Rikunarita-ORG/Wikinium huggingface dataset:
# Krug

Vrste konusnih presjeka (kružnica, elipsa, parabola i hiperbola)
**Krug** u geometriji predstavlja dio ravnine; skup točaka omeđen kružnicom.

Neka je X proizvoljna tačka ravni kružnice k(Or) različita od O. Poluprava OX siječe kružnicu u tački C. Tačka X može imati jedan i samo jedan položaj u odnosu na kružnicu.

1. X=C tj X pripada kružnicu
2. OX<OC tj X je u kružnici
3. OX>OC tj X je van kružnici

a samim tim ravan je podijeljena na 3 skupa
kružnica k(O,r)
tačke koje su u kružnici
tačke koje su van kružnice
Kružnica je periferija (rub) kruga k(O,r)

Krug

Skup tačaka kružnice k(O,r) i leže u njoj tj uniju k(O,r)U U(O,r) nazivamo krug

Skup U(O,r) tačaka u kružnici nazivamo unutrašnja oblast- otvoreni krug, a V(O,r) vanjska oblast kruga

Kružni isječak

Presjek kruga i centralnog ugla nazivamo kružni isječak.

Kružni isječak

Presjek kruga i poluravni naziva se kružni odsječak (segment).

Isječak je omeđen lukom i poluprečnicima OA i OB.
Dvije poluprave sa početkom u centru kruga određuju dva isječka.
Ako je centralni ugao ravan ugao onda je isječak polukružnica.
Svaka prava određuje dvije poluravni, odnosno svaka čiji presjek sa krugom nije prazan skup ili nije tačka o
dređuje dva kružna odsječka.
Polukrug je odsječak i isječak

Za krugovi koji imaju isti centar kažemo da su koncentrični.

Razlika kruga i njemu koncentričnog kruga nazivamo kružni prsten.

Presjek kružnog prstena i centralnog ugla je isječak kružnog prstena

U Dekartovom koordinatnom sistemu, krug sa centrom (*p*, *q*) i poluprečnikom *r* ima jednačinu

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_0
Ako je krug sa centrom u koordinatnom početku, tj. (0, 0), onda ova jednačina glasi

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_2
POVRSINA: 2 r π
Jedinični krug Krug je krug sa centrom u koordinatnom početku i poluprečnikom 1

U polarnim koordinatama ona glasi:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_4

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_6 .

Jednačina nagiba kruga glasi

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_8
Obim kruga i njegov poluprečnik su proporcionalnu.

Površina i kvadrat poluprečnika su propporcionalni.

* Obim kružnice O= WIKINIUM\_MATH\_PH\_10
* Površina kruga P= WIKINIUM\_MATH\_PH\_12
# Klaudije Ptolomej

Klaudije Ptolomej
**Klaudije Ptolomej** ili **Claudius Ptolemaeus** (grčki: *Κλαύδιος Πτολεμαῖος*; iza 83. – 161. poslije Kr.), poznat na hrvatskom kao **Ptolemej**, bio je starogrčki ili staroegipatski matematičar, geograf, astronom, i astrolog koji je živio u Rimskom Egiptu, vjerojatno rođen u Tebaidi u gradu zvanom Ptolemais Hermiasov, a umro u Aleksandriji. U svojoj knjizi *Almegest* je zabilježio položaj 1080 zvijezda i podijelio ih u 48 zviježđa. Njegov sustav je pošao od Aristotelovih vjerovanja i održao se 1400 godina.

Ptolomej je napisao nekoliko znanstvenih rasprava, od kojih će tri odigrati znatnu ulogu u razvoju islamske i europske znanosti. Prva od tih astronomska je rasprava koja je danas poznata kao *Almagest* (na grčkom, *Η Μεγάλη Σύνταξις*, *Velika rasprava*, izvorno *Μαθηματική Σύνταξις*, *Matematička rasprava*). Druga je *Geografska uputa*, koja predstavlja temeljit prikaz zemljopisnoga znanja grčko-rimskoga svijeta. Treća je astrološka rasprava poznata kao *Tetrabiblos* (*Četveroknjižje*) u kojoj on pokušava horoskopsku astrologiju prilagoditi tadašnjoj Aristotelovskoj filozofiji prirode. Također je objavio i velik broj astronomskih karata, koje su u razdoblju renesanse imale velik utjecaj na razvoj europskog zemljopisa i kartografije. Detaljno je razradio geocentrični sustav koji je po njemu nazvan **Ptolomejev sustav**.

