# Trigonometrijske funkcije

**Trigonometrijske funkcije** su funkcije ugla. Dobile su ime po grani matematike koja ih koristi za rešavanje trouglova, a koja se naziva trigonometrija.

Kada je ugao, dakle argument ovih funkcija realan broj, tada su to funkcije ravninske trigonometrije: sinus i kosinus, od kojih se izvode sve ostale. Od ostalih osnovnih funkcija ugla često su u upotrebi tangens, pa i kotangens, zatim, malo ređe se sreću kosekans i sekans, i konačno najređe sinus versus i kosinus versus. Kada je ugao kompleksan broj tada funkcije ugla mogu preći u hiperboličke funkcije.

Inverzne trigonometrijske funkcije zovu se *ciklometrijske* funkcije i *arkus-funkcije*.

## Definicije

Osnovne trigonometrijske funkcije sinus, kosinus i tangens se obično definšu pomoću pravouglog trougla, slika desno.

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_0
*Pozitivan* matematički ugao ima suprotan smer od kazaljke na satu, slično kao i kretanje Sunca u odnosu na sunčevu senku na slici 2.

### Trigonometrijska kružnica

Na slici (3) dole je kružnica poluprečnika jedan sa centrom u ishodištu, tj. WIKINIUM\_MATH\_PH\_2 koja se zove *trigonometrijska kružnica*. U sledećoj definiciji i teoremi (1), tangens i kotangens (b) se u anglosaksonskim zemljama označavaju tan i cot, kosekans (v) se i kod nas i vani ponekad označava cosec.

Definicija 1
Trigonometrijske realne funkcije ugla φ definišu se jednakostima
**(a)** WIKINIUM\_MATH\_PH\_4 sinus i kosinus su realni brojevi;
**(b)** WIKINIUM\_MATH\_PH\_6 tangens i kotangens;
**(v)** WIKINIUM\_MATH\_PH\_8 sekans i kosekans.
**(g)** WIKINIUM\_MATH\_PH\_10 kosinus versus i sinus versus.
Funkcije (v), a naročito (g) retko srećemo.

Teorema 1
**(a)** WIKINIUM\_MATH\_PH\_12 kosinus i sinus;
**(b)** WIKINIUM\_MATH\_PH\_14 tangens i kotangens;
**(v)** WIKINIUM\_MATH\_PH\_16 sekans i kosekans.
Dokaz
Tačka T sa slike 1. ovde (sl.2.) je tačka D.
**(a)** Sledi neposredno zbog poluprečnika r = 1.
**(b)** Uočimo slične trouglove WIKINIUM\_MATH\_PH\_18 odakle WIKINIUM\_MATH\_PH\_20 tj. WIKINIUM\_MATH\_PH\_22 uočimo slične trouglove WIKINIUM\_MATH\_PH\_24 odatle WIKINIUM\_MATH\_PH\_26 tj. WIKINIUM\_MATH\_PH\_28
**(v)** Iz istih sličnih trouglova (b) dobijamo WIKINIUM\_MATH\_PH\_30 tj. WIKINIUM\_MATH\_PH\_32 zatim WIKINIUM\_MATH\_PH\_34 tj. WIKINIUM\_MATH\_PH\_36 Kraj dokaza.
### Posebni uglovi

Na prethodnoj slici (3) predstavljen je Dekartov pravougli sistem koordinata i tačka D na trigonometrijskoj kružnici. Ugao BOD = φ može neograničeno rasti dok pokretni krak ugla (OD) prolazi redom kroz prvi, drugi, treći i četvrti kvadrant, a zatim ponovo po istom krugu. Dakle, ugao φ može rasti do 360° i dalje. Pri tome se projekcije tačke D na apscisu i ordinatu uvek računaju kao kosinus i sinus ugla φ. To znači da je kosinus pozitivan kada je tačka D u prvom i četvrtom kvadrantu, a da je sinus pozitivan kada je tačka D u prvom i drugom kvadrantu. Detaljno to vidimo u sledećoj tabeli:

*Trigonometrijske funkcije po kvadrantima*
| Kvadrant | 1. (0°-90°) | 2. (90°-180°) | 3. (180°-270°) | 4. (270°-360°)
 |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| sinus
 | + | + | - | -
 |
| kosinus
 | + | - | - | +
 |
| tangens
 | + | - | + | -
 |

Takođe je lako proveriti tačnost formula za *svođenje vrednosti* trigonometrijskih funkcija na funkcije uglova iz prvog kvadranta:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_38
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_40
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_42
Funkcije kosinus i sinus su periodične sa osnovnim periodom 360°, a funkcija tangens je periodična sa periodom 180°:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_44
Funkcije uglove većih od 360 stepeni prethodnim formulama se svode na funkcije manjih uglova, a zatim dalje, ako je potrebno, na prvi kvadrant. Zato su veoma važne trigonometrijske tablice uglova iz prvog kvadranta. Za neke od tih uglova se funkcije lakše izračunavaju:

*Najčešće vrednosti trigonometrijskih funkcija*
|  WIKINIUM\_MATH\_PH\_46  | 0° | 30° | 45° | 60° | 90°
 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
|  WIKINIUM\_MATH\_PH\_48
 | 0 |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_50  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_52  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_54  | 1
 |
|  WIKINIUM\_MATH\_PH\_56
 | 1 |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_58  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_60  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_62  | 0
 |
|  WIKINIUM\_MATH\_PH\_64
 | 0 |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_66  | 1 |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_68  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_70
 |

Jedan od načina izračunavanja ovih vrednosti je prikazan u pregledu osnovnih uglova. Iz tabele se vidi da su već kod "osnovnih" uglova trigonometrijske funkcije iracionalni brojevi i da bi slični izrazi za druge uglove mogli biti još složeniji. Jednostavniji od tih složenijih izraza bio bi, na primer WIKINIUM\_MATH\_PH\_72 i to je najmanji ugao čiji se sinus može predstaviti pisanjem proste algebarske kombinacije racionalnih brojeva i korenova. Vekovima su trigonometrijske vrednosti zapisivane u trigonometrijske tablice, na 5 do 10 decimala, a u poslednje vreme koristi se skoro isključivo računar ili kalkulator.

