# ลวดลายในธรรมชาติ

ลวดลายทางธรรมชาติเกิดขึ้นเมื่อลมพัดทรายบนเนินทรายของทะเลทรายนามิบ เนินทรายรูปพระจันทร์เสี้ยวและรอยริ้วคลื่นปรากฏบนพื้นผิวครั้งแล้วครั้งเล่าเมื่อมีสภาวะที่เหมาะสม
ลวดลายของเวลล์คามิเลียน (veiled chameleon) หรือ *Chamaeleo calyptratus* ซึ่งวิวัฒนาการมาเพื่ออำพราง และเพื่อบอกอารมณ์ และสถานะทางการผสมพันธุ์
**ลวดลายในธรรมชาติ**คือ รูปแบบที่มีความสม่ำเสมออย่างชัดเจนซึ่งพบได้ในโลกธรรมชาติ ลวดลายเหล่านี้เกิดขึ้นซ้ำ ๆ ในบริบทที่ต่างกัน และบางครั้งสามารถถูกกำหนดรูปแบบโดยแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ ลวดลายทางธรรมชาติ ได้แก่ ความสมมาตร ต้นไม้ เกลียว ลำน้ำโค้งตวัด คลื่น โฟม เทสเซลเลชัน รอยแตก และ รอยริ้ว นักปรัชญากรีกได้ศึกษาลวดลายเช่นเดียวกัน โดยมีเพลโต พีทาโกรัส และเอมเพโดคลีส พยายามจะอธิบายอันดับในธรรมชาติ การเข้าใจเรื่องลวดลายซึ่งมองเห็นได้นั้นได้รับการพัฒนาตามกาลเวลา

ในช่วงคริสต์ศตวรรษที่ 19 นักฟิสิกส์ชาวเบลเยี่ยม โยเซป พลาโตได้ทำการทดลองกับฟิล์มฟองสบู่ทำให้เขาได้วางเกณฑ์แนวความคิดของพื้นผิวที่น้อยที่สุด นักชีววิทยาและศิลปินชาวเยอรมัน แอร์นสต์ เฮคเคล ได้วาดรูปสัตว์น้ำกว่าร้อยชนิดเพื่อให้ความสำคัญเรื่องความสมมาตร นักชีววิทยาชาวสก๊อต D'Arcy Thompson ริเริ่มการศึกษาลวดลายในทั้งในพืชและสัตว์และแสดงให้เห็นว่าสามารถใช้สมการง่าย ๆ เพื่ออธิบายการโตแบบวงก้นหอยได้ ในช่วงคริสต์ศตวรรษที่ 20 นักคณิตศาสตร์ชาวอังกฤษ แอลัน ทัวริง ทำนายกลไกของการเกิดสัณฐานซึ่งทำให้เกิดลายจุดและรอยริ้ว นักชีววิทยาชาวฮังการี Aristid Lindenmayer และนักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศสอเมริกัน เบอนัว มานดัลบรอ แสดงว่าคณิตศาสตร์ของแฟร็กทัลสามารถสร้างลวดลายในการเจริญเติบโตของพืช

คณิตศาสตร์ ฟิสิกส์ และ เคมี สามารถอธิบายลวดลายในธรรมชาติในระดับที่ต่างกัน ลวดลายในสิ่งมีชีวิตอธิบายได้โดยวิธีทางชีววิทยาด้านการคัดเลือกโดยธรรมชาติ และ การคัดเลือกทางเพศ การศึกษาของการเกิดลวดลายแบบจำลองทางคอมพิวเตอร์เพื่อจำลองลวดลายในแบบต่าง ๆ

