》北京印刷書，藏於羅馬中央國立圖書館
幾何原本被很多學者認為是歐几里得把很多前人所證明的原理以及自己的一些原創證明彙集在一起的著作，古希臘的一名歷史學家普羅克洛就這樣認為。

歐几里得約於西元前300年寫成《幾何原本》。

它翻譯成阿拉伯文，然後再二手翻譯成拉丁文。最先的印製本出現於1482年。希臘語版本仍然存在於各地，如梵蒂岡教廷圖書館或牛津大學的博德利圖書館。遺憾的是這些現存手抄本品質參差而不完整。

中國最早的譯本是1607年意大利傳教士利瑪竇和中國學者徐光啟根據德國神父克里斯托弗·克拉维烏斯校訂增補的拉丁文本《歐几里得原本》（15卷）合譯的，定名為《幾何原本》，幾何的中文名稱就是由此而得来的。他們只翻譯了前6卷，後9卷由英國人偉烈亞力和中國科學家李善蘭在1857年譯出。

元朝波斯人札馬魯丁在秘書監時，引進波斯文和阿拉伯文的各種數學與科學書籍，包括歐几里得《幾何原本》，命名為《四擘算法段數》。但它大概並未翻譯成中文，也沒有引起學者注意。

* 古希臘數學
	+ 歐几里得
* 歐几里得幾何
* 文藝復興
* 西學東漸
	+ 利瑪竇、徐光啟
	+ 偉烈亞力、李善蘭

## 參考文獻

### 引用

### 來源

書籍
* 《續修四庫全書》. 1300年, 子部·西學譯著類 [專著] / 顧廷龍 主編 ; 《續修四庫全書》編纂委員會 編. -- . -- [影印本]. -- . -- 上海 : 上海古籍出版社, 2002. -- 866页 : 圖 ; 26cm.

## 外部鏈接

* Euclid's Elements（页面存档备份，存于互联网档案馆）（《**原本**》的在線英文版@美國克拉克大學）
* *The First Six Books of the Elements* - 古腾堡计划
* 陳方正：〈《幾何原本》在不同文明之翻譯及命運初探（页面存档备份，存于互联网档案馆）〉。
# 弦 (幾何)[编辑]

**弦**是一個几何术语，也是一個圖論概念。

## 幾何術語

### 曲線

在几何学中，若一线段的两个端点都在曲線上，则该线段称作该曲線的**弦**。圓的任何弦的垂直平分線都會通過圓心。

### 三角形

**弦**可以指直角三角形上的斜边。

## 圖論概念

**弦**在圖論裡代表連接一個環上不相鄰的兩個點的一條邊。

## 三角函數

最早的三角函數表是以圓型的弦之長度來建表的。例如喜帕恰斯列出了每7+1/2度的弦函數表。在公元二世紀，亞歷山大的托勒密在他的天文學書《天文學大成》建了更詳盡的弦長表——托勒密全弦表，表中以直徑120的圓為基礎，列出了從1/2度到180度每1/2度的弦長表，被視為是最早的三角函數表。計算弦長的函數可以表示為 WIKINIUM\_MATH\_PH\_0 ，其代表了特定角度的角在單位圓上的弦長，與其他三角函數的關聯為：

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_2

* 弦函數

## 參考文獻
# 阿波罗尼奥斯问题

圖１：阿波羅尼奧斯問題的示意圖，其中粉紅色的是一個解圓，黑色的是已知圓。
圖２：阿波羅尼奧斯問題的四對解圓。黑色的是已知圓。
**阿波羅尼奧斯問題**是一道有名的幾何題：「平面上給定三個圓周，如何用尺规作图構造出和這三個已知圓都相切的圓（圖１ ）？」

佩爾蓋的阿波羅尼奧斯（Apollonius of Perga，約前262年－約前190年）在其著名作品《論切觸》（希臘語：Ἐπαφαί，英譯名 Tangencies ）裡提出並解決了這個問題；雖然作品現已遺失，但這個數學結果已被記載在一份四世紀時亞歷山大的帕普斯所寫的報告裡。

三個給定的圓，一般而言會有八個不同的圓和它們都相切（圖２），而在這八個解裡，每一個都以不同的方式內切或外切於給定的三個圓。在十六世紀，范羅門用相交的雙曲線解決了這個問題，但他的解法並不符合只使用直規的要求。弗朗索瓦·韋達利用問題的極端情況找到這樣一種解法：三個圓中的任何一個都可以縮成零半徑（一個點），或擴大成半徑無限（一條直線）。此方法也被認為是阿波羅尼奧斯所用方法的一個頗為可信的重現。另外，值得一提的是，范羅門的方法後來被艾薩克·牛頓簡化了，而且他證明了阿波羅尼奧斯問題等價於另一個問題：尋找一個點，其與三個給定點的**距離之差**是已知的。此想法在導航和定位系統中有一些應用，比如LORAN（遠距離無線電導航系統）。

再後來的數學家引入了代數的方法，即把幾何問題變換為代數方程組。這些方法又可以利用阿波羅尼奧斯問題所固有的對稱性以得到簡化，比如作為解的那些圓周（解圓）一般都成對出現：一個解圓和某已知圓外切的話，相應一定有另一個解圓是內切的（圖２）。熱爾崗納利用這種對稱性提供了一個優美的尺規解法；也有一些數學家使用圓反演等幾何變換來簡化已知圓的配置。以上這些發展為一些代數方法提供了幾何的框架（見李球面幾何），以及根據已知圓的33種不同的配置來對解圓分類的方法。

阿波羅尼奧斯問題還進一步激發了很多工作。這個問題的三維推廣－－構造與四個已知球面相切的球面－－或者更高維的推廣，都有人研究。另外，三個已知圓兩兩相切的這種配置也引起了關注，例如笛卡兒就給出過已知圓和解圓的半徑關係式，即笛卡爾定理。在這種配置下，如果把問題的解不斷地迭代，還能得到所謂「阿波羅尼奧斯墊片」；這是最早被印刷出來的分形圖形，在解析數論中也有它的芳踪（見福特圓和哈代-李特爾伍德圓法）。
# 通約性[编辑]

