# 三等分角[编辑]

三等分角无法按照尺规作图的规定作出，但如果借助另外的工具或放宽尺规作图的限制，三等分角是可行的
**三等分角**是古希臘平面几何里尺規作圖领域中的著名问题，與化圓為方及倍立方問題並列為尺规作图三大難題。尺规作图是古希腊人的数学研究课题之一，是对具体的直尺和圆规画图可能性的抽象化，研究是否能用规定的作图法在有限步内达到给定的目标。三等分角问题的内容是：“能否仅用尺规作图法将任意角度三等分？”

三等分角问题提出后，在漫长的两千余年中，曾有众多的尝试，但没有人能够给出严格的答案 。随着十九世纪群论和域论的发展，法国数学家皮埃尔·汪策尔首先利用伽罗瓦理论证明，這個問題的答案是否定的：不存在仅用尺规作图法将任意角度三等分的通法。具体来说，汪策尔研究了给定单位长度後，能够用尺规作图法所能达到的长度值。所有能够经由尺规作图达到的长度值被称为规矩数，而汪策尔证明了，如果能够三等分任意角度，那么就能做出不属于规矩数的长度，从而反证出通过尺规三等分任意角是不可能的。

如果不将手段局限在尺规作图法中，放宽限制或借助更多的工具的话，三等分任意角是可能的。然而，作为数学问题本身，由于三等分角问题表述简单，而证明困难，并用到了高等的数学方法，在已被證明不可能实现后，仍然有许多人尝试给出肯定的证明。

## 背景简介

### 尺规作图法

在叙述三等分问题前，首先需要介绍尺规作图的意思。尺规作图问题是从现实中具体的“直尺和圆规画图可能性”问题抽象出来的数学问题，将现实中的直尺和圆规抽象为数学上的设定，研究的是能不能在若干个具体限制之下，在有限的步骤内作出给定的图形、结构或其他目标的问题。在尺规作图中，直尺和圆规的定义是：

直尺：一侧为无穷长的直线，没有刻度也无法标识刻度的工具。只可以让笔摹下这个直线的全部或一部分。
圆规：由两端点构成的工具。可以在保持两个端点之间的距离不变的情况下，固定其中一个端点，让另一个端点移动，作出圆弧或圆。两个端点之间的距离只能取已经作出的两点之间的距离，或者任意一个未知的距离。
定义了直尺和圆规的特性後，所有的作图步骤都可以归化为五种基本的步骤，称为作图公法：

* 通過兩個已知點，作一直線。
* 已知圓心和半徑，作一個圓。
* 若兩已知直線相交，确定其交點。
* 若已知直線和一已知圓相交，确定其交點。
* 若兩已知圓相交，确定其交點。

尺规作图研究的，就是是否能够通过以上五种步骤的有限次重复，达到给定的作图目标。尺规作图问题常见的形式是：“给定某某条件，能否用尺规作出某某对象？”比如：“给定一个圆，能否用尺规作出这个圆的圆心？”等等。

### 问题叙述

三等分角问题的完整叙述是：

|  |  |  |
| --- | --- | --- |
| “
 | 任意给定一个角，是否能够通过以上说明的五种基本步骤，于有限次内作出另一个角，等于这个角的三分之一？
 | ”
 |

