# ISO 31-11

**ISO 31-11** là một phần của các tiêu chuẩn quốc tế ISO 31 định nghĩa các ký hiệu toán học sử dụng trong vật lý và kỹ thuật.

## Nội dung ISO 31-11

### Logíc toán

| Ký hiệu | Ví dụ | Tên | Ý nghĩa và các từ tương đương | Ghi chú |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| ∧ | *p* ∧ *q* | ký hiệu phép hội | *p* và *q* |  |
| ∨ | *p* ∨ *q* | ký hiệu phép tuyển | *p* hoặc *q* (hoặc cả hai) |  |
| ¬ | ¬ *p* | ký hiệu phủ định | phủ định của *p*; không *p* |  |
|  WIKINIUM\_MATH\_PH\_0  | *p* WIKINIUM\_MATH\_PH\_2 *q* | ký hiệu kéo theo | nếu *p* thì *q*; *p* kéo theo *q* | Có thể viết: *q* WIKINIUM\_MATH\_PH\_4 *p*. Đôi khi dùng WIKINIUM\_MATH\_PH\_6 . |
|  WIKINIUM\_MATH\_PH\_8  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_10 *x*∈*A* *p*(*x*) ( WIKINIUM\_MATH\_PH\_12 *x*∈*A*) *p*(*x*) | lượng tử phổ dụng | với mọi *x* thuộc *A*, khẳng định *p*(*x*) đúng | điều kiện "∈*A*" đôi khi có thể bỏ qua. |
|  WIKINIUM\_MATH\_PH\_14  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_16 *x*∈*A* *p*(*x*) ( WIKINIUM\_MATH\_PH\_18 *x*∈*A*) *p*(*x*) | lượng tử riêng | có ít nhất một *x* thuộc *A* để khẳng định*p*(*x*) là đúng | phần "∈*A*" đôi khi có thể bỏ qua. WIKINIUM\_MATH\_PH\_20 ! được dùng khi có đúng một *x* để *p*(*x*) là đúng. |

