# Niccolò Tartaglia

| Niccolò Fontana Tartaglia |
| --- |
|  |
| Doğum | Niccolò Fontana 1499/1500 Brescia, Lombardiya, Kuzey İtalya |
| Ölüm | 13 Aralık 1557 (58 yaşında) Venedik, Kuzeydoğu İtalya |
| Milliyet | İtalyan |
| Vatandaşlık | Venedik Cumhuriyeti |
| Tanınma nedeni | * Cardano-Tartaglia formülü
* Balistik ile ilgili erken dönem araştırmaları
* Tartaglia üçgeni
 |
|  |
| Kariyeri |
| Dalı | Matematik, mühendislik |
| Önemli öğrencileri | Ostilio Ricco, Giambattista Benedetti |
|  |
|  |

**Niccolò Fontana Tartaglia** (İtalyanca telaffuz: [nikkoˈlɔ ffonˈtaːna tarˈtaʎʎa]; 1499/1500 - 13 Aralık 1557), o zamanki Venedik Cumhuriyetinden (şimdi İtalya'nın bir parçası) İtalyan bir matematikçi, (tahkimatlar tasarlayan) bir mühendis, (topoğrafya, en iyi savunma veya saldırı araçlarını arayan) bir haritacı ve bir muhasebeciydi. Arşimet ve Öklid'in ilk İtalyanca çevirileri ve beğenilen bir matematik derlemesi de dahil olmak üzere birçok kitap yayınladı. Tartaglia, *Nova Scientia (Yeni Bir Bilim, 1537)* adlı eserinde balistik olarak bilinen top güllelerinin yollarının araştırılmasına matematiği uygulayan ilk kişiydi; çalışmaları daha sonra kısmen doğrulandı ve Galileo'nun düşen cisimler üzerindeki çalışmaları tarafından kısmen değiştirildi. Ayrıca batık gemilerin kurtarılması üzerine bir inceleme yayınladı.

## Kişisel yaşamı

Niccolò Fontana, Brescia'da, komşu kasabalara posta dağıtmak için seyahat eden bir sevk memuru olan Michele Fontana'nın oğlu olarak doğdu. 1506'da Michele, soyguncular tarafından öldürüldü ve iki kardeşi, Niccolò ve annesi yoksul kaldı. Niccolò, 1512'de Kral XII. Louis'in birlikleri Cambrai Birliği Savaşı sırasında Venedik'e karşı Brescia'yı işgal ettiğinde daha fazla trajedi yaşadı. Brescia milisleri şehirlerini yedi gün boyunca savundu. Fransızlar nihayet sızdığında, Brescia sakinlerini katlederek intikamlarını aldılar. Savaşın sonunda 45.000'den fazla kişi öldü. Katliam sırasında, Niccolò ve ailesi yerel katedralde sığınak aradılar. Ama Fransızlar içeri girdi ve bir asker Niccolò'nun çenesini ve damağını bir kılıçla kesti ve onu ölüme terk etti. Annesi onu sağlığına kavuşturdu, ancak genç çocuk bir konuşma engeli ile kaldı ve "Tartaglia" ("kekeme") takma adını aldı. Bundan sonra asla tıraş olmaz ve yaralarını kamufle etmek için sakal bırakırdı.

Tartaglia'nın biyografisini yazan Arnoldo Masotti şöyle yazıyor:

|  |  |  |
| --- | --- | --- |
| “
 | Yaklaşık on dört yaşında, [Tartaglia] alfabeyi yazmayı öğrenmek için bir Usta Francesco'ya gitti; ancak “k” ye ulaştığında artık öğretmene ödeme yapamaz hale geldi. Daha sonra hareketli bir otobiyografik eskizde, “O günden sonra, asla bir öğretmene geri dönmedim, ancak yalnızca endüstri denilen yoksulluğun kızıyla birlikte ölü adamların işleri üzerinde kendi başıma çalışmaya devam ettim” ” diye yazdı. (*Quesiti*, bk. VI, question 8)
 | „
 |
|  |

Tartaglia, 1517 civarında Verona'ya, ardından 1534'te büyük bir Avrupa ticaret merkezi ve o dönemde İtalyan rönesansının en büyük merkezlerinden biri olan Venedik'e taşındı. Venedik'in on altıncı yüzyılda Avrupa matbaacılık kültürünün ön saflarındaki yeri de konuyla ilgilidir; yeterince motive olmuş veya iyi bağlantıları varsa, erken basılmış metinleri fakir bilim insanlarına bile erişilebilir kılar -örneğin Tartaglia, Arşimet'in parabolün karesi üzerindeki çalışmasını biliyordu, Guarico'nun "1531'de Verona'da bir sosis satıcısının elinde" bulduğu 1503 tarihli Latince baskısından (kendi sözleriyle "in mano di un salzizaro in Verona, l'anno 1531").

