# కెప్లర్ సమీకరణము

ఐదు వేరువేరు వైపరీత్యాల మధ్య 0, 1 ని కెప్లర్ నియమము ద్వారా పరీక్షరించవచ్చు
భౌతిక శాస్త్రము ప్రకారం, ఒక కక్ష్యలో తిరుగుతున్న వస్తువు పై కక్ష్య కేంద్ర బలాలు, వివిధ జ్యామితి ధర్మములను కెప్లర్ యొక్క సమీకరణము తెలియజేస్తుంది.
**కెప్లర్ సమీకరణము** మొదటిగా యొహానెస్ కెప్లర్ (Johannes Kepler) చే తన ఆస్ట్రొనమి నొవ (Astronomia nova) లోని 60వ అధ్యాయంలో, 1609 లో, ఉత్పాదించబడింది. తరువాత 1621 లో ఎపిటొమీ అఫ్ కొపర్నికన్ ఆస్ట్రొనమి లోని 5 వ పుస్తకం లో కూడ ప్రస్తావించబడింది. ఈ సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడానికి కెప్లర్ ఒక పునరుత్థాన పద్ధతి (iterative method)ని కూడా సూచించేరు. ఈ సమీకరణము భౌతిక, గణిత శా స్త్రములలో, ప్రత్యేకించి ఖగోళ యాంత్రిక శాస్త్రములో, ముఖ్యమైన పాత్రను పోషించింది.

## కెప్లర్ సమీకరణము

ఖగోళ యంత్రగతి శాస్త్రంలో ఒక కేంద్రం నుండి ప్రసరిస్తూన్న బలం ప్రభావం వల్ల ఒక కక్ష్య వెంబడి తిరుగుతూన్న శాల్తీ యొక్క లక్షణాలని వర్ణించే ఈ దిగువ చూపిన సమీకరణము పేరు కెప్లర్ సమీకరణం.

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_0

ఇక్కడ WIKINIUM\_MATH\_PH\_2 అనునది సగటు వైపరీత్యము (mean anomaly), WIKINIUM\_MATH\_PH\_3 అనునది ఉత్కేంద్ర (eccentric anomaly) వైపరీత్యము, కాగా WIKINIUM\_MATH\_PH\_4 అనునది వైపరీత్యము. 'ఉత్కేంద్ర వైపరీత్యము' WIKINIUM\_MATH\_PH\_6 కెప్లరీయ కక్ష్యలో కదిలే ఒక బిందువు యొక్క స్థానమును గణించడంలో సహాయపడుతుంది. ఉదాహరణకు, ఒక వస్తువు నక్షత్రసమీప బిందువు (periastron) వద్ద, అనగా అక్షాంశాలు
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_7 , WIKINIUM\_MATH\_PH\_8 , ప్రారంభ సమయము WIKINIUM\_MATH\_PH\_9 దగ్గర, ఉందనుకుంటే, ఆ వస్తువు మరే ఇతర సమయంలోనైనా ఎక్కడ ఉందో గణించడానికి ముందస్తుగా ఆ వస్తువు యొక్క సగటు వైపరీత్యము WIKINIUM\_MATH\_PH\_10 ను, సగటు కదలిక (mean motion) WIKINIUM\_MATH\_PH\_11 ను WIKINIUM\_MATH\_PH\_12 అనే సూత్రమును ఉపయొగించి కనుగొనవచ్చు. ఇక్కడ "సగటు కదలిక" అంటే కక్ష్య వెంబడి ఒక చుట్టూ తిరగడానికి పట్టే సగటు కోణీయ జోరు (angular speed). తరువాత కెప్లర్ సమీకరణమును ఉపయొగించి E ను కనుగొనవచ్చు, తరువాత అక్షాంశాలను కనుక్కోడానికి ఈ దిగువ సమీకరణములు ఉపయోగించాలి.

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_13
ఇక్కడ సైన్ (sine) అనునది బీజాతీత ప్రమేయము కనుక కెప్లర్ సమీకరణముని బీజాతీత (transcendental) సమీకరణము అంటారు. కనుక బీజగణిత (algebraic) పద్ధతులని ఉపయోగించి E ని కనుగొనలేము. సంఖ్యావాచక విశ్లేషణ (numerical analysis) కాని, శ్రేణి విస్తరణ (series expansion) కాని సాధారణముగా E ను కనుగొడానికి అవసరము.