## ประวัติ

ลวดลายฟีโบนัชชีพบได้ทั่วไปในโครงสร้างของพืชรวมถึงต้น Queen sago (*Cycas circinalis)* เหล่านี้
นักปรัชญากรีกในยุคแรกได้พยายามอธิบายอันดับในธรรมชาติ และคาดการแนวคิดสมัยใหม่ เพลโต (ประมาณ 427 – 347 ปีก่อนคริสต์ศักราช) โดยดูจากผลงานเกี่ยวกับลวดลายทางธรรมชาติของเขา เขาได้สนับสนุนการมีอยู่ของสิ่งสากล เขาเชื่อในการมีอยู่ของรูปแบบในอุดมคติ (εἶδος *eidos*: "form") ซึ่งกล่าวว่าวัตถุที่จับต้องได้ทุกอย่างนั้นไม่มีทางเป็นอะไรได้มากกว่าสำเนาที่บกพร่อง ดังนั้น ดอกไม้อาจมีรูปทรงกลม ทว่าไม่อาจเป็นวงกลมที่สมบูรณ์แบบทางคณิตศาสตร์ได้ พีทาโกรัส อธิบายลวดลายในธรรมชาติเสมือนการประสานเสียงในเสียงดนตรีซึ่งมาจากตัวเลขที่เขาเชื่อว่าเป็นองค์ประกอบพื้นฐานของการมีอยู่ เอมเพโดคลีสได้คาดการคำอธิบายทางวิวัฒนาการของสำหรับโครงสร้างสิ่งมีชีวิตของดาร์วินไว้ระดับหนึ่ง

ในปีค.ศ. 1202 เลโอนาร์โด ฟีโบนัชชี (ประมาณปี ค.ศ. 1170–1250) ได้แนะนำลำดับจำนวนฟีโบนัชชีสู่โลกตะวันตกด้วยหนังสือของเขา *Liber Abaci* ฟีโบนัชชีได้ให้ตัวอย่าง (ซึ่งเกินจริง) ทางชีววิทยาเกี่ยวกับการเติบโตของจำนวนประชากรกระต่ายในเชิงทฤษฎี ในปีค.ศ. 1917 D'Arcy Wentworth Thompson (ปีค.ศ. 1860–1948) ตีพิมพ์หนังสือ *On Growth and Form*คำบรรยายเกี่ยวกับการจัดเรียงของใบไม้และลำดับฟีโบนัชชีของเขา หรือ ความสัมพันธ์เชิงคณิตศาสตร์ในการเติบโตแบบวงก้นหอยในพืช ได้รับการยกย้องว่ามีคุณภาพสูง เขาทำให้เห็นว่าสมการง่าย ๆ สามารถอธิบายการเติบโตแบบวงก้นหอยที่ซับซ้อนของเขาสัตว์และเปลือกของสัตว์ในไฟลัมมอลลัสกาได้

นักฟิสิกส์ชาวเบลเยียม โยเซป พลาโต (ปี ค.ศ. 1801–1883) ได้สร้างปัญหาทางคณิตศาสตร์เรื่องการมีอยู่ของพื้นผิวที่น้อยที่สุดในพื้นที่ เขาศึกษาฟิล์มฟองสบู่และคิดค้นกฎของพลาโตซึ่งอธิบายเกี่ยวกับโครงสร้างของฟิล์มในฟองสบู่

นักจิตวิทยาชาวเยอรมัน อดอล์ฟ ไซซิง (ปี ค.ศ. 1810–1876) อ้างว่าอัตราส่วนทองถูกแสดงในการเรียงตัวของส่วนของพืช ในโครงกระดูกของสัตว์และรูปแบบในการแตกออกของเส้นเลือดดำและเส้นประสาท รวมไปถึงในเรขาคณิตของผลึก

แอร์นสต์ เฮคเคล (ปีค.ศ. 1834–1919) ได้วาดรูปอันสวยงามของสิ่งมีชีวิตทางทะเลที่มีชื่อว่าแรดิโอลาเรียนโดยมุ่งเน้นไปที่ความสมมาตรเพื่อสนับสนุนทฤษฎีวิวัฒนาการดาร์วินอันผิดพลาดของเขา

ช่างภาพชาวอเมริกัน วิลสัน เบนท์ลีย์ (ปี ค.ศ. 1865–1931) ถ่ายรูปภาพระดับจุลภาคของเกล็ดหิมะในปึค.ศ.1885

