# Kütleçekimsel potansiyel

eşit bir küresel gövdenin çevresinde yerçekimi potansiyelinin iki boyutlu bir dilim grafiği. Büküm noktaları kesit yüzeyinin gövdesinde bulunmaktadır.
Klasik mekanikte, bir yerdeki **yerçekimi potansiyeli** iş (dönüşen enerjiden) bölü birim ağırlığa eşittir. Sabit bir referans noktası için bir nesnenin yerçekimi kuvveti tarafından oluşan hareketidir. Yük rolü oynayan bir ağırlığın elektrik potansiyeline benzerdir. Referans noktasında potansiyel herhangi bir ağırlığın sonsuz uzaklıkta toplanmasından dolayı 0'dır ve sonlu bir uzunlukta negatif bir potansiyelle sonuçlanır.
Matematikte, yerçekimi potansiyeli ayrıca Newton potansiyeli olarak bilinir ve potansiyel teorinin çalışmasının temelidir.

## Potansiyel enerji

Potansiyel enerjinin *U* birim ağırlığa bölümü yerçekimi (*V*) potansiyeline eşittir.

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_0
Burada *m*, nesnenin ağırlığıdır. Potansiyel enerji bir cismin sonsuzdan uzaydaki bir noktaya yerçekim alanı tarafından yapılan işe eşittir.

Bazı durumlarda, bu denklik konumundan neredeyse bağımsız gibi varsayılarak sadeleştirilmiş olabilir. Örneğin; günlük hayatta, Dünya yüzeyine yakın olan bir bölgede yerçekim ivmesi sabit olarak düşünülebilir. O halde, bir yükseklikle diğer bir yükseklik arasındaki potansiyel enerji farkı, uzunluklar arasındaki farkın iyi bir yaklaşımı ile ilgilidir.

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_2
## Matematiksel formu

*M* ağırlıklı kütlenin noktasal ağırlığından *x* kadar uzaklıktaki bir mesafede potansiyel *V*, sonsuzdan getirilen bir birim ağırlık tarafından oluşturulan yerçekim alanıyla tanımlanabilir.

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_4
Burada *G*, yerçekim sabitidir. MKS sistemde, potansiyel enerjinin birimi bölü kütlenin birimine(J/kg) eşittir. Bu hesaplamayla, tanımlandığı her yerde negatiftir ve *x* sonsuza eğilimlidir ve 0'a yaklaşır.

Yerçekim alanı ve iri nesne etrafında dolanan uzaydaki küçük nesnenin ivmesi yerçekim potansiyelinin negatif ivmesidir. Bu nedenle, negatif bir eğimin negatifi iri nesneye doğru olan pozitif ivmeyi kabul etmektedir. Potansiyelin hiç açısal bileşeni olmadığı için, eğimi;

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_6
Burada **x**, küçük nesneye doğru olan noktasal ağırlıktan *x* noktasına kadar olan vektörün uzunluğu ve WIKINIUM\_MATH\_PH\_8 ise birim vektördür. İvmenin büyüklüğü;

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_10
Kütle dağılımı ile ilişkili olan potansiyel noktasal kütlelerin potansiyellerinin çakışmasıdır. Kütle dağılımı noktasal ağırlıkların sonlu dağılması ise ve noktasal ağırlıklar **x**1, ..., **xn* üzerinde konumlandırılıyorsa ve ağırlıkları *m*1, ..., *m**n* ise ve **x** üzerindeki potansiyel dağılımları;

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_12
dağınık kütlede(gri) **r** içeren **x** ve **r**noktaları ve **r** noktası üzerindeki diferansiyel kütle *dm*(**r**)’dir.
Eğer kütle dağılımı üç boyutlu Öklid uzayında bir kütle ölçüsü *dm* olarak veriliyorsa, potansiyel *dm* −G/|**r**| 'nin konvülasyonlarıdır. en iyi durumda bu aşağıdaki integrale eşittir;

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_14
Burada |**x** − **r**|; **x** ve **r** noktaları arasındaki uzaklıktır. **r** üzerindeki dağılımın yoğunluğunu tanımlayan bir *ρ*(**r**) fonksiyonu varsa, bu *dm*(**r**)= *ρ*(**r**)*dv*(**r**), burada *dv*(**r**) Öklid hacim elementidir ve yerçekimi potansiyeli hacim integrali

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_16
Eğer *V* sürekli kütle dağılımından *ρ*(**r**) gelen potansiyel bir fonksiyon ise *ρ*, Laplace operator, Δ kullanarak ortaya çıkarılır.