Tartaglia, abaküs okulları'nda pratik matematik öğreterek geçimini sağladı ve yapabildiğinde para kazandı:

|  |  |  |
| --- | --- | --- |
| “
 | Bu olağanüstü adam [Tartaglia], topçulara ve mimarlara matematiksel tavsiyeler, on peniye bir soru satan ve kendisine Öklid üzerine verdiği dersler için ödeme yerine yıpranmış bir pelerin verdiklerinde üzerinde mütabakata varmak yerine müşterilerine dava açmak zorunda kalan, kendi kendini yetiştirmiş bir matematik öğretmeniydi.
 | „
 |
|  |

Venedik'te öldü.

## Balistik

*Nova Scientia* 3 Ağustos 2020 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.'dan çeşitli mermi yörüngeleri
Matteo Valleriani tarafından aşağıdaki gibi tarif edilen *Nova Scientia* (1537), Tartaglia'nın ilk yayınlanmış eseriydi:

|  |  |  |
| --- | --- | --- |
| “
 | .. Rönesans mekaniği üzerine en temel çalışmalardan biri, aslında, erken modern topçular tarafından biriktirilen pratik bilginin yönünü teorik "ve" matematiksel bir çerçeveye dönüştüren ilk kişi.
 | „
 |
|  |

Daha sonra baskın Aristoteles fiziği, hareketi tanımlamak için genellikle matematiksel açıklamalardan kaçınarak "ağır" ve "doğal" ve "şiddetli" gibi kategorileri tercih etti. Tartaglia, Mary J. Henninger-Voss'un sözleriyle "Aristotelesçi mermi hareketi terimlerini içini boşaltan" matematiksel modelleri ön plana çıkardı. Bulgularından biri, bir merminin maksimum menzilinin, topu ufka 45°'lik bir açıyla yönlendirerek elde edilmesiydi.

Tartaglia'nın top güllesinin uçuş modeli, toptan düz bir çizgide ilerlemesi, sonra bir süre sonra dairesel bir yol boyunca dünyaya doğru kavis çizmeye başlaması ve sonunda doğrudan dünyaya doğru başka bir düz çizgide düşmesiydi. "Nova Scientia" adlı eserin 2. kitabının sonunda, Tartaglia, Öklid tarzı bir argümanla meşgul olan, 45° yükseklikte ateşlenen bir mermi için bu ilk doğrusal yolun uzunluğunu bulmayı önerir, ama doğru parçalarına ve alanlarına sayılar eklenmiş ve sonunda istenen miktarı bulmak için cebirsel olarak ilerler (onun deyimiyle *procederemo per algebra*).

Mary J. Henninger-Voss, "Tartaglia'nın askeri bilim üzerine çalışmasının Avrupa'da muazzam bir sirkülasyona sahip olduğunu" ve bazen atıf yapılmayan çeviriler yoluyla on sekizinci yüzyıla sıradan topçular için bir referans olduğunu belirtiyor. Mermi problemini bir kez ve herkes için çözmeye koyulurken, balistik konusundaki çalışmalarının "zengin açıklamalı" kopyalarına sahip olan Galileo'yu da etkiledi.