关于这个叙述中的用词和术语，需要一一作出定义。“角”可以有两种等价的定义：一个角可以是由一点和从它出发的两条射线构成的集合，也可以是由三点和连接它们的两条线段构成的集合。以下的叙述中采取第二个定义，用三个大写英文字母或一个希腊字母表示一个角。角 WIKINIUM\_MATH\_PH\_0 指的是由三点 WIKINIUM\_MATH\_PH\_1 以及线段 WIKINIUM\_MATH\_PH\_2 和 WIKINIUM\_MATH\_PH\_3 构成的集合，也可以直接用一个希腊字母如 WIKINIUM\_MATH\_PH\_4 表示。两个角 WIKINIUM\_MATH\_PH\_5 和 WIKINIUM\_MATH\_PH\_6 相等，指的是以下条件：如果将线段 WIKINIUM\_MATH\_PH\_7 沿点 WIKINIUM\_MATH\_PH\_8 延长为射线，在上面作一点 WIKINIUM\_MATH\_PH\_9 使得 WIKINIUM\_MATH\_PH\_10  WIKINIUM\_MATH\_PH\_11  WIKINIUM\_MATH\_PH\_13 ，同时将线段 WIKINIUM\_MATH\_PH\_14 沿点 WIKINIUM\_MATH\_PH\_15 延长为射线，在上面作一点 WIKINIUM\_MATH\_PH\_16 使得 WIKINIUM\_MATH\_PH\_17  WIKINIUM\_MATH\_PH\_18  WIKINIUM\_MATH\_PH\_20 ，则 WIKINIUM\_MATH\_PH\_21  WIKINIUM\_MATH\_PH\_22  WIKINIUM\_MATH\_PH\_24 。

一个角 WIKINIUM\_MATH\_PH\_25 等于另一个角 WIKINIUM\_MATH\_PH\_26 的三分之一，指的是角 WIKINIUM\_MATH\_PH\_27 等于角 WIKINIUM\_MATH\_PH\_28 的三倍。而一个角 WIKINIUM\_MATH\_PH\_29 等于角 WIKINIUM\_MATH\_PH\_30 的 WIKINIUM\_MATH\_PH\_31 倍（ WIKINIUM\_MATH\_PH\_32 为自然数），指的是可以找到点 WIKINIUM\_MATH\_PH\_33 等，使得 WIKINIUM\_MATH\_PH\_34 个角 WIKINIUM\_MATH\_PH\_35 都等于 WIKINIUM\_MATH\_PH\_36 ，并且点 WIKINIUM\_MATH\_PH\_37 就是点 WIKINIUM\_MATH\_PH\_38 。

### 二等分角问题

尺规二等分任意角度的过程
与三等分角问题相比，用尺规作图将任意角二等分要容易得多。右图具体说明了二等分一个角的步骤。依照类似的步骤，也能够将任意角四等分、八等分……但直到十九世纪，随着群论和伽罗瓦理论的出现，数学家们才认识到二等分角和三等分角本质上的不同。在现代数学语言中，更常用域扩张的理论来论述三等分角的问题。从证明三等分角的过程中可以知道，尺规作图的方法不但不能三等分任意角，也不能将任意角五等分、七等分、九等分、十一等分。其理由涉及到直线和圆的解析性质。

## 不可能性的證明

1837年，法國數學家汪策爾證明了，三等分角問題是沒有辦法完成的。

三等分角問題提出後，有許多基於平面幾何的論證和嘗試，但在十九世紀以前，一直沒有完整的解答。沒有人能夠給出將任意角度三等分的確實做法，但開始懷疑其可能性的人之中，也沒有人能夠證明這樣的做法一定不存在。直到十九世紀後，伽羅瓦和阿貝爾(全名:尼爾斯·阿貝爾)開創了以群論來討論有理係數多項式方程之解的方法，人們才認識到三等分角問題的本質。

### 尺规可作性和规矩数

在研究各种尺规作图问题的时候，数学家们留意到，能否用尺规作出特定的图形或目标，本质是能否作出符合的长度。引进直角坐标系和解析几何以后，又可以将长度解释为坐标。比如说，作出一个圆，实际上是作出圆心的位置（坐标）和半径的长度。作出特定的某个交点或某条直线，实际上是找出它们的坐标、斜率和截距。为此，数学家引入了尺规可作性这一概念。假设平面上有两个已知的点 WIKINIUM\_MATH\_PH\_39 和 WIKINIUM\_MATH\_PH\_40 ，以 WIKINIUM\_MATH\_PH\_41 为单位长度，射线 WIKINIUM\_MATH\_PH\_42 为 WIKINIUM\_MATH\_PH\_43 -轴正向可以为平面建立一个标准直角坐标系，平面中的点可以用横坐标和纵坐标表示，整个平面可以等价于 WIKINIUM\_MATH\_PH\_44 。

