# Ubrzanje

|  |
| --- |
| **Klasična mehanika** |
|  WIKINIUM\_MATH\_PH\_0 drugi Newtonov zakon |
| povijest klasične mehanike kronologija klasične mehanike

| Grane
 |
| --- |
| statika • dinamika/kinetika • kinematika • primjenjena mehanika • nebeska mehanika • mehanika kontinuuma • statistička mehanika
 |

| Formulacije
 |
| --- |
| * Newtonova mehanika (vektorska mehanika)
* analitička mehanika:
	+ Lagrangeova mehanika
	+ Hamiltonova mehanika
 |

| Osnovni koncepti
 |
| --- |
| prostor • vrijeme • brzina • masa • ubrzanje • gravitacija • sila • impuls sile • spreg sila/moment sile • količina gibanja • kutna količina gibanja • tromost • moment tromosti • referentni okvir • energija • kinetička energija • potencijalna energija • rad • virtualni rad • D'Alembertovo načelo
 |

| Ključne teme
 |
| --- |
| kruto tijelo • dinamika krutog tijela • Eulerove jednadžbe gibanja • gibanje • Newtonovi zakoni gibanja • Newtonov zakon gravitacije • jednadžbe gibanja • inercijski referentni okvir • neinercijski referentni okvir • rotirajući referentni okvir • fiktivna sila • mehanika ravninskog gibanja krutog tijela • pomak (vektor) • relativna brzina • trenje • jednostavno harmonijsko gibanje • harmonijski oscilator • vibracije • prigušenje • koeficijent prigušenja • Rotacijsko gibanje • Kružno gibanje • jednoliko kružno gibanje • nejednoliko kružno gibanje • centripetalna sila • centrifugalna sila • centrifugalna sila (rotacijski referentni okvir) • reaktivna centrifugalna sila • Coriolisov učinak • fizičko njihalo • rotacijska brzina • kutno ubrzanje • kutna brzina • kutna frekvencija • kutni pomak
 |

| Znanstvenici
 |
| --- |
| Isaac Newton • Jeremiah Horrocks • Leonhard Euler • Jean le Rond d'Alembert • Alexis Clairaut • Joseph Louis Lagrange • Pierre-Simon Laplace • William Rowan Hamilton • Siméon-Denis Poisson
 |

 |

**Ubrzanje** ili **akceleracija** (oznaka *a*) je vektorska fizikalna veličina koja opisuje promjenu brzine s vremenom. U svakodnevnom govoru iste riječi opisuju kako se mijenja brzina odvijanja bilo kakvog procesa; no, tu pojam nije precizno definiran nego samo podrazumijeva povećavanje brzine (npr. "treba ubrzati postupak...").

U fizici je ubrzanje vektorska veličina koja se dobiva deriviranjem brzine po vremenu (koja je također vektor). U nekim situacijama, međutim, koristi se riječ *ubrzanje* da označi samo *iznos vektora ubrzanja*, ako je iz konteksta jasno o čemu se radi, npr. kod gibanja po pravcu.

Najjednostavnije je opisivati ubrzanje i brzinu gibanja točke. Takav se opis odnosi i na tijela kojima su dimenzije zanemarivo male (čestice) i na kruta tijela koja ne rotiraju, tj. gibaju se samo translacijski. Ako tijelo još i rotira, njegove različite točke imaju različita ubrzanja. Tada se pojam *ubrzanje tijela* odnosi na ubrzanje njegovog centra masa (a kaže se još da je to translacijsko ili linearno ubrzanje), a usto se još promatra i kutno ubrzanje.

U ovome tekstu opisuje se samo ubrzanje točke (čestice), tj. samo translacijsko ubrzanje.

