# ฟังก์ชันแกมมา

กราฟของฟังก์ชันแกมมาบนระนาบจำนวนจริง
**ฟังก์ชันแกมมา** (อังกฤษ: *Gamma function*) เป็นฟังก์ชันทางคณิตศาสตร์ที่เป็นส่วนขยายของฟังก์ชันแฟกทอเรียลบนจำนวนเชิงซ้อน หรือสามารถกล่าวได้อีกอย่างหนึ่งว่า ฟังก์ชันแกมมาเป็นการเติมเต็มฟังก์ชันแฟกทอเรียลของค่า *n* ที่ไม่ใช่จำนวนเต็มบวกหรือศูนย์ สำหรับจำนวนเชิงซ้อน *z* ซึ่งส่วนจริงเป็นค่าบวก ได้นิยามไว้ว่า

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_0
นิยามดังกล่าวทำให้ผลลัพธ์สามารถขยายไปได้ถึงระนาบจำนวนเชิงซ้อน ยกเว้นเมื่อส่วนจริงเป็นจำนวนเต็มลบ สำหรับกรณีถ้า *z* มีค่าเป็นจำนวนเต็มบวก จะได้

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_2
ซึ่งแสดงให้เห็นว่ามีความเกี่ยวข้องกับฟังก์ชันแฟกทอเรียล

ฟังก์ชันแกมมาเป็นองค์ประกอบหนึ่งในฟังก์ชันที่เกี่ยวกับการกระจายและความน่าจะเป็นหลากหลายฟังก์ชัน นั่นหมายความว่าฟังก์ชันนี้นำไปใช้ได้ในเรื่องของความน่าจะเป็นและสถิติ

## นิยาม

### นิยามหลัก

ส่วนขยายของฟังก์ชันแกมมาบนระนาบจำนวนเชิงซ้อน
สัญกรณ์ Γ (*z*) กำหนดขึ้นโดยอาเดรียง-มารี เลอช็องดร์ (Adrien-Marie Legendre) ซึ่งใช้อักษรกรีก แกมมา ตัวใหญ่ (Γ) แทนชื่อฟังก์ชัน โดยนิยามไว้ว่า ถ้าส่วนจริงของจำนวนเชิงซ้อน *z* เป็นค่าบวก (ℜ{*z*} > 0) ดังนั้นปริพันธ์นี้

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_4
จะลู่เข้าสัมบูรณ์ โดยการหาปริพันธ์ทีละส่วนจะสามารถแสดงได้ว่า

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_6
สมการเชิงฟังก์ชันนี้เป็นข้อสรุปทั่วไปสำหรับความสัมพันธ์ *n*! = *n* (*n* − 1) ! ของฟังก์ชันแฟกทอเรียล เราสามารถวิเคราะห์การประเมินค่าของ Γ (1) ได้ว่า

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_8
โดยการรวมความสัมพันธ์ข้างต้นสองประการ แสดงให้เห็นว่าฟังก์ชันแฟกทอเรียลเป็นกรณีพิเศษอันหนึ่งของฟังก์ชันแกมมา ดังนี้

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_10
สำหรับทุกค่า *n* ที่เป็นจำนวนธรรมชาติ ตัวอย่างเช่น Γ (5) = 4! เป็นต้น

ค่าสัมบูรณ์ของฟังก์ชันแกมมาบนระนาบจำนวนเชิงซ้อน
ความสัมพันธ์ดังกล่าวสามารถจัดเป็นฟังก์ชันมีโรมอร์ฟิก (meromorphic function) บนค่า *x* โดยมีโพล อยู่บน *x* = −*n* (เมื่อ *n* = 0, 1, 2, 3, ...) และมี ส่วนตกค้าง อยู่ที่ WIKINIUM\_MATH\_PH\_12 ดังนั้นเราจะสามารถขยาย Γ (*z*) ไปเป็นฟังก์ชันมีโรมอร์ฟิกโดยนิยามให้มีค่าสำหรับทุกๆ ค่า *z* ที่เป็นจำนวนเชิงซ้อน ยกเว้นเมื่อ *z* = 0, −1, −2, −3, ... ตามการต่อเนื่องวิเคราะห์ (analytic continuation) ซึ่งส่วนขยายดังกล่าวมักเป็นการอ้างถึงฟังก์ชันแกมมาโดยปกติ

