# Funkcija (matematika)

**Funkcija** je, uopšte, pravilo pridruživanja jednog elementa iz skupa **H** (*domen* funkcije) drugom iz skupa **U** (*kodomen* funkcije). Za zapisivanje funkcija koristimo oznake kao što je WIKINIUM\_MATH\_PH\_0 ili WIKINIUM\_MATH\_PH\_2 a prirodu skupova koji učestvuju opisujemo frazama kakva je na primer: funkcija realne promenljive. Opseg, raspon ili područje definicije funkcije *f* je skup vrednosti, *f*(*x*), za *x* iz domena *f*.

## Definicije

**Funkcija** je jedan od osnovnih pojmova matematike. Posebno pogledajte: Analitička funkcija, Grafik funkcije, Neprekidna funkcija, Trigonometrijske funkcije, Hiperboličke funkcije. Definicija funkcije kao promenljive veličine je nesavršena jer se pri tome koristi nestrogi pojam promenljive veličine i zato se obično koristi savremeniji pristup ovom problemu preko teorije skupova.

### Analitička definicija

Ako dve promenljive količine stoje u takvoj vezi da se menjanjem vrednosti jedne količine menja vrednost i druge, onda je druga funkcija prve.

Osnovna karakteristika funkcije je da za jednu ulaznu vrednost dobija najviše jedna izlazna vrednost.

Funkcija može imati više promenljivih.

### Definicije iz teorije skupova

Skup se u matematici uzima za osnovni pojam. Dekartov proizvod skupova je skup uređenih parova. Uređeni par elemenata čine bilo kakva dva elementa kod kojih se, iz bilo kojih razloga, zna koji od njih je prvi, a koji drugi. Zatim, relacija (matematika) je neprazan podskup Dekartovog proizvoda skupova, i konačno, funkcija je jedna vrsta relacije, slika desno. Na slici desno, pre svega, data je relacija WIKINIUM\_MATH\_PH\_4 Zašto takvu *relaciju* nazivamo i *funkcija*?

Definicija
Neka su A i B neprazni skupovi. Tada se binarna relacija WIKINIUM\_MATH\_PH\_6 zove funkcija ili preslikavanje iz A u B, ako važi WIKINIUM\_MATH\_PH\_8
Poslednji izraz je formula napisana pomoću kvantora *svaki* (obrnuto slovo A) i *postoji* tačno jedan (obrnuto E sa uzvičnikom) koja se čita: "za svako iks iz A postoji tačno jedno ipsilon iz Be takvo da je y=f(x)". To znači da na grafu, desno, iz svakog od elemenata skupa WIKINIUM\_MATH\_PH\_10 polazi po tačno jedna strelica, koja predstavlja (po tačno jedan) uređeni par (za svako od slova WIKINIUM\_MATH\_PH\_12 ) Drugim rečima, funkcija je takva vrsta relacije gde je svaki elemenat jednog od skupova tačno po jednom prvi.

**Druga**, ekvivalentna definicija: binarna relacija f iz A u B je funkcija ako je

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_14
Ova definicija postavlja isti kriterijum: ako su originali jednaki (h=h) tada su i kopije jednake (y=z). Dakle, ne može isti original proizvesti različite kopije!

Elementi skupa A nazivaju se argumenti, nezavisno promenljive, originali preslikavanja, likovi, ili elementi domena. Skup A je skup prvih elemenata uređenih parova, na grafu to je polazni skup strelice, naziva se domen, područje vrednosti (rang), itd. funkcije f. Skup B naziva se kodomen (kontradomen) funkcije, skup kopija, slika, itd. Često se domen funkcije f označava sa WIKINIUM\_MATH\_PH\_16 , a kodomen ponekad WIKINIUM\_MATH\_PH\_18 Na navedenom grafu je WIKINIUM\_MATH\_PH\_20 i f je funkcija sa A u B, što pišemo WIKINIUM\_MATH\_PH\_22 ili WIKINIUM\_MATH\_PH\_24 Često umesto WIKINIUM\_MATH\_PH\_26 stavljamo WIKINIUM\_MATH\_PH\_28 , pa je WIKINIUM\_MATH\_PH\_30

Definicija
Funkcija WIKINIUM\_MATH\_PH\_32 zove se *surjekcija*, ili *"na"-preslikavanje*, ako je WIKINIUM\_MATH\_PH\_34
Pomoću kvantora tu istu definiciju pišemo: WIKINIUM\_MATH\_PH\_36 Jednostavnije rečeno, funkcija je surjekcija ako i samo ako su svi elementi desnog skupa (B) nečije slike. Na gornjem grafu ka elementu γ ne ide niti jedna strelica. Prema tome, data funkcija nije surjekcija. Surjekcija po definiciji dozvoljava „duple kopije“.

