# Napor (mehanika)

Slika 1. Napon u posmatranom telu, koje se posmatra kao kontinuum
Slika 2. Aksijalni napon u prizmatičnom telu, posmatranom aksijalno
**Napon** u mehanici kontinuuma predstavlja meru prosečne sile po jedinici površine na površi na kojoj se oseća dejstvo unutrašnjih sila koje deluju unutar deformabilnog tela (slika 1). Koncept napona u mehanici kontinuuma razvio je Ogisten Luj Koši oko 1822. godine. Drugim rečima, to je mera intenziteta ili unutrašnje raspodele totalnih unutrašnjih sila koje deluju u okviru deformabilnog tela po zamišljenoj površi. Ove unutrašnje sile nastaju između čestica tela kao reakcija na spoljašnje sile, koje se osećaju u telu. Spoljašnje sile mogu biti površinske ili zapreminske. Ove unutrašnje sile raspoređuju se kontinuirano unutar zapremine tela zato što se deformabilno telo posmatra kao kontinuum. Distribucija napona u telu označena je kao „deo-po-deo“ neprekidna funkcija prostornih koordinata i vremena.

SI jedinica za napon je paskal (*Pa* — pritisak), koja je jednaka jednom njutnu (*N* — sila) po kvadratnom metru (*m²* — površina). Jedinica za napon ista je kao i jedinica za pritisak, to jest, mera sile po jediničnoj površini. Inženjerske mere obično se izražavaju u megapaskalima (*MPa*) ili gigapaskalima (*GPa*).

## Pregled

U jednostavnom slučaju aksijalno posmatranog tela (što predstavlja prizmatično telo izloženo tenziji ili kompresiji koju vrši sila koja prolazi kroz njegov centroid (slika 2), napon WIKINIUM\_MATH\_PH\_0 , ili intenzitet raspodele unutrašnjih sila može se odrediti deljenjem ukupne tenzione ili kompresione sile WIKINIUM\_MATH\_PH\_2 sa poprečnom površinom WIKINIUM\_MATH\_PH\_4 . U ovom slučaju, napon WIKINIUM\_MATH\_PH\_6 predstavljen je skalarom, koji se naziva **inženjerski** ili **nominalni napon** i koji predstavlja prosečan napon ( WIKINIUM\_MATH\_PH\_8 ) na površini. To znači da je napon na posmatranoj površini uniformno raspodeljen. Uzevši ovo u obzir, dobija se formula:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_10
Genralno, napon nije uniformno raspodeljen po površini tela, stoga je u određenoj tački posmatrane površine napon različit od prosečnog napona na celoj površini. Zato je neophodno definisati napon ne samo na određenoj površini, već i u određenoj tački u telu (slika 1). Prema Košiju, napon u bilo kojoj tački tela koje se smatra kontinuuom definisan je kompletno sa devet komponenata WIKINIUM\_MATH\_PH\_12 tenzora drugog reda, koji je poznat kao *Košijev tenzor napona*, WIKINIUM\_MATH\_PH\_14 :

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_16
Košijev tenzor napona podvrgava se zakonu transformacije tenzora prilikom promena koordinatni sistem. Grafički prikaz ovog zakona transformacije jeste *Morov krug za napon*.

Košijev tenzor napona koristi se za analize napona kod tela kod kojih dolazi do malih deformacija. Za velike deformacije neophodne su druge mere napona, kao što su prvi i drugi *Piola-Kirhofovi tenzori napona* , *Biotov tenzor napona* ili *Kirhofov tenzor napona*.

Prema principu održanja linearnog momenta, ako je telo u statičkoj ravnoteži, može se pokazati da komponente Košijevog tenzora napona zadovoljavaju jednačine ravnoteže za bilo koji materijal. U isto vreme, prema principu održanja ugaonog momenta, da bi telo bilo u ravnoteži, zbir svih momenata u određenoj tački mora biti nula, što dovodi do zaključka da je tenzor napona simetričan i da ima samo šest nezavisnih komponenti napona, a ne devet, kako je prvobitno predstavljeno.

Postoje određene invarijante koje su u vezi sa tenzorom napona. Njihove vrednosti ne zavise od izabranog koordinatnog sistema, ili površine elementa na kome se vrši analiza tenzora napona. Postoje tri dijagonalna elementa tenzora napona, koji se nazivaju **glavni elementi napona**.

