# గణితం

పూణేలో ఆర్యభట్టు విగ్రహం
**గణిత శాస్త్రం**  (గ్రీకు: μάθημα *máthēma*, "జ్ఞానం, అధ్యయనం, నేర్చుకొను") - దీన్ని గణితం అని కూడా వ్యవహరిస్తారు. అనగా పరిమాణములు, సంఖ్యలు, నిర్మాణాలు, స్థలాలు, మార్పుల యొక్క నైరూప్య అధ్యయనము. దానికి సాధారణంగా అంగీకరింపబడిన నిర్వచనము లేదు.

గణిత శాస్త్రవేత్తలు క్రమాలను అన్వేషించి, వాటితో కొత్త ప్రతిపాదనలను రూపొందించుతారు. వారు ఆ ప్రతిపాదన సత్యాన్ని, అసత్యాన్ని గణితశాస్త్ర ఆధారాలతో నిర్ధారిస్థారు. ఎప్పుడైతే గణిత నిర్మాణములు వాస్తవానికి మంచి నమూనాలు అవుతాయో, అప్పుడు గణిత తార్కికం ప్రకృతి అంతర్దృష్టి, అంచనాలు అందించగలుతుంది. నైరూప్యత, తర్కం వాడుకతో గణిత శాస్త్రం లెక్కించుట, గననము, కొలత, భౌతిక వస్తువుల ఆకారకదలికల క్రమబద్ధమైన అధ్యాయనం నుంచి అభివృద్ధి చెందినది. ఆచరణాత్మక గణితము లిఖిత రుజువులు ఉన్నప్పట్టి నుంచి మానవ కార్యకలాపముగా ఉనికిలో ఉంది. కొన్ని కఠిన గణిత సమస్యలు పరిష్కరించడానికి కావల్సిన పరిశోధన కోసం కొన్నిసంవత్సరాలే కాదు శతాబ్దాలు కుడా పట్టువదలని విచారణ అవసరం అవుతుంది.

గ్రీకు గణిత శాస్తాలలో మొట్టమొదటిగా కఠినమైన వాదప్రతివాదనలు కనిపిస్తాయి, ముఖ్యంగా యూక్లిడ్ *ఎలిమెంట్స్*లో. జుసెప్పే పెయానో (కి.శ. 1858 - కి.శ. 1932), డేవిడ్ హిల్బెర్ట్ (కి.శ. 1862 - కి.శ. 1943), గత 19వ శతాబ్దంలో సిద్ధాంతాలతో కూడిన వ్యవస్థలపై మార్గదర్శకత్వం వహించినప్పటి కాలం నుంచి, తగినట్టుగా ఎంచుకున్న సిద్ధాంతాలు, నిర్వచనాలు నుంచి కఠినమైన మినహాయింపులతో[డిడక్షన్స్] స్థాపించిన సత్యాలుగా గణిత పరిశోధనని చూడడం ఆచారం అయింది. పునరుజ్జీవన కాలము వరకు గణిత శాస్త్రం అభివృద్ధి సాపేక్షంగా నెమ్మదిగా సాగినా, సరికొత్త శాస్త్రీయ ఆవిష్కరణలతో సంకర్షణ గణిత ఆవిష్కరణలు వేగంగా పెరగడానికి దారి తీసాయి. అది ప్రస్తుత కాలం వరకు కుడా సాగుతోంది.

