# Kepler yörüngesi

Kepler Orbitand eksentriklerini çeşitli biçimlerde gösteren diyagram. Mavi bir hiperbolik yörünge (e> 1)'dir. Yeşil bir parabolik yörünge (e = 1)'dir. Kırmızı eliptik yörünge (0 <e <1). Gri bir dairesel yörünge (e = 0)'dir. (*e* = 0).
Gök mekaniği olarak, **Kepler yörüngesi** (veya Keplersel yörünge) üç boyutlu uzayda iki boyutlu bir yörünge düzlemi oluşturan bir elips, parabol, hiperbol benzeri bir yörünge cisminin hareketini açıklar. (Kepler yörüngesi aynı zamanda düz bir çizgi de çizebilir). Kepler yörüngesi yalnızca nokta iki cismin nokta benzeri yerçekimsel çekimlerini dikkate alır, atmosfer sürüklemesi, güneş radyasyonu baskısı, dairesel olmayan cisim merkezi ve bunun gibi bir takım şeylerin diğer cisimlerle girdiği çekim ilişkileri nedeniyle ihmal eder. Böylece Kepler problemi olarak bilinen iki-cisim probleminin, özel durumlara bir çözüm olarak atfedilir. Klasik mekaniğin bir teorisi olarak, aynı zamanda genel görelilik etkilerini dikkate almaz. Kepler yörüngeleri çeşitli şekillerde altı yörünge unsurları içine parametrize edilebilir.

Çoğu uygulamalarda, tüm sistemin kütle merkezi olarak kabul edilen büyük bir merkezi cisim ve kütle merkezi vardır. Ayrıştırma yapılınca, iki objenin benzer kütleleri, ikisinin ortak kütle merkezinin Kepler yörüngesi ya da barisentileri olarak açıklanabilir.

## Giriş

Eski çağlardan itibaren 16. ve 17. yüzyıllara kadar gezegenlerin hareketlerinin Antik Yunan filozofları Aristo ve Batlamyus tarafından öğretildiği gibi mükemmel dairesel jeosentrik yolları takip ettiğine inanılırdı. Gezegenlerin hareketler değişimleri (epidaire) üst üste küçük dairesel yollar şeklinde açıklanmıştır. Gezegenlerin ölçümleri giderek daha kesin olmaya başladığında, bu teoriye revizyonlar önerilmiştir. Hala gezegenlerin güneş merkezli mükemmel dairesel yörüngede gittiğine inanılmasına rağmen 1543 yılında Nicolaus Copernicus, güneş sisteminin bir güneş merkezli modelini yayınladı.

## Yasaların geliştirilmesi

1601 yılında Johannes Kepler, Tycho Brahe tarafından yapılan gezegenlerin kapsamlı ve titiz gözlemlerini elde etti. Kepler, sonraki beş yılı Mars gezegeninin gözlemlerini çeşitli eğrilere uydurmaya çalışarak geçirecekti. 1609 yılında Kepler, gezegensel hareketin üç yasasından ilk ikisini yayınladı. Birinci yasa şöyledir:

*"Güneş sistemindeki bütün gezegenler, odaklarının birinde Güneş olan elips şeklindeki bir yörüngede hareket ederler."*
Daha genel anlatımla, Kepler hareketini yapan bir nesnenin yolu elips olduğu kadar, parabol veya hiperbol de olabilir. Bu bir grup şekil konik kesitler olarak bilinir. Matematiksel olarak, merkezi bir cisim ile yörüngedeki bir cisim arasındaki mesafe şu şekilde ifade edilebilir:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_0
* WIKINIUM\_MATH\_PH\_2 mesafedir
* WIKINIUM\_MATH\_PH\_4 yörüngenin boyutunu tanımlayan yarı büyük eksendir
* WIKINIUM\_MATH\_PH\_6 yörüngenin şeklini tanımlayan dış merkezliktir
* WIKINIUM\_MATH\_PH\_8 yörüngedeki nesnenin mevcut konumu ile yörüngedeki merkez cisme en yakın olduğu (enberi noktası olarak adlandırılan) konum arasındaki açı olan gerçek ayrıklıkdır.

Alternatif olarak, denklem şu şekilde ifade edilebilir:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_10
Burada WIKINIUM\_MATH\_PH\_12 , eğrinin yarı özkirişi olarak adlandırılır. Denklemin bu formu, özellikle yarı büyük ekseni sonsuz olan parabolik yörüngelerle uğraşırken kullanışlıdır.

Bu yasaları gözlemleriyle geliştiren Kepler, hiçbir zaman bu hareketleri açıklayacak bir teori geliştirememiştir.

### Isaac Newton

Isaac Newton, 1665 ve 1666 yılları arasında hareket, kütleçekim ve diferansiyel hesap ile ilgili çeşitli kavramlar geliştirdi. Bununla birlikte bu kavramlar, 1687 yılında hareket yasalarını ve evrensel kütleçekim yasasını ana hatlarıyla belirttiği *Principia*'ya kadar yayınlanmadı. Üç hareket yasasından ikincisi şöyle der:

> Bir cismin ivmesi, cisme etki eden net kuvvetle paralel ve doğru orantılıdır. Net kuvvet yönündedir ve cismin kütlesi ile ters orantılıdır:
>
>
>  WIKINIUM\_MATH\_PH\_14
> * WIKINIUM\_MATH\_PH\_16 kuvvet vektörüdür
> * WIKINIUM\_MATH\_PH\_18 kuvvetin etki ettiği cismin kütlesidir
> * WIKINIUM\_MATH\_PH\_20 ivme vektörüdür, WIKINIUM\_MATH\_PH\_22 konum vektörünün ikinci zaman türevidir.
>
>
>

Kurallara bakılırsa, denklemin bu şekli yalnızca aşağıda yapılan basitleştirici varsayımlara dayalı olarak doğru olan sabit kütleli bir nesne için geçerlidir.

