# 六进制[编辑]

**六进制**是以6为底数的进位制。

## 整数

六進制使用從0到5的六個數字, 將6表示為“10”。通常用於由六個組成的事物，如骰子。

序列的進行如下。

**0到30**
| 六进制
 | **0** | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | **10** | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | **20** | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | **30** |
| 十进制
 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18
 |

**31到100**
| 六进制
 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | **40** | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | **50** | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | **100** |
| 十进制
 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36
 |

**230到300**
| 六进制
 | **230** | 231 | 232 | 233 | 234 | 235 | **240** | 241 | 242 | 243 | 244 | 245 | **250** | 251 | 252 | 253 | 254 | 255 | **300** |
| 十进制
 | 90 | 91 | 92 | 93 | 94 | 95 | 96 | 97 | 98 | 99 | 100 | 101 | 102 | 103 | 104 | 105 | 106 | 107 | 108
 |

在六進制系統中“5 +1 = 10”，因此“10÷2 = 3”和“10÷3 = 2”。因此，以3的倍數計數並除以3變得非常容易。

### 冪乗

在六進制中，由於2與3的指數相同，因此可以表示為 "10n = 2n×3n"。 六與十都是兩個素數的乘積，十的3×n乗（103×n）與六的4×n乗（64×n）彼此接近。因此，以十進制法分隔三位數字（例如公制）的系統將變為六進制法分隔四位數字。

**六的冪**
| 指数（六進制） | 六進制 | 十進制
 |
| --- | --- | --- |
| 1 | 10 | 6
 |
| 2 | 100 | 36
 |
| 3 | 1000 | 216
 |
| 4 | 1 0000 | 1296
 |
| 5 | 10 0000 | 7776
 |
| 10 | 100 0000 | 46 656
 |
| 11 | 1000 0000 | 279 936
 |
| 12 | 1 0000 0000 | 1 679 616
 |
| 13 | 10 0000 0000 | 10 077 696
 |
| 14 | 100 0000 0000 | 60 466 176
 |
| 15 | 1000 0000 0000 | 362 797 056
 |
| 20 | 1 0000 0000 0000 | 2 176 782 336
 |
| 21 | 10 0000 0000 0000 | 13 060 694 016
 |
| 22 | 100 0000 0000 0000 | 78 364 164 096
 |
| 23 | 1000 0000 0000 0000 | 470 184 984 576
 |
| 24 | 1 0000 0000 0000 0000 | 2 821 109 907 456
 |
| 25 | 10 0000 0000 0000 0000 | 16 926 659 444 736
 |
| 30 | 100 0000 0000 0000 0000 | 101 559 956 668 416
 |

**冪数表**
| 指数
 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 20
 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 2
 | 2 | 4 | 12 | 24 | 52 | 144 | 332 | 1104 | 2212 | 4424 | 13252 | 30544
 |
| 3
 | 3 | 13 | 43 | 213 | 1043 | 3213 | 14043 | 50213 | 231043 | 1133213 | 3444043 | 15220213
 |
| 5
 | 5 | 41 | 325 | 2521 | 22245 | 200201 | 1401405 | 12212241 | 105510125 | 545151121 | 4502320045 | 40120440401
 |

### 素数

六進制的測定倍數
* 如果第一位是0，則該數字“可以被2和3整除”的數字，即10（六）的倍數。
* 如果第一位是3，則該數字“不可以被2整除, 但是以被3整除”的數字。
* 如果第一位是2或4，則該數字“可以被2整除, 但是不可被3整除”的數字。
* 如果第一位是1或5，則該數字“不能除以2或3整除”的數字。11（七）之後的素數首先是1或5。

六进制对于研究素数是很有用的，因为所有的素数，除了2和3以外，个位数都是1或5。在六进制中，最初的几个素数为：

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_0
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_2
也就是说，对于所有除了2和3以外的素数 WIKINIUM\_MATH\_PH\_4 都有 WIKINIUM\_MATH\_PH\_6 或 WIKINIUM\_MATH\_PH\_8 。另外，除了6以外，所有的完全数在六进制中都以44结尾。