假若，兩個不等於零的实数 WIKINIUM\_MATH\_PH\_0 與 WIKINIUM\_MATH\_PH\_2 的除商 WIKINIUM\_MATH\_PH\_4 是一個有理數，或者說， WIKINIUM\_MATH\_PH\_6 與 WIKINIUM\_MATH\_PH\_8 的比例相等於兩個非零整數 WIKINIUM\_MATH\_PH\_10 與 WIKINIUM\_MATH\_PH\_12 的比例：

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_14 ，
則稱它們是互相**可通約的**（commensurable），而這特性則稱為**通約性**。這意味著，存在一個非零的實數**公約數**（common measure） WIKINIUM\_MATH\_PH\_16 ，使得

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_18 ，
所以

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_20
或是

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_22 ，
其中 WIKINIUM\_MATH\_PH\_24 ，所以 WIKINIUM\_MATH\_PH\_26 。

反之，如果該二數的除商是一個無理數，則稱它們是**不可通約的**（incommensurable），亦即， WIKINIUM\_MATH\_PH\_28 與 WIKINIUM\_MATH\_PH\_30 之間不存在一個**公約數** WIKINIUM\_MATH\_PH\_32 使得

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_34 。

## 歷史

畢達哥拉斯學派發現了不可通約數（無理數） WIKINIUM\_MATH\_PH\_36 ，這破壞了他們的比例論。

為了挽救比例論，尤得塞斯提出了以幾何量為基礎的比例論，被歐幾里得收錄在《幾何原本》的第五冊中。
這本書裡面記載著，假若， WIKINIUM\_MATH\_PH\_38 個線段 WIKINIUM\_MATH\_PH\_40 連接起來，成為一個線段，全等於線段 WIKINIUM\_MATH\_PH\_42 ； WIKINIUM\_MATH\_PH\_44 個線段 WIKINIUM\_MATH\_PH\_46 連接起來，成為一個線段，全等於線段 WIKINIUM\_MATH\_PH\_48 ；這裏， WIKINIUM\_MATH\_PH\_50 與 WIKINIUM\_MATH\_PH\_52 是整數。那麼，兩個線段 WIKINIUM\_MATH\_PH\_54 與 WIKINIUM\_MATH\_PH\_56 是互相**可通約的**。歐幾里得並沒有用到實數的概念。他用到了線段與線段之間，全等，比較長，或比較短，這些概念。

## 數學

設定實數 WIKINIUM\_MATH\_PH\_58 與 WIKINIUM\_MATH\_PH\_60 。那麼，實數 WIKINIUM\_MATH\_PH\_62 ，整數 WIKINIUM\_MATH\_PH\_64 與 WIKINIUM\_MATH\_PH\_66 的存在，促使

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_68 ，
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_70 ，
的充分必要條件是除商 WIKINIUM\_MATH\_PH\_72 為有理數。

假設 WIKINIUM\_MATH\_PH\_74 與 WIKINIUM\_MATH\_PH\_76 是正值的實數。又假設我們有一支尺，長度單位為實數 WIKINIUM\_MATH\_PH\_78 。我們用這尺來測量兩個長度為 WIKINIUM\_MATH\_PH\_80 與 WIKINIUM\_MATH\_PH\_82 的線段。假若，所得到的答案都是整數，則稱 WIKINIUM\_MATH\_PH\_84 與 WIKINIUM\_MATH\_PH\_86 互相**可通約的**；否則，互相**不可通約的**。

## 天文學

在天文學裏，兩個公轉於運行軌道的天體，像行星、衛星、或小行星，若它們的公轉週期的比例是有理數，則稱它們相互呈現**通約性**。

## 物理學

在一個週期性物理系統裏，每一個廣義坐標都有它運動的週期。假若，其中有任何廣義坐標的週期與別的廣義坐標的週期不相同，則稱此物理系統為**多重週期性物理系統**。假若，兩個廣義坐標的週期的比例是個有理數，則稱這兩個週期是互相**可通約的**。假若，每一個廣義坐標的週期與其它的廣義坐標的週期都是互相**可通約的**，則此系統是**完全可通約的**，稱此系統為**完全可通約系統**。

## 參閱

* 公因數
* 公倍数
* 軌道共振
* 作用量-角度坐標
# 欧几里得几何[编辑]

欧几里得

**欧几里得几何**（英語：Euclidean geometry）指按照欧几里得的《几何原本》构造的几何学。

欧几里得几何有时就指二维平面上的几何，即**平面几何**，本文主要描述平面几何。三维空间的欧几里得几何通常叫做立体几何，高维的情形请参看欧几里得空间。

数学上，欧几里得几何是二维平面和三维空间中的几何，基于點線面公設。数学家也用这一术语表示具有相似性质的高维几何。

其中公設五又稱之為平行公設（Parallel Axiom），敘述比較複雜，這個公設衍生出「三角形內角和等於一百八十度」的定理。在高斯（F. Gauss, 1777年—1855年）的時代，公設五就備受質疑，俄羅斯數學家羅巴切夫斯基（Nikolay Ivanovitch Lobachevski）、匈牙利數學家波約（Bolyai）闡明第五公設只是公理系統的一種可能選擇，並非必然的幾何真理，也就是「三角形內角和不一定等於一百八十度」，從而發現非歐幾里得的幾何學，即**非歐幾何**（non-Euclidean geometry）。

欧几里得几何是数学中最古老的分支之一，其历史可追溯至古希腊时期。欧几里得的《几何原本》在两千余年间一直被用作标准教科书，对西方数学和科学的发展产生了深远影响。 现代数学中，欧几里得几何不仅指《几何原本》所描述的古典几何体系，也包括通过解析几何和线性代数方法建立的一般欧几里得空间理论。