Newton'un evrensel kütleçekim yasasının mekanizmaları: Bir nokta kütle olan *m*1 diğer bir nokta kütle olan *m*2'yi, iki kütlenin çarpımı ile orantılı ve aralarındaki (*r*) uzaklığının karesi ile ters orantılı olan bir *F*2 kuvveti ile çeker. Kütleler veya mesafeden bağımsız olarak, |*F*1| ve |*F*2|'nin büyüklükleri her zaman eşit olacaktır. G kütle çekimi sabitidir.
Newton'un kütleçekim yasası şöyle der:

> Her nokta kütle, her iki noktayı kesen doğru boyunca işaret edilen bir kuvvetle diğer nokta kütleleri çeker. Kuvvet, iki kütlenin çarpımı ile orantılı ve nokta kütleler arasındaki uzaklığın karesi ile ters orantılıdır:
>
>
>  WIKINIUM\_MATH\_PH\_24
> * WIKINIUM\_MATH\_PH\_26 iki nokta kütlesi arasındaki kütleçekim kuvvetinin büyüklüğüdür.
> * WIKINIUM\_MATH\_PH\_28 kütle çekimi sabitidir
> * WIKINIUM\_MATH\_PH\_30 birinci nokta kütlesinin kütlesidir
> * WIKINIUM\_MATH\_PH\_32 ikinci nokta kütlesinin kütlesidir
> * WIKINIUM\_MATH\_PH\_34 iki nokta kütlesi arasındaki mesafedir
>
>
>

Newton, hareket yasaları ve evrensel kütleçekim yasasından astronomide yörünge hareketine özgü Kepler yasalarını türetebildi. Kepler yasaları gözlem verileriyle iyi bir şekilde desteklendiğinden, bu tutarlılık Newton'un genelleştirilmiş teorisinin ve birleşik göksel ve sıradan mekaniğin geçerliliğine güçlü bir destek sağladı. Bu hareket yasaları, 20. yüzyılın başlarında Albert Einstein özel ve genel görelilik kavramlarını ortaya koyana kadar modern gök mekaniğinin temelini oluşturdu. Çoğu kullanımda Kepler hareketi, gezegenlerin ve uyduların hareketlerini nispeten yüksek doğruluk derecelerine yaklaştırır ve astronomi ve astrodinamikte yaygın olarak kullanılır.

### Sadeleştirilmiş iki cisim problemi

İki cisimli bir sistemde bir cismin hareketini çözmek için iki sadeleştirici varsayım yapılabilir:

1. Cisimler küresel olarak simetriktir ve nokta kütleler olarak ele alınabilir.
2. Cisimlere karşılıklı kütleçekimi dışında etki eden iç ve dış kuvvetler yoktur.

Büyük gök cisimlerinin şekilleri kürelere yakındır. Simetri ile, bir kütle noktasını homojen bir küreye doğru çeken net kütleçekim kuvveti, merkeze doğru yönlenmelidir. Kabuk teoremi (Isaac Newton tarafından da kanıtlanmış olan), kürenin yoğunluğu derinliğe göre değişse bile (çoğu gök cisimleri için olduğu gibi) bu kuvvetin büyüklüğünün, kütlenin tamamı kürenin ortasında toplanmış gibi aynı olduğunu belirtir. Bundan hemen sonra iki homojen küre arasındaki çekim, her ikisinin de kütlesi merkezinde yoğunlaşmış gibidir.

Asteroitler veya uzay araçları gibi daha küçük nesneler genellikle bir küreden güçlü bir şekilde ayrılan bir şekle sahiptir. Ancak bu düzensizlikler tarafından üretilen kütleçekim kuvvetleri, merkezi cismin kütleçekimi ile karşılaştırıldığında genellikle önemsizdir. Düzensiz bir şekil ile mükemmel bir küre arasındaki fark da mesafelerle azalır ve yörünge mesafelerinin çoğu, yörüngedeki küçük bir cismin çapıyla karşılaştırıldığında çok büyüktür. Bu nedenle bazı durumlar için şekil düzensizliği, kesinlik üzerinde önemli bir etki olmaksızın ihmal edilebilir. Bu etki, özellikle alçak yörüngelerde bulunan yapay Dünya uyduları için oldukça belirgindir.

Gezegenler değişen hızlarda dönerler ve bu merkezkaç kuvveti nedeniyle hafif basık bir şekil alabilirler. Böyle yassı bir şekille kütle çekimi, homojen bir küreninkinden bir miktar sapacaktır. Daha büyük mesafelerde bu yassılığın etkisi ihmal edilebilir hale gelir. Güneş Sistemindeki gezegensel hareketler, nokta kütleler olarak ele alınırsa yeterli hassasiyetle hesaplanabilirler.