## Formalna definicija

**Ubrzanje** je derivacija brzine po vremenu:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_2 .
Simbol WIKINIUM\_MATH\_PH\_4 označava ubrzanje (*a* je prvo slovo riječi *akceleracija* koja je latinskog porijekla), simbol WIKINIUM\_MATH\_PH\_6 označava brzinu; i jedna i druga veličina su funkcije vremena *t* (što se podrazumijeva, pa se ne mora eksplicitno navesti). Ubrzanje opisuje kako se brzo i u kojemu smjeru mijenja brzina u pojedinom trenutku. Budući da je brzina vektorska veličina koja može mijenjati i iznos i smjer, ubrzanje istovremeno opisuje i jednu i drugu promjenu. No, one se mogu razdvojiti tako da se zasebno promatraju tangencijalno i normalno ubrzanje (definirani kasnije u tekstu).

Analiza gibanja u dinamici često polazi od 2. Newtonovog aksioma, koji (u nerelativističkoj aproksimaciji) glasi "suma sila jednaka je umnošku mase i akceleracije" (tj. WIKINIUM\_MATH\_PH\_8 ). Odatle se, iz sila koje djeluju na materijalnu česticu, izravno dobiva njezina akceleracija. Potom se iz akceleracije brzina čestice računa integriranjem:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_10
gdje je WIKINIUM\_MATH\_PH\_12 brzina u trenutku WIKINIUM\_MATH\_PH\_14 (tzv. početna brzina). (A potom se iz brzine može odrediti jednadžba putanje ili pređeni put. Ako se umjesto materijalne točke promatra tijelo, navedena razmatranja odnose se na gibanje njegovog centra masa.)

## Prosječno i trenutno ubrzanje

Za gore navedenu definiciju ponekad se kaže da opisuje *trenutno* ili *pravo* ubrzanje. Ti se termini koriste (umjesto jednostavnog naziva *ubrzanje*) kada se želi naglasiti razlika u odnosu na **prosječno** ili **srednje** ubrzanje WIKINIUM\_MATH\_PH\_16 , koje se definira kao omjer promjene brzine i vremenskog intervala u kojemu se brzina promijenila:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_18
gdje simbol WIKINIUM\_MATH\_PH\_20 označava promjenu, tj. razliku između kasnije i ranije vrijednosti. Tu je WIKINIUM\_MATH\_PH\_22 promjena brzine od trenutka WIKINIUM\_MATH\_PH\_24 do trenutka WIKINIUM\_MATH\_PH\_26 , dok je WIKINIUM\_MATH\_PH\_28 vremeski interval (proteklo vrijeme) između ta dva trenutka.

Tijekom promatranog vremenskog intervala točka (ili tijelo) je mogla kojekako ubrzavati i usporavati svoje gibanje, pa će se istim postupkom dobiti različita prosječna ubrzanja u kraćim vremenskim podintervalima, što ograničava upotrebnu vrijednost prosječnog ubrzanja na zadani vremenski interval (i njegov zadani početni trenutak).

Nasuprot tome, "pravo" ubrzanje ("trenutno") ne ovisi o vremenskom intervalu jer se dobiva njegovim zamišljenim skraćivanjem na "beskonačno mali interval" oko pojedinog trenutka. Postupak se općenito (u različitim primjenama) naziva graničnim prijelazom i definira pojam derivacije. Trenutno ubrzanje je derivacija brzine po vremenu, tj. "granična vrijednost" (limes, simbol "lim") omjera promjene brzine i pripadnog vremenskog intervala kada vremenski interval "teži" prema nuli:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_30 .
### Definicija "promjena brzine u jedinici vremena"

**Najjednostavnija definicija ubrzanja**, koja je dobro polazište za razumijevanje pojma, jest uobičajena definicija iz osnovne škole: "Ubrzanje je promjena brzine u jedinici vremena”. Pritom se obično promatra pravocrtno gibanje, pa se riječ *brzina* odnosi samo na iznos brzine (jer ne mijenja smjer) a i riječ *ubrzanje* samo na iznos ubrzanja. Takva definicija vrlo nepotpuno opisuje ubrzanje: to je samo broj koji je jednak prosječnom iznosu ubrzanja u toj jedinici vremena.