Definicija
Funkcija WIKINIUM\_MATH\_PH\_38 zove se *injekcija*, ili *"1-1"-preslikavanje*, ako važi WIKINIUM\_MATH\_PH\_40
To je definicija po formi obrnuta onoj drugoj definiciji funkcije: ista kopija ne može biti rezultat kopiranja različitih originala. Na datom grafu, elemenat β je kopija dva originala i prema tome data funkcija f nije injekcija. Injekcija po definiciji dozvoljava da u skupu kopija postoje elementi koji uopšte nisu rezultat preslikavanja.

Definicija
Funkcija koja je surjekcija i injekcija zove se *bijekcija*.
Bijekciju nazivamo i *obostrano jednoznačno* preslikavanje.

### Teškoće prve teorije skupova

Bijekcija je odigrala važnu ulogu u razmatranju pojma beskonačnosti i njemu srodnih pojmova. Ako postoje dva skupa i makar jedna funkciju među njima koja je bijekcija onda ta dva skupa imaju isti broj elemenata. To znači da ako za dva beskonačna skupa, recimo brojeva, pronađemo bar jedno bijektivno preslikavanje među njima, tada kažemo da oni imaju jednako mnogo elemenata. To je jedna od osnovnih ideja osnivača teorije skupova Kantora i Dedekinda.

Početnu ideju skupova je ubrzo, početkom 20. veka, uzdrmao britanski matematičar i filozof, Bertran Rasel, našavši nekoliko nedoslednosti u Kantorovoj teoriji. Danas se te nedoslednosti obično nazivaju *paradoksima teorije skupova*. Rasel je ukazao na paradoks praznog skupa, koji je razrešen zahtevom da je prazan skup podskup svakog skupa. Njegov drugi paradoks je paradoks skupa svih skupova. Ideja *skupa svih skupova* je kontradiktorna, tako da današnja teorija skupova, jednostavno, ne zahteva postojanje sveobuhvatnog, "univerzalnog skupa".

## Ispitivanje toka funkcije

Ispitati tok funkcije WIKINIUM\_MATH\_PH\_42 znači oidrediti sljedeće

### Područje definicije

Za određivanje područja definicije funkcije WIKINIUM\_MATH\_PH\_44 potrebno je poznavati elementarne funkcije

### Parnost

Parnost funkcije WIKINIUM\_MATH\_PH\_46 provjerava se pomoću definicije:

Funkcija WIKINIUM\_MATH\_PH\_48 je parna ako je WIKINIUM\_MATH\_PH\_50 za svaki WIKINIUM\_MATH\_PH\_52 , a neparna ako je WIKINIUM\_MATH\_PH\_54 ) za svaki WIKINIUM\_MATH\_PH\_56 .
Kod parne i neparne funkcije područje definicije mora biti simetrično u odnosu na koordinantni početak WIKINIUM\_MATH\_PH\_58 .

Primjer
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_60

je parna za WIKINIUM\_MATH\_PH\_62 paran, a neparna za WIKINIUM\_MATH\_PH\_64 neparan pa je:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_66 .

Funkcija WIKINIUM\_MATH\_PH\_68 je parna: ako je WIKINIUM\_MATH\_PH\_70 , tada je WIKINIUM\_MATH\_PH\_72 pa vrijedi

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_74

Za WIKINIUM\_MATH\_PH\_76 je WIKINIUM\_MATH\_PH\_78 pa vrijedi

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_80

### Periodičnost

Periodičnost funkcije provjerava se pomoću definicije

Funkcija WIKINIUM\_MATH\_PH\_82 je periodična ako postoji broj WIKINIUM\_MATH\_PH\_84 takav da za svaki WIKINIUM\_MATH\_PH\_86 vrijedi
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_88
Tada mora vrijediti WIKINIUM\_MATH\_PH\_90 . Najmanji takav pozitivni broj WIKINIUM\_MATH\_PH\_92 osnovni period ili period funkcije WIKINIUM\_MATH\_PH\_94 .

Primjeri periodičnih funkcija su trigonometrijske funkcije.

Elementarna funkcija ne može biti periodićna ako ne sadrži neku od trigonometrijskih funkcija.

