# காமா சார்பியம்

மெய்யெண் அச்சின் பகுதியில் காமா சார்பியத்தின் மதிப்பு
கணிதத்தில் **காமா சார்பியம்** அல்லது **காமா செயற்கூறு** (*Gamma function*) என்பது தொடர்பெருக்கம் என்னும் கணிதச் சார்பியத்தின் ஒரு நீட்சி ஆகும். அதாவது கீழ்நோக்கி ஓரெண் குறைவான தொடர்பெருக்கம், மெய்யெண்ணாக இருப்பினும் சிக்கலெண்ணாக இருப்பினும். இந்த சார்பியத்தை கிரேக்கப் பெரிய எழுத்தாகிய காமா WIKINIUM\_MATH\_PH\_0 என்பதால் குறிப்பது வழக்கம். WIKINIUM\_MATH\_PH\_1 என்பது நேர்ம முழு எண்ணாக இருந்தால்,

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_2
காமா சார்பியம் என்பது நேர்ம எண்ணாக அல்லாத எல்லா சிக்கலெண்களுக்கும் வரையறுக்கப்பட்ட ஒன்று. நேர்ம மெய்யெண் பகுதி கொண்ட சிக்கலெண்களுக்கு, குவிந்தடையும் ஏதேனும் ஓரெல்லையாவது முடிவிலியாக அல்லது அடைவெல்லையாக அமைந்த செவ்வியதல்லாத நுண்தொகையீடு வழியாக வரையறை செய்யப்படும்:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_4
இந்தக் காமா சார்பியம் பல்வேறு நிகழ்தகவு பகிர்வமைப்புகளில் (probability-distribution) காணப்படுகின்றது. பல்வேறு புள்ளியியல் சேர்வியல் துறைகளிலும் காணப்படுகின்றது.

## வரையறை

### முதன்மையான வரையறை

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_6 என்னும் குறியீடு இலெகந்தர்( Legendre) என்பாரால் வழங்கப்பெற்றது WIKINIUM\_MATH\_PH\_7 என்னும் ஒரு சிக்கெலெண்ணின் மெய்யெண் பகுதி நேர்ம எண்ணாக இருந்தால் ( WIKINIUM\_MATH\_PH\_8 ), தொகையீடு

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_9
முற்றாகக் குவிந்தடையும் (converges absolutely) ஒன்றாகும்; இது ஆய்லரின் இரண்டாம் வகைத் தொகையீடு என்று அறியப்படுகின்றது (ஆய்லரின் முதல்வகைத் தொகையீடு என்பது பீட்டா சார்பியம் ஆகும்) . பகுதியாக செய்யப்படும் தொகையீட்டு முறைப்படி கீழ்க்கண்டவாறு அறியலாம்:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_11
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_13 ஆக WIKINIUM\_MATH\_PH\_15
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_17
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_19 என்பதைக் கணக்கிடலாம்:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_21
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_23 என்னும் உண்மையையும் WIKINIUM\_MATH\_PH\_25 என்பதையும் கருத்தில் கொண்டால்,

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_27
என்பது எல்லா WIKINIUM\_MATH\_PH\_29 நேர்ம எண்களுக்கும் பொருந்தும். இதனை அடுத்துத்தூண்டல் நிறுவல் (proof by induction) முறை எனக் கொள்ளலாம்.
முற்றொருமையான WIKINIUM\_MATH\_PH\_31 என்பதைப் பயன்படுத்தி WIKINIUM\_MATH\_PH\_33 சார்பியத்தை தொகையீட்டு அமைப்பில்
சுழியமாகவோ அதற்கும் கீழானதாகவோ இல்லாத WIKINIUM\_MATH\_PH\_35 என்னும் எல்லாச் சிக்கலெண்ணுக்கும் பொருந்துமாறு மேரோவுருவ சார்பியமாக நீட்சி பெறச் செய்யலாம்.

இந்த நீட்சிபெற்ற பார்வையிலும் வடிவத்திலும்தான் பொதுவாக காமா சார்பியம் என அறியப்படுகின்றது.

### மாற்று வரையறைகள்

#### முடிவிலாப் பெருக்கல் வடிவில் ஆய்லர் தரும் வரையறை

சிக்கலெண் WIKINIUM\_MATH\_PH\_37 இன் தொடர் பெருக்கமாகிய WIKINIUM\_MATH\_PH\_38 என்பதற்கு தோராயம் கண்டறிய கீழ்க்காணும் முறை பயன்படும் ஒன்றாகத் தெரிகின்றது. முதலில் பெரிய முழு எண்ணாகிய ஒரு WIKINIUM\_MATH\_PH\_39 என்பதன் தொடர்பெருக்கமாகிய WIKINIUM\_MATH\_PH\_40 -ஐக் கணக்கிடலாம். பின்னர் அதனைப் பயன்படுத்தித் தோராயமாக WIKINIUM\_MATH\_PH\_41 என்பதைக் கணக்கிடலாம், பின்னர் மீளுறும் சமன்பாட்டை WIKINIUM\_MATH\_PH\_42 முறை பின்னோக்கிப் பயன்படுத்தி, WIKINIUM\_MATH\_PH\_43 என்பதனைத் தோராயமாகக் கண்டறியலாம். கடைசியாக WIKINIUM\_MATH\_PH\_44 என்பது முடிவிலியாக சென்றடையும்பொழுது தோராயம் என்பது முழுதும் சரியானதாக ஆகிவிடும்.

குறிப்பாக, ஒரு குறிப்பிட்ட முழுவெண் WIKINIUM\_MATH\_PH\_45 -உக்கு, கீழ்க்காணுமாறு எழுதலாம்.

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_46
இதே சமன்பாடு அந்த ஏதோவொரு குறிப்பிட்ட WIKINIUM\_MATH\_PH\_48 என்பதை ஏதோவொரு குறிப்பிட்ட சிக்கெலெண் WIKINIUM\_MATH\_PH\_49 -ஆக மாற்றினாலும் பொருந்துவதாகும்.

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_50
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_52 ஆல் இருபக்கத்தையும் பெருக்கினால்,

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_53
இந்த முடிவிலிப் பெருக்க வாய்பாடு எதிர்ம முழுவெண் அல்லாத எல்லா WIKINIUM\_MATH\_PH\_55 சிக்கலெண்களுக்கும் குவியடைவு பெறும். எதிர்ம முழுவெண் இருந்தால்
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_56 என்னும் மீளுறும் சமன்பாட்டில் பின்னோக்கிச் செல்லும்பொழுது WIKINIUM\_MATH\_PH\_59 என்பதில் சுழியத்தால் வகுபடும் நிலை வரும்.

### சில காமா சார்பிய மதிப்புகள்

காமா சார்பியத்தின் மதிப்புகள் சில:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_60
## அடிக்குறிப்புகளும் மேற்கோள்களும்