## 历史

古希腊数学在古典时期取得了辉煌成就。欧几里得（约公元前300年）在亚历山大港撰写了《几何原本》（Στοιχεῖα），将当时已知的几何知识组织成一个严密的公理系统。《原本》共十三卷，包含五条公设、五条一般概念和数百条命题，涵盖平面几何、数论、无理量和立体几何等内容。

《原本》在历史上通过多种途径传播。阿拉伯学者在阿拔斯王朝时期将其翻译为阿拉伯语，后者在12世纪被译为拉丁文传入欧洲。文艺复兴之后，《原本》成为欧洲教育体系中的标准数学教材，其公理化方法深刻影响了牛顿的《自然哲学的数学原理》和斯宾诺莎的《伦理学》等著作。

19世纪，非欧几里得几何的发现动摇了欧几里得几何作为物理空间唯一真理的地位。高斯、罗巴切夫斯基和波约各自独立地构造了满足前四条公设但否定第五公设的几何体系，证明平行公设独立于其他公理。 此后，黎曼、克莱因和希尔伯特等数学家对几何基础进行了更深入的研究，形成了现代几何学的丰富体系。

## 公理描述

歐幾里得證明的要素，由於一個正三角形的存在必須包含每個線段，包含 WIKINIUM\_MATH\_PH\_0 等邊三角形的構成，是由 WIKINIUM\_MATH\_PH\_2 和 WIKINIUM\_MATH\_PH\_4 兩點，畫出圓 WIKINIUM\_MATH\_PH\_6 與圓 WIKINIUM\_MATH\_PH\_8 ，並且交叉於第三點 WIKINIUM\_MATH\_PH\_10 上。
欧几里得几何的传统描述是一个公理系统，通过有限的公理来证明所有的**真命题**。

欧几里得平面几何的五条公理（公设）是：

1. 从一點向另一點可以引一条直线。
2. 任意线段能无限延伸成一条直线。
3. 给定任意线段，可以以其一个端点作为圆心，该线段作为半径作一个圆。
4. 所有直角都相等。
5. 若两条直线都与第三条直线相交，并且在同一边的内角之和小于两个直角，则这两条直线在这一边必定相交。

第五条公理称为平行公理（平行公设），可以导出下述命题：

|  |  |  |
| --- | --- | --- |
| “
 | 通过一个不在直线上的点，有且仅有一条不与该直线相交的直线。
 | ”
 |

平行公理并不像其他公理那么显然。许多几何学家尝试用其他公理来证明这条公理，但都没有成功。19世纪，通过构造非欧几里得几何，说明平行公理是不能被证明的（若从上述公理体系中去掉平行公理，则可以得到更一般的几何，即绝对几何）。

从另一方面讲，欧几里得几何的五条公理（公设）并不完备。例如，该几何中的定理：在任意直线段上可作一等边三角形。他用通常的方法进行构造：以线段为半径，分别以线段的两个端点为圆心作圆，将两个圆的交点作为三角形的第三个顶点。然而，他的公理并不保证这两个圆必定相交。因此，许多公理系统的修订版本被提出，其中有希尔伯特公理。

欧几里得还提出了五个**一般概念**，也可以作为公理。当然，之后他还使用量的其他性质。

1. 与同一事物相等的事物相等。
2. 相等的事物加上相等的事物仍然相等。
3. 相等的事物减去相等的事物仍然相等。
4. 一个事物与另一事物重合，则它们相等。
5. 整体大于局部。

## 现代方法

如今，欧几里得几何的构造通常不是通过公理化方法，而是通过解析几何。通过这种方法，可以像证明定理一样证明欧几里得几何（或非欧几里得几何）中的公理。这一方法没有公理方法那么漂亮，但绝对简练。

* 构造

首先，定义点的集合为实数对 WIKINIUM\_MATH\_PH\_12 的集合。给定两个点 WIKINIUM\_MATH\_PH\_14 和 WIKINIUM\_MATH\_PH\_16 ，定义距离：

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_18 .
这就是**欧几里得度量**。所有其他概念，如直线、角、圆可以通过作为实数对的点和之间的距离来定义。例如通过点 WIKINIUM\_MATH\_PH\_20 和 WIKINIUM\_MATH\_PH\_22 的直线可以定义成点的集合 WIKINIUM\_MATH\_PH\_24 满足

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_26 或 WIKINIUM\_MATH\_PH\_28 。
## 经典定理

* 塞瓦定理
* 梅涅劳斯定理
* 托勒密定理
* 海伦公式
* 九点圆
* 勾股定理
* 蝴蝶定理
* 密克定理

## 应用

欧几里得几何在科学和工程中有着广泛的应用。在物理学中，经典力学假设物理空间是三维欧几里得空间，牛顿运动定律在此框架下成立。在工程学中，解析几何方法被用于计算机辅助设计（CAD）、结构分析和机器人运动规划。在计算机图形学中，三维空间的几何变换（平移、旋转、缩放）通过线性代数和欧几里得变换实现。

在建筑学中，欧几里得几何提供了空间设计的基本语言，从古典建筑的柱式比例到现代建筑的模块化设计均以其为基础。在导航和测量学中，三角测量等方法的理论基础正是欧几里得几何中的三角形定理。

## 与其他几何的关系

欧几里得几何是更广泛的度量几何的特例。若移除或修改平行公设，则可得到非欧几里得几何。双曲几何（罗巴切夫斯基几何）满足前四条公设但假设通过直线外一点有无数条平行线；椭圆几何（黎曼几何）则假设不存在平行线。在双曲几何中，三角形内角和小于180度；在椭圆几何中，三角形内角和大于180度。