### Nula funkcije

Nula funkcije određuju se rješavanjem jednačine WIKINIUM\_MATH\_PH\_96

### Asimptote funkcije

Asimptote mogu biti vertikalne, horizontalne i kose. Određuju se nalaženjem limesa i L'Hospitalovim pravilo, ako je potrebno.

Asimptota funkcije je prava sa osobinom da udaljenost između tačke na grafiku funkcije i te prave teži ka nuli WIKINIUM\_MATH\_PH\_98 ) kada tačka na grafiku odmiće u beskonačnost.

Prava WIKINIUM\_MATH\_PH\_100 je vertikalna asimptota funkcije WIKINIUM\_MATH\_PH\_102 u tački
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_104 s lijeve strane ako je WIKINIUM\_MATH\_PH\_106 ili
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_108 .

Prava WIKINIUM\_MATH\_PH\_110 je vertikalna asimptota funkcije WIKINIUM\_MATH\_PH\_112 u tacki WIKINIUM\_MATH\_PH\_114 s desne strane ako je

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_116 ili

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_118 .

Vertikalne asimptote se mogu nalaziti u tačkama prekida funkcije ili u otvorenim rubovima područja definicije.

Primjer
*

Prava WIKINIUM\_MATH\_PH\_120 je vertikalna asimptota funkcije WIKINIUM\_MATH\_PH\_122 s obje strane.

Prava WIKINIUM\_MATH\_PH\_124 je vertikalna asimptota funkcija WIKINIUM\_MATH\_PH\_126 , WIKINIUM\_MATH\_PH\_128 i WIKINIUM\_MATH\_PH\_130 s desne strane. U ovom slučaju vertikalna asimptota se nalazi u rubu područja definicije.

Prava WIKINIUM\_MATH\_PH\_132 je horizontalna asimptota funkcije WIKINIUM\_MATH\_PH\_134 na lijevoj strani ako je WIKINIUM\_MATH\_PH\_136 .
Prava WIKINIUM\_MATH\_PH\_138 je horizontalna asimptota funkcije WIKINIUM\_MATH\_PH\_140 na desnoj strani ako je WIKINIUM\_MATH\_PH\_142 .

Primjer
Prava WIKINIUM\_MATH\_PH\_144 je horizontalna asimptota funkcije WIKINIUM\_MATH\_PH\_146 na obje strane, kao i WIKINIUM\_MATH\_PH\_148 horizontalna asimptota funkcija WIKINIUM\_MATH\_PH\_150 i WIKINIUM\_MATH\_PH\_152 na lijevoj strani.

Ako je

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_154

pri čemu je

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_156 tada je prava WIKINIUM\_MATH\_PH\_158 kosa asimptota funkcije WIKINIUM\_MATH\_PH\_160 sa lijeve strane.

Kosu asimptotu funkcije WIKINIUM\_MATH\_PH\_162 sa desne strane definišemo analogno.

Udaljenost od tačke na krivoj do asimptote je WIKINIUM\_MATH\_PH\_164 . Prema definiciji asimptote WIKINIUM\_MATH\_PH\_166 kada WIKINIUM\_MATH\_PH\_168 . Kako je WIKINIUM\_MATH\_PH\_170 konstanta, zaključujemo da
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_172 .

Zadnji uslov, koji je ekvivalentan sa

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_174 je nužan i dovoljan uslov za postojanje kose asimptote.

Gornja jednakost je ekvivalentna sa

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_176 .

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_178
pa je

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_180 .

Pri tome treba voditi računa o sljedećem:

1. kod traženja horizontalnih i kosih asimptota limese kada WIKINIUM\_MATH\_PH\_182 i kada
2. asimptote je najbolje tražiti u opisanom redosljedu, WIKINIUM\_MATH\_PH\_184 uvijek treba računati posebno
3. treba biti oprezan u slučaju parnih korjena kada WIKINIUM\_MATH\_PH\_186 ,

Primjer
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_188 .

### Ekstremi funkcije

Kod određivanja ekstrema funkcije potrebno je provjeriti nžzne i dovoljne uslove ekstrema.

