# Aritmetika

**Aritmetika** je grana matematike koja beleži osnovne osobine određenih operacija sa brojevima. Dolazi od grčke reči *arithmetike*, koja se sastoji od dve reči: *arithmos* (broj) i *techne* (umeće).

Postoje četiri operacije:

* sabiranje,
* oduzimanje,
* množenje i
* deljenje,

iako se ponekad ovde uvrštavaju i naprednije operacije, kao što su dizanje na kvadrat (kvadriranje) i vađenje korena (korenovanje). U aritmetici postoji prvenstvo operacija gde množenje i deljenje imaju prednost nad sabiranjem i oduzimanjem. Stavljanjem u zagrade, koje imaju prednost u odnosu na druge operacije, je moguće promeniti redosled izračunavanja u izrazima.

Aritmetika prirodnih, celih, racionalnih (u obliku razlomaka) i realnih brojeva (koji imaju decimale) obično se uči u osnovnoj školi. Tada se uči i procentni račun, odnosno predstavljanje brojeva pomoću postotaka. Ipak, većina odraslih oslanja se na kalkulatore, računare ili abakuse da bi izračunala aritmetičke operacije.

Pojam "aritmetika" koristi se i za osnovnu teoriju brojeva; u tom kontekstu se pojavljuju i Osnovna teorema aritmetike i aritmetičke funkcije.