## Çeviriler

Arşimet'in çalışmaları, Tartaglia'nın zamanında, matematiğin fiziği anlamanın anahtarı olduğu fikrinin bir örneği olarak üniversitelerin dışında incelenmeye başlandı, Federigo Commandino 1558'de şunu söylerken bu fikri yansıttı: "Geometri konusunda aklı başında hiç kimse Arşimet'in biraz tanrı olduğunu inkar edemez." Tartaglia, 1543'te Arşimet'in parabol, daire, ağırlık merkezleri ve yüzen cisimler üzerindeki çalışmalarının 71 sayfalık Latince baskısını içeren *Opera Archimedis Syracusani philosophi et mathematici ingeniosissimi* adlı eseri yayınladı. Guarico, 1503'te ilk ikisinin Latince baskılarını yayınlamıştı, ancak ağırlık merkezleri ve yüzen cisimler üzerindeki çalışmalar daha önce yayınlanmamıştı. Tartaglia, bazı Arşimet metinlerinin İtalyanca versiyonlarını daha sonraki yaşamında yayınladı, vasisi ölümünden sonra çevirilerini yayınlamaya devam etti. Galileo, muhtemelen Arşimet'in çalışmalarını bu geniş çapta dağıtılan baskılar aracılığıyla öğrendi.

Tartaglia'nın Öklid'in 1543'teki İtalyanca baskısı, *Euclide Megarense philosopho* özellikle önemliydi. *Öklid'in Elementleri*nin herhangi bir modern Avrupa diline ilk çevirisidir. İki yüzyıl boyunca Öklid, Arapça bir kaynaktan alınan iki Latin çeviriden öğrenilmişti; bunlar Kitap V'de, Eudoxian orantı teorisini kullanılamaz hale getiren hatalar içeriyordu. Tartaglia'nın baskısı, Zamberti'nin bozulmamış bir Yunanca metnin Latince çevirisine dayanıyordu ve Kitap V'i doğru bir şekilde yorumladı. Ayrıca teori üzerine ilk modern ve faydalı yorumu yazdı. Bu çalışma on altıncı yüzyılda birçok baskıdan geçti ve matematik bilgisinin İtalya'da akademik olmayan ancak giderek daha iyi bilgilendirilmiş okur-yazar ve sayısal bilgili bir halka yayılmasına yardımcı oldu. Teori, Arşimet için olduğu gibi Galileo için de temel bir araç haline geldi.

## *General Trattato di Numeri et Misure*

*General trattato di numeri et misure*, 1556
Tartaglia, onikinci yüzyıldan beri İtalya'da gelişen ve tüccar topluluklar tarafından sürdürülen abaküs okullarında öğretilen somut bir ticari matematik geleneği olan abacco geleneğini temsil etti ve sonunda aştı. Tartaglia gibi *Maestros d'abaco*, abaküsle değil, kağıt kalemle, bugün ilkokullarda bulunan türden algoritmalar aşılayarak öğretiyordu.

Tartaglia'nın başyapıtı *General Trattato di Numeri et Missure* (İngilizce: *General Treatise on Number and Measure*,Türkçe: *Sayı ve Ölçü Üzerine Genel İnceleme*), altı bölümden oluşan 1500 sayfalık bir ansiklopediydi. Venedik lehçesinde, ilk üçü Tartaglia'nın ölümüyle ilgili olarak 1556'da çıktı ve son üçü, edebi vasisi ve yayıncısı Curtio Troiano tarafından 1560'ta ölümünden sonra yayınlandı. David Eugene Smith, "General Trattato" hakkında şunları yazdı:

|  |  |  |
| --- | --- | --- |
| “
 | İtalyan aritmetikçilerinin sayısal işlemleri ve ticari kurallarının çok kapsamlı bir tartışmasını içeren, kendi yüzyılında İtalya'da ortaya çıkan en iyi aritmetik incelemesi. 16. yüzyılda halkın hayatı, tüccarların örf ve adetleri, aritmetiği geliştirme çabaları bu dikkate değer eserde anlatılmaktadır.
 | „
 |
|  |

Bölüm I, 554 sayfa uzunluğundadır ve günün karmaşık para birimleri (ducat, soldi, pizolli vb.) ile temel işlemler, döviz alışverişi, faiz hesaplama ve anonim şirketlerde kârları bölüştürme gibi konuları ele alan esasen ticari bir aritmetik oluşturur. Kitap, yöntem ve kurallara (yani, algoritmalara) çok önem veren, hepsi sanal olarak olduğu gibi kullanıma hazır, çalışılmış örneklerle doludur.

Bölüm II, ilerlemeler, kuvvetler, iki terimli açılımlar, Tartaglia üçgeni ("Pascal üçgeni" olarak da bilinir), köklerle hesaplamalar ve oranlar / kesirler dahil olmak üzere daha genel aritmetik problemlerini ele alır.