### Tập hợp

| Ký hiệu | Ví dụ | Ý nghĩa và các phát biểu tương đương | Ghi chú |
| --- | --- | --- | --- |
| ∈ | *x* ∈ *A* | *x* thuộc *A*; *x* là phần tử của tập *A* |  |
|  WIKINIUM\_MATH\_PH\_22  | *x* WIKINIUM\_MATH\_PH\_24 *A* | *x* không thuộc *A*; *x* không là phần tử của tập *A* |  |
|  WIKINIUM\_MATH\_PH\_26  | *A* WIKINIUM\_MATH\_PH\_28 *x* | tập *A* chứa *x* (như một phần tử) | ý nghĩa giống như *x* ∈ *A* |
|  WIKINIUM\_MATH\_PH\_30  | *A* WIKINIUM\_MATH\_PH\_32 *x* | tập *A* không chứa *x* (như một phần tử | có ý nghĩa như *x* WIKINIUM\_MATH\_PH\_34 *A* |
| { } | {x1, x2,..., x*n*} | tập hợp gồm các phần tử x1, x2,..., x*n* | có ý nghĩa như {x*i*: *i* ∈ *I*}, trong đó *I* ký hiệu tập các chỉ số |
| { ∣ } | {*x* ∈ *A* ∣ *p*(*x*)} | tập các phần tử thuộc *A* sao cho khẳng định *p*(*x*) là đúng | Ví dụ: {*x* ∈ WIKINIUM\_MATH\_PH\_36 ∣ *x* > 5} ký hiệu ∈*A* có thể bỏ qua khi ý nghĩa đã rõ ràng. |
| card | card(*A*) | số các phần tử của tập *A*; lực lượng của tập *A* |  |
| ∅ |  | tập hợp rỗng |  |
|  WIKINIUM\_MATH\_PH\_38  |  | tập các số tự nhiên; tập các số nguyên dương và số không |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_40 = {0, 1, 2, 3,...} Tập số tự nhiên không tính số không được ký hiệu thêm dấu "\*": WIKINIUM\_MATH\_PH\_42 \* = {1, 2, 3,...} WIKINIUM\_MATH\_PH\_44 *k* = {0, 1, 2, 3,..., *k* − 1} |
|  WIKINIUM\_MATH\_PH\_46  |  | tập các số nguyên |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_48 = {..., −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3,...}
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_50 \* = WIKINIUM\_MATH\_PH\_52 \ {0} = {..., −3, −2, −1, 1, 2, 3,...} |
|  WIKINIUM\_MATH\_PH\_54  |  | tập các số hữu tỉ |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_56 \* = WIKINIUM\_MATH\_PH\_58 \ {0} |
| I |  | tập các số vô tỉ |
|  WIKINIUM\_MATH\_PH\_60  |  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_62 \* = WIKINIUM\_MATH\_PH\_64 \ {0} |
|  WIKINIUM\_MATH\_PH\_66  |  | tập các số phức |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_68 \* = WIKINIUM\_MATH\_PH\_70 \ {0} |
| [,] | [*a*,*b*] | khoảng đóng trong WIKINIUM\_MATH\_PH\_72 từ *a* đến *b* | [*a*,*b*] = {*x* ∈ WIKINIUM\_MATH\_PH\_74 ∣ *a* ≤ *x* ≤ *b*} |
| ],] (,] | ]*a*,*b*] (*a*,*b*] | khoảng nửa mở trái trong WIKINIUM\_MATH\_PH\_76 từ *a* tới *b* | ]*a*,*b*] = {*x* ∈ WIKINIUM\_MATH\_PH\_78 ∣ *a* < *x* ≤ *b*} |
| [,[ [,) | [*a*,*b*[ [*a*,*b*) | khoảng nửa mở phải trong WIKINIUM\_MATH\_PH\_80 tính từ *a* tới *b* (không chứa *b*) | [*a*,*b*[ = {*x* ∈ WIKINIUM\_MATH\_PH\_82 ∣ *a* ≤ *x* < *b*} |
| ],[ (,) | ]*a*,*b*[ (*a*,*b*) | khoảng mở trong WIKINIUM\_MATH\_PH\_84 từ *a* đến *b* | ]*a*,*b*[ = {*x* ∈ WIKINIUM\_MATH\_PH\_86 ∣ *a* < *x* < *b*} |
|  WIKINIUM\_MATH\_PH\_88  | *B* WIKINIUM\_MATH\_PH\_90 *A* | *B* bao hàm trong *A*; *B* là tập con của *A* | Mọi phần tử của *B* đều thuộc *A*. Ký hiệu ⊂ cũng được sử dụng. |
| ∪ | *A* ∪ *B* | hợp của *A* và *B* | Tập hợp các phần tử thuộc *A* hoặc thuộc *B* hoặc thuộc cả *A* và *B*. *A* ∪ *B* = { *x* ∣ *x* ∈ *A* ∨ *x* ∈ *B* } |
|  WIKINIUM\_MATH\_PH\_92  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_94  | hợp của họ các tập |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_96 , tập các phần tử thuộc ít nhất một trong các tập *A*1, …, *A*n. WIKINIUM\_MATH\_PH\_98 và WIKINIUM\_MATH\_PH\_100 , cũng có thể dùng WIKINIUM\_MATH\_PH\_102 *i*∈*I*. |
| ∩ | *A* ∩ *B* | giao của *A* và *B* | Tập các phần tử thuộc cả *A* và *B*. *A* ∩ *B* = { *x* ∣ *x* ∈ *A* ∧ *x* ∈ *B* } |
|  WIKINIUM\_MATH\_PH\_104  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_106  | giao của họ các tập |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_108 , tập các phần tử thuộc tất cả các tập *A*1, …, *A*n. WIKINIUM\_MATH\_PH\_110 và WIKINIUM\_MATH\_PH\_112  |
| \ | *A* \ *B* | hiệu giữa *A* và *B*; *A* trừ *B* | Tập các phần tử thuộc *A* nhưng không thuộc *B*. *A* \ *B* = { *x* ∣ *x* ∈ *A* ∧ *x* WIKINIUM\_MATH\_PH\_114 *B* } Cũng có thể dùng *A* − *B*. |
| C | C*A**B* | phần bù của tập con *B* của *A* | Tập tất cả các phần tử thuộc *A* nhưng không thuộc *B*. Ký hiệu *A* thường được bỏ qua nếu tập *A* được hiểu tường minh. Tương tự C*A**B* = *A* \ *B*. |
| (,) | (*a*, *b*) | cặp có thứ tự *a*, *b*; cặp *a*, *b* | (*a*, *b*) = (*c*, *d*) nếu và chỉ nếu *a* = *c* và *b* = *d*. |
| (,…,) | (*a*1, *a*2, …, *a*n) | bộ-*n* có thứ tự | ký hiệu ⟨*a*1, *a*2, …, *a*n⟩ cũng được sử dụng. |
| × | *A* × *B* | Tích Descartes của *A* và *B* | Tập các cặp (*a*, *b*) trong đó *a* ∈ *A* và *b* ∈ *B*. *A* × *B* = { (*a*, *b*) ∣ *a* ∈ *A* ∧ *b* ∈ *B* } *A* × *A* ×... × *A* được ký hiệu là *A**n*, trong đó *n* là số nhân tử của tích. |
| Δ | Δ*A* | tập các cặp (*x*, *x*) ∈ *A* × *A* trong đó *x* ∈ *A*; đường chéo của tập *A* × *A* | Δ*A* = { (*x*, *x*) ∣ *x* ∈ *A* } Cũng có thể dùng ký hiệu id*A*. |

