# ระบบพิกัด

ระบบพิกัดคาร์ทีเซียนสองมิติ
ระบบพิกัดคาร์ทีเซียนสามมิติ
**พิกัด** หมายถึง ค่าของตัวเลขที่ใช้อธิบายตำแหน่งของจุดบนระนาบหรือปริภูมิ ตัวอย่างเช่น ระดับความสูงจากน้ำทะเลก็เป็นพิกัดอย่างหนึ่งที่อธิบายตำแหน่งของจุดเหนือระดับพื้นผิวโลก ส่วนระบบพิกัดคือวิธีการอย่างเป็นระบบที่มีการให้ค่าคู่อันดับหรือสามสิ่งอันดับแทนตำแหน่งของแต่ละจุดบนระนาบหรือปริภูมิ ซึ่งคู่อันดับหรือสามสิ่งอันดับหนึ่งชุดจะหมายถึงตำแหน่งเพียงตำแหน่งเดียวเท่านั้น ดังตัวอย่าง สามสิ่งอันดับที่ประกอบด้วย ละติจูด ลองจิจูด และอัลติจูด (ระดับความสูง) เป็นระบบพิกัดที่ใช้ระบุตำแหน่งของจุดเหนือพื้นผิวโลกและอื่น ๆ

พิกัดอาจนิยามได้ในบริบททั่วไป เช่น ถ้าหากเราไม่สนใจความสูง ดังนั้นละติจูดและลองจิจูดจึงสามารถเป็นระบบพิกัดเหนือพื้นผิวโลกก็ได้ โดยสมมติให้โลกมีรูปร่างใกล้เคียงทรงกลม พิกัดเช่นนี้เป็นสิ่งสำคัญในดาราศาสตร์ ซึ่งใช้สำหรับอธิบายตำแหน่งของวัตถุทางดาราศาสตร์บนท้องฟ้าโดยไม่สนใจระยะทาง (ดูเพิ่มที่ระบบพิกัดทรงกลมท้องฟ้า) อย่างไรก็ตาม บทความนี้จะมุ่งประเด็นไปที่ระบบพิกัดบนระนาบและปริภูมิสามมิติเท่านั้น เพื่อให้ง่ายต่อความเข้าใจในขอบเขตของคณิตศาสตร์มูลฐาน

## พิกัดคาร์ทีเซียน

ในระบบพิกัดคาร์ทีเซียนสองมิติ จุด P ใด ๆ ในระนาบ *xy* สามารถแสดงให้อยู่ในรูปของคู่อันดับ (*x*, *y*) โดยที่

* พิกัด *x* คือระยะทางที่คิดเครื่องหมาย จากแกน *y* ไปยังจุด P และ
* พิกัด *y* คือระยะทางที่คิดเครื่องหมาย จากแกน *x* ไปยังจุด P

ในระบบพิกัดคาร์ทีเซียนสามมิติ จุด P ใด ๆ ในปริภูมิ *xyz* สามารถแสดงให้อยู่ในรูปของสามสิ่งอันดับ (*x*, *y*, *z*) โดยที่

* พิกัด *x* คือระยะทางที่คิดเครื่องหมาย จากระนาบ *yz* ไปยังจุด P และ
* พิกัด *y* คือระยะทางที่คิดเครื่องหมาย จากระนาบ *xz* ไปยังจุด P และ
* พิกัด *z* คือระยะทางที่คิดเครื่องหมาย จากระนาบ *xy* ไปยังจุด P

## พิกัดเชิงขั้ว

ระบบพิกัดเชิงขั้วหรือเชิงมุม เป็นระบบพิกัดที่ตำแหน่งของจุดจุดหนึ่งจะถูกอธิบายด้วยการวัดระยะทางจากลักษณะสำคัญที่กำหนดไว้บางประการในปริภูมิ และมีการกางออกของมุมหนึ่งมุมหรือมากกว่า ซึ่งทั้งหมดเป็นระบบที่ปกติทั่วไปของพิกัดเชิงเส้นโค้ง (curvilinear coordinates)

คำว่า *พิกัดเชิงขั้ว* มักจะเป็นการอ้างถึง พิกัดวงกลมในสองมิติ สำหรับพิกัดเชิงขั้วอย่างอื่นที่ใช้กันตามปกติก็ยังมีพิกัดทรงกระบอกและพิกัดทรงกลม ซึ่งทั้งคู่อยู่ในสามมิติ

