# 空間

用嚟描述空間嘅 3D 座標系統
**空間**（粵拼：hung1 gaan1）係哲學同科學嘅重要研究對象。抽象化啲講，空間可以想像成係數學物體一大類，一個空間會容許表示佢入便嘅位置嘅數值有所變化，唔同值表示佢內部嘅唔同位置。唔同類型嘅空間，特性各異，例如球面幾何講到球體表面嘅空間，就同一般中學數學科集中教嘅歐幾里得空間好唔同。

空間呢個概念難以落到一個定義，而且空間係咪可以量度到都係一個爭論點。唔同科有唔同定義，不過多數都用操作定義，即係定義量度單位。

幾何學係數學嘅子領域，專門研究空間。喺最基本嘅歐幾里得幾何上，空間可以用點、直線同埋平面等嘅概念想像。

## 0D：點

平面上面嘅一拃點；每粒點都可以想像成「塊平面」呢個集入面嘅一個元素。
點係幾何學上嘅一個原始諗法：

* 簡化噉講，點可以定義做「喺空間裡面有確切位置、唔佔用空間嘅嘢」，冇長度同闊度；
* 技術性啲噉講，現代數學有咗集合論，而喺呢套理論框架下，點通常俾人定義做「一個集（空間）入面嘅其中一件元素」，例如想講一塊平面上面嘅一點，首先就會定義塊平面係
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_0 ，

塊平面上嘅一點 WIKINIUM\_MATH\_PH\_2 就係 WIKINIUM\_MATH\_PH\_4 入面嘅元素；用日常用語講嘅話，即係 WIKINIUM\_MATH\_PH\_6 可以寫做 WIKINIUM\_MATH\_PH\_8 ，當中 WIKINIUM\_MATH\_PH\_10 同 WIKINIUM\_MATH\_PH\_12 都係實數（ WIKINIUM\_MATH\_PH\_14 ）。值得一提嘅係，點原則上係一個抽象化嘅概念，淨係存在喺人嘅想像之中：理論上嘅點係冇長度同闊度嘅，而當一個人攞支筆畫一粒肉眼睇得到嘅點嗰陣（好似下圖噉），嗰點查實經已有返咁上下長度同闊度，所以人先可以用肉眼睇得到，嚴格嚟講唔可以算係一點，頂嗮攏只可以算係攞嚟表示一點嘅符號。

點係幾何學最根基嘅諗頭－有咗點嘅概念，就有得定義同闡述第啲重要嘅幾何學概念同諗法，例如「是但兩點之間，都可以畫條獨一無二嘅線」呢條公理噉。

## 1D：直線

直線係幾何學想像中一種「冇闊度、有長度嘅嘢」，當中「直」係指「上面啲點均勻噉分佈嘅線」：

* 攞住點嘅概念，想像攞是但兩點 WIKINIUM\_MATH\_PH\_16 同 WIKINIUM\_MATH\_PH\_18 ，喺 WIKINIUM\_MATH\_PH\_20 同 WIKINIUM\_MATH\_PH\_22 之間有無限咁多粒點，嗰啲點之間每對點之間嘅距離都係恆定嘅（ WIKINIUM\_MATH\_PH\_24 ）；
* 用集合論嘅角度嚟睇嘅話，一條線可以想像成由一大拃點組成嘅集－精確啲講，喺現代幾何學入面，直線通常俾人定義做「喺個線性空間入面，有某種線性關係嘅點集」；是但攞一粒點 WIKINIUM\_MATH\_PH\_26 同一條線 WIKINIUM\_MATH\_PH\_28 嚟睇，「 WIKINIUM\_MATH\_PH\_30 喺 WIKINIUM\_MATH\_PH\_32 上面」或者「 WIKINIUM\_MATH\_PH\_34 唔喺 WIKINIUM\_MATH\_PH\_36 上面」都會係有意義嘅句子－句嘢一係真一係假。
* 平面入面嘅直線有個性質，就係是但搵兩點，嗰兩點都可以用一條直線連接（睇返歐幾里得幾何嘅第一公理），而且喺所有「能夠連接兩點嘅線」之中直線係長度最短嘅；

好似下圖噉就係一條「線」－下圖條線實質上有闊度（如果唔係就唔會用肉眼睇得到），所以只係一個用嚟表示一條線嘅符號。

喺歐幾里得幾何入面，兩條直線之間可以有交點（intersection；一粒同時屬嗰兩條線嘅點），又可以有平行（parallel）嘅關係－如果話兩條線係平行嘅，意思係話無論將嗰兩線延長幾多都好，兩條線都唔會有交點。好似下圖噉，下圖有三條線 WIKINIUM\_MATH\_PH\_38 、 WIKINIUM\_MATH\_PH\_40 同 WIKINIUM\_MATH\_PH\_42 ，當中 WIKINIUM\_MATH\_PH\_44 同 WIKINIUM\_MATH\_PH\_46 喺 ABCD 嗰點（頂點）相交，而 WIKINIUM\_MATH\_PH\_48 同 WIKINIUM\_MATH\_PH\_50 喺 EFGH 嗰點（都係頂點）相交， WIKINIUM\_MATH\_PH\_52 同 WIKINIUM\_MATH\_PH\_54 平行：

直線仲可以掕埋「曲線」嘅概念：曲線係一種幾何物體；同直線一樣，曲線可以想像成由兩點之間嘅點組成嘅集，不過曲線「可能係唔直嘅」嘅（好似下圖噉）；技術性啲噉講，曲線可以想像成直線嘅廣義化－「線」可以包嗮所有「由兩點之間嘅點組成嘅集」，而直線就計係線嘅一種，特指「上面啲點均勻噉分佈嘅線」。