Kütleleri WIKINIUM\_MATH\_PH\_36 ve WIKINIUM\_MATH\_PH\_38 olan iki nokta kütle nesnesi ve bazı eylemsiz referans çerçevesine göreceli konum vektörleri WIKINIUM\_MATH\_PH\_40 ve WIKINIUM\_MATH\_PH\_42 , kütleçekim kuvvetlerine maruz kalır:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_44
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_46

burada WIKINIUM\_MATH\_PH\_48 , kütle 1'in kütle 2'ye göre göreceli konum vektörüdür ve şu şekilde ifade edilir:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_50
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_52 , o yöndeki birim vektördür ve WIKINIUM\_MATH\_PH\_54 , bu vektörün uzunluğudur.

Kendi kütlelerine bölmek ve ikinci denklemi birinciden çıkarmak, birinci cismin ikinciye göre ivmesi için hareket denklemini verir:

|  |  |  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
|  WIKINIUM\_MATH\_PH\_56
 |

|  |  |  |
| --- | --- | --- |
|  |  |  |
|  |

 | **()** |

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_58 , yerçekimi parametresidir ve eşittir

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_60
Birçok uygulamada, üçüncü bir sadeleştirici varsayım yapılabilir:

1. Merkezi cisim ile karşılaştırıldığında yörüngedeki cismin kütlesi önemsizdir. Matematiksel olarak, *m*1 >> *m*2, yani WIKINIUM\_MATH\_PH\_62 'dir. Genellikle WIKINIUM\_MATH\_PH\_63 olarak gösterilen bu tür standart kütleçekim parametreleri, yörüngedeki uydularından çok daha büyük kütlelere WIKINIUM\_MATH\_PH\_65 sahip olan Güneş, büyük gezegenler ve Ay için yaygın olarak kullanılır.

Bu varsayım, sadeleştirilmiş iki cisim problemini çözmek için gerekli değildir, ancak özellikle Dünya yörüngesindeki uydular ve Güneş'in yörüngesindeki gezegenlerle ilgili hesaplamaları basitleştirir. Jüpiter'in kütlesi bile Güneş'inkinden 1047 kat daha azdır, bu da α değerinde %0,096'lık bir hata oluşturur. Dikkate değer istisnalar arasında Dünya-Ay sistemi (kütle oranı 81,3), Plüton-Charon sistemi (kütle oranı 8,9) ve ikili yıldız sistemleri sayılabilir.

Bu varsayımlar altında iki cisim problemi için diferansiyel denklem matematiksel olarak tamamen çözülebilir ve Kepler'in gezegensel hareket yasalarını takip ederek sonuçta oluşan yörüngeye "Kepler yörüngesi" denir. Tüm gezegenlerin yörüngeleri yüksek doğrulukta Güneş etrafındaki Kepler yörüngeleridir. Küçük sapmalar, gezegenler arasındaki çok daha zayıf kütleçekim etkilerinden ve Merkür durumunda genel görelilikten kaynaklanmaktadır. Dünya etrafındaki yapay uyduların yörüngeleri, makul bir tahminle Güneş, Ay ve Dünya'nın yassılığından dolayı küçük düzensizliklere sahip Kepler yörüngeleridir. Hareket denkleminin bütün kütleçekim ve kütleçekim olmayan kuvvetlerin (güneş radyasyon basıncı ve atmosfer direnci gibi) hesaba katılmasıyla sayısal olarak entegre edilmesi gereken yüksek doğruluktaki kullanımlarda, Kepler yörünge kavramları çok önemlidir ve yoğun olarak kullanılır.

### Kepler yörünge öğeleri

Kepler yörünge öğeleri

Kepler yörüngesinin altı parametre ile tanımlanabilirliğinden söz etmek gerekir. Üç boyutlu uzayda hareket eden bir nesnenin hareket bir konum vektörü ve bir hız vektörü ile karakterize edilir. Her vektörün üç bileşeni vardır, bu yüzden uzayda bir yörünge tanımlamak için gerekli değerlerin toplam sayısı altıdır. Bir yörünge (Kepler Elementleri olarak bilinen) ve pozisyon ve hızına bağlı olarak ölçülebilen altı elementten oluşur ki bunların üçü daha önce gösterilmiştir. Bu altı uygun elementten beş tanesi yörünge için değişmezdir. (iki sürekli değişen vektöre bir tezat niteliğinde olmak üzere). Kendi yörüngesinde içindeki bir nesnenin gelecekteki konumu tahmin edilebilir ve yeni konum ve hız kolayca yörünge elemanları ile elde edilebilir.

Bunlardan ikisi eksenin boyutunu ve şeklin belirler:

* Yarımajör eksen ( WIKINIUM\_MATH\_PH\_67 )
* eksantriklik ( WIKINIUM\_MATH\_PH\_69 )

Üç tanesi yörünge alanının oryantasyonunu belirler:

* eğim ( WIKINIUM\_MATH\_PH\_71 )yörünge düzlemi ile referans düzlemi arasındaki açıyı tanımlar.
* Yükselen nodun uzunluğu ( WIKINIUM\_MATH\_PH\_73 ) Referans yönü ve referans düzlemi üzerinde yörüngeye yukarı kesişme (yükselen nod) arasındaki açıyı tanımlar.
* Periapsis argüman( WIKINIUM\_MATH\_PH\_75 ) artan nod ve periapsis arasındaki açıyı belirler.