D'Arcy Thompson ริเริ่มการศึกษาของการเติบโตและรูปร่างในหนังสือของเขาซึ่งตีพิมพ์ในปีค.ศ.1917
ในปีค.ศ.1952 แอลัน ทัวริง (ปีค.ศ. 1912–1954) เป็นที่รู้จักจากงานเกี่ยวกับการคำนวณและการถอดรหัสหรือแปลข้อเขียนลับ ได้เขียน*พื้นฐานเคมีของการเกิดสัณฐาน* ซีงเป็นบทวิเคราะห์ของกลไกที่อาจจำเป็นในการสร้างลวดลายในสิ่งมีชีวิตในกระบวนการที่เรียกว่าการเกิดสัณฐาน เขาได้ทำนายปฏิกิริยาแกว่งทางเคมีที่เรียกว่าปฏิกิริยาเบลูซอฟ–จาโบทินสกี ทัวริงเสนอว่า กลไกตัวเร่ง-ตัวยับยั้งเหล่านี้ สร้างลวดลายทางและลายจุดในสัตว์ และมีส่วนช่วยให้เกิดรูปแบบในการเรียงใบของพืช

## การเกิด

คอมโพสิตแพตเทิร์น เพลี้ยอ่อน และลูกที่พึ่งเกิดในรูปแบบของกลุ่มคล้ายอะเรย์บนใบ Sycamore แบ่งเป็นรูปหลายเหลี่ยมโดยเส้นแบ่งใบ
สิ่งมีชีวิตเช่นกล้วยไม้ นกฮัมมิ่งเบิร์ด และหางของนกยูงมีการออกแบบที่เป็นนามธรรม โดยมีความงดงามของรูปแบบ ลวดลาย และสีซึ่งทำให้ศิลปินนั้นยากที่จะลอกเลียน ความงดงามซึ่งผู้คนเห็นในธรรมชาติเกิดได้จากหลายอย่างด้วยกัน ทฤษฎีที่โดดเด่นได้แก่ คณิตศาสตร์ซึ่งควบคุมการเกิดของลวดลาย และในหมู่สิ่งมีชีวิตในผลของการคัดเลือกตามธรรมชาติซึ่งควบคุมวิธีซึ่งรูปแบบค่อยๆ พัฒนา

รูปแบบการเติบโตของต้นไม้คล้ายรูปแบบของแฟร็กทัลระบบแอล
## รูปแบบของลวดลาย

### สมมาตร

* สัตว์มักแสดงการสมมาตรสองด้าน เช่นในเสือตัวนี้
* สัตว์ในไฟลัมเอไคโนเตอร์มาตา เช่นปลาดาวตัวนี้มีความสมมาตรห้าพับ (fivefold symmetry)
* ความสมมาตรห้าพับพบได้ในดอกไม้และผลไม้ เช่นผลพิกุลนี้
* ผลึกหิมะมีความสมมาตรหกพับ
* ผลึกหิมะแต่ละอันนั้นมีลักษณะเฉพาะแต่สมมาตร
* ฟลูออไรต์ซึงมีรูปแบบของผลึกสี่เหลี่ยม
* น้ำกระจายซึ่งมีรูปแบบสมมาตรรัศมี
* การ์เนตซึ่งเป็นผลึกสี่เหลี่ยมข้าวหลามตัดสิบสองหน้า
* วอลวอกซ์มีรูปแบบสมมาตรรัศมี
* ดอกไม้ทะเลรูปแบบสมมาตรการหมุน

### ต้นไม้ แฟร็กทัล

* ใบของพลาสลี่ (*Anthriscus sylvestris*) เรียงแบบขนนก 2 ถึง 3 ชั้น
* แฟร็กทัลวงก้นหอย โรมาเนสโก้บรอกโคลีมีรูปแบบคล้ายตัวเอง
* Angelica flowerhead ทรงกล้มสร้างจากทรงกลม (คล้ายตัวเอง)
* ต้นไม้ รูปลิคเต็นเบิร์ก ไดอิเล็กทริกความแรงสูงทำลายบล็ออะคริลิค โพลิเมอร์ค
* ต้นไม้ ผลึกทองแดงที่แตกแขนง (ใต้กล้องจุลทรรศน์)
* รูปแบบการละลายน้ำแข็งแบบแฟร็กทัลบนดาวอังคาร