No ako promatramo jednoliko ubrzano pravocrtno gibanje, kod kojega se iznos ubrzanja ne mijenja, onda je on doista jednak prosječnom iznosu, i računa se tako da se promjena brzine podjeli s vremenom. Npr. ako za 3 sekunde brzina naraste s 5 m/s na 17 m/s, ukupna promjena je 12 m/s, a ubrzanje se dobiva dijeljenjem (12 m/s) : (3 s) = 4 m/s2, i označava da brzina naraste za 4 m/s svake sekunde. Odatle se vidi i da je metar u sekundi na kvadrat (**m/s2**) mjerna jedinica za ubrzanje u SI sustavu

## Tangencijalno i centripetalno ubrzanje

Rastav sile i ubrzanja na tangencijalnu i normalnu komponentu
U svakoj točki proizvoljno zakrivljene putanje neke materijalne čestice može se njezino ubrzanje WIKINIUM\_MATH\_PH\_32 rastaviti na dvije komponente: na tangencijalno ubrzanje WIKINIUM\_MATH\_PH\_34 koje je paralelno s tangentom na putanju, i na normalno ubrzanje WIKINIUM\_MATH\_PH\_36 koje je u smjeru normale na putanju. Na skici desno prikazano je u gornjem dijelu ukupno ubrzanje (i sila WIKINIUM\_MATH\_PH\_38 koja ga uzrokuje), a u donjem dijelu to ubrzanje rastavljeno je na tangencijalnu i normalnu komponentu (kao i sila). Prikazane su i tangenta i normala (*t* i *n*) kao koordinatne osi: tangenta je u smjeru brzine WIKINIUM\_MATH\_PH\_40 , a normala je okomita na tangentu, leži u ravnini koju određuju brzina i ukupno ubrzanje, i usmjerena je prema "udubljenom" dijelu putanje. (Uobičajeno korištenje istog slova *t* i za tangentu i za vrijeme ne bi smjelo dovesti do zabune: ono se u tekstu odnosi na tangentu samo ako je indeks tangencijalnog vektora ili komponente.)

**Tangencijalno ubrzanje** opisuje kako se brzo mijenja iznos brzine:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_42 .
Tu je WIKINIUM\_MATH\_PH\_44 skalarna tangencijalna komponenta ubrzanja, dok je WIKINIUM\_MATH\_PH\_46 iznos brzine.

**Normalno ubrzanje** opisuje kako se brzo mijenja smjer brzine:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_48 .
Tu je WIKINIUM\_MATH\_PH\_50 skalarna normalna komponenta ubrzanja, WIKINIUM\_MATH\_PH\_52 je iznos brzine, dok je WIKINIUM\_MATH\_PH\_54 radijus zakrivljenosti putanje u promatranoj točki.

Na skici su prikazane vektorske komponente, a u gornjem tekstu se koriste skalarne komponente. Odnos između njih i ukupnog ubrzanja je sljedeći:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_56 .
Tu je WIKINIUM\_MATH\_PH\_58 jedinični vektor u smjeru tangente (dakle, i u smjeru brzine), dok je WIKINIUM\_MATH\_PH\_60 jedinični vektor u smjeru normale (jedinični vektori imaju iznos jednak 1). Kada se skalarna komponenta pomnoži s jediničnim vektorom, dobije se vektorska komponenta, npr. WIKINIUM\_MATH\_PH\_62 .

Za razumijevanje uloge komponenti ubrzanja korisno je razmotriti njihovu vezu sa silama na temelju 2. Newtonovog zakona. Ako je WIKINIUM\_MATH\_PH\_64 ukupna (rezultantna) sila koja djeluje na česticu, ona joj daje ubrzanje WIKINIUM\_MATH\_PH\_66 u smjeru sile prema formuli WIKINIUM\_MATH\_PH\_68 . Temeljno svojstvo vektora jest da među njihovim komponentama na pojedinoj osi koordinatnog sustava vrijede isti odnosi (jednadžbe) kao i među samim vektorima. To znači da tangencijalna sila daje tangencijalno ubrzanje, a normalna sila daje normalno ubrzanje (kao na skici).