Ve son olarak:

* Gerçek anomali ( WIKINIUM\_MATH\_PH\_77 )periapsis ölçülen yörünge boyunca yörüngedeki cismin konumunu tanımlar. Çeşitli başka değerlerin yerine gerçek bir anomali kullanılabilir, bunlardan en sık kullanılanları mean anomoli olan WIKINIUM\_MATH\_PH\_79 ve periapsisden yana geçen süre olan WIKINIUM\_MATH\_PH\_81 'dir.

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_83 , WIKINIUM\_MATH\_PH\_85 ve WIKINIUM\_MATH\_PH\_87 sadece yörünge düzlemi içinde nesnenin hareketini tartışırken referans çerçevesinde yörünge yönünü tanımlayan açısal ölçümlerdir ve kesin olarak gerekli değildir. Burada tamamlanmışlık adına belirtilmişlerdir ancak aşağıdaki ispatlar için gerekli değillerdir.

### Yukarıdaki diferansiyel denklemin (**1**) matematiksel çözümü

Herhangi bir merkez kuvveti altında yani r bir kuvvet paraleli ve hareket için, belirli bağıl açısal momentumu WIKINIUM\_MATH\_PH\_89 sabit kalır:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_91

Pozisyonun çapraz ürünü vektör ve onun hızı olduğu için sabit kaldığından, aynı düzlemde bulunmak zorundadırlar. ( WIKINIUM\_MATH\_PH\_93 'ye ortogonal). Bu vektör, fonksiyonun, bir düzlem eğrisi olduğu anlamına gelir. Denklemin kökeni etrafında simetri vardır, çünkü kutupsal koordinatlarda çözmek kolaydır. Bununla birlikte, bu denklem dikkat etmek önemlidir **1** doğrusal ivmeye refere eder WIKINIUM\_MATH\_PH\_95 , açısalın karşıtı olarak WIKINIUM\_MATH\_PH\_97 yahut radyal WIKINIUM\_MATH\_PH\_99 ivmelenme. Bu nedenle, denklemi değiştiren kişinin dikkatli olması gerekir. Şimdi kartezyen koordinat sistemine WIKINIUM\_MATH\_PH\_101 ve kutupsal birim vektörlere WIKINIUM\_MATH\_PH\_103 düzlemi octoganelinde bakalım WIKINIUM\_MATH\_PH\_105 :

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_107

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_109

Şimdi vektör WIKINIUM\_MATH\_PH\_111 fonksiyonunu yeniden yazabiliriz ve diferansiyeli şöyledir as:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_113

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_115

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_117

(Vektör calculusunu inceleyiniz). Bunları yerine yazarsak şunu buluruz:
 (**1**)

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_119

Bu sıradan olmayan polar diferansiyel denklem verir:

|  |  |  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
|  WIKINIUM\_MATH\_PH\_121
 |

|  |  |  |
| --- | --- | --- |
|  |  |  |
|  |

 | **()** |

Bu denklemi çözmek için, öncelikle her zaman diferansiyel lineerini ortadan kaldırmak gerekir. Şuna ulaşırız:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_123

|  |  |  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
|  WIKINIUM\_MATH\_PH\_125
 |

|  |  |  |
| --- | --- | --- |
|  |  |  |
|  |

 | **()** |

(**3**)'ün zaman diferansiyelini aldığımız zaman, şuna ulaşırız:

|  |  |  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
|  WIKINIUM\_MATH\_PH\_127
 |

|  |  |  |
| --- | --- | --- |
|  |  |  |
|  |

 | **()** |

(**3**) ve (}) denklemleri'nin diferansiyellerini elememize izin verir. In order to eliminate the time derivatives of WIKINIUM\_MATH\_PH\_129 'ın zaman diferansiyellerini elimine etmek için uygun kısaltmaları bulmak bunun için de zincir kuralı kullanmamız gerekir.

|  |  |  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
|  WIKINIUM\_MATH\_PH\_131
 |

|  |  |  |
| --- | --- | --- |
|  |  |  |
|  |

 | **()** |

|  |  |  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
|  WIKINIUM\_MATH\_PH\_133
 |

|  |  |  |
| --- | --- | --- |
|  |  |  |
|  |

 | **()** |

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_135

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_137

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_139

|  |  |  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
|  WIKINIUM\_MATH\_PH\_141
 |

|  |  |  |
| --- | --- | --- |
|  |  |  |
|  |

 | **()** |

Diferansiyel denklem (**7**) değişken değişimi ile analitik çözülebilir

|  |  |  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
|  WIKINIUM\_MATH\_PH\_143
 |

|  |  |  |
| --- | --- | --- |
|  |  |  |
|  |

 | **()** |

Bu verilenleri kullanarak, in (**2**)'deki tüm zaman diferansiyelleri yok sayılabilir ve bizi WIKINIUM\_MATH\_PH\_145 .

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_147

|  |  |  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
|  WIKINIUM\_MATH\_PH\_149
 |

|  |  |  |
| --- | --- | --- |
|  |  |  |
|  |

 | **()** |

(**10**) ve (**9**)'da belirtilenleri WIKINIUM\_MATH\_PH\_151 ve WIKINIUM\_MATH\_PH\_153 için kullanarak

|  |  |  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
|  WIKINIUM\_MATH\_PH\_155
 |

|  |  |  |
| --- | --- | --- |
|  |  |  |
|  |

 | **()** |

genel bir sonuca ulaşılır.

|  |  |  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
|  WIKINIUM\_MATH\_PH\_157
 |

|  |  |  |
| --- | --- | --- |
|  |  |  |
|  |

 | **()** |

*e* ve WIKINIUM\_MATH\_PH\_159 'un başlangıçtaki *s* ve WIKINIUM\_MATH\_PH\_161 'n başlangıç değerlerinin integral sabitleri olursa, integralinin sabitini kullanmak yerine birim vektörleri kullanıma alınır ve seçilen yörünge alanındaki koordinat sistemini belirler, böylece sıfır değerini alır ve e is pozitiftir. Bu şu anlama gelir: 'in maksimum olduğu yerde sıfırdır ve böylece minimumdur. *p* parametresini WIKINIUM\_MATH\_PH\_163 olarak tanımlarsak şu ortaya çıkar.

