# Nebeski koordinatni sistemi

Nebeska sfera (**1**) s elementima ekvatorijalnog, ekliptičkiog i galaktičkog koordinatnog sistema:
**2** — centar Mliječne staze
**3** — galaktički ekvator
**4** — sjeverni galaktički pol
**6** — ekliptika
**7** — sjeverni pol ekliptike
**9** — nebeski ekvator
**10** — sjeverni nebeski pol
**11** — γ-točka (točka proljetnog ekvinocija)
**12** — Ω-točka (točka jesenjeg ekvinocija)
 Sunce (**5**) i Zemlja (**8**) su prikazani da bi se uočilo njihovo kretanje, i nisu dati u mjerilu
**Nebeski koordinatni sistemi** su koordinatni sistemi koji se koriste za opisivanje položaja astronomskih objekata na nebeskoj sferi. Razvijen je veći broj nebeskih koordinatnih sistema, a koristi se uvijek onaj najpogodniji za opisivanje datog objekta ili pojave. Ovi koordinatni sistemi se po pravilu zasnivaju na sfernom koordinatnom sistemu, a međusobno se razlikuju po koordinatnom početku i pravcima u kojima su usmjerene osi. Prema položaju koordinatnog početka se mogu podjeliti na:

* *topocentrične* — s centrom u promatraču,
* *geocentrične* — s centrom u centru Zemlje,
* *selenocentrične* — s centrom u centru Mjeseca,
* *planetocentrične* — s centrom u nekoj od planeta (mora biti određena pri definiranju koordinatnog sistema),
* *heliocentrične* — s centrom u centru Sunca i
* *baricentrične* — s centrom u centru mase Sunčevog sistema.

## Sferni koordinatni sistem

Sferni koordinatni sistem (λ — longituda, φ — latituda)
Sferni koordinatni sistem je definiran koordinatnim početkom i pravcima ka kojima su usmjerene osi. Ravan xy se naziva osnovna ravan. Sferne koordinate su udaljenost od koordinatnog početka (*r* ili ρ), kut između pozitivnog smjera *x*-osi i projekcije promatrane točke na osnovnu ravan (longituda, na slici obilježena sa λ, u literaturi se upotrebljavaju i θ i φ), kao i kut između promatrane točke i osnovne ravni (latituda, na slici φ, može biti obilježena i sa β ili θ). U matematici se umjesto kuta između točke i osnovne ravni često koristi njemu komplementaran kut — kut između točke i *z*-osi (kolatituda). Ako je udaljenost od koordinatnog početka fiksna (kod nebeskih koordinatnih sistema se smatra da je beskonačna, v. nebeska sfera), za opis položaja su dovoljne dvije kutne koordinate.

## Horizontski koordinatni sistem

Elementi horizontskog koordinatnog sistema
Iz perspektive promatrača, najprirodniji koordinatni sistem je horizontski koordinatni sistem. Koordinatni početak je u promatraču, a osnovna ravan je horizont, odnosno ravan tangentna na Zemlju u točki u kojoj se nalazi posmatrač. Točka direktno iznad promatrača se naziva zenit, dok je njena antipodna tačka nadir. Koordinate su horizontska visina i azimut. Horizontska visina (*a*) je kut između promatranog objekta i ravni horizonta. Nekada se umjesto horizontske visine koristi zenitna daljina (*z*), koja je komplementarna horizontskoj visini:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_0
Azimut (A) je kut između odabranog smjera i projekcije promatranog objekta na ravan horizonta. Azimut se može mjeriti od smjera sjevera ili juga, i to ili u smjeru kazaljke na satu (retrogradan, matematički negativan smjer) od 0° do 360°, ili na oba smjera od 0° do 180°, zbog čega je pri interpretaciji horizontskih koordinata potrebno obratiti pažnju kako je autor definirao azimut.. U ovom članku, azimut se mjeri od sjevera u smjeru kazaljke na satu (sjever: A = 0°; istok: A = 90°; jug: A = 180°; zapad: A = 270°).

Veliki krug na nebeskoj sferi koji sadrži sjeverni i južni nebeski pol se naziva meridijan i normalan je na nebeski ekvator, a može se shvatiti i kao projekcija Zemaljskog meridijana na nebesku sferu. Meridijan koji prolazi i kroz zenit i nadir je lokalni meridijan datog promatrača, a sadrži i sjevernu i južnu tačku horizonta tog promatrača. Sunce i zvijezde imaju najvišu horizontsku visinu (kulminiraju) kada prolaze kroz lokalni meridijan.

