# Tam sayı

Karatahta yazı tipindeki kalın **Z** harfi, sıklıkla tüm tam sayılar kümesini temsil etmek amacıyla tercih edilir.
**Tam sayılar**, sayılar kümesinde yer alan sıfır (0), pozitif yönde yer alan doğal sayılar (1, 2, 3, ...) ve bunların negatif değerlerinden oluşan negatif sayılardan (−1, −2, −3, ...) oluşan sayı kümesidir.

Tüm tam sayıların oluşturduğu küme, çoğunlukla kalın harf biçimindeki **Z** veya karatahta vurgusu kullanılarak WIKINIUM\_MATH\_PH\_0 şeklinde ifade edilir. Z harfi Almanca *Zahlen* (sayılar) sözcüğünden gelir.

Doğal sayılar kümesi WIKINIUM\_MATH\_PH\_2 , WIKINIUM\_MATH\_PH\_4 tam sayılar kümesinin bir alt kümesi olarak tanımlanır. Bu tam sayılar kümesi, ardından tüm rasyonel sayılar kümesi WIKINIUM\_MATH\_PH\_6 ’nun ve bu küme de reel sayılar kümesi WIKINIUM\_MATH\_PH\_8 ’nin bir alt kümesi olarak sıralanır. Doğal sayılar kümesine benzer biçimde, WIKINIUM\_MATH\_PH\_10 tam sayılar kümesi de sayılabilir sonsuzluk özelliği gösterir. Tam sayı kavramı, kesirli bir kısmı bulunmayan ve böylelikle doğrudan reel sayı olarak ifade edilebilen sayılar için kullanılır. Mesela, 21, 4, 0 ve -2048 tam sayılardır; buna karşın 9.75, 5 1/2 ve WIKINIUM\_MATH\_PH\_12 tam sayı olarak değerlendirilmez.

Doğal sayı kümelerini kapsayan yapılar içerisinde, tam sayılar hem en minimal grup hem de en minimal halka yapısını teşkil ederler. Cebirsel sayı teorisi alanında, tam sayılar zaman zaman, onları daha geniş bir kapsamda ele alınan cebirsel tam sayılar ile karıştırmamak adına **rasyonel tam sayılar** olarak özel bir şekilde tanımlanır. Gerçekte, rasyonel olarak ifade edilen tam sayılar, hem cebirsel tam sayı özelliklerini taşır hem de rasyonel sayılar kategorisinde değerlendirilirler.

## Tarihçe

İlk Türkçe *tam sayı* teriminin kullanımlarından biri 1955'e dayanır.

Tarih boyunca tam sayı terimi, 1'in katları olan sayılar için veya tam sayılı kesirlerin tam kısımlarını ifade etmek için kullanılmıştır. Başlangıçta yalnızca pozitif tam sayılar ele alınmış ve bu durum, terimin doğal sayılarla eşanlamlı hale gelmesine yol açmıştır. Tam sayı kavramının tanımı, negatif sayıların faydasının zamanla kabul edilmesiyle genişletilmiş ve bu sayılar da tanımın içine dahil edilmiştir. Örneğin, Leonhard Euler, 1765 tarihli *Cebirin Unsurları* adlı çalışmasında tam sayıları, hem pozitif hem de negatif sayıları içerecek biçimde tanımlamıştır. Bununla birlikte, Avrupalı matematikçilerin büyük bir kısmı 19. yüzyılın ortalarına kadar negatif sayılar konseptine karşı direnç göstermiştir.

Tam sayılar kümesini temsil etmek üzere 'Z' harfinin tercih edilmesi, Almancada "sayılar" anlamına gelen *Zahlen* kelimesinden kaynaklanmaktadır ve bu bağlamda David Hilbert ile ilişkilendirilir. Bu notasyonun ders kitaplarında ilk defa kullanıldığı bilinen örnek, 1947 yılında Nicolas Bourbaki grubu tarafından kaleme alınan Algébre isimli eserde yer almaktadır. Notasyonun benimsenmesi hemen gerçekleşmemiştir; mesela, bir başka ders kitabında 'J' harfi kullanılmış ve 1960 yılında yayımlanan bir makalede 'Z', yalnızca sıfır ve pozitif tam sayıları ifade etmek amacıyla tercih edilmiştir. Ancak 1961 itibarıyla, modern cebir metinleri genel olarak 'Z' harfini, hem pozitif hem de negatif tam sayıları kapsayacak şekilde kullanmaya başlamışlardır.

