# Hilbertov prostor

**Hilbertov prostor** je matematički koncept koji generalizuje euklidski prostor. U njemu se metode vektorske algebre i analize iz euklidske ravni i trodimenzionalnog prostora proširuju na prostor sa konačnim ili beskonačnim brojem dimenzija. Dobio je ime po Davidu Hilbertu.

Hilbertov prostor se često pojavljuje u matematici, fizici i inžinjerstvu, tipično kao preslikavanja beskonačnog broja dimenzija.

Geometrijske analogije imaju veliki značaj u razumevanju teorije Hilbertovih prostora. Za njih postoji ekvivalentna Pitagorina teorema i zakon paralelograma.

## Definicija i ilustracija

### Uvodni primer: euklidski prostor

Jedan od najjasnijih primera Hilbertovih prostora je euklidski prostor koji se sastoji iz trodimenzionalnih vektora, označavamo ga sa **R**3, u kome je definisan operator proizvoda. Ovaj proizvod uzima dva vektora **x** i **y** kao argumente i kao rezultat daje realan broj **x**·**y**. Ako su **x** i **y** predstavljeni u Dekartovim koordinatama, onda se operator proizvoda definiše kao:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_0
Operator proizvoda zadovoljava sledeće uslove:

1. Simetričan je u odnosu na **x** i **y**: **x**·**y** = **y**·**x**.
2. Linearan je u odnosu na prvi argument: (*ax**1 + *bx**2)·**y** = *ax**1·**y** + *bx**2·**y** za bilo koje skalare *a*, *b* i vektore **x**1, **x**2 i **y**.
3. To je pozitivna bilinearna forma: za sve vektore **x**, **x**·**x** ≥ 0, gde znak jednakosti važi ako i samo ako je **x** = 0.

Operacija nad parom vektora koja zadovoljava ova tri uslova se naziva vektorski proizvod. Svaki vektorski prostor sa konačnim brojem dimenzija u kome je definisan vektorski proizvod predstavlja Hilbertov prostor. Karakteristika goredefinisanog operatora množenja koja ga povezuje sa euklidskom geometrijom je što zavisi i od dužine (ili intenziteta) vektora, koji se označava sa ||**x**||, i od ugla θ između vektora **x** i **y**. Ta zavisnost se izražava formulom:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_2
Matematički niz

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_4
koji se sastoji iz vektora u **R**3 apsolutno konvergira pod uslovom da suma dužina konvergira (kao u slučaju niza realnih brojeva):

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_6
Slično nizu skalara, niz vektora koji apsolutno konvergira istovremeno konvergira ka nekom vektoru **L** u euklidskom prostoru, i to tako da:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_8
### Definicija

Hilbertov prostor *H* je realan ili kompleksan vektorski prostor koji je istovremeno i Košijev metrički prostor u odnosu na metričku funkciju vektorskog proizvoda. Kakda kažemo da je *H* kompleksni vektorski prostor, to znači da u *H* postoji proizvod ⟨*x*,*y*⟩ koji paru elemenata *x*,*y'- iz* H*, pridružuje kompleksnu vrednost, pri čemu je:*

* ⟨*y*,*x*⟩ je konjugovan kompleksan broj od ⟨*x*,*y*⟩:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_10
* ⟨*x*,*y*⟩ je linearna po prvom argumentu. Za sve kompleksne brojeve *a* i *b*,

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_12
* Proizvod je pozitivna bilinearna forma:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_14
gde znak jednakosti važi za *x* = 0.
Realni vektorski prostor se definiše na isti način, osim što vektorski proizvod ima realne vrednosti.

Intenzitet vektora definiše se kao proizvod ⟨•,•⟩ u obliku realne funkcije:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_16
a rastojanje između tačaka *x*,*y* u *H* definiše se pomoću intenziteta na sledeći način:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_18
Ovo je funkcija metrike, što znači da (1) da je simetrična po *x* i *y*, (2) da je rastojanje između *x* i *x* nula, a da su ostala rastojanja između *x* i *y* pozitivna, (3) da važi nejednakost trougla, što znači da dužina stranice a u trouglu *xyz* ne može biti duža od zbira preostale dve stranice:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_20
Poslednja osobina je posledica Koši-Švarcove nejednakosti koja tvrdi da:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_22
gde znak jednakosti važi kada su *x* i *y* linearno zavisni.

Kada se funkcija udaljenosti definiše na ovaj način, kao funkcija metrike, onda vektorski prostor postaje **pre-Hilbertov prostor**. Svaki kopmpletan pre-Hilbertov prostor je Hilbertov prostor. Kompletnost se definiše uslovom: ako za niz vektora važi WIKINIUM\_MATH\_PH\_24 apsolutno konvergira tako da

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_26
tada niz konvergira u *H*, u smislu da parcijalne sume teže nekom elementu *H*.

Kao Košijevi normirani prostori, Hilbertovi prostori su po definiciji i Banahovi prostori. Oni su i topološki vektorski prostori u kojima su definisaani topološki pojmovi otvorenih i zatvorenih podskupova.

## Reference

## Vanjske veze

* Hilbertov prostor na Mathworld