Provjera nužnih uslova vrši se po teoremi

Neka je funkcija WIKINIUM\_MATH\_PH\_190 neprekidna u tački WIKINIUM\_MATH\_PH\_192 . Ako funkcija WIKINIUM\_MATH\_PH\_194 ima lokalni ekstrem u tački WIKINIUM\_MATH\_PH\_196 , tada je WIKINIUM\_MATH\_PH\_198 kritična tačka funkcije WIKINIUM\_MATH\_PH\_200 .
Potrebno je nači stacionarne i kritične tačke po definiciji

Neka je funkcija WIKINIUM\_MATH\_PH\_202 neprekidna u tački WIKINIUM\_MATH\_PH\_204 . Tačka WIKINIUM\_MATH\_PH\_206 je stacionarna tačka funkcije WIKINIUM\_MATH\_PH\_208 ako je WIKINIUM\_MATH\_PH\_210 . Tačka WIKINIUM\_MATH\_PH\_212 je kritična tačka funkcije WIKINIUM\_MATH\_PH\_214 ako je WIKINIUM\_MATH\_PH\_216 stacionarna tačka ili ako WIKINIUM\_MATH\_PH\_218 nije diferencijabilna u tački WIKINIUM\_MATH\_PH\_220 .
Tj. potrebno je odrediti područje definicije prvog izvoda WIKINIUM\_MATH\_PH\_222 i riješiti jednačinu WIKINIUM\_MATH\_PH\_224 .
Provjera dovoljnih uslova može se vršiti na tri nacina:

pomoću promjene predznaka prvog izvoda na osnovu teoreme

Ako prvi izvod WIKINIUM\_MATH\_PH\_226 mijenja predznak u kritičnoj tački WIKINIUM\_MATH\_PH\_228 , tada funkcija WIKINIUM\_MATH\_PH\_230 ima lokalni ekstrem u tački WIKINIUM\_MATH\_PH\_232 . Pri tome vrijedi sljedeće
ako WIKINIUM\_MATH\_PH\_234 mijenja predznak sa WIKINIUM\_MATH\_PH\_236 na WIKINIUM\_MATH\_PH\_238 , tada je WIKINIUM\_MATH\_PH\_240 lokalni minimum, a ako WIKINIUM\_MATH\_PH\_242 mijenja predznak sa WIKINIUM\_MATH\_PH\_244 na WIKINIUM\_MATH\_PH\_246 , tada je WIKINIUM\_MATH\_PH\_248 lokalni maksimum.
pomoću drugog izvoda na osnovu teoreme

Neka je u stacionarnoj tački WIKINIUM\_MATH\_PH\_250 funkcija WIKINIUM\_MATH\_PH\_252 dva puta diferencijabilna. Ako je WIKINIUM\_MATH\_PH\_254 , tada funkcija WIKINIUM\_MATH\_PH\_256 ima lokalni ekstrem u tacki WIKINIUM\_MATH\_PH\_258 . Pri tome vrijedi sljedeće
ako je WIKINIUM\_MATH\_PH\_260 , tada je WIKINIUM\_MATH\_PH\_262 lokalni minimum, a ako je WIKINIUM\_MATH\_PH\_264 , tada je WIKINIUM\_MATH\_PH\_266 lokalni maksimum.
pomoću viših izvoda na osnovu teoreme

Neka funkcija WIKINIUM\_MATH\_PH\_268 ima u nekoj WIKINIUM\_MATH\_PH\_270 -okolini tačke c neprekidnog izvoda do uključivo reda WIKINIUM\_MATH\_PH\_272 , pri čemu je WIKINIUM\_MATH\_PH\_274 .
Neka je WIKINIUM\_MATH\_PH\_276
Ako je WIKINIUM\_MATH\_PH\_278 neparan, tada funkcija WIKINIUM\_MATH\_PH\_280 ima infleksiju u tački WIKINIUM\_MATH\_PH\_282 . Ako je WIKINIUM\_MATH\_PH\_284 paran i ako je uz to još i WIKINIUM\_MATH\_PH\_286 , tada funkcija WIKINIUM\_MATH\_PH\_288 ima lokalni ekstrem u tački WIKINIUM\_MATH\_PH\_290 i to minimum za WIKINIUM\_MATH\_PH\_292 i maksimum za WIKINIUM\_MATH\_PH\_294 .
### Intervali monotonosti

Posto smo načli prvi izvod WIKINIUM\_MATH\_PH\_296 funkcije WIKINIUM\_MATH\_PH\_298 intervale monotonosti određujemo određujuci predznak od WIKINIUM\_MATH\_PH\_300 na osnovu teoreme

