# 畢氏定理

畢氏定理
**畢達哥拉斯定理**bat1 daat6 go1 laai1 si1 ding6 lei5（英文：**Pythagorean theorem**；簡稱**畢氏定理**），又有叫**勾股定理**、**勾股弦定理**或者**商高定理**，係指直角三角形兩條直角邊長度嘅平方嘅和等於斜邊長度嘅平方，即係數式

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_0 。
## 證明

呢個定理有好多方法去證明，方法可能係數學眾多定理中最多嘅。路明思（Elisha Scott Loomis）嘅 *Pythagorean Proposition* 一書中總共提到367種證明方式。

有人會嘗試以三角恆等式（例如：正弦同餘弦函數嘅泰勒級數）嚟證明畢氏定理，但係咁做會構成循環論證，所以唔用得，因為所有嘅基本三角恆等式都係建基於畢氏定理。

### 利用相似三角形嘅證法

有好多畢氏定理嘅證明方式，都係基於相似三角形中兩邊長嘅比例。

設 WIKINIUM\_MATH\_PH\_2 為一個直角三角形，直角係 WIKINIUM\_MATH\_PH\_4 角。由 WIKINIUM\_MATH\_PH\_6 點拉一條同 WIKINIUM\_MATH\_PH\_8 垂直嘅直線，直線同 WIKINIUM\_MATH\_PH\_10 嘅交叉點稱為 WIKINIUM\_MATH\_PH\_12 。呢個新三角形 WIKINIUM\_MATH\_PH\_14 同原本嘅三角形 WIKINIUM\_MATH\_PH\_16 都有一個直角同 WIKINIUM\_MATH\_PH\_18 呢個共同角，所以三個角都一樣，所以兩個三角形相似。同樣道理， WIKINIUM\_MATH\_PH\_20 同 WIKINIUM\_MATH\_PH\_22 都係相似嘅。呢啲相似關係衍生出以下嘅比率關係：

因為

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_24 ， WIKINIUM\_MATH\_PH\_26 ，同 WIKINIUM\_MATH\_PH\_28 ，
所以

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_30 同 WIKINIUM\_MATH\_PH\_32 。
即係

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_34 同 WIKINIUM\_MATH\_PH\_36 。
綜合呢兩個方程式，可以得到

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_38
### 歐幾里得嘅證法

《幾何原本》入面嘅證明
喺歐幾里得嘅《幾何原本》一書中畀出畢氏定理嘅以下證明。設 WIKINIUM\_MATH\_PH\_40 為一個直角三角形，其中 WIKINIUM\_MATH\_PH\_42 係直角。由 WIKINIUM\_MATH\_PH\_44 點劃一直線至對邊，令佢垂直於對邊。延長條線將對邊上嘅正方形一分為二，佢嘅面積分別同其餘兩個正方形相等。

喺定理嘅證明中，需要以下四個輔助定理：

* 如果兩個三角形有兩組對應邊而呢兩組邊嘅夾角相等，兩個三角形就係全等（SAS定理）。
* 三角形面積係同底同高嘅平行四邊形面積嘅一半。
* 任意一個正方形嘅面積等於佢兩邊長嘅積。
* 任意一個矩形嘅面積等於佢兩邊長嘅積（據輔助定理3）。