### วงก้นหอย

* วงก้นหอยฟีโบนัชชี
* แกะเขาใหญ่ (*Ovis canadensis*)
* วงก้นหอย การจัดเรียงใบของ *Aloe polyphylla*
* การเติบโตแบบลอการิทึมของเปลือกหอยนอติลุสเป็นวงก้นหอย
* วงก้นหอยเฟอร์แม็ท หัวเมล็ดทานตะวัน (*Helianthus annuus*)
* วงก้นหอยฟีโบนัชชีซ้อนกัน กะหล่ำแดงผ่ากลาง
* เปลือกหอยทาก (*Trochoidea liebetruti*) แสดงให้เห็นถึงรูเปิดซึ่งขยับวนไปมา ไปข้างนอก และด้านล่าง เมื่อโตขึ้น
* เปลือกหอยทากคล้ายกฎข้อที่ 30 ของ cellular automaton
* Chaos: คลื่นวนของก้อนเมฆ
* ทางน้ำโค้งตวัด และ ทะเลสาบรูปแอก (Oxbow lake) ใน Rio Negro เห็นได้จากอวกาศ
* ทางน้ำโค้งตวัดที่ Rio Cauto ประเทศคิวบา
* งูเลื้อยตวัด
* ปะการังสมอง (*Diploria strigosa*)

### คลื่น เนิน

* คลื่นในน้ำจากเรือ
* เนินทรายในทะเลทรายทากลามากันจากอวกาศ
* เนินทรายทรงจันทร์เสี้ยว
* รอยคลื่นลมใน Sistan ประเทศอัฟกานิสถาน

### ฟอง โฟม

* โฟมของฟองสบู่ ขอบทั้งสี่ด้านพบกันที่จุดเดียว ทำมุมใกล้เคียงกับ 109.5° เช่นเดียวกับพันธะ C-H ของ มีเทน
* แรดิโอลาเรียนวาดโดยเฮคเคลใน Kunstformen der Natur (ปีค.ศ. 1904)
* Haeckel's Spumellaria ของเฮคเคล โดยกระดูกของแรดิโอลาเรียนเหล่านี้มีรูปแบบคล้ายโฟม
* Buckminsterfullerene C60: Richard Smalley และคณะได้สังเคราะห์ฟูลเลอรีนในปีค.ศ.1985
* Brochosomes (ไมโครพาติเคิลซึ่งผลิตโดยเพลี้ยจักจั่น) มักเรียนแบบรูปทรงทางเลขขาคณิตของฟูลเลอรีน
* เต้นท์ละครสัตว์ใกล้เคียงกับพื้นผิวที่น้อยที่สุด
* สระว่ายน้ำฟองน้ำสำหรับโอลิมปิกฤดูร้อน 2008
* ทรงกลมขนาดเท่ากัน (ฟองแก๊ส) ในพื้นผิวของโฟม

### เทสเซลเลชัน

* ผลึกทรงเหลี่ยมของแร่เฮไลท์
* รังผึ้งในเทสเซลเลชัธรรมชาติ
* ผลึก Bismuth hopper แสดงถึงรูปแบบผลึกแบบขั้นบันได
* ดอกของ *Fritillaria meleagris* ซึ่งถูกเทสเซลเลชัน
* เกล็ดที่ซ้อนกันของ *Rutilus rutilus*
* เกล็ดซ้อนกันของสละ (*Salacca zalacca*)
* ทางลาดยางเทสเซลเลชัน การจัดเรียงของหินที่หายากบนคาบสมุทรทัสมัน

### รอยแตก

* พื้นผิวของเครื่องปั่นดินเผาโบราณซึ่งมีรอยแตก 90° องศา
* โคลนแห้งซึ่งมีรอยแตก 90° เป็นส่วนใหญ่
* หินแกบโบร ซึ่งมีรอยแตก 90°
* โคลนแห้งซึ้งมีรอยแตก 120° เป็นส่วนใหญ่
* หินบะซอลต์เย็น ซึ่งมีรอยแตก 120° เป็นส่วนใหญ่
* ต้นปาล์มซึ่งมีรอยแตกแขนงแนวตั้ง (รอยแผลเป็นใบไม้แนวนอน)

### ลายจุด ลายทาง

* ผีเสื้อ (*Colobura dirce*)
* ม้าลาย (*Equus grevyi*)
* ปลาสินสมุทรบั้งเหลือง (*Pygoplites diacanthus*)
* เสือดาว (*Panthera pardus pardus*)
* แมลงเต่าทอง โดย G.G. Jacobson
* รูปแบบในการผสมพันธุ์ของหมึกกระดอง (*Sepia officinalis*)