## Almagest

*Quadripartitum*, 1622
Almagest (arap. *[taqrīr] al-mağasti*: *Najveće [djelo]*), naslov, u arapskom prijevodu, Ptolemejeva kapitalnoga djela *Veliki znanstveni sustav [astronomije]* napisana na grčkome (*‛Hμεγίστη σύνταξıς*) u 13 svezaka, s potankim prikazom geocentričnog sustava. Uključuje i katalog 1022 zvijezde s podatcima o njihovim položajima i zvjezdanim veličinama. Katalog potječe vjerojatno od Hiparha.

## Reference

## Vanjske veze

Primarni izvori
* Ptolemy's Tetrabiblos at LacusCurtius (English translation, with introductory material)
* Ptolemy's Geography at LacusCurtius (English translation, incomplete)
* Extracts of Ptolemy on the country of the Seres (China) Arhivirano 2013-03-12 na Wayback Machine-u (English translation)

Sekundarni materijal
* Ptolemy at SkyScript - *The Life and Work of Ptolemy*
* Ptolemy biography Arhivirano 2005-05-29 na Wayback Machine-u (Bill Arnett's site)
* Ptolemy's Geography of Northwestern Europe Arhivirano 2005-05-06 na Wayback Machine-u
* History of Cartography Arhivirano 2011-09-27 na Wayback Machine-u including a discussion of the Geographica
* Claudius Ptolemaeus (Ptolemy): Representation, Understanding, and Mathematical Labeling of the Spherical Earth Arhivirano 2013-01-23 na Wayback Machine-u
* Eratosthenes of Cyrene - Some Remarks Arhivirano 2006-09-28 na Wayback Machine-u
# Pravougaonik

Pravougaonik. Stranice su mu *a* i *b*, dijagonala je onzačena sa *d*, a temena su mu *A*, *B*, *C* i *D*
**Pravougaonik** ili **pravokutnik** je četvrougaona geometrijska figura u ravni. Spada u klasu paralelograma, a sledeća dva pravila važe za svaki pravougaonik:

* Naspramne stranice su po dužini jednake i paralelne
* Susedne stranice su normalne jedna na drugu (zaklapaju ugao od 90°)
* Dijagonale mu se polove

Tačan izgled jednog pravougaonika je određen njegovom širinom (označeno sa *a* na slici desno) i njegovom dužinom (označeno sa *b* na slici desno).

Specijalan slučaj pravougaonika kome su sve stranice jednake se naziva kvadrat.

## Formule

* Površina pravougaonika je *P = a\*b*
* Obim pravougaonika je *O = 2\*(a+b)*
* Poluobim pravougaonika je *S = (a+b)*
* Uglovi između stranica i dijagonala: *φ1 = arctg(b/a)* i *φ1 = arctg(a/b)*; φ1 + φ2 = π/2.
* Uglovi između dijagonala *Θ1 = π - 2φ1* i *Θ2 = π - 2φ2*; *Θ1 + Θ2 = π*

## Dijagonala pravougaonika

Dijagonala pravougaonika je duž koja spaja dva njegova temena koja nemaju ni jednu zajednučku stranicu. Pravougaonik ima tačno dve dijagonale, i one su jednakih dužina:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_0

## Konstrukcije pravougaonika

### Dve stranice

Date su dužine stranica a i b. Jedno rešenje:

1. Konstruisati duž *AB* dužine *a*.
2. U tački *A*, normalno na *AB*, konstruisati duž *AD* dužine *b*.
3. Povući duž *DB*.
4. Simetrala tačke *A* u odnosu na središte *DB* će biti *C*.

Umesto koraka 3 i 4 može se konstruisati duž *BC*, dužine *a* i normalna na *AC*, tako da ugao *ABC* bude matematički negativno orijentisan.

### Stranica i ugao između nje i dijagonale

Pretpostavimo da su dati stranica *AB* i ugao *α*.

1. Konstruisati duž *AB*
2. Iz tačke *A* konstruisati polupravu *s* koja sa *AB* zaklapa ugao *α*, tako da je ugao *BAs* pozitivno orijentisan.
3. Iz tačke *B* konstruisati normalu *n* na *AB*.
4. Presek *n* i *s* obeležiti kao *C*.
5. U *A* konstruisati polupravu *n1* normalnu na *AB*, tako da je ugao *ABn1* pozitivno orijentisan
6. U *A* konstruisati krug *k* poluprečnika *BC*.
7. Presek *n1* i *k* je *D*.