Kada tačka D jednom obiđe kružnicu pređe put 2*π* odnosno napravi 360°. Luk dužine *π* odgovara uglu 180° - ispruženi ugao, π/2 je 90° - pravi ugao, π/3 je 60°, π/4 je 45°, π/6 je 30°, i uopšte luk dužine *x* radijana odgovara uglu 360*x*/2*π* stepeni. Za jedan radijan, h = 1, dobija se ugao 57,2957795... stepeni, tj. u stepenima, minutama i sekundama 57°17'44,8". Jedan stepen ima 60 minuta, a jedna minuta ima 60 sekundi. Izrazi minute i sekunde potiču od latinskih reči: *partes minutae primae* i *partes minutae secundae*, tj. prvi mali delovi i drugi mali delovi. Matematički tekstovi za jedinicu ugla podrazumevaju radijan.

### Redovi

Trigonometrijske funkcije se, takođe, mogu predstavljati (beskonačnim) redovima:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_74
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_76
Ovi redovi se mogu upotrebiti i za definisanje trigonometrijskih funkcija kompleksnog broja z, i hiperboličkih funkcija.

## Osobine

Pregled skoro svih osobina trigonometrijskih funkcija koje se tiču rešavanja trouglova dat je u prilogu: ravninska trigonometrija. U posebnom prilogu mogu se pronaći dokazi za adicione formule, gde spadaju i formule za *dvostruke uglove*, zatim *polovine uglova*, te predstavljanje *zbira i razlike* trigonometrijskih funkcija *pomoću proizvoda* i obratno, i izražavanje ostalih trigonometrijskih funkcija pomoću tangensa polovine ugla. Inače je

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_78
Takođe, u posebnom prilogu se nalaze trigonometrijske jednačine. Ono što sledi jesu dodatne, analitičke osobine funkcija, i neki dokazi.

### Granična vrednost

Na slici (4) levo vidimo tetivu WIKINIUM\_MATH\_PH\_80 koja je sigurno kraća od luka WIKINIUM\_MATH\_PH\_82 Tetiva je najkraće rastojanje između dve tačke na kružnici. Zato je polutetiva WIKINIUM\_MATH\_PH\_84 kraća od poluluka WIKINIUM\_MATH\_PH\_86 Trougao OAD, sa oštrim uglom φ je pravougli. Pravi ugao je u temenu A, kateta OA iznosi WIKINIUM\_MATH\_PH\_88 , kateta DA iznosi WIKINIUM\_MATH\_PH\_90 , hipotenuza je dužine jedan. Kada je ugao u radijanima i WIKINIUM\_MATH\_PH\_92 tada je

Teorema 1
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_94
**Dokaz**: Sledi iz WIKINIUM\_MATH\_PH\_96 i WIKINIUM\_MATH\_PH\_98 Kraj.

Kada ugao teži nuli preko pozitivnih vrednosti, sinus je tada pozitivan, a negativan je kada ugao teži nuli preko negativnih vrednosti. Naprotiv, kosinus je u oba slučaja pozitivan. Iz toga proizilaze limesi za kotangens: WIKINIUM\_MATH\_PH\_100 Zamenom h sa komplementnim uglom dobićete odgovarajuće limese za tangens.

Teorema 2
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_102
Dokaz
Na slici (5) desno, površina pravouglog trougla OAD manja je od površine kružnog isečka OBD, a ova opet manja od površine pravouglog trougla OBE. Nazovimo sa h ugao BOE. Otuda WIKINIUM\_MATH\_PH\_104 Podelimo li ove nejednakosti sa (pozitivnim) WIKINIUM\_MATH\_PH\_106 dobićemo WIKINIUM\_MATH\_PH\_108 a otuda WIKINIUM\_MATH\_PH\_110 Sa WIKINIUM\_MATH\_PH\_112 vredi WIKINIUM\_MATH\_PH\_114 pa je WIKINIUM\_MATH\_PH\_116 Sinus je parna funkcija pa je dokaz za negativne uglove isti. Kraj dokaza.
### Izvod

Izvod funkcije f(x) po definiciji je granična vrednost: WIKINIUM\_MATH\_PH\_118

Teorema 3
**(a)** WIKINIUM\_MATH\_PH\_120
**(b)** WIKINIUM\_MATH\_PH\_122
**(v)** WIKINIUM\_MATH\_PH\_124
Dokaz
**(a)** WIKINIUM\_MATH\_PH\_126 pa je
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_128 kada WIKINIUM\_MATH\_PH\_130 (teorema 2).
**(b)** Zbog WIKINIUM\_MATH\_PH\_132 biće WIKINIUM\_MATH\_PH\_134
**(v)** Izvod količnika WIKINIUM\_MATH\_PH\_136
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_138 Kraj dokaza 3.
## Povezano

* Trigonometrijske jednačine