# ยูเนียน

**ยูเนียน** (อังกฤษ: *union*) หรือ **ส่วนรวม** คือการดำเนินการของเซต เป็นการสร้างเซตใหม่ซึ่งเป็นผลจากการรวมสมาชิกทั้งหมดของเซตต้นแบบเข้าด้วยกัน เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ ∪ (คล้ายอักษรตัวใหญ่ U)

## นิยาม

สมมติให้วงกลมสองวงเป็นเซต *A* กับ *B* พื้นที่สีม่วงคือการยูเนียนของเซตทั้งสอง
สมมติว่าเอกภพสัมพัทธ์ **U** ได้นิยามแล้ว กำหนดให้เซตสองเซต *A* และ *B* เป็นเซตย่อยของ **U** การยูเนียนจะให้ผลเป็นเซตใหม่ที่มีสมาชิกทั้งหมดที่ปรากฏอยู่ใน *A* **หรือB* โดยไม่มีสมาชิกอื่นนอกเหนือจากนี้ นั่นคือ

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_0
หากทั้งสองเซตมีสมาชิกที่แตกต่างกัน นั่นคือสมาชิกของเซต *A* จะไม่ปรากฏในเซต *B* และในทางกลับกันด้วย ผลที่ได้จากการยูเนียนจะเป็นการนำสมาชิกทั้งหมดจากทั้งสองเซตมาใส่รวมกันทันที ตัวอย่างเช่น

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_2
ในกรณีที่ทั้งสองเซตมีสมาชิกบางส่วนซ้ำกัน การรวมสมาชิกจะไม่ส่งผลต่อภาวะเชิงการนับ (cardinality) ของเซต เนื่องจากสมาชิกตัวที่ซ้ำกันก็เสมือนมีอยู่เพียงตัวเดียวในเซต เช่นตัวอย่างนี้

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_4
## สมบัติ

ยูเนียนมีสมบัติต่าง ๆ ทางพีชคณิตดังต่อไปนี้

* ยูเนียนมีสมบัติการสลับที่ ดังนั้นลำดับในการยูเนียนเซตจึงเป็นอย่างไรก็ได้
	+ WIKINIUM\_MATH\_PH\_6
* ยูเนียนมีสมบัติการเปลี่ยนหมู่ จากตัวอย่างนี้
	+ WIKINIUM\_MATH\_PH\_8
* สมาชิกเอกลักษณ์ของการยูเนียนคือเซตว่าง
	+ WIKINIUM\_MATH\_PH\_10
* เซตใด ๆ ที่ยูเนียนกับเอกภพสัมพัทธ์ จะได้เอกภพสัมพัทธ์
	+ WIKINIUM\_MATH\_PH\_12
* ยูเนียนกับอินเตอร์เซกชัน มีสมบัติการแจกแจงซึ่งกันและกัน
	+ WIKINIUM\_MATH\_PH\_14
	+ WIKINIUM\_MATH\_PH\_16
* ยูเนียน อินเตอร์เซกชัน และส่วนเติมเต็ม มีความสัมพันธ์กันในกฎเดอมอร์แกน
	+ WIKINIUM\_MATH\_PH\_18
	+ WIKINIUM\_MATH\_PH\_20

## รูปแบบ

### ยูเนียนจำกัด

โดยทั่วไปแล้ว เราสามารถดำเนินการยูเนียนบนเซตหลายเซตได้พร้อมกัน เช่นการยูเนียนของเซต *A*, *B*, และ *C* จะประกอบด้วยสมาชิกทั้งหมดของ *A*, สมาชิกทั้งหมดของ *B* และสมาชิกทั้งหมดของ *C* โดยไม่มีสมาชิกอื่นที่นอกเหนือจากนี้ นั่นหมายความว่า *x* จะเป็นสมาชิกของเซต *A* ∪ *B* ∪ *C* ก็ต่อเมื่อ *x* เป็นสมาชิกของ *A* หรือ *x* เป็นสมาชิกของ *B* หรือ *x* เป็นสมาชิกของ *C*

เนื่องด้วยยูเนียนมีสมบัติการเปลี่ยนหมู่ ซึ่งไม่สำคัญว่าจะดำเนินการยูเนียนในลำดับใดก่อน **ยูเนียนจำกัด** จึงหมายถึงการดำเนินการยูเนียนเป็นจำนวนจำกัดของเซตกลุ่มหนึ่ง มิได้หมายความว่าเป็นการยูเนียนของเซตจำกัด

### ยูเนียนไม่จำกัด

อีกแนวคิดหนึ่งคือการยูเนียนเกี่ยวข้องกับกลุ่มของเซต ถ้าให้ **M** คือเซตที่มีสมาชิกเป็นกลุ่มของเซตเหล่านั้น (เซตของเซต) *x* จะเป็นสมาชิกของการยูเนียนของ **M** ก็ต่อเมื่อ มีเซต *A* ซึ่งเป็นสมาชิกของ **M** อย่างน้อยหนึ่งตัว และ *x* ก็เป็นสมาชิกของ *A* เขียนแทนด้วย WIKINIUM\_MATH\_PH\_22 หรือ WIKINIUM\_MATH\_PH\_24 ดังนี้

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_26
การยูเนียนของ **M** ในลักษณะนี้ไม่สำคัญว่า **M** จะมีจำนวนสมาชิก (จำนวนเซต) มากเท่าใด

สัญกรณ์ WIKINIUM\_MATH\_PH\_28 หมายถึงการยูเนียนของกลุ่มเซต *Ai* ทั้งหมด โดยที่ *i* เป็นสมาชิกของเซตดัชนี *I* ซึ่งเป็นสัญกรณ์แบบเดียวกับการเขียนอนุกรม สำหรับ **ยูเนียนไม่จำกัด** (หรือยูเนียนอนันต์) เซตดัชนี *I* จะเป็นเซตไม่จำกัด เช่นจำนวนธรรมชาติ สามารถเขียนได้ดังนี้

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_30
อินเตอร์เซกชันสามารถแจกแจงได้บนยูเนียนไม่จำกัด

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_32
และยูเนียนไม่จำกัดสามารถผสานเข้ากับอินเตอร์เซกชันไม่จำกัด จนเกิดเป็นกฎนี้ขึ้นมา

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_34
## อ้างอิง

* วัชรี กาญจน์กีรติ, *พีชคณิตนามธรรม*. กรุงเทพฯ : สำนักพิมพ์แห่งจุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย, 2551. ISBN 978-974-03-2114-9

## ดูเพิ่ม

* ผลต่างสมมาตร
* อินเตอร์เซกชัน
* ส่วนเติมเต็ม
* การดำเนินการทวิภาควนซ้ำ

## แหล่งข้อมูลอื่น

* Infinite Union and Intersection at ProvenMath De Morgan's laws formally proven from the axioms of set theory.