### การเกิดลวดลาย

แอลัน ทัวริง และนักชีวคณิตศาสตร์ เจมส์ เมอร์รี ได้อธิบายกลไกซึ่งสร้างลายจุดหรือรอยริ้วได้โดยธรรมชาติ ที่เรียกว่าระบบปฏิกิริยา การแพร่ (reaction-diffusion system) เซลล์ของสิ่งมีชีวิตระยะแรกเริ่มมียีนซึ่งสามารถสลับเปลี่ยนได้ด้วยสัญญาณทางเคมี หรือ  มอร์โฟเจน (morphogen) ทำให้เกิดการเติบโตของรูปแบบเฉพาะ เช่นรอยสารสีเข้มบนผิวหนัง หากมอร์โฟเจนมีอยู่ทุกที่ ผลที่ได้คือการเกิดสีที่เสมอกัน เช่นในเสือดาวสีดำ ทว่าการกระจายไม่เสมอกันอาจทำให้เกิดจุดและลายทางได้ ทัวริงเสนอว่าอาจมีการควบคุมสัญญาณป้อนกลับ (feedback control) สำหรับการผลิตของตัวมอร์โฟเจนเอง สิ่งนี้อาจก่อให้เกิดความผันผวนอย่างต่อเนื่องในปริมาณมอร์โฟเจนขณะที่กำลังแพร่ทั่วร่างกาย กลไกที่สองเป็นที่ต้องการเพื่อสร้างลวดลายคลื่นนิ่ง (เพื่อให้เกิดลายจุดหรือลายทาง) ตัวยับยั้งทางเคมีซึ่งหยุดการทำงานของมอร์โฟเจน และซึ่งแพร่ผ่านร่างกายเร็วกว่ามอร์โฟเจน ทำให้เกิดแผนที่ประกอบด้วยตัวกระตุ้นและตัวยับยั้งและ ปฏิกิริยาเบลูซอฟ–จาโบทินสกีเป็นตัวอย่างที่ไม่เกี่ยวข้องทางชีววิทยาของแผนแบบนี้ หรือเรียกได้ว่าเป็น ตัวแกว่งทางเคมี (chemical oscillator)

ต่อมา งานวิจัยได้สามารถสร้างแบบจำลองที่น่าเชื่อถือของลวดลายซึ่งครอบคลุมหลายอย่างเช่น ลายเส้นของม้าลาย แต้มบนยีราฟ จุดบนเสือจากัวร์ (แต้มสีเข้มปานกลางซึ่งล้อมรอบด้วยวงแหวนสีเข้มแตก ๆ)  และลวดลายบนกระดองของแมลงเต่าทอง (รูปแบบทางเรขาคณิตต่าง ๆ ของลายจุดและลายทาง) แบบจำลองการกระตุ้น-การยับยั้งของริชาร์ด พรัม ซึ่งพัฒนามาจากผลงานของทัวริง ใช้ตัวแปรหกตัวเพื่ออธิบายลวดลายพื้นฐานทั้งเก้า

รูปแบบสามารถเกิดได้จากเหตุผลอื่นในภูมิภาพของพุ่มเสือ andคลื่นต้นเฟอร์ ลายเส้นพุ่มเสือเกิดขึ้นบนที่ลาดเอียงที่มีความเอียงซึ่งการโตของพืชนั้นถูกจำกัดด้วยปริมาณฝน เส้นลายแนวนอนแต่ละเส้นที่พืชโตรวบรวมน้ำฝนจากพื้นที่ว่างข้างบนที่ติดกัน คลื่นต้นเฟอร์เกิดขึ้นในป่าบนที่ลาดเอียงของภูเขาหลังการรบกวนของลมขณะกำลังเจริญทดแทน เมื่อต้นไม้ล้ม ต้นไม้ซึ่งต้นไม้ซึ่งเคยถูกปกป้องมีโอกาศที่จะถูกทำลายมากขึ้น ดังนั้นช่องว่างมีแน้วโน้มจะขยายตามทางลม ในขณะเดียวกัน บนด้านต้านลม ต้นกล้าโตและได้รับการปกป้องจากลมโดยต้นไม้ใหญ่ บางครั้ง ลวดลายทางธรรมชาติอาจเกิดจากสัตว์ เช่นในเนินมิมาในภาคตะวันตกเฉียงเหนือของสหรัฐอเมริกา และพื้นที่อื่น ซึ่งซึ่งสร้างโดย ตัวตุ่นดำดิน (gophers) โดยใช้เวลาหลายปี

