# Trigonometrik fonksiyonlar

Trigonometrik fonksiyonların birim çember üzerinde gösterilmesi
Trigonometrik fonksiyonlar: Sinüs, Kosinüs, Tanjant, Kotanjant, Sekant, Kosekant
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_0 ve WIKINIUM\_MATH\_PH\_2 fonksiyonlarının kartezyen uzayında grafiksel gösterimi
**Trigonometrik fonksiyonlar**, matematikte bir açının fonksiyonu olarak geçen fonksiyonlardır. Geometride üçgenleri incelerken ve periyodik olarak tekrarlanan olayları incelerken sıklıkla kullanılırlar. Genel olarak bir açısı belirli dik üçgenlerde herhangi iki kenarın oranı olarak belirtilirler, ancak birim çemberdeki belirli doğru parçalarının uzunlukları olarak da tanımlanabilirler. Daha çağdaş tanımlarda sonsuz seriler veya belirli bir diferansiyel denklemin çözümü olarak geçerler.

## Temel fonksiyonlar

Çağdaş kullanımda, aşağıdaki tabloda da gösterildiği üzere altı tane temel trigonometrik fonksiyon vardır. Özellikle son dördünde, bu bağıntılar bu fonksiyonların tanımları olarak geçer, ama bu fonksiyonlar geometrik veya başka yollardan da tanımlanabilirler ve bu bağıntılar o yollardan da çıkarılabilir. Bu fonksiyonlar arasındaki birçok bağıntı trigonometrik ifadeler sayfasında görülebilir.

Altı trigonometrik fonksiyonun grafiği, birim çember ve θ = 0.7 radyan açısı için bir doğru verilmiştir. 1, Sec(θ), Csc(θ) olarak etiketlenen noktalar, başlangıç noktasından o noktaya kadar olan doğru parçasının uzunluğunu temsil eder.

Sin(θ), Tan(θ) ve 1

, x ekseninden başlayan çizginin yükseklikleridir, Cos(θ), 1, and Cot(θ) ise başlangıçtan başlayarak x ekseni boyunca uzunluklardır.

|  |  |  |
| --- | --- | --- |
| **Fonksiyon** | **Kısaltma** | **İlişki** |
| **Sinüs** | sin |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_4  |
| **Kosinüs** | cos |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_6  |
| **Tanjant** | tan |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_8  |
| **Kotanjant** | cot |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_10  |
| **Sekant** | sec |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_12  |
| **Kosekant** | csc (veya cosec) |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_14  |

## Sinüs ve Kosinüs fonksiyonları

1. **f(x) = sin(x)** fonksiyonu dik üçgen'de karşı dik kenarın hipotenüse oranıdır. Koordinat Düzleminde "y" ekseni olarak tabir edilir. Bu fonksiyonun tanım aralığı [-1,1] dir. Yani, sinüs fonksiyonunun değeri -1'den küçük 1'den büyük olamaz.

2. **f(x) = cos(x)** fonksiyonu dik üçgende Komşu dik kenarın hipotenüse oranıdır. Koordinat düzleminde "x" ekseni olarak tabir edilir. Tanım aralığı f(x) = sinx fonksiyonuyla aynıdır.

Sinüs ve Kosinüs fonksiyonları arasında Pisagor teoreminden çıkarılabilen; WIKINIUM\_MATH\_PH\_16 bağıntısı vardır.

## Tanjant ve Kotanjant fonksiyonları

3. **f(x) = tanx** fonksiyonu dik üçgende Karşı dik kenarın komşu dik kenara oranıdır. Koordinat düzleminde Birim çembere "x" ekseninin pozitif tarafında teğet ve x eksenine diktir. Tanım aralığı (-∞,+∞) dır. Ayrıca WIKINIUM\_MATH\_PH\_18 'dir.

4. **f(x) = cotx** fonksiyonu dik üçgende Komşu dik kenarın karşı dik kenara oranıdır. Koordinat düzleminde Birim çembere "y" ekseninin pozitif yönünde teğet ve y eksenine diktir. Tanım aralığı (-∞,+∞) dır.

Tanjant ve Kotanjant fonksiyonları arasında birim çemberde benzerlik yapılarak veya Pisagor teoreminden bulunabilen WIKINIUM\_MATH\_PH\_20 bağıntısı vardır.