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_13 sembolü, çeşitli kümeleri tanımlamak amacıyla farklı yazarların tercihlerine göre değişken notasyonlar ile sıklıkla sembolize edilir: Pozitif tam sayılar için WIKINIUM\_MATH\_PH\_15 , WIKINIUM\_MATH\_PH\_17 veya WIKINIUM\_MATH\_PH\_19 kullanılırken, sıfır ve pozitif tam sayılar için WIKINIUM\_MATH\_PH\_21 veya WIKINIUM\_MATH\_PH\_23 ve sıfır olmayan tam sayılar için WIKINIUM\_MATH\_PH\_25 tercih edilir. Bazı yazarlar, sıfır olmayan tam sayılar için WIKINIUM\_MATH\_PH\_27 kullanırken diğerleri bu notasyonu sıfır ve pozitif tam sayılar için veya WIKINIUM\_MATH\_PH\_29 'nin birimler grubunu (İng. *unit (ring theory)*) ifade eden WIKINIUM\_MATH\_PH\_31 için kullanmaktadır. Ek olarak, WIKINIUM\_MATH\_PH\_32 notasyonu, ya modüler WIKINIUM\_MATH\_PH\_34 tam sayılarını (yani, tam sayıların denklik sınıflarını) ya da WIKINIUM\_MATH\_PH\_35 -adik tam sayılarını tanımlamak için kullanılır.

1950'lerin başlarına dek, bütün sayılar ile tam sayılar arasında bir eşanlamlılık söz konusuydu. 1950'lerin sonlarına doğru, *New Math* hareketinin bir unsuru olarak, Amerikan ilkokul öğretmenleri "bütün sayılar" (İng. *whole numbers*) teriminin, negatif sayıları dışlayarak yalnızca doğal sayıları kapsadığını, "tam sayı" teriminin ise negatif sayıları da içerecek şekilde genişletildiğini derslerinde işlemeye başladılar. "Bütün sayı" kavramı (İng. *whole numbers*), günümüzde hala belirsizliğini sürdürmektedir.

## Cebirsel özellikler

Tam sayılar, teorik olarak sonsuz bir uzunluğa sahip olan sayı doğrusu üzerinde, birbirinden eşit mesafelerle ayrılmış, ayrık noktalar şeklinde tasavvur edilebilirler. İlgili gösterimde, negatif olmayan tam sayı kümeleri mavi renkle temsil edilmiş olup, negatif değerli tam sayılar ise kırmızı renk ile ifade edilmiştir.
Doğal sayılar kümesi gibi, WIKINIUM\_MATH\_PH\_36 kümesi de toplama ve çarpma gibi ikili işlemler bakımından kapalı bir yapıya sahiptir; bu, herhangi iki tam sayının toplamının ve çarpımının yine bir tam sayı olacağı anlamına gelir. Bununla birlikte, negatif doğal sayıların ve özellikle 0'ın dahil edilmesi ile WIKINIUM\_MATH\_PH\_38 , doğal sayılar kümesinden farklı olarak, çıkarma işlemine yönelik de kapalı bir karakter gösterir.

Tam sayılar kümesi, her bir birimli halka yapısı için, bu yapılara doğru tam sayılardan tekil bir halka homomorfizmasının (İng. *ring homomorphism*) tesis edilebildiği, temel bir birimli halka olarak işlev görür. Bu evrensel özellik (İng. *universal property*), özgül olarak halkaların kategorisi içerisinde bir başlangıç objesi (İng. *initial object*) olarak tanımlanabilirlik, WIKINIUM\_MATH\_PH\_40 halkasının ayırt edici niteliğini belirler.