Određivanje unutrašnje raspodele napona, tj. analiza napona, primenjuje se u raznim inženjerskim disciplinama, zbog određivanja i dizajniranja određenih struktura, kakve su tuneli, brane i manje strukture. Analiza napona primenjuje se i u strukturnoj geologiji, prilikom određivanja naponskih stanja u toku razlamanja stenske mase. Da bi se odredila raspodela napona u nekoj strukturi, neophodno je rešiti napon na granici sa spoljašnjom sredinom, primenom specifičnih graničnih uslova, koji obuhvataju pomeraj i silu na granici. Za opisivanje veze između napona i deformacije koriste se konstitutivne jednačine, kao što je Hukov zakon kod linearno elastičnih materijala. Granični problem zasnovan je na teoriji elastičnosti, i primenjuje se kod struktura, za koje se očekuje da se deformišu elastično. Kada su u pitanju plastične deformacije, problem se rešava primenom teorije plastičnosti.

Približna rešenja graničnog problema dobijaju se korišćenjem numeričkih metoda, kao što su metoda konačnih elemenata, metoda konačnih razlika i metoda graničnih elemenata, pomoću računarskih programa. Analitička rešenja mogu se dobiti za jednostavne geometrijske uslove, konstitutivne veze i granične uslove.

Analize naponskog stanja mogu biti pojednostavljene u slučajevima gde fizičke dimenzije i raspodela elemenata dozvoljavaju da se struktura smatra jednodimenzionalnom ili dvodimenzionalnom.

Čvrsta tela, tečnosti i gasovi imaju polja napona. Stacionarni fluidi imaju polje normalnog napona, ali se, prilikom tečenja, kod njih javlja smičuća komponenta napona. Kretanje viskoznih fluida može povećati smičuću komponentu napona (dinamički pritisak). U čvrstim telima se mogu javiti i normalni napon, kao i smičuća komponenta napona. Granični primeri su duktilni materijali, kod kojih se javljaju samo smičuće komponente napona, i krta tela, samo sa glavnim elementima napona.

## Definicija napona

Telo može biti izloženo dejstvu spoljašnjih sila. Postoje dva tipa spoljašnjih sila: površinske sile i zapreminske sile. Površinske ili kontaktne sile deluju na graničnoj površi, kao rezultat mehaničkoh kontakta među telima, i njihov intenzitet proporcionalan je površini kontakta. Zapreminske sile, kao što su gravitaciona i magnetska sila, su sile raspodeljene u zapremini tela, a njihov intenzitet proporcionalan je masi tela. Površinske sile mogu, takođe, delovati i na unutrašnjim površima tela.

Površinske sile koje deluju na telo se prenose sa tačke na tačku unutar tela, što dovodi do stvaranja untrašnjih sila. Prenos ovakvih sila uslovljen je održanjem zakona linearnog i ugaonog momenta (drugi Njutnov zakon kretanja). Kod tela koja su u statičkoj ravnoteži, ovi zakoni povezani su sa principima ravnoteže sila i momenata, respektivno.

Mera intenziteta ovih unutrašnjij sila, koje deluju unutar tela, na zamišljenim površima, naziva se **napon**. Drugim rečima, napon je mera prosečnog kvantiteta sila koje deluju na jediničnoj površini neke površi, gde deluju unutrašnje sile. Na primer, ako se uporedi sila koja deluje na maloj površini i sila raspodeljena po većoj površini, tako da ima istu magnitudu, zaključuje se da su efekti intenziteta ove dve sile lokalno različiti zbog toga što naponovi nisu jednaki.

