# Prirodan broj

**Prirodni brojevi** su svi celi brojevi veći od nule.

Skup prirodnih brojeva se obeležava velikim latiničnim slovom N={1,2,3,..}.

Skup prirodnih brojeva spx0ada u prebrojive skupove. Često se skupu prirodnih brojeva pridodaje i 0 i taj skup se označava sa N0.

## Sabiranje prirodnih brojeva

Neka su dati konačni skupovi A i B i neka je kA=a i kB=b i neka je A∩B= =ø. Broj k(AUB)= predstavlja **zbir (sumu)** brojeva a i b, koji su **sumandi(adendi, pribrojnici).** Računska operacija koju pri tom obavljamo je **sabiranje (adicija).**
Za sabiranje prirodnih brojeva važi

1. Zakon zatvorenosti a+b je prirodan broj
2. zakon komutacije a+b=b+a
3. zakon asocijacije (a+b)+c=a+(b+c)
4. zakon trihotonomije a=b ili a+c=b a=b+d Za a + c=b =>a < b,za a = b + d => a > b
5. zakon kancelacije skračivanja

ako je a+c=b+c onda je a=b

**Teorema 1**

a=b <= > a+c= b+c.

Pod a1+ a2 + a3, podrazunjevamo (a1+ a2)+ a3.
Pod a1 + a2+ a3 + a4 podrazunjevamo (a1 + a2 + a3 )+ a4 . uopštano je
a1+ a2+ a3+....+ an= (a1+ a2+...+ am)+(.. a(m+1+...+
+ an).

**Teorema 2**
a < b=> a+c< b+c

dokaz

a < b < => a+d=b< => a+d +c= b+c< => (a+c)+d = b+c< => a+c<b+c.

**Teorema 3**

(a < b & b<c) => a<c

## Množenje prirodnih brojeva

Neka je kA=a i kB=b , broj k(AxB) zovemo proizvod ( produkt, umnožnik) brojeva a i b koji su faktori (činioci) . Proizvod označavamo sa ab.

Za množenje prirodnih brojeva važi

1. Zakon zatvorenosti ab je prirodan broj
2. zakon komutacije ab= ba
3. zakon asocijacije (ab)c=a(bc)
4. zakon kancelacije skračivanja ako je ac=bc onda je a=b
5. zakon distribucije množenja u odnosu na sabiranje

(a+b)c=ac +bc.

Broj b+b+b+....+b gdje pribrojnik b dolazi a puta zove se proizvod brojeva a i b .
..
**Teorema 4**

a = b => ac=bc
a < b => ac < bc

**Arhimedova teorema**

Za svaka dva prirodna broja a i b postoji prirodni broj n takav da je an > b.

## Oduzimanje prirodnih brojeva

Od broja a oduzeti broj b znači naći broj d takav da je a = b+d.

Broj a je **razlika** ili diferencija brojeva a i b, broj a minuend ili umanjenik, a b suptrahend ili umanjitelj.

Očigledno u skupu N ne vrijedi zakon zatvorenosti tj a-b nije iz N za svaki par a i b.

Primjer
2-3 nije iz N

## Dijeljenje u skupu prirodnih brojeva

Podijeliti broj a brojem b znači naći broj q takav da je a = bq. N.
Broj a je kvocijent ili količnik brojeva a i b, broj a je dividend ili djeljenik, a b je divizor ili djelitelj.

U skup N ne vrijedi zakon zatvorenosti za dijeljenje tj za svaki par a i b nije a / b iz N.

Primjer

5 / 3 nije iz N

## Algebarske operacije

Posmatrajmo operacije sabiranja i množenja u skupu N. Očito je to preslikavanje skupa NxN u skup N definisano sa

(a,b)→ a + b i analogno

a(a,b)→ab.

Neka je S neprazan skup. Binarna algebarska operacija (kompozicija) na skupu S je svako preslikavanje f:SxS→ S.
Za algebarske operacije vrijedi

1. Zakon komutacije ako je a\*b=b\*a
2. Zakon asocijacje ako je a\*(b\*c)= a\*b)\*c

Ovi zakoni ne moraju važiti uvijek.

(a,b)= 2a + 2b

a\*b= 2a+2b= 2b + 2a= b\*a

(a\*b)\*c = (2a+2b)\*c= 2(2a + 2b) + 2c= 4a+4b+2c

a\*(b\*c)= 2a+2(2b+2c) = 2a+4b + 4c

tj ne važi asocijativnost.

Neka su date dvije operacije \* i ○ kažemo da je operacija lijevo distributivna u odnosu na ○ ako vrijedi
a\*(b○c)=(a\*b) ○(a\*c).

Ako su A, B,C neprazni skupovi tada svako preslikavanje skupa AxB u C zovemo binarnom algebarskom operacijom sa AxB u C. Specijalno je A=B=C.

Sam skup i skup na koji se preslikava algebarska operacija nije isto. Razlika je velika. U drugom slučaju sa elementima skupa možemo računati.

Skup zajedno sa algebarskom operacijom nazivamo **grupoid.**
Uređen par (S,\*) koji čini neprazni skup S i algebarska operacija \* definisana na skupu S zove se grupoid(monoid). Ako je (S\* ) grupoid i e iz S onda je

1. e lijevi neutralni element u odnosu na operaciju\* akoje e\*a=a
2. e desnii neutralni element u odnosu na operaciju\* akoje a\*e=a
3. e dvostruki neutralni element u odnosu na operaciju\* akoje e\*a=a\*e=a.

Neutralni element za operaciju množenja u skupu N je e=1, a za sabiranje u skupu N0 je e=0.

Grupoid može biti asocijativan i komutativan. Asocijativan grupoid nazivamo **polugrupa.**Polugrupa može imati inverzni element.

1. x je desni inverzni element u odnosu na operaciju \* akoje a \* x = e
2. x je lijevi inverzni element u odnosu na operaciju \* akoje x \* a = e
3. x je dvostruki inverzni element u odnosu na operaciju \* akoje a \* x =x \* a = e

Grupa je polugrupa koja ima neutralni i inverzni ewlement.

Polugrupa (S, \*) s dvostrukim inverznim elementom ima najviše jedan inverzni element

Dokaz

x1= x1 \* e = x1 (a \* x0) = (x1 \* a )\* = x0