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_42 kümesi, iki tam sayının birbirine bölünmesi işlemi (örnek olarak, 1 sayısının 2 sayısına bölünmesi durumu gösterilebilir) neticesinde her defasında tam sayı elde edilmeyebileceğinden, bölme işlemi açısından kapalı bir yapı sergilemez. Doğal sayılar kümesi, üs alma işlemine göre kapalılık özelliğine sahipken, tam sayılar kümesi bu özelliği taşımamaktadır; zira üssün negatif değer alması halinde, sonuç kesirli bir sayıya dönüşebilir.

Aşağıdaki tablo, herhangi bir WIKINIUM\_MATH\_PH\_44 , WIKINIUM\_MATH\_PH\_45 ve WIKINIUM\_MATH\_PH\_46 tam sayısı için toplama ve çarpma işlemlerinin bazı temel özelliklerini listelemektedir:

Tam sayılarda toplama ve çarpma işlemlerinin özellikleri
|  | Toplama
 | Çarpma
 |
| --- | --- | --- |
| Kapalılık:
 |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_47  bir tam sayıdır
 |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_48  bir tam sayıdır
 |
| Birleşme:
 |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_49
 |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_50
 |
| Değişme:
 |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_51
 |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_52
 |
| Etkisiz elemanın varlığı:
 |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_53
 |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_54
 |
| Ters elemanların varlığı:
 |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_55
 | Tersinir tam sayılar ( WIKINIUM\_MATH\_PH\_56 ve WIKINIUM\_MATH\_PH\_57 olarak adlandırılan birimler) dışında tersi olan tam sayı yoktur.
 |
| Dağılma:
 |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_58  ve  WIKINIUM\_MATH\_PH\_59
 |
| Sıfır bölensiz:
 |  | Eğer WIKINIUM\_MATH\_PH\_60 , o zaman WIKINIUM\_MATH\_PH\_61 veya WIKINIUM\_MATH\_PH\_62 (veya her ikisi)
 |

Toplama işlemi çerçevesinde, WIKINIUM\_MATH\_PH\_63 kümesine ilişkin olarak sıralanan başlıca beş özelliğin tanımladığı yapı, bu kümenin bir abelyen grup olduğunu ifade eder. Bu küme, her biri sıfırdan farklı olan tam sayıların, sonlu bir 1 + 1 + ... + 1 veya (−1) + (−1) + ... + (−1) şeklindeki toplamları ile ifade edilebilirliği dolayısıyla, aynı zamanda bir devirli grup özelliği taşır (İng. *cyclic group*). Gerçekte, toplama işlemi altında WIKINIUM\_MATH\_PH\_65 , herhangi bir sonsuz devirli grubun, WIKINIUM\_MATH\_PH\_67 ile eşyapı grubu olduğu bağlamda, *tek* sonsuz devirli gruptur.

Çarpma işlemine ilişkin olarak sıralanan ilk dört özelliğin tanımı, WIKINIUM\_MATH\_PH\_69 kümesinin çarpma altında bir değişmeli monoid yapısına sahip olduğunu gösterir. Ancak, 2 sayısının örneğinde olduğu gibi, her tam sayının çarpmaya ilişkin bir çarpımsal tersi bulunmamaktadır, bu durum WIKINIUM\_MATH\_PH\_71 kümesinin çarpma işlemi bağlamında bir grup oluşturmadığını ifade eder.

Yukarıda sunulan özellikler cetvelinden (en sonuncu dışında) elde edilen kuralların tümü, toplama ve çarpma işlemleriyle bir arada WIKINIUM\_MATH\_PH\_73 kümesinin, birimli değişmeli halka olarak tanımlandığını ortaya koyar. Bu yapı, benzer cebirsel yapılara ait nesnelerin ilk örneğidir. WIKINIUM\_MATH\_PH\_75 içerisinde, değişkenlerin her bir değeri için gerçek olan, yalnızca herhangi bir birimli değişmeli halkada doğru kabul edilen eşitlikler ve ifadeler geçerlidir. Bazı sıfır olmayan tam sayılar, çeşitli halkalarda sıfır değerine karşılık gelir.

Tam sayılar kümesinde sıfır bölensizlerin bulunmaması (özellikler tablosundaki son özellik), değişmeli halka WIKINIUM\_MATH\_PH\_77 'nin, bir tamlık bölgesi olarak nitelendirilebileceğini gösterir.

