# Phân thớ tiếp tuyến

Bản mẫu:Chuyên ngành

 Phân thớ tiếp tuyến giống như là toàn bộ các không gian tiếp tuyến được gắn lại với nhau một cách trơn tru và phân biệt.
Trong hình học vi phân, **phân thớ tiếp tuyến** (hay **phân thớ tiếp xúc**) của một đa tạp khả vi WIKINIUM\_MATH\_PH\_0 là một đa tạp WIKINIUM\_MATH\_PH\_2 bao gồm tất cả các véc-tơ tiếp tuyến của  *WIKINIUM\_MATH\_PH\_4* . Như một tập hợp, nó là hợp rời của các không gian tiếp tuyến của  *WIKINIUM\_MATH\_PH\_6* . Tức là,

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_8
trong đó WIKINIUM\_MATH\_PH\_10 biểu thị không gian tiếp tuyến WIKINIUM\_MATH\_PH\_12 tại điểm WIKINIUM\_MATH\_PH\_14 .

Vì vậy, một phần tử của WIKINIUM\_MATH\_PH\_16 có thể được coi là một cặp WIKINIUM\_MATH\_PH\_18 với WIKINIUM\_MATH\_PH\_20 là một điểm của WIKINIUM\_MATH\_PH\_22 và WIKINIUM\_MATH\_PH\_24 là một véc tơ tiếp tuyến với WIKINIUM\_MATH\_PH\_26 tại WIKINIUM\_MATH\_PH\_28 . Có một phép chiếu tự nhiên

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_30
được định nghĩa bởi WIKINIUM\_MATH\_PH\_32 . Phép chiếu này ánh xạ toàn bộ không gian tiếp tuyến WIKINIUM\_MATH\_PH\_34 đến điểm duy nhất WIKINIUM\_MATH\_PH\_36 .

## Vai trò

Một trong những vai trò chính của phân thớ tiếp tuyến là cung cấp miền và tập xác định cho đạo hàm của hàm trơn. Cụ thể, nếu  *WIKINIUM\_MATH\_PH\_38*  là một hàm trơn, với  *WIKINIUM\_MATH\_PH\_40*  và  *WIKINIUM\_MATH\_PH\_42*  đa tạp trơn, đạo hàm của nó là một hàm trơn  *WIKINIUM\_MATH\_PH\_44* .

## Cấu trúc tô-pô và cấu trúc trơn

Nếu *M* là một đa tạp *n* chiều, thì nó được trang bị một họ các hệ tọa độ WIKINIUM\_MATH\_PH\_46 .

Các tọa độ cục bộ trên *U này* tạo ra một đẳng cấu  *WIKINIUM\_MATH\_PH\_48 cho tất cả WIKINIUM\_MATH\_PH\_50* . Ta định nghĩa

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_52
bởi

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_54
Ta sử dụng các bản đồ này để định nghĩa cấu trúc tô-pô và cấu trúc trơn của WIKINIUM\_MATH\_PH\_56 .

## Đa tạp khả song

Một **trường mục tiêu** trên một đa tạp WIKINIUM\_MATH\_PH\_58 chiều là một họ WIKINIUM\_MATH\_PH\_60 trường véc-tơ WIKINIUM\_MATH\_PH\_62 trên WIKINIUM\_MATH\_PH\_64 sao cho với mọi WIKINIUM\_MATH\_PH\_66 , WIKINIUM\_MATH\_PH\_68 là một cơ sở của WIKINIUM\_MATH\_PH\_70 . Một đa tạp được gọi là **khả song** nếu nó có ít nhất một trường mục tiêu.

> **Định lý** - Một đa tạp là WIKINIUM\_MATH\_PH\_72 là khả song khi và chỉ khi tồn tại một đẳng cấu WIKINIUM\_MATH\_PH\_74 -phân thớ WIKINIUM\_MATH\_PH\_76 .
>
>

Nếu một đa tạp là khả song, ứng với mỗi trường mục tiêu WIKINIUM\_MATH\_PH\_78 , ta có một ánh xạ WIKINIUM\_MATH\_PH\_80 cho bởi WIKINIUM\_MATH\_PH\_82 .

Một tập mở tọa độ WIKINIUM\_MATH\_PH\_84 luôn là khả song.

## Ví dụ

Ví dụ đơn giản nhất là  *WIKINIUM\_MATH\_PH\_86* . Trong trường hợp này, phân thớ tiếp tuyến là tầm thường: mỗi WIKINIUM\_MATH\_PH\_88 là đẳng cấu đối với WIKINIUM\_MATH\_PH\_90 qua ánh xạ WIKINIUM\_MATH\_PH\_92 bằng phép trừ đi WIKINIUM\_MATH\_PH\_94 , cho ta một vi phôi WIKINIUM\_MATH\_PH\_96 .

Một ví dụ đơn giản khác là vòng tròn đơn vị, WIKINIUM\_MATH\_PH\_98 (xem hình trên). Phân thớ tiếp tuyến của vòng tròn cũng tầm thường và đẳng cấu với WIKINIUM\_MATH\_PH\_100 . Về mặt hình học, đây là một hình trụ có chiều cao vô hạn.

Các phân thớ tiếp tuyến duy nhất có thể dễ dàng hình dung là các phân thớ tiếp tuyến của đường thẳng thực  **WIKINIUM\_MATH\_PH\_102**  và vòng tròn đơn vị WIKINIUM\_MATH\_PH\_104 , cả hai đều tầm thường. Đối với đa tạp 2 chiều, phân thớ tiếp tuyến là 4 chiều và do đó khó hình dung.

Một ví dụ đơn giản về phân thớ tiếp tuyến không tầm thường là hình cầu đơn vị WIKINIUM\_MATH\_PH\_106 : phân thớ tiếp tuyến này là không tầm thường: đây là hệ quả của định lý bóng lông. Do đó, hình cầu là một đa tạp không khả song.

## Chú thích

## Tham khảo

* Đoàn Quỳnh (2000), *Hình học vi phân*
* Khu Quốc Anh và đồng nghiệp (2011), *Lí thuyết liên thông và Hình học Riemann*, Nhà xuất bản Đai học sư phạm Hà Nội