證明嘅思路係：將上方嘅兩個正方形，透過等高同底嘅三角形，以佢嘅面積關係，轉換成下方兩個同等面積嘅長方形。

證明輔助圖2
證明如下：

1. 設 WIKINIUM\_MATH\_PH\_46 為一個直角三角形，直角係 WIKINIUM\_MATH\_PH\_48 。
2. 個邊分別係 WIKINIUM\_MATH\_PH\_50 、 WIKINIUM\_MATH\_PH\_52 同埋 WIKINIUM\_MATH\_PH\_54 ，依次序畫成正方形 WIKINIUM\_MATH\_PH\_56 、 WIKINIUM\_MATH\_PH\_58 同 WIKINIUM\_MATH\_PH\_60 。
3. 畫出穿過 WIKINIUM\_MATH\_PH\_62 點嘅 WIKINIUM\_MATH\_PH\_64 、 WIKINIUM\_MATH\_PH\_66 嘅平行線。條線會分別同 WIKINIUM\_MATH\_PH\_68 同 WIKINIUM\_MATH\_PH\_70 喺  WIKINIUM\_MATH\_PH\_72 、 WIKINIUM\_MATH\_PH\_74 直角相交。
4. 分別連接 WIKINIUM\_MATH\_PH\_76 、 WIKINIUM\_MATH\_PH\_78 ，形成兩個三角形 WIKINIUM\_MATH\_PH\_80 、 WIKINIUM\_MATH\_PH\_82 。
5. WIKINIUM\_MATH\_PH\_84 同 WIKINIUM\_MATH\_PH\_86 都係直角，因此 WIKINIUM\_MATH\_PH\_88 、 WIKINIUM\_MATH\_PH\_90 同 WIKINIUM\_MATH\_PH\_92 都係線性對應嘅， WIKINIUM\_MATH\_PH\_94 、 WIKINIUM\_MATH\_PH\_96 同 WIKINIUM\_MATH\_PH\_98 都係一樣。
6. WIKINIUM\_MATH\_PH\_100 同 WIKINIUM\_MATH\_PH\_102 都係直角，所以 WIKINIUM\_MATH\_PH\_104 等於 WIKINIUM\_MATH\_PH\_106 。
7. 因為 WIKINIUM\_MATH\_PH\_108 同 WIKINIUM\_MATH\_PH\_110 分別等於 WIKINIUM\_MATH\_PH\_112 同 WIKINIUM\_MATH\_PH\_114 ，所以 WIKINIUM\_MATH\_PH\_116 一定同 WIKINIUM\_MATH\_PH\_118 相等。
8. 因為 WIKINIUM\_MATH\_PH\_120 、 WIKINIUM\_MATH\_PH\_122 同 WIKINIUM\_MATH\_PH\_124 成同一直綫，所以四邊形 WIKINIUM\_MATH\_PH\_126 面積係 WIKINIUM\_MATH\_PH\_128 兩倍。
9. 因為 WIKINIUM\_MATH\_PH\_130 、 WIKINIUM\_MATH\_PH\_132 同 WIKINIUM\_MATH\_PH\_134 成同一直綫，所以正方形 WIKINIUM\_MATH\_PH\_136 面積係 WIKINIUM\_MATH\_PH\_138 兩倍。
10. 因此，四邊形 WIKINIUM\_MATH\_PH\_140 嘅面積必定等如 WIKINIUM\_MATH\_PH\_142 WIKINIUM\_MATH\_PH\_144 。
11. 同埋，四邊形 WIKINIUM\_MATH\_PH\_146 嘅面積必定等如 WIKINIUM\_MATH\_PH\_148 WIKINIUM\_MATH\_PH\_150 。
12. 將呢兩個結果相加， WIKINIUM\_MATH\_PH\_152
13. 由於 WIKINIUM\_MATH\_PH\_154 ， WIKINIUM\_MATH\_PH\_156
14. 由於 WIKINIUM\_MATH\_PH\_158 係正方形，因此 WIKINIUM\_MATH\_PH\_160 。

呢個證明係喺歐幾里得《幾何原本》一書第1.47節所提出嘅。

由於呢個定理嘅證明要靠平行公理，而且由呢個定理可以推出平行公理，好多人質疑平行公理係呢個定理嘅必要條件，一直到十九世紀嘗試否定第五公理嘅非歐幾里得幾何出現。

### 圖形重新排列證法

呢個證明咗以圖形重新排列證明。兩個大正方形嘅面積係 WIKINIUM\_MATH\_PH\_162 。將四個相等嘅三角形移除之後，左邊剩底嘅面積就係 WIKINIUM\_MATH\_PH\_164 ，右邊剩底嘅面積係 WIKINIUM\_MATH\_PH\_166 ，兩者相等。

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| 以重新排列法證明 | 另一種重新排列法證明 | 淨係切割同平移，唔使旋轉嘅重新排列法 |

## 畢氏定理嘅逆定理

畢氏定理嘅逆定理係判斷三角形做鈍角、銳角或直角嘅一個簡單嘅方法，其中 WIKINIUM\_MATH\_PH\_168 係最長邊：

* 如果 WIKINIUM\_MATH\_PH\_170 ， WIKINIUM\_MATH\_PH\_172 係直角三角形。
* 如果 WIKINIUM\_MATH\_PH\_174 ， WIKINIUM\_MATH\_PH\_176 係銳角三角形。
* 如果 WIKINIUM\_MATH\_PH\_178 ， WIKINIUM\_MATH\_PH\_180 係鈍角三角形。

## 高維空間嘅畢氏定理

n維空間中，s係各直角邊，r係斜邊：

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_182
即係

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_184
## 睇埋

* 餘弦定理(cos low)

## 參考

## 睇埋

* 倒數畢氏定理
* 歐幾里得距離