## 2D：平面

喺歐幾里得幾何裏面，一塊平面係一塊 2D 而且冇曲率嘅幾何物體，有長度同闊度但冇高度，（最少理論上）可以向住任何方向無限噉延伸。如果用最常用嗰隻坐標系統嚟諗嘅話，平面同直線嘅分別可以想像成「要用幾多個數先可以描述一點嘅位置」（睇埋維度同坐標等嘅概念）－

* 如果要描述一點喺條線上面邊個位，淨係要用一個數，例如 WIKINIUM\_MATH\_PH\_56 ，所以係一維（**1D**）；
* 而如果要描述一點喺塊平面上面邊個位，就要用兩個數至得，例如 WIKINIUM\_MATH\_PH\_58 ，所以係二維（**2D**）；

下圖係互相成平行嘅三塊平面（想像三塊平面都冇高度－即係無限咁薄）：

歐幾里得研究嘅幾何好大部份都係喺平面入面發生嘅幾何（即係所謂嘅平面幾何），包括咗平面上面嘅三角形、圓形、平行線同角度呀噉。而根據呢套研究，平面有好多特別嘅性質：

* 是但攞兩塊唔同嘅平面，佢哋一係彼此成平行、一係就會係某條線嗰度相交；
* 是但攞一塊平面同一條線，條線一係同塊平面成平行、一係會喺某點同塊平面相交、再唔係就可能喺塊平面上面；
* 如果有兩條唔同嘅線，兩條都係同一塊平面成垂直（簡化講就係成 90° 角），噉兩條線實係平行嘅；
* 如果有兩塊平面都同某條線成垂直，噉兩塊平面實係成平行嘅；

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| 兩塊相交兼成垂直嘅平面 |
| 兩塊相交兼成垂直嘅平面  |

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| 線 同平面 成垂直。 |
| 線 WIKINIUM\_MATH\_PH\_60 同平面 WIKINIUM\_MATH\_PH\_62 成垂直。  |

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| 線 同啲平面成垂直，啲平面彼此平行。 |
| 線 WIKINIUM\_MATH\_PH\_64 同啲平面成垂直，啲平面彼此平行。  |

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圓形係一種 2D 嘅形狀；用坐標諗嘅話，一個圓形條邊上面嘅每一點 WIKINIUM\_MATH\_PH\_66 都會滿足以下條式－
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_68
當中 WIKINIUM\_MATH\_PH\_70 係個圓心嘅坐標值，而 WIKINIUM\_MATH\_PH\_72 係個圓形嘅半徑有幾長。

一去到 2D，就可以諗埋角嘅概念：是但攞一點（例如下圖嘅 WIKINIUM\_MATH\_PH\_74 ），由嗰點向住兩個方向（例如下圖嘅 WIKINIUM\_MATH\_PH\_76 同 WIKINIUM\_MATH\_PH\_78 ）各射一條直線出去嘅話，兩條射線之間就會形成一隻角（下圖 WIKINIUM\_MATH\_PH\_80 ），而角度就係一隻角可以有嘅特性，反映隻角「有幾大」；喺實際嘅幾何分析上，一隻角通常會用 WIKINIUM\_MATH\_PH\_82 嘅符號嚟表示，下圖嘅 WIKINIUM\_MATH\_PH\_84 會寫做 WIKINIUM\_MATH\_PH\_86 噉嘅樣，而且會用噉嘅符號表示啲角嘅大細－ WIKINIUM\_MATH\_PH\_88 表示「 WIKINIUM\_MATH\_PH\_90 呢隻角係 90° 咁大」... 如此類推。

## 3D 或以上

有咗點、直線、曲線、平面同角呢啲基本概念，研究者就可以對現實世界嘅空間做出基本嘅分析：3D 空間指笪空間入面嘅每個可能點都要有三個數 WIKINIUM\_MATH\_PH\_92 ，先可以講明佢喺邊個位－人類日常生活當中會接觸到嘅世界，就可以想像成一笪 3D 空間，有三條完全直嘅軸；响呢笪 3D 空間裏面，

* 每件物體都有長度、闊度同高度表示佢「掗咗幾多空間」，
* 每件物體都可以沿三條軸郁動－可以有前後左右上下一共六個方向；

一笪 3D 空間會有好多點，可以有直線、曲線同平面，而線之間或者平面之間（或者線同平面之間）可以有角度。

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| 球體；當中 係個球體嘅半徑。 |
| 球體；當中 WIKINIUM\_MATH\_PH\_94 係個球體嘅半徑。  |

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| 立方體；定義上，一個立方體每條邊都一樣咁長，而且是但搵其中兩條邊睇，嗰兩條邊都成直角。 |
| 立方體；定義上，一個立方體每條邊都一樣咁長，而且是但搵其中兩條邊睇，嗰兩條邊都成直角。  |

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對 3D 或以上維度嘅空間嘅分析好有用。幾何學家會用數學證明嘅方法，探究點、線同埋空間有咩特性，而第啲領域嘅工作者就可以攞住呢啲知識去做嘢：喺廿一世紀初嘅多數工程學應用上，分析空間嘅特性可以齋靠「將空間想像成笪 3D 空間，而且每個位置都可以用實數坐標表示」就搞得掂－呢種分析可以攞嚟分析交通工具（汽車等嘅嘢郁動，就係改變喺空間入面嘅位置）同建築物（一棟建築物會有長度、闊度同高度）等工程學上會想分析嘅嘢；古典物理學上嘅分析可以齋靠 3D 就搞得掂，而進階嘅物理學－例如廣義相對論－仲會用到多過三個維度嚟描述時空。

## 睇埋

* 幾何
* 維度
* 時間
* 時空
* 空間數據
* 視覺藝術，本質上就係喺空間中編排色彩嘅藝術

## 註釋

## 引咗

## 拎