### นิยามแบบอื่น

เลออนฮาร์ด ออยเลอร์ และคาร์ล ไวแยร์สตราสส์ (Karl Weierstrass) ได้นิยามฟังก์ชันแกมมาโดยใช้ผลคูณอนันต์ ตามลำดับดังนี้

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_14
เมื่อ γ คือค่าคงที่ออยเลอร์-แมสเชโรนี ซึ่งสามารถใช้ได้กับทุกค่าของจำนวนเชิงซ้อน *z* ที่ไม่เท่ากับจำนวนเต็มลบหรือศูนย์

เราสามารถแสดงให้เห็นอย่างตรงไปตรงมาว่า นิยามของออยเลอร์สอดคล้องกับสมการเชิงฟังก์ชัน (1) ด้านบน เมื่อ *z* ไม่เท่ากับ 0, −1, −2, ...

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_16
## คุณสมบัติ

### คุณสมบัติทั่วไป

สมการเชิงฟังก์ชันอื่นสำหรับฟังก์ชันแกมมาที่สำคัญคือ สูตรการสะท้อนของออยเลอร์ (Euler's reflection formula)

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_18
และ สูตรการทำซ้ำ (duplication formula)

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_20
ซึ่งสูตรการทำซ้ำเป็นกรณีพิเศษกรณีหนึ่งของทฤษฎีบทการคูณ (multiplication theorem) ที่ว่า

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_22
อนึ่ง ค่าของฟังก์ชันแกมมา ซึ่งตัวแปรต้นไม่ได้เป็นจำนวนเต็ม ที่เป็นที่รู้จักมากที่สุดคือ

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_24
สามารถหาได้จากการแทนค่า *z* = 1/2 ลงในสูตรการสะท้อนด้านบน หรือจากฟังก์ชันบีตาโดยผ่านค่า (1/2, 1/2) ลงไป ซึ่งจะได้ผลลัพธ์ออกมาเท่ากับ π โดยทั่วไปแล้ว หากเราให้ *n* เป็นจำนวนคี่ เราจะได้คุณสมบัติอีกอย่างหนึ่งคือ

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_26
เมื่อ *n*!! หมายถึงดับเบิลแฟกทอเรียล

อนุพันธ์ของฟังก์ชันแกมมา สามารถอธิบายได้ในนิพจน์ของฟังก์ชันโพลีแกมมา ดังตัวอย่าง

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_28
ฟังก์ชันแกมมามีโพล (pole) อันดับ 1 อยู่ที่ *z* = −*n* สำหรับทุกค่าของ *n* ที่เป็นจำนวนธรรมชาติ และส่วนตกค้าง (residue) มีค่าเท่ากับ

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_30
ทฤษฎีบทบอร์-โมลเลอรัประบุว่า ในบรรดาฟังก์ชันทั้งหมดที่ขยายมาจากฟังก์ชันแฟกทอเรียลบนจำนวนจริงบวก มีเพียงฟังก์ชันแกมมาเท่านั้นที่เป็นฟังก์ชันคอนเวกซ์แบบลอการิทึม (logarithmically convex function) ซึ่งหมายความว่า ลอการิทึมธรรมชาติของฟังก์ชันแกมมาเป็นฟังก์ชันคอนเวกซ์ (convex function)

### ฟังก์ชันพาย

สัญกรณ์อีกรูปแบบหนึ่งซึ่งนำเสนอโดยคาร์ล ฟรีดริช เกาส์ คือ **ฟังก์ชันพาย** (Pi function, *P ตัวใหญ่*) ใช้อธิบายนิพจน์ของฟังก์ชันแกมมาว่า

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_32
ดังนั้น

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_34
โดยการใช้ฟังก์ชันพาย เราจึงสามารถเขียนสูตรการสะท้อนได้อีกรูปแบบหนึ่งดังนี้

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_36
เมื่อ "sinc" หมายถึงฟังก์ชันไซน์คาร์ดินัลแบบบรรทัดฐาน (normalized sinc function) ในขณะที่ทฤษฎีบทการคูณก็สามารถเขียนให้อยู่ในรูปของฟังก์ชันพายได้เช่นกัน

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_38
เรายังสามารถหาค่าของ

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_40
ซึ่งเป็นฟังก์ชันทั่ว (entire function) นิยามบนทุกค่าของจำนวนเชิงซ้อน และเนื่องจาก π (*z*) เป็นฟังก์ชันทั่ว นั่นคือฟังก์ชันดังกล่าวไม่มีโพล ดังนั้นผลลัพธ์ของ Γ (*z*) จึงไม่มีทางเป็นศูนย์

