# Sferoit

Dikey dönme eksenli sferoidler|  |
| *basık (oblate)* | *kutuplarda uzatılmış (prolate)* |

Bir **sferoit**, **küremsi** veya **dönel elipsoit**, bir elipsin ana eksenlerinden biri etrafında döndürülmesiyle elde edilen kuadrik bir yüzeydir; başka bir deyişle, iki eşit yarıçapa sahip bir elipsoitdir. Bir sferoit, dairesel simetriye sahiptir.

Elips, ana ekseni etrafında döndürülürse, sonuç, bir Amerikan futbolu veya ragbi topu biçiminde şekillendirilmiş, kutuplarda uzatılmış (*prolate*) bir sferoittir. Elips, küçük ekseni etrafında döndürülürse, sonuç mercimek şeklinde *yassı* (düzleştirilmiş, *oblate*) bir sferoittir. Cismi oluşturan elips bir daire ise, sonuç küredir.

Yerçekimi ve dönmenin birleşik etkileri nedeniyle, Dünya'nın şekli (ve tüm gezegenlerin) tam olarak bir küre değildir, bunun yerine dönüş ekseni yönünde hafifçe düzleştirilmiştir. Bu nedenle, haritacılık ve jeodezide Dünya'ya genellikle bir küre yerine referans elipsoid olarak bilinen basık bir sferoit olarak yaklaşılır. Mevcut Dünya Jeodezik Sistemi modeli, yarıçapı Ekvatorda 6,378137 km (3,963191 mi) ve kutuplarda 6,356752 km (3,949903 mi) olan bir sferoit kullanır.

*Sferoid* kelimesi, aslında iki veya üç eksenli elipsoidal şeklin ötesinde düzensizlikleri kabul eden "yaklaşık olarak küresel bir gövde" anlamına geliyordu ve bu terim, jeodezi hakkındaki bazı eski makalelerde (örneğin, Yeryüzünün kesik küresel harmonik genişlemelerine atıfta bulunarak) bu şekilde kullanılmaktadır.

## Denklemi

Bir küreye yarı eksenlerin atanması. Eğer WIKINIUM\_MATH\_PH\_0 (solda) ise kutuplardan basık olduğu durum (oblate) ve eğer WIKINIUM\_MATH\_PH\_1 (sağda) ise kutuplara doğru uzatılmış olan durum (prolate) söz konusudur.
Koordinat eksenleri boyunca hizalanmış WIKINIUM\_MATH\_PH\_2 , WIKINIUM\_MATH\_PH\_3 ve WIKINIUM\_MATH\_PH\_4 yarı eksenleri ile orijinde merkezlenmiş üç eksenli bir elipsoidin denklemi

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_5
Bir sferoidin simetri ekseni olarak WIKINIUM\_MATH\_PH\_7 alınırsa ve WIKINIUM\_MATH\_PH\_8 olarak ayarlanırsa denklemi aşağıdaki şekilde verilir:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_9
Yarı eksen WIKINIUM\_MATH\_PH\_11 , sferoitin ekvator yarıçapıdır ve WIKINIUM\_MATH\_PH\_12 , simetri ekseni boyunca merkezden kutba olan mesafedir. Olası iki durum vardır:

* WIKINIUM\_MATH\_PH\_13 : kutuplardan basık (oblate) sferoit,
* WIKINIUM\_MATH\_PH\_14 : kutuplara doğru uzatılmış (prolate) sferoit,

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_15 durumu ise bir küreye indirgenir.

## Özellikleri

### Alan

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_16 olan yassı bir sferoid aşağıdaki yüzey alanına sahiptir:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_17
Yassı sferoit, yarı büyük ekseni WIKINIUM\_MATH\_PH\_19 ve yarı küçük ekseni WIKINIUM\_MATH\_PH\_20 olan bir elipsin WIKINIUM\_MATH\_PH\_21 ekseni etrafında dönerek oluşturulur, bu nedenle WIKINIUM\_MATH\_PH\_22 eksantriklik olarak tanımlanabilir. (Bkz. Elips)

