# Trenje

|  |
| --- |
| **Klasična mehanika** |
|  WIKINIUM\_MATH\_PH\_0 drugi Newtonov zakon |
| povijest klasične mehanike kronologija klasične mehanike

| Grane
 |
| --- |
| statika • dinamika/kinetika • kinematika • primjenjena mehanika • nebeska mehanika • mehanika kontinuuma • statistička mehanika
 |

| Formulacije
 |
| --- |
| * Newtonova mehanika (vektorska mehanika)
* analitička mehanika:
	+ Lagrangeova mehanika
	+ Hamiltonova mehanika
 |

| Osnovni koncepti
 |
| --- |
| prostor • vrijeme • brzina • masa • ubrzanje • gravitacija • sila • impuls sile • spreg sila/moment sile • količina gibanja • kutna količina gibanja • tromost • moment tromosti • referentni okvir • energija • kinetička energija • potencijalna energija • rad • virtualni rad • D'Alembertovo načelo
 |

| Ključne teme
 |
| --- |
| kruto tijelo • dinamika krutog tijela • Eulerove jednadžbe gibanja • gibanje • Newtonovi zakoni gibanja • Newtonov zakon gravitacije • jednadžbe gibanja • inercijski referentni okvir • neinercijski referentni okvir • rotirajući referentni okvir • fiktivna sila • mehanika ravninskog gibanja krutog tijela • pomak (vektor) • relativna brzina • trenje • jednostavno harmonijsko gibanje • harmonijski oscilator • vibracije • prigušenje • koeficijent prigušenja • Rotacijsko gibanje • Kružno gibanje • jednoliko kružno gibanje • nejednoliko kružno gibanje • centripetalna sila • centrifugalna sila • centrifugalna sila (rotacijski referentni okvir) • reaktivna centrifugalna sila • Coriolisov učinak • fizičko njihalo • rotacijska brzina • kutno ubrzanje • kutna brzina • kutna frekvencija • kutni pomak
 |

| Znanstvenici
 |
| --- |
| Isaac Newton • Jeremiah Horrocks • Leonhard Euler • Jean le Rond d'Alembert • Alexis Clairaut • Joseph Louis Lagrange • Pierre-Simon Laplace • William Rowan Hamilton • Siméon-Denis Poisson
 |

 |

**Trenje** je sila koja se protivi klizanju jednoga tijela uz drugo dok se tijela međusobno pritišću, a djeluje u području dodira. Kada dođe do takvog klizanja, na pojedino tijelo trenje djeluje u suprotnom smjeru od brzine kojom kliže uz drugo tijelo, i zove se trenje klizanja. Trenje klizanja pretvara kinetičku energiju u toplinu. Statičko trenje sprečava klizanje, i jednakog je iznosa a suprotnog smjera od zbroja ostalih sila koje pokušavaju izazvati klizanje. Ako se te sile povećavaju, te njihov zbroj premaši maksimalni mogući iznos statičkog trenja (graničnu vrijednost), počinje klizanje a statičko trenje se pretvara u trenje klizanja. Granična vrijednost statičkog trenja najčešće se ne razlikuje značajno od iznosa trenja klizanja, ali ponekad može biti i znatno veća (npr. metal na metalu ili staklo na staklu), a iznimno i malo manja. Iznos sile trenja ne ovisi neposredno o veličini dodirne površine, nego samo o kemijskom sastavu i obradi ploha. Trenje je posljedica kemijskog međudjelovanja (električne sile) materijala koji su u dodiru.

Najjednostavnije je analizirati trenje kad se tijela dodiruju ravnim plohama. No, u pojedinim područjima primjene analiziraju se i drugi specijalni slučajevi, kao što je užetno trenje na okruglom profilu, ili trenje kod kotrljanja, itd.

Usto, osim opisanoga uobičajenog značenja, pojam trenja u širem smislu može se protegnuti i na različite druge otpore relativnom gibanju, kao što je otpor sredstva koji djeluje na kruto tijelo koje se giba kroz fluid, ili međudjelovanje susjednih slojeva fluida koji se gibaju različitim brzima (zbog viskoznosti) itd. No, u ovome tekstu promatra se samo trenje koje se protivi klizanju.

