# Pytagorova veta

Ilustrácia Pytagorovej vety
**Pytagorova veta** je základná teoréma euklidovskej geometrie. Popisuje vzťah, ktorý platí medzi dĺžkami strán pravouhlého trojuholníka v rovine. Umožňuje jednoducho vypočítať dĺžku tretej strany trojuholníka, ak sú známe dĺžky jeho dvoch zvyšných strán.
Slovne sa veta dá formulovať takto:

*Obsah štvorca zostrojeného nad preponou (najdlhšou stranou) pravouhlého trojuholníka sa rovná súčtu obsahov štvorcov zostrojených nad jeho odvesnami.*
Formálne možno Pytagorovu vetu vyjadriť rovnicou

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_0 ,
kde WIKINIUM\_MATH\_PH\_2 , WIKINIUM\_MATH\_PH\_4 sú dĺžky odvesien a WIKINIUM\_MATH\_PH\_6 je dĺžka prepony pravouhlého trojuholníka.

## Dejiny

Pytagorova veta je pomenovaná podľa starogréckeho matematika Pythagora zo Samosu, ktorý ju v 6. storočí pred Kr. odvodil pre Európu resp. staroveké Grécko. Pravdepodobne bola ale známa aj v iných starovekých civilizáciách a navyše oveľa skôr (napríklad v Číne, Egypte).

Starí Egypťania a Indovia stavali pozoruhodné stavby. Pri týchto stavbách potrebovali vytyčovať aj pravé uhly. Často to robili takto:
Na napnutom špagáte uviazali 13 uzlov tak, aby vzdialenosti medzi uzlami boli rovnaké (napr. po 50 cm). Špagát napli tak, že uzol 1 a 13 upevnili na tom istom mieste a uzly 4 a 8 tiež upevnili (pozri obrázok). Potom uhol 1, 4, 8 je pravý.

Pravý uhol
## Zovšeobecnenie Pytagorovej vety

### Nahradenie štvorcov inými plošnými obrazcami

Štvorce je možné vo formulácii vety nahradiť akýmikoľvek inými plošnými útvarmi (kružnicou, trojuholníkom, päťuholníkom a pod.) za predpokladu, že sú si navzájom podobné a ich šírka je priamo úmerná dĺžke príslušnej strany trojuholníka. Súčet obsahov týchto obrazcov nad odvesnami bude opäť rovný obsahu obrazca zostrojeného nad preponou.

Fakt, že to vyplýva už z formulácie pôvodnej vety so štvorcami nad stranami trojuholníka, je možné si uvedomiť vtedy, ak sa vezme do úvahy, že obsah každého z obrazcov je vzhľadom na platnosť predpokladov úmerný obsahu štvorca nad danou stranou a konštanta úmernosti WIKINIUM\_MATH\_PH\_8 je vždy rovnaká vďaka vzájomnej podobnosti obrazcov i štvorcov. Ak sa dosadí za plochu štvorcov do vzorca WIKINIUM\_MATH\_PH\_10 -násobok plochy obrazca, potom bude možné rovnicu krátiť konštantou WIKINIUM\_MATH\_PH\_12 a výsledkom bude hľadané zovšeobecnenie.

### Zovšeobecnenie na tri všeobecné vektory v Unitárnom priestore

Pytagorovu vetu je možné zovšeobecniť na ľubovolný vektorový priestor so skalárnym súčinom tj. unitárny priestor. Trojuholníkom sú v tomto prípade myslené tri vektory WIKINIUM\_MATH\_PH\_14 , WIKINIUM\_MATH\_PH\_16 , WIKINIUM\_MATH\_PH\_18 , pre ktoré platí

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_20
Potom platí podobný vzťah normami týchto vektorov, ako v prípade rovinného trojuholníka:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_22
kde WIKINIUM\_MATH\_PH\_24 je norma indukovaná skalárnym súčinom príslušného vektorového priestoru.
Z tejto všeobecnejšej formulácie je možné odvodiť aj pôvodnú rovinnú verziu vety. Ak rovinu chápeme ako dvojrozmerný euklidovský priestor s obyčajným skalárnym súčinom a v trojuholníku WIKINIUM\_MATH\_PH\_26 s pravým uhlom pri vrchole WIKINIUM\_MATH\_PH\_28 označíme

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_30
potom vyplýva pôvodná Pythagorova veta zo vzťahu noriem vektorov (treba si uvedomiť, že v tomto prípade je norma vektoru len dĺžkou zodpovedajúcej strany).

## Dôkazy Pytagorovej vety

Dôkazov Pytagorovej vety jestvuje veľmi veľa, uvádza sa až viac ako 300. Tu sú uvedené len niektoré z nich.

### Dôkaz číslo 1

K dôkazu č. 1 – porovnanie obsahov štvorcov zložených dvomi spôsobmi
Ide o grafický dôkaz. Štvorec so stranou WIKINIUM\_MATH\_PH\_32 je možné zložiť dvomi spôsobmi (pozri obrázok):

* Zo štyroch pravouhlých trojuholníkov a dvoch štvorcov so stranami WIKINIUM\_MATH\_PH\_34 a WIKINIUM\_MATH\_PH\_36
* Zo štyroch pravouhlých trojuholníkov a jedného štvorca so stranou WIKINIUM\_MATH\_PH\_38 .

Z rovnosti obsahov štvorca pri oboch spôsoboch zloženia vyplýva platnosť Pytagorovej vety.

### Dôkaz číslo 2

Ide v podstate o zápis prvého dôkazu pomocou rovníc.

