# ตรรกศาสตร์

**ตรรกศาสตร์** (อังกฤษ: *logic* - หรือตรรกวิทยา มีรากศัพท์จากภาษากรีกคือ λόγος, *logos*) โดยทั่วไปประกอบด้วยการศึกษารูปแบบของข้อโต้แย้งอย่างเป็นระบบ ข้อโต้แย้งที่สมเหตุสมผลคือข้อโต้แย้งที่มีความสัมพันธ์ของการสนับสนุนเชิงตรรกะที่เฉพาะเจาะจงระหว่างข้อสมมุติพื้นฐานของข้อโต้แย้งและข้อสรุป

**ตรรกศาสตร์**เป็นการศึกษาเชิงปรัชญาว่าด้วยการให้เหตุผล โดยมักจะเป็นส่วนสำคัญของวิชาปรัชญา, อรรฆวิทยา , คณิตศาสตร์ , คอมพิวเตอร์ และยังรวมถึงภาษาศาสตร์ ตรรกศาสตร์เป็นการตรวจสอบข้อโต้แย้งที่สมเหตุสมผล (valid argument) หรือการให้เหตุผลแบบผิดๆ (fallacies) .(.โดยเกิดจากความคิดในตัวบุคคลที่ยึดความคิดตัวเองเป็นหลักเราจะพบได้บ่อยๆในยุคที่ทุกคนอยู่ในเน็ตเวิรค์จนเปรียบว่าตรรกะป่วย.)ตรรกศาสตร์ เป็นการศึกษาที่มีมานานโดยมนุษยชาติที่เจริญแล้ว เช่น กรีก จีน หรืออินเดีย และถูกยกขึ้นเป็นสาขาวิชาหนึ่งโดย อริสโตเติล

การศึกษาวิชาตรรกศาสตร์ในประเทศไทยในระดับปริญญาตรี ส่วนใหญ่เป็นวิชาบังคับเรียนในหมวดวิชาศึกษาทั่วไป รับผิดชอบโดยภาคปรัชญา หรือภาคปรัชญาและศาสนา อาทิวิชา ปรัชญาและตรรกวิทยา (2207103) ภาคปรัชญา คณะอักษรศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย 387121 ตรรกศาสตร์เบื้องต้น มหาวิทยาลัยเกษตรศาสตร์ ในขณะที่ภาควิชาคณิตศาสตร์เป็นวิชาบังคับของนักศึกษาภาควิชาคณิตศาสตร์เช่น 2301501 คณิตตรรกศาสตร์ ภาควิชาคณิตศาสตร์และวิทยาการคอมพิวเตอร์ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย

## ที่มาของคำว่า ตรรกศาสตร์

คำว่า "ตรรกศาสตร์" ในปัจจุบัน เป็นศัพท์บัญญัติที่ใช้แทนแนวคิดเรื่อง Logic ในภาษาอังกฤษ ซึ่งมีรากศัพท์มาจากคำว่า λόγος (logos) ในภาษากรีก ที่มีความหมายเดิมว่าคำ หรือสิ่งที่ถูกกล่าว หลาย ๆ ประเทศที่ใช้อักษรโรมันในการเขียนก็มีศัพท์ที่พูดถึงแนวคิดนี้ในลักษณะชื่อที่คล้ายๆกัน

ในภาษาไทย เดิมมีคำนี้ใช้อยู่แล้ว ซึ่งน่าจะได้มาจากภาษาบาลี สันสกฤต (อย่างเช่นใน กาลามสูตร 10 ข้อ ที่ มีกล่าวไว้ว่าข้อหนึ่งว่า "*อย่าเชื่อ เพราะ ได้คิดคำนึงเอาด้วย ตักฺกะ*") ซึ่งอาจจะมีความหมายไม่ตรงทีเดียวนักกับคำว่าตรรกศาสตร์ที่ใช้ในภาษาปัจจุบัน

## คณิตศาสตร์

### **ประพจน์**

คือ ประโยคที่มีค่าความจริง เป็นจริงหรือเท็จ อย่างใดอย่างหนึ่ง โดย

* ประโยคที่เป็นประพจน์ จะมีลักษณะเป็นประโยคบอกเล่าหรือปฏิเสธ

* ประโยคที่ไม่เป็นประพจน์ จะมีลักษณะเป็นประโยคคำถาม คำสัง ขอร้อง และประโยคอุทาน
* ประโยคที่มีค่าความจริงไม่แน่นอน หรือไม่อาจระบุได้ว่ามีค่าความจริงว่าเป็นจริงหรือเท็จได้ จะไม่เป็นประพจน์

### ตัวเชื่อมของประพจน์

ถ้าให้ p และ q เป็นประพจน์ เมื่อนำประพจน์มาเชื่อมกันด้วยตัวเชื่อมแล้ว เราเรัยกประพจน์ใหม่ว่า ประพจน์เชิงประกอบ ซึ่งตัวเชื่อมที่ใช้จะมี 5 ตัว คือ

* “และ” ใช้สัญลักษณ์ ∧
* “หรือ” ใช้สัญลักษณ์ ∨
* “ถ้า…แล้ว…” ใช้สัญลักษณ์ →
* “ก็ต่อเมื่อ” ใช้สัญลักษณ์ ↔
* “นิเสธ” ใช้สัญลักษณ์ ~

ประพจน์ที่สมมูลกัน (Equivalent) คือ รูปแบบของประพจน์สองรูปแบบที่มีค่าความจริงเหมือนกันทุกกรณี เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ ≡

