# Gama fonksiyonu

| Gamma |
| --- |
| Reel eksen boyunca gama fonksiyonu |
| Genel bilgiler |
| Genel tanım |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_0  |
| Uygulama alanları | Kalkülüs, matematiksel analiz, istatistik, fizik |

**Gama fonksiyonu**, matematikte faktöriyel fonksiyonunun karmaşık sayılar ve tam sayı olmayan reel sayılar için genellenmesi olan bir fonksiyondur. Г simgesiyle gösterilir.

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_2
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_4
Kompleks düzlemde Analitik devamlılık için n negatif tam sayı olmamalıdır, pozitif tam sayı olmalıdır.

## Alıştırma

Öncelikle;

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_6 eşitliğini ele alalım.
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_8 alırsak; WIKINIUM\_MATH\_PH\_10 olur.
Bu durumda "Aynı işlem kesirli sayılarla da yapılabilir mi?" diye bir soru akla gelir.

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_12 alırsak;
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_14 olması gerekir. Yani
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_16 → WIKINIUM\_MATH\_PH\_18 olmalıdır.
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_20 ' olduğundan;
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_22 → WIKINIUM\_MATH\_PH\_24 'e karşılık gelmelidir(eşittir demiyoruz) ve yine
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_26 → WIKINIUM\_MATH\_PH\_28 işlemine karşılık gelmelidir.
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_30
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_32
Bu da

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_34 → WIKINIUM\_MATH\_PH\_36 varsayımımızı doğrular. Denenirse diğer sayılar için de bunun doğruluğu görülebilir.
## Tanım

### Ana Tanım

karmaşık düzlemle genişletilmiş Gama fonksiyonu
Bu çift WIKINIUM\_MATH\_PH\_38 gösterim Legendre tarafından yapılmıştır. Kompleks sayı *z'*nin gerçel kısmı (Re[*z*] > 0) şeklindedir. integral'i

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_40
Burada kısmi integrasyon kullanarak, mutlak yakınsaklık gösterilebilir.

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_42
 *n* ! = *n* · (*n* − 1) ! faktoriyel fonksiyonunun genel kimliği/tanımı Bu fonksiyonel denklemdir.

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_44
Bu iki sonuç bize faktöriyel fonksiyonun gama fonksiyonun özel bir durumu olduğunu gösteriyor.
Bütün *n* Doğal sayılar'ı için .

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_46
Karmaşık düzlem üzerinde Gama fonksiyonu'nun mutlak değeri.
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_48 genellemesi analitik devamlılık için gereklidir. *z* böylece 0 ve negatif değerler hariç bütün kompleks sayıları meromorfik fonksiyon olarak tanımlar. (*z*. = −*n* basit kutbu ile rezidü (−1)*n*/*n* !).

### Alternatif tanımlamalar

0 ve negatif tam sayılar dışında bütün kompleks sayılar *z* için tanım sonsuz sayıda Gama fonksiyonu için, sırasıyla Euler ve Weierstrass çifti tarafından

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_50
burada γ, Euler-Mascheroni sabiti'dir.

yukarıdaki *z* nin 0,-1,-2,-3..dışındaki değerleri için Euler tanımı fonksiyonel denklemi
basitleştirilmiş şekli,

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_52
değişik bir gösterim...

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_54
Bazen Gamma fonksiyonu'nun parametrik şekli Laguerre polinomları'nın
terimleri içinde verilir;

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_56 , yakınsaklık için WIKINIUM\_MATH\_PH\_58 olmalıdır.
* Mutlak değer
* Gerçel kısım
* Sanal kısım

## Özellikler

Mathematica'da kendi kendine yapılan Γ fonksiyonunun mutlak değerinin 3B grafiği (mupad'deki önceki sürümler)
### Pi fonksiyonu

Bir alternatif gösterimde Gauss tarafından girilmişti. ve bazen **Pi fonksiyonu** deniyor, gama fonksiyonu terimleri yardımıyla

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_60
böylece

her negatif olmayan *n* için.