గెలీలియో గెలీలి (కి.శ. 1564 - కి.శ. 1642) - "ఈ విశ్వం భాషని నెర్చుకొని అందులోని గుణాలతో పరిచయాన్ని పెంచుకోమో, అప్పటి వరకు మనం దాన్ని చదవలేము. ఈ విశ్వం గణిత బాషలో రచించబడినది, దాని అక్షరాలు త్రిభుజాలు, వృత్తాలు , ఇతర రేఖాగణిత రూపాలు. గణితము లేనియడల ఈ విశ్వాన్ని అర్ధం చేసుకొనుట మానవ సాధ్యము కాదు. ఇవి లేకుంటే, ఒక చీకటి చిక్కుల దారిలో తిరుగుతున్నట్టే.." అని అన్నారు. కార్ల్ ఫ్రెడ్రిక్ గాస్ (కి.శ. 1777 - కి.శ. 1855) గణిత శాస్త్రాన్ని "విజ్ఞానాలలో కెల్లా రాణి" అన్నారు. బెంజమిన్ పెయర్స్ (కి.శ. 1809 - కి.శ. 1880) గణిత శాస్త్రం గూర్చి "అవసరమైన పరిష్కారాలకి అవసరమైన విజ్ఞానము" అని అన్నారు. డేవిడ్ హిల్బెర్ట్ గణిత శాస్త్రం గురించి "మనం యాదృచ్చికాల గురించి కాదు మాట్లాడేది. గణితం అసలు యాదృచ్చికంగా నిర్దేశించుకున్న నియమాలతో నిర్ణయించబడేది కాదు. అది, ఒక అంతర్గత అవసరాన్ని కలిగియున్న సంభావిత వ్యవస్థే తప్ప ఇంకో రకంగా చుడలేము" అని అన్నారు. ఆల్బర్ట్ ఐన్‌స్టీన్ (కి.శ. 1879 - కి.శ. 1955) "గణిత నియమాల వాస్తవికత వరకు వస్తే, అవి ఖచ్చితం కావు; వాటి ఖచ్చితత్వానికి వస్తే, ఆవీ వాస్తవాన్ని పరిగణలోకి తీసుకోవు" అని వ్యాఖ్యానించారు.

గణిత శాస్త్రం అనేక రంగాలలో ముఖ్యమైనది. అందులో ప్రకృతి శాస్త్రాలు, ఇంజనీరింగు, వైద్యం, ఆర్థిక, ద్రవ్య, సామాజిక.. మొదలైన శాస్త్రాలు మిళితమై ఉంటాయి. **అనువర్తిత గణిత శాస్త్రం** సరికొత్త గణిత విభాగాలకి దారి తీసింది, అందులో గణాంకాలు[స్టాటిస్టిక్స్], ఆట సిద్దాంతము[గేం థియరి] లాంటివి ఉన్నాయి. గణిత శాస్త్రవేత్తలు స్వచ్ఛ గణితంలో[ప్యూర్ మ్యాథెమాటిక్స్] కుడా పరిశోధన చేస్తారు. అందులో గణితాన్ని దాని కోసం చెయ్యడం తప్ప వేరే అనువర్తిత ఆలోచన ఉండదు. అనువర్తిత గణితానికి, స్వచ్ఛ గణితానికి నిశ్చితమైన విశదీకరణం లేదు. తరచూ స్వచ్ఛ గణితానికి ఆచరణాత్మక ఉపయోగాలు కనుగొనబడతాయి.

## చరిత్ర

గణితం వేద కాలము నుండి భారతీయ సంప్రదాయంలో భాగమేనని మన వేద గణితం ద్వారా మనకు తెలియుచున్నది. గణితం ప్రాచీన భారతదేశంతో పాటు ప్రాచీన ఈజిప్టు, మెసపుటేమియా, ప్రాచీన చైనా, ప్రాచీన గ్రీకు నాగరికతలలో ఎక్కువగా అభివృద్ధి చెందినది. ప్రపంచ వ్యాప్తంగా గణితము అభివృద్ధిలో భారతీయుల పాత్ర ఎంతో ఉంది. సంఖ్యామానానికి పట్టుకొమ్మ అయిన **సున్నా** భారతీయుల ఆవిష్కరణే.