## Trenje klizanja i statičko trenje

**Iznos trenja klizanja** između dva tijela proporcionalan je sili kojom se tijela međusobno stišću na plohi dodira. U najjednostavnijem slučaju ravne dodirne plohe, iznos trenja klizanja WIKINIUM\_MATH\_PH\_2 računa se tako da se ukupni iznos sile WIKINIUM\_MATH\_PH\_4 kojom jedno tijelo pritišće drugo pomnoži brojem koji se zove koeficijent trenja klizanja WIKINIUM\_MATH\_PH\_6 :

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_8
Koeficijent trenja klizanja ovisi o vrsti i obradi dodirnih ploha; npr. za automobilsku gumu na suhom asfaltu iznosi oko 0,80-0,85 (ako guma nije izlizana), a za istu gumu na mokrom asfaltu oko 0,45-0,50, dok je na zaleđenom kolniku samo 0,05-0,10. Iznos sile kojom jedno tijelo pritišće drugo uobičajeno se obilježava slovom WIKINIUM\_MATH\_PH\_10 , zato što ta sila djeluje okomito, tj. u smjeru normale, na dodirnu plohu i smjer klizanja.

Trenje na horizontalnoj podlozi
Na skici desno prikazan je jednostavan primjer trenja za tijelo koje kliže po horizontalnoj podlozi zato što ga gura horizontalna sila WIKINIUM\_MATH\_PH\_12 (podloga je drugo tijelo, koje smatramo velikim i nepomičnim, odnosno čije gibanje nas ne zanima). Na lijevoj strani skice ucrtane su sile koje djeluju na tijelo, a na desnoj sile kojima tijelo djeluje na podlogu.

Na tijelo djeluje težina WIKINIUM\_MATH\_PH\_14 kojom ga privlači Zemlja; zbog težine tijelo pritišće na podlogu (koja mu ne dopušta gibanje u tome smjeru) jednakom silom WIKINIUM\_MATH\_PH\_16 (desna strana skice). Na silu WIKINIUM\_MATH\_PH\_18 podloga uzvraća (zakon akcije i reakcije) normalnom reakcijom WIKINIUM\_MATH\_PH\_20 koja u suprotnom smjeru djeluje na tijelo. Tako se vertikalne sile na tijelo ( WIKINIUM\_MATH\_PH\_22 i WIKINIUM\_MATH\_PH\_24 ) poništavaju.

Sila WIKINIUM\_MATH\_PH\_26 pokreće i ubrzava klizanje tijela po podlozi. Zbog toga se tijelo tare o podlogu, tj. djeluje na nju silom trenja koja je na desnoj strani skice označena kao WIKINIUM\_MATH\_PH\_28 . Na tu silu podloga uzvraća (zakon akcije i reakcije) silom trenja WIKINIUM\_MATH\_PH\_30 koja u suprotnom smjeru djeluje na tijelo. Ukratko, djelovanju sile WIKINIUM\_MATH\_PH\_32 na tijelo suprotstavlja se sila trenja klizanja WIKINIUM\_MATH\_PH\_34 , čiji se iznos računa prema gore navedenoj formuli, i umanjuje ubrzanje tijela.

U rutinskom rješavanju problema s trenjem nije doista potrebno provoditi opisanu uzročno-posljedičnu analizu sila. U navedenom primjeru, dovoljno je samo prikazati sve sile koje djeluju na tijelo (lijeva strana skice) i odrediti ubrzanje tijela pomoću Newtonovog temeljnog zakona gibanja: vektorski zbroj sila jednak je umnošku mase i ubrzanja. Ubrzanje je u smjeru sile WIKINIUM\_MATH\_PH\_36 , a protivi mu se WIKINIUM\_MATH\_PH\_38 , pa je: WIKINIUM\_MATH\_PH\_40 . U vertikalnom smjeru nema ubrzanja, što znači da vektorski zboj vertikalnih sila iznosi nula, tj. WIKINIUM\_MATH\_PH\_42 , čime se dobiva iznos normalne reakcije pomoću kojega se računa trenje WIKINIUM\_MATH\_PH\_44 . Uvrštavajući za iznos težine WIKINIUM\_MATH\_PH\_46 konačno se dobiva jednadžba za akceleraciju WIKINIUM\_MATH\_PH\_48 . Ako je sila koja gura tijelo 20 N, masa tijela 2 kg, a koeficijent trenja 0,8, uvrštavanje daje 20 - 0,8·2·9,81 = 2a, pa je ubrzanje a = 2,15 m/s2.

I u slučaju da sustav sila nije tako jednostavan (npr. tijelo je na kosini a vuče ga ili gura više sila pod proizvoljnim kutevima), problem se riješava na sličan način. Tada u pravilu normalna reakcija podloge (potrebna za određivanje trenja) neće biti jednaka težini tijela, ali se na sličan način dobiva iz temeljnog zakona gibanja, uz rastavljanje sila u prikladno odabranom koordinatnom sustavu. U gornjem jednostavnom primjeru, umjesto formalnog uvođenja koordinatnog sustava, korišteno je razdvajanje sila na horizontalne i vertikalne.

