# Hệ tọa độ Descartes

Một **Hệ tọa độ Đề-các (Descartes)** (tiếng Anh: **Cartesian coordinate system**) xác định vị trí của một điểm (*point*) trên một mặt phẳng (*plane*) cho trước bằng một cặp số tọa độ (*x*, *y*). Trong đó, *x* và *y* là 2 giá trị được xác định bởi 2 đường thẳng có hướng vuông góc với nhau (cùng đơn vị đo). 2 đường thẳng đó gọi là trục tọa độ (*coordinate axis*) (hoặc đơn giản là *trục*); trục nằm ngang gọi là **trục hoành**, trục đứng gọi là **trục tung**; điểm giao nhau của 2 đường gọi là gốc tọa độ (origin) và nó có giá trị là (0, 0).

Hệ tọa độ này là ý tưởng của nhà toán học và triết học người Pháp Rơ-nê Đề-các (René Descartes) thể hiện vào năm 1637 trong hai bài viết của ông. Trong phần hai của bài Phương pháp luận (Descartes) (tiếng Pháp: *Discours de la méthode*, tựa *Pour bien conduire sa raison, et chercher la vérité dans les sciences*), ông đã giới thiệu ý tưởng mới về việc xác định vị trí của một điểm hay vật thể trên một bề mặt bằng cách dùng hai trục giao nhau để đo. Còn trong bài La Giê-ô-mê-tri (La Géométrie), ông phát triển sâu hơn khái niệm trên.

Descartes là người đã có công hợp nhất đại số và hình học 2D (hình học Euclide). Công trình này của ông có ảnh hưởng đến sự phát triển của ngành hình học giải tích, tích phân, và khoa học bản đồ.

Ngoài ra, ý tưởng về hệ tọa độ có thể được mở rộng ra không gian ba chiều (*three-dimensional space*) bằng cách sử dụng 3 tọa độ Descartes (nói cách khác là thêm một trục tọa độ vào một hệ tọa độ Descartes). Một cách tổng quát, một hệ tọa độ n-chiều có thể được xây dựng bằng cách sử dụng n tọa độ Descartes (tương đương với n-trục).

## Hệ tọa độ trên mặt phẳng (2 chiều)

Là 2 trục vuông góc x'Ox và y'Oy mà trên đó đã chọn 2 vectơ đơn vị WIKINIUM\_MATH\_PH\_0 , WIKINIUM\_MATH\_PH\_2 sao cho độ dài của 2 vectơ này bằng nhau

Trục x'Ox (hay trục Ox) gọi là trục hoành.

Trục y'Oy (hay trục Oy) gọi là trục tung.

Điểm O được gọi là gốc tọa độ

|  |  |  |
| --- | --- | --- |
| Hình 1 - Hệ tọa độ Đề-Các với bốn điểm lần lượt có tọa độ: (2,3) (màu xanh lá cây), (-3,1) (màu xanh đỏ), (-1.5,-2.5) (màu xanh da trời) và (0,0), gốc tọa độ, (màu tím). | Hình 2 - Hệ tọa độ Đề-Các với một đường tròn có tâm trùng với gốc tọa độ và bán kính bằng 2. Đường tròn này có phương trình: x2 + y2 = 4. | Hình 3 - Hệ tọa độ Đề-Các với bốn góc phần tư. Các mũi tên ở hai đầu của mỗi trục nhằm minh họa rằng các trục này trải dài vô tận theo hướng của mũi tên. |

### Tọa độ vectơ

Nếu WIKINIUM\_MATH\_PH\_4 thì cặp số (x;y) được gọi là tọa độ của vectơ WIKINIUM\_MATH\_PH\_6 . x được gọi là hoành độ và y được gọi là tung độ của WIKINIUM\_MATH\_PH\_8 .