## Tablica množenja

| × | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25
 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 1
 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25
 |
| 2
 | 2 | 4 | 6 | 8 | 10 | 12 | 14 | 16 | 18 | 20 | 22 | 24 | 26 | 28 | 30 | 32 | 34 | 36 | 38 | 40 | 42 | 44 | 46 | 48 | 50
 |
| 3
 | 3 | 6 | 9 | 12 | 15 | 18 | 21 | 24 | 27 | 30 | 33 | 36 | 39 | 42 | 45 | 48 | 51 | 54 | 57 | 60 | 63 | 66 | 69 | 72 | 75
 |
| 4
 | 4 | 8 | 12 | 16 | 20 | 24 | 28 | 32 | 36 | 40 | 44 | 48 | 52 | 56 | 60 | 64 | 68 | 72 | 76 | 80 | 84 | 88 | 92 | 96 | 100
 |
| 5
 | 5 | 10 | 15 | 20 | **25** | 30 | 35 | 40 | 45 | **50** | 55 | 60 | 65 | 70 | **75** | 80 | 85 | 90 | 95 | **100** | 105 | 110 | 115 | 120 | 125
 |
| 6
 | 6 | 12 | 18 | 24 | 30 | 36 | 42 | 48 | 54 | 60 | 66 | 72 | 78 | 84 | 90 | 96 | 102 | 108 | 114 | 120 | 126 | 132 | 138 | 144 | 150
 |
| 7
 | 7 | 14 | 21 | 28 | 35 | 42 | 49 | 56 | 63 | 70 | 77 | 84 | 91 | 98 | 105 | 112 | 119 | 126 | 133 | 140 | 147 | 154 | 161 | 168 | 175
 |
| 8
 | 8 | 16 | 24 | 32 | 40 | 48 | 56 | 64 | 72 | 80 | 88 | 96 | 104 | 112 | 120 | 128 | 136 | 144 | 152 | 160 | 168 | 176 | 184 | 192 | 200
 |
| 9
 | 9 | 18 | 27 | 36 | 45 | 54 | 63 | 72 | 81 | 90 | 99 | 108 | 117 | 126 | 135 | 144 | 153 | 162 | 171 | 180 | 189 | 198 | 207 | 216 | 225
 |
| 10
 | 10 | 20 | 30 | 40 | **50** | 60 | 70 | 80 | 90 | **100** | 110 | 120 | 130 | 140 | **150** | 160 | 170 | 180 | 190 | **200** | 210 | 220 | 230 | 240 | 250
 |
| 11
 | 11 | 22 | 33 | 44 | 55 | 66 | 77 | 88 | 99 | 110 | 121 | 132 | 143 | 154 | 165 | 176 | 187 | 198 | 209 | 220 | 231 | 242 | 253 | 264 | 275
 |
| 12
 | 12 | 24 | 36 | 48 | 60 | 72 | 84 | 96 | 108 | 120 | 132 | 144 | 156 | 168 | 180 | 192 | 204 | 216 | 228 | 240 | 252 | 264 | 276 | 288 | 300
 |
| 13
 | 13 | 26 | 39 | 52 | 65 | 78 | 91 | 104 | 117 | 130 | 143 | 156 | 169 | 182 | 195 | 208 | 221 | 234 | 247 | 260 | 273 | 286 | 299 | 312 | 325
 |
| 14
 | 14 | 28 | 42 | 56 | 70 | 84 | 98 | 112 | 126 | 140 | 154 | 168 | 182 | 196 | 210 | 224 | 238 | 252 | 266 | 280 | 294 | 308 | 322 | 336 | 350
 |
| 15
 | 15 | 30 | 45 | 60 | **75** | 90 | 105 | 120 | 135 | **150** | 165 | 180 | 195 | 210 | **225** | 240 | 255 | 270 | 285 | **300** | 315 | 330 | 345 | 360 | 375
 |
| 16
 | 16 | 32 | 48 | 64 | 80 | 96 | 112 | 128 | 144 | 160 | 176 | 192 | 208 | 224 | 240 | 256 | 272 | 288 | 304 | 320 | 336 | 352 | 368 | 384 | 400
 |
| 17
 | 17 | 34 | 51 | 68 | 85 | 102 | 119 | 136 | 153 | 170 | 187 | 204 | 221 | 238 | 255 | 272 | 289 | 306 | 323 | 340 | 357 | 374 | 391 | 408 | 425
 |
| 18
 | 18 | 36 | 54 | 72 | 90 | 108 | 126 | 144 | 162 | 180 | 198 | 216 | 234 | 252 | 270 | 288 | 306 | 324 | 342 | 360 | 378 | 396 | 414 | 432 | 450
 |
| 19
 | 19 | 38 | 57 | 76 | 95 | 114 | 133 | 152 | 171 | 190 | 209 | 228 | 247 | 266 | 285 | 304 | 323 | 342 | 361 | 380 | 399 | 418 | 437 | 456 | 475
 |
| 20
 | 20 | 40 | 60 | 80 | **100** | 120 | 140 | 160 | 180 | **200** | 220 | 240 | 260 | 280 | **300** | 320 | 340 | 360 | 380 | **400** | 420 | 440 | 460 | 480 | 500
 |
| 21
 | 21 | 42 | 63 | 84 | 105 | 126 | 147 | 168 | 189 | 210 | 231 | 252 | 273 | 294 | 315 | 336 | 357 | 378 | 399 | 420 | 441 | 462 | 483 | 504 | 525
 |
| 22
 | 22 | 44 | 66 | 88 | 110 | 132 | 154 | 176 | 198 | 220 | 242 | 264 | 286 | 308 | 330 | 352 | 374 | 396 | 418 | 440 | 462 | 484 | 506 | 528 | 550
 |
| 23
 | 23 | 46 | 69 | 92 | 115 | 138 | 161 | 184 | 207 | 230 | 253 | 276 | 299 | 322 | 345 | 368 | 391 | 414 | 437 | 460 | 483 | 506 | 529 | 552 | 575
 |
| 24
 | 24 | 48 | 72 | 96 | 120 | 144 | 168 | 192 | 216 | 240 | 264 | 288 | 312 | 336 | 360 | 384 | 408 | 432 | 456 | 480 | 504 | 528 | 552 | 576 | 600
 |
| 25
 | 25 | 50 | 75 | 100 | 125 | 150 | 175 | 200 | 225 | 250 | 275 | 300 | 325 | 350 | 375 | 400 | 425 | 450 | 475 | 500 | 525 | 550 | 575 | 600 | **625** |

## Sabiranje

Sabiranje je osnovna računska operacija aritmetike. U svom najjednostavnijem obliku, sabrati dva broja znaći
naći broj WIKINIUM\_MATH\_PH\_0

Primjeri
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_2

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_4

Može se sabrati više od 2 broja. To uključuje sabiranje beskonačno mnogo brojeva. Sabiranje broja WIKINIUM\_MATH\_PH\_6 s nekim brojem je najosnovniji oblik brojanja.