### ความสัมพันธ์กับฟังก์ชันอื่น

* ในตัวนิยามของฟังก์ชันแกมมาที่เป็นปริพันธ์ (สูตรแรกสุด) ขอบเขตของการหาปริพันธ์ได้ถูกกำหนดตายตัวไว้ ดังนั้นจึงมีการสร้างฟังก์ชันแกมมาไม่สมบูรณ์ (incomplete Gamma function) ในรูปแบบ Γ (*a*, *x*) ขึ้นมาเพื่อให้สามารถหาปริพันธ์ทั้งด้านซ้ายและด้านขวาของค่า *x* ใด ๆ ก็ได้ที่อยู่ระหว่าง 0 ถึง ∞
* ฟังก์ชันแกมมามีความสัมพันธ์กับฟังก์ชันบีตาด้วยสูตรนี้

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_42
* อนุพันธ์ลอการิทึม (logarithmic derivative) ของฟังก์ชันแกมมาเรียกว่า ฟังก์ชันไดแกมมา (digamma function) และในอนุพันธ์ในอันดับสูงกว่าจะเรียกว่า ฟังก์ชันโพลีแกมมา (polygamma function)
* แอนะล็อกของฟังก์ชันแกมมาเหนือฟีลด์จำกัด (finite field) หรือริงจำกัด (finite ring) คือผลบวกเกาส์เซียน (Gaussian sum) ซึ่งเป็นผลบวกเลขชี้กำลัง (exponential sum) ชนิดหนึ่ง
* ฟังก์ชันแกมมาส่วนกลับ (reciprocal Gamma function) เป็นฟังก์ชันทั่วชนิดหนึ่งและเป็นหัวข้อที่ต้องศึกษาโดยเฉพาะ
* ฟังก์ชันแกมมายังมีความสัมพันธ์ที่สำคัญกับฟังก์ชันซีตาของรีมันน์ (Riemann zeta function) ซึ่งใช้สัญกรณ์ ζ (*z*) ดังนี้

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_44
และในอีกสูตรหนึ่งที่ดูเรียบง่ายคือ

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_46
## แผนภาพ

* ส่วนจริงของ Γ (z)
* ส่วนจินตภาพของ Γ (z)
* ค่าสัมบูรณ์ของ Γ (z)

* ส่วนจริงของ log Γ (z)
* ส่วนจินตภาพของ log Γ (z)
* ค่าสัมบูรณ์ของ log Γ (z)

## ค่าเฉพาะบางค่าที่ควรทราบ

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_48
## อ้างอิง

* Philip J. Davis, "Leonhard Euler's Integral: A Historical Profile of the Gamma Function," *Am. Math. Monthly* **66**, 849-869 (1959)
* WIKINIUM\_MATH\_PH\_50
* Pascal Sebah and Xavier Gourdon. *Introduction to the Gamma Function*. In PostScript and HTML formats.
* Bruno Haible & Thomas Papanikolaou. *Fast multiprecision evaluation of series of rational numbers เก็บถาวร 2006-06-30 ที่ เวย์แบ็กแมชชีน*. Technical Report No. TI-7/97, Darmstadt University of Technology, 1997

## แหล่งข้อมูลอื่น

### แหล่งข้อมูลอื่น

* Cephes - C and C++ language special functions math library
* Examples of problems involving the Gamma function can be found at Exampleproblems.com เก็บถาวร 2016-10-02 ที่ เวย์แบ็กแมชชีน.
* Gamma function calculator
* Wolfram gamma function evaluator (arbitrary precision)
* *Gamma* at the Wolfram Functions Site.
* Computing the Gamma function - various algorithms

### หนังสือตำรา

* Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, eds. *Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables.* New York: Dover, 1972. *(See Chapter 6)*
* G. Arfken and H. Weber. *Mathematical Methods for Physicists*. Harcourt/Academic Press, 2000.  *(See Chapter 10.)*
* Harry Hochstadt. *The Functions of Mathematical Physics*. New York: Dover, 1986  *(See Chapter 3.)*
* W.H. Press, B.P. Flannery, S.A. Teukolsky, and W.T. Vetterling. *Numerical Recipes in C*. Cambridge, UK: Cambridge University Press, 1988.  *(See Section 6.1.)*