# געאמעטריע

טאבעלע פון ציקלאפעדיע פון יאר ה'תפ"ט ; 1728**געאמעטריע** (פון אוראַלט גריכיש: *γεωμετρία* ; *געא-* "ערד", *-מעטראן* "מעסטן") איז אן אפטיילונג פון מאטעמאטיק וואס פארנעמט זיך מיט פראגעס פון פארעם, גרייס, פארהעלטענישע פאזיציע פון פיגורן און די איינגשאפטן פון רוימען.

געאמעטריע באהאנדלט פארמען (ווי קוואדראטן, דרייעקן און קרייזן) און פונדאמענטאלע סטרוקטורן ווי פונקטן, ליניעס - גלייכע און קרומע, און פלאכער פלאץ.

אין געאמעטריע טוט מען באווייזן פראפאזיציעס ניצנדיק טעארעמען, ווי למשל די קאנגרוענץ געזעצן.

געאמעטריע איז פון די עלצטע צווייגן פון מאטעמאטיק. זי האט אנגעהויבן אנטוויקלען אין מזרח אזיע און אוראלט עגיפטן.

געאמעטריע האט אָנווענדונגען צו פֿיל פֿעלדער, איינשליסנדיק קונסט, ארכיטעקטור און פֿיזיק, ווי אויך צו אנדערע צווייגן פון מאטעמאטיק.

## היסטאריע

די ערשטע באריכטן וועגן געאמעטריע טרעפֿט מען אין אוראלטע מעסאפאטאמיע און עגיפטן אין דעם 2טן יארהונדערט פֿאר דער ציווילער. אין דעם אנהייב איז געאמעטריע געווען א זאמלונג פֿון אויסגעפֿונענע פרינציפן וועגן, לענג, ווינקלען, שטחים און פֿארנעמען, וואס מען האט אנטוויקלט פֿאר פראקטישע צוועקן אין ערדמעסטונג, קאנסטרוקציע און אסטראנאמיע. די ערשטע טעקסטן וועגן געאמעטריע זענען די עגיפטישע רינד פאפירוס (2000–1800 פֿדצ״ר) און מאסקווע־פאפירוס (בערך 1890 פֿדצ״ר), און די באבילאנישע ליימענע טאָוולען ווי פלימפטאן 322 (1900 פֿדצ״ר). צום ביישפיל, דער מאסקווע־פאפירוס גיט א פֿארמל צו רעכענען דעם פֿארנעם פון אן אפגעהאקטן פיראמיד. שפעטערע ליימענע טאוולען (350–50 פֿדצ״ר) ווייזן אז באבילאנישע אסטראנאמען האבן אויסגעפֿירט טראפעזויד־פראצעדורן צו רעכענען די ארט און מהלך פון יופיטער. די דאָזיקע געאמעטרישע פראצעדורן האבן געפֿעדערט די אקספֿארדער רעכענער, כולל דעם דורכשניט גיך טעארעם, מיט 14 יאָרהונדערטער. אין דרום עגיפטן האבן די אוראלטע נובער געגרינדעט א סיסטעם פון געאמעטריע איינשליסנדיג פֿריערדיגע זון-זייגערס.

אין דעם 7טן יארהונדערט פֿדצ״ר האט דער גריכישער מאַטעמאַטיקער טאַלעס פֿון מילעטוס געניצט געאמעטריע צו לייזן פראבלעמען ווי למשל רעכענען די הייך פון די פיראמידן און די ווייט פֿון שיפֿן פֿונעם ברעג ים. מען זאָגט אויף אים אַז ער איז געווען דער ערשטער וואס האט געניצט א דעדוקטיוון געדאַנקען־גאַנג אָפגעוואנדן צו געאמעטריע, ווען ער האט אַרויסגעפֿירט פֿיר קאראלאַרן צו טאַלעס׳נס טעארעם. פיטאַגאראַס האט געגרינדעט די פיטאַגארישע שולע, וואָס ווערט גערעכנט צו ברענגען דעם ערשטן באַווייז פֿון פיטאַגאראַס׳נס טעארעם, וואָס האט אבער א לאַנגע היסטאריע.