Çarpmaya ilişkin ters elemanların eksikliği, bu durumun WIKINIUM\_MATH\_PH\_79 kümesinin bölme işlemine kapalı olmadığı gerçeği ile eşdeğer olduğundan, WIKINIUM\_MATH\_PH\_81 'nin bir alan olarak tanımlanamayacağı anlamına gelir. Tam sayıları bir althalka olarak barındıran en küçük alan yapı, rasyonel sayılar alanıdır. Tam sayılar kümesinden rasyonel sayılar kümesinin türetilmesi süreci, herhangi bir tamlık bölgesi için kesirler cisminin (İng. *field of fractions*) oluşturulması amacıyla modellenebilir. Ayrıca, bir cebirsel sayı cisminden (rasyonel sayılara bir uzantı olarak) başlanarak, içerisinde WIKINIUM\_MATH\_PH\_83 kümesini de barındıran tam sayılar halkası (İng. *ring of integers*) elde edilebilir.

Her ne kadar WIKINIUM\_MATH\_PH\_85 üzerinde geleneksel bölme işlemi tanımlanmamış olsa da, "kalan ile bölme" işlemi bu küme üzerinde tanımlanabilir. Bu işleme, Öklid bölmesi adı verilir ve şu kritik özelliği taşır: WIKINIUM\_MATH\_PH\_87 koşulunu sağlayan herhangi WIKINIUM\_MATH\_PH\_88 ve WIKINIUM\_MATH\_PH\_89 tam sayı çifti için, WIKINIUM\_MATH\_PH\_90 ve WIKINIUM\_MATH\_PH\_91 ilişkilerini sağlayan benzersiz WIKINIUM\_MATH\_PH\_92 ve WIKINIUM\_MATH\_PH\_93 tams ayıları mevcuttur; burada WIKINIUM\_MATH\_PH\_94 , WIKINIUM\_MATH\_PH\_95 sayısının mutlak değerini ifade eder. Bu bağlamda, WIKINIUM\_MATH\_PH\_96 tam sayısı *bölüm*, WIKINIUM\_MATH\_PH\_97 ise WIKINIUM\_MATH\_PH\_98 ile WIKINIUM\_MATH\_PH\_99 'nin bölünmesi sonucu elde edilen *kalan* olarak isimlendirilir. En büyük ortak bölenlerin belirlenmesi sürecinde kullanılan Öklid algoritması, ardışık Öklid bölme işlemlerine dayanır.

İlgili metin, WIKINIUM\_MATH\_PH\_100 kümesinin bir Öklid bölgesi (İng. *Euclidean domain*) olarak tanımlandığını belirtmektedir. Bu durum, aynı zamanda WIKINIUM\_MATH\_PH\_102 'nin bir esas ideal bölgesi (İng. *principal ideal domain*) olduğunu gösterir ve her pozitif tam sayının, asal sayıların çarpımı şeklinde özünde benzersiz (İng. *essentially unique*) bir biçimde ifade edilebileceğini ima eder. Bu durum, aritmetiğin temel teoremi olarak bilinir.

## Sıralama teorisine ilişkin özellikler

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_104 , herhangi bir tam sıralama özelliği gösteren, fakat ne üst ne de alt sınır içeren bir kümedir. WIKINIUM\_MATH\_PH\_106 kümesinin sıralama ilişkisi aşağıdaki gibi ifade edilir:
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_108
Bir tam sayının sıfır değerinden büyük olması durumunda *pozitif*, sıfırdan küçük olması durumunda ise *negatif* olarak nitelendirilir. Sıfır değeri, ne negatif ne de pozitif olarak nitelendirilebilir.

Tam sayılar arasındaki sıralama ilişkisi, cebirsel işlemlerle aşağıdaki biçimde uyum içindedir:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_109 ve WIKINIUM\_MATH\_PH\_110 olduğunda, WIKINIUM\_MATH\_PH\_111 sonucu elde edilir.
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_112 ve WIKINIUM\_MATH\_PH\_113 olduğunda, WIKINIUM\_MATH\_PH\_114 eşitsizliği geçerlidir.