### Các ký hiệu khác

| Ký hiệu | Ví dụ | Ý nghĩa | Ghi chú |
| --- | --- | --- | --- |
| = | *a* = *b* | *a* bằng *b* | Có thể dùng ≡ để biểu đạt rằng đẳng thức là hằng đúng. |
| ≠ | *a* ≠ *b* | *a* không bằng *b* |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_116 có thể sử dụng để nói rằng *a* không luôn luôn bằng *b*. |
|  WIKINIUM\_MATH\_PH\_118  | *a* WIKINIUM\_MATH\_PH\_120 *b* | *a* được gán bằng *b* | Cũng còn dùng:= |
| ≙ | *a* ≙ *b* | *a* tương đương với *b* | On a 1:106 map: 1 cm ≙ 10 km. |
| ≈ | *a* ≈ *b* | *a* xấp xỉ *b* |  |
| ∼ ∝ | *a* ∼ *b* *a* ∝ *b* | *a* tương ứng với *b* |  |
| < | *a* < *b* | *a* nhỏ hơn *b* |  |
| > | *a* > *b* | *a* lớn hơn *b* |  |
| ≤ | *a* ≤ *b* | *a* lớn hơn hoặc bằng *b* | Có thể dùng ≦. |
| ≥ | *a* ≥ *b* | *a nhỏ hơn* hoặc bằng *b* | Có thể dùng ≧. |
| ∞ |  | vô cực |  |
| ∥ | AB ∥ CD | đường thẳng AB song song với đường thẳng CD |  |
|  WIKINIUM\_MATH\_PH\_122  | AB WIKINIUM\_MATH\_PH\_124 CD | đường thẳng AB vuông góc với đường thẳng CD |  |  |

### Các phép toán

| Ký hiệu | Ví dụ | Ý nghĩa | Ghi chú |
| --- | --- | --- | --- |
| + | *a* + *b* | *a* cộng *b* |  |
| − | *a* − *b* | *a* trừ *b* |  |
| ± | *a* ± *b* | *a* cộng hoặc trừ *b* |  |
| ∓ | *a* ∓ *b* | *a* trừ hoặc cộng *b* | −(*a* ± *b*) = −*a* ∓ *b* |
| ^ | a^b | lũy thừa |  |
| √ | ... | căn bậc | ... |
| ⋮ |

### Các hàm

| Ví dụ | Ý nghĩa | Ghi chú |
| --- | --- | --- |
| *f* | hàm *f* | ... |
| ... | ... | ... |
| ⋮ |

### Hàm mũ và hàm lôgarit

| Ví dụ | Ý nghĩa | Ghi chú |
| --- | --- | --- |
| *a**x* | hàm mũ với cơ số *a* của *x* | ... |
| e | cơ số của lôgarit tự nhiên | e = 2.718 281 8... |
| ... | ... | ... |
| ⋮ |

### Các hàm đường tròn và hyperbol

| Ví dụ | Ý nghĩa | Ghi chú |
| --- | --- | --- |
| π | Tỷ lệ giữa chu vi của một đường tròn với đường kính của nó | π = 3.141 592 6... |
| ... | ... | ... |
| ⋮ |

### Các số phức

| Ví dụ | Ý nghĩa | Ghi chú |
| --- | --- | --- |
| i   j | đơn vị ảo; i² = −1 | Trong kỹ thuật, thường dùng j. |
| Re *z* | phần thực của *z* | *z* = *x* + i*y*, ở đây *x* = Re *z* và *y* = Im *z* |
| Im *z* | phần ảo của *z* |
| ∣*z*∣ | giá trị tuyệt đối của *z*; môđun của *z* | mod *z* |
| arg *z* | *argument* của *z*; *phase* của *z* | *z* = *r*ei*φ*, trong đó *r* = ∣*z*∣ và *φ* = arg *z*, nghĩa là Re *z* = *r* cos *φ* và Im *z* = *r* sin *φ* |
| *z*\* | (số phức) liên hợp của *z* | có thể dùng WIKINIUM\_MATH\_PH\_126 thay cho *z*\* |
| sgn *z* | signum *z* | sgn *z* = z / ∣*z*∣ = exp(i arg *z*) với z ≠ 0, sgn 0 = 0 |

### Matrận

| ví dụ | Ý nghĩa | Ghi chú |
| --- | --- | --- |
| A= WIKINIUM\_MATH\_PH\_128  | ma trận A | ... |
| ... | ... | ... |
| ⋮ |

### Các hệ toạ độ

| Các toạ độ | vị trí vecto | Tên hệ toạ độ | Ghi chú |
| --- | --- | --- | --- |
| *x*, *y*, *z* | ... | Toạ độ Đê-cac | ... |
| *ϱ*, *φ*, *z* | ... | Toạ độ trụ | ... |
| *r*, *ϑ*, *φ* | ... | Toạ độ cầu | ... |

### Vec-tơ và ten-xơ

| Ví dụ | Ý nghĩa! Ghi chú |
| --- | --- |
| a WIKINIUM\_MATH\_PH\_130  | vec-tơ a | . |
| ... | ... | ... |
| ⋮ |

## Soát xét ISO 31-11

Năm 2009, ISO 31-11 đã được thay thế bởi tiêu chuẩn ISO 80000-2. Tiêu chuẩn này đã được nhiều nước chấp nhận thành tiêu chuẩn quốc gia, tại Việt Nam là TCVN 7870-2:2010 (ISO 80000-2:2009) *Đại lượng và đơn vị - Phần 2: Dấu và ký hiệu toán học dùng trong khoa học tự nhiên và công nghệ.*

## Xem thêm

* Ký hiệu toán học
* Ký pháp toán học

## Chú thích