#### Alternatif türevi

Bu denklemi polar diferansiyel denklemini kullanmadan çözmenin bir diğer yolu şöyledir:
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_165 'yu bir birim vektör olarak tanımlayın, örneğin, WIKINIUM\_MATH\_PH\_167 and WIKINIUM\_MATH\_PH\_169 gibi. Buradan yola çıkarak

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_171

Şimdi şunu değerlendiriniz

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_173

(Üçlü vektör ürünü). Şunu dikkate alınız

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_175

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_177

Bu verileri bir önceki denkleme yerleştirdiğimizde

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_179

İki tarafın da integralini alırsak

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_181

Burada **c *sabit vektördür. Bunur'* ile birleştirmek ortaya ilginç bir sonuç çıkarır

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_183

Burada WIKINIUM\_MATH\_PH\_185 WIKINIUM\_MATH\_PH\_187 ve WIKINIUM\_MATH\_PH\_189 arasındaki açıdır. r'ye göre çözersek

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_191

Dikkat ediniz ki WIKINIUM\_MATH\_PH\_193 vektör fonksiyonunun polar koordinatlarıdır. Verilenleri yerine koyarsak ve, şu denkleme ulaşırız

|  |  |  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
|  WIKINIUM\_MATH\_PH\_195
 |

|  |  |  |
| --- | --- | --- |
|  |  |  |
|  |

 | **()** |

Bu fokal noktada merkezi olan bir konik bölmenin polar koordinatlarının denklemidir. WIKINIUM\_MATH\_PH\_197 Argümanına gerçek anomali denir.

### Yörünge denkleminin özellikleri

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_199 ise bu çapı *p* olan bir dairedir.

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_201 ise bu aşağıdakine sahip bir elipstir.

|  |  |  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
|  WIKINIUM\_MATH\_PH\_203
 |

|  |  |  |
| --- | --- | --- |
|  |  |  |
|  |

 | **()** |

|  |  |  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
|  WIKINIUM\_MATH\_PH\_205
 |

|  |  |  |
| --- | --- | --- |
|  |  |  |
|  |

 | **()** |

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_207 ise fokal uzunluğu WIKINIUM\_MATH\_PH\_209 olan bir dairedir.
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_211 ise bir aşağıdakine sahip bir hiperboldür.

|  |  |  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
|  WIKINIUM\_MATH\_PH\_213
 |

|  |  |  |
| --- | --- | --- |
|  |  |  |
|  |

 | **()** |

|  |  |  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
|  WIKINIUM\_MATH\_PH\_215
 |

|  |  |  |
| --- | --- | --- |
|  |  |  |
|  |

 | **()** |

Sonraki görsel, bir elipsi (kırmızı), bir paraboolü (yeşil) ve bir hiperbolü (mavi) gösterir.

Dış merkezi 0.7 olan bir elips Kepler yörüngesi, Parabol Kepler yörüngesi ve dış merkezi 1.3 olan bir Kepler yörüngesi. Fokal noktaya olan uzaklık, denklemle de gösterildiği gibi polar açının yatay çizgiye yakın açısının bir fonksiyonudur(**13**)
Yatay çizgi üzerinde nokta odak noktasından sağa doğru çıkıyorsa nokta WIKINIUM\_MATH\_PH\_217 odak noktasına olan minimum uzaklık WIKINIUM\_MATH\_PH\_219 değerini alır (pericentre). Elips için de odak uzaklığı maksimum değerini aldığı bir apocentre vardır WIKINIUM\_MATH\_PH\_221 . Hiperbol için WIKINIUM\_MATH\_PH\_223 'nın aralığı:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_225
Bir parabol için aralık;

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_227
Diferansiyelin zinci kuralını kullanarak (**5**), (**2**) denklemi ve *p*’nin tanımı WIKINIUM\_MATH\_PH\_229 olmak üzere radyal hız elemanı şudur.

|  |  |  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
|  WIKINIUM\_MATH\_PH\_231
 |

|  |  |  |
| --- | --- | --- |
|  |  |  |
|  |

 | **()** |

ve teğetsel bileşen olan (hız bileşeni WIKINIUM\_MATH\_PH\_233 )’ye dik)

|  |  |  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
|  WIKINIUM\_MATH\_PH\_235
 |

|  |  |  |
| --- | --- | --- |
|  |  |  |
|  |

 | **()** |

Polar argümanı WIKINIUM\_MATH\_PH\_237 ve zaman *t* arasındaki bağlantı elips ve hiperbolik yörüngeler için küçük değişiklikler gösterebilir.