**కొన్ని ప్రాచీన భారతీయ గణిత గ్రంథాలు: పంచ సిద్దాంతిక - సా.శ..5వ శతాబ్దము
* ఆర్యభట్టీయం - సా.శ..5వ శతాబ్దము
* సిద్ధాంత శిరోమణి - సా.శ..12వ శతాబ్దము
* లీలావతి - భాస్కరాచార్య II - సా.శ..12వ శతాబ్దం
* శుల్బ సూత్రాలు - రేఖా గణిత సూత్రాలు ఉన్నాయి. దేవాలయ నిర్మాణానికి ఉపయోగించేవారు.

ఆధునిక కాలపు తొలినాళ్ళలో (1400-1750 కాలంలో) పశ్చిమ ఐరోపాలో గణిత శాస్త్రం అభివృధ్ధి వేగంపుంజుకుంది. 17వ శతాబ్దంలో న్యూటన్, లీబ్నిజ్ ల కలన గణితం అభివృద్ధి చెందిది. గణితంలో విప్లవాత్మక మార్పులను తెచ్చింది. లియొన్‌హార్డ్ ఆయిలర్ 18వ శతాబ్దంలో అత్యంత ప్రసిద్ధ గణిత శాస్త్రజ్ఞుడు, అనేక సిద్ధాంతాలు, ఆవిష్కరణలకు తోడ్పడ్డాడు. 19వ శతాబ్దంపు తొలి గణిత శాస్త్రజ్ఞులలో ఒకడైన కార్ల్ ఫ్రెడ్రిక్ గాస్, బీజగణితం, విశ్లేషణ, అవకలన జ్యామితి, మాతృక సిద్ధాంతం, సంఖ్యా సిద్ధాంతం, గణాంకాలు వంటి రంగాలలో అనేక రచనలు చేశాడు. 20వ శతాబ్దం ఆరంభంలో **కర్ట్ గొడెల్** తన అసంపూర్ణ సిద్ధాంతాలను ప్రచురించడం ద్వారా గణితాన్ని మార్చాడు. అసంపూర్ణ సిద్ధాంతం ప్రకారం *ఏదైనా స్థిరమైన అక్షసంబంధ వ్యవస్థ-అంకగణితాన్ని వివరించేంత శక్తివంతంగా ఉంటే- అది నిరూపించలేని నిజమైన ప్రతిపాదనలను కలిగి ఉంటుంది.*

కార్ల్ ఫ్రెడరిక్ గాస్, **గణిత శాస్త్రవేత్తల యువరాజు**గా ప్రశస్తుడు.
అప్పటి నుండి గణితం బాగా విస్తరించింది. గణితం, విజ్ఞాన శాస్త్రం మధ్య రెండింటి ప్రయోజనం కోసం ఫలవంతమైన పరస్పర చర్య జరిగింది, జరుగుతుంది. గణిత ఆవిష్కరణలు నేటికీ కొనసాగుతున్నాయి. 2006లో *అమెరికన్ మ్యాథమెటికల్ సొసైటీ* బులెటిన్ జనవరిల సంచికలో *మిఖాయిల్ బి. సెవ్ర్యూక్ ప్రకారం.. 1940 నుండి గణిత సమీక్షల* డేటాబేస్ లో చేర్చబడిన పత్రాలు, పుస్తకాల సంఖ్య ఇప్పుడు 19 లక్షలను దాటింది. ప్రతి సంవత్సరం 75 వేల అంశాలు డేటాబేసుకు జోడించబడుతున్నాయి. ఈ మహాసముద్రంలో అధిక రచనలు కొత్త గణిత సిద్ధాంతాలు, వాటి రుజువులు చేరాయి.

## శాఖలు

గణితం వివిధ భాగములుగా అభివృద్ధి చెందుతున్నది, అందులో కొన్ని..

**బీజ గణితం** (Algebra) - బీజ గణితములో వివిధ భాగములున్నవి. అవి సమితులు, ప్రమేయములు, అనుక్రమాలు, శ్రేణులు, సంభావ్యత, అవధులు, ప్రస్తారాలు, సంయోగాలు మొదలైనవి.