## Ekvatorijalni koordinatni sistem

Nebeski ekvatorijalni koordinatni sistem: rektascenzija i deklinacija
Druga prirodna osnovna ravan za promatrače na Zemlji je ravan ekvatora. Kako prilikom rotacije i revolucije Zemlje smjer Zemljine osi ostaje praktično nepromjenjen, tu se ne mijenja ni položaj ravni normalne na ovu os, a to je ravan ekvatora. Kut koji objekti zaklapaju sa ovom ravni se naziva deklinacija. Deklinacija se obilježava slovom δ i izražava u stupnjevima; točke sjeverno od ekvatora imaju pozitivnu odnosno južno od ekvatora negativnu deklinaciju. Tako deklinacija sjevernog nebeskog pola iznosi +90°, a južnog nebeskog pola -90°.

S obzirom na činjenicu da je nebeski ekvator nagnut u odnosu na ravan Zemljine orbite ekliptike, postoje samo dvije presječne točke ovih ravni (promatrano kao dva velika kruga na nebeskoj sferi) — točka proljetnog (γ-točka) i točka jesenjeg ekvinocija (Ω-točka). Položaj γ-točke na nebeskoj sferi je relativno fiksan (uslijed precesije, γ-točka napravi jedan pun krug po ekliptici za oko 25.800 godina), tako da je ona pogodna polazna tačka za mjerenje kuta na ekvatoru i na ekliptici. Kut između γ-točke i projekcije objekta na ravan nebeskog ekvatora mjeren u direktnom smjeru (matematički pozitivan smjer; suprotan kretanju kazaljke na satu) se naziva rektascenzija i obilježava se slovom α. Referentni sistem čije su koordinate rektascenzija i deklinacija se naziva nebeski ekvatorijalni koordinatni sistem, i najčešće je korišten nebeski koordinatni sistem za određivanje položaja tijela van Sunčevog sistema (katalozi zvijezda i objekata dubokog neba), jer se koordinate ovih tijela vrlo malo mjenjaju u nebeskom ekvatorijalnom koordinatnom sistemu (samo prilikom precesije i vlastitog kretanja, a diurnalno i godišnje kretanje Zemlje nema utjecaja). Rektascenzija se može izražavati u kutnim stupnjevima, minutima i sekundama, ili u satima, vremenskim minutima i vremenskim sekundama (1 sat odgovara uglu od 15°, s obzirom na to da Zemlja napravi pun krug tj. 360° za 24 sata).

Lokalno sideričko vrijeme, satni kut i rektascenzija
Umjesto smjera γ-točke, kao referentan smjer se može odabrati lokalni jug, odnosno lokalni meridijan. Kut mjeren od juga ka promatranom objektu u smjeru kazaljke na satu se naziva satni kut (*h*), i pokazuje koliko je vremena prošlo od kako se objekt nalazio u lokalnom meridijanu. Deklinacija i satni kut su koordinate mjesnog ekvatorijalnog koordinatnog sistema. Satni kut γ-točke je lokalno zvjezdano (sideričko) vrijeme (θ). Važi odnos

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_2
Sideričko vrijeme i satni kut se češće izražavaju u satima, vremenskim minutima i vremenskim sekundama nego u kutnim mjerama. Svi objekti koji imaju istu rektascenziju imaju i isti satni kut, zbog čega se polukružnica definirana fiksnom rektascenzijom naziva i satna kružnica. Uzimajući ovu definiciju u obzir, može se reći da je satni kut onaj između lokalnog meridijana i satne kružnice.

### Epoha

Položaj zvijezda i drugih nebeskih tijela van Sunčevog sistema se po pravilu daje u odnosu na nebeski ekvatorijalni koordinatni sistem. Međutim, s obzirom na perturbacije koje Zemlja trpi na svojoj orbiti (precesija, nutacija, perturbacija putanje pod utjecajem drugih planeta), elementi koordinatnog sistema moraju biti jednoznačno definirani. U tu svrhu se definira odgovarajuća „epoha“, kako bi se znalo na koji trenutak se odnose koordinate (ekvatorijalne i ekliptičke). Trenutno je u upotrebi epoha J2000.0 (1. 1. 2000. u 12:00 UTC+0), zasnovana na Fundamentalnom katalogu 5 koji je objavljen 1988. godine i sadrži referentne podatke za 3117 fundamentalnih zvijezda.