此外，射影几何研究图形在投影变换下保持不变的性质；微分几何将欧几里得几何推广到弯曲空间。这些几何体系与欧几里得几何共同构成了现代数学的几何学图景。

* 非欧几里得几何
	+ 双曲几何
	+ 椭圆几何
# 穷竭法[编辑]

**穷竭法** (英語：Method of exhaustion; 拉丁語：methodus exhaustionibus)，有时被误译为“穷举法”，是一种求图形面积的方法，其通过构造一个内接多边形序列，使这些多边形的面积收敛到所求图形面积。如果这个多边形序列构造得当，那么其第*n*项的面积与所求图形面积之差在*n*足够大时便可以小于任意给定正数。因为这个面积差可以任意小，是故该图形面积的可能值便系统性的被该多边形序列中的成员的面积所给出的一系列下界“穷竭”掉了。

穷竭法在应用时一般须诉诸归谬法，后者是反证法的一种形式。具体来说就是，为了求某图形面积，而将其与第二个图形（该图形可以作“穷竭”式的变形，而使其面积任意接近所求面积）来作比较。证明过程牵涉到先假定所求面积大于第二图形的面积，并证明其伪，接下来假定所求面积小于第二图形的面积，并将其也证伪。

## 历史

Grégoire de Saint-Vincent
此法思想始自公元前5世纪的安提丰，虽然不很清楚他对此法理解到什么程度。数十年后，这个理论由欧多克索斯加以严格化，用以计算面积和体积。此法于公元3世纪被中国的刘徽重新发明，用以计算圆面积。“穷竭法”这个名称是由Grégoire de Saint-Vincent于1647年在其著作《求圆与圆锥曲线的面积》(*Opus geometricum quadraturae circuli et sectionum coni*)中首次使用。

穷竭法被看作微积分方法的先导。解析几何与积分学在17世纪至19世纪的发展涵盖了穷竭法，所以此法不再被显式的运用。另一个重要的发展是Cavalieri原理，亦称作“不可分量法”，再进一步便引至Roberval, 托里拆利, Wallis, 莱布尼茨等人的无穷小量演算(infinitesimal calculus)，即标准微积分学的前身。

### 欧几里得

欧几里得在其所著《几何原本》第12卷中，用穷竭法证明了以下六个命题。

命题2
圆面积与其直径的平方成正比。
命题5
两个等高的四面体的体积比等于其底面三角形的面积比。
命题10
圆锥体的体积等于同底等高的圆柱体体积的三分之一。
命题11
等高的圆椎体（或圆柱体）的体积正比于底面面积。
命题12
相似的圆锥体（或圆柱体）的体积正比于其底面直径的立方。
命题18
球体积正比于其直径的立方。
### 阿基米德

阿基米德用穷竭法计算圆面积
阿基米德使用穷竭法来计算圆周所围住的面积，具体说来就是用一个面积越来越大，边数越来越多的多边形来填充这个圆。当多边形的边数越来越多时，其面积与圆半径的平方之商可以任意接近π，由此证明半径为r的圆周所围面积为πr2，其中π定义为圆的周径之比(C/d)或圆面积与半径平方之比(A/r²).

他还通过比较圆内接和外切正96边形的周长而给出上下界估计 3 + 10*/*71 < *π* < 3 + 10*/*70 (此区间之宽度为 1*/*497).

他用穷竭法获得的其它结果包括:

* 一条直线与一条抛物线相交，所围出的面积等于同底同高的三角形面积的4/3倍；
* 椭圆面积与以其长轴和短轴为边长的矩形的面积成正比；
* 球体体积等于以该球半径为底面半径和高的圆锥体积的4倍；
* 一个圆柱，若其高等于其底面直径，则其体积为同样直径的球体体积的3/2倍；
* 等速螺线的第一周所扫过的面积等于以第一周终点与起点之间距离为半径的圆的面积的1/3;
* （首次）求出了一个几何级数的和。

* *The Method of Mechanical Theorems*
* *The Quadrature of the Parabola*
* 梯形公式
# 平行公設[编辑]

如果α和β的內角和小於180°，則兩直線不斷延伸，在這一側相交。
**平行公設**（英語：Parallel postulate），也稱為**歐幾里得第五公設**，因是《幾何原本》五條公設的第五條而得名。這是歐幾里得幾何一條與別不同的公理，比前四條複雜。公設是說：

> 如果一條線段與兩條直線相交，在某一側的內角和小於兩直角和，那麼這兩條直線在不斷延伸後，會在內角和小於兩直角和的一側相交。
>
>

假定所有歐幾里得公設（當中包括平行公設）都成立的幾何称为歐幾里得幾何。假定平行公設不成立的稱為非歐幾里得幾何。不依賴於平行公設的幾何，也就是只假設前四條公設的，稱為仿射幾何。这只是一个与平行线的性质有关的公设。欧几里得已在《几何原本》第I卷定义第23条中定义过平行线了。。

歐幾里得幾何的有些性質與平行公設等價，也就是假設平行公設成立，可推導出這些性質，反过来假設這些性質的一項為公理，也可以推導出平行公設。其中最重要的一項，也是最常作為公理代替平行公設的，要算是蘇格蘭數學家约翰·普莱费尔提出的普莱费尔公理：

> 給定一條直線，通過此直線外的任何一點，有且只有一條直線與之平行。
>
>

这里有个问题要提出来，即在证明第五公设时，平面是不加定义，如果平面作如下定义：满足第五公设的面定义为平面。这实际上可用公理法对平面作定义。如果有这定义，第五公设是自明的。这才符合直观。

## 歷史

包含歐幾里德《幾何原本》1747年拉丁文版中**平行公設**的頁面，原為歐幾里德第五條公設（Postulata），此處由編輯重新分類並作為第十二條公理（Axiomata）呈現。
很多人嘗試用前四條公設證明平行公設都不成功，反而創造了違反平行公設的雙曲幾何。最後由意大利數學家貝爾特拉米（Eugenio Beltrami）證明了平行公設獨立於前四條公設。

