# Pi

**WIKINIUM\_MATH\_PH\_0**  („pi“, deb talaffuz qilinadi) soni — aylana uzunligining diametriga nisbati; irratsional son va transsendent (yaʼni butun koeffitsiyentli algebraik tenglama ildizi boʻlmagan) son.

Aylana uzunligi, doira yuzi, aylanma jismlar hajmini hisoblashda qoʻllanadi.

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_1 soni aylana uzunligining uning diametriga nisbati sifatida avvalo geometriyada paydo boʻlgan, biroq hozir u matematikaning boshqa boʻlimlarida ham ishlatiladi. WIKINIUM\_MATH\_PH\_2 soni irratsional hamda transsendentdir.

Pi soni
Bu sonni grek xarfi WIKINIUM\_MATH\_PH\_3 bilan birinchi boʻlib ingliz matematigi Jonson belgilashni boshlagan (1706), Leonard Eylerning mehnatlaridan soʻng esa bunday belgilash mashhur boʻlib ketdi.

Bunday belgilash yunoncha WIKINIUM\_MATH\_PH\_4  — periferiya soʻzining bosh harfidan olingan.

## Soni

3.14159265358979323846264338327950288419716939937510…

## Tarixi

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_6 irratsional sonini na butun son, na arifmetik kasr sifatida aniq ifodalash mumkin emas.
Cheksiz va davriy boʻlmagan oʻnli kasrlar bilan ifodalanadi. WIKINIUM\_MATH\_PH\_7 soni aylana perimetrining uning diametriga nisbatidir. Qadimgi yunon matematigi Arximed WIKINIUM\_MATH\_PH\_8 ning qiymatini uchta kasrgacha hisoblagan. Klavdiy Ptolemey WIKINIUM\_MATH\_PH\_9 ning qiymatini toʻrtinchi kasrgacha koʻrsatdi. Oʻsha davrda WIKINIUM\_MATH\_PH\_10 ning qiymati ekvivalentlarda ifodalangan, shundan beri oʻnli kasr yoʻq edi. Keyingi 1500 yil davomida gʻarbiy dunyoda WIKINIUM\_MATH\_PH\_11 ning aniqroq qiymatini olishda muvaffaqiyatga erishilmadi. Biroq, ayni paytda qadimgi Xitoyda, aksincha, WIKINIUM\_MATH\_PH\_12 sonining qiymatini hisoblash sohasida sezilarli yutuqlar mavjud edi.
Qadimgi Xitoy matematiklari WIKINIUM\_MATH\_PH\_13 sonining taxminiy qiymatini olish uchun barcha usullarni sinab koʻrdilar.
Usullardan biri quyidagicha edi: aylana chizish, unga muntazam koʻpburchak yozish. Koʻpburchakning qanchalik koʻp tomonlari boʻlsa, koʻpburchakning maydoni va doira maydoni oʻrtasidagi farq shunchalik kichik boʻladi. Doira maydoni WIKINIUM\_MATH\_PH\_14 r² formulasi bilan ifodalanadi, bu yerda WIKINIUM\_MATH\_PH\_15 radiusini oʻlchash orqali aniq hisoblash mumkin. Shunday qilib, koʻpburchakning maydoni aylananing maydoniga yaqinlashganda, WIKINIUM\_MATH\_PH\_16 sonining taxminiy qiymati olinadi.
Arximed aylana ichiga muntazam 96 burchakli burchakni yozdi, natijada shunday qiymat hosil boʻldi: 3,140 < WIKINIUM\_MATH\_PH\_17 < 3,142. Qadimgi xitoyliklarning hisoblash usuli Arximed usulidan farq qilmadi, lekin ular aniqroq qiymat oldilar.
Vey va Jin sulolalarining oʻzgarishi davrida yashagan Lyu Xuy xuddi shu usul bilan qiymatni hisoblab chiqdi. Lyu Xuy davrida odamlar aylana perimetrining uning diametriga nisbati 3:1 ga teng deb hisoblashgan, bu aylana ichiga chizilgan muntazam 6 burchakli perimetrning doira diametriga nisbatini bildiradi va WIKINIUM\_MATH\_PH\_18 qiymati emas. 3:1 nisbatga asoslangan doiraning hisoblangan maydoni haqiqiy maydon emas. Oʻsha paytda odamlar doira maydoni „yarim perimetr x diametr“ formulasi yordamida hisoblanishini allaqachon bilishgan. Diametri toʻgʻri chiziqdir, nazariy jihatdan uning qiymati aniq oʻlchov bilan hisoblanishi mumkin. Shunday qilib, aylananing maydonini hisoblash uchun aylananing maydonini bilish kerak. Biroq, doira egri chiziq boʻlib, uni toʻgʻridan-toʻgʻri oʻlchash mumkin emas.
