# Ampèreov zakon magnetnog polja

Električna struja proizvodi magnetno polje.

|  |
| --- |
| **Elektromagnetizam** |
|  |
| *Ključne stavke* |
| Elektricitet • Magnetizam
 |
| *Elektrostatika* |
|
Električni naboj •
Coulombov zakon •
Električno polje •
Električni fluks •
Gaussov zakon •
Električni potencijal •
Elektrostatična indukcija •
Električni dipolni moment

 |
| *Magnetostatika* |
|
Ampèreov zakon •
Električna struja •
Magnetno polje •
Magnetni fluks •
Biot–Savartov zakon •
Magnetni dipolni moment •
Gaussov zakon za magnetizam

 |
| *Elektrodinamika* |
|
Vakuum •
Lorentzova sila •
EMS •
Elektromagnetska indukcija •
Faradayjev zakon •
Lenzov zakon •
Struja pomaka •
Maxwellove jednačine •
EM polje •
Elektromagnetna radijacija •
Liénard-Wiechertov potencijal •
Maxwellov tenzor •
Vrtložne struje

 |
| *Električna mreža* |
|
Električna provodljivost •
Električni otpor •
Kapacitivnost •
Induktivnost •
Impedanca •
Resonantne šupljine •
Talasovod

 |
| *Kovarijantna formulacija* |
|
Elektromagnetni tenzor •
EM tenzor napon-energija •
Četiri-tok **•**
Elektromagnetni četiri-potencijal
 |
| *Naučnici*

|  |
| --- |
| Ampère •
Coulomb •
Faraday •
Heaviside •
Henry •
Hertz •
Lorentz •
Maxwell •
Tesla •
Weber

 · *Ostali* |

 |
| Ova kutijica: pogledaj • razgovor • uredi |

**Ampèreov (Amperov) zakon** objašnjava nastanak magnetnog polja oko zatvorenog električnog kola, povezujući električne i magnetske pojave.

Ampèreov zakon je ustanovio vezu između elektriciteta i magnetizma, čime je postavljena osnova elektromagnetske teorije. Električna struja koja teče kroz provodnik stvara magnetsko razmjerno jačini struje i dužini provodnika, a obrnuto razmjerno udaljenosti od provodnika. Smjer magnetskog polja okomit je na struju. Ako kroz dva usporedna provodnika struja teče u istom smjeru, oni se privlače; u protivnom odbijaju.

Džejms Klerk Maksvel (ne Amper) je izveo Amperov zakon u svom radu "*O fizičkim linijama sile*" 1861. godine i uvrstio ga među svoje jednačine, koje čine osnovu klasičnog elektromagnetizma. Zakon je nazvan po Andre-Mari Amperu, po kome je nazvana i jedinica za merenje električne struje.

Ovaj zakon je magnetski ekvivalent Faradejevom zakonu elektromagnetske indukcije.

## Izvorna formulacija zakona

Zakon definiše odnos magnetnih polja i električnih struja koje ih proizvode. Koristeći Amperov zakon, moguće je odrediti magnetno polje koje nastaje prilikom prolaska određene struje ili struju koja nastaje usled delovanja magnetnog polja, pod uslovom da električno polje nije vremenski promenljivo.

U svojoj istorijskoj originalnoj formi, Amperov zakon definiše magnetno polje koje nastaje kao proizvod struje.
Zakon je moguće napisati u dva oblika, u formi integrala ili u diferencijalnoj formi. Oba izraza su ekvivalentna i povezana Kelvin-Stouks-ovom teoremom. Moguće ga je takođe zapisati preko **B** ili **H** vektora magnetnog polja. Opet, obe verzije su ekvivalentne. (pogledati dokaz ispod)

Amperov zakon je danas poznat kao tačan zakon fizike u magnetostatičkim slučajevima. U svim ostalim slučajevima zakon nije tačan ukoliko se ne koriste Maksvelove korekcije (pogledati ispod).

### U formi integrala

U SI sistemu jedinica, integralna forma originalnog Amperovog zakona je linijski integral magnetnog polja oko neke zatvorene putanje *C* (proizvoljna ali mora biti zatvorena). Kriva *C* sadrži površinu *S* kroz koju prolazi električna struja (opet proizvoljna) i obuhvata struju. Matematički izraz zakona je relacija između ukupnog magnetnog polja oko neke putanje (integral duž linije) zbog struje koja prolazi kroz tu zatvorenu putanju (integral površine). Može biti napisan na više načina.