Elips şeklindeki bir yörünge için, dış merkezli anomali olan *E*’ye geçeriz ve buradan

|  |  |  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
|  WIKINIUM\_MATH\_PH\_239
 |

|  |  |  |
| --- | --- | --- |
|  |  |  |
|  |

 | **()** |

|  |  |  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
|  WIKINIUM\_MATH\_PH\_241
 |

|  |  |  |
| --- | --- | --- |
|  |  |  |
|  |

 | **()** |

ve sonuç olarak.

|  |  |  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
|  WIKINIUM\_MATH\_PH\_243
 |

|  |  |  |
| --- | --- | --- |
|  |  |  |
|  |

 | **()** |

|  |  |  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
|  WIKINIUM\_MATH\_PH\_245
 |

|  |  |  |
| --- | --- | --- |
|  |  |  |
|  |

 | **()** |

açısal momentum *H* olmak üzere

|  |  |  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
|  WIKINIUM\_MATH\_PH\_247
 |

|  |  |  |
| --- | --- | --- |
|  |  |  |
|  |

 | **()** |

Zamana göre entegrasyon olan *t* ile şu sonuca ulaşılır.

|  |  |  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
|  WIKINIUM\_MATH\_PH\_249
 |

|  |  |  |
| --- | --- | --- |
|  |  |  |
|  |

 | **()** |

zaman varsayımını yaparak integral sabiti 0 olur.
p nin tanımı gereği

|  |  |  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
|  WIKINIUM\_MATH\_PH\_251
 |

|  |  |  |
| --- | --- | --- |
|  |  |  |
|  |

 | **()** |

şu şekilde yazılabiir

|  |  |  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
|  WIKINIUM\_MATH\_PH\_253
 |

|  |  |  |
| --- | --- | --- |
|  |  |  |
|  |

 | **()** |

Hiperbolik bir yörünge için parametre yaratmak için hiperbolik fonksiyon kullanılır.

|  |  |  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
|  WIKINIUM\_MATH\_PH\_255
 |

|  |  |  |
| --- | --- | --- |
|  |  |  |
|  |

 | **()** |

|  |  |  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
|  WIKINIUM\_MATH\_PH\_257
 |

|  |  |  |
| --- | --- | --- |
|  |  |  |
|  |

 | **()** |

bu durumda şuna ulaşılır

|  |  |  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
|  WIKINIUM\_MATH\_PH\_259
 |

|  |  |  |
| --- | --- | --- |
|  |  |  |
|  |

 | **()** |

|  |  |  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
|  WIKINIUM\_MATH\_PH\_261
 |

|  |  |  |
| --- | --- | --- |
|  |  |  |
|  |

 | **()** |

açısal momentum *H* olmak üzere

|  |  |  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
|  WIKINIUM\_MATH\_PH\_263
 |

|  |  |  |
| --- | --- | --- |
|  |  |  |
|  |

 | **()** |

Zamana göre entegrasyon olan *t* ile şu sonuca ulaşılır.

|  |  |  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
|  WIKINIUM\_MATH\_PH\_265
 |

|  |  |  |
| --- | --- | --- |
|  |  |  |
|  |

 | **()** |

örneğin

|  |  |  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
|  WIKINIUM\_MATH\_PH\_267
 |

|  |  |  |
| --- | --- | --- |
|  |  |  |
|  |

 | **()** |

*t*’nin hangi zamanda belirli bir gerçek anomaliye ( WIKINIUM\_MATH\_PH\_269 ) ne ulaştığını bulmak için, buna uyan parametre olan *E*’nin (**27**) ile zamana olan bağını hesaplaması, elips için (**34**) ile bağını ve hiperbolik yörünge için.

Dikkat ediniz ki (**27**) ve (**34**) bu aralıkta bir yer belirler.
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_271

### Bazı ilave formüller

Ayrıca bakınız: Merkez denklemi - analitik açılımlar

(**20**)ve (**21**)’den edilinen elips yörünge için

|  |  |  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
|  WIKINIUM\_MATH\_PH\_273
 |

|  |  |  |
| --- | --- | --- |
|  |  |  |
|  |

 | **()** |

ve buna göre

|  |  |  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
|  WIKINIUM\_MATH\_PH\_275
 |

|  |  |  |
| --- | --- | --- |
|  |  |  |
|  |

 | **()** |

()’dan devam ettiğimizde şu sonuç çıkar

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_277
Dış merkezli anomalinin geometrik yapısını belirlemek için, açıkça vektörler WIKINIUM\_MATH\_PH\_279 ve WIKINIUM\_MATH\_PH\_281 ‘nin x aksisiyle aynı yanda olmaları gerekir. Buradan yola çıkarak WIKINIUM\_MATH\_PH\_283 ve WIKINIUM\_MATH\_PH\_285 aynı çeyrek daireye sahiptir. Buradan yola çıkarak

|  |  |  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
|  WIKINIUM\_MATH\_PH\_287
 |

|  |  |  |
| --- | --- | --- |
|  |  |  |
|  |

 | **()** |

ve

|  |  |  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
|  WIKINIUM\_MATH\_PH\_289
 |

|  |  |  |
| --- | --- | --- |
|  |  |  |
|  |

 | **()** |

|  |  |  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
|  WIKINIUM\_MATH\_PH\_291
 |

|  |  |  |
| --- | --- | --- |
|  |  |  |
|  |

 | **()** |

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_293 vektörünün polar argümanlarının ve *n* " WIKINIUM\_MATH\_PH\_295 " örneğinde olduğu gibi seçilmiş olması gerekir.