Shuning uchun, odamlar aylana perimetrini oʻlchash oʻrniga, oddiy 6-burchakni aylana ichiga sigʻdirish usulini oʻylab topishdi, ammo bu usul yechimda xatolikni keltirib chiqaradi. Egri chiziqni qanday qilib toʻgʻri chiziqqa aylantirish mumkin? Shu munosabat bilan, Liu Xui taʼkidladi: maʼlum bir doira ichiga yozilgan muntazam koʻpburchakning tomonlari sonining cheksiz koʻpayishi bilan uning tomonining uzunligi aylananing perimetriga intiladi. Shuning uchun aylana ichiga chizilgan muntazam koʻpburchak tomonlarining uzunligi aylananing perimetri oʻrnini bosuvchi boʻlib xizmat qiladi. Liu Xuining usuli „aylanani boʻlish“ deb ataladi. Liu Xui oʻz fikrini hayotga olib keldi: u WIKINIUM\_MATH\_PH\_19 qiymatini hisoblash jarayonida „aylana boʻlinishi“ usulidan foydalangan.
6 burchakdan boshlab, u koʻpburchakning tomonlarini qayta-qayta oshirdi, buning natijasida u 12-burchak, 24-burchak, 48-burchak,
96-burchak va hatto 192-burchak. Shunday qilib, u WIKINIUM\_MATH\_PH\_20 3,141024 qiymatini oldi. Hisoblash paytida u „3.14“ qiymatini qoʻlladi.
Dalil topish uchun u koʻpburchakning tomonlarini 3072 ga oshirdi. Shubhasiz, aylanaga chizilgan 3072 burchakli burchakning maydoni aylananing haqiqiy maydoniga yaqinroq. Shunday qilib, Liu Xui WIKINIUM\_MATH\_PH\_21 qiymatini 3,1416 aniqlik bilan oldi, bu yunonlar tomonidan olingan natijalardan ancha aniqroqdir.
Liu Xuz tomonidan olingan WIKINIUM\_MATH\_PH\_22 qiymati bir vaqtlar dunyodagi eng aniq boʻlgan. Ammo Lyu Xuining hissasi nafaqat bu edi. U WIKINIUM\_MATH\_PH\_23 qiymatini hisoblashning ilmiy usulini yaratib, matematikaning rivojlanishiga hissa qoʻshdi. Uning ishi tufayli WIKINIUM\_MATH\_PH\_24 ning maʼnosini eng chuqur oʻrganish uchun mustahkam nazariy asos yaratildi. Agar avlodlar uning usuli boʻyicha hisoblashda davom etsalar, ular aniqroq qiymatga ega boʻlishadi. Bundan tashqari, uning nazariyasida chiziqli va egri chiziqli transformatsiyalar haqida koʻproq tushunarli fikr mavjud.
Chiziqli va egri chiziqli oʻzgarishlar esa differentsial va integral hisoblash nazariyasining manbai hisoblanadi.

## Tengliklar

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_25 soni qatnashgan koʻpgina tengliklar mavjud, masalan:

* Fransua Viet, 1593:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_26
* Leybnits qatori:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_28
* Eyler ayniyati:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_30
## Hisoblash usullari

Fayl:ArchimedesPi.png
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_32 sonini matematik hisoblab chiqarishni Arximed birinchi boʻlib taklif qilgan, deb taxmin etiladi. Buning uchun u aylana va unga tashqi va ichki chizilgan muntazam ko`pburchaklardan foydalangan. Aylana diametrini bir, deb hisoblab, Arximed tashqi chizilgan koʻpburchak perimetrini WIKINIUM\_MATH\_PH\_33 sonining yuqori, ichki chizilgan koʻpburchak perimetrini esa quyi qiymati, deb koʻrar edi. Masalan, oltiburchak uchun (rasmga qarang) WIKINIUM\_MATH\_PH\_34 tengsizlik kelib chiqadi.

