# Heometriya

Isang ilustrasyon ng teorema ni Desargues na isang mahalagang resulta ng heometriyang Euclidyano at prohektibo.
Ang **heometriya** o **sukgisan** (Sinaunang Griyego: γεωμετρία; *geo-* "daigdig", *-metron* "pagsukat") ay isang sangay ng matematika na umuukol sa mga tanong ng hugis, sukat, relatibong posisyon ng mga pigura at mga katangian ng espasyo. Ang isang matematiko na gumagawa sa larangan ng heometriya ay tinatawag na *heometro* (geometer). Ang heometriya ay lumitaw ng independiyente sa isang bilang ng mga sinaunang kultura bilang isang katawan ng praktikal na kaalaman na umuukol sa haba (length), mga area, at mga bolyum na ang mga elemento ng isang pormal na agham matematikal ay lumitaw sa Kanluran noong panahon ni Thales (ika-6 siglo BCE). Noong mga ika-3 siglo BCE, ang heometriya ay inilagay sa isang anyong aksiyomatiko ni Euclid na ang pagtatrato na heometriyang Euclidyano ang nagtakda ng pamantayan para sa mga sumunod na siglo. Si Archimedes ay bumuo ng mga malikhaing pamamaraan para sa pagkukwenta ng mga area at bolyum na sa maraming paraan ay nakakita sa kalkulong integral. Ang larangan ng astronomiya lalo na ang pagmamapa ng mga posisyon ng mga bituin at planeta sa sperong kalawakan at sa paglalarawan ng relasyon sa pagitan ng mga galaw ng mga katawang pangkalawakan ay nagsilbi bilang mahalagang pinagkunan ng mga problemang heometriko sa sumunod na isa at kalahating millenia. Ang parehong heometriya at astronomiya ay isinaalang alang sa klasikong daigdig na bahagi ng Quadrivium na isang pang-ilalim na mga sining liberal na itinuring na mahalagang madalubhasa ng isang malayang mamamayan. Ang pagpapakilala ng mga koordinado ni René Descartes at ang sabay na mga pag-unlad ng alhebra ay nagmarka sa isang bagong yugto ng heometriya dahil ang mga pigurang heometriko gaya ng mga ng mga kurbang plano ay maaari na ngayong ikatawan ng analitiko. Ito ay gumampan ng isang mahalagang papel sa pag-ahon ng kalkulong inpinetisimal noong ika-17 siglo. Sa karagdagan, ang teoriya ng perspektibo ay nagpakitang mayroon higit sa heometriya kesa lamang sa mga katangiang metriko ng mga pigura. Ang perspektibo ang pinagmulan ng heometriyang prohektibo. Ang paksa ng heomeriya ay karagdagang pinayaman ng pag-aaral ng mga likas na istraktura ng mga obhektong heometriko na nagmula kay Euler at Gauss at tumungo sa pagkakalikha ng topolohiya at diperensiyal na heometriya. Sa panahon ni Euclid, walang maliwanag na distinksiyon sa pagitan ng espasyong pisikal at espasyong heometrikal. Simula ika-19 siglo, ang pagkakatuklas ng heometriyang di-Euclidyano na konsepto ng espasyo ay sumailalim sa isang radikal na transpormasyon at ang tanong ay lumitaw: *aling espasyong heometrikal ang mahusay na umaangkop sa espasyong pisikal?* Sa paglitaw ng matematikal pormal noong ika-20 siglo, ang espasyo, punto, linya at plano ay nawalan rin ng mga nilalamang intuitibo nito kaya ngayon ay kailangan nating itangi ang pagitan ng espasyong pisikal, mga espasyong heometrikal (kung saan ang espasyo, punto etc ay mayroon pa ring kahulugang intuitibo nito) at mga espasyong abstrakto. Ang kontemporaryong heometriya ay nagsaalang alang ng mga manipoldo na mga espasyong labis na mas abstrakto kesa sa espasyong Euclidyano na tanging pagtatantiyang katulad ng mga ito sa mga iskalang maliit. Ang mga espasyong ito ay maaaring pagkaloob ng karagdagang istrktura na ang halimbaw ay ang mga ugnayan sa pagitan ng heometriyang pseudo-Riemannian at pangkalahatang relatibidad. Ang isa sa pinakabatang mga teoriya ng pisika na teoriya ng tali ay labis na heometriko rin sa lasa. Bagaman ang kalikasang biswal ng heometriya ay gumagawa ritong inisyal na malalapitan kesa sa ibang mga bahagi ng matematika gaya ng alhebra o teoriya ng bilang, ang wikang heometriko ay ginagamit rin sa kontekstrong malayo sa tradisyonal na probenansiyang Euclidyano (halimbawa sa heometriyang praktal) at heometriyang alhebraiko.