## ప్రత్యామ్నాయ రూపాలు

కెప్లర్ సమీకరణమునకు అనేక రూపాలు ఉన్నాయి. ప్రతీ రూపము కక్ష్య యొక్క నిర్దిష్ట లక్షణంతో సంబంధము కలిగి ఉంటుంది. ప్రామాణిక కెప్లర్ సమీకరణము దీర్ఘ వృత్తాకార కక్ష్యల కోసము ఉపయొగిస్తారు (0 ≤ ε < 1). అతివలయ (hyperbolic) కెప్లర్ సమీకరణమును అతివలయ కక్ష్యల్లో ఉపయొగిస్తారు (ε >> 1). త్రైజ్య (radial) కెప్లర్ సమీకరణం (అనగా, ε = 1) వాడితే సరళ సంచారగతులు వస్తాయి. ఈ ε = 0 అయినప్పుడు కక్ష్య వృత్తాకారముగా ఉంటుంది.

### అతివలయ (hyperbolic) కెప్లర్ సమీకరణము

అతివలయ కెప్లర్ సమీకరణము ఏమనగా:

```
:  $M=E-\varepsilon \sin E 5

```

ఇక్కడ H అనునది అతివలయ ఉత్కేంద్ర వైపరీత్యం. ఈ సమీకరణాన్ని ఉత్పన్నం చెయ్యడానికి, కెప్లర్ యొక్క దీర్ఘవృత్త సమీకరణాన్ని -1 యొక్క వర్గమూలము తో గుణించాలి. (i=√ (−1) ఊహాత్మకం). అనగా E స్థానములో iH పెట్టాలి,

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_17
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_19
### త్రైజ్య (radial) కెప్లర్ సమీకరణము

```
త్రైజ్య కెప్లర్ సమీకరణము ఎమనగా:

```

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_21
ఇక్కడ t అనునది కాలమును సూచిస్తుంది., x అనునది x-అక్షము గుండా ఉండు దూరము.ఈ సమీకరణము కెప్లర్ సమీకరణమును 1/2 తో గుణించడం ద్వారా వచ్చును.

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_23
, ε=1 పెట్టగా,

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_25
ను ఇస్తుంది.

## విలోమ సమస్య (Inverse Problem)

E నుండి M ను సాధించడానికి మార్గం సుగమంగా ఉంటుంది. కాని M నుండి E ని సాధించడం కష్టం; ఈ సందర్భంలో సంవృత రూపంలో (closed-form) పరిష్కారం దొరకదు. అనంత శ్రేణి రూపంలోపరిష్కారం సాధించవచ్చు కాని ఆ శ్రేణి అభిసరణ చెందదు. ఈ సమశ్య ఎంత క్లిష్టతమం అంటే "దీనికి పరిష్కారం ఉందా?" అని సాక్షాత్తూ కెప్లర్ మహాశయుడే సందేహం వ్యక్తపరచేడు!

## విలోమ కెప్లర్ సమీకరణము

విలోమ కెప్లర్ సమీకరణము, కెప్లర్ సమీకరణము యొక్కఅన్నీ వాస్తవ విలువల యొక్క εను పరిష్కరిచుటకు ఉంది.

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_27
పైన చూపిన అంశాలని పరిష్కరించగా -

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_29
ఈ శ్రేణిని Mathematica ఉపయోగించి ఈ దిగువ చూపిన విధంగా పరిష్కరించవచ్చు:

`InverseSeries[Series[M - Sin[M], {M, 0, 10}]]`
`InverseSeries[Series[M - e Sin[M], {M, 0, 10}]]`
## విలోమ త్రైజ్య కెప్లర్ సమీకరణము

విలోమ త్రైజ్య కెప్లర్ నియమము ఎమనగా:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_31
నాణ్యత పరీశీలన:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_33

```
Mathematica ఉపయోగించి ఫలితము సాధించుట కొరకు:

```

`InverseSeries[Series[ArcSin[Sqrt[t]] - Sqrt[(1 - t) t], {t, 0, 15}]]`
## విలోమ సమస్య యొక్క సంఖ్యా పరమైన అంచనా

ఎక్కువ ఆవర్తనాలను విలోమ సమస్య చర్య యొక్క వర్గమూలము కనిపెట్టడం ద్వారా సంఖ్యాపరంగా గణిచవచ్చు.

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_35
దీనిని న్యూటన్ పద్ధతి ద్వారా కూడా చేయవచ్చు.

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_37
గమనిక E, M లు రేడియన్ల గనణలో ప్రమాణాలుగా ఉంటయి.

## ఇవి కుడా చూడండి

* కెప్లర్ సమీకరణము

## మూలాలు

## బయటి లంకెలు

* Kepler's Equation
* Solving Kepler's Equation of Elliptical Motion