## 分数

|  |  |
| --- | --- |
| **十進制** Prime factors of the base: **2**, **5** Prime factors of one below the base: **3** Prime factors of one above the base: **11** | **六進制** Prime factors of the base: **2**, **3** Prime factors of one below the base: **5** Prime factors of one above the base: **11** |
| 分數
 | 分母
 | Positional representation
 | Positional representation
 | 分母
 | 分數
 |
| 1/2
 | **2** | **0.5** | **0.3** | **2** | 1/2
 |
| 1/3
 | **3** | **0.**3333... = **0.**3 | **0.2** | **3** | 1/3
 |
| 1/4
 | **2** | **0.25** | **0.13** | **2** | 1/4
 |
| 1/5
 | **5** | **0.2** | **0.**1111... = **0.**1 | **5** | 1/5
 |
| 1/6
 | **2**, **3** | **0.1**6 | **0.1** | **2**, **3** | 1/10
 |
| 1/7
 | **7** | **0.**142857 | **0.**05 | **11** | 1/11
 |
| 1/8
 | **2** | **0.125** | **0.043** | **2** | 1/12
 |
| 1/9
 | **3** | **0.**1 | **0.04** | **3** | 1/13
 |
| 1/10
 | **2**, **5** | **0.1** | **0.0**3 | **2**, **5** | 1/14
 |
| 1/11
 | **11** | **0.**09 | **0.**0313452421 | **15** | 1/15
 |
| 1/12
 | **2**, **3** | **0.08**3 | **0.03** | **2**, **3** | 1/20
 |
| 1/13
 | **13** | **0.**076923 | **0.**024340531215 | **21** | 1/21
 |
| 1/14
 | **2**, **7** | **0.0**714285 | **0.0**23 | **2**, **11** | 1/22
 |
| 1/15
 | **3**, **5** | **0.0**6 | **0.0**2 | **3**, **5** | 1/23
 |
| 1/16
 | **2** | **0.0625** | **0.0213** | **2** | 1/24
 |
| 1/17
 | **17** | **0.**0588235294117647 | **0.**0204122453514331 | **25** | 1/25
 |
| 1/18
 | **2**, **3** | **0.0**5 | **0.02** | **2**, **3** | 1/30
 |
| 1/19
 | **19** | **0.**052631578947368421 | **0.**015211325 | **31** | 1/31
 |
| 1/20
 | **2**, **5** | **0.05** | **0.01**4 | **2**, **5** | 1/32
 |
| 1/21
 | **3**, **7** | **0.**047619 | **0.0**14 | **3**, **11** | 1/33
 |
| 1/22
 | **2**, **11** | **0.0**45 | **0.0**1345242103 | **2**, **15** | 1/34
 |
| 1/23
 | **23** | **0.**0434782608695652173913 | **0.**01322030441 | **35** | 1/35
 |
| 1/24
 | **2**, **3** | **0.041**6 | **0.013** | **2**, **3** | 1/40
 |
| 1/25
 | **5** | **0.04** | **0.**01235 | **5** | 1/41
 |
| 1/26
 | **2**, **13** | **0.0**384615 | **0.0**121502434053 | **2**, **21** | 1/42
 |
| 1/27
 | **3** | **0.**037 | **0.012** | **3** | 1/43
 |
| 1/28
 | **2**, **7** | **0.03**571428 | **0.01**14 | **2**, **11** | 1/44
 |
| 1/29
 | **29** | **0.**0344827586206896551724137931 | **0.**01124045443151 | **45** | 1/45
 |
| 1/30
 | **2**, **3**, **5** | **0.0**3 | **0.0**1 | **2**, **3**, **5** | 1/50
 |
| 1/31
 | **31** | **0.**032258064516129 | **0.**010545 | **51** | 1/51
 |
| 1/32
 | **2** | **0.03125** | **0.01043** | **2** | 1/52
 |
| 1/33
 | **3**, **11** | **0.**03 | **0.0**1031345242 | **3**, **15** | 1/53
 |
| 1/34
 | **2**, **17** | **0.0**2941176470588235 | **0.0**1020412245351433 | **2**, **25** | 1/54
 |
| 1/35
 | **5**, **7** | **0.0**285714 | **0.**01 | **5**, **11** | 1/55
 |
| 1/36
 | **2**, **3** | **0.02**7 | **0.01** | **2**, **3** | 1/100
 |