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_62
Pi fonksiyonunu kullanarak yansıma formülü formunu alır

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_64
burada sinc normalize sinc fonksiyonudur, eğer çarpım teoremi formu alınırsa

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_66
ayrıca bazen

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_68
bulunur.

yukardaki bir Tam fonksiyon'dur, çünkü karmaşık sayılar içinde tanımlıdır. Burada π(*z*) hiçbir kutba sahip değildir, Π(*z*)de, Γ(*z*) gibi, sıfır yok idi.

ilgilenenler için, yarıçap WIKINIUM\_MATH\_PH\_70 ile bir n-ellipsoidin hacmi gösterilebilir.

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_72
## Özel değerler

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_74
### Raabe formülü

1840 yılında Raabe şunu kanıtladı,

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_76
özel olarak, eğer WIKINIUM\_MATH\_PH\_78 ise
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_80
## Ayrıca bakınız

* Matematiksel fonksiyonların listesi
* Beta fonksiyonu
* Bohr–Mollerup teoremi
* n-küre hacminin türevi (görünüşte ilgisiz olan problemden Gama fonksiyonunun türetilmesi)
* Digama fonksiyonu
* Elliptik gama fonksiyonu
* Faktöriyel
* Gamma dağılımı
* Gauss sabiti
* Gauss toplamı
* Lanczos yaklaşıklığı
* Çokdeğişkenli Gama fonksiyonu
* Pochhammer k-sembolü
* Poligama fonksiyonu
* Ters Gama fonksiyonu
* Trigama fonksiyonu

## Notlar

## Kaynakça

* *Bu makale, Creative Commons Attribution-ShareAlike 3.0 Unported License altında lisanslanan ancak GFDL kapsamında olmayan Citizendium makalesi "Gama fonksiyonu"dan materyal içermektedir.*

* Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, eds. *Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables.* New York: Dover, 1972. *(See Chapter 6) 17 Şubat 2009 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.*
* Emil Artin, "The Gamma function", in Rosen, Michael (ed.) *Exposition by Emil Artin: a selection*; History of Mathematics 30. Providence, RI: American Mathematical Society (2006).
* Philip J. Davis, "Leonhard Euler's Integral: A Historical Profile of the Gamma Function," *Am. Math. Monthly* **66**, 849-869 (1959)
* Julian Havil, *Gamma, Exploring Euler's Constant", ISBN 0-691-09983-9 (c) 2003*
* W.H. Press, B.P. Flannery, S.A. Teukolsky, and W.T. Vetterling. *Numerical Recipes in C*. Cambridge, UK: Cambridge University Press, 1988. *(See Section 6.1.)*
* Pascal Sebah and Xavier Gourdon. *Introduction to the Gamma Function*. In PostScript4 Şubat 2012 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi. and HTML4 Şubat 2012 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi. formats.

## Dış bağlantılar

Wikimedia Commons'ta Gama fonksiyonu ile ilgili ortam dosyaları mevcuttur.

* Askey, R. A.; Roy, R. (2010), "Gama fonksiyonu", Olver, Frank W. J.; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (Ed.), *NIST Handbook of Mathematical Functions*, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, MR 2723248 .
* Cephes8 Aralık 2009 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi. - C and C++ language special functions math library
* Examples of problems involving the Gamma function can be found at Exampleproblems.com.
* Gamma function calculator
* Wolfram gamma function evaluator (arbitrary precision)28 Ekim 2019 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.
* Şablon:WolframFunctionsSite
* Volume of n-Spheres and the Gamma Function5 Mart 2012 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi. at MathPages
* Computing the Gamma function31 Aralık 2005 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi. - various algorithms
* Online tool to graph functions which contain the Gamma function
* Eric W. Weisstein, *Gamma function* (MathWorld)
* "Elementary Proofs and Derivations" 26 Temmuz 2023 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.
* "Transformations, Identities and Special Values" 26 Temmuz 2023 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.