Neka je funkcija WIKINIUM\_MATH\_PH\_302 diferencijabilna na intervalu WIKINIUM\_MATH\_PH\_304 . Tada vrijedi
1. funkcija WIKINIUM\_MATH\_PH\_306 je rastuća na intervalu WIKINIUM\_MATH\_PH\_308 ako i samo ako je WIKINIUM\_MATH\_PH\_310 za svaki WIKINIUM\_MATH\_PH\_312
2. Funkcija WIKINIUM\_MATH\_PH\_314 je opadajuća na intervalu WIKINIUM\_MATH\_PH\_316 ako i samo ako je WIKINIUM\_MATH\_PH\_318 za svaki WIKINIUM\_MATH\_PH\_320
3. Ako je WIKINIUM\_MATH\_PH\_322 za svaki WIKINIUM\_MATH\_PH\_324 , tada je funkcija WIKINIUM\_MATH\_PH\_326 strogo rastuća na intervalu WIKINIUM\_MATH\_PH\_328
4. Ako je WIKINIUM\_MATH\_PH\_330 za svaki WIKINIUM\_MATH\_PH\_332 , tada je funkcija WIKINIUM\_MATH\_PH\_334 strogo opadajuća na intervalu WIKINIUM\_MATH\_PH\_336 .

### Konkavnost i konveksnost funkcije

Potrebno je odrediti drugi izvod WIKINIUM\_MATH\_PH\_338 ,a onda intervale konveksnosti i konkavnosti pomoću teoreme

Neka je funkcija WIKINIUM\_MATH\_PH\_340 dva puta deiferencijabilna na intervalu WIKINIUM\_MATH\_PH\_342 . Ako je WIKINIUM\_MATH\_PH\_344 za svaki WIKINIUM\_MATH\_PH\_346 , tada je funkcija WIKINIUM\_MATH\_PH\_348 strogo konveksna na intervalu WIKINIUM\_MATH\_PH\_350 . Ako je WIKINIUM\_MATH\_PH\_352 za svaki WIKINIUM\_MATH\_PH\_354 , tada je funkcija WIKINIUM\_MATH\_PH\_356 strogo konkavna na intervalu WIKINIUM\_MATH\_PH\_358 .
### Tačke infleksije

Potrebno je naći tačke u kojima drugi izvod WIKINIUM\_MATH\_PH\_360 mijenja predznak, odnosno tačke koje ispunjavaju dovoljne uslove infleksije po teoremi

Neka je funkcija dva puta deferencijabilna na nekoj WIKINIUM\_MATH\_PH\_362 -okolini tačke WIKINIUM\_MATH\_PH\_364 , osim možda u tački WIKINIUM\_MATH\_PH\_366 . Ako WIKINIUM\_MATH\_PH\_368 mijenja predznak u tački WIKINIUM\_MATH\_PH\_370 , tada funkcija WIKINIUM\_MATH\_PH\_372 ima infleksiju u tački WIKINIUM\_MATH\_PH\_374 .
Za provjeru dovoljnih uslova infleksije možemo koristiti i više izvode na osnovu teoreme

Neka funkcija WIKINIUM\_MATH\_PH\_376 ima u nekoj WIKINIUM\_MATH\_PH\_378 - okolini tačke WIKINIUM\_MATH\_PH\_380 neprekidne izvode do uključivo reda WIKINIUM\_MATH\_PH\_382 , pri čemu je WIKINIUM\_MATH\_PH\_384 . Neka je
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_386
Ako je WIKINIUM\_MATH\_PH\_388 neparan, tada funkcija WIKINIUM\_MATH\_PH\_390 ima infleksiju u tački WIKINIUM\_MATH\_PH\_392 .
Ako je WIKINIUM\_MATH\_PH\_394 paran i ako je uz to još i WIKINIUM\_MATH\_PH\_396 , tada funkcija WIKINIUM\_MATH\_PH\_398 ima lokalni ekstrem u tacki WIKINIUM\_MATH\_PH\_400 i to minimum za WIKINIUM\_MATH\_PH\_402 i maksimum za WIKINIUM\_MATH\_PH\_404 .
U tom slučaju potrebno je prvo naci tačke u kojima je drugi izvod WIKINIUM\_MATH\_PH\_406 jednak nuli, odnosno tačke koje zadovoljavaju nužan uslov infleksije po teoremi

Ako funkcija WIKINIUM\_MATH\_PH\_408 ima infleksiju u tački WIKINIUM\_MATH\_PH\_410 i ako WIKINIUM\_MATH\_PH\_412 postoji, tada je WIKINIUM\_MATH\_PH\_414 .
### Graf funkcije

Grafik funkcije se crta na osnovu dobijenih informacija.

## Vanjske veze

* spisak kategorija matematičkih funkcija