Odatle se lako razumije zašto tangencijalno i normalno ubrzanje imaju gore navedeni smisao. Tangencijalna sila djeluje u smjeru brzine (ili u suprotnom smjeru); dakle, ona povećava iznos brzine (ili ga umanjuje). Zato tangencijalno ubrzanje opisuje promjenu iznosa brzine (povećanje ili umanjenje). Dakle, nema razloga da se te tangencijalne komponente dovode u vezu s promjenom smjera brzine.

Nasuprot tome, normalna sila okomita je na brzinu: ona ne povećava brzinu jer ne vuče nimalo prema naprijed, niti umanjuje brzinu jer ne vuče nimalo prema natrag. A ipak mijenja brzinu jer daje čestici ubrzanje (normalno ubrzanje). Budući da nema promjene iznosa brzine, očito je da to mora biti promjena smjera brzine.

### Formalni izvod

Formule za tangencijalno i normalno ubrzanje mogu se dokazati deriviranjem brzine ako se ona prikaže kao umnožak iznosa i jediničnog vektora

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_70 .
Jedinični vektor tangente WIKINIUM\_MATH\_PH\_72 ima smjer brzine, i može se dobiti tako da se brzina podijeli sa svojim iznosom (zato što je njegov iznos jednak 1). Deriviranjem gornjeg izraza za brzinu, prema pravilu deriviranja umnoška, dobije se:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_74 .
Odmah se vidi da lijevi pribrojnik izgleda kao ranije definirana tangencijalna komponenta ubrzanja. No, da bi se to dokazalo, treba pokazati da je desni pribrojnik jednak normalnoj komponenti ubrzanja. U tu svrhu treba objasniti što se dobiva deriviranjem jediničnog vektora WIKINIUM\_MATH\_PH\_76 u desnom pribrojniku.

#### Derivacija jediničnog vektora

Derivacija jediničnog vektora
Derivacija bilo kojeg jediničnog vektora WIKINIUM\_MATH\_PH\_78 mora biti okomita na njega, kako se vidi iz skice desno, koja prikazuje promjenu WIKINIUM\_MATH\_PH\_80 nekog jediničnog vektora u vremenskom intervalu WIKINIUM\_MATH\_PH\_82 . Na skici je ta promjena približno okomita na jedinični vektor, a u graničnom prijelazu kada vremenski interval teži nuli (kad se računa derivacija), promjena WIKINIUM\_MATH\_PH\_84 postaje točno okomita na jedinični vektor (i to u smjeru njegova zakretanja). Iznos derivacije dobije se tako da se iznos promjene WIKINIUM\_MATH\_PH\_86 podijeli s WIKINIUM\_MATH\_PH\_88 i provede granični prijelaz u kojemju vremenski interval teži nuli. Na skici se vidi da je iznos promjene WIKINIUM\_MATH\_PH\_90 približno jednak duljini kružnoga luka kojega prekriva, a u graničnom prijelazu postaju točno jednaki. Duljina tog dijela kružnoga luka jednaka je kutu zakreta WIKINIUM\_MATH\_PH\_92 kako slijedi iz definicije kuta u radijanima (luk kroz polumjer), budući da je iznos polumjera jednak 1 (iznos jediničnog vektora). Dakle, iznos derivacije jediničnog vektora je granična vrijednost WIKINIUM\_MATH\_PH\_94 , a to je iznos kutne brzine zakretanja jediničnog vektora WIKINIUM\_MATH\_PH\_96 .

Odatle se vidi da desni pribrojnik gornje jednadžbe za ubrzanje ima smjer jediničnog vektora normale WIKINIUM\_MATH\_PH\_98 te da ima iznos WIKINIUM\_MATH\_PH\_100 . To je, dakle, doista normalna komponenta ubrzanja, i ona ima oblik:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_102 .
#### Analogija s kružnim gibanjem

Kod kružnog gibanja iznos kutne brzine WIKINIUM\_MATH\_PH\_104 jednak je omjeru iznosa brzine i polumjera kružnice, WIKINIUM\_MATH\_PH\_106 . Tu kutna brzina opisuje zakretanje polumjera (radij-vektora) povučenog do točke koja se giba po kružnici. No, ista kutna brzina opisuje i zakretanje vektora brzine točke, jer je taj vektor stalno okomit na polumjer kružnice. Zato se normalna komponenta ubrzanja može izraziti preko iznosa brzine i polumjera: WIKINIUM\_MATH\_PH\_108 .