## 等價命題

很多命題看似與平行線無關，實則與平行公設等價。有些性質看似很明顯，因而被一些聲稱證明了平行公設的人不經意用到了。這裡是一些命題：

1. 三角形內角和為兩直角。
2. 所有三角形的內角和都相等。
3. 存在一對相似但不全等的三角形。
4. 所有三角形都有外接圓。
5. 若四邊形三個內角是直角，那麼第四個內角也是直角。
6. 存在一對等距的直線。
7. 平行滿足遞移性，即若兩條直線都平行於第三條，那麼這兩條直線也平行。
# 正多边形[编辑]

正五边形
**正多边形**，是所有角都相等，所有边都相等的简单多边形，简单多边形是指在任何位置都不与自身相交的多边形。

所有具有同样边数的正多边形都是相似多边形。

## 示例

* 正三角形
* 正方形 (正四邊形)
* 正五边形
* 正六边形
* 正七边形
* 正八边形
* 正十边形
* 正十二边形

## 特性

正 WIKINIUM\_MATH\_PH\_0 边形每个内角为 WIKINIUM\_MATH\_PH\_2 或者表示为 WIKINIUM\_MATH\_PH\_4 角度。也可以用弧度表示为 WIKINIUM\_MATH\_PH\_6 或者 WIKINIUM\_MATH\_PH\_8 。

正多边形的所有顶点都在同一个外接圆上，每个正多边形都有一个外接圆。

正多边形可尺规做图当且仅当正多边形的边数 WIKINIUM\_MATH\_PH\_10 的奇质数因子是费马数。参见可尺规作图的多边形。

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_12 的正多边形的对角线数目是 WIKINIUM\_MATH\_PH\_14 ，如 0、2、5、9、... 等，这些对角线将多边形分成 1、4、11、24、... 块。

## 面积

正六边形的垂直边心距
正 WIKINIUM\_MATH\_PH\_16 边形的面积为

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_18
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_20
其中 WIKINIUM\_MATH\_PH\_22 是边长。正多边形的面积还等于多边形的周长与边心距离乘积的一半。边心距离是多边形中心到边的垂直距离。

如果 WIKINIUM\_MATH\_PH\_24 则正多边形的面积为，

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_26
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_28
从而可以得到

|  |  |  |
| --- | --- | --- |
| 3 |    WIKINIUM\_MATH\_PH\_30  | 0.433
 |
| 4 |   1 | 1.000
 |
| 5 |    WIKINIUM\_MATH\_PH\_32  | 1.720
 |
| 6 |    WIKINIUM\_MATH\_PH\_34  | 2.598
 |
| 7 |  | 3.634
 |
| 8 |    WIKINIUM\_MATH\_PH\_36  | 4.828
 |
| 9 |  | 6.182
 |
| 10 |    WIKINIUM\_MATH\_PH\_38  | 7.694
 |
| 11 |  | 9.366
 |
| 12 |    WIKINIUM\_MATH\_PH\_40  | 11.196
 |
| 13 |  | 13.186
 |
| 14 |  | 15.335
 |
| 15 |  | 17.642
 |
| 16 |  | 20.109
 |
| 17 |  | 22.735
 |
| 18 |  | 25.521
 |
| 19 |  | 28.465
 |
| 20 |  | 31.569
 |
| 100 |  | 795.513
 |
| 1000 |  | 79577.210
 |
| 10000 |  | 7957746.893
 |

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_42 的正多边形的面积比同周长的圆的面积小大约 0.26，随着 WIKINIUM\_MATH\_PH\_44 的增加，这个差值趋近于 WIKINIUM\_MATH\_PH\_46 。

## 对称性

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_48 边多边形的对称群为 WIKINIUM\_MATH\_PH\_50 阶的 dihedral group WIKINIUM\_MATH\_PH\_52 它包括 WIKINIUM\_MATH\_PH\_54 中的 WIKINIUM\_MATH\_PH\_56 阶旋转对称以及经过中心的 WIKINIUM\_MATH\_PH\_58 条轴线的镜像对称。如果 WIKINIUM\_MATH\_PH\_60 是偶数，则这些轴线中有一半经过相对的顶点，另外一半经过相对边的中点。如果 WIKINIUM\_MATH\_PH\_62 是奇数，则所有的轴线都是经过一个顶点以及其相对边的中心。

## 非凸正多边形

正多边形的广义分类包括星形正多边形，例如五角星与五边形的顶点相同，但是顶点要交替相连。

示例：

* 五角星 - WIKINIUM\_MATH\_PH\_64
* 七角星 - WIKINIUM\_MATH\_PH\_66
* 八角星 - WIKINIUM\_MATH\_PH\_68
* 九角星 - WIKINIUM\_MATH\_PH\_70
* 十角星 - WIKINIUM\_MATH\_PH\_72
* 十一角星 - WIKINIUM\_MATH\_PH\_74
* 十二角星 - WIKINIUM\_MATH\_PH\_76

## 多面体

正多面体是以正多边形作为面的多面体，因此对于每两个顶点来说都有一个等距的映射将其中一点映射到另一点。 This is a very practical graphic that can give people a sense of comfort and stability when used in mind maps and decorations.