### พิกัดวงกลม

ระบบพิกัดวงกลม แกนเชิงขั้ว L สามารถเปรียบได้เป็นแกน *x* ในระบบพิกัดคาร์ทีเซียน
ระบบพิกัดวงกลม เป็นระบบพิกัดเชิงขั้วในสองมิติ นิยามโดยจุดกำเนิด O และรังสี L (ส่วนของเส้นตรงที่มีปลายเปิดหนึ่งข้าง) ที่ออกมาจากจุดกำเนิด ซึ่ง L อาจเรียกได้ว่าเป็น *แกนเชิงขั้ว* ในพจน์ของระบบพิกัดคาร์ทีเซียน เราสามารถเลือกจุด (0, 0) มาเป็นจุดกำเนิด O และรังสี L จะอยู่บนแกน *x* ที่เป็นบวก (ครึ่งส่วนทางขวาของแกน *x*)

ในระบบพิกัดวงกลม จุด P ใด ๆ สามารถเขียนแทนได้ด้วยคู่อันดับ (*r*, *θ*) โดยที่

* พิกัด *r* (รัศมี) คือระยะทางจากจุดกำเนิดไปยังจุด P ซึ่งจะได้ *r* ≥ 0 และ
* พิกัด *θ* (มุมทิศ) คือขนาดของมุมที่อยู่ระหว่างแกนเชิงขั้ว กับส่วนของเส้นตรงที่เชื่อมต่อจุดกำเนิดกับจุด P โดยปกติจะวัดทวนเข็มนาฬิกา ซึ่งจะได้ 0° ≤ *θ* < 360°

การแปลงพิกัดจากระบบพิกัดวงกลมอันหนึ่งไปเป็นอีกอันหนึ่งสามารถกระทำได้ รวมทั้ง

* การเปลี่ยนทิศของแกนเชิงขั้ว (เช่นย้ายแกนไปอยู่ที่ทิศเหนือ)
* การเปลี่ยนการวัดมุมจากทวนเข็มนาฬิกาไปเป็นตามเข็มนาฬิกา หรือในทางกลับกัน
* การเปลี่ยนสเกล

นอกจากนั้น เรายังสามารถแปลงระบบพิกัดวงกลมไปเป็นพิกัดคาร์ทีเซียน แล้วแปลงพิกัดคาร์ทีเซียนนั้นให้เป็นพิกัดคาร์ทีเซียนอีกอันหนึ่ง จากนั้นจึงแปลงกลับมาเป็นพิกัดวงกลม ซึ่งการกระทำเหล่านี้เป็นสิ่งที่จำเป็นสำหรับ

* การเปลี่ยนจุดกำเนิด
* การเปลี่ยนสเกลในทิศทางเดียว

หรือเราสามารถกำหนดให้พิกัด *θ* มีค่าอยู่ในช่วงอื่นที่ต้องการก็ได้ยกตัวอย่างเช่น −180° < *θ* ≤ 180° เป็นต้น

พิกัดวงกลมช่วยให้เราสะดวกขึ้นในสถานการณ์ที่ว่าเรารู้เพียงแค่ระยะทาง หรือรู้เพียงแค่ทิศทางไปยังจุดที่พิจารณา

จำนวนเชิงซ้อน *z* ใด ๆ สามารถนำเสนอได้เป็นจุดหรือเวกเตอร์บนระนาบเชิงซ้อนด้วยพิกัดวงกลม (*r*, *φ*) โดยให้ *r* คือค่าสัมบูรณ์ของ *z* และ *φ* คืออาร์กิวเมนต์เชิงซ้อนของ *z* ซึ่งช่วยให้การคูณหรือการยกกำลังจำนวนเชิงซ้อนทำได้ง่ายขึ้น

### พิกัดทรงกระบอก

ระบบพิกัดทรงกระบอก
ระบบพิกัดทรงกระบอก เป็นระบบพิกัดเชิงขั้วในสามมิติ จุด P ใด ๆ บนระบบพิกัดนี้สามารถนำเสนอด้วยสามสิ่งอันดับ (*r*, *θ*, *h*) ในพจน์ของระบบพิกัดคาร์ทีเซียนว่า

* พิกัด *r* (รัศมี) คือระยะทางจากแกน *z* ไปยังจุด P ซึ่งจะได้ r ≥ 0 และ
* พิกัด *θ* (มุมทิศ หรือ ลองจิจูด) คือขนาดของมุมที่อยู่ระหว่างแกน *x* ที่เป็นบวก กับส่วนของเส้นตรงที่เชื่อมต่อจุดกำเนิดกับเงาของจุด P ที่ฉายบนบนระนาบ *xy* โดยปกติจะวัดทวนเข็มนาฬิกา ซึ่งจะได้ 0° ≤ *θ* < 360° และ
* พิกัด *h* (ความสูง) คือระยะทางที่คิดเครื่องหมาย จากระนาบ *xy* ไปยังจุด P

หมายเหตุ: เราอาจเห็นว่าในบางตำราใช้ *z* แทน *h* ซึ่งไม่มีแบบใดถูกหรือผิด ขึ้นอยู่กับความหมายที่นิยาม