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_18
Bu durumda *ρ* sınırlandırılmış bir setin dışında her zaman sürekli ve sıfırdır. Genellikle, Dağılımın hassaslığında Laplace operatör kullanırsak, kütle ölçüsü *dm* aynı yolla ortaya çıkarılabilir.

## Küresel Simetri

Shell teoremine göre, bütün ağırlıklar merkezde yoğunlaştırılmış olmasına rağmen, küresel simetrik bir kütle dağılımı tam olarak dağılımın dışındaki bir gözlemci gibi davranır. Dünya yüzeyinde, ivme sözde standart yer çekimi *g* olarak bilinen; yaklaşık 9.8 m/s2 olarak ölçülmüştür. Bu değer, enlem ve rakımla azıcık da olsa çeşitlendirilebilmesine rağmen, ivme büyüklüğü kutuplarda ekvatordakinden bir miktar büyüktür, çünkü; Dünya kutuplardan basık ve küremsidir.

Küresel simetrik bir yük dağılımının içinde, küresel koordinatlarda Poisson denklemini çözmek mümkündür. Yarıçapı R olan homojen küresel bir ağırlığın içinde ve yoğunluğu ρ, yerçekim kuvveti *g* merkezden *r* uzaklıktaki bir kürede, kürenin içinde yerçekim potansiyeli;

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_20
Kürenin dışı için potansiyel fonksiyonu diferansiyel olarak bir bağlantı kurar.

## Genel Görelilik

Genel görelilikte, yerçekim potansiyeli ölçü dansörü tarafından değiştirilmiştir. Yerçekim alanı zayıf kaynaklar ışık hızına nazaran çok yavaş hareket ettiğinde genel görelilik, Newton yerçekimine indirgenir.

## Çok kutuplu genişleme

Bir **x** noktasındaki potansiyel

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_22
Potansiyel Legendre polinom serilerinde genişletilebilir. **x** ve **r** noktalarındaki pozisyon vektörleri olarak kütle merkezine yakın olduğunu gösterilir. İntegralde bölen verilenin karesinin karekökü olarak açıklanabilir:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_24
Son integralde r = |**r**| ve θ, **x** ve **r** arasındaki açıdır.
İntegrant, katsayıların açık hesabıyla *Z* = *r*/|**x**|’deki bir Taylor seri olarak açıklanabilir. Aynı sonucu bulmanın bir zahmetli yolu da genelleştirilmiş binom teoremi kullanmaktır. Bu sonuçlanan seriler Legendre polinomları için genelleşmiş fonksiyonlardır.

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_26
|*X*| ≤ 1 ve |*Z*| < 1 için geçerlidir. *P**n* sabitleri, *n* derecede Legendre polinomlarıdır. Bu nedenle, integrantın Taylor sabitleri *X* = cos θ ‘daki Legendre polinomları tarafından verilir.

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_28
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_30 integrali **x** yönünde kütle merkezinin bir bileşenidir: bu sıfırlanmanın nedeni kütle merkezinden çıkan x vektörüdür. Bu toplamın işareti integralden gelir;

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_32
## Sayısal değerler

Yerçekimi potansiyelinin sayısal değeri yerçekiminin Dünya’dan, Güneş’ten ve Samanyolu’ ndan alınan değerleri tabloda verilmiştir.

| Yer | Dünya'ya göre | Güneş'e göre | Samanyolu'na göre |
| --- | --- | --- | --- |
| Dünya yüzeyinde | 60 MJ/kg | 900 MJ/kg | ≥ 130 GJ/kg |
| LEO | 57 MJ/kg | 900 MJ/kg | ≥ 130 GJ/kg |
| 1yolcu (Dünya'dan 17,000 milyon km ) | 23 J/kg | 8 MJ/kg | ≥ 130 GJ/kg |
| Dünya'dan 0.1 ışık yılı | 0.4 J/kg | 140 kJ/kg | ≥ 130 GJ/kg |

Bu yerlerde yerçekimini kıyaslayınız.

## Ayrıca bakınız

* Applications of Legendre polynomials in physics
* Standard gravitational parameter *(GM)*
* Geoid

## Notlar

## Kaynakça