Bölüm IV, üçgenler, düzgün çokgenler, Platonik katılar ile daireyi kareyle çevreleme ve bir kürenin etrafında bir silindirin çevrelenmesi gibi Arşimet konuları ile ilgilidir.

## Tartaglia üçgeni

*General Trattato di Numeri et Misure*, Bölüm II, Kitap 2, s.69 28 Temmuz 2021 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.'dan Tartaglia üçgeni
Tartaglia, iki terimli açılımlar konusunda uzmandı ve *General Trattato*nun II. bölümünde pek çok çalışılmış örnek içeriyordu; bunlardan biri, uygun binom katsayıları ile WIKINIUM\_MATH\_PH\_0 'in toplamlarının nasıl hesaplanacağına dair ayrıntılı bir açıklamaydı.

Tartaglia, *General Trattato*dan alınan bu resimde gösterildiği gibi, Pascal üçgeni'ni Pascal'dan yüz yıl önce biliyordu. Örnekleri sayısaldır, ancak bunu geometrik olarak düşünür, üçgenin tepesindeki yatay WIKINIUM\_MATH\_PH\_2 doğrusu, WIKINIUM\_MATH\_PH\_4 ve WIKINIUM\_MATH\_PH\_6 olarak iki bölüme ayrılır, burada WIKINIUM\_MATH\_PH\_8 noktası üçgenin tepe noktasıdır. İki terimli açılımlar, üçgende aşağı inerken WIKINIUM\_MATH\_PH\_10 üsleri için WIKINIUM\_MATH\_PH\_12 almak anlamına gelir. Dış kısımdaki semboller, cebirsel gösterimin bu erken aşamasındaki kuvvetleri temsil eder: WIKINIUM\_MATH\_PH\_14 , vb. Toplamalı oluşum kuralı hakkında açıkça yazmıştır, (örneğin) beşinci sıradaki bitişik 15 ve 20'nin toplamı, altıncı sırada onların altında görünen 35'e kadar çıkar.

## Kübik denklemlerin çözümü

Tartaglia belki de bugün en çok Gerolamo Cardano ile olan çatışmalarıyla tanınıyor. 1539'da Cardano, Tartaglia'yı kübik denklemlere yönelik çözümünü, onları yayınlamamaya söz vererek açıklamaya ikna etti. Tartaglia, kübik denklemin üç farklı formunun çözümlerinin sırlarını manzum olarak ifşa etmiştir. Birkaç yıl sonra Cardano, bağımsız olarak Tartaglia ile aynı çözümü bulan Scipione del Ferro'nun yayınlanmamış çalışmasını gördü. Yayımlanmamış eser Tartaglia'nınkinden daha eski olduğundan, Cardano sözünün tutulmayabileceğine karar verdi ve bir sonraki yayınına Tartaglia'nın çözümünü dahil etti. Cardano keşfine inansa da, Tartaglia son derece üzgündü ve kendisi ile Cardano'nun öğrencisi Ludovico Ferrari arasında ünlü bir meydan okuma maçı yaşandı. Tartaglia'nın hayatının geri kalanını Cardano'yu mahvetmeye adadığı yaygın hikâyeler tamamen uydurma gibi görünmektedir. Matematik tarihçileri şimdi hem Cardano hem de Tartaglia'yı kübik denklemleri çözme formülüyle "Cardano–Tartaglia formülü" olarak adlandırıyorlar.

## Bir tetrahedronun hacmi

*General Trattato di Numeri et Misure*, Part IV, Book 2, s.35 28 Temmuz 2021 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.'ten 13-14-15-20-18-16 piramidi
Tartaglia, olağanüstü bir hesap makinesi ve katı geometri ustasıydı. *General Trattato*nun IV. bölümünde, üçgen bir taban, yani düzensiz bir tetrahedron üzerindeki bir piramidin yüksekliğinin nasıl hesaplanacağını örnekle gösterir.