Statičko trenje i trenje klizanja
**Statičko trenje** (ponekad se kaže i **trenje mirovanja**) sprečava klizanje koje pokušavaju uzrokovati druge sile. Primjerice, ako čovjek malom silom gura neki težak ormar, ormar se ne miče. To znači da pod djeluje na ormar točno jednakom silom statičkog trenja u suprotnom smjeru. Kako čovjek mijenja iznos sile kojom gura, tako se mijenja i iznos statičkog trenja (sve dok ormar miruje): statičko trenje je upravo onoliko koliko je potrebno da spriječi klizanje. No, statičko trenje ne može premašiti granični iznos WIKINIUM\_MATH\_PH\_50 koji se računa na isti način kao i trenje klizanja, ali pomoću koeficijenta statičkog trenja WIKINIUM\_MATH\_PH\_52 koji je u pravilu veći od koeficijenta trenja klizanja WIKINIUM\_MATH\_PH\_54 . Stoga se statičko trenje u načelu opisuje relacijom:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_56
Za mnoge materijale WIKINIUM\_MATH\_PH\_58 je tek za nekoliko postotaka veći od WIKINIUM\_MATH\_PH\_60 . No za neke kombinacije metalnih ploha mogu se razlikovati i nekoliko puta, npr. za cink na lijevanom željezu statički koeficijent je 0,85 dok je koeficijent trenja klizanja samo 0,21.

Za cjeloviti opis statičkog trenja i trenja klizanja najjednostavnije je promatrati lijevu stranu gornje skice, te zamisliti da se iznos sile WIKINIUM\_MATH\_PH\_62 koja gura tijelo povećava od nule do vrijednosti znatno veće od graničnog iznosa statičkog trenja. Na skici desno prikazano je kako se pri tome mijenja iznos sile trenja WIKINIUM\_MATH\_PH\_64 koja se protivi sili WIKINIUM\_MATH\_PH\_66 . Dok tijelo miruje, statičko trenje raste jednako kao i sila WIKINIUM\_MATH\_PH\_68 , sve do iznosa WIKINIUM\_MATH\_PH\_70 . Nakon toga, povećanje sile WIKINIUM\_MATH\_PH\_72 uzrokuje klizanje, a iznos statičkog trenja pada na iznos trenja klizanja.

Na skici se još opaža i da iznos trenja klizanja nije posve konstantan (kako se podrazumijevalo u prethodnom opisu). Oscilacije u iznosu trenja klizanja (na skici su preuveličane radi bolje uočljivosti) ne ovise neposredno o sili WIKINIUM\_MATH\_PH\_74 , nego su posljedica mikroskopskih neravnina dodirnih ploha koje prilikom gibanja utječu na kemijske interakcije među materijalima (crtež je proizvoljan, tj. samo kvalitativno ilustrira tipične mjerene vrijednosti).

## Značaj trenja

### Korisni učinci trenja u svakodnevnom životu

Ljudi šeću naprijed odguravajući se nogama natrag. Bez trenja, podovi, ceste i pločnici bili bi mnogo više kliski nego ledeno klizalište. Automobili ne bi mogli ubrzavati ni kočiti. Ljudi bi padali na pod kada bi pokušali hodati ili trčati.

### Paljenje vatre

Najjednostavnija oprema za paljenje vatre ovisi o trenju, a sastoji se od dvaju suhih drvenih štapova. Rukama ili strunom luka treba brzo rotirati jedan štap po drugom. Trenje postiže temperaturu do približno 300 °C, pri kojoj štap počne žariti. Za paljenje šibica također se primjenjuje trenje. Kada se glava šibice tare o traku na bočnoj strani kutije od šibica, trenje podiže temperaturu. Vrućina potakne da kemikalije u glavi šibice i u traci na kutiji od šibica zajedno reagiraju. Kako se G temperatura povećava, glava šibice izgara na zraku i naposljetku zapali drvo.

### Problemi koje uzrokuje trenje

Trenje predstavlja značajan problem kod predmeta koje treba gibati po podlozi. Rani ljudi su povlačili terete na drvenim saonicama. Te su sanjke pomogle u prijenosu tereta, ali je još uvijek ostalo veliko trenje između saonica i tla. Ljudi su poslije otkrili da je teške terete kao npr. blokove od kamena mnogo lakše pomicati pomoću valjaka. Valjci su se okretali, te su smanjili trenje jer teret nije klizao dodirajući tlo kao kad se gibao. Nedostatak je valjka što oni ostaju iza tereta kada se teret kreće po njima. Pred otprilike 5500 godina taj je problem bio prevladan izumom kombinacije kotača i osovine.

## Izvori