Bunun sonucu olarak, WIKINIUM\_MATH\_PH\_115 üzerinde tanımlanan bu sıralama ile birlikte, bir sıralı halka yapısını oluşturur.

Tam sayılar, pozitif elemanları iyi sıralı olan tek ciddi tam sıralı Abel grubudur.
Bu, herhangi bir Noetherian halka değerleme halkasına (İng. *valuation ring*) ya bir cisim-ya da ayrık değerleme halkası (İng. *discrete valuation ring*) olduğu ifadesine eşdeğerdir.

## Tanımlama

### Geleneksel tanımlama

Temel eğitim süreçlerinde, tam sayı kavramı, genellikle pozitif doğal sayılar kümesi, sıfır ve doğal sayıların negatif karşılıklarının birleşimi olarak sezgisel bir yaklaşımla tanımlanmaktadır. Bu tanım, formal bir yapıya kavuşturulabilir: başlangıçta, Peano aksiyomları temel alınarak WIKINIUM\_MATH\_PH\_117 doğal sayılar kümesi inşa edilir. Ardından, WIKINIUM\_MATH\_PH\_119 kümesi ile her elemanı arasında birebir eşleme bulunan ve WIKINIUM\_MATH\_PH\_121 kümesinden ayrık bir WIKINIUM\_MATH\_PH\_123 kümesi tanımlanır. Bu bağlamda, WIKINIUM\_MATH\_PH\_125 kümesi için, örneğin, WIKINIUM\_MATH\_PH\_127 eşlemesi WIKINIUM\_MATH\_PH\_129 olacak şekilde WIKINIUM\_MATH\_PH\_131 formundaki sıralı çiftler seçilebilir. Son adımda, 0 elemanı, ne WIKINIUM\_MATH\_PH\_133 kümesinde ne de WIKINIUM\_MATH\_PH\_135 kümesinde yer almayacak şekilde, örneğin WIKINIUM\_MATH\_PH\_137 sıralı çifti olarak belirlenir. Böylelikle, tam sayılar kümesi, WIKINIUM\_MATH\_PH\_139 birleşimi ile tanımlanmış olur.

Geleneksel aritmetik işlemleri, tam sayılar kümesi üzerinde, pozitif sayılar, negatif sayılar ve sıfır olmak üzere, parçalı fonksiyonlar yardımıyla tanımlanabilir. Mesela, negasyon işlemi şu şekilde ifade edilir:
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_141

Geleneksel tanımlama yöntemi, çeşitlilik arz eden durumların ortaya çıkmasına neden olur (her aritmetik işlemin, tam sayı türlerinin her birinin kombinasyonları üzerine tanımlanması gereklidir) ve tam sayıların aritmetik yasalarına olan uyumunun ispatı sürecini oldukça yorucu bir hale getirir.

### Sıralı ikili dizilerin eşdeğerlilik sınıfları

Kırmızı işaretler, doğal sayılar kümesine ait sıralı ikili dizileri ifade etmektedir. Birbirine bağlı olan kırmızı işaretler, çizginin uç kısmındaki mavi tam sayı değerlerini temsil eden eşdeğerlilik sınıflarını gösterir.
Çağdaş küme teorisine dayalı matematikte, aritmetik işlemilerin herhangi bir özgül durum ayrımına gerek kalmadan tanımlanabilmesine imkan veren daha soyut bir yapı tercih edilmektedir. Bu bağlamda, tam sayılar, doğal sayılardan oluşturulan sıralı ikili çiftlerin denklik sınıfları olarak formel bir biçimde kurulabilir WIKINIUM\_MATH\_PH\_143 .