ในชั้นดินเยือกแข็งคงตัวซึ่งชั้นบนนั้นเกิดการแข็งตัวและละลายในทุกๆ ปี พื้นดินซึ่งมีลวดลายอาจเกิดขึ้น เป็นรูปทรงกลม ตาข่าย  รูปหลายเหลี่ยมจากลิ่มน้ำแข็ง ขั้นบันได และลายทาง การหดตัวโดยความร้อนทำให้เกิดรอยแตก น้ำเติมเต็มรอยแตกเหล่านั้นขณะละลายและขยายตัวเมื่อแข็งเป็นลิ่ม รอยแตกเหล่านี้อาจเชื่อมกันเป็นรุปทรงหลายเหลี่ยหรือรูปทรงอื่น ๆ

* ปลาปักเป้ายักษ์ (*Tetraodon mbu*)
* รายละเอียดบนผิวหนังปลาปักเป้ายักษ์
* รูปถ่ายของการจำลองปฏิกิริยาเบลูซอฟ–จาโบทินสกี
* ไก่ต๊อก (*Numida meleagris*) ซึ่งขนมีการเปลี่ยนรูปแบบจากแถบสีเป็นจุดทั้งบนเส้นขนและทั่วตัว
* มุมบนของพุ่มเสือในประเทศไนเจอร์
* คลื่นต้นเฟอร์ในภูเขาขาวรัฐนิวแฮมป์เชียร์
* ดินบนน้ำแข็งที่กำลังละลายรายล้อมไปด้วยลิ่มน้ำแข็งใกล้รัฐ Tuktoyaktuk ประเทศแคนนาดา

## ดูเพิ่ม

* Emergence
* Evolutionary history of plants
* Mathematics and art

## อ้างอิง

## บรรณานุกรม

### ผู้เขียนที่ริเริ่ม

* Fibonacci, Leonardo. *Liber Abaci*, 1202.
	+ ----- translated by Sigler, Laurence E. *Fibonacci's Liber Abaci*. Springer, 2002.
* Haeckel, Ernst. *Kunstformen der Natur* (Art Forms in Nature), 1899–1904.
* Thompson, D'Arcy Wentworth. *On Growth and Form*. Cambridge, 1917.

### หนังสือทั่วไป

* Adam, John A. *Mathematics in Nature: Modeling Patterns in the Natural World*. Princeton University Press, 2006.
* Ball, Philip. *Nature's Patterns: a tapestry in three parts. 1:Shapes. 2:Flow. 3:Branches.* Oxford, 2009.
* Murphy, Pat and Neill, William. *By Nature's Design*. Chronicle Books, 1993.
* Rothenburg, David. *Survival of the Beautiful: Art, Science and Evolution*. Bloomsbury Press, 2011.
* Stevens, Peter S. *Patterns in Nature*. Little, Brown & Co, 1974.
* Stewart, Ian. *What Shape is a Snowflake? Magical Numbers in Nature*. Weidenfeld & Nicolson, 2001.

### ลวดลายจากธรรมชาติ (เชิงศิลปะ)

* Edmaier, Bernard. *Patterns of the Earth*. Phaidon Press, 2007.
* Macnab, Maggie. *Design by Nature: Using Universal Forms and Principles in Design*. New Riders, 2012.
* Nakamura, Shigeki. *Pattern Sourcebook: 250 Patterns Inspired by Nature.*. Books 1 and 2. Rockport, 2009.
* O'Neill, Polly. *Surfaces and Textures: A Visual Sourcebook*. Black, 2008.
* Porter, Eliot, and Gleick, James. *Nature's Chaos*. Viking Penguin, 1990.

## แหล่งข้อมูลอื่น

* Fibonacci Numbers and the Golden Section เก็บถาวร 2016-02-10 ที่ เวย์แบ็กแมชชีน
* Phyllotaxis: an Interactive Site for the Mathematical Study of Plant Pattern Formation เก็บถาวร 2012-05-07 ที่ เวย์แบ็กแมชชีน