Arximed 96 burchakli muntazam koʻpburchak uchun WIKINIUM\_MATH\_PH\_36 tengsizlikni keltirib chiqardi.

Arab matematigi Gʻiyosiddin Jamshid ibn Maqsud al-Koshiy 1424-yilda yozib bitirgan „Aylana haqidagi traktat“ kitobida WIKINIUM\_MATH\_PH\_38 sonini 17 xona aniqlikda keltiradi.

Ludolf van Seylen (1536—1610) WIKINIUM\_MATH\_PH\_39 sonini 20 xona aniqlikda xisoblab chiqarish uchun oʻn yil sarfladi (1596 yilda chop etilgan „Aylana haqida“ („Van den Cirkel“) kitobida). Arximed usulini qoʻllab, u *n* burchakli koʻpburchak ishlatdi, bu yerda WIKINIUM\_MATH\_PH\_40 . Ludolf kitobini ushbu soʻzlar bilan yakunladi: „Kimning xohishi boʻlsa, davom ettiraversin“. Uning oʻlimidan soʻng qoʻlyozmalarida WIKINIUM\_MATH\_PH\_42 soning yana 15 raqami topildi. Ludolf qabrtoshiga shu sonlarni yozib qoʻyishni vasiyat qilgan. Baʼzan WIKINIUM\_MATH\_PH\_43 sonini „Ludolf soni“, deb ham atashadi.

Keyinchalik WIKINIUM\_MATH\_PH\_44 sonini hisoblash uchun analitik usullardan foydalanishga oʻtishdi.

Birinchi samarali formulani 1706 yilda Jon Mechin (*John Machin*) taklif qildi:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_45
Arktangensni Teylor qatoriga yoyib, WIKINIUM\_MATH\_PH\_47 sonini katta aniqlikda topishga imkon eruvchi yaqinlashuvchi qatorga keltirish mumkin.

Ramanujan va Chudnovskiy algoritmlari esa yanada tezroq ishlaydi:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_48
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_50
## Transsendentlik va irratsionallik

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_52 soning irratsionalligini birinchi boʻlib Iohann Lambert 1767 yilda WIKINIUM\_MATH\_PH\_53 sonini uzluksiz kasrga yoyib isbotlagan. 1794 yilda Lejandr WIKINIUM\_MATH\_PH\_55 va WIKINIUM\_MATH\_PH\_56 sonlarining irratsional ekanligiga yanada qatʼiy isbotlar keltirdi.

1882 yilda Kyonigberg, keyinchalik Myunhen universitetlari professori Ferdinand Lindeman WIKINIUM\_MATH\_PH\_58 sonining transsendentligini isbotladi.Feliks Kleyn v 1894da bu isbotni soddalashtirdi.

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_59 sonining transsendentligi aniqlangach, 2,5 ming yildan koʻp vaqt davom etib kelayotgan doira kvadraturasi masalasining Yevklid geometriyasida yechimi yoʻqligi koʻrinib, bu haqdagi bahslarga chek qoʻyildi.

## Norasmiy bayramlar

„Pi Kuni“ (ingl. *Pi Day*) 14-martda nishonlanadi, chunki bu kun Amerika sanalar formatida 3.14 shaklida yoziladi, bu esa Pi sonining taqribiy qiymatidir.

Piga bogʻliq yana bir norasmiy bayram — „Taqribiy Pi Kuni“ (ingl. *Pi Approximation Day*) 22-iyulda oʻtkaziladi, chunki bu kun Yevropa sanalar formatida 22/7 shaklida yoziladi, bu esa Pi soning kasr shaklidagi taqribiy qiymatidir.

## Yana qarang

* Radian

## Manbalar

## Havolalar

* WIKINIUM\_MATH\_PH\_60 soni million xona aniqlikda (Wayback Machine saytida 2007-01-26 sanasida arxivlangan)
* WIKINIUM\_MATH\_PH\_61 soni 200 million xona aniqlikda (Wayback Machine saytida 2011-08-29 sanasida arxivlangan)
* Pi Arbuz.uz da
* Pi-memory (Wayback Machine saytida 2008-03-19 sanasida arxivlangan)