# Egipatski brojevi

| Brojevni sistemi po kulturama
 |
| --- |
| Hindu-Arapski brojevi
 |
| Zapadnoarapski Indijska familija Kmerski
 | Istočnoarapski Brami Tajski
 |
| Istočnoazijski brojevi
 |
| Kineski Sučou
 | Računski štapići Mongolski
 |
| Alfabetski brojevi
 |
| Abžadski Jermenski Ćirilični Ge'ez
 | Hebrejski Grčki (Jonski) Āryabhaṭa |
| Ostali sistemi
 |
| Atički Vavilonski Egipatski Inuitski
 | Etrurski Majanski Rimski Polje urni
 |
| Spisak tema o brojevnim sistemima |
| Pozicioni sistemi po bazama
 |
| Dekadni (10)
 |
| 2, 4, 8, 16, 32, 64
 |
| 1, 3, 6, 9, 12, 20, 24, 30, 36, 60, još…
 |
| * p
* r
* u
 |

Stari **egipatski brojevi** su korišćeni u drevnom Egiptu do prvih vekova naše ere. To je bio decimalni sistem, često zaokružen na najviši stepen, ispisivan hijeroglifima. Iz ovog hijeroglifskog sistema su proistekli cifarski (alfabetski) sistemi - hijeratski ("sveštenički") i demotski ("narodski").

## Cifre i brojevi

Hijeroglifski brojevi su nastali kada i hijeroglifi, oko 3000. pne. Njihov izgled se tokom stoleća donekle menjao (Staro, Srednje i Novo carstvo), ali osnovni oblik je ostao sličan.

Stepeni broja deset su predstavljani sledećim hijeroglifima:

|  |  |  |  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| Vrědnost
 | 1
 | 10
 | 100
 | 1.000
 | 10.000
 | 100.000
 | 1 milion, ili beskonačnost
 |
| Hijeroglif
 |

|  |  |
| --- | --- |
|

|  |
| --- |
|  |

 |

 |

|  |  |
| --- | --- |
|

|  |
| --- |
|  |

 |

 |

|  |  |
| --- | --- |
|

|  |
| --- |
|  |

 |

 |

|  |  |
| --- | --- |
|

|  |
| --- |
|  |

 |

 |

|  |  |
| --- | --- |
|

|  |
| --- |
|  |

 |

 |

|  |  |
| --- | --- |
|

|  |
| --- |
|  |

 |

 ili

|  |  |
| --- | --- |
|

|  |
| --- |
|  |

 |

 |

|  |  |
| --- | --- |
|

|  |
| --- |
|  |

 |

 |
| Opis
 | Jedan potez
 | Petna kost
 | Klupko kanapa
 | Lotos
 | Prst
 | Punoglavac ili Žaba
 | Čovek s obe ruke podignute
 |

Umnošci ovih vrednosti su izražavani ponavljanjem simbola potreban broj puta. Npr. jedna kamena rezbarija u Karnaku pokazuje broj 4622:

|  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
|

|  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
|

|  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- |
|  |  |  |  |

|  |
| --- |
|  |

|  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- |
|  |  |  |  |

 |

 |

Egipatski hijeroglifi su se mogli pisati u oba smera, pa i vertikalno. Dati primer je napisan sleva nadesno i odozgo nadole; na originalnoj rezbariji to je zdesna nalevo, što znači da su znakovi obrnuti.

## Razlomci

Mogli su biti predstavljeni i racionalni brojevi, ali samo kao zbirovi jediničnih razlomaka, tj. zbirovi recipročnih vrednosti pozitivnih celih brojeva, *osim* za 2/3 i 3/4. Hijeroglif za razlomak je ličio na usta, što je značilo "deo":

|  |  |  |
| --- | --- | --- |
|

|  |  |
| --- | --- |
|

|  |
| --- |
|  |

 |

 |

Razlomci su pisani pomoću ovog znaka, tj. brojilac 1 i pozitivni imenilac ispod. Tako se 1/3 pisala:

|  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- |
|

|  |  |
| --- | --- |
|

|  |
| --- |
|  |

 |

 |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_0
 |

Postojali su posebni simboli za 1/2 i dva nejedinična razlomka, 2/3 i ređe 3/4:

|  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
|

|  |  |
| --- | --- |
|

|  |
| --- |
|  |

 |

 |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_2
 |  |

|  |  |
| --- | --- |
|

|  |
| --- |
|  |

 |

 |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_4
 |  |

|  |  |
| --- | --- |
|

|  |
| --- |
|  |

 |

 |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_6
 |

Ako bi imenilac postao preveliki, "usta" bi bila stavljena iznad početka "imenioca":

|  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- |
|

|  |  |  |
| --- | --- | --- |
|

|  |  |
| --- | --- |
|  |  |

 |

 |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_8
 |

## Sabiranje i oduzimanje

Kao znakovi za "plus" i "minus" su korišćeni hijeroglifi:

|  |  |  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
|

|  |  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
|

|  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- |
|  | odn |

|  |
| --- |
|  |

 |  |

 |

 |

Ako su "stopala" pokazivala u smeru pisanja, to je označavalo sabiranje, u protivnom oduzimanje.