## Ekliptički koordinatni sistem

Ekliptički koordinatni sistem
Projekcija precesije sjevernog pola na fiksnom nebu epohe J2000.0 za vremenski interval od 48000 p. n. e. do 52000 n. e.: cijan linije su elementi ekliptičkog, a žute ekvatorijalnog koordinatnog sistema
Ekliptika — ravan Zemljine orbite ili veliki krug na nebeskoj sferi definiran godišnjim kretanjem Sunca — osnovna je ravan još jednog važnog koordinatnog sistema, po njoj nazvanog ekliptički koordinatni sistem. Postoje tri verzije u zavisnosti od položaja koordinatnog početka: topocentrična, geocentrična i heliocentrična. Za udaljene objekte, razlika među njima je zanemarljiva, ali ne i u slučaju tijela Sunčevog sistema.

Pored kuta između objekta i ekliptike (ekliptička latituda, β), drugi kut je ekliptička longituda (λ) — kut između projekcije objekta na ravan ekliptike i γ-točke, koja je pogodna jer je dijele ekliptika i nebeski ekvator. Ekliptička latituda je pozitivna sjeverno od ekliptike, a negativna južno od ekliptike. Sjeverni i južni ekliptički pol imaju latitudu +90° i -90°, respektivno. Sjeverni i južni nebeski pol, uslijed precesije, kruže oko sjevernog i južnog pola ekliptike.

Heliocentrična ekliptička latitutda i longituda se obilježavaju sa β’ i λ’, a za prevođenje iz geocentričnih u heliocentrične ekliptičke koordinate je potrebno znati i udaljenost do promatranog objekta. Konverzija se onda najlakše radi prevođenjem koordinata objekta u Dekartove koordinate, preračunavanjem koordinata u odnosu na novi koordinatni početak (sve osi ostaju paralelne) i zatim preračunavanjem koordinata iz pravokutnih u nove sferne.

Ekliptički koordinatni sistem je naročito pogodan za predstavljanje položaja tijela Sunčevog sistema, jer planete (i njihovi sateliti) malo odstupaju od ravni ekliptike, tako da uvijek imaju malu latitudu. Geocentrična ekliptička latituda Sunca i heliocentrična ekliptička latituda Zemlje su praktično nula.

## Galaktički koordinatni sistem

Galaktički koordinatni sistem: centar je u Suncu, a osnovna ravan je ravan Mliječne staze
Galaktički koordinatni sistem je heliocentrični nebeski koordinatni sistem čija je osnovna ravan ona Mliječne staze. S obzirom da Sunce leži vrlo blizu galaktičkoj ravni, bilo je moguće smjestiti centar ovog koordinatnog sistema u centar Sunca. Koordinate su galaktička latituda (*b*, pozitivna na sjever, negativna na jug) i galaktička longituda (*l*). Galaktička longituda se mjeri u direktnom smjeru od središta Mliječne staze, za koje se smatra crna rupa, koja predstavlja snažan izvor radio-zračenja i označava se Sagittarius A\*. Sagittarius A\* dakle ima galaktičke koordinate l = 0° odnosno b = 0°, dok su njegove ekvatorijalne koordinate α = 17h 45,7min, δ = -29° 00’. Ekliptičke koordinate galaktičkog sjevernog pola su α = 12h 51,4min, δ = +27° 08’.

Ovakav referentni sistem je Međunarodna astronomska unija definirala tek 1959. godine, nakon što je utvrđen položaj središta galaksije. Prije toga je galaktička longituda računata od presjeka nebeskog ekvatora sa ravni galaksije. Danas se za galaktičke koordinate po starom sistemu koriste oznake *l I* i *b I*.

## Supergalaktički koordinatni sistem

Članovi superklastera Djevice predstavljeni u supergalaktičkim koordinatama
Relativnu planarnu distribuciju maglina uočio je još William Herschel, a Gérard de Vaucouleurs je sredinom 20. vijeka potvrdio proučavanjem kataloga, postojanje supergalaktičke ravni, u čijoj blizini leži većina grupa galaksija i galaktičkih klastera koje pripadaju lokalnom superklasteru Djevici. Supergalaktički sjeverni pol ima galaktičke koordinate *l* = 47,37°, *b* = + 6,32°, a osnovni pravac je definiran presjekom sa ravni galaksije i ima koordinate 'l *= 137,37°,* b *= 0°.*

## Transformacije koordinata

S obzirom na to da katalozi objekata van Sunčevog sistema (zvijezde, maglice, galaksije...) najčešće koriste ekvatorijalne koordinate, po pravilu se transformacije nebeskih koordinata vrše preko ekvatorijalnih koordinata. U daljem tekstu se koriste sljedeće oznake:

* A — azimut (računat od sjevera)
* a — horizontska visina
* z — zenitna daljina (90° - a)
* φ — geografska širina promatrača
* δ — deklinacija
* α — rektascenzija
* h — satni kut
* ε — nagib ekliptike (kut između ekliptike i nebeskog ekvatora)
* λ — ekliptička longituda
* β — ekliptička latituda
* l — galaktička longituda
* b — galaktička latituda

Sferni trokut
Za izvođenje transformacija koordinata jednog nebeskog koordinatnog sistema u drugi, potrebno je poznavati dva teorema sferne trigonometrije — sinusni i kosinusni teorem.