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_297 nın sayısal hesaplaması için, standart ATAN2(y,x) fonksiyonunun, (ya ikili DATAN2(y,x)), FORTRAN gibi programlama dillerinde kullanılması mümkündür.

Dikkate alınız ki bu aralıklar arasında alan vardır.

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_299
Hiperbolik bir yörünge için (**28**) ve (**29**)dan yola çıkarak

|  |  |  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
|  WIKINIUM\_MATH\_PH\_301
 |

|  |  |  |
| --- | --- | --- |
|  |  |  |
|  |

 | **()** |

and therefore that

|  |  |  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
|  WIKINIUM\_MATH\_PH\_303
 |

|  |  |  |
| --- | --- | --- |
|  |  |  |
|  |

 | **()** |

ve sonuç olarak

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_305
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_307 ve WIKINIUM\_MATH\_PH\_309 aşağıdaki ifadeyi sağlayan aynı işarete sahiptir.

|  |  |  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
|  WIKINIUM\_MATH\_PH\_311
 |

|  |  |  |
| --- | --- | --- |
|  |  |  |
|  |

 | **()** |

Bu ilişki gerçek anomali ve *E* parametresi arasında geçiş yapmak için uygundur. (burada E (**34**)’e zaman yönünden bağlıdır.) Aralık arasındaki alana dikkat ediniz.

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_313
ve aşağıdaki bağla açıklanabilir.

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_315
(**27**)’ye bakarak, *P*’nin elips bir yörünge için yörünge periyodu

|  |  |  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
|  WIKINIUM\_MATH\_PH\_317
 |

|  |  |  |
| --- | --- | --- |
|  |  |  |
|  |

 | **()** |

Kuvvet alanına potansiyel enerjinin ilgisi (**1**)

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_319
(**13**), (**14**), (**18**) ve (**19**)’ kadar kinetik ve potansiyel enerjinin özeti

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_321
Elips yörünge için

|  |  |  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
|  WIKINIUM\_MATH\_PH\_323
 |

|  |  |  |
| --- | --- | --- |
|  |  |  |
|  |

 | **()** |

(**13**), (**16**), (**18**) ve (**19**)’den sonra kinetik ve potansiyel enerjinin hiperbol yörünge için

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_325
Eylemsizlik koordinat sistemiyle ilişkisi

|  |  |  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
|  WIKINIUM\_MATH\_PH\_327
 |

|  |  |  |
| --- | --- | --- |
|  |  |  |
|  |

 | **()** |

and from (**13**), (**16**), olan bir yörünge düzleminde pericentre’ye doğru (**18**) ve (**19**)’dan yapılan hız elementleri çıkarımı

|  |  |  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
|  WIKINIUM\_MATH\_PH\_329
 |

|  |  |  |
| --- | --- | --- |
|  |  |  |
|  |

 | **()** |

### Belirli bir başlangıç durumuna karşılık Kepler yörüngesinin belirlenmesi

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_331
Bu diferansiyel denklemi (**1**) için "başlangıç değeri problemi" dir ki 6 boyutlu bir durum vektöründe ilk denklemdir ve şöyle yazılır

|  |  |  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
|  WIKINIUM\_MATH\_PH\_333
 |

|  |  |  |
| --- | --- | --- |
|  |  |  |
|  |

 | **()** |

|  |  |  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
|  WIKINIUM\_MATH\_PH\_335
 |

|  |  |  |
| --- | --- | --- |
|  |  |  |
|  |

 | **()** |

Başlangıç değeri vektörünün herhangi bir değeri için, bu başlangıç değeri probleminin çözümüne uygun Kepler Yörüngesi aşağıdaki algoritmayla bulunur

Ortogonal birim vektörleri WIKINIUM\_MATH\_PH\_337 tanımalamak gerekirse

|  |  |  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
|  WIKINIUM\_MATH\_PH\_339
 |

|  |  |  |
| --- | --- | --- |
|  |  |  |
|  |

 | **()** |

|  |  |  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
|  WIKINIUM\_MATH\_PH\_341
 |

|  |  |  |
| --- | --- | --- |
|  |  |  |
|  |

 | **()** |

ve WIKINIUM\_MATH\_PH\_343 and WIKINIUM\_MATH\_PH\_345

(**13**), (**14**), (**18**) ve (**19**)’dan sonra sırasını takip eder.

1.

|  |  |  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
|  WIKINIUM\_MATH\_PH\_347
 |

|  |  |  |
| --- | --- | --- |
|  |  |  |
|  |

 | **()** |

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_349 and WIKINIUM\_MATH\_PH\_351 ‘yı tanımlarken

|  |  |  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
|  WIKINIUM\_MATH\_PH\_353
 |

|  |  |  |
| --- | --- | --- |
|  |  |  |
|  |

 | **()** |

|  |  |  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
|  WIKINIUM\_MATH\_PH\_355
 |

|  |  |  |
| --- | --- | --- |
|  |  |  |
|  |

 | **()** |

aşağıdakinin olduğu yerde

1.

|  |  |  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
|  WIKINIUM\_MATH\_PH\_357
 |

|  |  |  |
| --- | --- | --- |
|  |  |  |
|  |

 | **()** |

aynı *r*, WIKINIUM\_MATH\_PH\_359 and WIKINIUM\_MATH\_PH\_361 değerlerine sahip olan gerçek anomaliye sahip bir Kepler yörüngesi bulunur ve bu (**50**) ve (**51**)’de gösterilmiştir.