Sabiranjem broja WIKINIUM\_MATH\_PH\_8 i nekog broja dobijamo taj broj.

5+0=5</math>

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_10 je neutralni element za sabiranje

Sabiranjem 2 suprotna broja dobijamo broj 0.

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_12

To je inverzan element za sabiranje.

Važi zakon komutacije

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_14

Važi zakon asocijacije

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_16

Sabrati možemo i geometrijski, kao u sljedećem primjeru:

Ako imamo dva štapića dužine WIKINIUM\_MATH\_PH\_18 i WIKINIUM\_MATH\_PH\_20 i ako ih stavimo jedan za drugim, tako da se kraj prvog poklapa sa početkom drugog štapića. Dobićemo štap čija je dužina

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_22 .

## Oduzimanje

Oduzimanje je inverzna operacija od sabiranja. Rezultat ove operacije je razlika. Oduzeti broj WIKINIUM\_MATH\_PH\_24 od broja WIKINIUM\_MATH\_PH\_26 znaći naći broj
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_28 odnosno znaći naći zbir brojeva WIKINIUM\_MATH\_PH\_30 i WIKINIUM\_MATH\_PH\_32 . To zapisujemo

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_34

Imamo sljedeće slučajeve

* Ako je WIKINIUM\_MATH\_PH\_36 onda je WIKINIUM\_MATH\_PH\_38
* Ako je a>b onda je WIKINIUM\_MATH\_PH\_40
* Ako je a=b onda je WIKINIUM\_MATH\_PH\_42

Za oduzimanje ne važi zakon komutacije a ni asocijacije.

## Množenje

Množenje je druga osnovna računska operacija aritmetike. Pomnožiti 2 broja znaći naći broj
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_44 , a to je

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_46

Primjer
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_48

Za množenje važi zakon komutacije

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_50

i asocijacije

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_52

Ako broj WIKINIUM\_MATH\_PH\_54 pomnožimo sa WIKINIUM\_MATH\_PH\_56 (neutalni element) dobićemo bro WIKINIUM\_MATH\_PH\_58

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_60

Ako broj WIKINIUM\_MATH\_PH\_62 pomnožimo sa recipročnom vrijednosti broja WIKINIUM\_MATH\_PH\_64 dobićemo broj WIKINIUM\_MATH\_PH\_66 .

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_68

Ovo je inverzan broj.

Bilo koji broj može imati recipročnu vrijednost osim WIKINIUM\_MATH\_PH\_70 .

## Dijeljenje

Dijeljenje je inverzna računska operacija množenju. Nije definisano dijeljenje brojem WIKINIUM\_MATH\_PH\_72 .

Podijeliti 2 broja znaći naći broj WIKINIUM\_MATH\_PH\_74 odnosno naći proizvod broja WIKINIUM\_MATH\_PH\_76 i recipročne vrijednosti beoja WIKINIUM\_MATH\_PH\_78 .

To znaći

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_80
Imamo slučajeve

* Za WIKINIUM\_MATH\_PH\_82
* Za WIKINIUM\_MATH\_PH\_84
* Za WIKINIUM\_MATH\_PH\_86

Ne važi zakon komutacije a ni asocijacije.

Za dijeljenje napisano kao proizvod važe sve osobine koje važe za množenje.

## Decimalni prikaz brojeva

Sve vrste zapisa brojeva možemo zapisati decimalnim zapisom.

Primjer
zapis broja WIKINIUM\_MATH\_PH\_88

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_90

Ovaj zapis brojeva obuhvata sva pravila aritmetičkih operacija

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_92