# ทรงกลม

| ทรงกลม |
| --- |
| ภาพฉายของทรงกลมลงเป็นสองมิติ |
| ชนิด | พื้นผิวเรียบ พื้นผิวเชิงพีชคณิต |
| ลักษณะออยเลอร์ | 2 |
| กรุปสมมาตร |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_0  |
| พื้นที่ผิว |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_1  |
| ปริมาตร |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_2  |

**ทรงกลม** (อังกฤษ : sphere จากกรีกโบราณ σφαῖρα, *sphaîra*) เป็นวัตถุทางเรขาคณิตซึ่งอาจมองว่าเป็นวงกลมในสามมิติ นิยามที่รัดกุมของทรงกลม คือเซตของจุดในสามมิติที่อยู่ห่างจากจุดกำหนดจุดหนึ่งเป็นระยะทาง WIKINIUM\_MATH\_PH\_3 เสมอ จุดกำหนดจุดนั้นเรียกว่า **จุดศูนย์กลางทรงกลม** (centre) และค่า WIKINIUM\_MATH\_PH\_4 เรียกว่ารัศมีของวงกลมนั้น ทรงกลมปรากฏขึ้นเป็นลายลักษณ์อักษรครั้งแรกในงานคณิตศาสตร์ยุคกรีกโบราณ

ทรงกลมเป็นวัตถุพื้นฐานในคณิตศาสตร์หลากหลายสาขา ทรงกลมและรูปทรงที่เกือบเป็นทรงกลมปรากฎทั้งในธรรมชาติและในกิจกรรมของมนุษย์ อาทิ ฟองสบู่ มีในภาวะสมดุลจะเป็นทรงกลม ในทางภูมิศาสตร์นิยมถือว่าโลกมีสัณฐานเป็นทรงกลม และทรงกลมท้องฟ้าเป็นแนวคิดสำคัญในดาราศาสตร์

## สมการของทรงกลม

ในเรขาคณิตวิเคราะห์ ทรงกลมที่มีจุดศูนย์กลางที่ WIKINIUM\_MATH\_PH\_5 และรัศมี WIKINIUM\_MATH\_PH\_6 คือทางเดินของจุด WIKINIUM\_MATH\_PH\_7 ทั้งหมดที่สอดคล้องกับสมการ

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_8
เนื่องจากสูตรข้างต้นเป็นพหุนามกำลังสอง ทรงกลมจึงเป็นพื้นผิวกำลังสอง ซึ่งเป็นพื้นผิวเชิงพีชคณิตประเภทหนึ่ง

ให้ WIKINIUM\_MATH\_PH\_10 เป็นจำนวนจริงที่ซึ่ง WIKINIUM\_MATH\_PH\_11 และกำหนด

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_12
แล้วจะได้ว่าสมการ

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_14
ไม่เป็นคำตอบเป็นจำนวนจริงถ้า WIKINIUM\_MATH\_PH\_16 และเราเรียกสมการนี้ว่าเป็นสมการของ**ทรงกลมจินตภาพ** (imaginary sphere) ถ้า WIKINIUM\_MATH\_PH\_18 แล้วผลเฉลยหนึ่งเดียวของสมการ WIKINIUM\_MATH\_PH\_20 คือจุด WIKINIUM\_MATH\_PH\_22 และสมการในรูปแบบนี้เรียกว่าเป็นสมการของ**ทรงกลมจุดเดียว** (point sphere) และในกรณีที่ WIKINIUM\_MATH\_PH\_24 สมการ WIKINIUM\_MATH\_PH\_26 เป็นสมการของทรงกลมที่จุดศูนย์กลางอยู่ที่ WIKINIUM\_MATH\_PH\_28 และมีรัศมีเท่ากับ WIKINIUM\_MATH\_PH\_30

ถ้า WIKINIUM\_MATH\_PH\_32 ในสมการข้างต้นเป็นศูนย์ แล้ว WIKINIUM\_MATH\_PH\_33 เป็นสมการของระนาบ ฉะนั้นเราอาจมองว่าระนาบคือทรงกลมที่มีรัศมีเป็นอนันต์และจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุดที่อนันต์

