# Vektorski prostor

**Vektorski** ili **linearni** prostor je algebarski pojam u matematici koji nalazi primenu u svim glavnim granama matematike, među kojima su linearna algebra, analiza i analitička geometrija.

### Definicija

Ako je WIKINIUM\_MATH\_PH\_0 ne-prazan arbitraran set objekata, WIKINIUM\_MATH\_PH\_2 određeni set skalara koji ima strukturu polja. Također postoji definicija zbroja dva objekt u setu WIKINIUM\_MATH\_PH\_4 , te umnoška sklara iz seta WIKINIUM\_MATH\_PH\_6 i objekta iz seta WIKINIUM\_MATH\_PH\_8 *.*

*V* se može smatrati vektorskim prostorom ukoliko zadovoljava sljedeće aksiome:

* WIKINIUM\_MATH\_PH\_10 i WIKINIUM\_MATH\_PH\_12 su objekti u WIKINIUM\_MATH\_PH\_14 *,* vrijedi da je WIKINIUM\_MATH\_PH\_16 objekt u WIKINIUM\_MATH\_PH\_18 .
* WIKINIUM\_MATH\_PH\_20 je skalar u WIKINIUM\_MATH\_PH\_22 , a WIKINIUM\_MATH\_PH\_24 objekt u WIKINIUM\_MATH\_PH\_26 , vrijedi da je WIKINIUM\_MATH\_PH\_28 objekt u WIKINIUM\_MATH\_PH\_30 .
* WIKINIUM\_MATH\_PH\_32 i WIKINIUM\_MATH\_PH\_34 su objekti u  *WIKINIUM\_MATH\_PH\_36 ,* vrijedi pravilo asocijativnosti odnosno WIKINIUM\_MATH\_PH\_38 .
* WIKINIUM\_MATH\_PH\_40 , WIKINIUM\_MATH\_PH\_42 i WIKINIUM\_MATH\_PH\_44 su objekti u  *WIKINIUM\_MATH\_PH\_46* , vrijedi pravilo komutativnosti odnosno WIKINIUM\_MATH\_PH\_48
* WIKINIUM\_MATH\_PH\_50 je skalar u WIKINIUM\_MATH\_PH\_52 , a WIKINIUM\_MATH\_PH\_54 i WIKINIUM\_MATH\_PH\_56 su objekti u WIKINIUM\_MATH\_PH\_58 , vrijedi WIKINIUM\_MATH\_PH\_60
* WIKINIUM\_MATH\_PH\_62 i WIKINIUM\_MATH\_PH\_64 su skalari u WIKINIUM\_MATH\_PH\_66 , a WIKINIUM\_MATH\_PH\_68 je objekt u WIKINIUM\_MATH\_PH\_70 , vrijedi WIKINIUM\_MATH\_PH\_72
* WIKINIUM\_MATH\_PH\_74 i WIKINIUM\_MATH\_PH\_76 su skalari u WIKINIUM\_MATH\_PH\_78 , a WIKINIUM\_MATH\_PH\_80 je objekt u WIKINIUM\_MATH\_PH\_82 , vrijedi WIKINIUM\_MATH\_PH\_84
* WIKINIUM\_MATH\_PH\_86 je neutralni element za množenje u WIKINIUM\_MATH\_PH\_88 , a WIKINIUM\_MATH\_PH\_90 je objekt u WIKINIUM\_MATH\_PH\_92 , vrijedi WIKINIUM\_MATH\_PH\_94
* WIKINIUM\_MATH\_PH\_96 nulti vektor u WIKINIUM\_MATH\_PH\_98 , a WIKINIUM\_MATH\_PH\_100 objekt u WIKINIUM\_MATH\_PH\_102 , vrijedi WIKINIUM\_MATH\_PH\_104
* WIKINIUM\_MATH\_PH\_106 je objekt u WIKINIUM\_MATH\_PH\_108 , a WIKINIUM\_MATH\_PH\_110 njegov zbrojni inverz u WIKINIUM\_MATH\_PH\_112 , vrijedi WIKINIUM\_MATH\_PH\_114

S obzirom da je vektorski prostor WIKINIUM\_MATH\_PH\_116 , definiran i WIKINIUM\_MATH\_PH\_118 , može se pisati WIKINIUM\_MATH\_PH\_120 (čit. vektorski prostor WIKINIUM\_MATH\_PH\_122 nad WIKINIUM\_MATH\_PH\_124 ).

Uobičajeno je da se vektorski prostori nad poljem realnih odnosno kompleksnih brojeva nazivaju realni, odnosno kompleksni vektorski prostori. Takođe, vektorski prostor u kojem je definisan skalarni proizvod naziva se Euklidski vektorski prostor.

### Primjeri

* WIKINIUM\_MATH\_PH\_126 matrice
* Vektori u WIKINIUM\_MATH\_PH\_128
* Realni brojevi
* Polinomi

### Vektorski podprostor

Poneakad je moguće definirati novi set WIKINIUM\_MATH\_PH\_130 u kojem svi elementi pripadaju i nekom vektornom prostoru WIKINIUM\_MATH\_PH\_132 . U tom se slučaju većina prije naznačenih aksioma će biti naslijeđena osim:

* WIKINIUM\_MATH\_PH\_134 i WIKINIUM\_MATH\_PH\_136 su objekti u WIKINIUM\_MATH\_PH\_138 *,* vrijedi da je WIKINIUM\_MATH\_PH\_140 objekt u WIKINIUM\_MATH\_PH\_142 .
* WIKINIUM\_MATH\_PH\_144 je skalar u WIKINIUM\_MATH\_PH\_146 , a WIKINIUM\_MATH\_PH\_148 objekt u WIKINIUM\_MATH\_PH\_150 , vrijedi da je WIKINIUM\_MATH\_PH\_152 objekt u WIKINIUM\_MATH\_PH\_154 .

#### Primjeri

* parni broj kao podprostor realnih brojeva
* Cijeli brojevi kao podprostor realnih brojeva
* Racionalni brojevi kao podprostor realnih brojeva
* Neprekidne funkcije kao podprostor funkcija
* Diferencijabilne funkcije kao prodpostor funkcija

## Literatura

* Anton, H.  (04/2014). Elementary Linear Algebra with Supplemental Applications, International Student Version, 11th Edition [VitalSource Bookshelf version].  Retrieved from vbk://9781118707241