设 WIKINIUM\_MATH\_PH\_46 是 WIKINIUM\_MATH\_PH\_47 的一个非空子集。如果某直线 WIKINIUM\_MATH\_PH\_49 经过 WIKINIUM\_MATH\_PH\_51 中不同的两点，就说 WIKINIUM\_MATH\_PH\_52 是 WIKINIUM\_MATH\_PH\_54 -尺规可作的，简称 WIKINIUM\_MATH\_PH\_55 -可作。同样地，如果某个圆 WIKINIUM\_MATH\_PH\_56 的圆心和圆上的某个点是 WIKINIUM\_MATH\_PH\_58 中的元素，就说 WIKINIUM\_MATH\_PH\_59 是 WIKINIUM\_MATH\_PH\_61 -可作的。进一步地说，如果 WIKINIUM\_MATH\_PH\_62 里的某个点 WIKINIUM\_MATH\_PH\_64 是某两个 WIKINIUM\_MATH\_PH\_65 -可作的直线或圆的交点（直线－直线、直线－圆以及圆－圆），就说点 WIKINIUM\_MATH\_PH\_66 是 WIKINIUM\_MATH\_PH\_67 -可作的。这样的定义是基于五个基本步骤得来的，包括了尺规作图中从已知条件得到新元素的五种基本方法。如果将所有 WIKINIUM\_MATH\_PH\_68 -尺规可作的点的集合记作 WIKINIUM\_MATH\_PH\_69 ，那么当 WIKINIUM\_MATH\_PH\_70 中包含超过两个点的时候， WIKINIUM\_MATH\_PH\_71 肯定是 WIKINIUM\_MATH\_PH\_72 的真子集。从某个点集 WIKINIUM\_MATH\_PH\_73 开始，经过一步能作出的点构成集合 WIKINIUM\_MATH\_PH\_74  WIKINIUM\_MATH\_PH\_75  WIKINIUM\_MATH\_PH\_77 ，经过两步能作出的点就是 WIKINIUM\_MATH\_PH\_78  WIKINIUM\_MATH\_PH\_79  WIKINIUM\_MATH\_PH\_81 ，……以此类推，经过 WIKINIUM\_MATH\_PH\_82 步能作出的点集就是 WIKINIUM\_MATH\_PH\_83  WIKINIUM\_MATH\_PH\_84  WIKINIUM\_MATH\_PH\_86 。而所有从 WIKINIUM\_MATH\_PH\_87 能尺规作出的点集就是：

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_88 。
另一个与尺规可作性相关的概念是规矩数。设 WIKINIUM\_MATH\_PH\_90 是从集合 WIKINIUM\_MATH\_PH\_91  WIKINIUM\_MATH\_PH\_92 {(0,0), (0,1)}开始，尺规可作点的集合： WIKINIUM\_MATH\_PH\_94  WIKINIUM\_MATH\_PH\_95  WIKINIUM\_MATH\_PH\_97 ，那么规矩数定义为 WIKINIUM\_MATH\_PH\_98 中的点的横坐标和纵坐标表示的数。

定义：实数 WIKINIUM\_MATH\_PH\_99 和 WIKINIUM\_MATH\_PH\_100 是规矩数当且仅当 WIKINIUM\_MATH\_PH\_101 是 WIKINIUM\_MATH\_PH\_102 中的一个点。
可以证明，有理数集 WIKINIUM\_MATH\_PH\_103 是所有规矩数构成的集合 WIKINIUM\_MATH\_PH\_105 的子集，而 WIKINIUM\_MATH\_PH\_106 又是实数集 WIKINIUM\_MATH\_PH\_107 的子集。另外，为了在复数集 WIKINIUM\_MATH\_PH\_109 内讨论问题，也会将平面 WIKINIUM\_MATH\_PH\_111 看作复平面 WIKINIUM\_MATH\_PH\_113 ，同时定义一个复数 WIKINIUM\_MATH\_PH\_115 是（复）规矩数当且仅当点 WIKINIUM\_MATH\_PH\_116 是 WIKINIUM\_MATH\_PH\_117 中的一个点。所有复规矩数构成的集合 WIKINIUM\_MATH\_PH\_118 也包含 WIKINIUM\_MATH\_PH\_119 作为子集，并且是复数集 WIKINIUM\_MATH\_PH\_121 的子集。从尺规可作性到解析几何下的规矩数，三等分角问题从几何问题转成了代数的问题。