Po analogiji s kružnim gibanjem, i kod gibanja po krivulji opisuje se zakretanje vektora brzine pomoću iznosa brzine, i to relacijom WIKINIUM\_MATH\_PH\_110 . Ta relacija zapravo definira polumjer zakrivljenosti WIKINIUM\_MATH\_PH\_112 krivulje u promatranoj točki. Polumjer zakrivljenosti krivulje je polumjer oskulatorne kružnice, a to je kružnica koja najbolje prianja uz krivulju u toj točki (imaju jednaku zakrivljenost). Definiranje polumjera zakrivljenosti omogućuje da se normalna komponenta ubrzanja na krivulji izrazi na sličan način kao na kružnici:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_114 .
### Alternativni geometrijski izvod

Rastav promjene brzine na tangencijalnu i normalnu komponentu
Prethodni izvod orijentiran je na matematičku korektnost i potpunost, pa mu zato nedostaje neposrednog geometrijskog zora. Na skici desno, međutim, zorno je prikazano gibanje točke po krivulji tako da se vide vektori položaja i brzine na početku i na kraju vremenskog intervala WIKINIUM\_MATH\_PH\_116 (lijeva strana skice), kao i promjena brzine WIKINIUM\_MATH\_PH\_118 na desnoj strani skice. Pritom je promjena brzine rastavljena na tangencijalnu i normalnu komponentu:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_120 .
Ubrzanje je derivacija brzine po vremenu, tj. granična vrijednost omjera promjene brzine WIKINIUM\_MATH\_PH\_122 i pripadnog vremenskog intervala WIKINIUM\_MATH\_PH\_124 kada vremenski interval teži nuli:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_126 .
I bez punog matematičkog formalizma, može se razumjeti kako lijevi pribrojnik daje tangencijalnu komponentu a desni normalnu komponentu ubrzanja. Iz skice je očito da WIKINIUM\_MATH\_PH\_128 samo mijenja iznos brzine (u prikazanom primjeru povećava brzinu). Smjer brzine mijenja samo komponenta WIKINIUM\_MATH\_PH\_130 , ali ona malo doprinosi i promjeni iznosa, jer prevodi katetu WIKINIUM\_MATH\_PH\_132 pravokutnog trokuta u hipotenuzu WIKINIUM\_MATH\_PH\_134 . Međutim, kada u graničnom prijelazu WIKINIUM\_MATH\_PH\_136 teži prema nuli (kod izračuna ubrzanja), taj pravokutni trokut postaje jednakokračan, pa WIKINIUM\_MATH\_PH\_138 mijenja samo smjer vektora brzine.

Odatle je jasno da je skalarna tangencijalna komponenta ubrzanja jednaka derivaciji iznosa brzine po vremenu - te da je pozitivna kad se brzina povećava, a negativna kad se brzina umanjuje. Skalarna normalna komponenta ubrzanja uvijek je pozitivna, jer se brzina zakreće u smjeru normale. Njezin iznos, međutim, određuje se na temelju gornjeg formalnog izvoda, ili na temelju analize kružnog gibanja. (Ipak, i sa skice se razabire da taj iznos treba biti jednak WIKINIUM\_MATH\_PH\_140 , zato što je iznos WIKINIUM\_MATH\_PH\_142 približno jednak umnošku iznosa brzine i kuta njezinoga zakretanja.)