### Trigonometrik fonksiyonların özel değerleri

Aşağıdaki tabloda gösterildiği gibi Trigonometrik fonksiyonların bazı yaygın olarak kullanılan özel değerleri vardır,

| Fonksiyon |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_22  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_24  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_26  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_28  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_30  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_32  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_34  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| sin |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_36  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_38  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_40  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_42  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_44  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_46  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_48  |
| cos |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_50  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_52  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_54  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_56  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_58  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_60  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_62  |
| tan |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_64  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_66  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_68  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_70  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_72  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_74  | Tanımsız |
| cot | Tanımsız |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_76  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_78  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_80  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_82  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_84  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_86  |
| sec |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_88  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_90  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_92  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_94  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_96  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_98  | Tanımsız |
| csc | Tanımsız |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_100  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_102  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_104  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_106  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_108  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_110  |

## Diğer trigonometrik fonksiyonlar

Yukarıda ifade edilenlerle birlikte, daha önce hiç duymamış olabileceğiniz ek trigonometrik fonksiyon aileleri vardır. Bunlar şunları içerir: Versine, Vercosine, Coversine, Covercosine, Exsecant, Excosecant, Haversine, Havercosine, Hacoversine, Hacovercosine.

Bunlar, temel üç trigonometrik fonksiyonun temel kombinasyonları için basit isimler olup özdeşlikleri aşağıdaki tabloda verilmiştir:

|  |  |  |
| --- | --- | --- |
| **Fonksiyon** | **Kısaltma** | **Özdeşlik** |
| **Versinüs** | versin(θ) | 1 – cos(θ) |
| **Verkosinüs** | vercosin(θ) | 1 + cos(θ) |
| **Koversinüs** | coversin(θ) | 1 – sin(θ) |
| **Koverkosinüs** | covercosin(θ) | 1 + sin(θ) |
| **Ekssekant** | exsec(θ) | sec(θ) – 1 |
| **Ekskosekant** | excsc(θ) | csc(θ) – 1 |
| **Haversinüs** | haversin(θ) | versin(θ)/2 |
| **Haverkosinüs** | havercosin(θ) | vercosin(θ)/2 |
| **Hakoversinüs** | hacoversin(θ) | coversin(θ)/2 |
| **Hakoverkosinüs** | hacovercosin(θ) | covercosin(θ)/2 |

## Birim çemberde tanımlar

Birim çember
Bu altı trigonometrik fonksiyon birim çember'de tanımlanabilir, yarıçapı bir birim olan çemberdir. Birim çember tanımı pratik hesaplamada çok yararlar sağlar; aslında çoğu açıları için dik üçgeni kullanabiliriz. Açılar 0 ve π/2 radyan'la sınırlı değildir. Birim çember bütün pozitif ve negatif açıların trigonometrik değerlerini tanımlar

Ayrıca tek bir görsel resim Aynı anda tüm önemli üçgenlerin içinde saklanmasını sağlar.
Pisagor teoremi'nden yararlanılarak birim çemberde şu denklemi kurabiliriz:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_112
Bu resim bazı yaygın açıları, negatif ve pozitif yöndeki ölçüleri, radyan ölçülerini içerir, *x*-ekseninin pozitif yarısının orijinden çizilen doğru ile yaptığı açı *θ*’dır, bu birim çemberle kesişir. *x*- ve *y*-koordinatlarının bu kesim noktası ile kesiştiği nokta sırasıyla cos *θ* ve sin *θ*, değerlerine eşittir. Hipotenüs burada 1'e eşittir. böylece sin *θ* = *y*/1 ve cos *θ* = *x*/1 olacaktır

Bu değerlerin, kolay biçimde hafızaya alındığını aklınızda bulundurunuz

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_114
15°, 18º, 36º, 54°, 72º ve 75° için elde edilen değerleri aşağıdadır.

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_116
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_118
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_120
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_122
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_124
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_126
3º, 6º, 9º, 81º, 84º ve 87º için değerleri analitik olarak hesaplanabilir.

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_128
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_130
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_132
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_134
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_136

Sinüs ve kosinüs fonksiyonları Kartezyen düzlemde grafikle gösterilebilir.
2π ve daha büyük açılar için az-2π ve daha küçük açılar için çember etrafında sadece bir daire etrafında dönmeye devam ederler

sin ve cos periyodik fonksiyon ve periodu 2π'dir
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_138
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_140
herhangi bir açı θ ve herhangi bir tam sayı  *k* 'dır.

