# Radyan

| Radyan |
| --- |
|  |
| Genel bilgi |
| Birim sistemi | SI'dan türetilen birim |
| Neyin birimi | Açı |
| Sembol | rad, c |
| Birim dönüşümleri
  |
| 1 rad ... | *... eşittir ...* |
|  |
|   Derece |  ≈ 57.295779513° |
|   Devir |  ≈ 0.159154 devir |

**Radyan** (sembolü **rad**), Uluslararası Birimler Sistemi'nde (SI) yer alan açı birimidir ve matematiğin birçok alanında standart açısal ölçü birimi olarak kullanılmaktadır. Bir radyan, düzlemsel bir çemberin merkezinde, uzunluğu çemberin yarıçapına eşit olan bir yayın gördüğü açı olarak tanımlanır. Bu birim, SI tarafından hem düzlem açısı hem de faz açısı için tutarlı (koherent) ölçüm birimi olarak tanımlanmıştır. Özellikle matematiksel metinlerde, birimi açıkça belirtilmeyen açıların genel olarak radyan cinsinden ölçüldüğü kabul edilir.

## Tanım

Bir radyan, bir düzlem üzerindeki bir çemberin merkezinde, uzunluğu çemberin yarıçapına eşit olan bir yayın gördüğü açı olarak tanımlanır. Daha genel bir ifadeyle, bir yayı gören açının radyan cinsinden büyüklüğü, yay uzunluğunun çemberin yarıçapına olan oranına eşittir; yani WIKINIUM\_MATH\_PH\_0 . Burada WIKINIUM\_MATH\_PH\_2 gören açının radyan cinsinden büyüklüğü, WIKINIUM\_MATH\_PH\_4 yay uzunluğu ve WIKINIUM\_MATH\_PH\_6 ise yarıçaptır. Bir dik açı tam olarak WIKINIUM\_MATH\_PH\_8 radyandır.

Bir tam devire karşılık gelen açı, çevre uzunluğunun yarıçapa bölümüdür; bu da WIKINIUM\_MATH\_PH\_10 veya WIKINIUM\_MATH\_PH\_12 'dir. Dolayısıyla, WIKINIUM\_MATH\_PH\_14 radyan 360 dereceye eşittir. WIKINIUM\_MATH\_PH\_16 bağıntısı, yay uzunluğu formülü olan WIKINIUM\_MATH\_PH\_18 kullanılarak elde edilebilir. Radyan, uzunluğu çemberin yarıçapına eşit olan bir yayın gördüğü açının ölçüsü olduğundan, WIKINIUM\_MATH\_PH\_20 olur. Bu ifade daha da sadeleştirilerek WIKINIUM\_MATH\_PH\_22 şekline getirilebilir. Her iki tarafı da WIKINIUM\_MATH\_PH\_24 ile çarpmak WIKINIUM\_MATH\_PH\_26 eşitliğini verir.

### Birim sembolü

Uluslararası Ağırlıklar ve Ölçüler Bürosu ve Uluslararası Standartlar Örgütü, radyanın sembolü olarak WIKINIUM\_MATH\_PH\_28 ifadesini belirlemiştir. 1909'da kullanımda olan alternatif semboller arasında WIKINIUM\_MATH\_PH\_30 (İngilizce *dairesel ölçü* anlamına gelen "circular measure" ifadesine atfen), WIKINIUM\_MATH\_PH\_32 harfi veya WIKINIUM\_MATH\_PH\_34 bulunuyordu ancak bu varyantlar derece işareti ( WIKINIUM\_MATH\_PH\_36 ) veya yarıçap ( WIKINIUM\_MATH\_PH\_38 ) ile karıştırılabilecekleri için günümüzde nadiren kullanılmaktadır. Bu nedenle, 1,2 radyanlık bir açı günümüzde WIKINIUM\_MATH\_PH\_40 olarak yazılır.

Matematiksel metinlerde WIKINIUM\_MATH\_PH\_42 sembolü genellikle belirtilmez. Bir açı herhangi bir sembol olmadan ifade edildiğinde radyan cinsinden olduğu varsayılır; derece kastedildiğinde ise derece işareti olan WIKINIUM\_MATH\_PH\_44 kullanılır.

Burada yarıçapı bir olan ve böylece çevresi 2π olan bir daire ile gösterilmiştir.
Tam bir devrin radyan cinsinden büyüklüğü (360 derece) tüm çevrenin uzunluğu bölü yarıçaptır (ya da 2πr /r veya 2π). Dolayısıyla 2π radyan 360 dereceye eşittir. Bu, bir radyanın 180/π dereceye eşit olduğu anlamına gelir.