Obsah celého štvorca je možné vyjadriť dvomi spôsobmi:

* Strana štvorca je zložená zo strán trojuholníka WIKINIUM\_MATH\_PH\_40 a WIKINIUM\_MATH\_PH\_42 . Pre jeho obsah teda platí:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_44 .
* Štvorec je tvorený štyrmi modrými pravouhlými trojuholníkmi a bielym štvorcom uprostred so stranou WIKINIUM\_MATH\_PH\_46 . Obsah celého štvorca je teda súčtom obsahov štyroch pravouhlých trojuholníkov ( WIKINIUM\_MATH\_PH\_48 ) a bieleho štvorca so stranou c ( WIKINIUM\_MATH\_PH\_50 ). Obsah celého obrazca je daný vzorcom

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_52 .
Pretože ide v oboch prípadoch o ten istý štvorec, musí sa jeho obsah spočítaný obidvomi spôsobmi rovnať. Preto platí

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_54
a po úprave dostaneme Pytagorovu vetu v známom tvare

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_56 .
### Dôkaz číslo 3

K dôkazu číslo 3 – podobnosť trojuholníkov
Je možné sa jednoducho presvedčiť, že ak sú zelenou farbou vyznačené uhly ( WIKINIUM\_MATH\_PH\_58 a WIKINIUM\_MATH\_PH\_60 , ktorý sa rovná uhlu WIKINIUM\_MATH\_PH\_62 ) zhodné, potom sú si trojuholníky navzájom podobné (veľkosti ich strán sú v rovnakom pomere a ich uhly sú zhodné).

#### Dôkaz podobnosti (rovnosti uhlov)

Súčet vnútorných uhlov každého trojuholníka je 180° ( WIKINIUM\_MATH\_PH\_64   WIKINIUM\_MATH\_PH\_66 ). Zároveň platí, že v pravouhlom trojuholníku musí byť práve jeden uhol pravý (t. j. 90°; pozri obrázok):

1. WIKINIUM\_MATH\_PH\_68
2. WIKINIUM\_MATH\_PH\_70
3. WIKINIUM\_MATH\_PH\_72

z uvedeného vyplýva, že

1. WIKINIUM\_MATH\_PH\_74
2. WIKINIUM\_MATH\_PH\_76
3. WIKINIUM\_MATH\_PH\_78

Z 1. a 3. rovnice vyplýva (uhly WIKINIUM\_MATH\_PH\_80 a WIKINIUM\_MATH\_PH\_82 sú zhodné), že platí | WIKINIUM\_MATH\_PH\_84 | = | WIKINIUM\_MATH\_PH\_86 |. Ak WIKINIUM\_MATH\_PH\_88 dosadíme do 3. rovnice na miesto WIKINIUM\_MATH\_PH\_90 , z porovnania s 2. rovnicou vyplynie, že platí | WIKINIUM\_MATH\_PH\_92 | = | WIKINIUM\_MATH\_PH\_94 |. Trojuholníky sú si teda podobné.

#### Samotný dôkaz

Skrátene je popísaný už v samotnom obrázku. Pri podobnosti trojuholníkov platí, že

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_96
a rovnako platí aj

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_98
Z oboch rovníc potom vyplýva, že

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_100
Zo spomínaného obrázka vyplýva, že WIKINIUM\_MATH\_PH\_102 , čo po dosadení dá:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_104
## Pytagorejské čísla

Pytagorejské trojice, vyznačené dĺžky odvesien pravouhlého trojuholníka v bodovom grafe.
*Viac informácií v samostatnom článku Pytagorejské čísla.*

Pytagorejské čísla tvoria trojice prirodzených čísel WIKINIUM\_MATH\_PH\_106 , WIKINIUM\_MATH\_PH\_108 a WIKINIUM\_MATH\_PH\_110 , pre ktoré platí WIKINIUM\_MATH\_PH\_112 . Sú to teda prirodzené čísla, ktoré vyhovujú Pytagorovej vete. Pytagorejské čísla sú napríklad 3, 4, 5.

### Základné pytagorejské trojice

* Pytagorejské čísla, ktoré nemajú spoločného deliteľa, napríklad 7, 24, 25, sú základné pytagorejské trojice.
* Pytagorejská trojica 6,8,10, nie je základná, lebo má spoločného deliteľa 2 (trojuholník so stranami 6, 8, 10 má koeficient podobnosti rovný 2), so základnou pytagorejskou trojicou 3,4,5.
* Základné Pytagorejské čísa do 100 sú:

|  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- |
| (3, 4, 5) | (5, 12, 13) | (8, 15, 17) | (7, 24, 25) |
| (20, 21, 29) | (12, 35, 37) | (9, 40, 41) | (28, 45, 53) |
| (11, 60, 61) | (16, 63, 65) | (33, 56, 65) | (48, 55, 73) |
| (13, 84, 85) | (36, 77, 85) | (39, 80, 89) | (65, 72, 97) |

* Euklidov vzorec pre generovanie pytagorejských čísel a, b, c je s použitím ľubovoľných celých čísel m a n, kde m > n > 0:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_114
### Použitie pytagorejských čísel

Ľahko zapamätateľná postupnosť pytagorejských čísel 3,4,5 ich predurčila pre požitie v stavebníctve, stolárstve a kedykoľvek, ak potrebujeme pomocou jednoduchých pomôcok overiť pravouhlosť veľkorozmerných telies. V takom prípade použijeme pravouhlý trojuholník, kde si na dvoch odvesnách vyznačíme dĺžky 3 a 4, a kontrolujeme ich preponu, či je 5. Užitočne sa využívajú aj podobné trojuholníky a pravouhlosť kontrolujeme napríklad pomocou rozmerov: 30 cm, 40cm a preponu 50cm, alebo trojice 60cm, 80 cm a 1 m, ...

## Referencie

## Iné projekty

Commons* Commons ponúka multimediálne súbory na tému **Pytagorova veta**

## Externé odkazy

* Dôkazy Pytagorovej vety (po nemecky)