**రేఖా గణితం / క్షేత్ర గణితం** (Geometry) - రేఖా గణితములో వృత్తములు, త్రిభుజములు, సరళ రేఖలు మొదలైన ఆకృతులను గూర్చి, అవి ఆధారపడు సూత్రముల గురించి వివరించబడును. రేఖా గణితమును మొదట యజ్ఞ యాగాదుల కొరకు ఉపయోగించారు. రానురాను అది ఒక శాస్త్రముగ అభివృద్ధి చెందింది.

**త్రికోణమితి** (Trigonometry) - త్రికోణమితి ముఖ్యంగా త్రిభుజములు వాటి సూత్రములు ఆధారముగా భుజాలను, కోణాలను కొలుచుటకు ఉపయోగించు శాస్త్ం. త్రికోణమితి ఉపయోగాలు ఖగోళ శాస్త్రములోను, నిజజీవితములోను ఎన్నో చోట్ల ఉపయోగపడుతున్నాయి. నక్షత్రములు, గ్రహముల మధ్య దూరములను అంచనా వేయడానికి త్రికోణమితిని ఉపయోగిస్తారు. త్రికోణమితిలో ప్రమేయాలు లంబకోణ త్రిభుజము ఆధారంగా నిర్వచించబడినవి. ఒక త్రిభుజంలో 90 డిగ్రీలు ఉన్న కోణాన్ని లంబకోణమనీ, 90 డిగ్రీలకంటే ఎక్కువ ఉంటే గురుకోణమనీ, 90 డిగ్రీలకంటే తక్కువ ఉంటే లఘుకోణమనీ అంటాం. ఒక త్రిభుజములోని కోణాల మొత్తం 180 డిగ్రీలు. త్రిభుజములో ఒక కోణము 90 డిగ్రీలు ఉంటే ఆ త్రిభుజాన్ని లంబకోణ త్రిభుజం అంటాము. ఒక కోణం గురుకోణమైతే దానిని గురుకోణ త్రిభుజం అంటాం. మూడు కోణాలూ లఘుకోణాలైతే దానిని లఘుకోణ త్రిభుజము అంటాం. ఒక త్రిభుజంలో ఒక కోణానికి ఎదురుగా ఉన్న భుజాన్ని ఎదురు భుజం అని, కోణానికి ఇరు పక్కలా ఉండే భుజాలను ఆసన్నభుజంలని అంటాం. లంబకోణ త్రిభుజంలో లంబ కోణం కాని మిగిలిన రెండు కోణాలూ లఘుకోణాలుగా కాని గమనిస్తాం. లంబకోణ త్రిభుజంలో లంబకోణానికి ఎదురుగా ఉన్న కోణాన్ని కర్ణము అని కూడా అంటాం.

**సాంఖ్యక శాస్త్రం** (Statistics) - సాంఖ్యక శాస్త్రం ప్రయోగాత్మక డేటా, నిజ జీవిత అధ్యయనాల సమితి కోసం పరిమాణాత్మక నమూనాలు, ప్రాతినిధ్యాలు సంకలీనలను ఉపయోగిస్తుంది. గణాంకాలను అధ్యయనం చేయడం ద్వారా డేటా నుంచి నిర్ధారణలను సేకరించడానికి, సమీక్షించడానికి, విశ్లేషించడానికి ముగింపులను పొందడానికి మెథడాలజీలను అధ్యయనం చేస్తుంది.

