# 托勒密定理[编辑]

一般的四边形中， WIKINIUM\_MATH\_PH\_0
在数学中，**托勒密定理**是欧几里得几何学中的一个关于四边形的定理。托勒密定理指出凸四边形两组对边乘积之和不小于两条对角线的乘积，当且仅当四边形为圆内接四边形，兩組和相同。或退化为直线以取得（这时也称为欧拉定理）。
狭义的托勒密定理也可以叙述为：若且仅若圆内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积，则这个凸四边形内接于一圆。托勒密定理实际上也可以看做一种判定圆内接四边形的方法。

## 证明

### 几何证明

1. 设 WIKINIUM\_MATH\_PH\_2 是圆内接四边形。
2. 在弦 WIKINIUM\_MATH\_PH\_4 上，圆周角 WIKINIUM\_MATH\_PH\_6 ，而在 WIKINIUM\_MATH\_PH\_8 上， WIKINIUM\_MATH\_PH\_10 。
3. 在 WIKINIUM\_MATH\_PH\_12 上取一点 WIKINIUM\_MATH\_PH\_14 ，使得 WIKINIUM\_MATH\_PH\_16 ； 因为 WIKINIUM\_MATH\_PH\_18 ，所以 WIKINIUM\_MATH\_PH\_20 。
4. 因此 WIKINIUM\_MATH\_PH\_22 与 WIKINIUM\_MATH\_PH\_24 相似，同理也有 WIKINIUM\_MATH\_PH\_26 相似于 WIKINIUM\_MATH\_PH\_28 。
5. 因此 WIKINIUM\_MATH\_PH\_30 ，且 WIKINIUM\_MATH\_PH\_32 ；
6. 因此 WIKINIUM\_MATH\_PH\_34 ，且 WIKINIUM\_MATH\_PH\_36 ；
7. 两式相加，得 WIKINIUM\_MATH\_PH\_38 ；
8. 但 WIKINIUM\_MATH\_PH\_40 ，因此 WIKINIUM\_MATH\_PH\_42 。即得證

### 和差化积证明

设弦 WIKINIUM\_MATH\_PH\_44 ， WIKINIUM\_MATH\_PH\_46 及 WIKINIUM\_MATH\_PH\_48 对应的圆周角分别为 WIKINIUM\_MATH\_PH\_50 ， WIKINIUM\_MATH\_PH\_52 及 WIKINIUM\_MATH\_PH\_54 ，外接圆的半径为 WIKINIUM\_MATH\_PH\_56 ，则有 WIKINIUM\_MATH\_PH\_58 ， WIKINIUM\_MATH\_PH\_60 ， WIKINIUM\_MATH\_PH\_62 ， WIKINIUM\_MATH\_PH\_64 ， WIKINIUM\_MATH\_PH\_66 及 WIKINIUM\_MATH\_PH\_68 。于是，原托勒密等式化为

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_70 。
现在，只需用和差化积公式，即可推得上式两边都等于 WIKINIUM\_MATH\_PH\_72 。即得證。

### 复数证明

用 WIKINIUM\_MATH\_PH\_74 、 WIKINIUM\_MATH\_PH\_76 、 WIKINIUM\_MATH\_PH\_78 、 WIKINIUM\_MATH\_PH\_80 分别表示四边形顶点 WIKINIUM\_MATH\_PH\_82 、 WIKINIUM\_MATH\_PH\_84 、 WIKINIUM\_MATH\_PH\_86 、 WIKINIUM\_MATH\_PH\_88 的复数，则 WIKINIUM\_MATH\_PH\_90 、 WIKINIUM\_MATH\_PH\_92 、 WIKINIUM\_MATH\_PH\_94 、 WIKINIUM\_MATH\_PH\_96 、 WIKINIUM\_MATH\_PH\_98 、 WIKINIUM\_MATH\_PH\_100 的长度分别是： WIKINIUM\_MATH\_PH\_102 、 WIKINIUM\_MATH\_PH\_104 、 WIKINIUM\_MATH\_PH\_106 、 WIKINIUM\_MATH\_PH\_108 、 WIKINIUM\_MATH\_PH\_110 、 WIKINIUM\_MATH\_PH\_112 。
首先注意到复数恒等式： WIKINIUM\_MATH\_PH\_114 ，两边取模，运用三角不等式得 WIKINIUM\_MATH\_PH\_116 。
等号成立的条件是 WIKINIUM\_MATH\_PH\_118 与 WIKINIUM\_MATH\_PH\_120 的辐角相等，这与 WIKINIUM\_MATH\_PH\_122 、 WIKINIUM\_MATH\_PH\_124 、 WIKINIUM\_MATH\_PH\_126 、 WIKINIUM\_MATH\_PH\_128 四点共圆等价。因此托勒密定理得证。
复数证明中的复数可以换成赋范向量空间中的向量。这说明了定理中的四点不一定限于同一平面。

### 逆定理的几何证明

用几何方法也可以同时证明托勒密定理以及它的逆定理。设 WIKINIUM\_MATH\_PH\_130 为任意一个凸四边形。作三角形 WIKINIUM\_MATH\_PH\_132 与三角形 WIKINIUM\_MATH\_PH\_134 顺相似，则会有：