Ukoliko su dati stranica *AB* i ugao *β* između druge stranice nje i dijagonale, ugao *α* je jednak *90° - β*.

### Stranica i dijagonal

Ako su date stranca, na primer *AB*, i dužina dijagonale pravougaonika *d*, konstrukcija ima sledeći tok:

1. Konstruisati duž dužine *d* i nazvati joj temena *A* i *C*.
2. Konstruisati krug *k1* koji za prečnik ima duž *AC*.
3. U tački *A* konstruisati krug *k2* poluprečnika *AB*.
4. Krug *k2* će seći *k1* u dve tačke. Jedna od ove dve treba da dobije ime *B* tako da je ugao *ABC* negativno matematički orijentisan
5. Od B treba povući polupravu kroz središte *AC*. Presek ove poluprave sa krugom *k1* će biti tačka *D*.
# Pap iz Aleksandrije

Paposove *Mathematicae Collectiones*, prevedeno izdanje iz 1589.
**Pap iz Aleksandrije** (grčki: Πάππος ὁ Ἀλεξανδρεύς,latinski: *Pappus* oko 290.-oko 350.) posljednji je veliki matematičar aleksandrijske škole i uopće antičkog svijeta. Iz njegovih djela saznajemo o za nas izgubljenim dostignućima antičkih matematičara. Smatramo ga pretečom projektivne geometrije. Dokazao je Paposov teorem o kolinearnosti sjecišta suprotnih stranica čistog šesterovrha projektivne ravnine koji se sada uzima kao deveti aksiom projektivne geometrije.

## Izvori
# Sferni trokut

Sferni trokut
**Sferni trokut** je skup tri točke sfere i tri luka velikih kružnica, od kojih je svaki manji od polukružnice i ima krajeve u tim točkama. Zbir kutova sfernog trokuta veći je od dva prava i nalazi se između 180° i 540°, tj. WIKINIUM\_MATH\_PH\_0 , gdje su A, B, C kutovi sfernog trokuta (sl.1.). Odnos opsega i dijametra kruga je manji od WIKINIUM\_MATH\_PH\_2 .

Mnogi kriteriji podudarnosti sfernih trokuta analogni su kriterijima podudarnosti običnih ravnih trokuta. Međutim, postoje i drugi, npr., dva sferna trokuta (jedne iste sfere) podudarna su, ako su tri kuta jednog trokuta podudarna kutovima drugog trokuta.
# Kosinus hiperbolični

|  |
| --- |
| **Kosinus hiperbolični** |
|  |
| *Osnovne osobine* |
|  Parnost  |  parna  |
|  Domen  |  (-∞,∞)  |
|  Kodomen  |  [1,∞)  |
| *Specifične vrednosti* |
|  Lok. minimumi  |  (0,1)  |
| *Specifične osobine* |
|  Ulazak u nulu pod uglom  |  0  |

**Kosinus hiperbolički**: je parna funkcija, čiji se domen kreće u granicama *(-∞,∞)*, a kodomen [1,∞), sa minimumom u nuli. Osa simetrije funkcije je y-osa, a asimptota nema. Jedna od definicija glasi:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_0
## Vanjske veze

* Funkcija cosh na wolfram.com

|  |
| --- |
| **Trigonometrijske i hiperbolične funkcije** |
|

|  |  |  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
|  | Sinus | Kosinus | Tangens | Kotangens | Sekans | Kosekans |
| Funkcija | sin(x) | cos(x) | tg(x) | ctg(x) | sec(x) | cosec(x) |
| Inverzna | arcsin(x) | arccos(x) | arctg(x) | arcctg(x) | arcsec(x) | arccosec(x) |
| Hiperbolična | sinh(x) | cosh(x) | tgh(x) | ctgh(x) | sech(x) | cosech(x) |
| Inv. hiperbolična | arcsinh(x) | arccosh(x) | arctgh(x) | arcctgh(x) | arcsech(x) | arccosech(x) |

 |
# Skalarni proizvod vektora

**Skalarni proizvod vektora** je binarna operacija koja kao argumente uzima dva vektora a rezultat joj je skalar. Ako su ova dva vektora *a* i *b* iz vektorskog prostora *V*, zapis ove operacije je sledeći:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_0
Skalarnim proizvodom se zove svako preslikavanje koje ima sledeće osobine:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_2
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_4
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_6
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_8
Pri čemu su *u*, *v* i *w* vektori iz *V* a α proizvoljan realan broj.