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_23 olan bir kutuplara doğru uzatılmış sferoit aşağıdaki yüzey alanına sahiptir:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_24
Kutuplara doğru uzatılmış (prolate) sferoit, yarı büyük ekseni WIKINIUM\_MATH\_PH\_26 ve yarı küçük ekseni WIKINIUM\_MATH\_PH\_27 ile bir elipsin WIKINIUM\_MATH\_PH\_28 ekseni etrafında dönerek oluşturulur; bu nedenle, WIKINIUM\_MATH\_PH\_29 yine eksantriklik olarak tanımlanabilir. (Bkz. Elips)

Bu formüller WIKINIUM\_MATH\_PH\_30 formülü aynı şekilde uzatılmış küremsi ve yardımcısı yüzey alanının hesaplanması için aynı şekilde kullanılabilir. Bununla birlikte, WIKINIUM\_MATH\_PH\_31 daha sonra sanal hale gelir ve artık doğrudan eksantriklikle tanımlanamaz. Bu sonuçların her ikisi de, standart matematiksel özdeşlikler ve elipsin parametreleri arasındaki ilişkiler kullanılarak birçok başka biçime dönüştürülebilir.

### Hacim

Bir küremsi içindeki hacim WIKINIUM\_MATH\_PH\_32 . Eğer WIKINIUM\_MATH\_PH\_34 ekvator çapı ve WIKINIUM\_MATH\_PH\_36 polar çap ise hacim WIKINIUM\_MATH\_PH\_38 'dir.

### Eğrilik

Bir sferoit aşağıdaki şekilde parametrik olarak ifade edilmişse;

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_40
burada WIKINIUM\_MATH\_PH\_42 , *azaltılmış* veya *parametrik enlem*, WIKINIUM\_MATH\_PH\_43 boylam, WIKINIUM\_MATH\_PH\_44 ve WIKINIUM\_MATH\_PH\_45 olmak üzere, Gauss eğriliği aşağıdaki şekilde hesaplanır;

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_46
ve ortalama eğrilik ise aşağıdaki şekilde hesaplanır:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_48
Bu eğriliklerin her ikisi de her zaman pozitiftir, böylece bir sfero üzerindeki her nokta eliptiktir.

### En boy oranı

Bir yassı sferoidin/elipsin en boy oranı, WIKINIUM\_MATH\_PH\_50 , kutupsal uzunlukların ekvatoryal uzunluklara oranıdır, düzleşme (aynı zamanda basıklık olarak da adlandırılır) WIKINIUM\_MATH\_PH\_51 , ekvator-kutup uzunluğu farkının ekvator uzunluğuna oranıdır:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_52
İlk eksantriklik (genellikle yukarıdaki gibi basitçe eksantriklik) genellikle yassılaşma yerine kullanılır. Şu şekilde tanımlanır:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_54
Eksantriklik ve basıklık arasındaki ilişkiler şunlardır:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_56 ,
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_58
Tüm modern jeodezik elipsoidler, yarı büyük eksen ile birlikte yarı küçük eksen (en-boy oranını verir), düzleştirme veya ilk eksantriklik ile tanımlanır. Bu tanımlar matematiksel olarak birbirinin yerine kullanılabilirken, gerçek dünyadaki hesaplamaların bir miktar kesinlik kaybetmesine neden olur. Karışıklığı önlemek için, elipsoidal bir tanım, kendi değerlerinin verdiği biçimde kesin olduğunu kabul eder.

## Uygulamaları

Bir atom çekirdeğindeki protonların ve nötronların yoğunluk dağılımı için en yaygın şekiller küresel, uzatılmış ve basık sferoidaldir; burada kutup ekseninin dönme ekseni (veya dönme açısal momentum vektörünün yönü) olduğu varsayılır. Protonlar arasındaki elektromanyetik itme, yüzey gerilimi ve kuantum kabuk etkileri arasındaki rekabetin bir sonucu olarak deforme nükleer şekiller oluşur.

### Basık sferoitler

Jüpiter gezegeni, 0.06487 düzleşme ile basık bir sferoittir.
Basık sferoit, Dünya, Satürn, Jüpiter ve hızla dönen yıldız Altair dahil olmak üzere, dönen gezegenlerin ve diğer gök cisimlerinin yaklaşık şeklidir. Satürn, 0.09796 düzleşme ile Güneş Sistemindeki en uzatılmış gezegendir. Jean Richer'in sarkaç deneylerinden ve Christiaan Huygens'in teorilerinden yola çıkan aydınlanma bilimcisi Isaac Newton, Jüpiter ve Dünya'nın merkezkaç kuvveti nedeniyle basık sferoidler olduğunu düşündü. Dünyanın çeşitli kartografik ve jeodezik sistemleri, tümü basık olan referans elipsoidlere dayanmaktadır.