## Buod

Patunay na biswal ng teoremang Pythagorean para sa tatsulok na (3, 4, 5) gaya ng sa Chou Pei Suan Ching.
Ang itinalang pag-unlad ng heometriya ay sumasaklaw sa higit sa dalawang millenia. Bahagyang nakapagtataka na ang mga persepsiyon kung ano ang bumubuo sa heometriya ay nag-evolve sa loob ng mga panahon.

### Heometriyang praktikal

Ang heometriya ay nagmula sa isang praktikal na agham na umuukol sa pagsu-survey, pagsukat, mga area at bolyum. Sa mga kilalang nagawa, ang isa ay makahahanap ng mga pormula para sa mga haba, area at bolyum gaya ng sa teoremang Pythagorean, sirkumperensiya at area ng disko, area ng tatsulok, bolyum ng isang silindro, spero at pyramid. Ang isang paraan ng pagkukwenta ng ilang mga hindi makukuhang distansiya o taas ay batay sa pagkakapareho ng mga pigurang heometriko ay itinuro kay Thales. Ang pag-unlad ng astronomiya ay tumungo sa paglitaw ng trigonometriya at trigonometriyang sperikal kasama ng tumutulong na mga pamamaraang komputasyonal.

### Heometriyang aksiyomatiko

Isang ilustrasyon ng postuladong parallelo ni Euclid.
Si Euclid ay kumuha ng isang mas abstraktong pakikitungo sa kanyang akdang *Mga Elemento* na isa sa pinakamaimpluwensiya *(influential)* na mga aklat na kailanman isinulat. Ipinakilala ni Euclid ang ilang mga aksiyoma o mga postulado na naghahayag ng pangunahin o ebidente sa sariling mga katangian ng mga punto, linya at plano. Siya ay nagpatuloy sa mahigpit na paghihinuha ng ibang mga katangian sa pamamagitan ng pangangatwirang matematikal. Ang natatanging katangian ng pakikitungo ni Euclid ay ang pagiging mahigpit nito at ito ay nakilala bilang heometriyang aksiyomatiko o heometriyang sintetiko. Sa simula nang ika-19 siglo, ang pagkakatuklas ng mga heometriyang di-Euclidyano nina Gauss, Lobachevsky, Bolyai at iba pa ay tumungo sa muling pagbuhay ng interes at noong ika-20 siglo, si David Hilbert ay gumamit ng pangangatwirang aksiyomatiko sa pagtatangka sa magbigay ng isang modernong saligan ng heometriya.

Mga aralin ng heometriya noong ika-20 siglo.
### Mga konstruksiyong heometriko

Ang mga klasikong heometro ay nagbigay ng espesyal na atensiyon sa pagtatayo ng mga obhektong heometriko na inilarawan sa ibang paraan. Sa klasiko, ang tanging mga instrumentong pinayagan sa mga konstruksiyong heometriko ang kompas at ruler. Gayundin, ang bawat konstruksiyon ay dapat kumpleto sa isang may hangganang bilang ng mga hakbang. Gayunpaman, ang ilang mga problema ay lumabas na mahirap o imposibleng malutas ng tanging mga paraang ito at ang mga malikhaing konstruksiyon gamit ang mga parabola at iba pang mga kurba gayundin din ang mga kasangkapang mekanikal ay natagpuan.

