# Kosinusna teorema

**Kosinusna teorema** je formula koja se koristi za rešavanje trougla u trigonometriji u ravni:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_0
gde je *C* ugao nasuprot stranice *c*, tj. ugao između stranica *a* i *b* trougla.

U sfernoj trigonometriji to je formula za rešavanje sfernog trougla:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_2
gde je *a* strana nasuprot ugla *A*, strana *b* je nasuprot ugla *B*, a strana *c* je nasuprot ugla *C*.

## Trigonometrija u ravni

Kosinusna teorema ima istu analitičku formu nezavisno od toga da li je dati trougao oštrougli (sl.1) ili tupougli (sl.2). Međutim, obično se posebno dokazuje svaki od ta dva slučaja, kao što je urađeno u dokazu koji sledi.

Sl.1. Oštrougli trougao
Kosinusna teorema
U svakom trouglu je WIKINIUM\_MATH\_PH\_4 gde je nasuprot stranice *a* ugao *α*.
Dokaz
Na slici desno (sl.1) dat je oštrougli trougao ABC sa visinom CD. Iz pravouglih trouglova BCD i ACD prema Pitagorinoj teoremi je WIKINIUM\_MATH\_PH\_6 a otuda zamenom dobijamo prvo WIKINIUM\_MATH\_PH\_8 a onda WIKINIUM\_MATH\_PH\_10 Iz pravouglog trougla ACD dobijamo WIKINIUM\_MATH\_PH\_12 i zamenom u prethodnu jednakost WIKINIUM\_MATH\_PH\_14 što je i trebalo dokazati.
Sl.2. Tupougli trougao
Dalje, na slici (2) levo, dat je tupougli trougao ABC, sa uglom α u temenu A, većim od pravog ugla (90°). Visina CD = h pada na produžetak stranice AB u tačku D tako da je D-A-B, te je spoljašnji ugao CAD = 180°-α. U trouglu CAD je

DA = WIKINIUM\_MATH\_PH\_16
Sa druge strane, trouglovi BCD i ACD su pravougli i, prema Pitagorinoj teoremi imamo WIKINIUM\_MATH\_PH\_18 pa zamenom dobijamo
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_20 tj.
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_22 kao što je i trebalo dokazati. Kraj dokaza.
Kosinusna teorema se može dokazati jednostavno i bez razmatranja različitih rasporeda koristeći vektorski račun. U gornjim oznakama,

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_24
( WIKINIUM\_MATH\_PH\_26 označava skalarni proizvod.)

Drugačijim označavanjem trougla, dobićemo i ostale dve formule, koje se zajedno sa navedenom nazivaju kosinusna teorema: WIKINIUM\_MATH\_PH\_28 Kada je, na primer ugao u temenu C = γ=90°, zbog cos(90°)=0, poslednja formula postaje WIKINIUM\_MATH\_PH\_30 tj. Pitagorina teorema je poseban slučaj kosinusne teoreme. Pored toga, kosinusna teorema ima još nekih važnih posledica.

Teorema 2
Kvadrat bilo koje stranice trougla je manji, jednak, ili veći od zbira kvadrata ostale dve stranice, zavisno od toga da li je suprotni ugao oštar, prav, ili tup.
Dokaz
Ako je WIKINIUM\_MATH\_PH\_32 tada je WIKINIUM\_MATH\_PH\_34 i WIKINIUM\_MATH\_PH\_36
Ako je WIKINIUM\_MATH\_PH\_38 tada je WIKINIUM\_MATH\_PH\_40 i WIKINIUM\_MATH\_PH\_42
Ako je WIKINIUM\_MATH\_PH\_44 tada je WIKINIUM\_MATH\_PH\_46 i WIKINIUM\_MATH\_PH\_48 Kraj dokaza.
Važi i suprotna teorema.

Teorema 3
Ugao trougla je oštar, prav, ili tup zavisno od toga da li je kvadrat suprotne stranice trougla redom manji, jednak, ili veći od zbira kvadrata ostale dve strane.
Dokaz
Sledi iz kosinusne teoreme WIKINIUM\_MATH\_PH\_50
Ako je WIKINIUM\_MATH\_PH\_52 tada je WIKINIUM\_MATH\_PH\_54 i prema tome WIKINIUM\_MATH\_PH\_56
Ako je WIKINIUM\_MATH\_PH\_58 tada WIKINIUM\_MATH\_PH\_60 tj. WIKINIUM\_MATH\_PH\_62
Ako je WIKINIUM\_MATH\_PH\_64 tada je WIKINIUM\_MATH\_PH\_66 tj. WIKINIUM\_MATH\_PH\_68 Kraj dokaza.
Teorema 4
U bilo kojem paralelogramu zbir kvadrata dijagonala jednak je zbiru kvadrata sve četiri njegove strane.
Sl.3. Paralelogram
Dokaz
Na slici (3) desno, dat je paralelogram ABCD sa dijagonalama AC i BD i uglom BAD = α.
Tada je WIKINIUM\_MATH\_PH\_70 Naime, kako je ugao CBA = 180°-α, prema kosinusnoj teoremi iz trouglova ADB, ABC dobijamo WIKINIUM\_MATH\_PH\_72
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_74
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_76 jer je WIKINIUM\_MATH\_PH\_78 Sabiranjem ovih jednačina, dobijamo
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_80 što je i trebalo dokazati. Kraj dokaza.
## Povezano

* Matematika
* Geometrija
* Planimetrija
* Trigonometrija
* Trougao
* Sinusna teorema
* Tangensna teorema
* Rešavanje trougla

## Vanjske veze

* Kosinusna teorema na mathworld.wolfram.com (`en`)
* Kosinusna teorema na www.cut-the-knot.org (`en`)