### 域的扩张与最小多项式

以集合的观念来说， WIKINIUM\_MATH\_PH\_123 与 WIKINIUM\_MATH\_PH\_124 、 WIKINIUM\_MATH\_PH\_126 之间是子集与包含的关系。以抽象代数的观点来说，可以证明 WIKINIUM\_MATH\_PH\_128 是有理数域 WIKINIUM\_MATH\_PH\_129 的扩域，是实数域 WIKINIUM\_MATH\_PH\_131 的子域。记作 WIKINIUM\_MATH\_PH\_133 。域是抽象代数中的概念，是能够进行“加减乘除”运算的集合。从单位长度出发，很容易得到任何有理数长度的线段，所以直线 WIKINIUM\_MATH\_PH\_135 （也就是实数轴）上所有的有理数坐标的点都是尺规可作点。如果平面上还有另一个尺规可作点（对应复数 WIKINIUM\_MATH\_PH\_136 ），那么也能做出任意 WIKINIUM\_MATH\_PH\_137 的点，甚至于任何形如：

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_138
的点（其中 WIKINIUM\_MATH\_PH\_140 和 WIKINIUM\_MATH\_PH\_141 是两个多项式）。有理数域 WIKINIUM\_MATH\_PH\_142 和所有因为 WIKINIUM\_MATH\_PH\_144 而多出来的尺规可作点仍旧构成一个域，称为 WIKINIUM\_MATH\_PH\_145 关于 WIKINIUM\_MATH\_PH\_147 的扩张，记作 WIKINIUM\_MATH\_PH\_148 。然而， WIKINIUM\_MATH\_PH\_150 中的元素并没有表面上那么“多”。一般来说，如果有一个多项式 WIKINIUM\_MATH\_PH\_152 使得 WIKINIUM\_MATH\_PH\_153 =0，那么 WIKINIUM\_MATH\_PH\_154 中的元素都可以写成 WIKINIUM\_MATH\_PH\_156 的形式，其中 WIKINIUM\_MATH\_PH\_157 是 WIKINIUM\_MATH\_PH\_158 的阶数。这样的情况称为域 WIKINIUM\_MATH\_PH\_159 的有限扩张，因为 WIKINIUM\_MATH\_PH\_161 可以看成关于 WIKINIUM\_MATH\_PH\_163 的有限维线性空间。为了确定这个线性空间的维数，需要为它找一个基底，也就是一个线性无关的最小生成集。为此，寻找使得 WIKINIUM\_MATH\_PH\_165  WIKINIUM\_MATH\_PH\_166 0的多项式中阶数最小的，并称 WIKINIUM\_MATH\_PH\_168 是 WIKINIUM\_MATH\_PH\_169 最小多项式。在最小多项式确定后，便可确定 WIKINIUM\_MATH\_PH\_170 是 WIKINIUM\_MATH\_PH\_171 的一个基底， WIKINIUM\_MATH\_PH\_173 是一个 WIKINIUM\_MATH\_PH\_175 维的 WIKINIUM\_MATH\_PH\_176 -线性空间（ WIKINIUM\_MATH\_PH\_178 是 WIKINIUM\_MATH\_PH\_179 的阶数）。这时候也称 WIKINIUM\_MATH\_PH\_180 是域扩张 WIKINIUM\_MATH\_PH\_181 的阶数，记作：

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_183
### 规矩扩张的阶数

对任何一个尺规可作点，都可以考察它对应的域扩张的阶数。由于每个尺规可作点都是通过五种作图公法的有限次累加得到的，而其中生成新点（也就是新坐标）的只有後三种。所以只需考察这三种步骤得到的新点对应的域扩张的阶数。假设某个时刻，已知的所有尺规可作点构成的域是 WIKINIUM\_MATH\_PH\_185 ，那么生成新点时的直线和圆的系数都在 WIKINIUM\_MATH\_PH\_186 里面。