איידאקסאס פון קנידאס (408–בערך 355 פֿדצ״ר) האט אנטוויקלט דעם מעטאד פון אויסשעפונג, מיט וואס מען קען רעכענען דעם שטח און פארנעם פון בייגעוודעקע פֿארעמען. אומגעפער אין 300 פֿדצ״ר, איז געאמעטריע רעוואלוציאנירט דורך אויקלידוס, וועמענ׳ס *עלעמענטן*, ברייט געהאלטן דאס מערסט דערפֿאלגרייכע און באאיינפלוסלעכע לערנבוך פון אלע צייטן, האט איינגעפירט מאטעמאטישע שטרענגקייט דורך דעם אַקסיאמען־מעטאד, און איז דער פֿריסטער ביישפיל פון דעם פֿארמאט וואס מען ניצט ביזן היינטיגן טאג אין מאטעמאטיק, מיט דעפֿיניצע, אַקסיאם, טעארעם און באַווייז.

## באגריפן אין געאמעטריע

די פֿאלגנדע זענען פֿון וויכטיקסטע באגריפֿן אין געאמעטריע.

### אקסיאמען

 זעט דעם הויפּט אַרטיקל – **אקסיאם**

אויקלידוס נעמט אן אבסטראקטן צוגאנג צו געאמעטריע אין זיין בוך עלעמענטן, איינע פון די מערסט באאיינפלוסלעכע ביכער געשריבן אין דער היסטאריע. אויקלידוס האט איינגעפֿירט געוויסע אקסיאמען וואס דריקן אויס ערשטיקע אדער קלאר־אמתע אייגנשאפֿטן פון פונקטן, גראָדן און אייבערפֿלאַכן. ער האט ממשיך געווען שטרענג אָפלערנען אַנדערע אייגנשאַפֿטן דורך א מאַטעמאַטישן געדאַנקען־גאַנג. די כאַראַקטעריסטישע אייגנשאַפט פון אויקלידוסנ׳ס צוגאַנג צו געאמעטריע איז געווען זיין שטרענגקייט, און אט דאָס ווערט גערופֿן היינט *אַקסיאמאַטישע* אדער *סינטעטישע* געאמעטריע. ביים אנהייב פונעם 19טן יארהונדערט האט די ערפֿינדונג פון נישט-אויקלידישע געאמעטריעס דורך ניקאליי איוואַנאוויטש לאבאַטשעווסקי (1792–1856), יאַנאש באליאַי (1802–1860), קארל פרידריך גאוס (1777–1855) און אנדערע געברענגט צו א ווידערבליען פון אינטערעס אין דעם דאזיקן דיסציפלין און, אין דעם 20סטן יאארהונדערט, האט דויד הילבערט (1862–1943) געניצט אקסיאמאטישן פֿעסטשטעלן כדי צו שאַפֿן א מאדערנע פֿונדאַציע פֿאַר געאמעטריע.

### פונקטןא

 זעט דעם הויפּט אַרטיקל – **פונקט (געאמעטריע)**
געוויינטלעך ווערן פונקטן גערעכענט יסודות׳דיקע אביעקטן פֿון וואָס געאמעטריע ווערט געבויט. מען קען זיי דעפֿינירן דורך זייערע אייגנשאַפֿטן וואָס זיי דאַרפֿן האָבן, למשל וואַס אויקלידוס האט גערופֿן ״א זאך וואס האט נישט קיין מאָס״, אדער אין סינטעטישער געאמעטריע.

### גראָדן

 זעט דעם הויפּט אַרטיקל – **שטריך**

### פֿלאַכן

### ווינקלען

א ווינקל ווערט געשאפֿן דורך צוויי האלב־ליניעס וואס קומען צוזאמען אין איין פונקט.

### קרומע ליניעס

### אייבערפֿלאכן

### פֿלאכטעס

### לענג, שטח און פֿאַרנעם

### קאנגרוענץ און ענלעכקייט

די באגריפֿן קאנגרוענץ און ענלעכקייט באשרייבן צוויי פֿארעמען מיט ענלעכע אייגנהייטן. אין אויקלידישע געאמעטריע ווערט ענלעכקייט באניצט צו באשרייבן אביעקטן מיט דער זעלבער פֿארעם, אבער קאנגרוענץ ניצט מען צו באשרייבן אביעקטן מיט סיי די זעלבע פֿארעם סיי די זעלבע גרייס. דער מאטעמאטיקער הילבערט, אין זיין ווערק צו שאפֿן א שטרענגער יסוד פֿאר געאמעטריע, האט באהאנדלט קאנגרוענץ ווי אן אומדעפֿינירטן טערמין וועמענס אייגנקייטן ווערט דעפֿינירט דורך אקסיאמען.