**సంఖ్యా సిధ్ధాంతం - సహజ సంఖ్యా సమితి అనగా {1, 2, 3, .....} దీనిని 'N' తో సూచిస్తారు.
* పూర్ణాంకాళ సమితి అనగా {0, 1, 2, 3, .....} దీనిని 'W' తో సూచిస్తారు.
* పూర్ణ సంఖ్యల సమితి అనగా {...-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, .....} దీనిని 'z' తో సూచిస్తారు.
* ధన పూర్ణ సంఖ్యల సమితి అనగా {+1, +2, +3, .....} దీనిని '+Z' తో సూచిస్తారు.
* ఋణ పూర్ణ సంఖ్యల సమితి అనగా {-1, -2, -3, .....} దీనిని '-Z' తో సూచిస్తారు.
* అకరణీయ సంఖ్యల సమితి
* కరణీయ సంఖ్యల సమితి

కలన గణితము (Calculus) - కలన గణితము అనేది నిరంతర మార్పు చెందే ఒక గణిత అధ్యయనం. 17వ శతాబ్దిలో ఐజాక్ న్యూటన్, **గొట్ట్ఫ్రేడ్ విల్హెమ్ లైబ్నిజ్** ఆధునిక కలన గణితాన్ని అభివృద్ధి చేసారు. ఇటీవల కలన గణితాన్ని విజ్ఞానము, ఇంజనీరింగు, ఆర్థికశాస్త్రములోన విస్తృతంగా ఉపయోగపడుతోంది.

**సంభావ్యత** (Probability) - ప్రమాణికరణాన్ని సంఖ్యాత్మకంగా తెలుపడాన్ని సంభావ్యత అంటారు. ఇది ఒక ప్రతిపాదన నిజం కావడానికి సంఖ్యా వివరణలు ఇచ్చే గణితశాస్త్ర విభాగం. ఒక ఘటన సంభావ్యత 0 నుండి 1 వరకు ఉంటుంది. 0 అనేది ఘటన అసంభవత్వాన్ని తెలియజేయగా 1 ఆ ఘటన నిశ్చయత్వాన్ని సూచిస్తుంది. ఘటన సంభావ్యత సంఖ్య పెరిగికొద్దీ ఘటన చోటు చేసుకునే అవకాశాలు ఎక్కువ అవుతాయి.

## గణిత శాస్త్ర సంజ్ఞలు

మొదటి సారిగా George Boole గణిత సంజ్ఞలంటే ఏమిటో నిర్వచించాడు."ఒక స్థిరమైన అర్ధాన్ని సూచించేందుకు యాద్ధృచ్చికంగా ఏర్పాటై అట్లాగే ఏర్పడిన మిగతావాటితో నిర్ణీరన్యాయానుసారంగా సంయోగంపొందే గుర్తులు సంజ్ఞలు". Boole, Russel కంటే శతాబ్దాల క్రితమే గణిత సంజ్ఞలను నిర్వచించపోయినప్పటికీ, గణిత శాస్త్రానికి సంజ్ఞలకూగల సాన్నిహిత్యాన్ని శాస్త్రవేత్తలు గుర్తించారు.రాసులను వాటిమధ్య నిర్వచిత ప్రక్రియలను పరస్ప సంబంధాలను అరూప పద్ధతిలో ప్రస్ఫుటంగా, సంక్షిప్తంగా వివరించేందుకు సంజ్ఞలని వాడవలెనని, ఈలాంటి సంజ్ఞలతో వికసించే గణితాన్ని ఒక భాషగా ఎంచవచ్చునని ప్రాచీన శాస్త్రజ్ఞలు బాగా గుర్తించారు.

**= (Is Equal to)**  సంజ్ఞను ఇంగ్లాండులో సా.శ.. 1557లో Robert Recorde అనే గణితశాస్త్రజ్ఞుడు బీజగణితం మీద Whetstone of Wette అన్న పేరుతో ఒక పుస్తకం వ్రాస్తు == అనే సంజ్ఞను ప్రవేశపెట్టాడు. ప్రతిసారి Is Equal to అని వ్రాసేందుకు నాకు ఓపికలేదు కనుక దానికి బదులు == అనే పదబంధాన్ని వాడుతాను అన్నాడు. ఒకే పొడవు గల రెండు సమాంతర రేఖలు ఆరేఖలికిరువైపులా రెండు రాశులు, సమానలని సుచిస్తుంది. ఈ సంజ్ఞ సార్థకంగా ఉన్నందువలన కొన్నాళ్ళకు దీన్ని గణితప్రపంచం ఆమోదించింది. దీని రూపం === నుండి కొన్నాళ్ళకు =గా మారింది. 1557లో ప్రవేశపెట్టిన ఈ సంజ్ఞ 1618నాటికి అందరి ఆదరణకు పాత్రమయినది.