* 正多面體
* 正多胞體
* 正圖形列表
* 正多邊形鑲嵌
* 等邊多邊形
* 等角多邊形
* 圓內接多邊形
* 圓外切多邊形
* 外接圓
* 內切圓
* 外接球
* 內切球

* Mathworld: Regular Polygon （页面存档备份，存于互联网档案馆）
* Regular Polygon description （页面存档备份，存于互联网档案馆） With interactive animation
* Incircle of a Regular Polygon （页面存档备份，存于互联网档案馆） With interactive animation
* Area of a Regular Polygon （页面存档备份，存于互联网档案馆） Three different formulae, with interactive animation
# 尺规作图[编辑]

正五邊形的作圖
伏羲和女娲手里分别拿着折尺和圆规

**尺规作图**（英語：compass-and-straightedge/ruler-and-compass construction）是起源于古希腊的数学课题。只使用圆规和直尺，并且只准许使用有限次，来解决不同的平面几何作图题。

值得注意的是，以上的“直尺”和“圆规”是抽象意义的，跟現實中的並非完全相同，具体而言，有以下的限制：

* **直尺**必須沒有刻度，無限長，只可以做過兩點之直線。
* **圆规**可以開至無限寬，但上面亦不能有刻度。它只可以拉開成你之前構造過的長度或一個任意的長度。

尺规作图的研究，促成数学上多个领域的发展。有些数学结果就是为解决古希腊三大名题而得出的副产品，对尺规作图的探索推动了对圆锥曲线的研究，并发现了一批著名的曲线。

若干著名的尺规作图已知是不可能的，而当中很多不可能的例子是利用了19世纪出现的伽罗瓦理論以证明。尽管如此，仍有很多业余者尝试这些不可能的题目，当中以化圆为方及三等分任意角（Angle trisection）最受注意。

## 原理

### 作圖公法

作圖公法
以下是尺規作圖中可用的基本方法，也稱為作圖公法，任何尺規作圖的步驟均可分解為以下五種方法：

* 通過兩個已知點可作一直線。
* 已知圓心和半徑可作一個圓。
* 若兩已知直線相交，可得其交點。
* 若已知直線和一已知圓相交，可得其交點。
* 若兩已知圓相交，可得其交點。

## 問題

### 古希臘三大難题

古希臘三大難题是早期希臘数学家特别感兴趣的三个问题。由于我们的现代几何学知识是从希臘发源的，因此这三个古典几何问题在几何学中有着很高的地位。它们分别是：

化圆为方問題
求一个正方形的边长，使其面积与一已知圆的相等。
三等分角問題
求一角，使其角度是一已知角度的三分之一（可以用只有一點刻度的直尺與圓規作出）
倍立方問題。
求一立方体的棱长，使其体积是一已知立方体的二倍（可以用木工的角尺作出）。
在欧几里得几何学的限制下，以上三个问题都不可能解决。

### 正多边形作法

* 只使用直尺和圆规，作正五边形。
* 只使用直尺和圆规，作正六边形。
* 只使用直尺和圆规，作正七边形——这个看上去非常简单的题目，曾经使许多著名数学家都束手无策，而現在正七边形已被證明是不能由尺规作出的。
* 只使用直尺和圆规，作正九边形，此图也不能作出来，因為單用直尺和圓規，是不足以把一个角分成三等份的。
* 问题的解决：高斯大学二年级时得出正十七边形的尺规作图法，并给出了可用尺规作图的正多边形的充分条件：尺规作图正多边形的边数目必须是2的非負整數次方乘以任意个（可为0个）不同的费马素数的积，解决了兩千年来悬而未决的难题。
* 1832年，Richelot與Schwendewein給出正257邊形的尺規作法。
* 1900年左右，约翰·古斯塔夫·爱马仕花費十年的功夫用尺規作圖作出正65537邊形，他的手稿裝滿一大皮箱，可以說是最複雜的尺規作圖。

### 四等分圆周

這道題只准许使用圆规，要求參與者将一个已知圆心的圆周4等分。這道題传言是拿破仑·波拿巴擬出，向全法国数学家挑战的。這道題已被證明有解。

## 延伸

### 圓規作圖

* 1672年，喬治·莫爾（Georg Mohr）证明：如果把“作直线”解释为“作出直线上的2点”，那么凡是尺规能作的，单用圆规也能作出，拿破崙問題就是一個例子。

### 直尺作圖

* 只用直尺所能作的圖其實不多，但在已知一个圆和其圆心的情况下，那么凡是尺规能作的，单用直尺也能作出。

### 生鏽圓规（即半径固定的圆规）作图

* 生锈圆规作图，已知两点 WIKINIUM\_MATH\_PH\_0 、 WIKINIUM\_MATH\_PH\_2 ，找出一点 WIKINIUM\_MATH\_PH\_4 使得 WIKINIUM\_MATH\_PH\_6 。
* 已知两点 WIKINIUM\_MATH\_PH\_8 、 WIKINIUM\_MATH\_PH\_10 ，只用半径固定的圆规，求作 WIKINIUM\_MATH\_PH\_12 使 WIKINIUM\_MATH\_PH\_14 是线段 WIKINIUM\_MATH\_PH\_16 的中点。
* 尺规作图，是古希臘人按“盡可能简单”这个思想出发的，能更简洁的表达吗？顺着这思路就有了更简洁的表达。
	+ 10世纪时，有数学家提出用直尺和半径固定的圆规作图。
* 從給定的兩點出發時，生鏽圓規作圖完全等價於尺規作圖。
* 但是，「從給定的兩點出發」這一條件必不可少，在有多個已知點的條件下，鏽規作圖的能力還有待研究。

### 二刻尺作图

* 將條件放寬，允許使用有刻度的直尺，可以三等分角或做出正七邊形等一般尺規做圖所做不到的事。

### 允许使用长度等于1的线段

* 已知两条线段AB、AC，可以作出一条线段的长度等于两条线段长度之乘积AB×AC。

* 方程的解 （页面存档备份，存于互联网档案馆）

### 尺規作圖的程式

* C.a.R. （页面存档备份，存于互联网档案馆） -Java程式
* GRACE （页面存档备份，存于互联网档案馆） -在線Java程式
* Geometric Drawing Pad-在線Java程式
* Ruler & compass （页面存档备份，存于互联网档案馆） -在線程式
# 化圓為方[编辑]

化圓為方：求一正方形，其面積和一已知圓的面積相同。
**化圓為方**是古希臘数学里尺規作圖领域當中的命題，和三等分角、倍立方問題被並列為尺规作图三大难题。其問題為：求一正方形，其面積等於一給定圓的面積。如果尺规能够化圆为方，那么必然能够从单位长度出发，用尺规作出长度为 WIKINIUM\_MATH\_PH\_0 的线段。