Son derece uzatılmış bir gezegenin Bilimkurgu örneği, Hal Clement'in *Mission of Gravity* romanından Mesklin'dir.

### Uzatılmış sferoidler

Bir Avustralya futbolu kuralları.
Uzatılmış sferoid, ragbi futbolu gibi çeşitli spor dallarında topun yaklaşık şeklidir.

Aslında üç eksenli Elipsoitler olsalar da Güneş Sisteminin çeşitli uyduları yaklaşık uzatılmış sferoidler şeklindedir. Örnekler Satürn'ün uyduları Mimas, Enceladus ve Tethys ile Uranüs'ün uydusu Miranda'dır.

Gök cisimleri, yakın bir yörüngede devasa bir cismin yörüngesinde döndüklerinde, şekilleri hızlı dönme yoluyla baskın sferoitlere doğru bozulmanın aksine, gelgit kuvvetleri yoluyla hafifçe uzatılmış sferoitlere doğru bozulur. En uç örnek, Jüpiter'in uydusu Io'dur ve hafif bir eksantriklik nedeniyle yörüngesinde az çok uzatılarak yoğun volkanizmaya neden olur. Uzatılmış sferoitin ana ekseni bu durumda uydunun kutuplarından geçmez, ekvator üzerindeki iki noktadan doğrudan öncüle doğru ve uzağa bakan iki noktadan geçer.

Terim ayrıca Yengeç Bulutsusu gibi bazı bulutsuların şeklini tanımlamak için de kullanılır. Uzayda dalga yayılmasını ve girişimi analiz etmek için kullanılan Fresnel bölgeleri, bir verici ile alıcı arasındaki doğrudan görüş hattı boyunca hizalanmış ana eksenlere sahip bir dizi eş merkezli uzatılmış sferoidlerdir.

Atom çekirdeklerinin ve aktinit ve lantanit elemanları uzatılmış sferoidler şeklinde biçimlendirilmiştir. Anatomide testis gibi sferoidlere yakın organlar uzun ve kısa eksenleri ile ölçülebilir.

Birçok denizaltı, uzatılmış sferoit olarak tanımlanabilecek bir şekle sahiptir.

### Dinamik özellikler

Düzgün yoğunluğa sahip bir sferoit için, eylemsizlik momenti, ek bir simetri eksenine sahip bir elipsoidinkidir. Bir sferoitin ana ekseni WIKINIUM\_MATH\_PH\_60 ve küçük eksenleri WIKINIUM\_MATH\_PH\_61 ve WIKINIUM\_MATH\_PH\_62 olarak tanımlandığında, bu ana eksenler boyunca eylemsizlik momentleri WIKINIUM\_MATH\_PH\_63 , WIKINIUM\_MATH\_PH\_64 ve WIKINIUM\_MATH\_PH\_65 'dir. Bununla birlikte, bir sferoidde küçük eksenler simetriktir. Bu nedenle, ana eksenler boyunca eylemsizlik terimleri şunlardır:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_66
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_68
burada WIKINIUM\_MATH\_PH\_70 , cismin kütlesi olarak tanımlanır

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_71
## Ayrıca bakınız

* Elipsoidal kubbe
* Ekvator çıkıntısı
* Lentoid
* Uzatılmış küresel koordinatlar
* Ovoid
* Uzatılmış sferoit koordinatlar
* Eksenlerin dönmesi
* Eksenlerin dönüşümü

## Kaynakça

## Dış bağlantılar

* "Spheroid Calculator". 23 Aralık 2015 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 8 Mart 2021.
* John D. Cook (27 Kasım 2018). "Geometry of an oblate spheroid". 27 Şubat 2019 tarihinde kaynağından arşivlendi.
* Dan Mosher. "Prolate Spheroid". Geogebra. 1 Nisan 2021 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 29 Aralık 2020.
* "Matlab Reference Spheroids". MathWorks. 1 Nisan 2021 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 29 Aralık 2020.