Prikaz standardnog skalarnog proizvoda vektora
Skalarni proizvod vektora WIKINIUM\_MATH\_PH\_10 i WIKINIUM\_MATH\_PH\_12 se definiše na sledeći način:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_14
Pri tom su WIKINIUM\_MATH\_PH\_16 i WIKINIUM\_MATH\_PH\_18 intenziteti tih vektora, određenih sledećim koordinatama:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_20 i WIKINIUM\_MATH\_PH\_22
Primer skalarnog množenja vektora *(1, 3, −5)* i *(4, −2, −1)* u trodimenzionalnom prostoru:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_24

## Dokaz

Formula : WIKINIUM\_MATH\_PH\_26 se može dokazati posmatranjem dva vektora sa zajedničkim početkom i njihove razlike:

Ako je WIKINIUM\_MATH\_PH\_28 , ugao između dva vektora čiji skalarni proizvod treba pronaći, korišćenjem kosinusne teoreme može se pisati:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_30
Pošto je WIKINIUM\_MATH\_PH\_32 jednak WIKINIUM\_MATH\_PH\_34 , sledi:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_36
Odakle se nalazi:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_38
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_40
Odatle se dobija konačna formula:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_42
## Ortogonalni vektori

Zamenom vrednosti ugla u prethodnoj formuli za slučaj da su vektori WIKINIUM\_MATH\_PH\_44 i WIKINIUM\_MATH\_PH\_46 uzajamno normalni dobija se:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_48 .
Ova osobina je često korisna za dokazivanje da su vektori uzajamno normalni, jer je za to dovoljno i neophodno da im skalarni proizvod bude jednak nuli.

## Osobine

Skalarni proizvod vektora poseduje sledeće osobine:

* komutativnost

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_50

* distributivan je u odnosu na sabiranje

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_52

* u opštem slučaju nije asocijativan
* za njega važi sledeće:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_54

## Korišćenje za izračunavanje intenziteta vektora

Korišćenjem skalarnog proizvoda vektora može se izvesti formula za intenzitet vektora.

Pošto je:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_56
Za specijalan slučaj kada je WIKINIUM\_MATH\_PH\_58 jednakost prelazi u:
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_60

Na osnovu toga se zaključuje:
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_62
Ovaj obrazac predstavlja formulu za izračunavanje intenziteta vektora.

## Primena u fizici

Pošto su sami vektori primenjivi u fizici i skalarni proizvod vektora nalazi primenu u njoj.
Tako se na primer rad definiše kao skalarni proizvod vektora sile i vektora pomeraja:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_64
## Geometrijska interpretacija

Pošto je poznato da je skalarni proizvod dva vektora i proizvod njihovog intenziteta sa uglom između njih, može se inverznom operacijom izračunati i ugao.

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_66 WIKINIUM\_MATH\_PH\_68 WIKINIUM\_MATH\_PH\_70
## Povezano

* Vektor
* Skalar
* Vektorski proizvod vektora
* Mešoviti proizvod vektora

## Literatura

* Jovan D. Kečkić. Matematika sa zbirkom zadataka za srednje škole. Zavod za udžbenike. 2008.godina. Beograd
# Euklidski prostor

**Euklidski vektorski prostor** ili skraćeno **euklidski prostor** prvenstveno možemo smatrati onim matematičkim prostorom kojeg intuitivno svakodnevno zamišljamo. Naziv je dobio po starogrčkom matematičaru Euklidu.

## Definicija

Neka je WIKINIUM\_MATH\_PH\_0 realni vektorski prostor i neka je WIKINIUM\_MATH\_PH\_2 preslikavanje sa sljedećim svojstvima (napišimo WIKINIUM\_MATH\_PH\_4 umjesto WIKINIUM\_MATH\_PH\_6 ) za svaki WIKINIUM\_MATH\_PH\_8 i WIKINIUM\_MATH\_PH\_10  :

1. WIKINIUM\_MATH\_PH\_12
2. WIKINIUM\_MATH\_PH\_14
3. WIKINIUM\_MATH\_PH\_16
4. WIKINIUM\_MATH\_PH\_18

Tada se WIKINIUM\_MATH\_PH\_20 zove **skalarni produkt** na WIKINIUM\_MATH\_PH\_22 .