### Tangencijalno i centripetalno ubrzanje

Oscilujuće klatno, sa obeleženom brzinom i ubrzanjem. Ono doživljava tangencijalno i centripetalno ubrzanje.
Komponente ubrzanja za krivolinijsko kretanje. Tangencijalna komponenta **a**t *je usled promene brzine kretanja, i tačke duž krive su u pravcu vektora brzine (ili u suprotnom smeru). Normalna komponenta (ili centripetalna komponenta kod kružnog kretanja) **a**c* je usled promene smerea vektora brzine i normalna je na trajektoriju, sa smerom ka centru zakrivljenja puta.
Brzina čestice koja se kreće na zakrivljenom putu kao funkcija vremena se može zapisati kao:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_144
gde je *v*(*t*) jednako brzini duž puta, a

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_146
je jedinična vektorske tangenta na putu, koja je usmerena u pravcu kretanja datog momenta. Uzimajući u obzir promenu brzini *v(t)* i promenu smera **ut*, ubrzanje čestice koja se kreće duž zakrivljenog puta se može zapisati koristeći lančano pravilo diferencijacije za proizvod dve funkcije vremena kao:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_148
gde je **u**n jedinica normalnog vektora na trajektoriju čestice (koja se takođe naziva *principalnom normalom*), i **r** je njen trenutni prečnik krive baziran na dodirnoj kružnici u vremenu *t*. Te komponente se nazivaju tangencijalnim ubrzanjem i normalnim ili radijalnim ubrzanjem (ili centripetalnim ubrzanjem kružnog kretanja, vidi takođe kružno kretanje i centripetalnu silu).

Geometrijska analiza trodimenzionalnih krivih, koja objašnjava tangencijalno, (principijalno) normalno i binormalno kretanje, je opisana Frenet–Seretovim formulama.

## Brzina i pređeni put kod promjenjivog kretanja

Ako želimo izračunati brzinu u nekom trenutku ubrzanog kretanja, moramo znati koliko je vremena prošlo otkad se tijelo počelo kretati (*t*) i kolika mu je brzina bila prije početka ubrzanja (*v0*). Brzina u nekom trenutku ubrzanog kretanja računa se po sljedećoj formuli: WIKINIUM\_MATH\_PH\_150 .
Oznaka za pređeni put je *s*. Put promjenjivog kretanja bez početne brzine računa se po formuli WIKINIUM\_MATH\_PH\_152 , dok se za rješavanje puta s poznatom početnom brzinom koristi izraz WIKINIUM\_MATH\_PH\_154 .

**Jednoliko ubrzano pravolinijsko kretanje** jest ono kretanje u kojem se neko tijelo kreće pravolinijski s nekom početnom brzinom *v0*, koja se jednako povećava u jednakim intervalima.

Put (*s*) kod jednoliko ubrzanog pravolinijskog kretanja preko početne brzine (*v0*) i ubrzanja (*a*), bez vremena (*t*), može se napisati i ovako: WIKINIUM\_MATH\_PH\_156 .

Iz ovoga proizlazi da je WIKINIUM\_MATH\_PH\_158 , pa se brzina s poznatom početnom brzinom *v0* izračunava izrazom WIKINIUM\_MATH\_PH\_160 .

Naravno, za WIKINIUM\_MATH\_PH\_162 važit će: WIKINIUM\_MATH\_PH\_164 , WIKINIUM\_MATH\_PH\_166 i WIKINIUM\_MATH\_PH\_168 .

**Jednoliko usporeno pravolinijsko kretanje** jeste kretanje koje se odvija po određenom pravcu u nekom vremenu (*t*) s nekom početnom brzinom (*v0*), koja se jednako smanjuje u jednakim intervalima.

Brzina kod jednoliko usporenog pravolinijskog kretanja s poznatom vremenom računa se preko formule WIKINIUM\_MATH\_PH\_170 dok se formula WIKINIUM\_MATH\_PH\_172 koristi za dobijanje brzine s poznatim putem.

Vrijeme zaustavljanja tijela pod utjecajem umjereno usporenog kretanja može se naći formulom WIKINIUM\_MATH\_PH\_174 dok se put do zaustavljanja (*Sz*) dobija formulom WIKINIUM\_MATH\_PH\_176 .