**X (స్థిర-అవ్యక్త రాశులు** Francois Vie'te ఫ్రాన్సు దేశంలో నాల్గవ హెన్రీ చేసేటప్పుడు ఉండిన న్యాయవాది. తను న్యాయవాదిగా గొప్ప పదవుల్ని అందుకొని రాచకార్యాల్లో నిమగ్నమై ఉండికూడా గణితశాస్త్ర అధ్యయాలని అలవరచుకొని శాస్త్రాభివృద్ధికి పాటిపడినాడు. ఈయన అవ్యక్త రాశులను ఇంగ్లీషు వర్ణమాల లోని అచ్చులద్వారా, స్థిరరాశులను హల్లుల ద్వారా సూచించడాన్ని ప్రారంభించాడు. తద్ద్వారా ఏదైనా సమీకరణాన్ని సార్వత్రిక రూపంలో వ్రాయడమనే పద్ధతి రూపొందింది. ఉదా: ax+e=O లో a, e లు స్థిరరాశులు, x అవ్యక్తరాశి. Rene Des Cartes ఈ పద్ధతినే కొంత మార్చి అనుసరించాడు. వర్ణమాలలోని మొదటి అక్షరాలద్వారా అవ్యక్తరాసులని సూచించాడు. William Oughtred దాదాపు 150 సంజ్ఞలను ఎంతో ఉత్సాహంతో ప్రవేశపెట్టాడు.

సా.శ.. 17వ శతాబ్ది చివరలో G.W.Leibniz సంజ్ఞల గురుంచి కొంత చర్చించి, అవి సంబోధకంగాను, వ్రాయడానికి సులభంగా ఉండవలనని శాసించాడు. గనితశాస్త్ర భావాలన్నింటినీ సంజ్ఞలలో, ఒక కొత్త భాషద్వారా వివరించి వికసింపజేయాలని కలలు కన్నాడు.కాని అప్పటికి అవి కలలుగానే మిగిలిపోయాయి. ఈ కల George Boole తన Analysis of Logic (1847) లో ప్రచురించిన నాడు ప్రతిఫలించింది.

**+- (సంకలనం-వ్యవకలనం** సమానతను సూచించే = కంటే 70సం.ముందే +- సంజ్ఞలు ప్రచారంలోకి వచ్చినవి. బ్రిటీషు గణిత శాస్త్రజ్ణుడు Johann Widman సా.శ..1489లో అంకగణితం మీద ఒక గ్రంథాన్ని వెలవరిస్తూ, ఆ గ్రంథంలో మొట్టమొదటిసారిగా సాధారణ సంకలన వ్యవకలన ప్రక్రియలను సూచించేందుకు ఈ సంజ్ఞలను వాడాడు. బీజగణితపరంగా ఈ +- లను వాడినవాడు (సా.శ.. 1514) Vander Hoccke అనే డచ్ శాస్త్రజ్ఞడు.

**X (గుణకారం)**  William Oughtred మొట్టమొదటిసారిగా గుణకారాన్ని సూచించేందుకు X ను సా.శ.. 1631లో తాను రచించిన Clavis Mathematicae అనే గ్రంథంలో వాడినాడు. కాని ఈ గుర్తును ఐరోపాఖండంలో శాస్త్రజ్ఞలు అంగీకరించలేదు. వారికి జర్మన్ గణితశాస్త్రవేత్త Leibniz ప్రవేశపెట్టిన తిలకం \* చిహ్నమే నచ్చింది. రాను రాను X బాగా వ్యాప్తిలోకి వచ్చిన తరువాత తిలకం చిహ్నం వాడుక తగ్గినది.