进入十九世纪后，随着群论和域论的发展，数学家对三大难题有了本质性的了解。尺规作图问题可以归结为判定某些数是否满足特定的条件，满足条件的数也被称为规矩数。所有规矩数都是代数数。而1882年，数学家费迪南德·冯·林德曼證明了 WIKINIUM\_MATH\_PH\_2 為超越數，因此也證實該問題僅用尺規是無法完成的。

如果放寬尺规作图的限制或允许使用其他工具，化圆为方的問題是可行的。如借助西皮阿斯的割圓曲線，阿基米德螺線等。

## 背景简介

### 尺规作图法

在叙述化圆为方问题前，首先需要介绍尺规作图的意思。尺规作图问题是从现实中具体的“直尺和圆规画图可能性”问题抽象出来的数学问题，将现实中的直尺和圆规抽象为数学上的设定，研究的是能不能在若干个具体限制之下，在有限的步骤内作出给定的图形、结构或其他目标的问题。在尺规作图中，直尺和圆规的定义是：

直尺：一侧为无穷长的直线，没有刻度也无法标识刻度的工具。只可以让笔摹下这个直线的全部或一部分。
圆规：由两端点构成的工具。可以在保持两个端点之间的距离不变的情况下，将两个端点同时移动，或者只固定其中一个端点，让另一个端点移动，作出圆弧或圆。两个端点之间的距离只能取已经作出的两点之间的距离，或者任意一个未知的距离。
定义了直尺和圆规的特性後，所有的作图步骤都可以归化为五种基本的步骤，称为作图公法：

* 通過兩個已知點，作一直線。
* 已知圓心和半徑，作一個圓。
* 若兩已知直線相交，确定其交點。
* 若已知直線和一已知圓相交，确定其交點。
* 若兩已知圓相交，确定其交點。

尺规作图研究的，就是是否能够通过以上五种步骤的有限次重复，达到给定的作图目标。尺规作图问题常见的形式是：“给定某某条件，能否用尺规作出某某对象？”比如：“给定一个圆，能否用尺规作出这个圆的圆心？”，等等。

### 问题叙述

化圓為方问题的完整叙述是：

|  |  |  |
| --- | --- | --- |
| “
 | 给定一个圆，是否能够通过以上说明的五种基本步骤，于有限次内作出一个正方形，使得它的面积等于圆的面积
 | ”
 |

如果将圆的半径定为单位长度，则化圆为方问题的实质是作出长度为单位长度 WIKINIUM\_MATH\_PH\_4 倍的线段。

## 不可能性的證明

### 圆周率的超越性

化圆为方问题是指已知单位长度1，要作出 WIKINIUM\_MATH\_PH\_6 的长度。这等价于从1开始作出 WIKINIUM\_MATH\_PH\_8 。然而，能够用尺规作出的数 WIKINIUM\_MATH\_PH\_10 都有对应的最小多项式。也就是说，存在有理系数的多项式 WIKINIUM\_MATH\_PH\_11 ，使得

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_12
然而，1882年，林德曼等人证明了对于圆周率 WIKINIUM\_MATH\_PH\_14 来说，这样的多项式不存在。数学家将这样的数称为超越数，而将有对应的多项式的数称为代数数。所有规矩数都是代数数，而 WIKINIUM\_MATH\_PH\_16 不是，这说明用尺规作图是无法化圆为方的。

林德曼证明 WIKINIUM\_MATH\_PH\_18 的超越性用到了现在称为林德曼－魏尔斯特拉斯定理的结论。林德曼－魏尔斯特拉斯定理说明，如果若干个代数数 WIKINIUM\_MATH\_PH\_20 在有理数域 WIKINIUM\_MATH\_PH\_22 上线性独立，那么 WIKINIUM\_MATH\_PH\_24 也在 WIKINIUM\_MATH\_PH\_26 上线性独立。反设 WIKINIUM\_MATH\_PH\_28 是代数数，那么 WIKINIUM\_MATH\_PH\_30 也是代数数。考虑代数数0和 WIKINIUM\_MATH\_PH\_32 ，由于 WIKINIUM\_MATH\_PH\_34 是无理数，所以它们在 WIKINIUM\_MATH\_PH\_36 上线性独立。然而 WIKINIUM\_MATH\_PH\_38 和 WIKINIUM\_MATH\_PH\_40 分别是1和-1，并非在 WIKINIUM\_MATH\_PH\_42 上线性独立，矛盾。这说明 WIKINIUM\_MATH\_PH\_44 不是代数数，而是超越数。

## 参考来源

## 另见

* 印第安纳圆周率法案

* HPM 通訊第6卷第6期, 3大作圖題 （页面存档备份，存于互联网档案馆） 介紹如何使用其他曲線（或幾何特性）再加上尺規作圖，來求解化圓為方問題。
# 二刻尺作圖

二刻尺作圖
**二刻尺**（希臘語：**νεῦσις**、拉丁转写：**neusis**）是一種幾何作圖的工具，是上面有二個刻度的直尺（刻度可以在作圖過程中標示），因此可以記錄長度。

二刻尺在古希臘時期曾經和圓規、（無刻度的）直尺一樣是在尺規作圖中**合法**的作圖工具。而後來的尺規作圖多限定只能使用無刻度的直尺，不允許使用二刻尺。

## 構造

**二刻尺**介于刻度尺和尺规作图中的尺之间，既不同于日常使用的刻度尺（有许多刻度），也不同于尺规作图中的尺（没有刻度）。二刻尺有两个刻度，使得二刻尺上有某一固定长的线段。尺規作圖中的尺，可視为画无限长的直线工具，二刻尺可看作这种尺上任意添加了点A和点B两个点（AB两点长度固定却不确定某一数值）。