## Gravitacijsko ubrzanje

Gravitacijsko ubrzanje je ubrzanje koje tijelo dobija pri slobodnom padu (padu s određene tačke, bez podsticaja bilo koje druge sile osim sile Zemljine teže). To ubrzanje iznosi približno WIKINIUM\_MATH\_PH\_178 , a ono zavisi od blizine određenog tijela središtu Zemlje. To zavisi od geografskog položaja i nadmorske visine. U Sarajevu je gravitacijsko ubrzanje WIKINIUM\_MATH\_PH\_180 .
Gravitacijsko ubrzanje označava se slovom *g* i pomoću njega izračunavamo težinu određenog tijela. *G = m\*g*, gdje je *m* masa tog tijela, a *G* težina.

## Drugi Newtonov zakon

Ovaj zakon glasi:
**"Intenzitet sile koja pokreće tijelo jednak je proizvodu mase tijela i ubrzanja koje tijelo dobija djelovanjem te sile"**, tj. *F = m\*a*, gdje je *F* sila koja pokreće tijelo i daje mu ubrzanje, *m* masa tog tijela i *a* ubrzanje koje tijelo dobija djelovanjem te sile. Pošto je jedinica za silu 1 njutn (N) - WIKINIUM\_MATH\_PH\_182 , a za masu 1 kg, dobijamo da je jedinica za ubrzanje WIKINIUM\_MATH\_PH\_184 .

## Jednostavni slučajevi: ubrzanje na pravcu i na kružnici

Ubrzano gibanje po pravcu i jednoliko gibanje po kružnici zanimljivi su primjeri zato što sadrže samo jednu od opisanih komponenata ubrzanja. Kod gibanja po pravcu, to je samo tangencijalno ubrzanje (jer brzina ne mijenja smjer). Kod jednolikog gibanja po kružnici, to je samo normalno ubrzanje (jer brzina ne mijenja iznos), a ono se na kružnici naziva *centripetalnim* ili *radijalnim* ubrzanjem.

Jednoliko i jednoliko ubrzano gibanje po pravcu najjednostavniji su primjeri gibanja, na kojima učenici osnovnih i srednjih škola tek upoznaju veličine pomoću kojih se gibanje opisuje - znatno prije nego što će učiti npr. o vektorima ili o derivacijama. Na toj razini znanja, i brzina i ubrzanje se opisuju kao skalarne veličine. Kaže se da je ubrzanje promjena brzine u jedinici vremena, te da je pozitivno kada brzina raste a negativno kad se brzina umanjuje. Za jednoliko ubrzano gibanje po pravcu, takve su definicije "operativno korektne" jer omogućuju točan izračun brzine i pređenoga puta (barem za gibanje tijela na istu stranu; manje komplikacije nastaju ako se počne vraćati). U konceptualno korektnom opisu, ubrzanje je vektor koji ne može biti niti pozitivan niti negativan; a skalar koji se koristi u formulama je skalarna tangencijalna komponenta ubrzanja.

Kod jednolikog gibanja po kružnici uvodi se pojam centripetalnog ubrzanja koji i bez punog vektorskog formalizma jasno ocrtava smisao normalne komponente ubrzanja. A kod jednoliko ubrzanog gibanja po kružnici mora se - pored centripetalnog ubrzanja - uvesti i tangencijalno ubrzanje za opis promjene iznosa brzine. Time je zapravo obuhvaćen glavni smisao rastava ubrzanja na normalnu i tangencijalnu komponentu, čak i ako se ne koristi formalni vektorski opis.

## Izvori

## Literatura

* Ландау, Л. Д., Лифшиц, Е. М. Механика. – Издание 5-е, стереотипное. – М.: Физматлит, 2004. – 224 с. – («Теоретическая физика», том I). – ISBN 5-9221-0055-6.
* David C. Cassidy, Gerald James Holton, and F. James Rutherford (2002). *Understanding physics*. Birkhäuser. ISBN 978-0-387-98756-9.
* Pauli W. (1981). *Theory of Relativity*. Dover. ISBN 978-0-486-64152-2.
* Aaboe, A. (1991). „Mesopotamian Mathematics, Astronomy, and Astrology”. *The Cambridge Ancient History*. **Volume III** (2nd izd.). Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-22717-9.
* Allen, D. (10 April 1997). „Calculus”. Texas A&M University. Arhivirano iz originala na datum 2021-03-23. Pristupljeno 1 April 2014.