* Sinusni teorem za sferni trokut glasi da je u datom sfernom trokutu, odnos sinusa kutova i sinusa njima nasuprotnih stranica konstantan:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_4
* Kosinusni teorem sferne trigonometrije je:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_6
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_8
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_10
### Horizontske i ekvatorijalne koordinate

Sferni trokut potreban za izvođenje veze između horizontsnog i ekvatorijalnog koordinatnog sistema
Ako su date koordinate u horizontskom sistemu (visina a i azimut A), i ako je poznata geografska širina promatrača (φ), tada su odgovarajuće ekvatorske koordinate:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_12
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_14
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_16
Ako su poznate ekvatorske koordinate (satni kut t i deklinacija δ), kao i geografska širina promatrača, tada su odgovarajuće horizontske koordinate:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_18
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_20
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_22
Prve dvije jednadžbe iz oba seta ne smiju se dijeliti, jer bi se dobio tangnes satnog kuta (odnosno azimuta), a tangens kutova ne razlikuje kutove u prvom i trećem kvadrantu, odnosno u drugom i četvrtom kvadrantu.

Veza između rektascenzije (α) i satnog kuta je:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_24
gdje je θ lokalno sideričko vrijeme.

### Ekvatorijalne i ekliptičke koordinate

Sferni trokut potreban za izvođenje jednadžbi koje povezuju ekvatorijalni i ekliptički koordinatni sistem
Ako su date deklinacija i rektascenzija nekog objekta, tada se njegove geocentrične ekliptičke koordinate mogu izračunati na sljedeći način:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_26
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_28
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_30
Obrnuto, ekvatorijalne koordinate se iz geocentričnih ekliptičkih mogu izračunati pomoću sljedećih jednadžbi:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_32
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_34
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_36
### Ekvatorijalne i galaktičke koordinate

Sferni trokut a izvođenje relacija između ekvatorijalnog i galaktičkog koordinatnog sistema
Neka je lN galaktička longituda sjevernog nebeskog pola (123,0°), a αP i δP rektascenzija i deklinacija sjevernog galaktičkog pola (αP = 12h 51,4min, δP = 27° 08’). Tada važe sljedeće relacije:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_38
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_40
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_42
## Veze

* Sferni koordinatni sistem
* Sferna trigonometrija
* Geografske koordinate
* Precesija
* Nutacija
* Nagib ekliptike
* Sideričko (zvjezdano) vrijeme

## Reference

## Literatura

* Patrick Moore, ur. (2002). *Philip's Astronomy Encyclopedia*. Philip's. ISBN 0–540–07863–8.
* Paul Murdin, ur. (2001) ((`en`)). *Encyclopedia of Astronomy and Astrophysics*. Institure of Physics Publishing. ISBN 0-7503-0440-5.
* Tanton, James (2005). *Encyclopedia of Mathematics*. New York: Facts on File, Inc.. ISBN 0-8160-5124-0.
* Hannu Karttunen, Pekka Kröger, Heikki Oja, Markku Poutanen, Karl Johan Donner, ur. (2007) (en). *Fundamental Astronomy* (5th izd.). Berlin: Springer. str. 21. ISBN 978-3-540-34143-7.

## Vanjske veze

* Positional Astronomy Arhivirano 2012-09-10 na Wayback Machine-u — Sferna trigonometrija, nebeski koordinatni sistemi, transformacije koordinata, i prateći zadaci (`en`)
* Konverzija galaktičkih u druge nebeske koordinate Arhivirano 2016-03-04 na Wayback Machine-u (`en`)
* Standardi funfamentalne astronomije (Međunarodna astronomska unija) — set algoritama i procedura koji implementiraju standardne modele koji se koriste u fundamentalnoj astronomiji (dostupan za Fortran i C) (`en`)
* Naval Observatory Vector Astrometry Software (NOVAS) Arhivirano 2015-06-28 na Wayback Machine-u — integrirani paket procedura za različite proračune u pozicijskoj astronomiji (dostupan za Fortran, C i Python) (`en`)