# 2i進制[编辑]

**2i进制**，是由高德纳于1955年提出来的，当时用作高中科学精英研究用。它是一种以2i为基数的非标准进位制。这种进制以0、1、2、3为基本數碼，能够独一无二的表示全体复数。

## 转换2i进制到十进制

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_0 的冪
| *k* | (2*i*)*k* |
| --- | --- |
| -5 | −1/32*i* |
| -4 | 1/16
 |
| -3 | 1/8*i* |
| -2 | −1/4
 |
| -1 | −1/2*i* |
| 0 | 1
 |
| 1 | 2*i* |
| 2 | −4
 |
| 3 | −8*i* |
| 4 | 16
 |
| 5 | 32*i* |
| 6 | −64
 |
| 7 | −128*i* |
| 8 | 256
 |

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_1 的冪

将2i进制转换为十进制可以用标准公式。这个公式是：

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_2 进制数 WIKINIUM\_MATH\_PH\_4 的十进制数为

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_6
2i进制中， WIKINIUM\_MATH\_PH\_8 。

### 示例

将 WIKINIUM\_MATH\_PH\_10 转换为十进制，可按照上述公式填入相应数字：

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_12
再比如： WIKINIUM\_MATH\_PH\_14 十进制是

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_16
## 十进制转换到2i进制

也能将十进制数转换为2i进制。 每个复数（形如*a*+*bi*） 都有个2i进制形式。 大多十进制数都只有1个形式，但像1这样的数在十进制中有两种形式1.0 = 0.9， 相对应的 1/5有两种2i进制形式：1.03002*i* = 0.00032*i*。

要转换十进制数，先将实部和虚部分别转换为2i进制数，然后加到一起即可。 比如，  WIKINIUM\_MATH\_PH\_18  等于 WIKINIUM\_MATH\_PH\_19  加上  WIKINIUM\_MATH\_PH\_20 ， WIKINIUM\_MATH\_PH\_21 的2i进制数是103，  WIKINIUM\_MATH\_PH\_22 的2i进制数是20，因此  WIKINIUM\_MATH\_PH\_23  = 1232i。

转换虚部时，可以先乘以 WIKINIUM\_MATH\_PH\_24 ，得到一个实数；然后将这个实数转换为2i进制，然后右移一位即可（等效于除以  WIKINIUM\_MATH\_PH\_25 ）。 例如，虚部是  WIKINIUM\_MATH\_PH\_26 ，先将 WIKINIUM\_MATH\_PH\_27  乘以 WIKINIUM\_MATH\_PH\_28  得到  WIKINIUM\_MATH\_PH\_29 ，化为2i进制是3002i，然后右移一位，得到：  WIKINIUM\_MATH\_PH\_30  = 302i。

转换实数，可以用方程组来求解。

### 示例：实数

我们来求解7的2i进制数。我们很难知道这个2i进制数有多长，所以我们先假设一个比较长的数。 我们先选六位试试，如果不够，我们再延长。
我们写出公式，然后分组：

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_31
7是实数，因此*d1*、*d3* 和 *d5* 是0。 剩下就是系数*d0*、*d2* 和 *d4*。 因为 d0 − 4 d2 + 16 d4 = 7 并且他们只能是 0、 1、 2 或 3 。可能的结果是： *d0* = 3, *d2* = 3 ， *d4* = 1。 这样就找到了710的2i进制数。

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_33
### 示例: 虚数

找一个纯虚数的2i进制数，可以模拟实数的方法。 例如6*i*, 也可以用公式。实部全为零，虚部化为6。 6*i* 很容易看出 *d1* = 3 其他各位都是0。6*i*就是：

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_35
### 其他的轉換方式

對實數而言，2i进制表示法實際上與負四进制相同。要將複數 WIKINIUM\_MATH\_PH\_37 轉換成2i进制可以透過將 WIKINIUM\_MATH\_PH\_38 和 WIKINIUM\_MATH\_PH\_39 分別轉換為負四进制再將之交錯合併來完成轉換成2i进制的工作。如果 WIKINIUM\_MATH\_PH\_40 和 WIKINIUM\_MATH\_PH\_41 都是有限的二进制小數，則可以使用連續的带余除法來將十进制數轉換成2i进制：

例如：35+23i=121003.22i

```
                35                                 23i/2i=11.5    11=12−0.5
            35÷(−4)=−8, 餘 3                12/(−4)=−3, 餘 0               (−0.5)×(−4)=2
            −8÷(−4)= 2, 餘 0                −3/(−4)= 1, 餘 1
             2÷(−4)= 0, 餘 2                 1/(−4)= 0, 餘 1
               20003                    +     101000                         +  0.2 = 121003.2
                         32i+16×2−8i−4×0+2i×0+1×3−2×i/2=35+23i

```

## 小数点“.”

十进制中小数点用来区分整数部分和小数部分。2i进制中小数点一样可以用，比如 WIKINIUM\_MATH\_PH\_42 中，小数点用来分割*b*的正数幂和負数幂。带小数点时，公式是：

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_44
或

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_46
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_48

### 示例

將i轉換為2i進制，没有小数点的话，可能没办法做到。因此：

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_50
因為实部为0，故 *d4 = d2 = d0 = d-2 = 0*。