Ako na WIKINIUM\_MATH\_PH\_24 postoji skalarni produkt, onda se WIKINIUM\_MATH\_PH\_26 zove **euklidski vektorski prostor**.

## Euklidska norma

Euklidska norma ili duljina vektora WIKINIUM\_MATH\_PH\_28 je broj

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_30
Iz elementarne analize slijedi da je skalarni produkt između dva vektora koja su pod kutem WIKINIUM\_MATH\_PH\_32 :

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_34
tj. kut WIKINIUM\_MATH\_PH\_36 između vektora WIKINIUM\_MATH\_PH\_38 definiran je s

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_40
Ako je WIKINIUM\_MATH\_PH\_42 , očito je WIKINIUM\_MATH\_PH\_44 , pa kažemo da su WIKINIUM\_MATH\_PH\_46 i WIKINIUM\_MATH\_PH\_48 **okomiti** ili **ortogonalni** vektori.

## Vezani pojmovi

* skalarni produkt
* vektorsko polje
* vektorski prostor
# Dimenzija vektorskog prostora

**Dimenzija vektorskog prostora** je kardinalnost skupa vektora koji čine bazu danog vektorskog prostora. U linearnoj algebri se dokazuje da svaka baza jednog vektorskog prostora ima istu kardinalnost (oblikuje je isti broj vektora). Dimenzija vektorskog prostora odgovara brojnosti svakog maksimalnog skupa linearno nezavisnih vektora tog vektorskog prostora, kao i brojnosti svakog minimalnog skupa vektora tog prostora koji (linearno) generira cijeli prostor.

Dimenziju vektorskog prostora *V* nad poljem skalara *K* označaujemo sa dim(*V*).

Kažemo da je vektorski prostor konačno dimenzionalan ako je njegova dimenzija konačan broj.

Ako uzmemo na primjer vektorski prostor **R**3, jednu njegovu bazu možemo zapisati kao skup vektora {(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)}, i stoga je dim(**R**3) = 3 (jer ima tri vektora u bazi).

Ako je W linearni potprostor prostora V, tada je dim(*W*) ≤ dim(*V*).
# Ortogonalnost

**Ortogonalnost** (još i normalnost) u algebri i geometriji predstavlja relaciju između dva ili više objekata pri čemu isti ispunjavaju određene uslove. U elementarnoj geometriji se kaže da su dve prave u ravni međusobno ortogonalne ako je ugao između njih 90°.

Relacija normalnosti između dva objekta *a* i *b* se često obeležava kao:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_0
## Ortogonalni vektori

Neka su data dva vektora *a = (a1, a2, ..., an)* i *b = (b1, b2, ..., bn)* iz *Rn*. Ova dva vektora su ortogonalna ukoliko:

*ab = a1b1 + a2b2 + ... + anbn = 0*
## Povezano

* Ortonormalnost
# Kateta

Pravokutni trokut s hipotenuzom *h*, i katetama *c1* i *c2*
**Kateta** (grčki: Κάθετος) u pravokutnom trokutu predstavlja bilo koju od stranica koje tvore pravi kut.

Ukoliko su katete pravokutnog trokuta različitih dužina, razlikuju se manja (kraća) i veća (duža) kateta.

Odnos dužina kateta definira trigonometrijske funkcije tangens i kotangens nad oštrim kutovima trokuta.

Prema Euklidovim stavovima, u pravokutnom trokutu, dužina katete predstavlja geometrijsku sredinu dužine odsječka hipotenuze koji određuje hipotenuzina visina i dužine cijele hipotenuze. Ukoliko su oznake kao na slici, taj iskaz se može zapisati u sljedećem obliku:

Pravokutni trokut u kome hipotenuzina visina *h* dijeli hipotenuzu na odsječke *p* i *q*
* WIKINIUM\_MATH\_PH\_0 , odnosno WIKINIUM\_MATH\_PH\_2
* WIKINIUM\_MATH\_PH\_4 , odnosno WIKINIUM\_MATH\_PH\_6

## Veze

* Hipotenuza
* Geometrija trokuta
* Pitagorin poučak
* Trigonometrija

## Vanjske veze

* Članak o kateti na mathworld.wolfram.com (`en`)
# Trapez (geometrija)

Trapez sa svojim osnovnim elementima
**Trapez** je u geometriji konveksni četvorougao kome su dve naspramne stranice paralelne. Jedna od ove dve stranice se zove **baza** trapeza, dve neparalelne stranice se zovu **kraci** trapeza. Trapez takođe ima i dve dijagonale (na slici *d1* i *d2*) koje se uvek seku.

