# Rješavanje trougla

Rješavanje trougla znači nalaženje preostalih uglova i stranica kada je dat minimum podataka.
Osnovni elementi trougla su tri ugla i tri stranice, a minimum podataka, čine tri od tih osnovnih elementa, od kojih je najmanje jedan stranica. Naime, kada znamo dva ugla trougla tada možemo smatrati da znamo i treći, jer je zbir uglova u trouglu uvijek isti, 180o. Međutim, trougao nije određen samo svojim osnovnim elementima.
Ovo je glavni trigonometrijski problem.
Moguće je konstruisati trougao ako je zadana težišnica i dvije stranice, ili stranica, visina i ugao, itd.

## Glavni teoremi

Kosinusna teorema

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_0

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_2

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_4

Sinusna teorema

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_6

Zbir uglova trougla

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_8

Tangensni teorem

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_10

## Oštrougli trougao

Oštrougli trougao ima sva tri ugla manja od pravog ugla (90o ). Pri rješavanju oštrouglog trougla moguća su sljedeća četiri slučaja:

1. date su tri strane (SSS);
2. date su dve stranice i ugao između njih (SUS);
3. data je stranica i dva nalegla ugla (USU);
4. date su dvije stranice i ugao naspram veće od njih (SSU).

To su isti uslovi koji definišu podudarnost trouglova. Razmotrićemo svaki od ovih primjera.

### Date su 3 stranice trougla

Date su tri stranice **a , b , c** trougla. Naći njegove uglove.

**I način**

Kosinusna teorema WIKINIUM\_MATH\_PH\_12 daje ugao A, jer je WIKINIUM\_MATH\_PH\_14

Sinusna teorema WIKINIUM\_MATH\_PH\_16 daje ugao WIKINIUM\_MATH\_PH\_18 , jer je WIKINIUM\_MATH\_PH\_20

Treći ugao C možemo naći kao suplementni ugao prethodna dva WIKINIUM\_MATH\_PH\_22 .

**II način**

Iz poluobima WIKINIUM\_MATH\_PH\_24 i tangensne teoreme imaćemo

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_26

Ovaj zadatak ima jedinstveno rješenje jedino ako su zbirovi po dvije od datih stranica trougla veći od treće stranice, tj. WIKINIUM\_MATH\_PH\_28 .

### Date su 2 stranice i ugao između njih

Date su 2 stranice trougla WIKINIUM\_MATH\_PH\_30 i ugao WIKINIUM\_MATH\_PH\_32 . Naći stranicu с i uglove WIKINIUM\_MATH\_PH\_34 , WIKINIUM\_MATH\_PH\_36 .

Kosinusna teorema daje stranicu WIKINIUM\_MATH\_PH\_38

Sinusna teorema daće uglove. Iz uslova WIKINIUM\_MATH\_PH\_40 slijedi da je ugao WIKINIUM\_MATH\_PH\_42 oštar, pa prema tome prvo tražimo

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_44 tj ugao WIKINIUM\_MATH\_PH\_46 pa ugao WIKINIUM\_MATH\_PH\_48 koji je suplementan uglovima WIKINIUM\_MATH\_PH\_50 , WIKINIUM\_MATH\_PH\_52 , tj. WIKINIUM\_MATH\_PH\_54 .

Jednistveno rješenje je ako je WIKINIUM\_MATH\_PH\_56 .

### Data je stranica i 2 ugla koja leže na njoj

Data je stranica a i uglovi \beta i \gamma. Naći stranice b, c i ugao \alpha.

Prvo nalazimo ugao WIKINIUM\_MATH\_PH\_58 .

Sinusna teorema daje: WIKINIUM\_MATH\_PH\_60 }.

Za WIKINIUM\_MATH\_PH\_62 je WIKINIUM\_MATH\_PH\_64 pa je WIKINIUM\_MATH\_PH\_66

Postojijedinstveno rješenje, jer je ugao WIKINIUM\_MATH\_PH\_68 oštar nezavisno od toga kakav je ugao WIKINIUM\_MATH\_PH\_70 .

Kada je WIKINIUM\_MATH\_PH\_72 tada je WIKINIUM\_MATH\_PH\_74 . Trougao je pravougli, ili, ako je WIKINIUM\_MATH\_PH\_76 , postoje dva rješenja, jer se mogu dobiti dvije vrijednosti za ugao\beta, oštar i tup ugao.

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_78 tj. WIKINIUM\_MATH\_PH\_80 , nema rješenja.

Kada je WIKINIUM\_MATH\_PH\_82 tada je WIKINIUM\_MATH\_PH\_84 i WIKINIUM\_MATH\_PH\_86 . Postoji jedinstveno rešenje.

## Reference