### דימענסיע

### סימעטריע

## טערמינען אין געאמעטריע

* **גראָד** - (אן איין-דימענסיענעלע) ליניע וואס ציט זיך אומענדלעך פון ביידע עקן.
	+ **איבערשניידנדיקע גראדן** - צוויי גראדן וואס טרעפן זיך.
	+ **פערפענדיקולארע גראדן** - איבערשניידנדיקע גראדן מיט א ווינקל צווישן זיי פון 90 גראַד.
	+ **פאראלעלע גראדן** - גראדן וואס טרעפן זיך קיינמאל נישט.
* **שטראַל** - א ליניע וואס גייט ארויס פון א פונקט און ציט זיך אומענדלעך פון איין זייט.
* **אינטערוואַל** - א ליניע וואס איז אפגעגרענעצט מיט צוויי עקן.
* **ווינקל** - די גרייס פונעם שפאלט צווישן צוויי שטראלן מיט א געמיינזאמען ווינקלפונקט.
	+ **שפיצער ווינקל** - ווינקל קלענער פון 90 גראַד.
	+ **גלייכווינקל** - ווינקל גלייך צו 90 גראד.
	+ **שטומפער ווינקל** - ווינקל צווישן 90 און 180 גראד.
	+ **אויסגעצויגענער ווינקל** - ווינקל גלייך צו 180 גראד.
	+ **דערהויבענער ווינקל** - ווינקל גרעסער פון 180 גראד.
	+ **דערגאנציקע ווינקלען** - א פאר ווינקלען וואס זייער סכום איז 90 גראד.
* **פילעק** - א פארמאכטע פארעם צאמגעשטעלט פון שטריכן.
	+ **קאנוועקסער פילעק** - א פילעק וואס אלע זיינע ווינקלען זענען קלענער פון 180 גראד.
	+ **קאנקאווער פילעק** - א פילעק וואס האט כאטש איין ווינקעל גרעסער פון 180.
	+ **גלייכווינקלדיקער פילעק** - פילעק מיט אלע ווינקלען גלייך.
	+ **רעגולערער פילעק** - פילעק מיט אלע ווינקלען גלייך און אלע עקן גלייך.
	+ **דיאגאנאל** - שטריך צווישן צוויי ווינקלפונקטן.
	+ **דרייעק** - פילעק מיט דריי עקן.
		- **שפיצווינקלדיקער דרייעק** - דרייעק מיט אלע דריי ווינקלען שפיץ.
		- **גלייכווינקלדיקער דרייעק** - דרייעק מיט א גלייכווינקל.
		- **שטומפווינקלדיקער דרייעק** - דרייעק מיט א שטומפן ווינקל.
		- **גלייכשענקלדיקער דרייעק** - דרייעק מיט צוויי זייטן גלייך.
		- **גלייכזייטיקער דרייעק** - דרייעק מיט אלע זייטן גלייך (און אלע ווינקלען 60 גראד).
	+ **פירעק** - פילעק מיט פיר זייטן. היעראכיע פון פירעקן
		- **טראפעז** - פירעק מיט איין פאר פאראלעלע זייטן.
			* **גלייכשענקלדיקער טראפעז** - טראפעז מיט גלייכע דיאגאנאלן.
			* **גלייכווינקלדיקער טראפעז** - טראפעז מיט צוויי גלייכווינקלען.
		- **לאזענגע** - פירעק מיט צוויי פאר גלייכע נאענטע זייטן.
		- **פאראלעלאגראם** - פירעק מיט צוויי פאר פאראלעלע און גלייכע זייטן.
		- **ראמב** - פירעק מיט אלע זייטן גלייך.
		- **גראדעק** - פאראלעלאגראם מיט אלע ווינקלען גראדווינקלען.
		- **קוואדראט** - רעגולערער פירעק.
	+ **פינפעק** - פילעק מיט פינף זייטן.
	+ **זעקסעק** - פילעק מיט זעקס זייטן.
	+ **זיבנעק** - פילעק מיט זיבן זייטן.
	+ **אכטעק** - פילעק מיט אכט זייטן.

## זעט אויך

* טאפאלאגיע

## רעפערענצן