**Visina** trapeza *h* je rastojanje između dve paralelne stranice.

**Zbir uglova** na jednom od krakova je 180° tj. α + δ = β + γ = 180°.

Specijalni slučajevi trapeza su:

* **jednakokraki trapez**, kod koga su kraci jednaki, takođe i uglovi na osnovici su jednaki
* **pravougli trapez**, kod koga je jedan krak upravan na bazu
* paralelogram, kod koga je i drugi par stranica međusobno paralelan
* romb, koji je paralelogram, ali su mu i sve stranice međusobno jednake
* pravougaonik, koji je paralelogram, ali su mu i sve susedne stranice međusobno normalne
* kvadrat, kome su sve stranice međusobno jednake, a susedne međusobno normalne

## Formule

proširi| Obim-O
 |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_0
 |
| Visina-h
 |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_2 WIKINIUM\_MATH\_PH\_4
 |
| Površina-P
 |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_6
 |
| Dijagonale- d1;d2
 |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_8 WIKINIUM\_MATH\_PH\_10
 |

## Jednakokraki trapez

Kod jednakokrakog trapeza važi da je *b* = *d*, takođe je α = β odakle sledi δ = γ. Posledica ovoga je da je zbir naspramnih uglova α + γ = β + δ = 180°.
Ovo je osobina tetivnih četvorouglova, znači jednakokraki trapez je tetivni četvorougao.

## Pravougli trapez

Kod pravouglog trapeza je *b* ili *d* jednako *h*, a takođe važi da je α = β = 90° ili δ = γ = 90
# Šestougao

Pravilni šestougao
U geometriji, **šestougao** je mnogougao sa šest temena i šest stranica.

### Pravilni šestougao

Pravilni šestougao je šestougao kod koga su sve stranice jednake dužine i svi unutrašnji uglovi jednaki.

Svaki unutrašnji ugao pravilnog šestougla ima po 120° (stepeni), a zbir svih unutrašnjih uglova bilo kog šestougla iznosi 720°. Kao što je moguće pokriti ravan jednakostraničnim trouglovima ili kvadratima, i pravilni šestougao ima tu osobinu, pa se može upotrebiti za konstruisanje teselacija.

Pčelinje saće ima osnovne elemente u formi šestougla upravo zato što takav oblik omogućava efikasnu i ekonomičnu upotrebu prostora i materijala od koga je sagrađeno.

Ako primetimo da je pravilni šestougao sastavljen od 6 jednakostraničnih trouglova, njegova površina biće šest puta veća od površine jednakostraničnog trougla i, ako mu je osnovna stranica dužine WIKINIUM\_MATH\_PH\_0 , biće data formulom
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_2

Obim šestougla kome je stranica dužine WIKINIUM\_MATH\_PH\_4 biće jednak WIKINIUM\_MATH\_PH\_6 , dužina veće dijagonale je WIKINIUM\_MATH\_PH\_8 , a dužina kraće dijagonale je WIKINIUM\_MATH\_PH\_10 .

Ne postoji Platonovo telo koje čine pravilni šestouglovi. Arhimedova tela koja su sastavljena i od šestouglova su zarubljeni tetraedar, zarubljeni oktaedar, zarubljeni ikosaedar (poznatiji kao fudbalska lopta), zarubljeni kuboktaedar i zarubljeni ikosidodeakedar.

### Konstrukcija

Pravilni šestougao se može konstruisati uz pomoć lenjira i šestara. Sledeća animacija ilustruje korak po korak, konstrukciju pravilnog šestougla koju je dao Euklid, knjizi IV, svojih *„Elemenata“*.

Animirani prikaz konstrukcije šestougla pomoću šestara i lenjira
## Gde se može videti šestougao

* U francuskom jeziku, termin *l'hexagone* (šestougao) se često koristi da označi Francusku, jer njen oblik podseća na šestougao.