พิกัดทรงกระบอกอาจทำให้เกิดความซ้ำซ้อน ซึ่งเมื่อ *r* = 0 จะทำให้ *θ* ไม่มีความหมาย คือเป็นค่าอะไรก็ได้

พิกัดทรงกระบอกมีประโยชน์ในการวิเคราะห์ ระบบที่สมมาตรกับเส้นตรงเส้นหนึ่งที่เป็นแกน ตัวอย่างเช่น ทรงกระบอกที่ยาวเป็นอนันต์ มีสมการในพิกัดคาร์ทีเซียน *x*2 + *y*2 = *c*2 สามารถเขียนให้อยู่ในรูปอย่างง่ายในพิกัดทรงกระบอกได้ *r* = *c* เป็นต้น

### พิกัดทรงกลม

ระบบพิกัดทรงกลม
ระบบพิกัดทรงกลม เป็นระบบพิกัดเชิงขั้วในสามมิติ จุด P ใด ๆ บนระบบพิกัดนี้สามารถนำเสนอด้วยสามสิ่งอันดับ (*ρ*, *φ*, *θ*) หรือ (*ρ*, *θ*, *φ*) ในพจน์ของระบบพิกัดคาร์ทีเซียนว่า

* พิกัด *ρ* (รัศมี) คือระยะทางจากจุดกำเนิดไปยังจุด P ซึ่งจะได้ *ρ* ≥ 0 และ
* พิกัด *φ* (เซนิท, โคละติจูด, หรือมุมเชิงขั้ว) คือขนาดของมุมที่อยู่ระหว่างแกน *z* ที่เป็นบวก กับส่วนของเส้นตรงที่เชื่อมต่อจุดกำเนิดกับจุด P ซึ่งจะได้ 0° ≤ *φ* ≤ 180° และ
* พิกัด *θ* (มุมทิศ หรือ ลองจิจูด) คือขนาดของมุมที่อยู่ระหว่างแกน *x* ที่เป็นบวก กับส่วนของเส้นตรงที่เชื่อมต่อจุดกำเนิดกับเงาของจุด P ที่ฉายบนบนระนาบ *xy* โดยปกติจะวัดทวนเข็มนาฬิกา ซึ่งจะได้ 0° ≤ *θ* < 360°

และเนื่องจากพิกัดทรงกลมเขียนได้สองแบบ จึงต้องมีการประกาศรูปแบบก่อนใช้งานเพื่อมิให้เกิดความสับสน

แนวคิดของพิกัดทรงกลมสามารถขยายออกไปบนปริภูมิในมิติที่สูงขึ้นบนพิกัดไฮเพอร์สเฟียร์ (hyperspherical coordinates)

## การแปลงระหว่างระบบพิกัด

เนื่องจากมีระบบพิกัดหลายระบบที่ใช้อธิบายตำแหน่งของจุดบนระนาบหรือปริภูมิ จึงเป็นสิ่งสำคัญที่จะเข้าใจว่าระบบเหล่านั้นสัมพันธ์กันอย่างไร ความสัมพันธ์อย่างหนึ่งคือ การแปลงระหว่างระบบพิกัด ซึ่งจะมีสูตรสำหรับอธิบายระบบพิกัดหนึ่งในพจน์ของระบบพิกัดอื่น ตัวอย่างเช่น หากพิกัดคาร์ทีเซียน (*x*, *y*) และพิกัดเชิงขั้ว (*r*, *θ*) มีจุดกำเนิดอยู่ที่จุดเดียวกันและมีแกนเชิงขั้วอยู่บนแกน *x* ที่เป็นบวก ดังนั้นการแปลงพิกัดจากเชิงขั้วไปเป็นคาร์ทีเซียนสามารถคำนวณได้จาก *x* = *r* cos *θ* และ *y* = *r* sin *θ* เป็นต้น

## ดูเพิ่ม

* ระบบพิกัด (coordinate system)
* การหมุนพิกัด (coordinate rotation)
* พิกัดเชิงเส้นโค้ง (curvilinear coordinates)
* พิกัดเชิงพาราโบลา (parabolic coordinates)
* เวกเตอร์ (vector)
* ฟีลด์เวกเตอร์ในพิกัดทรงกระบอกและพิกัดทรงกลม (vector fields in cylindrical and spherical coordinates)
* เดลในพิกัดทรงกระบอกและพิกัดทรงกลม (del in cylindrical and spherical coordinates)

### พิกัดทรงกลม

* พิกัดทรงกลมท้องฟ้า

## แหล่งข้อมูลอื่น

* ระบบพิกัดทรงกลม เก็บถาวร 2013-05-16 ที่ เวย์แบ็กแมชชีน และระบบพิกัดทรงกระบอก เก็บถาวร 2010-07-08 ที่ เวย์แบ็กแมชชีน โดย Frank Wattenberg
*
*