## Seri tanımları

Sinüs fonksiyonu (mavi), orijini merkez alan tam bir döngü için 7. derecedeki (pembe) Taylor polinomu ile oldukça yakınsanır.
Trigonometrik fonksiyonların Taylor serisi'ne açılımları aşağıdaki gibidir. bütün *x*: gerçek sayılar için

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_142
Bu iki serinin şu toplamı Euler formülü'nü verir: cos *x* + *i* sin *x* = *e**ix*.
Diğer serilerde bulunabilir.
Aşağıdaki trigonometrik fonksiyonlar için:

*U**n* *n*inci üst/alt sayı'dır,
*B**n* *n*inci Bernoulli sayısı'dır, ve
*E**n* (aşağıda) *n*inci Euler sayısı'dır.
**Tanjant**

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_144
Eğer seri tanjant fonksiyonu ilgili faktöriyelleri ile ifade edilecekse, kombinatorik yorumlamada, kardinal tek sayıların sonlu sayıda permütasyon alternatifleri vardır bunlar "tanjant sayıları" olarak adlandırılır.

**Kosekant**

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_146
**Secant**

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_148
Eğer seri sekant fonksiyonu ilgili faktöriyelleri ile ifade edilecekse, kombinatorik yorumlamada, kardinal tek sayıların sonlu sayıda permütasyon alternatifleri vardır bunlar "sekant sayıları" olarak adlandırılır.

**Kotanjant**

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_150
kotanjant fonksiyonu ve ters fonksiyonlar için:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_152
Bu eşitlik Herglotz hilesi ile ispat edilir.
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_154 -inci ve WIKINIUM\_MATH\_PH\_156 -inci terimleri birleştirilerek mutlak yakınsak seri:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_158
### Üstel fonksiyonlar ve karmaşık sayılarla ilişkisi

Euler formülünün üç boyutlu helisle gösterimi, birim çemberin 2-D ortogonal parçası ile başlıyor, WIKINIUM\_MATH\_PH\_160 ve WIKINIUM\_MATH\_PH\_162 ( *WIKINIUM\_MATH\_PH\_164*  yerine WIKINIUM\_MATH\_PH\_166  *WIKINIUM\_MATH\_PH\_168* ).
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_170
Bu eşitlik Euler formülüdür. Karmaşık analizin geometrik yorumlanmasının esasını oluşturur. Örnek olarak Karmaşık düzlem'de birim çemberin *e**ix*, parametrizasyonu gibi. Buradaki paramatreler cos ve sin'dir.
Euler formülü ile aşağıdaki sin ve cos trigonometrik eşitlikler yazılabilir:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_172
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_174
Dahası, trigonometrik fonksiyonların bu karmaşık argümanları için *z* tanımını sağlar:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_176
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_178
burada *i*2 = −1. sin ve cos tam fonksiyon'dur. Ayrıca, *x* saf gerçeldir,

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_180
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_182
Ayrıca argümanları gerçek ve sanal kısımları bakımından karmaşık sinüs ve kosinüs fonksiyonları ifade etmek bazen yararlıdır.

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_184
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_186
Bu (*sin*, *cos*) fonksiyonlarından yararlanılarak hiperbolik gerçek (*sinh*, *cosh*) karşılıkları bulunabilir.

#### Karmaşık grafik

Aralık değerinin parlaklığın büyüklüğü (mutlak değeri) gösterir. Parlaklığı siyah olan değer sıfırdır. Renk tonu pozitif reel eksenle ölçülen, argüman veya açı ile değişir.

Karmaşık fonksiyonlar için renk haritası. Ölçek sinh kullanılarak yapılır.
## Ayrıca bakınız

* Trigonometrinin ana hatları
* Trigonometrik tabloların oluşturulması
* Aryabhata sinüs tablosu
* Madhava sinüs tablosu
* Madhava serisi
* Bhaskara sinüs yaklaşıklığı formülü
* Hiperbolik fonksiyon
* Birim vektör (cos yön açıklaması)
* Newton serisi tablosu
* Trigonometrik eşitliklerin listesi
* Trigonometrik eşitliklerin kanıtları
* Euler formülü
* Polar sinüs-köşe açıları bir genellemesi
* Gauss sürekli kesri-tanjant fonksiyonu tanımı için bir sürekli kesir
* Genelleştirilmiş trigonometri

## Notlar

## Kaynakça

## Dış bağlantılar

Vikikitap
Vikikitapta bu konu hakkında daha fazla bilgi var:
Trigonometry Visionlearning Module on Wave Mathematics18 Mart 2008 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.
* GonioLab: Visualization of the unit circle, trigonometric and hyperbolic functions
* Dave's draggable diagram.15 Haziran 2008 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi. (Requires java browser plugin)