### napon u prizmatičnom telu

Slika 3. Normalni napon u prizmatičnom telu
Prvo treba objasniti jednostavni slučaj prizmatičnog tela izloženog aksijalnoj sili WIKINIUM\_MATH\_PH\_18 , koja može proizvesti ili tenziju ili kompresiju (slike 2 i 3). Posmatrajući površ normalnu na osu tela, može se izvesti ravnoteža sila, kada je rezultanta normalna sila, jednaka WIKINIUM\_MATH\_PH\_20 . Intenzitet unutrašnjih sila, ili napona WIKINIUM\_MATH\_PH\_22 , na posmatranoj površini može se odrediti deljem ukupne tenzione ili kompresione sile WIKINIUM\_MATH\_PH\_24 posmatranom površinom WIKINIUM\_MATH\_PH\_26 . U ovom slučaju, napon WIKINIUM\_MATH\_PH\_28 je skalarna veličina, koja se naziva **inženjerski** ili **nominalni napon**, koji predstavlja prosečni napon ( WIKINIUM\_MATH\_PH\_30 ) na posmatranoj površini, tj. napon koji je na površini uniformno raspodeljen. Onda se dobija da je:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_32
Slika 4. Smičuća komponenta napona u prizmatičnom telu
Kada na prizmatično telo deluju transverzalne sile WIKINIUM\_MATH\_PH\_34 , kao što je prikazano na slici 4, javlja se drugačiji tip napona. Ako se posmatra ista površina kao i u prethodnom slučaju, na osnovu statičke ravnoteže se izvodi da unutrašnja sila ima magnitudu jednaku sili WIKINIUM\_MATH\_PH\_36 , a suprotan smer, paralelan posmatranom poprečnom elementu. Sila WIKINIUM\_MATH\_PH\_38 naziva se **smičuća sila**. Deljenjem smičuće sile WIKINIUM\_MATH\_PH\_40 površinom poprečnog elementa WIKINIUM\_MATH\_PH\_42 , dobija se **smičuća komponenta napona**. U ovom slučaju, smičuća komponenta napona WIKINIUM\_MATH\_PH\_44 je skalarna veličina, koja predstavlja prosečnu vrednost smičuće komponente napona ( WIKINIUM\_MATH\_PH\_46 ) u posmatranom elementu, tj. napon u posmatranom elementu je uniformno raspodeljen:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_48
Međutim, u opštem slučaju, napon nije uniformno raspodeljen po posmatranoj površi tela, pa je, iz tog razloga, napon u tački neke površine, različit u odnosu na prosečnu vrednost napona na celoj površini. Na slici 3, normalni napon posmatran je u dve ravni WIKINIUM\_MATH\_PH\_50 i WIKINIUM\_MATH\_PH\_52 , u prizmatičnom telu posmatranom aksijalno. napon u ravni WIKINIUM\_MATH\_PH\_54 , koji j je bliži tački delovanja sile WIKINIUM\_MATH\_PH\_56 , varira više nego napon u ravni WIKINIUM\_MATH\_PH\_58 . Ipak, ako je posmatrana površina tela veoma mala, varijacija napona na površini je veoma mala, pa se normalni napon može aroksimirati vrednošću WIKINIUM\_MATH\_PH\_60 . Sa druge strane, varijacija smičuće komponente napona na posmatranoj površini prizmatičnog tela ne može se smatrati uniformnom.

Zbog toga je neophodno definisati napon u određenoj tački površi.

## Princip Košijevog napona

Slika 5. Unutrašnje sile u telu
Posmatra se telo u ravnoteži, koje je izloženo dejstvu površinskih i zapreminskih sila, sa zamišljenom ravni, koja deli telo na dva dela (slika 5). Mala površina WIKINIUM\_MATH\_PH\_62 jednog od segmenata, koja sadrži tačku WIKINIUM\_MATH\_PH\_64 , i normalnim jediničnim vektorom WIKINIUM\_MATH\_PH\_66 izložena je dejstvu sile WIKINIUM\_MATH\_PH\_68 , koja potiče od delovanja materijala sa jedne strane površine (levi segment) na drugu stranu (desni segment).

Raspodela sila na površini WIKINIUM\_MATH\_PH\_70 , međutim, nije uvek uniformna, kao što može biti moment WIKINIUM\_MATH\_PH\_72 u tački WIKINIUM\_MATH\_PH\_74 , pod dejstvom sile WIKINIUM\_MATH\_PH\_76 , kao što je prikazano na slici 5. Po Košijevom principu napona važi da WIKINIUM\_MATH\_PH\_78 postaje vrlo malo i teži nuli, dok WIKINIUM\_MATH\_PH\_80 postaje WIKINIUM\_MATH\_PH\_82 . Rezultantni vektor WIKINIUM\_MATH\_PH\_84 definisan je kao vektor napona WIKINIUM\_MATH\_PH\_86 u tački WIKINIUM\_MATH\_PH\_88 u ravni sa vektorom normale WIKINIUM\_MATH\_PH\_90 :

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_92
Ova jednačina pokazuje da vektor napona zavisi od lokacije u telu i orijentacije ravni na kojoj deluje sila.