直线的方程是： WIKINIUM\_MATH\_PH\_187
圆的方程是： WIKINIUM\_MATH\_PH\_189
无论是两个(1)类方程，两个(2)类方程，还是一个(1)类和一个(2)类方程联立求解，得到的 WIKINIUM\_MATH\_PH\_191 和 WIKINIUM\_MATH\_PH\_192 值都会是形同

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_193
的数值。所以复规矩数 WIKINIUM\_MATH\_PH\_195  WIKINIUM\_MATH\_PH\_196  WIKINIUM\_MATH\_PH\_198 满足一个二次方程：

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_199
其中的 WIKINIUM\_MATH\_PH\_201 、 WIKINIUM\_MATH\_PH\_202 以及 WIKINIUM\_MATH\_PH\_203 都是 WIKINIUM\_MATH\_PH\_204 中的元素。这意味着，域扩张 WIKINIUM\_MATH\_PH\_205 的阶数最多是2（最小多项式的阶数至多是2）。这又说明，从 WIKINIUM\_MATH\_PH\_206 开始，经过一系列（ WIKINIUM\_MATH\_PH\_207 次）基本步骤得到的尺规可作点，代表了 WIKINIUM\_MATH\_PH\_208 次域扩张：

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_209 。
而每次域扩张的阶数： WIKINIUM\_MATH\_PH\_211 都不超过2。因此，如果从基本的有理数域出发的话，就能得到如下的定理：

|  |
| --- |
| 任何复规矩数 WIKINIUM\_MATH\_PH\_212 对应的域扩张 WIKINIUM\_MATH\_PH\_213 的阶数 WIKINIUM\_MATH\_PH\_215 都是2的某个幂次：
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_217  |

其中的 WIKINIUM\_MATH\_PH\_219 是某个小于 WIKINIUM\_MATH\_PH\_220 的自然数（ WIKINIUM\_MATH\_PH\_221 是已知所有有理数坐标点时，作出 WIKINIUM\_MATH\_PH\_222 对应的点要经过的基本步骤数目）。

### 三等分角的反证

上文已经说明，任何可以用尺規作圖作出的点，其座標对应一个复規矩數，它的最小多項式次數為 WIKINIUM\_MATH\_PH\_223 。以下用反证法证明三等分任意角是不可能的。反設可以用尺規作圖將任意角三等分，代表對任意角度是 WIKINIUM\_MATH\_PH\_225 的角，均可以由尺規作圖得到 角度为 WIKINIUM\_MATH\_PH\_227 的角。这等价于说在已知单位长度和 WIKINIUM\_MATH\_PH\_229 的时候能做出 WIKINIUM\_MATH\_PH\_231 的长度。设 WIKINIUM\_MATH\_PH\_233 是包含了 WIKINIUM\_MATH\_PH\_234 和单位长度1的域。用尺规作图可以得到 WIKINIUM\_MATH\_PH\_236 ，说明域扩张的阶数是2的幂次：

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_238
然而根據三倍角公式：

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_240 。
运用多项式的知识可以证明， WIKINIUM\_MATH\_PH\_242 在 WIKINIUM\_MATH\_PH\_244 中的最小多项式的阶数必定不大于3，也就是说是1，2或者3。比如说当角度 WIKINIUM\_MATH\_PH\_245 时， WIKINIUM\_MATH\_PH\_247 就是 WIKINIUM\_MATH\_PH\_248 （ WIKINIUM\_MATH\_PH\_250 ）三倍角公式变成：

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_252 ，即是：
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_254
这个多项式不可约，所以这个方程的解不属于有理数集 WIKINIUM\_MATH\_PH\_256 ，所以可以证明 WIKINIUM\_MATH\_PH\_258 。然而3不是2的幂次，这和之前的结论矛盾。如此便说明，無法用尺規作圖將任意角三等分。 WIKINIUM\_MATH\_PH\_260