Piramidin tabanı, kenarları WIKINIUM\_MATH\_PH\_16 ve WIKINIUM\_MATH\_PH\_18 olan bir WIKINIUM\_MATH\_PH\_20 üçgeni WIKINIUM\_MATH\_PH\_22 'dir. Sırasıyla WIKINIUM\_MATH\_PH\_24 , WIKINIUM\_MATH\_PH\_26 ve WIKINIUM\_MATH\_PH\_28 noktalarından WIKINIUM\_MATH\_PH\_30 tepe noktasına yükselir. WIKINIUM\_MATH\_PH\_32 taban üçgeni, dik açıyı WIKINIUM\_MATH\_PH\_34 noktasından WIKINIUM\_MATH\_PH\_36 kenarına indirerek WIKINIUM\_MATH\_PH\_38 ve WIKINIUM\_MATH\_PH\_40 üçgenlerine bölünür. Piramidin tepe noktası olan WIKINIUM\_MATH\_PH\_42 noktasından geçen WIKINIUM\_MATH\_PH\_44 doğrusuna dik düzlemde bir üçgen kurmaya devam eder, bu üçgenin üç tarafını da hesaplar ve yüksekliğinin, piramidin yüksekliği olduğuna dikkat çeker. Son adımda, bir üçgenin WIKINIUM\_MATH\_PH\_46 yüksekliğinin WIKINIUM\_MATH\_PH\_48 ( WIKINIUM\_MATH\_PH\_50 tarafından karşı köşesine kadar olan yükseklik)kenarlarına göre miktarını bulmak için bu formülü uygular:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_52
Kosinüs yasası'ndan türetilen bir formüldür. (*General Trattato*nun bu bölümünde herhangi bir gerekçe göstermiyor.).

Tartaglia, WIKINIUM\_MATH\_PH\_54 'i WIKINIUM\_MATH\_PH\_56 olarak alarak hesaplamanın başlarında bir basamak düşürür, ancak yöntemi sağlamdır. Son (doğru) cevap:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_58
Piramidin hacmi bundan sonra kolayca elde edilir (Tartaglia'nın verdiğinden değil):

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_60
Simon Stevin, ondalık kesirleri daha sonra on altıncı yüzyılda icat etti, bu nedenle son rakam her zaman kesirleri kullanan Tartaglia'ya yabancı oldu. Yine de, yaklaşımı bazı yönlerden moderndir, örnek olarak düzensiz dörtyüzlülerin çoğunun veya tamamının yüksekliğini hesaplamak için bir algoritma önerir, ancak (onun için her zaman olduğu gibi) açık bir formül vermez.

## Notlar

## Kaynakça

* Chisholm, Hugh, (Ed.) (1911). "Tartaglia, Niccolò". *Encyclopædia Britannica*. **26** (11. bas.). Cambridge University Press.
* Clagett, Marshall (1982). "William of Moerbeke: Translator of Archimedes". *Proceedings of the American Philosophical Society*. **126** (5): 356-366. .
* Henninger-Voss, Mary J. (Temmuz 2002). "How the 'New Science' of Cannons Shook up the Aristotelian Cosmos". *Journal of the History of Ideas*. **63** (3): 371-397. doi:10.1353/jhi.2002.0029.
* Herbermann, Charles, (Ed.) (1913). "Nicolò Tartaglia". *Katolik Ansiklopedi* (İngilizce). New York: Robert Appleton Company.
* Charles Hutton (1815). "Tartaglia or Tartaglia (Nicholas)". *A philosophical and mathematical dictionary*. Printed for the author. s. 482.
* Katz, Victor J. (1998), *A History of Mathematics: An Introduction*, Reading, Addison Wesley Longman, ISBN 0-321-01618-1 .
* Malet, Antoni (2012). "Euclid's Swan Song: Euclid's Elements in Early Modern Europe". Olmos, Paula (Ed.). *Greek Science in the Long Run: Essays on the Greek Scientific Tradition (4th c. BCE-17th c. CE)*. Cambridge Scholars Publishing. ss. 205-234. ISBN 978-1-4438-3775-0. .
* Masotti, Arnoldo (1970). "Niccolò Tartaglia". Gillispie, Charles (Ed.). *Dictionary of Scientific Biography*. New York: Scribner & American Council of Learned Societies.
* Smith, D.E. (1958), *History of Mathematics*, **I**, New York: Dover Publications, ISBN 0-486-20429-4 .
* Strathern, Paul (2013), *Venetians*, New York, NY: Pegasus Books .
* Tartaglia, Niccolò (1543). *Opera Archimedis Syracusani philosophi et mathematici ingeniosissimi*. Venedik. 28 Temmuz 2021 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 13 Nisan 2022.
* Tartaglia, Niccolò (1543). *Euclide Megarense philosopho*. Venedik. 28 Temmuz 2021 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 28 Temmuz 2021.
* Tartaglia, Niccolò (1556–1560), *General Trattato di Numeri et Misure*, Venedik: Curtio Troiano .
* Valleriani, Matteo (2013), *Metallurgy, Ballistics and Epistemic Instruments: The Nova Scientia of Nicolò Tartaglia*, Berlin: Edition Open Access / Max Planck Research Library, ISBN 978-3-8442-5258-3 .
* Zilsel, Edgar (2000), Raven, Diederick; Krohn, Wolfgang; Cohen, Robert S. (Ed.), *The Social Origins of Modern Science*, Springer Netherlands, ISBN 0-7923-6457-0 .

