# Prava

*Za ostale upotrebe, pogledajte Prava (razvrstavanje).*
**Prava** je jedan od osnovnih geometrijskih pojmova. Njena definicija se daje aksiomatski.

Nemački naučnik G. Lajbnic je pravu definisao kao liniju koja dijeli ravan na dva kongruentna dijela, međutim pod ovu definiciju potpadaju i druge linije - na primjer, sinusoida i svaka pravilna izlomljena linija čija su svaka dva segmenta na preskok - paralelna.

## Osobine prave

1. kroz bilo koju tačku ravni može se povući beskonačno mnogo pravih
2. Svake dvije različite tačke pripadaju jednoj i samo jednoj pravoj.
3. Svaka prava sadrzi najmanje dvije zajednicke tačke
4. Dvije različite tačke su uvijek kolinearne
5. Dvije različite prave ravni mogu se sjeći ili da budu paralelne
6. Dvije različite prave prostora mogu se sjeći. biti paralelne ili mimoilazne.
7. Prava je algebarska kriva I stepena

## Definicija

Grčki matematičar Euklid u knjizi *Elementi* dao je definiciju linije

1. Linija je dužina bez širine .
2. Krajevi linije su tačke.
3. Prava linija je ona koja za sve tačke podjednako leži.

Arhimedova aksioma

Od svih linija sa istim krajevima prava linija je najkrača.
Posmatrajmo pravu u Dekartovom koordinantnom sistemu. Pravu možemo definisati kao geometrijsko mjesto tačaka ,gdje Dekartove koordinate zadovoljavaju jednačinu

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_0 , gdje parametri a,b,c ne mogu biti istovremeno jednaki nulu.

## Analitičke definicije

Posmatrajmo pravu u Dekartovom koordinantnom sistemu. Pravu možemo definisati kao geometrijsko mjesto tačaka, gdje Dekartove koordinate zadovoljavaju jednačinu

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_2 , gdje parametri a,b,c ne mogu biti istovremeno jednaki nulu.

Prava se u pravougaonom koordinatnom sistemu može zadati na jedan od tri načina:

Pomoću odsječka b na ordinati i ugla WIKINIUM\_MATH\_PH\_4 koji gradi prava sa pozitivnim pravcem apscise.

Jednačina prave je WIKINIUM\_MATH\_PH\_6 gdje je WIKINIUM\_MATH\_PH\_8 i često se zove opšta jednačina prave. Obično se kod ovakve jednačine **m** zove koeficijent pravca, a **b** je odsječak ordinate.

Pomoću odsječaka **b** i **c** koje prava odsjeca na koordinatnim osama.

Jednačina prave gdje je WIKINIUM\_MATH\_PH\_10 se zove segmentska.

Pomoću njenog rastojanja do koordinatnog početka **p** i ugla WIKINIUM\_MATH\_PH\_12 koji gradi to rastojanje sa pozitivnom stranom apscise.

Normalna jednačina prave se zove jednačina oblika WIKINIUM\_MATH\_PH\_14

## Prava u tri i višedimenzionalnom prostoru

Ako je dat skup tačaka WIKINIUM\_MATH\_PH\_16
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_18 ,

* WIKINIUM\_MATH\_PH\_20 - Proizvoljna tačka prave.
* WIKINIUM\_MATH\_PH\_22 - vektor koji označava pravac prave. Ako se ove tačke poklapaju imamo nula vektor,
* WIKINIUM\_MATH\_PH\_24 - parametar.

Parametarska jednačina

Parametarska jednačina prave glasi:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_26

Ako u ovoj jednačini eliminišemo parametar λ dobijamo kanonsku jednačinu prave

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_28

Tačka i prava u prostoru

Neka su dati tačka M i prava a = A + αv takve da je

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_30 .

Za njihov međusobni položaj vrijedi

1. Tačka ne pripada pravoj, ako ne postoji α za koje je {P = A + αv}
2. Tačka pripada pravoj, ako postoji α za koje je {P = A + αv}

## Udaljenost tačke od prave

Udaljenost tačke od prave je jednaka dužini udaljenosti između zadane tačke M и njene normalne projekcije M' nа pravu a, tj ovdje je vektor MM' normalan nа vektor prave v.