* Dijksterhuis, E.J. (1986). *The mechanization of the world picture: Pythagoras to Newton*. Princeton, New Jersey: Princeton University Press. ISBN 978-0-691-08403-9. Arhivirano iz originala na datum 2011-08-05. Pristupljeno 2015-06-17.
* DONUT (29 June 2001). „The Standard Model”. Fermilab. Pristupljeno 1 April 2014.
* Feynman, R.P.; Leighton, R.B.; Sands, M. (1963). *The Feynman Lectures on Physics*. **1**. ISBN 0-201-02116-1.
* Feynman, R.P. (1965). *The Character of Physical Law*. ISBN 0-262-56003-8.
* Godfrey-Smith, P. (2003). *Theory and Reality: An Introduction to the Philosophy of Science*. ISBN 0-226-30063-3.

* Grupen, Klaus (10 Jul 1999). „Instrumentation in Elementary Particle Physics: VIII ICFA School”. *AIP Conference Proceedings* **536**: 3–34. arXiv:physics/9906063. DOI:10.1063/1.1361756. ISSN 0094-243X.
* Guicciardini, N. (1999). *Reading the Principia: The Debate on Newton's Methods for Natural Philosophy from 1687 to 1736*. New York: Cambridge University Press.

* Holzner, S. (2006). *Physics for Dummies*. John Wiley & Sons. ISBN 0-470-61841-8. »Physics is the study of your world and the world and universe around you.«

* Kellert, S.H. (1993). *In the Wake of Chaos: Unpredictable Order in Dynamical Systems*. University of Chicago Press. ISBN 0-226-42976-8.
* Leggett, A.J. (1999). „Superfluidity”. *Reviews of Modern Physics* **71** (2): S318–S323. Bibcode 1999RvMPS..71..318L. DOI:10.1103/RevModPhys.71.S318.
* Levy, B.G. (December 2001). „Cornell, Ketterle, and Wieman Share Nobel Prize for Bose-Einstein Condensates”. *Physics Today* **54** (12): 14. Bibcode 2001PhT....54l..14L. DOI:10.1063/1.1445529. Arhivirano iz originala na datum 2016-05-15. Pristupljeno 2015-06-17.
* Mastin, L. (2010). „Greek Mathematics - Plato”. *The Story of Mathematics*. Pristupljeno 31 March 2014.
* Maxwell, J.C. (1878). *Matter and Motion*. D. Van Nostrand. ISBN 0-486-66895-9.
* National Research Council; Committee on Technology for Future Naval Forces (1997). *Technology for the United States Navy and Marine Corps, 2000-2035 Becoming a 21st-Century Force: Volume 9: Modeling and Simulation*. Washington, DC: The National Academies Press. ISBN 978-0-309-05928-2.
* O'Connor, J.J.; Robertson, E.F. (February 1996a). „Special Relativity”. *MacTutor History of Mathematics archive*. University of St Andrews. Pristupljeno 1 April 2014.
* O'Connor, J.J.; Robertson, E.F. (May 1996b). „A History of Quantum Mechanics”. *MacTutor History of Mathematics archive*. University of St Andrews. Arhivirano iz originala na datum 2019-10-28. Pristupljeno 1 April 2014.
* Toraldo Di Francia, G. (1976). *The Investigation of the Physical World*. ISBN 0-521-29925-X.
* Young, H.D.; Freedman, R.A. (2014). *Sears and Zemansky's University Physics with Modern Physics Technology Update* (13th izd.). Pearson Education. ISBN 978-1-29202-063-1.

## Vanjske veze

* Acceleration Calculator Simple acceleration unit converter
* Measurespeed.com - Acceleration Calculator Arhivirano 2010-11-08 na Wayback Machine-u Based on starting & ending speed and time elapsed.