### 使用方法

尺规作图中的尺只能用來將兩點連接起來。而二刻尺除了可以將兩點連接起來，還有以下用法：假設尺上的兩刻度距離為*a*，有兩條線*l*、*m*和點*P*，可以用二刻尺找到一條通過*P*的直線，使得此直線與直线l和m的两个交點间的距離為*a*。

如圖，有兩條線*l*、*m*和點*P*。可以將尺與點*P*對齊，並讓其中一個刻度保持在*l*（圖中黃點）上，慢慢轉動尺 (允許尺貼着*P*滑動)，直到另一個刻度碰到*m*（圖中藍點），此線即為所求（圖中深藍色線）。

## 幾何作圖

二刻尺可以解出單用直尺和圓規無法解決的問題，例如三等分角和正七邊形。

用二刻尺做**三等分角**
### 三等分角

* 已知角a，以B點為圓心，二刻尺刻度間距為半徑畫圓。
* 角a的兩邊其中一邊交圓於A點，並畫另一邊的延長線。
* 將二刻尺固定在A點，並將兩刻度一個移到圓上，另一個移到角a一邊的延長線上，分別稱為C點和D點。（即是使CD = AB）
* 角b即為角a的三等分角。

用二刻尺作**正七邊形**
### 正七邊形

* 以二刻尺刻度的間距畫正方形CDEF。
* 以E點為圓心，CE為半徑畫圓E。
* 做DE的中垂線。
* 將二刻尺固定在D點，並將兩刻度一個移到圓E上，另一個移到DE的中垂線上，分別稱為B點和A點。
* 做三角形ADE的外接圓O。
* 以二刻尺刻度的間距為半徑，畫出G、H、I、J四點。
* D、E、G、H、A、I、J七點即為正七邊形。

### 特定正多邊形

基本上，正*n*邊形可以由二刻尺作圖建構當*n* =

3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 24, 26, 27, 28, 30, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 42, 44, 45, 48, 51, 52, 54, 55, 56, 57, 60, 63, 64, 65, 66, 68, 70, 72, 73, 74, 76, 77, 78, 80, 81, 84, 85, 88, 90, 91, 95, 96, 97, 99, 102, 104, 105, 108, 109, 110, 111, 112, 114, 117, 119, 120, 126, 128, 130, 132, 133, 135, 136, 140, 143, 144, 146, 148, 152, 153, 154, 156, 160, 162, 163, 165, 168, 170, ... ，這是根據正十一邊形的結果衍生而得。
不過當*n* =

23, 29, 43, 46, 47, 49, 53, 58, 59, 67, 69, 71, 79, 83, 86, 87, 89, 92, 94, 98, 103, 106, 107, 113, 115, 116, 118, 121, 127, 129, 131, 134, 137, 138, 139, 141, 142, 145, 147, 149, 157, 158, 159, 161, 166, 167, 169, ... ，就無法藉由二刻尺完成作圖。
但目前仍然不知道對於以下的*n*，正*n*邊形能不能二刻尺作圖：

25, 31, 41, 50, 61, 62, 75, 82, 93, 100, 101, 122, 123, 124, 125, 150, 151, 155, 164, ...
### 倍立方

用二刻尺作**倍立方 以二刻尺刻度的間距做AB=BC=CA=BD，且A、B、D共線。
* 將二刻尺固定在A點，並將兩刻度一個移到CD的延長線上，另一個移到BC的延長線上，分別稱為G點和H點。
* AG的長度就是二刻尺刻度的間距的 WIKINIUM\_MATH\_PH\_0 倍。

## 二刻尺的沒落

數學史學家T.L.希思（T. L. Heath）認為古希臘數學家恩諾皮德斯（公元前440年左右）是第一個把圓規和直尺的**地位**提高的人。這種避免使用二刻尺的理念多少影響了同一時期、同一座島上的几何学家希俄斯的希波克拉底（Hippocrates of Chios，不是醫師希波克拉底）（公元前430年左右）。100年後，歐幾里得在其著作中也盡量避免使用二刻尺作圖。

公元前4世紀，受到柏拉圖的理念论影響，尺規作圖被分成三個等級。這三個等級分別是：

1. 只用圓和直線作圖（一般的尺規作圖）。
2. 除了圓和直線，允許使用圓錐曲線作圖（橢圓、拋物線、雙曲線）。
3. 使用其他方法作圖（例如：二刻尺、阿基米德螺線）。

二刻尺被放在第三級是因為它可以解決前兩級所不能解決的問題，因此二刻尺被當成解決問題的最終手段，這種簡單而有力的作圖工具也逐漸被當成**不正當**的作圖工具。希臘數學家亚历山大里亚的帕普斯（Pappus of Alexandria，公元前325年左右）認為：「這是一個不小的錯誤」。

* R. Boeker, 'Neusis'， in: Paulys Realencyclopädie der Classischen Altertumswissenschaft, G. Wissowa red. (1894-), Supplement 9 (1962) 415-461.（德文）
* The Mathematical Gazette（页面存档备份，存于互联网档案馆）， Vol. 59, No. 407 (Mar., 1975), pp. 17-21

* 從解三次方程到構作正七邊形
* MathWorld page（页面存档备份，存于互联网档案馆）
* Angle Trisection by Paper Folding（页面存档备份，存于互联网档案馆）

* 尺規作圖
* 三等分角
* 正七邊形
* 倍立方
* 皮爾龐特質數
# 外角定理[编辑]

**外角定理**，通常是指三角形中，任一角的外角，多於或等於另兩角的和。外角定理也可以擴充到任意多邊形中：

在歐幾里德幾何中，任意多邊形的外角和，等於一周角。

## 證明

透過把n多邊形切割成n-2個三角形，可以求得多邊形的內角和。因為一對內外角相加為一平角，將邊數n乘上平角，扣掉內角和，即為外角和。