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_32

tj. WIKINIUM\_MATH\_PH\_34 .

Ako je vrijednost ovog izraza nula dobijamo:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_36 ( skalarni proizvod)

U prostoru WIKINIUM\_MATH\_PH\_38 važi:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_40
vektorski proizvod i intenzitet vektora).

## Dvije prave u prostoru dimenzije 3 ili veće

Dvije prave a = A + αv i b = B + βu u WIKINIUM\_MATH\_PH\_42 mogu da zauzimaju sljedeće položaje, jedna u odnosu na drugu:

* mogu biti identične, ako WIKINIUM\_MATH\_PH\_44 .
* mogu biti paralelne, ako ( WIKINIUM\_MATH\_PH\_46
* mogu da se sijeku, ako važi WIKINIUM\_MATH\_PH\_48 WIKINIUM\_MATH\_PH\_50 i jednačina A + αv = B + βu ima jednoznačno rješenje po α i β. Tačka presjeka I će u ovom slučaju biti -{I = A + αv = B + βu}
* mogu biti mimoilazne ako važi WIKINIUM\_MATH\_PH\_52 ali jednačina -{A + αv = B + βu} nema rješenja.

Specijalno u WIKINIUM\_MATH\_PH\_54 WIKINIUM\_MATH\_PH\_56 može zameniti sa WIKINIUM\_MATH\_PH\_58

### Udaljenost dvije pralelelne prave

Udaljenost dvije paralelne prave se određuje kao udaljenost proizvoljne tačke **P** jedne od dvije prave od njene projekcije **P'** na drugu pravu.

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_60 .

Udaljenost između tačaka A i A' će biti jednako udaljenosti između paralelnih pravi a i b.

### Rastojanje dve paralelne prave u R³

U trodimenzionalnom prostoru ovaj postupak je nešto lakši. Ako su dvije prave a i b paralelne, njihovo rastojanje je jednako visini paralelograma koga grade vektori

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_62 и WIKINIUM\_MATH\_PH\_64

Ona se jednaka količnku površine ovog paralelograma (intenzitet vektorskog proizvoda) i intenziteta vektora v.

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_66

### Udaljenost dvije mimoilazne prave

Udaljenost dvije mimoilazne prave je i minimalna udaljenost između tačaka koje ih čine. Jedan od načina da se ono nađe je da se predstavi vektor između njih, i zatim nađe za koje parametre pravih će njegova veličina biti minimalna. Neka je ovaj vektor w, i opšte tačke pravih P i Q. Biće

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_68
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_70

Intenzitet vektora WIKINIUM\_MATH\_PH\_72 će biti

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_74

Kako korijen ne utiče na vrijednost koju parametri α i β imaju pri maksimalnoj vrijednosti izraza, korijen se ovdje može izbaciti. Sljedeći korak biće traženje prvih izvoda izraza

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_76 po α i po β. Tako ćemo dobiti sistem od dvije jednačine sa dvije nepoznate, α i β, koji se da riješiti.

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_78

Kada se odavde dobijene vrijednosti α i β vratimo u jednačine pravih a i b, respektivno, rezultujuće koordinate će predstavljati tačke, WIKINIUM\_MATH\_PH\_80 i WIKINIUM\_MATH\_PH\_82 čija je udaljenost minimalna udaljenost između ove dvije prave.

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_84

### Udaljenost dvije mimoilazne prave u R³

Specijalno u slučaju WIKINIUM\_MATH\_PH\_86 je situacija jednostavnija i može se se riješiti preko mješovitog proizvoda.

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_88

## Prava u kompleksnoj ravni

1. WIKINIUM\_MATH\_PH\_90 ako i samo ako WIKINIUM\_MATH\_PH\_92
2. a, b, c kolinearne ako i samo ako WIKINIUM\_MATH\_PH\_94
3. WIKINIUM\_MATH\_PH\_96 ako i samo ako WIKINIUM\_MATH\_PH\_98
4. WIKINIUM\_MATH\_PH\_100 (od a do b u pozitivnom smeru) ako i samo ako WIKINIUM\_MATH\_PH\_102

## Izvori

* Line
* Equations of the Straight Line at Cut-the-Knot
* Citizendium Arhivirano 2022-07-04 na Wayback Machine-u