Po trećem Njutnovom zakonu kretanja, vektori napona, koji deluju na suprotnim stranama iste površi, imaju isti intenzitet i suprotan smer. Dakle,

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_94
napon je, u svakoj tački tela, definisan vektorom napona WIKINIUM\_MATH\_PH\_96 koji je u vezi sa svim ravnima koje prolaze kroz posmatranu tačku (neodređen broj ravni). Međutim, prema Košijevoj teoremi, vektor napona u bilo kojoj ravni, koja prolazi kroz posmatranu tačku, može se odrediti pomoću jednačina transformacije koordinata, ako su poznati vektori napona u tri međusobno upravne ravni.

U zavisnosti od orijentacije posmatrane ravni, vektor napona ne mora biti normalan na tu ravan, i može biti razložen u dve komponente:

* jednu, normalnu u odnosu na ravan, koja se naziva normalni napon, WIKINIUM\_MATH\_PH\_98 :

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_100
gde je WIKINIUM\_MATH\_PH\_102 normalna komponenta sile WIKINIUM\_MATH\_PH\_104 koja deluje na diferencijabilnu površinu WIKINIUM\_MATH\_PH\_106

* i drugu, paralelnu ovoj ravni, koja se naziva napon smicanja, WIKINIUM\_MATH\_PH\_108 :

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_110
gde je WIKINIUM\_MATH\_PH\_112 tangencijalna komponenta sile WIKINIUM\_MATH\_PH\_114 koja deluje na diferencijabilnu površinu WIKINIUM\_MATH\_PH\_116 . napon smicanja može se dalje razložiti na dve normalne komponente.

Slika 6. Komponente napona u trodimenzionalnom pravouglom koordinatnom sistemu
Pretpostavljajući da je element materijala (slika 5) paralelan sa ravnima koje grade koordinatne ose Dekartovog pravouglog koordinatnog sistema, vektori napona u svakoj ravni, tj. WIKINIUM\_MATH\_PH\_118 , WIKINIUM\_MATH\_PH\_120 i WIKINIUM\_MATH\_PH\_122 , mogu se razložiti u jednu normalnu i dve smičuće komponente, tj. komponente koje su paralelne trima koordinatnim osama. U slučaju kada je površ sa normalnim jediničnim vektorom orijentisana u smeru WIKINIUM\_MATH\_PH\_124 -ose normalni napon je obeležen sa WIKINIUM\_MATH\_PH\_126 , a dve smičuće komponente sa WIKINIUM\_MATH\_PH\_128 i WIKINIUM\_MATH\_PH\_130 :

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_132
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_134
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_136
Prethodne tri jednačine se, preko indeksa, mogu zapisati kao:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_138 .
Devet komponenata WIKINIUM\_MATH\_PH\_140 vektora napona su komponente Dekartovog tenzora drugog reda, koji se naziva Košijev tenzor napona. Ovaj tenzor u potpunosti definiše napon u bilo kojoj tački prostora, i dat je kao:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_142
gde su:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_144 , WIKINIUM\_MATH\_PH\_146 , i WIKINIUM\_MATH\_PH\_148 glavne komponente napona, a
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_150 , WIKINIUM\_MATH\_PH\_152 , WIKINIUM\_MATH\_PH\_154 , WIKINIUM\_MATH\_PH\_156 , WIKINIUM\_MATH\_PH\_158 , i WIKINIUM\_MATH\_PH\_160 su smičuće komponente napona.
Prvi indeks WIKINIUM\_MATH\_PH\_162 pokazuje da napon deluje u ravni, koja je normalna na osu WIKINIUM\_MATH\_PH\_164 , dok drugi indeks WIKINIUM\_MATH\_PH\_166 ukazuje na pravac u kome deluje napon. Komponenta napona je pozitivna ako deluje u pozitivnom delu koordinatne ose, i ako vektor normale ravni, u kojoj deluje napon, ima smer kao i pozitivni deo koordinatne ose.

Vojtovo obeležavanje Košijevog tenzora napona koristi svojstvo simetričnosti tenzora napona, da bi se napon izrazio kao vektor u šestoj dimenziji, u obliku:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_168 .
Vojtovo obeležavanje koristi se posebno prilikom prikaza veze između napona i istezanja u mehanici čvrstih tela, i prilikom proračunama u softverima koji se primenjuju u strukturnoj mehanici.