## สมบัติของทรงกลม

### ปริมาตร

Sphere and circumscribed cylinder
ในสามมิติ ปริมาตรภายในทรงกลมมีค่าเท่ากับ

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_35
เมื่อ WIKINIUM\_MATH\_PH\_37 คือรัศมี และ WIKINIUM\_MATH\_PH\_38 คือความยาวเส้นผ่าศูนย์กลางของทรงกลม อาร์คิมิดีสเป็นคนแรกที่ได้สูตรนี้โดยแสดงให้เห็นว่าปริมาตรของทรงกลมมีค่าเป็นสองเท่าของปริมาตรของพื้นที่เปล่าในทรงกระบอกที่ทรงกลมนั้นบรรจุอยู่ข้างใน เราเรียกทรงกระบอกนั้นว่า *ทรงกระบอกล้อมรอบของทรงกลม* (circumscribed cylinder) ซึ่งมีความสูงและความยาวเส้นผ่าศูนย์กลางของฐานเท่ากับทรงกลมนั้น

เราสามารถพิสูจน์ข้อความข้างต้นได้ โดยสร้างกรวยกลับหัวภายในครึ่งทรงกลม แล้วสังเกตว่าพื้นที่ภาคตัดขวางของกรวยบวกกับพื้นที่ภาคตัดขวางของทรงกลมเท่ากับพื้นที่ภาคตัดขวางของทรงกระบอก แล้วใช้หลักการของคาวาเลียรี (Cavalieri's principle) นอกจากนี้อาจใช้แคลคูลัสเชิงปริพันธ์พิสูจน์สูตรนี้ได้ เช่นด้วยการอินทิเกรตแบบจานเพื่อหาปริมาตรปิดล้อม

### พื้นที่ผิว

พื้นที่ผิวของทรงกลมรัศมี WIKINIUM\_MATH\_PH\_39 คือ

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_40
อาร์คิมิดีสเป็นบุคคลแรกที่พิสูจน์สูตรนี้ โดยใช้ข้อเท็จจริงที่ว่าการฉายภาพทรงกลมไปยังทรงกระบอกล้อมรอบนั้นรักษาพื้นที่

ทรงกลมเป็นรูปทรงที่มีพื้นที่ผิวน้อยที่สุดในบรรดารูปทรงที่มีปริมาตรเท่ากัน และมีปริมาตรมากที่สุดในบรรดารูปทรงที่มีพื้นที่ผิวเท่ากัน ดังนั้นทรงกลมจึงปรากฎในธรรมชาติ ตัวอย่างเช่น ฟองสบู่หรือฟองอากาศ และหยดน้ำขนาดเล็กจะมีรูปทรงเกือบเป็นทรงกลมเพราะแรงตึงผิวพยายามบังคับให้พื้นที่ผิวมีค่าน้อยที่สุด

### สมบัติทางเรขาคณิตอื่น ๆ

ทรงกลมสร้างได้จากการหมุนวงกลมครึ่งรอบผ่านเส้นผ่านศูนย์ผ่านของมัน มีทรงกลมเพียงหนึ่งเดียวที่ผ่านจุดที่กำหนดให้สี่จุดที่ไม่อยู่บนระนาบเดียวกัน

## หมายเหตุและอ้างอิง

### หมายเหตุ

### อ้างอิง

### ดูเพิ่ม

* Albert, Abraham Adrian (2016) [1949], *Solid Analytic Geometry*, Dover, ISBN 978-0-486-81026-3.
* Dunham, William (1997). *The Mathematical Universe: An Alphabetical Journey Through the Great Proofs, Problems and Personalities*. New York: Wiley. pp. 28, 226. Bibcode:1994muaa.book.....D. ISBN 978-0-471-17661-9.
* Kreyszig, Erwin (1972), *Advanced Engineering Mathematics* (3rd ed.), New York: Wiley, ISBN 978-0-471-50728-4.
* Steinhaus, H. (1969), *Mathematical Snapshots* (Third American ed.), Oxford University Press.
* Woods, Frederick S. (1961) [1922], *Higher Geometry / An Introduction to Advanced Methods in Analytic Geometry*, Dover.
* John C. Polking (1999-04-15). "The Geometry of the Sphere". *www.math.csi.cuny.edu*. สืบค้นเมื่อ 2022-01-21.