## 能够尺规三等分的角度

以上的证明通过一个反例： WIKINIUM\_MATH\_PH\_262 说明了用尺规作图将任意角三等分是不可能的。但用尺规作图三等分某些特定的角（比如说直角）仍然是可行的。事实上，从证明中可以看出，尺规三等分某个角 WIKINIUM\_MATH\_PH\_264 等价于说 WIKINIUM\_MATH\_PH\_266 。要注意的是，这个条件与 WIKINIUM\_MATH\_PH\_268 本身能否用尺规作图作出并不相关。实际上，有的角度 WIKINIUM\_MATH\_PH\_270 即便本身无法用尺规作图法作出，但如果已知角 WIKINIUM\_MATH\_PH\_272 作为条件，是能够用尺规作图将它三等分的。角度 WIKINIUM\_MATH\_PH\_274 就是这样一个例子。它本身无法用尺规作出，但如果给定一个 WIKINIUM\_MATH\_PH\_276 的角，它的五倍角就是 WIKINIUM\_MATH\_PH\_278 ，等于将圆周绕过一圈後的 WIKINIUM\_MATH\_PH\_280 ，这正是 WIKINIUM\_MATH\_PH\_282 的三分之一。可以证明，角度 WIKINIUM\_MATH\_PH\_284 可以用尺规三等分，当且仅当自然数 WIKINIUM\_MATH\_PH\_286 本身无法被三整除。

从证明中还可看出，只要自然数 WIKINIUM\_MATH\_PH\_287 只含有2以外的质因子，根据 WIKINIUM\_MATH\_PH\_288 倍角公式得到的 WIKINIUM\_MATH\_PH\_289 阶多项式就说明 WIKINIUM\_MATH\_PH\_290 的最小多项式阶数整除 WIKINIUM\_MATH\_PH\_292 ，所以不是2的幂次，从而无法用尺规作图 WIKINIUM\_MATH\_PH\_293 等分任意角。例如用尺规作图五等分任意角、七等分任意角等等都是不可能的（ WIKINIUM\_MATH\_PH\_294 可以五等分，當且僅當 WIKINIUM\_MATH\_PH\_296 不是5的倍數；而不管 WIKINIUM\_MATH\_PH\_297 是多少， WIKINIUM\_MATH\_PH\_298 都不能七等分，因為正七邊形本身就不能尺規作圖了）。

## 三等分角的方法

用尺规作图的方法三等分角被证明是不可行的。如果放宽尺规作图的限制，或允许使用另外的工具，那么三等分任意角仍旧是可能的。

### 无限次步骤

尺规作图要求在有限次步骤内将任意角三等分。如果我们允许使用无限次的步骤来构造三等分角的话，可以利用

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_300
这个无穷级数的和来实现。给定任意一的角度为 WIKINIUM\_MATH\_PH\_302 的角。已知尺规二等分角是可行的，所以重复两次就能够四等分一个角 WIKINIUM\_MATH\_PH\_304 ，得到 WIKINIUM\_MATH\_PH\_306 。同样地，可以作出 WIKINIUM\_MATH\_PH\_308 、 WIKINIUM\_MATH\_PH\_310 等所有形同 WIKINIUM\_MATH\_PH\_312 的角。将它们逐次相加，就能够在无限次（可数次）操作後用尺规作图得到

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_314 。
在這個公式下誤差值為下
* WIKINIUM\_MATH\_PH\_316 根據此估算：
* 若 WIKINIUM\_MATH\_PH\_318 時，取前 15 項誤差可小於 WIKINIUM\_MATH\_PH\_320 ，若 WIKINIUM\_MATH\_PH\_322 時，僅需 9 項即可達成同樣精度。
* 可見此級數具有快速收斂特性，在有限項下已可逼近任意角的三等分角，具有實作價值。

### 二刻尺

把角 WIKINIUM\_MATH\_PH\_324 三等分
如果允许使用有刻度的直尺（二刻尺），则三等分任意角是可行的。右图为把角 WIKINIUM\_MATH\_PH\_325 三等分的示意图。这个想法最早由阿基米德提出。