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_136 （红色角）
因此，

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_138
同时，根据相似三角形的性质还有：

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_140
由此可知三角形 WIKINIUM\_MATH\_PH\_142 与三角形 WIKINIUM\_MATH\_PH\_144 也是顺相似三角形。这两个顺相似关系说明：

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_146
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_148
两式相加，得到：

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_150
等号成立当且仅当 WIKINIUM\_MATH\_PH\_152 、 WIKINIUM\_MATH\_PH\_154 、 WIKINIUM\_MATH\_PH\_156 三点共线，也就等价于 WIKINIUM\_MATH\_PH\_158 ， WIKINIUM\_MATH\_PH\_160 因此有

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_162
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_164
即是等价于 WIKINIUM\_MATH\_PH\_166 、 WIKINIUM\_MATH\_PH\_168 、 WIKINIUM\_MATH\_PH\_170 、 WIKINIUM\_MATH\_PH\_172 四点共圆。因此命题得证。

### 反演的证明

使用反演方法，可以得出托勒密定理与三角不等式互为对偶命题的结论。事实上，设有凸四边形 WIKINIUM\_MATH\_PH\_174 内接于圆，那么以其中一点 WIKINIUM\_MATH\_PH\_176 为中心，以半径 WIKINIUM\_MATH\_PH\_178 作反演，则圆变为不过点 WIKINIUM\_MATH\_PH\_180 的直线，点 WIKINIUM\_MATH\_PH\_182 、 WIKINIUM\_MATH\_PH\_184 、 WIKINIUM\_MATH\_PH\_186 变为这条直线上的三点：
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_188 、 WIKINIUM\_MATH\_PH\_190 、 WIKINIUM\_MATH\_PH\_192 。这三点之间有：

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_194
而反演变换中的长度关系为：

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_196
代入 WIKINIUM\_MATH\_PH\_198 式就得到：

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_200
通分，并除以 WIKINIUM\_MATH\_PH\_202 ，就可得到：

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_204
而如果 WIKINIUM\_MATH\_PH\_206 、 WIKINIUM\_MATH\_PH\_208 、 WIKINIUM\_MATH\_PH\_210 、 WIKINIUM\_MATH\_PH\_212 四点不共圆的话，那么以 WIKINIUM\_MATH\_PH\_214 为中心反演之后的三个点 WIKINIUM\_MATH\_PH\_216 、 WIKINIUM\_MATH\_PH\_218 、 WIKINIUM\_MATH\_PH\_220 将在另一个圆上，因此不共线。 WIKINIUM\_MATH\_PH\_222 式里的等号也要改为大于等于号。这正是托勒密定理。

## 与西姆松定理的关系

西姆松定理也是一个与四点共圆有关的定理。利用圆内接四边形边长之间的三角关系，可以将托勒密定理作为西姆松定理的推论。

西姆松定理说明：过一个三角形 WIKINIUM\_MATH\_PH\_224 外的一点 WIKINIUM\_MATH\_PH\_226 作它到三角形三边的垂线，设垂足分别是 WIKINIUM\_MATH\_PH\_228 （如左图），那么 WIKINIUM\_MATH\_PH\_230 这三个点在同一条直线上当且仅当 WIKINIUM\_MATH\_PH\_232 在三角形 WIKINIUM\_MATH\_PH\_234 的外接圆上（也就是说 WIKINIUM\_MATH\_PH\_236 四点共圆）。
注意到由于 WIKINIUM\_MATH\_PH\_238 与 WIKINIUM\_MATH\_PH\_240 都是直角， WIKINIUM\_MATH\_PH\_242 四点共圆，并且这个圆的直径就是 WIKINIUM\_MATH\_PH\_244 。因此：

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_246
而根据圆内弦长的关系，有： WIKINIUM\_MATH\_PH\_248

其中 WIKINIUM\_MATH\_PH\_250 为外接圆的半径。所以代入上式就可得到：

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_252
同理可得：

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_254

而在三角形 WIKINIUM\_MATH\_PH\_256 中，两边长之和大于第三边：

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_258
所以有：

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_260
等号当且仅当 WIKINIUM\_MATH\_PH\_262 共线，也就是 WIKINIUM\_MATH\_PH\_264 四点共圆的时候取得。这正是托勒密定理。

## 推广

托勒密定理的一个推广是开世定理。开世定理将圆内接四边形的四个顶点换为与外接圆相内切的四个小圆，而四边形的边变为圆与圆之间的外公切线。开世定理可以看做是“利用托勒密定理惨淡经营得到的结果”。

对一般的四边形，托勒密定理给出了它的对角线与边长之间的不等关系。如果要掌握更为精确的关系，可以通过以下的公式：

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_266
由这个公式可以推出托勒密定理： WIKINIUM\_MATH\_PH\_268 的绝对值小于等于1，所以

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_270
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_272
也就是说

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_274
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_276

等号仅在 WIKINIUM\_MATH\_PH\_278 ，也就是说 WIKINIUM\_MATH\_PH\_280 的时候取到，这正好等价于四边形内接于圆。

* 西姆松定理
* 九点圆

## 参考与注释

## 参考书籍

* R.A.约翰逊，单墫 译. 《近代欧氏几何学》. 上海教育出版社. ISBN 7-5320-6392-5.
* 蔡聪明. 《星空灿烂的数学——托勒密定理》 (PDF). 《数学传播》. 2000, **24卷1期**. （原始内容 (PDF)存档于2007-02-08）.