Tarihte bir açının derecesine karşı radyan ölçü kavramını 1714 yılında Roger Cotes ortaya koymuştu.[1][2] Radyanı, isim dışında her yönden açıkladı ve açısal ölçü birimi olarak doğallığını fark etti. Açıları yay uzunluğuna göre ölçme fikri diğer matematikçiler tarafından hâlihazırda kullanılıyordu. Örneğin al-Kashi (c. 1400) birim olarak çap bölümlerini kullandı, burada bir çap bölümü 1/60 radyan idi ve ayrıca çap bölümünün altmışlı kesirlik alt birimlerini de kullandılar.[3] Radyan terimi basılı bir yayında ilk olarak 5 Haziran 1873 tarihinde Queen's College, Belfast'ta James Thomson (Lord Kelvin'in kardeşi) tarafından hazırlanan sınav sorularında kullanıldı. O, bu terimi 1871'den beri kullanmaktaydı, bununla birlikte 1869 yılında, daha sonradan University of St Andrews'a giren Thomas Muir rad, radyal ve radyan terimleri arasında bocaladı. 1874 yılında Muir, James Thomson ile görüştükten sonra radyanı benimsedi. [4][5][6]

## Dönüştürmeler

### Radyan ile derece arasında dönüştürme

Derece-radyan dönüşüm şeması
Belirtildiği gibi bir radyan 180/π dereceye eşittir. Dolayısıyla, radyandan dereceye dönüştürmek için 180/π ile çarpın.

```
:  $s 6

```

Örneğin:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_48
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_50
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_52
Tersi durumda, dereceden radyana dönüştürmek için π/180 ile çarpın.

```
:  $s 4

```

Örneğin:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_56
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_58

Radyan sayısı 2π ‘ye bölünerek radyanlar ‘dönüş’lere (tam devirlere) dönüştürülebilir.

Radyandan dereceye dönüşüm türetmesi

Bir dairenin çevre uzunluğu ‘dir, burada dairenin yarıçapıdır.

Yani aşağıdaki denklik bağıntısı doğrudur:

360^\circ \iff 2\pi r [Çünkü 360 derecelik bir dönüş için tam bir daire çizmek gerekir]

Radyanın tanımına göre tam bir daire şöyle gösterilir:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_60
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_62
Yukarıdaki bağıntılar birleştirildiğinde:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_64
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_66
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_68
### Radyan ile grad arasında dönüştürme

2π radyan bir dönüşe eşittir. Bir dönüş ise 400 grad ‘dır (400g). Dolayısıyla radyandan grad ‘a dönüştürmek için WIKINIUM\_MATH\_PH\_70 ile çarpın ve grad ‘dan radyana dönüştürmek için WIKINIUM\_MATH\_PH\_72 ile çarpın.

Örneğin,

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_74
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_76
### Bazı yaygın açıların dönüştürülmesi

Tabloda bazı yaygın açıların dönüştürülmesi gösterilmektedir.

| Birimler | Değerler
 |
| --- | --- |
| **Devir** | 0
 | 1/24 | 1/12 | 1/10 | 1/8 | 1/6 | 1/5 | 1/4 | 1/3 | 2/5 | 1/2 | 3/4 | 1
 |
| **Radyan** | 0
 | 1/12π
 | 1/6π
 | 1/5π
 | 1/4π
 | 1/3π
 | 2/5π
 | 1/2π
 | 2/3π
 | 4/5π
 | π
 | 3/2π
 | 2π
 |
| **Derece** | 0°
 | 15°
 | 30°
 | 36°
 | 45°
 | 60°
 | 72°
 | 90°
 | 120°
 | 144°
 | 180°
 | 270°
 | 360°
 |
| **Grad** | 0g | 16 2/3g | 33 1/3g | 40g | 50g | 66 2/3g | 80g | 100g | 133 1/3g | 160g | 200g | 300g | 400g |

## Radyan olarak ölçmenin avantajları

Bazı yaygın açılar radyan cinsinden ölçülür. Bu diyagramdaki tüm büyük çokgenler düzgün çokgenlerdir.
Kalkulusta ve matematiğin pratik geometrinin ötesindeki diğer birçok dalında açılar evrensel olarak radyan cinsinden ölçülür. Bunun nedeni radyanın matematiksel bir "doğallığa" sahip olmasıdır. Bu doğallık, bir dizi önemli sonucun daha zarif bir şekilde formüle edilebilmesine olanak verir.

En dikkat çekici olan şudur ki trigonometrik fonksiyonlar içeren analizlerin sonuçları, fonksiyonların argümanları radyan cinsinden ifade edildiğinde basit ve zariftir. Örneğin radyan kullanımı,

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_78
dahil olmak üzere matematikteki birçok kimliğin temeli olan basit limit formülüne olanak verir:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_80
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_82
Bunlar ve diğer özellikler nedeniyle, fonksiyonların geometrik anlamları ile açıkça ilgili olmayan matematiksel problemlerin çözümlerinde trigonometrik fonksiyonlar görünür.