接著考慮虚部部分，当 *d5 = d3 = d -3 = 0* 并且 当 *d1=1* ， *d-1=2* 时结果正确。所以

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_52 .
### 示例（分數）

將 WIKINIUM\_MATH\_PH\_54 轉換為2i進制，其結果為-0.0203。

## 加减法

2i进制也可以做加减法。 首先要记住以下规则：

1. 数字超过3时, *减* 4 "进" −1 到左边第二位。
2. 数字小于0时, *加* 4"进" +1 到左边第二位。

简单的说： 「加四进一、减四借一」（當作四進制來計算）。 和一般竖式加法不同的是，要借/进到左边第二位。

### 示例：加法

```
   1 - 2i                1031             3 - 4i                 1023
   1 - 2i                1031             1 - 8i                 1001
   ------- +     <=>     ----- +          ------- +      <=>     ----- +
   2 - 4i                1022             4 - 12i               12320

```

第一个例子，先是1+1=2。然后是3+3=6，6比3大，我们得减4借1。接着是0+0=0。然后是1+1=2，在减去借的1。得1。

第二个例子，先是3+1=4; 4 比3大，我们得减4借1。然后是2+0=2。 接着是0+0=0，再减去借位1，得-1，小于0，我们得加四进一。 然后是1+1=2; 最后是进位1。我们得到结果 WIKINIUM\_MATH\_PH\_56 。

### 示例：减法

减法和加法类似。下面是例子：

```
         - 2 - 8i                       1102
           1 - 6i                       1011
           ------- -         <=>        ----- -
         - 3 - 2i                       1131

```

这个例子中，先是2-1 = 1。 然后是0-1=-1，小于0，加4进1得3；接着是1-0=1。然后是1-1=0，加上进位得1。 结果就是 WIKINIUM\_MATH\_PH\_58 。

## 乘法

乘法也要用到上面两点。先逐位相乘，然后叠加。比如：

```
             11201
             20121  x
             --------
             11201      <--- 1 x 11201
            12002       <--- 2 x 11201
           11201        <--- 1 x 11201
          00000         <--- 0 x 11201
         12002      +   <--- 2 x 11201
         ------------
         120231321

```

也就是 WIKINIUM\_MATH\_PH\_60 。

## 查表转换

下面是一个常用的复数对照表。我们可以用叠加的方法来转换复数

|  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
|

| 十进制 | 2*i*进制
 |
| --- | --- |
| 1 | 1
 |
| 2 | 2
 |
| 3 | 3
 |
| 4 | 10300
 |
| 5 | 10301
 |
| 6 | 10302
 |
| 7 | 10303
 |
| 8 | 10200
 |
| 9 | 10201
 |
| 10 | 10202
 |
| 11 | 10203
 |
| 12 | 10100
 |
| 13 | 10101
 |
| 14 | 10102
 |
| 15 | 10103
 |
| 16 | 10000
 |

 |

| 十进制 | 2*i*进制
 |
| --- | --- |
| −1 | 103
 |
| −2 | 102
 |
| −3 | 101
 |
| −4 | 100
 |
| −5 | 203
 |
| −6 | 202
 |
| −7 | 201
 |
| −8 | 200
 |
| −9 | 303
 |
| −10 | 302
 |
| −11 | 301
 |
| −12 | 300
 |
| −13 | 1030003
 |
| −14 | 1030002
 |
| −15 | 1030001
 |
| −16 | 1030000
 |

 |

| 十进制 | 2*i*进制
 |
| --- | --- |
| 1*i* | 10.2
 |
| 2*i* | 10.0
 |
| 3*i* | 20.2
 |
| 4*i* | 20.0
 |
| 5*i* | 30.2
 |
| 6*i* | 30.0
 |
| 7*i* | 103000.2
 |
| 8*i* | 103000.0
 |
| 9*i* | 103010.2
 |
| 10*i* | 103010.0
 |
| 11*i* | 103020.2
 |
| 12*i* | 103020.0
 |
| 13*i* | 103030.2
 |
| 14*i* | 103030.0
 |
| 15*i* | 102000.2
 |
| 16*i* | 102000.0
 |

 |

| 十进制 | 2*i*进制
 |
| --- | --- |
| −1*i* | 0.2
 |
| −2*i* | 1030.0
 |
| −3*i* | 1030.2
 |
| −4*i* | 1020.0
 |
| −5*i* | 1020.2
 |
| −6*i* | 1010.0
 |
| −7*i* | 1010.2
 |
| −8*i* | 1000.0
 |
| −9*i* | 1000.2
 |
| −10*i* | 2030.0
 |
| −11*i* | 2030.2
 |
| −12*i* | 2020.0
 |
| −13*i* | 2020.2
 |
| −14*i* | 2010.0
 |
| −15*i* | 2010.2
 |
| −16*i* | 2000.0
 |

 |

## 示例

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_62
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_64
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_66

* 四進制
* 十六進制
* 複進制
* 负进制

## 参考资料

* D. Knuth. *The Art of Computer Programming*. Volume 2, 3rd Edition. Addison-Wesley. pp. 205, "Positional Number Systems"

- **^** Donald Knuth. An imaginary number system. Communications of the ACM. April 1960, **3** (4).