Sezgisel olarak, WIKINIUM\_MATH\_PH\_144 ifadesi, WIKINIUM\_MATH\_PH\_145 'nin WIKINIUM\_MATH\_PH\_146 'dan çıkarılması sonucunu temsil eder. 1 − 2 ile 4 − 5 gösterimlerinin aynı sayısal değeri temsil ettiği öngörümüzü teyit etmek amacıyla, bu ikili diziler üzerinde belirli bir kural çerçevesinde bir denklik ilişkisi WIKINIUM\_MATH\_PH\_147 tanımlamaktayız:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_148
yalnızca ve yalnızca

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_150
Tam sayılar üzerinde gerçekleştirilen toplama ve çarpım işlemleri, doğal sayılara uygulanan benzer işlemler temel alınarak tanımlanabilir; WIKINIUM\_MATH\_PH\_152 gösterimi, içerisinde WIKINIUM\_MATH\_PH\_153 ögesini barındıran denklik sınıfını ifade etmek için kullanılır ve bu durumda işlemler şu şekilde ifade edilir:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_154
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_156
Bir tam sayının negatif değeri (veya toplamsal ters öge), ilgili ikilinin elemanlarının yer değiştirilmesiyle elde edilir:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_158
Dolayısıyla, çıkartma işlemi, toplamsal ters ögenin eklenmesi şeklinde tanımlanabilir:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_160
Tam sayılara ilişkin standart sıralama kuralı aşağıdaki gibi ifade edilir:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_162 ancak ve ancak WIKINIUM\_MATH\_PH\_164
Bu tanımlamaların, denklik sınıflarının temsilcilerinin seçimiyle ilgisiz olduğu kolaylıkla ispatlanabilir.

Her bir denklik sınıfı, WIKINIUM\_MATH\_PH\_166 veya WIKINIUM\_MATH\_PH\_167 (veya her iki durum için de) formunda özgün bir elemana sahiptir. Doğal sayı WIKINIUM\_MATH\_PH\_168 , WIKINIUM\_MATH\_PH\_169 sınıfıyla özdeşleştirilmekte (yani doğal sayılar, WIKINIUM\_MATH\_PH\_170 'yi WIKINIUM\_MATH\_PH\_171 'ye eşleyen bir fonksiyon aracılığıyla tam sayılara gömülmüştür) ve WIKINIUM\_MATH\_PH\_172 sınıfı WIKINIUM\_MATH\_PH\_173 olarak ifade edilir (bu durum, kalan tüm sınıfları kapsar ve WIKINIUM\_MATH\_PH\_174 sınıfını WIKINIUM\_MATH\_PH\_175 olduğundan yeniden tanımlar).

Dolayısıyla, WIKINIUM\_MATH\_PH\_176 gösterimi aşağıdaki gibi ifade edilir:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_177
Doğal sayıların, karşılık gelen tam sayılarla özdeşleştirilmesi durumunda (önceden bahsi geçen gömme metodu kullanılarak), bu gösterim yöntemi herhangi bir karmaşıklığa yol açmaz.

Bu gösterim yöntemi, tam sayıların WIKINIUM\_MATH\_PH\_179 şeklindeki alışılagelmiş temsiline geri dönüş sağlar.

Örneklerden bazıları şu şekildedir:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_180
### Diğer yaklaşımlar

Teorik bilgisayar biliminde, tam sayıların inşası için otomatik teorem kanıtlama ve terim yeniden yazım motorları tarafından kullanılan diğer yaklaşımlar mevcuttur.
Tam sayılar, birkaç temel işlem (örneğin, **sıfır**, **bir sonraki**, **bir önceki**) kullanılarak ve muhtemelen, zaten inşa edilmiş olduğu varsayılan doğal sayılar kullanılarak oluşturulan cebirsel terimler (İng. *term algebra*) olarak temsil edilir (örneğin, Peano yaklaşımı kullanılarak).

İşaretli tam sayıların oluşturulması amacıyla, en azından on farklı yöntem mevcuttur. Bu yapılar, çeşitli parametrelere göre ayrışır: Yapıyı gerçekleştirmek amacıyla başvurulan temel işlemlerin adedi, bu işlemlerin kabul ettiği argümanların sayısı ve nitelikleri (çoğunlukla 0 ile 2 arasında değişir); belirli işlemler için doğal sayıların argüman olarak kullanılıp kullanılmadığı ve işlemlerin serbest yapılandırıcı olup olmadığı, yani bir tam sayının tek veya birden çok cebirsel ifadeyle ifade edilebilirliği.