Integral magnetnog polja duž dužine provodnika (izražen u T - Tesla) oko zatvorene krive *C* je proporcionalan ukupnoj struji (koja podrazumeva slobodne i vezane struje)*I*enc koja prolazi kroz površinu *S* (oivičenu krivom *C*)

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_0
gde je **J** ukupna gustina struje izražena u Amperima po kvadratnom metru, Am−2

Alternativno izraženo preko termina "slobodne struje", integral magnetnog polja (izraženog u Amperima po metru, Am−1) oko zatvorene krive *C* jednak je slobodnoj struji *I*f, enc kroz površinu *S*:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_2
gde je **J**f gustina samo slobodne struje. Sledi

* WIKINIUM\_MATH\_PH\_4 je zatvoreni integral po zatvorenoj krivoj *C*,
* WIKINIUM\_MATH\_PH\_6 označava 2-dimenzionalni integral po površini *S* zatvorenoj krivom *C*
* • je proizvod vektora,
* d**ℓ** je infinitezimalni element krive *C* (tj. vektor sa intenzitetom jednakom dužini infinitezimalnog elementa krive, i smerom određenim tangentom na krivu *C*)
* d**S** je vektorski prostor infinitezimalnog elementa površine *S* (tj. vektor sa intenzitetom jednakim površini infinitezimalnom delu površine, i smerom upravnim na površinu *S*. Smer normale mora da odgovara orijentaciji krive *C* , pravilom desne ruke. Videti ispod detaljniji opis krive C i površine S.

Polja **B** i **H** su povezana jednakošću

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_8
gde je *μ*0 magnetska konstanta.

Postoji niz dvoznačnosti i nejasnoća u prethodnim definicijama koje zahtevaju obrazloženje i izbor konvencije.

1. Prvo, tri faktora su povezana sa dvoznačnošću znaka ispred njih: integral WIKINIUM\_MATH\_PH\_10 može da se kreće oko konture u oba smera (u smeru kazaljke na satu ili obrnuto); vektor površine d**S** može da pokazuje na dve različite normale na površinu, i *I*enc je ukupna struja koja prolazi kroz površinu *S*, što znači struja koja prolazi kroz površinu u jednom smeru minus struja koja prolazi u suprotnom smeru - ali oba smera mogu biti uzeta za pozitivan. Ove dvoznačnosti se rešavaju pravilom desne ruke - okretanjem dlana desne ruke preva površini nad kojom se vrši integracija, i kažiprstom koji je usmeren duž smera po kome se vrši integracija, palac pokazuje na smer koji mora biti odabran za vektor površine d**S**. Takođe, struja koja se kreće u istom smeru kao i vektor površine d**S** mora da se računa kao pozitivna.
2. Drugo, postoji beskonačno mnogo mogućih površina *S* koje imaju krivu *C* kao svoju granicu površine. (zamislite mehur sapuna na kružnoj žici koji može da se deformiše pomeranjem žice kroz vazduh). Koju od ovih površina odabrati? Odgovor je da nije bitno, bilo koja od površina ograničena konturom *C* može da se odabere.

### U diferencijalnoj formi

Po Stouksovoj teoremi, ova jednačina može biti zapisana i u diferencijalnoj formi. Opet, ova jednačina važi samo u slučaju da je električno polje vremenski konstantno, značeći da su struje nepromenljive (ne menjaju se u vremenu, inače bi se magnetno polje takođe menjalo u vremenu); pogledaj dole opštiju formu. U SI sistemu jedinica, jednačina daje za ukupnu struju:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_12
i za slobodne struje

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_14
gde je **∇**× Kurl-ov operator.

## Odnos slobodnih i vezanih struja

Električna struja koja potiče od najprostijeg primera iz knjige bi bila klasifikovana kao slobodna struja. Npr. struja koja prolazi kroz žicu ili bateriju. Suprotno tome, vezana struja potiče od materijala koji mogu biti namagnetisani i/ili polarizovani. (svi materijali mogu donekle)

Kada je materijal namagnetisan (npr. postavljanjem u spoljno magnetno polje), elektroni ostaju vezani za svoje atome, ali se ponašaju kao da se rotiraju oko jezgara u određenom smeru, stvarajući mikroskopske struje. Kada se struje od svih ovih atoma saberu, one stvaraju isti efekat kao makroskopske struje, neprestano rotirajući oko namagnetisanih objekata. Ova struja magnetizacije **J**M je jedan od priloga vezanim strujama.