**÷ (భాగాహారం)**  భాగాహారాన్ని సూచించే గుర్తుకూడా ఇంగ్లాండులో పుట్టి, ప్రచారానికి వచ్చి మెల్లగా ఐరోపాఖండానికి, అమెరికాకు వ్యాప్తించెందినది. మొట్టమొదట Johann.H.Rahn అనే గణిత శాస్త్రజ్ఞడు రచించిన బీజగణిత గ్రంథంలో ఇది వాడబడింది. కొందరు : ఈ గుర్తును కూడా భాగాహార ప్రక్రియకు వాడినట్లు మనకు గనితశాస్త్ర చరత్రలో దృష్టాంతాలు కనబడతాయి.

**√ (వర్గమూలము)**  మొట్టమొదట సా.శ..1525లో Rudolff అనే గణితశాస్త్రవేత్త రచనల్లో ఈ సంజ్ఞ కనబడుతుంది. ఈయన రచనలకు సంపాదకుడిగా నిలచిన Michael Stifel మహాశయుడు వర్గమూలాన్ని, ఘనమూలాన్ని, నాల్గవమూలాన్ని సూచించేందుకు సంజ్ఞలను తెలియపరిచాడు. కాని అవి చిరకాలంగా లేకపోయినా Rudolff, Root అనే పదం ప్రతీతిగా నిలచింది.

**: : (నిష్పత్తి)**  నిష్పత్తి, అనుపాతభావాన్ని సూచించే సంజ్ఞ : :ను సా.శ..1628లో Oughtred ఉపయోగించినట్లు తెలుస్తోంది.

**< > (హెచ్చుతగ్గులు)** హెచ్చుతగ్గులను, క్రమసంబంధాన్ని (Order Relation) సూచించే < > సంజ్ఞలను సా.శ..1631లో Harriot ప్రవేశపెట్టాడు.

 **CƆ (అనంతరాశి)**  అనంతరాశిని సూచించేందుకు వాడే ఈ సంజ్ఞను సా.శ..1655లో John Wallis, తాను రచించిన Arithemtica Infinitorium అనేగ్రంధంలో ఉపయోగించాడు.

**E & U (సమితులు, సమ్మేళనుము)**  ఒక సమితి S లో అనేక మూలకాలుంటాయి. అందులో A ఒక మూలకం. ఈ విషయాన్ని సంక్షిప్తంగా aEs అని వ్రాస్తుంటాము. రెండు సమితుల సమ్మేళనము (Union) AUB అని వ్రాస్తుంటాము. వీటిని Whitehead, Russel లు ప్రవేశపెట్టినారు.

## సంఖ్యలు

## ప్రముఖ భారతీయ గణిత శాస్త్రజ్ఞులు (కొందరు)

* శ్రీనివాస రామానుజ‌న్ (1887 - 1920)
* కల్యంపూడి రాధాకృష్ణ రావు
* సుజాత రాందొరై
* పి.సి.మహలనోబిస్
* మడకా హరిప్రసాద్

## ఇవికూడా చూడండి

* అంకెలు
* సహస్రాబ్ద బహుమతి సమస్యలు

## వనరులు

* విజ్ఞాన సర్వస్వము, తొమ్మిదవ సంపుటము, గణిత, ఖగోళ శాస్త్రములు, 1965 (సార్వత్రిక డిజిటల్ లైబ్రరీ లో 15% పేజీలు అందుబాటు)
* విజ్ఞాన సర్వస్వము గణిత ఖగోళ శాస్త్రములు - 1965 (సంపూర్ణ గ్రంథం, తెలుగుపరిశోధన వారి వెబ్ సైట్ లో)

## మూలములు

* గణిత శాస్త్ర సంజ్ఞలు మూలము-1972 భారతి మాస పత్రిక. వ్యాసము-గణితశాస్త్ర సంజ్ఞలు-వాని పుట్టుపూర్వోత్తరాలు.

## మూలాలు