Bir önceki bölümde tanıtılan tam sayıların inşası yöntemi, iki doğal sayıyı argüman olarak alan ve sonucunda bir tam sayı (bu durumda x-y'ye eşit) veren tekil bir temel işlem olan **çift** WIKINIUM\_MATH\_PH\_182 işlemine dayanır. Bu işlem serbest nitelikte değildir; zira sıfır tam sayısı, **çift**(0,0), **çift**(1,1), **çift**(2,2) gibi çeşitli şekillerde ifade edilebilir. Bu inşa metodolojisi, ispat yardımcısı Isabelle yazılımı tarafından benimsenmiş olup; ancak, serbest yapılandırıcıları temel alan ve bilgisayar ortamlarında daha etkin bir şekilde implemente edilebilecek daha sade alternatif inşa teknikleri de mevcuttur.

## Bilgisayar bilimi

Tam sayı, sıkça bilgisayar dililerindeki primitif bir veri tipidir. Ancak, tam sayı veri tipleri, pratik bilgisayarların sonlu kapasitesi nedeniyle tüm tam sayıların bir alt kümesini temsil edebilirler. Ayrıca, yaygın ikinin tümleyeni gösteriminde, işaretin içsel tanımı "negatif" ve "negatif olmayan" arasında ayrım yapar, "negatif, pozitif ve 0" değil. (Bununla birlikte, bir bilgisayarın bir tam sayı değerinin gerçekten pozitif olup olmadığını belirlemesi kesinlikle mümkündür.) Sabit uzunluklu tam sayı yaklaşım veri tipleri (veya alt kümeleri), birkaç programlama dilinde *int* veya *Integer* olarak adlandırılır (ALGOL 68, C, Java, Delphi, vb.).

Tam sayıların değişken uzunluklu temsilleri, bilgisayarın belleğine sığan herhangi bir tam sayıyı depolayabilir. Diğer tam sayı veri tipleri ise genellikle 2'nin bir kuvveti olan bir bit sayısı (4, 8, 16, vb.) veya akılda kalıcı bir ondalık basamak sayısı (örneğin, 9 veya 10) ile sabit bir boyutta uygulanır.

## Sayallık (Kardinalite)

Tam sayılar kümesi sayılabilir sonsuzdur, bu da her tam sayının benzersiz bir doğal sayı ile eşleştirilebileceği anlamına gelir. Böyle bir eşleştirmenin bir örneği şöyledir:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_184
Daha teknik bir ifadeyle, WIKINIUM\_MATH\_PH\_185 kardinalitesinin WIKINIUM\_MATH\_PH\_187 (alef-sıfır) ile eşit olduğu söylenir. WIKINIUM\_MATH\_PH\_188 ve WIKINIUM\_MATH\_PH\_190 elemanları arasındaki bu eşleştirme, bir bijection olarak adlandırılır.

## Notlar

## Ayrıca bakınız

|  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
|

|  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
|

Sayı sistemleri
| Karmaşık WIKINIUM\_MATH\_PH\_192
 |

|  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
|

|  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| Reel WIKINIUM\_MATH\_PH\_194
 |

|  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
|

|  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| Rasyonel WIKINIUM\_MATH\_PH\_196
 |

|  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
|

|  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| Tam sayı WIKINIUM\_MATH\_PH\_198
 |

|  |  |  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
|

|  |  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| Doğal WIKINIUM\_MATH\_PH\_200
 |

|  |
| --- |
| Sıfır: 0
 |
| Bir: 1
 |
| Asal sayılar
 |
| Bileşik sayılar
 |

 |

 |
| Negatif tam sayılar
 |

 |

 |
|

|  |  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| Kesir
 |

|  |
| --- |
| Sonlu ondalık sayı
 |
| İkili (sonlu ikili)
 |
| Devirli ondalık sayı
 |  |

 |

 |

 |

 |
|

|  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- |
| İrrasyonel
 |

|  |
| --- |
| Cebirsel irrasyonel
 |
| Aşkın
 |

 |

 |

 |

 |
| Sanal
 |

 |

 |

 |

## Kaynakça

## Bibliyografya