Drugi izvor vezanih struja je vezano naelektrisanje. Kada se primeni električno polje, pozitivna i negativna vezana naelektrisanja mogu da se raziđu na atomskim udaljenostima u polarizabilnim materijalima, i kada se vezana naelektrisanja pokrenu, polarizacija se promeni, kreirajući još jedan doprinos vezanim strujama, polarizacionu struju**J**P.

Ukupna gustina struje **J** je zbog slobodnih i vezanih naelektrisanja jednaka:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_16
gde je **J**f gustina slobodnih struja.

Sve struje su u osnovi iste, mikroskopski posmatrano. Ipak, postoje praktični razlozi za tretiranje vezanih struja drugačije od slobodnih struja. Na primer, vezane struje najčešće potiču na atomskom nivou, a neko npr. želi da koristi jednostavniju teoriju koja je namenjena većim dimenzijama. Rezultat je da se sitnije posmatrani Amperov zakon, izražen preko **B** i mikroskopske struje (koja uključuje slobodnu, struju namagnetisanja i polarizacije), ponekada posmatra u ekvivalentnoj formi prikazanoj kasnije preko magnetnog polja H i samo slobodnih struja. Za detaljniju definiciju slobodnih struja, i dokaz da su dve formulacije ekvivalentne, pogledati sekciju Dokaz ekvivalentnosti.

## Nedostaci izvorne formulacije zakona

Postoje dva važna problema koja se tiču Amperovog zakona koja zahtevaju bliže ispitivanje. Prvo, postoji problem u vezi sa jednačinom kontinuiteta za naelektrisanja. Postoji teorema u vektorskoj matematici koja kaže da divergencija uvojka mora biti 0. Sledi

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_18
tako da originalan Amperov zakon tvrdi da

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_20
Ali uopšteno

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_22
čija vrednost nije jednaka nuli za vremenski promenljivu gustinu naelektrisanja. Primer se javlja u kolu sa kondenzatorom gde vremenski promenljive gustine naelektrisanja postoje na pločama kondenzatora.

Drugo, postoji problem u vezi propagacije elektromagnetnih talasa. Na primer u slobodnom prostoru gde je

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_24
Amperov zakon tvrdi da je

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_26
ali umesto toga

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_28
Da bi se rešile ovakve situacije, dodatni efekat zamenskih struja mora biti dodat u Amperov račun.

Džejms Klerk Maksvel je začeo ideju zamenskih struja struja kao polarizacionih struja u moru vrtloga unutar dielektrika, koje je iskoristio da modeluje magnetno polje hidrodinamički i mehanički.

### Zamenske struje

U slobodnom prostoru, zamenska struja je proporcionalna brzini promene električnog polja.

U dielektriku je takođe prisutna zamenska struja, ali glavni doprinos zamenskoj struji je povezan sa polarizacijom pojedinačnih molekula dielektričnog materijala. Iako naelektrisanja ne mogu da slobodno teku u dielektriku, naelektrisanja u molekulima mogu da se pomeraju malo usled uticaja električnog polja. Pozitivna i negativna naelektrisanja u molekulu se razdvajaju pod uticajem elektirčnog polja, izazivajući povećanje stanja polarizacije, izražena preko gustine polarizacije **P**. Promenljivo stanje polarizacije je ekvivalentno struji.

Oba doprinosa zamenskim strujama se kombinuju definišući zamensku struju:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_30
gde je električno zamensko polje definisano kao:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_32
gde je ε0 električna konstanta, *ε*r je relativna statička permitivnost, i **P** je gustina polarizacije. Zamenjujući ovu jednačinu za **D** u izrazu za zamenske struje, dobijamo dve komponente:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_34
Prva komponenta sa desne strane je prisutna svuda, čak i u vakuumu. Ona ne uključuje nikakvo stvarno pomeranje naelektrisanja, ali uprkos tome poseduje magnetno polje, kao da je prava struja. Neki autori zamenskim strujama zovu samo ovu komponentu.

Drugi član sa desne strane je zamesnka struja koju je prvobitno plasirao Maksvel, koja je povezana sa polarizacijom pojedinačnih molekula dielektričnog materijala.

Maksvelovo originalno objašnjenje za zamenske struje se odnosilo na situaciju koja se dešava u dielektričnim medijumima. U modernoj post-etar eri, koncept je proširen tako da se odnosi na situacije kada ne postoji materijal, na primer, u vakuumu između naelektrisanih površina vakuumskog kondenzatora. Postojanje zamenske struje je opravdano i danas zato što podržava više zahteva elektromagnetne teorije: ispravno predviđanje magnetnih polja u oblastima gde ne teku slobodne struje; predviđanje prostiranja talasa u elektromagnetnim poljima; i u održavanju naelektrisanja u slučajevima kada se gustina naelektrisanja menja u vremenu. Za šire objašnjenje pogledati zamenske struje.