### Mga bilang sa heometriya

Sa sinaunang Gresya, ang mga Pythagorean ay nagsaalang-alang ng papel ng mga bilang sa heometriya. Gayunpaman, ang pagkakatuklas ng mga hindi komensurableng mga haba na sumalungat sa kanilang mga pananaw pilosopikal ay gumawa sa kanilang paglisan sa mga abstraktong bilang at pumabor sa mga konkretong kantidad na heometriko gaya ng haba at area ng mga pigura. Ang mga bilang ay muling ipinakilala sa heometriya sa anyo ng mga koordinado ni Descartes na nakatanto na ang pag-aaral ng mga hugis heometriko ay maaaring tumulong sa representasyong alhebraiko ng mga ito at siyang pinangalanan ng planong Cartesian. Ang heometriyang analitiko ay naglalapat ng mga pamamaraan ng alhebra sa mga tanong na heometriko na karaniwan sa pamamagitan ng pag-uugnay ng mga kurbang heometriko at mga ekwasyong alhebraiko. Ang mga ideyang ito ay gumampan ng isang mahalagang papel sa pagpapaunlad ng kalkulo noong ika-17 siglo at tumungo sa pagkakatuklas ng maraming mga bagong katangian ng mga kurbang plano. Ang modernong heometriyang alhebraiko ay nagsasaalang alang ng parehong mga tanong sa isang malawak na mas abstraktong lebel.

### Heometriya ng posisyon

Kahit sa mga sinaunang panahon, ang mga heometro ay nagsaalang alang ng mga tanong ng relatibong posisyon o relasyong pang-espasyo ng mga pigura at hugis na heometriko. Ang ilang mga halimbawa ay ibinigay ng mga naka inskriba at nakasirkumskribang mga bilog ng mga poligon, mga linyang bumabagtas at tangent sa mga seksiyong koniko at mga konpigurasyong Pappus at Menelaus ng mga punto at linya. Sa Gitnang mga Panahon, ang bago at mas komplikadong mga tanong ng uring ito ay isinaalang alang:*Ano ang maksimum na bilang ng mga spero na sabay na humihipo sa isang ibinigay na spero ng parehong radius*? (problemang humahalik na bilang) *Ano ang pinakasiksik na pagpapake ng spero ng magkatumbas na sukat sa espasyo?* (konhekturang Kepler) Ang karamihan sa mga tanong na ito ay kinasasangkutan ng mga mahigpit na hugis heometrikal gaya ng mga linya o spero. Ang heometriyang prohektibo, konbeks at diskreto ang tatlong mga pang-ilalim na mga disiplina sa loob ng kasalukuyang heometriya na umuukol sa mga ito at mga kaugnay na tanong. Si Leonhard Euler sa kanyang pag-aaral ng mga problema tulad ng Mga Pitong Tulay ng Königsberg ay nagsaalang alang ng pinaka pundamental na mga katangian ng mga pigurang heometrika na batay lamang sa hugis na hindi nakasalalay sa mga katangiang metriko ng mga ito. Tinawag ni Euler ang bagong sangay na ito ng heometriya na *geometria situs* (heometriya ng lugar) na kilala na ngayon bilang topolihiya. Ito ay hindi nagtatangi sa pagitan ng mga obheto na maaaring tuloy tuloy na ideporma sa bawat isa. Gayunpaman, ang mga obhekto ay nagpapanatili ng ilang heometriya gaya ng sa kaso ng mga buhol na hiperboliko.

### Heometriyang lagpas kay Euclid

Ang diperensiyal na heometriya ay gumagamit ng mga kasangkapan mula sa kalkulo upang pag-aralan ang mga problema sa heometriya.
Sa halos mga dalawang libong taon mula kay Euclid, bagaman ang saklaw ng mga tanong heometrikal na itinanong at sinagot ay hindi maiiwasang lumawig, ang basikong pagkaunawa ng espasyo ay nanatiling likas na pareho. Si Immanuel Kant ay nangatwirang may isa lamang absolutong heometriya na alam na totoong a prior ng isang panloob na pakultad ng isip: ang heometriyang Euclidyano ay sintetiko a prior. Ang nananaig na pananaw na ito ay pinataob ng rebolusyonaryong pagkakatuklas ng heometriyang hindi Euclidyano sa mga akda ni Gauss (na hindi kailanman naglimbag ng kanyang teoriya) gayundin nina Bolyai at Lobachevsky na nagpakitang ang ordinaryong espasyong Euclidyano ang tanging isang posibilidad para sa pag-unlad ng heometriya. Ang isang malawak na pangitain ng paksa ng heometriya ay inihayag ni Riemann sa kanyang inaugurasyong pagtuturo noong 1867 na *Über die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen* (Tungkol sa mga hipotesis kung saan ang heometriyay nakabatay) na inilimbag lamang pagkatapos ng kanyang kamatayan. Ang bagong ideya ni Riemann ng espasyo ay napatunayang mahalaga sa pangkalahatang relatibidad ni Albert Einstein at ang heometriyang Riemannian na nagsasaalang alang ng labis na pangkalahatang mga espasyo kung saan ang nosyon ng haba ay inilalarawan ay saligan ng modernong heometriya.