Ký hiệu WIKINIUM\_MATH\_PH\_10

### Tọa độ điểm

Mỗi điểm M được xác định bởi một cặp số M(x,y), được gọi là tọa độ điểm M, x được gọi là hoành độ và y được gọi là tung độ của điểm M

Tính chất:

* WIKINIUM\_MATH\_PH\_12
* WIKINIUM\_MATH\_PH\_14
* Tọa độ của một điểm chính là tọa độ của vectơ có điểm cuối là điểm đó và điểm đầu là O. Ta có WIKINIUM\_MATH\_PH\_16

### Tìm tọa độ của vectơ biết tọa độ điểm đầu và cuối

Cho 2 điểm WIKINIUM\_MATH\_PH\_18 và WIKINIUM\_MATH\_PH\_20 , khi đó ta có WIKINIUM\_MATH\_PH\_22

### Độ dài vectơ và khoảng cách giữa 2 điểm

Cho WIKINIUM\_MATH\_PH\_24 , khi đó WIKINIUM\_MATH\_PH\_26 là độ dài của vectơ WIKINIUM\_MATH\_PH\_28

Cho 2 điểm WIKINIUM\_MATH\_PH\_30 và WIKINIUM\_MATH\_PH\_32 , khi đó độ dài đoạn thẳng AB hay khoảng cách giữa A và B là WIKINIUM\_MATH\_PH\_34

### Góc giữa 2 vectơ

Cho WIKINIUM\_MATH\_PH\_36 và WIKINIUM\_MATH\_PH\_38 . Gọi WIKINIUM\_MATH\_PH\_40 là góc giữa 2 vectơ WIKINIUM\_MATH\_PH\_42 và WIKINIUM\_MATH\_PH\_44 . Khi đó WIKINIUM\_MATH\_PH\_46

### Một số biểu thức tọa độ

Cho WIKINIUM\_MATH\_PH\_48 ta có WIKINIUM\_MATH\_PH\_50

Cho WIKINIUM\_MATH\_PH\_52 và WIKINIUM\_MATH\_PH\_54 ta có

* WIKINIUM\_MATH\_PH\_56
* WIKINIUM\_MATH\_PH\_58
* WIKINIUM\_MATH\_PH\_60
* WIKINIUM\_MATH\_PH\_62 và WIKINIUM\_MATH\_PH\_64 cùng phương WIKINIUM\_MATH\_PH\_66 WIKINIUM\_MATH\_PH\_68

Cho đoạn thẳng AB có WIKINIUM\_MATH\_PH\_70 và WIKINIUM\_MATH\_PH\_72 , Khi đó WIKINIUM\_MATH\_PH\_74 là tọa độ trung điểm đoạn thẳng AB

Cho WIKINIUM\_MATH\_PH\_76 có WIKINIUM\_MATH\_PH\_78 , WIKINIUM\_MATH\_PH\_80 và WIKINIUM\_MATH\_PH\_82 , khi đó WIKINIUM\_MATH\_PH\_84 là tọa độ trọng tâm của WIKINIUM\_MATH\_PH\_86

## Hệ tọa độ trong không gian (3 chiều)

Là 3 trục vuông góc nhau từng đôi một x'Ox, y'Oy, z'Oz mà trên đó đã chọn 3 vectơ đơn vị WIKINIUM\_MATH\_PH\_88 , WIKINIUM\_MATH\_PH\_90 , WIKINIUM\_MATH\_PH\_92 sao cho độ dài của 3 vectơ này bằng nhau

Trục x'Ox (hay trục Ox) gọi là trục hoành.

Trục y'Oy (hay trục Oy) gọi là trục tung.

Trục z'Oz (hay trục Oz) gọi là trục cao.

Điểm O được gọi là gốc tọa độ

3 trục tọa độ nói trên vuông góc với nhau tạo thành 3 mặt phẳng tọa độ là Oxy, Oyz và Ozx vuộng góc với nhau từng đôi một

|  |  |
| --- | --- |
| Tranh 4 - Hệ tọa độ Descartes ba chiều với trục *y* có chiều chạy xa người quan sát. | Tranh 5 - Hệ tọa độ Descartes ba chiều với trục *x* có chiều chạy về phía người quan sát. |
| Tranh 6 - The left-handed orientation is shown on the left, and the right-handed on the right. | Tranh 7 - The right-handed Cartesian coordinate system indicating the coordinate planes. |

### Tọa độ của điểm

Trong không gian, mỗi điểm M được xác định bởi bộ số M(x,y,z). và ngược lại, bộ số đó được gọi là tọa độ của điểm M, x được gọi là hoành độ, y được gọi là tung độ và z được gọi là cao độ của điểm M.