首先，在直尺上有两个刻度，相距 WIKINIUM\_MATH\_PH\_326 。把角上的直线延长，并作一个半径为 WIKINIUM\_MATH\_PH\_327 的圆。

把直尺的一点固定在 WIKINIUM\_MATH\_PH\_328 ，并将直尺绕着点 WIKINIUM\_MATH\_PH\_329 移动，直到其中一个刻度位于点 WIKINIUM\_MATH\_PH\_330 ，另一个刻度位于点 WIKINIUM\_MATH\_PH\_331 ，也就是说， WIKINIUM\_MATH\_PH\_332  WIKINIUM\_MATH\_PH\_333  WIKINIUM\_MATH\_PH\_335 。这时，角 WIKINIUM\_MATH\_PH\_336 就是角 WIKINIUM\_MATH\_PH\_337 的三分之一。

要證明 WIKINIUM\_MATH\_PH\_338 ，我們需要利用**直線上的鄰角**(adjacent angles on straight line)，**三角形的內角和**(angle sum of triangle)及**等腰三角形底角**(base angle, isosceles triangle)。

证明：

1. WIKINIUM\_MATH\_PH\_340 。
2. WIKINIUM\_MATH\_PH\_342 。
3. 两式相减，得 WIKINIUM\_MATH\_PH\_344 。
4. WIKINIUM\_MATH\_PH\_346 ，因此 WIKINIUM\_MATH\_PH\_348 ，把上式代入，得 WIKINIUM\_MATH\_PH\_350 。
5. WIKINIUM\_MATH\_PH\_352 ，因此 WIKINIUM\_MATH\_PH\_354 。

所以， WIKINIUM\_MATH\_PH\_356 ，或 WIKINIUM\_MATH\_PH\_358 。证毕。

或者，可以利用**三角形的外角**(Exterior Angle of a Triangle)作證明。

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_360

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_362

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_364

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_366

同樣也可證明。

### 借助其他形状或工具

尺规作图的规定来自于古希腊的柏拉图学派，他们认为仅有直线和圆是完美的形状。事实上，如果允许在作图中使用其他的曲线或形状，那么三等分任意角是可行的。例如：已知角 WIKINIUM\_MATH\_PH\_368 ，做其角平分线 WIKINIUM\_MATH\_PH\_369 。以直线 WIKINIUM\_MATH\_PH\_370 为准线，点 WIKINIUM\_MATH\_PH\_371 为焦点，作一双曲线；同时以 WIKINIUM\_MATH\_PH\_372 为圆心， WIKINIUM\_MATH\_PH\_373 为半径做圆。设该圆与双曲线在角 WIKINIUM\_MATH\_PH\_374 内侧的交点为 WIKINIUM\_MATH\_PH\_375 ，那么角 WIKINIUM\_MATH\_PH\_376 等于角 WIKINIUM\_MATH\_PH\_377 的三分之一。此外，麦克劳林、利马松等人也曾经设计过可以辅助三等分角的曲线。阿基米德螺线（等角螺线）也是能够直观帮助三等分角的曲线。在极坐标中，阿基米德螺线的方程是：

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_378
其中的 WIKINIUM\_MATH\_PH\_380 是极径（离原点的距离）， WIKINIUM\_MATH\_PH\_382 是幅角。由于极径和幅角成正比，所以要寻找等于给定角度三分之一的角度，只需要确定原角度对应的极径长度 WIKINIUM\_MATH\_PH\_384 ，然后对比找出 WIKINIUM\_MATH\_PH\_386 对应的角度即可。

## 相關條目

* 莫雷角三分線定理
* 規矩數
* 三等分角線

## 参考来源

* HPM 通訊第6卷第6期，3大作圖題（页面存档备份，存于互联网档案馆） 介紹在較寬鬆的條件下（允許使用有刻度的直尺或配合其他曲線）用尺規作圖，來求解三等分角問題。
* 三等分任意角可能嗎？（页面存档备份，存于互联网档案馆）