### คุณสมบัติของการสมมูลของรูปแบบของประพจน์

กำหนดให้ p, q และ r เป็นรูปแบบของประพจน์

* การสะท้อน: p ≡ p
* การสมมาตร: ถ้า p ≡ q แล้ว q ≡ p
* การถ่ายทอด: ถ้า p ≡ q แล้ว q ≡ r แล้ว p ≡ r

* p ∧ q สมมูลกับ q ∧ p
* p ∨ q สมมูลกับ q ∨ p
* (p ∧ q) ∧ r สมมูลกับ p ∧ (q ∧ r)
* (p ∨ q) ∨ r สมมูลกับ p ∨ (q ∨ r)
* p ∧ (q ∨ r) สมมูลกับ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
* p ∨ (q ∧ r) สมมูลกับ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r)
* p → q สมมูลกับ ~p ∨ q
* p → q สมมูลกับ ~q → ~p
* p ↔ q สมมูลกับ (p → q) ∧ (q → p)

### ประพจน์ที่เป็นนิเสธกัน

คือ ประพจน์ที่มีค่าความจริงตรงกันข้ามทุกกรณี ใช้สัญลักษณ์ ~ แทนนิเสธ
จากนิยาม รูปแบบประพจน์ A เป็นนิเสธของ รูปแบบประพจน์ B ก็ต่อเมื่อ

* ค่าความจริงของ A และ B ต่างกันทุกกรณี
* ค่าความจริงของ A และ ~B เหมือนกันทุกกรณี
* A ≡ ~B
* ดังนั้น A เป็นนิเสธของ B ก็ต่อเมื่อ A สมมูลกับ ~B

ตัวอย่างประพจน์ที่เป็นนิเสธกันที่ควรรู้

* ~(p ∧ q) สมมูลกับ ~p ∨ ~q
* ~(p ∨ q) สมมูลกับ ~p ∧ ~q
* ~(p → q) สมมูลกับ p ∧ ~q
* ~(p ↔ q) สมมูลกับ (p ↔ ~q) ∨(q ↔ ~p)
* ~(p ↔ q) สมมูลกับ (p ∧ ~q) ∨ (q ∧~p)

### สัจนิรันดร์

คือ รูปแบบของประพจน์ที่มีค่าความจริงเป็นจริงทุกกรณี

**ประโยคเปิด (Open Sentence)** คือ ข้อความที่อยู่ในรูปประโยคบอกเล่าหรือปฏิเสธ ที่มีตัวแปรและสื่อแทนค่าของตัวแปรนั้น จะได้ค่าความจริงแน่นอน หรือเป็นประพจน์ นิยมใช้สัญลักษณ์ P(x), P(x , y), Q(x , y) แทนประโยคเปิดที่มีตัวแปรระบุในวงเล็บ

### ตัวบ่งปริมาณ (∀,∃)

คือ ตัวระบุจำนวนสมาชิกในเอกภพสัมพัทธ์ที่ทำให้ประโยคเปิดกลายเป็นประพจน์ ตัวบ่งปริมาณมี 2 ชนิด คือ

* ตัวบ่งปริมาณที่กล่าวถึงสมาชิกทุกตัวในเอกภพสัมพัทธ์ ซึ่งเขียนแทนได้ด้วยสัญลักษณ์ ∀ อ่านว่า “สำหรับสมาชิก x ทุกตัว”
* ตัวบ่งปริมาณที่กล่าวถึงสมาชิกบางตัวในเอกภพสัมพัทธ์ ซึ่งเขียนแทนได้ด้วยสัญลักษณ์ ∃ อ่านว่า “สำหรับสมาชิก x บางตัว”

ค่าความจริงของประพจน์ที่มีตัวบ่งปริมาณ

* ∀x[P(x)] มีค่าความจริงเป็นจริง เมื่อ x ทุกตัวในเอกภพสัมพัทธ์ทำให้ P(x) เป็นจริง
* ∀x[P(x)] มีค่าความจริงเป็นเท็จ เมื่อมี x อย่างน้อย 1 ตัวที่ทำให้ P(x) เป็นเท็จ
* ∃x[P(x)] มีค่าความจริงเป็นจริง เมื่อมี x อย่าน้อย 1 ตัวที่ทำให้ P(x) เป็นจริง
* ∃x[P(x)] มีค่าความจริงเป็นเท็จ เมื่อไม่มี x ใดๆ ในเอกภพสัมพัทธ์ที่ทำให้ P(x) เป็นจริง

**นิเสธของประพจน์ที่มีตัวบ่งปริมาณ ~∀x[P(x)] สมมูลกับ ∃x[~P(x)]

* ~∃x[P(x)] สมมูลกับ ∀x[~P(x)]
* ~∀x[~P(x)] สมมูลกับ ∃x[P(x)]
* ~∃x[~P(x)] สมมูลกับ ∀x[P(x)]

### การอ้างเหตุผล

คือ การอ้างว่า สำหรับเหตุการณ์ P1, P2,…, Pn ชุดหนึ่ง สามารถสรุปผลที่ตามมา C ได้ โดยการอ้างเหตุผลประกอบด้วย 2 ส่วน คือ เหตุ (สิ่งที่กำหนดให้) และ ผล (สิ่งที่ตามมา)

สำหรับการพิจารณาว่า การอ้างเหตุผลนั้นสมเหตุสมผลหรือไม่ สามารถพิจารณาได้จากประพจน์

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_0

ถ้าประพจน์ดังกล่าวมีค่าความจริงเป็นจริงเสมอ (เป็นสัจนิรันดร์) เราสามารถสรุปได้ว่าการอ้างเหตุผลดังกล่าวเป็นการอ้างที่สมเหตุสมผล

## ดูเพิ่ม

* ตรรกะวิบัติ ที่ไม่เป็นไปตามหลักตรรกะอย่างถูกต้อง