* Pogled iz vazduha na Fort DŽeferson u nacionalnom parku Dry Tortugas
* Pčelinje saće
* Mikrofotografija snežne pahuljice

## Reference

## Povezano

* Heksagonalni broj

## Vanjske veze

* Šestougao na Mathworld
* Definicija i osobine šestougla sa interaktivnom animacijom
# Petougao

Pravilni petougao
U geometriji, **petougao** je mnogougao sa pet temena i pet stranica.

### Pravilni petougao

Pravilni petougao je petougao kod koga su sve stranice jednake dužine i svi unutrašnji uglovi jednaki.

Svaki unutrašnji ugao pravilnog petougla ima po 108° (stepeni), a zbir svih unutrašnjih uglova bilo kog petougla iznosi 540°.

Ako mu je osnovna stranica dužine WIKINIUM\_MATH\_PH\_0 , površina pravilnog petougla se određuje formulom
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_2 .

Površina se može izračunati i sa

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_4

gde je WIKINIUM\_MATH\_PH\_6 - poluprečnik opisanog kruga, a WIKINIUM\_MATH\_PH\_8 - poluprečnik upisanog kruga.

Obim petougla kome je stranica dužine WIKINIUM\_MATH\_PH\_10 biće jednak WIKINIUM\_MATH\_PH\_12 .

Odnos dijagonale i stranice petougla jednak je WIKINIUM\_MATH\_PH\_14 , što odgovara zlatnom preseku.

### Konstrukcija

Pravilni petougao se može konstruisati uz pomoć lenjira i šestara. Sledeća animacija ilustruje korak po korak, jednu od mogućih konstrukcija.

Animirani prikaz konstrukcije petougla pomoću šestara i lenjira
## Gde se može videti petougao

* Zgrada Pentagona u kojoj je smešteno Ministarstvo odbrane SAD ima oblik pravilnog petougla.
* Državna oznaka za kvalitet korišćena u nekadašnjem Sovjetskom Savezu imala je modifikovani petougao u svojoj osnovi.
* Petougao se može dobiti vezivanjem papirne trake u čvor.

## Povezano

* Dodekaedar

## Reference

## Vanjske veze

* Petougao na Mathworld (`en`)
* Definicija i osobine petougla, sa interaktivnom animacijom (`en`)
* Raul A. Simon, Approximate Construction of Regular Polygons: Two Renaissance Artists (`en`)
* How to construct a regular pentagon with only a compass and straightedge.
* How to fold a regular pentagon using only a strip of paper
* Definition and properties of the pentagon, with interactive animation
* Renaissance artists' approximate constructions of regular pentagons Arhivirano 2006-02-12 na Wayback Machine-u
* Pentagon. How to calculate various dimensions of regular tidis
# Diedar

Pravougli diedar
U geometriji **diedar** je unija dve poluravni sa zajedničkom početnom pravom i dela prostora koji one određuju. Takve poluravni čine diedarsku površ, a dele prostor na dva disjunktna skupa, koji se još nazivaju i diedarskim oblastima. Diedarska površ uvek određuje dva diedra, jedan konveksan i jedan nekonveksan.Odnosno dio prostora ogranicavaju dvije poluravni sa zajednickom franicnom pravi.

Na primer, svaka stranica kvadrata sa sebi susednom gradi diedar.

## Literatura

* Mitrović, Milan et alt. - *Geometrija za prvi razred Matematičke gimnazije*, Krug, Beograd, 1988.

## Povezano

* Poliedar

## Vanjske veze

* Diedar na Mathworld (`en`)
* Diedar na mathresources.com (`en`)
# Uzajamno prosti brojevi

**Uzajamno prosti brojevi** su takvi brojevi koji nemaju zajedničkog delioca većeg od 1. Dva prirodna broja ne moraju biti prosta da bi bila uzajamno prosta, bitno je samo da nijedan delilac jednog ne bude među deliocima drugog.

Ekvivalentno prethodnom tvrđenju, najveći zajednički delitelj dva uzajamno prosta broja je 1.

Dakle, ako prema osnovnoj teoremi aritmetike predstavimo ta dva broja kao proizvode njihovih faktora:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_0
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_2
tada nijedan WIKINIUM\_MATH\_PH\_4 ne sme biti jednak nijednom od WIKINIUM\_MATH\_PH\_6 .

Nekada se uzajamno prosti brojevi zovu *relativno prosti brojevi*.

## Povezano

* Spisak prostih brojeva
* Deljivost
* Faktorizacija
* Eratostenovo sito
* Euklidov algoritam