Tính chất

* WIKINIUM\_MATH\_PH\_94
* WIKINIUM\_MATH\_PH\_96
* WIKINIUM\_MATH\_PH\_98
* WIKINIUM\_MATH\_PH\_100
* WIKINIUM\_MATH\_PH\_102
* WIKINIUM\_MATH\_PH\_104

### Tọa độ của vectơ

Trong không gian, cho vectơ WIKINIUM\_MATH\_PH\_106 , khi đó bộ số (x;y;z) được gọi là tọa độ của vectơ WIKINIUM\_MATH\_PH\_108 .

Ký hiệu: WIKINIUM\_MATH\_PH\_110

### Liên hệ giữa tọa độ vectơ và tọa độ điểm

Cho 2 điểm WIKINIUM\_MATH\_PH\_112 và WIKINIUM\_MATH\_PH\_114 , khi đó ta có WIKINIUM\_MATH\_PH\_116

Cho điểm WIKINIUM\_MATH\_PH\_118 , khi đó ta có WIKINIUM\_MATH\_PH\_120 và ngược lại

### Độ dài vectơ và khoảng cách giữa 2 điểm

Cho WIKINIUM\_MATH\_PH\_122 , khi đó WIKINIUM\_MATH\_PH\_124 là độ dài của vectơ WIKINIUM\_MATH\_PH\_126

Cho 2 điểm WIKINIUM\_MATH\_PH\_128 và WIKINIUM\_MATH\_PH\_130 , khi đó độ dài đoạn thẳng AB hay khoảng cách giữa A và B là WIKINIUM\_MATH\_PH\_132

### Góc giữa 2 vectơ

Cho WIKINIUM\_MATH\_PH\_134 và WIKINIUM\_MATH\_PH\_136 . Gọi WIKINIUM\_MATH\_PH\_138 là góc giữa 2 vectơ WIKINIUM\_MATH\_PH\_140 và WIKINIUM\_MATH\_PH\_142 . Khi đó

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_144

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_146

### Một số biểu thức tọa độ

Cho WIKINIUM\_MATH\_PH\_148 ta có WIKINIUM\_MATH\_PH\_150

Cho WIKINIUM\_MATH\_PH\_152 và WIKINIUM\_MATH\_PH\_154 ta có

* WIKINIUM\_MATH\_PH\_156
* WIKINIUM\_MATH\_PH\_158
* WIKINIUM\_MATH\_PH\_160
* WIKINIUM\_MATH\_PH\_162

Cho đoạn thẳng AB có WIKINIUM\_MATH\_PH\_164 và WIKINIUM\_MATH\_PH\_166 , Khi đó WIKINIUM\_MATH\_PH\_168 là tọa độ trung điểm đoạn thẳng AB

Cho WIKINIUM\_MATH\_PH\_170 có WIKINIUM\_MATH\_PH\_172 , WIKINIUM\_MATH\_PH\_174 và WIKINIUM\_MATH\_PH\_176 , khi đó WIKINIUM\_MATH\_PH\_178 là tọa độ trọng tâm của WIKINIUM\_MATH\_PH\_180

## Tham khảo

1. Sách giáo khoa Toán 7 tập 1
2. Sách giáo khoa Hình học lớp 10
3. Sách giáo khoa Hình học lớp 10 nâng cao
4. Sách giáo khoa Hình học lớp 12
5. Sách giáo khoa Hình học lớp 12 nâng cao

## Đọc thêm

* Không gian nhiều chiều
* Hình học phi Euclide
* Không-thời gian
* Hệ tọa độ cực
* Hình học Euclid

## Liên kết ngoài

* WIKINIUM\_MATH\_PH\_182
* Đại số vectơ và phương pháp tọa độ Lưu trữ ngày 22 tháng 6 năm 2006 tại Wayback Machine