### Veza između vektora napona i tenzora napona

Vektor napona WIKINIUM\_MATH\_PH\_170 u nekoj tački ravni, čiji je vektor normale WIKINIUM\_MATH\_PH\_172 , može se izraziti kao funkcija vektora napona u ravnima koje su normalne sa koordinatnim osama, tj. preko komponenata tenzora napona WIKINIUM\_MATH\_PH\_174 . U tenzorskoj formi, ovo će biti:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_176 .
Da bi se dokazao izraz, mora se posmatrati tetraedar čije su tri ravni orijentisane u pravcu koordinatnih osa i sa infinitezimalnom površinom WIKINIUM\_MATH\_PH\_178 orijentisanom u pravcu vektora normale WIKINIUM\_MATH\_PH\_180 (slika 7). Vektor napona u ovoj ravni određen je sa WIKINIUM\_MATH\_PH\_182 . Vektori napona koji deluju u ravnima tetraedra, označeni su sa WIKINIUM\_MATH\_PH\_184 , WIKINIUM\_MATH\_PH\_186 i WIKINIUM\_MATH\_PH\_188 , i po definiciji su komponente tenzora napona WIKINIUM\_MATH\_PH\_190 . Ovaj tetraedar se naziva i Košijev tetraedar. Iz ravnoteže sila, tj. Njutnovih zakona kretanja, imamo:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_192
Slika 7. Delovanje vektora napona u ravni, čiji je vektor normale **n**
gde desna strana jednačine predstavlja produkt mase unutar tetraedra i njeno ubrzanje: WIKINIUM\_MATH\_PH\_194 je gustina, WIKINIUM\_MATH\_PH\_196 je ubrzanje, WIKINIUM\_MATH\_PH\_198 je visina tetraedra, kada se ravan WIKINIUM\_MATH\_PH\_200 posmatra kao baza. Površine strana tetraedra, koje su normalne na koordinatne ose, mogu se izračunati projektovanjem WIKINIUM\_MATH\_PH\_202 na svaku stranu:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_204
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_206
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_208
i

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_210
Ovde je WIKINIUM\_MATH\_PH\_212 proporcionalno kvadratu linearne dimenzije tetraedra, a WIKINIUM\_MATH\_PH\_214 trećem stepenu. Dakle, u slučaju kada tetraedar teži tački, RHS prethodne jednačine teži nuli, pa je:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_216
ili, što je ekvivalentno:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_218
U matričnoj formi, ovo je jednako:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_220
Ova jednačina prikazuje komponente vektora napona, koji deluje na proizvoljnoj ravni sa vektorom normale WIKINIUM\_MATH\_PH\_222 u određenoj tački, u kojoj su određene i komponente tenzora napona, WIKINIUM\_MATH\_PH\_224 .

### Pravilo transformacije tenzora napona

Može se pokazati da je tenzor napona tenzor drugog reda, i u toku transformacija različitih koordinatnih sistema, ponaša se na isti način kao i tenzor drugog reda. Prilikom transformacije sistema WIKINIUM\_MATH\_PH\_226 u sistem WIKINIUM\_MATH\_PH\_228 , komponente WIKINIUM\_MATH\_PH\_230 iz inicijalnog sistema se transformišu u komponente WIKINIUM\_MATH\_PH\_232 u novom sistemu, prema pravilu transformacije tenzora (slika 8):

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_234
gde je WIKINIUM\_MATH\_PH\_236 matrica rotacije sa komponentama WIKINIUM\_MATH\_PH\_238 . U matričnom obliku, ovo je jednako:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_240
Slika 8. Transformacija tenzora napona

Proširivanjem matrične operacije i pojednostavljenjem nekih uslova, uzimanjem pravila o simetriji tenzora napona, dobija se:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_242
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_244
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_246
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_248
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_250
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_252
Grafička predstava ovih transformacija napona, za dvodimenzionalni ravanski napon i ravanski napon i uopšteni trodimenzionalni napon, su Morovi krugovi za napon.

### Normalna i smičuća komponenta napona

Intenzitet normalne komponente napona, WIKINIUM\_MATH\_PH\_254 , bilo kog vektora napona WIKINIUM\_MATH\_PH\_256 , koji deluje na proizvoljnoj ravni sa vektorom normale WIKINIUM\_MATH\_PH\_258 , u određenoj tački u kojoj deluje i komponenta tenzora napona WIKINIUM\_MATH\_PH\_260 , je skalarni proizvod vektora napona i vektora normale, dakle:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_262
Intenzitet smičuće komponente napona, WIKINIUM\_MATH\_PH\_264 , koja deluje u ravni koju određuju dva vektora, WIKINIUM\_MATH\_PH\_266 i WIKINIUM\_MATH\_PH\_268 , se može odrediti primenom Pitagorine teoreme, odnosno:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_270
gde je WIKINIUM\_MATH\_PH\_272