因为6是最小的两个素数2和3的乘积，许多六进制的小数都有简单的表示法：

|  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 十进制
 |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_10
 |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_12
 |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_14
 |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_16
 |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_18
 |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_20
 |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_22
 |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_24
 |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_26
 |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_28
 |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_30
 |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_32
 |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_34
 |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_36
 |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_38
 |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_40
 |
| 六进制
 |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_42
 |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_44
 |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_46
 |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_48
 |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_50
 |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_52
 |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_54
 |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_56
 |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_58
 |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_60
 |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_62
 |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_64
 |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_66
 |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_68
 |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_70
 |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_72
 |
| 六进制(小數)
 | 0.3
 | 0.2
 | 0.13
 | 0.1 | 0.1
 | 0.05 | 0.043
 | 0.04
 | 0.03 | 0.313452421 | 0.03
 | 0.023 | 0.02 | 0.0213
 | 0.02
 | 0.014 |

六進制為2和3的同樣的冪，因此很容易將它們分為2和3個除法。 2的冪的倒數變為3的冪，而3的冪的倒數變為2的冪。因而对于大多分母是3的幂的分数，六进制的表示形式更简短。

|  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 冪指数
 | -1
 | -2
 | -3
 | -4
 | -5
 | -10
 | -11
 | -12
 | -13
 | -14
 |
| 2
 | 0.3
 | 0.13
 | 0.043
 | 0.0213
 | 0.01043
 | 0.003213
 | 0.0014043
 | 0.00050213
 | 0.000231043
 | 0.0001133213
 |
| 3
 | 0.2
 | 0.04
 | 0.012
 | 0.0024
 | 0.00052
 | 0.000144
 | 0.0000332
 | 0.00001104
 | 0.000002212
 | 0.0000004424
 |

## 指數法

六進制43 = 十進制27
如果拳頭0，因為六種類型從0到5的數目可以在一個手來表示，六進制是方便用手指計數。

在這種方法中，一隻手位於一的位，另一隻手位於六的位, 計數到55（五六五 = 十進制35），100（十進制36）會導致數字溢出。例如，左手“1”和右手“5”表示“六五”即“十一”（六進制15 =十進制11）, 左手“4”和右手“3”表示“四六三”即“二十七”（六進制43 =十進制27）。

可以表示小數和假分數，如果一隻手在"一"的位，另一隻手在"六分之一"的位，則可以計算不超過5.5（5和5/6）的分數。 兩位數的小數字的一隻手放在"六分之一"的位，另一隻手放在"三十六分之一"的位。例如，如果指示“**44**”，則除了“六進制44 = 十進制28”之外，還可以指示“4和2/3”(4和4/6 = 六進制**4.4**) 和“7/9”（十進制28/36 = 六進制**0.44**）。

用雙手進行計數的十進制不能在15（十進制11）之後進行計數，並且可以分為2和5，但是不能分為3和4。但是，用雙手計數的六進制最多可以計數55（十進制35），並且可以分為2和3，如果擴展為雙手，則可以分為4和9(六進制13)。

## 三十六进制

在某些場合下，六进制的底數6可能太小，不便於使用。此時，若講底數6擴充至6的平方，也就是36就能緩解此問題，這個进制就是三十六进制。由於36是6的平方，因此在三十六进制中，一個位數等於六进制的兩個位數。並且兩者存在一個一對一的轉換，也就是說六进制和三十六进制之間可以透過以下對照表轉換來完成：

|  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 十进制
 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17
 |
| 六进制
 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25
 |
| 三十六进制
 | `0` | `1` | `2` | `3` | `4` | `5` | `6` | `7` | `8` | `9` | `A` | `B` | `C` | `D` | `E` | `F` | `G` | `H` |
|  |
| 十进制
 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35
 |
| 六进制
 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55
 |
| 三十六进制
 | `I` | `J` | `K` | `L` | `M` | `N` | `O` | `P` | `Q` | `R` | `S` | `T` | `U` | `V` | `W` | `X` | `Y` | `Z` |

三十六进制使用0-9和A-Z的符號來表示數。由於約定俗成用於表示數的阿拉伯數字與拉丁字母恰好用完，因此36也是最後一個有約定俗成表示方法的进制底數，底數高於36的进制如三十七进制就會面臨符號不夠用的問題，目前沒有公認的模式來表達底數37或以上的进制，部份文獻會把各個位數以十進制表示，並用冒號（:）分隔。

根據上表，例如三十六进制的數WIKIPEDIA(36)（這串英文字母組合的意義是維基百科）在六進制中表示為523032304122213014(6)，可以觀察到，開頭的52對應到W、30對應到I，以此類推。這個數在十进制中是91,730,738,691,298。

## 參考資料

* 六进制转换 （页面存档备份，存于互联网档案馆）