## Pisani brojevi

Kao i kod današnjih jezika, brojevi su se mogli ispisati i fonetski, baš kao što se umesto "30" može napisati "trideset". Konkretno, "trideset" se pisalo:

|  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- |
|

|  |  |  |
| --- | --- | --- |
|

|  |  |
| --- | --- |
|  |  |

 |

 |

a *broj* "30":

|  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- |
|

|  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- |
|

|  |  |  |
| --- | --- | --- |
|  |  |  |

 |

 |

Ovo je ipak bilo retko, osim za brojeve jedan i dva (koji su takođe imali simbole).

## Hijeratski brojevi

Većina administrativnih i računovodstvenih tekstova ipak nije bila urezivana u tvrdi kamen (kao hijeroglifski tekstovi), već ispisivana na papirusu ili ostrakama i to hijeratskim pismom, tako da velika većina tekstova sa egipatskim brojevima otpada upravo na ovu vrstu. Primeri brojeva napisanih hijeratskim mogu se naći čak još u Ranodinastičkom periodu. Abusirski papirusi iz Starog carstva su naročito značajan korpus tekstova koji koriste hijeratske brojeve.

I hijeratski simboli su menjali izgled tokom vremena, prošavši kroz šest različitih perioda, u kojima su se udaljavali od prvobitnih hijeroglifskih uzora; ovde Arhivirano 2008-07-08 na Wayback Machine-u se može videti verzija iz oko 1800. pne., a ovde iz 1600. pne.

*Boyer* je pre 50 godina dokazao da je hijeratsko pismo koristilo drugačiji numerički sistem, cifarski, u kojem su korišćeni pojedinačni znaci za sve jedinice (1, 2... 9), desetice (10, 20... 90), stotine (100, 200... 900) i hiljade/tisuće (1000, 2000... 9000), a ne samo stepeni broja deset (10, 100, 1000...).

Na taj način se veliki broj mogao pisati mnogo kompaktnije. Npr. 9999 se moglo napisati sa samo četiri znaka (za 9000, 900, 90 i 9), umesto sa 36 hijeroglifa. *Boyer* je smatrao da su to bile prve cifre u ljudskoj istoriji, nastale mapiranjem jednog broja na jedno egipatsko slovo.

U najstarijim hijeratskim tekstovima, pojedinačni brojevi su bili jasno ispisani u cifrovanom odnosu sa egipatskim alfabetom. Ali tokom Starog carstva, razvijen je niz standardizovanih ispisa grupa znakova, dakle sa više od jedne cifre, nalik praksi u rimskim brojevima. Međutim, ponavljanje iste cifre za svaku vrednosnu poziciju nije bilo dozvoljeno u hijeratskom pismu. Pošto se ono vremenom razvijalo, ove znakovne grupe su dalje pojednostavljene radi bržeg pisanja, što će se nastaviti u demotskom.

Dva čuvena papirusa sa hijeratskim pismom su Moskovski matematički papirus i Rhindov matematički papirus.

## Demotski brojevi

U poznom 8. veku pne, u vreme Dvadeset pete dinastije, u donjem Egiptu (delta Nila) je iz "poslovne" varijante hijeratskog pisma nastalo demotsko pismo i s njim i drugačiji način zapisivanja brojeva, ali po istom principu kao i kod hijeratskog pisma. Tokom sledeće dinastije (664-525. pne.) demotsko pismo se proširilo na ceo Egipat i postalo glavno pismo za svetovne potrebe. Nakon rimskog osvajanja 30. pne. je manje korišćeno, ali je opstalo do polovine 5. vijeka n.e., kada ga je nasledilo koptsko pismo, nastalo na osnovu grčkog.

Upravo demotski sistem će preuzeti u Fenikiji i Staroj Grčkoj, u kojoj će brojevi biti mapirani na dva alfabeta, dorski i jonski (v. grčki brojevi). Moguće je da su se Stari Grci upoznali sa egipatskim demotskim brojevima negde iza 600. pne., kada je došlo do velikog porasta trgovine između dve zemlje. Grčki brojevi će biti korišćeni do pada Vizantije u 15. veku; u međuvremenu će po njihovom ugledu nastati ćirilični brojevi, korišćeni kod Srba i u drugim zemljama gde je korišćena ćirilica.