Eğer bu Kepler yörüngesi aynı vektörlerine sahipse ve gerçek anomalisi () ve ()de tanımladığı gibi ise, Kepler yörüngesinin WIKINIUM\_MATH\_PH\_363 vektörleri istenen değer olan WIKINIUM\_MATH\_PH\_365 ’yi gerçek anomalisi WIKINIUM\_MATH\_PH\_367 olmak üzere alır.

Standart atalet sabit koordinat sistemi WIKINIUM\_MATH\_PH\_369 yörüngesel düzlemde ( WIKINIUM\_MATH\_PH\_371 pericentre'nin homojen küresindin merkezinden gelecek şekilde) konik alanın oryantasyonunu belirliyorsa (elips, parabol, hiperbol), bu ilişkiyle hesaplanabilir.

1.

|  |  |  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
|  WIKINIUM\_MATH\_PH\_373
 |

|  |  |  |
| --- | --- | --- |
|  |  |  |
|  |

 | **()** |

1.

|  |  |  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
|  WIKINIUM\_MATH\_PH\_375
 |

|  |  |  |
| --- | --- | --- |
|  |  |  |
|  |

 | **()** |

(**53**) ve (**54**)’ün WIKINIUM\_MATH\_PH\_377 olduğu durumda bağlantılı olduğuna dikkat ediniz ve

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_379
örneğin

1.

|  |  |  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
|  WIKINIUM\_MATH\_PH\_381
 |

|  |  |  |
| --- | --- | --- |
|  |  |  |
|  |

 | **()** |

Diaresel bir yörüngeye uyan başlangıç durumunu WIKINIUM\_MATH\_PH\_383 gösterir.

### Oskülatör kepler yörüngesi

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_385 gibi herhangi bir durum vektörü için, bu durumdaki Kepler yörüngesi aşağıda tanımlanan algoritma ile hesaplanabilir. İlk parametreler WIKINIUM\_MATH\_PH\_387 ile belirlenir ve WIKINIUM\_MATH\_PH\_389 yörüngesel düzelemde ortogonal birim vektörleri de (**56**) ve (**57**) arasındaki ilişkiyi kullanarak bulunur.

Şimdi, eğer hareket denklemi aşağıdaki gibi ise

1.

|  |  |  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
|  WIKINIUM\_MATH\_PH\_391
 |

|  |  |  |
| --- | --- | --- |
|  |  |  |
|  |

 | **()** |

aşağıdakinin

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_393
bir fonksyion olup

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_395
aşağıdaki parametlere sahip olmaması gerekir.

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_397

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_399 tarafından tanımlanmış, zaman içinde değişecek olan durumlar, Keppler Yörüngesinin tersine yalnızca WIKINIUM\_MATH\_PH\_401 ’da değişecektir.

T zamanında bu şekilde "hareket denkleminin" çözümü olarak aynı "durum vektör" olan () 'da hesaplanan Kepler yörüngesi bu durumda "oskülatör" olduğu söylenebilir.
Bu konsept, şu durumda yararlıdır.

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_403
olmak üzere

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_405
küçük bir “bozucu güç”tür çünkü, bir örnekle açıklamak gerekirse diğer gök cisimlerinden sönük bir yer çekimi bu durumda örnek gösterilebilir. Oskülasyon halindeki Kepler yörüngesinin parametreleri, ancak o zaman yavaşça değişecek ve oskülasyon halindeki Kepler yörüngesi iyi bir tahminle oskülasyonun öncesinde ve sonrasında gerçek yörüngeye hatırı sayılır bir zaman diliminde girecektir.
Bu konsept aynı zamanda bir roket uçuşu için de faydalı olabilir çünkü itme kapatıldığı zaman hangi Keppler yörüngesinde devam edebileceği belirlenmiş olur.
“Daire olmaya yakın” bir yörünge konsepti için, dışmerkezli vektörü şeklinde tanımlamak yararlıdır. (**53**), (**54**) ve (**56**)’dan yola çıkarak:

|  |  |  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
|  WIKINIUM\_MATH\_PH\_407
 |

|  |  |  |
| --- | --- | --- |
|  |  |  |
|  |

 | **()** |

Örneğin WIKINIUM\_MATH\_PH\_409 durum vektörlerinin diferansiyel fonskyonlarıdır WIKINIUM\_MATH\_PH\_411 , ayrıca bu durum dairesel bir yörüngeye karşılık geliyor ise de geçerlidir.

## Ayrıca bakınız

* İki cisim problemi
* Kütleçekimsel iki cisim problemi
* Kepler problemi
* Kepler'in gezegensel hareket yasaları
* Eliptik yörünge
* Hiperbolik yörünge
* Kaçış yörüngesi

## Kaynakça

* El'Yasberg "Theory of flight of artificial earth satellites", Israel program for Scientific Translations (1967)
* Bate, Roger; Mueller, Donald; White, Jerry (1971). *Fundamentals of Astrodynamics*. Dover Publications, Inc., New York. ISBN 0-486-60061-0.
* Copernicus, Nicolaus (1952), "Book I, Chapter 4, The Movement of the Celestial Bodies Is Regular, Circular, and Everlasting-Or Else Compounded of Circular Movements", *On the Revolutions of the Heavenly Spheres*, Great Books of the Western World, **16**, Chicago: William Benton, ss. 497-838