(örneğin, WIKINIUM\_MATH\_PH\_84 diferansiyel denkleminin çözümleri WIKINIUM\_MATH\_PH\_86 , integralinin değerlendirilmesi vb.).Tüm bu durumlarda, fonksiyon argümanlarının en doğal olarak açıların radyan ölçümüne geometrik bağlamlarda karşılık gelen biçimde yazıldığı tespit edilmiştir.

Trigonometrik fonksiyonlar, radyanlar kullanıldığında ayrıca basit ve zarif dizi açılımlarına da sahiptir; örneğin sin x için aşağıdaki Taylor dizisi:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_88
Eğer x derece olarak ifade edilseydi dizi, π/180 ‘in kuvvetlerini içeren karışık faktörler ihtiva edecekti: x derece sayısı ise radyan sayısı y = πx /180 olur, dolayısıyla:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_90
Sinüs ve kosinüs fonksiyonları arasındaki matematiksel olarak önemli ilişkiler ve üstel fonksiyonlar da (örnek olarak bkz: Euler formülü) fonksiyonların argümanları radyan ise zariftir, diğer türlü ise karmaşıktır.

## Boyutsal analiz

Radyan, ölçü birimi olmasına rağmen boyutsuz bir miktardır. Bu, daha önce verilen tanımda görülebilir: bir dairenin merkezinden uzanan ve radyan olarak ölçülen bir açı, kapalı yayın uzunluğunun dairenin yarıçap uzunluğuna olan oranına eşittir. Birimler birbirini götürdüğünden bu oran boyutsuzdur.

Polar ve küresel koordinatlar koordinatları iki ve üç boyutlu tanımlamak için radyanlar kullandığı halde birim, yarıçap koordinatından türetilmiştir, böylece açı ölçüsü hala boyutsuzdur.[7]

## Fizikte kullanım

Radyan, açısal ölçümler gerektiğinde fizikte yaygın olarak kullanılır. Örneğin açısal hız, tipik olarak saniyede radyan (rad/s) cinsinden ölçülür. Saniyede bir devir, saniyede 2π radyana eşittir.

Benzer şekilde açısal ivme çoğu zaman saniye kare başına radyan (rad/s2) cinsinden ifade edilir.

Boyutsal analiz amacıyla, birimler sırasıyla s−1 ve s−2 dir.

Aynı şekilde, iki dalganın faz farkı da radyan cinsinden ölçülebilir. Örneğin, iki dalganın faz farkı (k·2π) radyan ise (k bir tam sayı) bunların fazda olduğu kabul edilir, bunun yanında eğer iki dalganın faz farkı (k·2π + π) ise (k bir tam sayı) bunların anti-fazda olduğu kabul edilir.

## Radyan birimlerin katları

Metrik ön eklerde radyan kullanımı sınırlıdır ve matematikte hiç yoktur. bir mili-radyan (mrad) bir radyanın binde biridir ve bir mikroradyan (urad ya da μrad) bir radyanın milyonda biridir, yani 103 mrad = 106 urad = 1 rad. Bir dairede 2π × 1000 mili-radyan (≈ 6283.185 mrad) vardır. Böylece trigonometrik bir mili-radyan bir dairenin 1⁄6283 ‘ünün hemen altındadır. Bir dairenin açısal ölçümünün bu "gerçek" trigonometrik birimi (Stadiametrik) menzil bulucu kullanan teleskobik görüş üreticileri tarafından kullanılmaktadır. Lazer ışınlarının sapması da genellikle mili-radyan cinsinden ölçülür. Trigonometrik mili-radyanın (0.001 rad) (açısal) mil olarak bilinen bir yaklaştırması NATO ve diğer askeri kuruluşlar tarafından atış tekniği ve hedeflemede kullanılmaktadır. Her açısal mil bir dairenin 1⁄6400 'ünü temsil eder ve trigonometrik mili-radyandan 1-⅞% daha küçüktür. Genelde hedefleme işlerinde bulunan küçük açılar için hesaplamada 6400 sayısını kullanma kolaylığı, neden olduğu küçük matematiksel hatalardan ağır basar. Geçmişte diğer atış tekniği sistemlerinde 1⁄2000π'e farklı yaklaştırmalar kullanmıştır. Örneğin İsveç 1⁄6300 'i kullanmıştır ve SSCB 1⁄6000'i kullanmıştır. Mili-radyana dayalı olarak NATO mili 1000 m 'lik bir menzilde kabaca 1 m 'dir (bu kadar küçük açılarda eğrilik ihmal edilebilir).

Mikroradyan (μrad) ve nanoradyan (nrad) gibi küçük birimler astronomide kullanılır ve aynı zamanda lazerlerin ışın kalitesini ultra-düşük sapma ile ölçmek için de kullanılabilir. Benzer şekilde, mili- 'den daha küçük önekler son derece küçük açıların ölçülmesinde potansiyel olarak kullanışlıdır.

## Kaynakça

## Dış bağlantılar

Vikisözlük'te radyan ile ilgili tanım bulabilirsiniz.

* Radian12 Temmuz 2017 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi. at MathWorld