### Dimensiyon

Kung saan ang tradisyonal na heometriya ay pumapayag sa mga dimensiyong 1 (isang linya), 2 (isang plano) at 3 (ating daigdig na naunawaan bilang tatlong dimensiyonal na espasyo), ang mga matematiko ay gumamit ng mga mas mataas na dimensiyon sa loob ng halos 200 siglo. Ang dimensiyon ay sumailalim sa mga yugto ng pagiging anumang natural na bilang na *n* na posibleng walang hangganan sa pagpapakilala ng espasyong Hilbert at anumang positibong real na bilang sa heometriyang praktal. Ang teoriyang dimensiyon ay isang ideyang teknikal na sa simula ay sa loob ng pangkalahatang topolohiya na tumatalakay sa mga depinisyon. Sang ayon sa karamihang mga ideyang matematikal, ang dimensiyon ay inilalarawan na ngayon imbis na isang intuisyon. Ang konektadong mga manipoldong topolohikal ay may isang mahusay na nilalarawang dimensiyon. Ito ang teorema ng inbariansa ng sakop kesa sa anumang *a priori*. Ang isyu ng dimensiyon ay mahalaga pa rin sa heometriya sa kawalan ng mga kompletong sagot sa mga klasikong tanong. Ang mga dimensiyong 3 ng espasyo at 4 ng espasyo-panahon ay mga espesyal na kaso sa topolohiyang heometriko. Ang dimensiyong 10 o 11 ay isang mahalagang bilang sa teoriya ng tali. Ang pagsasaliksik ay maaaring magdala ng isang nakasasapat na dahilang heometriko para sa kahalagahan mga dimensiyong 10 o 11.

### Simetriya

Isang tiling ng planong hiperboliko.
Ang tema ng simetriya sa heometriya ay halos kasing tanda ng mismong agham ng heometriya. Ang mga hugis simetriko gaya ng bilog, mga regular na poligon at mga solidong platoniko ay humawak ng malalim na kahalagahan para sa maraming mga sinaunang pilosopo at inimbestighan sa detalye bago ang panahon ni Euclid. Ang mga paternong simetriko ay nangyayari sa kalikasan at artistikong iginuhit sa maraming mga anyo kabilang ang mga grapika ni M. C. Escher. Gayunpaman, hanggang sa ikalawang kalahati ng ika-19 siglo lamang nang ang nagpapaisang papel ng simetriya sa mga pundasyon ng heometriya ay nakilala. Ang programang Erlangen ni Felix Klein ay naghayag na sa isang napaka tumpak na kahulugan, ang simetriya na inihayag sa pamamagitan ng nosyon ng isang transpormasyong grupo ay tumutukoy sa kung ano ang heometriya. Ang simetriya sa klasikong heometriyang Euclidyano ay kinakatawan ng mga kongruensa at mga matibay na mosyon samantalang ang heometriyang prohektibo na analogosong papel na ginamapanan ng mga kolineayasyon na mga transpormasyong heometriko na kumukuha ng mga linyang tuwid. Gayunpaman, sa mga bagong heometriya nina Bolyai at Lobachevsky, Riemann, Clifford at Klein, at Sophus Lie na ang ideya ni Klein upang ilarawan ang heometriya sa pamaamgitan ng mga grupong simetriya nito ay napatunayang napakamaimpluwensiya *(influential)*. Ang parehong mga simetriyang diskreto at tuloy tuloy ay gumagampan ng mga papel sa heometriya, ang una ay sa topolohiya at teoriyang grupong heometriko at ang huli ay sa teoriyang Lie at heometriyang Riemannian. Ang isang ibang uri ng simetriya ang prinsipyo ng dualidad sa heometriyang prohektibo kasama ng ibang mga larangan. Ang meta-phenomenon na ito ay halos mailalarawan bilang sumusunod: sa anumang teorema, ipalit ang *punto* sa *plano*, *pagsanib* sa *pagtatagpo*, *nasa* sa *naglalaman* at ikaw ay makakakuha ng magkatumbas na totoong teorema. Ang isang katulad at malapit na kaugnay na anyo ng dualidad ay umiiral sa pagitan ng isang espasyong bektor at espasyong dual nito.