## Proširenje zakona: Maksvel-Amperova jednačina

Amperova jednačina je proširena uzimajući u obzir polarizacione struje, i na taj način rešavajući ograničenu upotrebljivost originalnog Amperovog zakona.

Tretirajući slobodna naelektrisanja odvojeno od vezanih naelektrisanja, Amperova jednačina zajedno sa Meksvelovom korekcijom u smislu **H**-polja (**H**-polje se koristi zato što uračunava struje namagnetisanja, tako da se **J**M ne pojavljuje eksplicitno) je

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_36
(integralni oblik), gde je **H** magnetno polje (takođe nazivano intenzitetom magnetnog polja ili samo magnetno polje), **D** je električno varijabilno polje, i **J**f je zatvorena provodna struja ili gustina slobodne struje. U diferencijalnoj formi,

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_38
Sa druge strane, tretirajući sva naelektrisanja na isti način (zanemarujući to da li su vezana ili slobodna naelektrisanja), uopšteni oblik Amperove jednačine nazvan Maksvel-Amperova jednačina, u svom obliku izražen preko inteegrala

|  |
| --- |
|
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_40

 |

U diferencijalnom obliku,

|  |
| --- |
|
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_42

 |

U oba slučaja **J** sadrži gustinu struje naelektrisanja kao i provodne i polarizacione gustine struje. Tj. gustina struje sa desne strane Amper-Maksvelove jednačine je:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_44
gde je gustina struje **J**D premeštajuća struja, i **J** je doprinos gustini struje koji nastaje zbog naelektrisanja koja se pomeraju, i vezanih i slobodnih. Pošto je **∇** · **D** = *ρ*, kontinuitet naelektrisanja koji je bio problem kod originalne formulacije Amperovog zakona, više nije problem. Struja namagnetisanja može da se predstavi kao uvijutak magnetizacije, tako da je njena diverencija jednaka nuli i ona više ne učestvuje kao faktor u jednačini kontinuiteta. Zbog *ε*0∂**E** / ∂*t*, propagacija talasa u slobodnom prostoru je sada moguća.

Sa dodatkom zamenskih struja, Maksvel je bio u stanju da izvede tačnu hipotezu da je svetlo oblik elektromagnetnih talasa.

| Dokaz da su formulacije Amperovog zakona koje posmatraju slobodne struje ekvivalentne formulacijama koje koriste ukupnu struju.
 |
| --- |
| U ovom dokazu, pokazaćemo da je jednačina
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_46
ekvivalentna jednačini

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_48
Primetite da se samo bavimo diferencijalnim oblikom, ne integralnim, ali to je dovoljno s'obzirom da su diferencijalni i integralni oblik ekvivalentni preko Kevin-Stoks'ove teoreme.
Uvodimo gustinu polarizacije **P**, koja ima sledeću relaciju sa **E** i **D**:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_50
Zatim uvodimo gustinu namagnetisanja **M**, koja ima sledeću relaciju sa **B** and **H**:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_52
i sledeću relaciju sa vezanim strujama:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_54
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_56
gde

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_58
je nazvan gustinom struje namagnetisanja, i

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_60
je gustina polarizacione struje. Uzimajući jednačinu za B:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_62
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_64
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_66
Stoga, sa odnosom na definiciju vezanih struja:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_68
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_70
što je i trebalo dokazati.

 |

## Amperov zakon u cgs jedinicama

Izražen u centimetar-gram-sekund jedinicama, integralna forma jednačine, uključujući Maksvelovu korekciju glasi

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_72
gde je*c* brzina svetla.

Diferencijalni oblik jednačine (opet uključujući Maksvelove korekcije) glasi

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_74
## Izvori

## Povezano

* Bio-Savarov zakon
* Maksvelove jednačine
* Kapacitivnost

## Vanjske veze

* *Simple Nature* by Benjamin Crowell Arhivirano 2011-06-03 na Wayback Machine-u Ampere's law from an online textbook
* MISN-0-138 *Ampere's Law* (PDF file) by Kirby Morgan for Project PHYSNET.
* MISN-0-145 *The Ampere–Maxwell Equation; Displacement Current* (PDF file) by J.S. Kovacs for Project PHYSNET.
* *The Ampère's Law Song* Arhivirano 2010-10-11 na Wayback Machine-u (PDF file) by Walter Fox Smith; Main page, with recordings of the song.