## Jednačine ravnoteže i simetrija tenzora napona

Slika 9. Kontinualno telo u ravnoteži
Kada je telo u ravnoteži, komponente tenzora napona u svakoj tački tela zadovoljavaju jednačine ravnoteže,

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_274

| Izvođenje jednačina ravnoteže
 |
| --- |
| Posmatra se kontinuirano telo (slika 9) koje ima zapreminu WIKINIUM\_MATH\_PH\_276 , i površinu WIKINIUM\_MATH\_PH\_278 , sa određenim površinskim silama WIKINIUM\_MATH\_PH\_280 koje deluju u svakoj tački površi tela, i zapreminske sile WIKINIUM\_MATH\_PH\_282 po jedinici zapremine u svakoj tački koja se nalazi unutar zapremine WIKINIUM\_MATH\_PH\_284 . Dakle, ako je telo u ravnoteži, rezultantna sila koja deluje po zapremini je nula, pa je:
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_286
Po definiciji, vektor napona je WIKINIUM\_MATH\_PH\_288 , pa je

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_290
Ako se iskoristi Gausova teorema divergencije, površinski integral se može prevesti u zapreminski integral:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_292
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_294
Za proizvoljnu zapreminu integrand nestaje, pa se dobijaju jednačine ravnoteže:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_296  |

U isto vreme, da bi se održala ravnoteža, zbir svih momenata u proizvoljnoj tački mora biti jednak nuli, što znači da je tenzor napona simetričan, tj.

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_298

| Izvođenje zakona simetrije tenzora napona
 |
| --- |
| Kada se sumiraju momenti oko tačke *O* (slika 9), rezultantni moment je jedak nuli, i telo je u ravnoteži. Dakle,
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_300
gde je WIKINIUM\_MATH\_PH\_302 vektor pozicije, i izražen je kao

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_304
Ako se zna da je WIKINIUM\_MATH\_PH\_306 i primenom Gausove teoreme divergencije, površinski integral može se prevesti u zapreminski, pa je

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_308
Drugi integral je jedak nuli, ako sadrži jednačine ravnoteže. Time se izostavlja prvi integral, pa je
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_310 , therefore

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_312
Za proizvoljnu zapreminu V, dobija se:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_314
koja je zadovoljena u svakoj tački unutar tela. Proširenjem ove jednačine, dobija se

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_316 , WIKINIUM\_MATH\_PH\_318 , and WIKINIUM\_MATH\_PH\_320
ili u opštem slučaju

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_322
Ovim se dokazuje da je tenzor napona simetričan.

 |

Međutim, kada na telo deluju dva napona, tj. dva momenta po jediničnoj zapremini, tenzor napona neće biti simetričan. Ovo se takođe događa kada Knudsenov broj teži jedinici, WIKINIUM\_MATH\_PH\_324 , ili je kontunuum ne-Njutnov fluid, koji može dovesti do rotacije ne-invarijantnih fluida, kakvi su polimeri.

## Glavni naponi i invarijante napona

U svakoj tački tela, koje je izloženo naponu, postoje najmanje tri ravni, koje se nazivaju **glavne ravni**, sa vektorima normale WIKINIUM\_MATH\_PH\_326 , koji se nazivaju **glavni pravci**. Odgovarajući vektor napona je normalan u odnosu na ravan, tj. paralelan je vektoru normale WIKINIUM\_MATH\_PH\_328 , ili ima isti pravac kao on. U glavnim ravnima ne postoje komponente smičućeg napona, WIKINIUM\_MATH\_PH\_330 . Normale na ove tri ravni nazivaju se **glavne komponente napona**.

Komponente WIKINIUM\_MATH\_PH\_332 tenzora napona zavise od orijentacije koordinatnog sistema u tački posmatranja. Međutim, sam tenzor napona je fizička veličina, i kao takav od koordinatnog sistema u kome je predstavljen. Postoje određene invarijante vezane za svaki tenzor koji je takođe nezavistan od koordinatnog sistema. Na primer, vektor je jednostavan tenzor prvog stepena. U trećoj dimenziji on ima tri komponente. Vrednost ovih komponenata zavisiće od koordinatnog sistema u kome je vektor predstavljen, ali je dužina vektora fizička veličina (skalar) i nezavisna je od izbora koordinatnog sistema.