## Egipatski nazivi brojeva

Sledeća tabela pokazuje rekonstruisane srednjoegipatske oblike brojeva (označene zvezdicom ispred), njihove transliterirane oblike u hijeroglifima (između uglastih zagrada) i njihove kasnije koptske ekvivalente, na osnovu kojih su egiptolozi donosili zaključke o vokalizmu originalnih egipatskih brojeva. Veliko slovo "A" u nekim rekonstruisanim oblicima znači da je kvalitet tog samoglasnika neizvestan:

| Egipatska Transliteracija | Srpskohrvatski prěvod | Koptski (Sahidski dijalekt)
 |
| --- | --- | --- |
| **\*wiʕyaw** [wˁ.w] (masc.) **\*wiʕīyat**  [wˁ.t] (fem.) | jedan-na | oua (masc.) ouei (fem.)
 |
| **\*sínway** [sn.wy] (masc.) **\*síntay** [sn.ty] (fem.) | dva-dvě | snau (masc.) snte (fem.)
 |
| **\*ḫámtaw** [ḫmt.w] (masc.) **\*ḫámtat** [ḫmt.t] (fem.) | tri | šomnt (masc.) šomte (fem.)
 |
| **\*yAfdáw** [ỉfd.w] ([masc.) **\*yAfdát** [ỉfd.t] (fem.) | četiri | ftoou (masc.) ftoe (fem.)
 |
| **\*dīyaw** [dỉ.w] (masc.) **\*dīyat** [dỉ.t] (fem.) | pet | tiou (masc.) tie (fem.)
 |
| **\*yAssáw** [sỉs.w ili ỉs.w (?)] (masc.) **\*yAssát** [sỉs.t ili ỉs.t (?)] (fem.) | šest | soou (masc.) soe (fem.)
 |
| **\*sáfḫaw** [sfḫ.w] (masc.) **\*sáfḫat** [sfḫt] (fem.) | sedam | šašf (masc.) šašfe (fem.)
 |
| **\*ḫAmānaw** [ḫmnw] (masc.) **\*ḫAmānat** [ḫmnt] (fem.) | osam | šmoun (masc.) šmoune (fem.)
 |
| **\*pAsīḏaw** [psḏw] (masc.) **\*pAsīḏat** [psḏt] (fem.) | devet | psis (masc.) psite (fem.)
 |
| **\*mūḏaw** [mḏw] (masc.) **\*mūḏat** [mḏt] (fem.) | deset | mēt (masc.) mēte (fem.)
 |
| **\*ḏubāʕatay** [ḏbˁ.ty] | dvadeset | jōt (masc.) jōti (fem.)
 |
| **\*máʕbAʔ** [mˁbȝ] (masc.) **\*máʕbAʔat** [mˁbȝ.t] (fem.) | trideset | maab (masc.) maabe (fem.)
 |
| **\*ḥAmí** (?) [ḥm.w] (masc.) | četrdeset | xme
 |
| **\*díywu** [dy.w] | pedeset | taeiou
 |
| **\*yAssáwyu** [sỉsy.w ili ỉswy.w (?)] | šezdeset | se
 |
| **\*safḫáwyu** [sfḫy.w] (masc.) | sedamdeset | šfe
 |
| **\*ḫamanáwyu** [ḫmny.w] (masc.) | osamdeset | xmene
 |
| **\*pAsiḏawyu** [psḏy.w] (masc.) | devedeset | pstaiou
 |
| **\*šáwat** [š.t] | sto | še
 |
| **\*šūtay** [š.ty] | dvesta/dvjesto | šēt
 |
| **\*ḫaʔ** [ḫȝ] | jedna hiljada/tisuća | šo
 |
| **\*ḏubaʕ** [ḏbȝ] | deset hiljada/tisuća | tba
 |
| [hfn] | sto hiljada/tisuća
 |
| **\*ḥaḥ** [ḥḥ] | milion/milijun | xax "many"
 |

## Povezano

* Stari Egipat
* Egipatski jezik
* Staroegipatska matematika

## Reference

(na engleskom:)

* Allen, James Paul. 2000. *Middle Egyptian: An Introduction to the Language and Culture of Hieroglyphs*. Cambridge: Cambridge University Press. Numerals discussed in §§9.1–9.6.
* Gardiner, Alan Henderson. 1957. *Egyptian Grammar; Being an Introduction to the Study of Hieroglyphs*. 3rd ed. Oxford: Griffith Institute. For numerals, see §§259–266.
* Goedicke, Hans. 1988. *Old Hieratic Paleography*. Baltimore: Halgo, Inc.
* Möller, Georg. 1927. *Hieratische Paläographie: Die aegyptische Buchschrift in ihrer Entwicklung von der Fünften Dynastie bis zur römischen Kaiserzeit.* 3 vols. 2nd ed. Leipzig: J. C. Hinrichs'schen Buchhandlungen. (Reprinted Osnabrück: Otto Zeller Verlag, 1965)

## Reference

## Vanjske veze

(na engleskom:)

* Introduction Arhivirano 2007-09-29 na Wayback Machine-u
* Egyptian numerals
* Numbers and dates
*
*
*  Arhivirano 2008-07-08 na Wayback Machine-u