## Kontemporaryong heometriya

### Heometriyang Euclidyano

Ang 421politopo na ortogonal na minapa sa E8 grupong Lie planong Coxeter
Ang heometriyang Euclidyano ay naging malapit na kaugnay ng heometriyang komputasyonal, grapikang kompyuter, heometriyang konbeks, heometriyang diskreto at ilang mga sakop ng kombinatorika. Ang momentum ay ibinigay sa karagdagang akda sa heometriyang Euclidyano at ang mga grupong Euclidyano ng kristalograpiya at sa akda ni H. S. M. Coxeter at maaaring makita sa mga teoriya ng nga grupong Coxeter at mga politopo. Ang teoriyang grupong heometriko ay isang lumalawig na sakop ng teoriya ng mas pangkalahatang mga grupong diskreto na humahango sa mga modelong heometriko at mga pamamaraang alhebraiko.

### Heometriyang diperensiyal

Ang heometriyang diperensiyal ay naging ng tumataas na kahalagahan sa pisikang matematikal sanhi ng postulasyon ng pangkalahatang relatibidad ni Albert Einstein na ang uniberso ay naka-kurba. Ang kontemporaryong heometriyang diperensiyal ay likas na nangangahulugang ang mga espasyong isinasaalang alang nito ay mga manipoldong makinis ang istrakturang heometriko ay pinangangasiwaan ng isang metrikong Riemannian na tumutukoy sa kung paanong ang mga distansiya ay nasusukat malapit sa bawat punto at hindi ang mga bahaging a priori ng ilang pangkapaligirang patag na espasyong Euclidyano.

### Topolohiya at heometriya

Ang pagkapal ng isang buhol na trefoil.
Ang larangan ng topolohiya na nakakita ng malaking pag-unlad noong ika-20 siglo ay sa teknikal na kahulugan isang uri ng heometriyang transpormasyon kung saan ang mga transpormasyon ay mga homeomorpismo. Ito ay kadalasang inihahayag sa anyo ng dictum na 'ang topolohiya ay isang heometriyang gomang kumot'. Ang kontemporaryong topolohiyang heometriko at topolohiyang diperensiyal at mga partikular na pang-ilalim na larangan gaya ng teoriyang Morse ay mabibilang ng karamihang mga matematiko bilang bahagi ng heometriya. Ang topolohiyang alhebraiko at pangkalahatang topolohiya ay tumungo sa kanilang mga sariling landas.

### Heometrikang alhebraiko

Kwintikong manipoldong Calabi–Yau
Ang larangan ng heometrikang alhebraiko ang modernong inkarnasyon ng heomeriyang Cartesian ng mga koordinado. Mula huli hanggang 1950 hanggang gitna nang 1970, ito ay sumailalim sa malaking mga pang pundasyong pag-unlad na malaking sanhi ng akda nina Jean-Pierre Serre at Alexander Grothendieck. Ito ay tumungo sa pagpapakilala ng mga skema at mas malaking pagbibigay diin sa mga pamamaraang topolohikal kabilang ang iba't ibang mga teoriyang cohomolohiya. Ang pag-aaral ng mababang dimensiyonal na mga bariedad na alhebraiko na mga kurbang alhebraiko, mga surpasyong alhebraiko at mga bariedad na alhebraiko ng dimensiyong 3 ay isinulong. Ang teoriyang basehang Gröbner at real na heometriyang alhebraiko ay kasama sa mga mas nilalapat na pang-ilalim na larangan ng modernong heometriyang alhebraiko. Ang heometriyang aritmetiko ay isang aktibong larangan na nagsasama ng heometriyang alhebraiko at teoriya ng bilang. Ang ibang mga direksiyon ng pagsasaliksik ay kinasasangkutan ng mga espasyong moduli at heometriyang kompleks. Ang mga pamamaraang alhebro-heometriko ay karaniwang inilalapat sa teoriya ng tali at teoriya ng brano.

## Mga sanggunian