## Dış bağlantılar

* "History Today". 22 Ocak 2012 tarihinde kaynağından arşivlendi.
* "The Galileo Project". 6 Ekim 2013 tarihinde kaynağından arşivlendi.
* O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F., "Niccolò Tartaglia", *MacTutor Matematik Tarihi arşivi*
* "Tartaglia's work (and poetry) on the solution of the Cubic Equation". *MAA Convergence*. 30 Eylül 2007 tarihinde kaynağından arşivlendi.
* "La Nova Scientia". Venedik. 1550. 3 Ocak 2018 tarihinde kaynağından arşivlendi.
* Tartaglia, Niccolò (1556), General Trattato di Numeri et Misure*, Part I*, Venedik, 28 Temmuz 2021 tarihinde kaynağından arşivlendi28 Temmuz 2021
* Tartaglia, Niccolò (1556), General Trattato di Numeri et Misure*, Part II*, Venedik, 28 Temmuz 2021 tarihinde kaynağından arşivlendi28 Temmuz 2021
* Tartaglia, Niccolò (1556), General Trattato di Numeri et Misure*, Part III*, Venedik, 28 Temmuz 2021 tarihinde kaynağından arşivlendi28 Temmuz 2021
* Tartaglia, Niccolò (1560), General Trattato di Numeri et Misure*, Part IV*, Venedik, 28 Temmuz 2021 tarihinde kaynağından arşivlendi28 Temmuz 2021
* Tartaglia, Niccolò (1560), General Trattato di Numeri et Misure*, Part V*, Venedik, 28 Temmuz 2021 tarihinde kaynağından arşivlendi28 Temmuz 2021
* Tartaglia, Niccolò (1560), General Trattato di Numeri et Misure*, Part VI*, Venedik, 28 Temmuz 2021 tarihinde kaynağından arşivlendi28 Temmuz 2021
* Valleriani, Matteo, Metallurgy, Ballistics and Epistemic Instruments: The Nova scientia of Nicolò Tartaglia, 28 Temmuz 2021 tarihinde kaynağından arşivlendi28 Temmuz 2021
* Favaro, Antonio (1913), "PER LA BIOGRAFIA DI NICCOLÒ TARTAGLIA", *Archivio Storico Italiano* (İtalyanca), **71** (2 (270)), ss. 335-372, JSTOR 44458852
* Serafina Cuomo (1997), "Shooting by the Book: Notes on Niccolò Tartaglia's Nova Scientia", *History of Science*, **35** (2), ss. 155-188, doi:10.1177/007327539703500202
* Bernardoni A. (2015), Sgarbi M. (Ed.), "Tartaglia, NIccolò", *Encyclopedia of Renaissance Philosophy*, Springer, Cham., doi:10.1007/978-3-319-02848-4\_81-1, ISBN 978-3-319-02848-4
* Ricahrd W. Feldmann (Mart 1961), "The Cardano-Tartaglia Dispute" (PDF), *The Mathematics Teacher*, National Council of Teachers of Mathematics, **54** (3), ss. 160-163, JSTOR 27956338, 28 Temmuz 2021 tarihinde kaynağından arşivlendi (PDF)28 Temmuz 2021
* Tony Rothman, *Cardano v Tartaglia:The Great Feud Goes Supernatural* (PDF), 29 Eylül 2020 tarihinde kaynağından arşivlendi (PDF)28 Temmuz 2021